历年解三角形高考真题
一、选择题：（每小题5分，计40分）
1．已知△ABC 中，a =2,b =3,B =60°,那么角A 等于（ ） （A ）135° (B)90° (C)45° (D)30°
2.在ABC ?中，,75,45,300===C A AB 则BC =（ ）
A.33-
B.2
C.2
D.33+
3.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A =
3
π
,a =3,b =1，则c =( ) （A ）1 （B ）2 （C ）3—1 （D ）3
4．在中，角A,B,C 的对应边分别为a,b,c,若2
2
2
a c
b +-=，则角B 的值为（ ）
Ａ．6
π Ｂ．
3π Ｃ．6
π或56π
Ｄ．
3
π或23π
5．在△ABC 中，若
C
c
B b A a cos cos cos =
=，则△ABC 是（ ） （A ）直角三角形. （B ）等边三角形. （C ）钝角三角形. （D ）等腰直角三角形.
6.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =（ ）
A ．
14 B ．3
4
C
7．在ABC ?中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ?一定是（ ）
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．正三角形 8．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c
成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为2
3
，那么b =（ ） A ．2
31+ B ．31+ C ．2
32+
D ．32+
二.填空题: （每小题5分，计30分）
9.在△ABC 中，AB =1, B C =2, B =60°，则AC ＝
。
10. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知3,30,a b c ===?
则A ＝ .
11.在ABC ?中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是___ __. 12.在ABC △中，若1tan 3
A =
，150C =o
，1BC =，则AB =________． 13．在△ABC 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bc cosA+ca cosB+ab cosC 的值为 .
14．在ABC ?中，若120A ∠=o
，5AB =，7BC =，则ABC ?的面积S=_______
三.解答题: （15、16小题每题12分，其余各题每题14分，计80分）
15．在ABC △中，5cos 13A =-，3cos 5
B =． （Ⅰ）求sin
C 的值； （Ⅱ）设5BC =，求ABC △的面积．
16.在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，，
（1）求cos C ； （2）若2
5
CA CB =?，且9a b +=，求c ．
17、如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD 交AC 于
E ，AB=2。（1）求cos ∠CBE 的值；（2）求AE 。
18.
在45,ABC B AC C ?∠=?==中，,求 （1）?BC = (2)若点D AB 是的中点，求中线CD 的长度。
19（2013新课标2理科）.设锐角三角形ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c, a =2b sin A
(Ⅰ)求B 的大小; (Ⅱ)求C A sin cos +的取值范围（.答案百度文库）
20.（2003全国理）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如
图）的东偏南(cos θθ=方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北?45方向
移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
东
部分参考答案
二.填空题: （每小题5分，计30分）
9.3； 10. 30° ； .11. __ 60O
_. 12.
210； 13．61
2
； 1443三.解答题: （15、16小题每题12分，其余各题每题14分，计80分）
15．解：（Ⅰ）由5cos 13A =-，得12sin 13A =，由3cos 5B =，得4
sin 5
B =． 所以16
sin sin()sin cos cos sin 65
C A B A B A B =+=+=．
（Ⅱ）由正弦定理得45sin 13512sin 313
BC B AC A ?
?==
=．
所以ABC △的面积
1sin 2S BC AC C =???1131652365=???8
3
=．
16.解：（1）sin tan cos C
C C
=∴=Q
又2
2
sin cos 1C C +=Q 解得1cos 8C =±． tan 0C >Q ，C ∴是锐角． 1
cos 8
C ∴=．
（2）∵2
5
=?，即abcosC=25 ，又cosC=81 20ab ∴=．
又9a b +=Q
22281a ab b ∴++=． 2241a b ∴+=．
2222cos 36c a b ab C ∴=+-
=．
6c ∴=．
17．解：（Ⅰ）因为9060150BCD =+=o o o ∠，CB AC CD ==，所以15CBE =o
∠．
所以cos cos(4530)4
CBE =-=
o
o
∠．
（Ⅱ）在ABE △中，2AB =，
由正弦定理2sin(4515)
sin(9015)
AE =
-+o o o o ．
故2sin 30cos15AE =
o
o 1
2?
=
=
18．解：（1
）由cos sin C C =
sin sin(18045)sin )2A C C C =--=+=
o o
由正弦定理知sin sin
AC BC A B =?==（2）sin 2sin AC AB C B =?==， 1
12
BD AB == 由余弦定理知132
2
2312181cos 222=?
??-+=?-+=B BC BD BC BD CD
19.解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2
B =
， 由ABC △为锐角三角形得π
6B =
． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π??+=
+π-- ?6??cos sin 6A A π?
?
=++ ???
1cos cos 2A A A =++3A π?
?=+ ??
?．
由ABC △为锐角三角形知，2
A 0π
<
<，
ππ
π
<+
<6
A 2．
解得2A 3ππ<
< 所以653A 32πππ<
+<
，
所以1
sin 232A
π??+< ???．由此有
232A π??<+< ??
?
所以，cos sin A C +的取值范围为32?
???
?，．
20.解：设在t 时刻台风中心位于点Q ，此时|OP|=300，|PQ|=20t ，
台风侵袭范围的圆形区域半径为r(t)=10t+60，
由102cos =
θ，可知10
27cos 1sin 2
=-=θθ， cos ∠OPQ=cos(θ-45o
)= cos θcos45o
+ sin θsin45o
=5
422102722102=?+? 在 △OPQ 中，由余弦定理，得
OPQ PQ OP PQ OP OQ ∠?-+=cos 22
22
=5
4
203002)20(3002
2?
??-+t t =9000096004002
+-t t
若城市O 受到台风的侵袭，则有|OQ|≤r(t)，即
22)6010(900009600400+≤+-t t t ，
整理，得0288362
≤+-t t ，解得12≤t ≤24, 答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
东