人教版九年级数学上册 圆 几何综合中考真题汇编[解析版]

人教版九年级数学上册 圆 几何综合中考真题汇编[解析版]

一、初三数学 圆易错题压轴题（难）

1．已知：如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，AD 2=，AB BC CD 6===，动点P 在

射线BA 上，以BP 为半径的

P 交边BC 于点E （点E 与点C 不重合），联结PE 、

PC ，设x BP =，PC y =.

（1）求证：PE //DC ；

（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；

（3）联结PD ，当PDC B ∠=∠时，以D 为圆心半径为R 的D 与P 相交，求R 的取

值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）2436(09)y x x x =-+<<；（3）3605

R <<

【解析】 【分析】

()1根据梯形的性质得到B DCB ∠=∠，根据等腰三角形的性质得到B PEB ∠∠=，根据

平行线的判定定理即可得到结论；

()2分别过P 、A 、D 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F 、.G 推出四边形ADGF 是矩形，

//PH AF ，求得2BF FG GC ===，根据勾股定理得到

22226242AF AB BF =-=-=，根据平行线分线段成比例定理得到

223PH x =

，13BH x =，求得1

63

CH x =-，根据勾股定理即可得到结论； ()3作//EM PD 交DC 于.M 推出四边形PDME 是平行四边形.得到PE DM x ==，即 6MC x =-，根据相似三角形的性质得到1218

655

PD EC ==-=，根据相切两圆的性质即可得到结论． 【详解】

()

1证明：梯形ABCD ，AB CD =，

B DCB ∠∠∴=，

PB PE =， B PEB ∠∠∴=， DCB PEB ∠∠∴=，

//PE CD ∴；

()2解：分别过P 、A 、D 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F 、G ．

梯形ABCD 中，//AD BC ， ，BC DG ⊥，BC PH ⊥，

∴四边形ADGF 是矩形，//PH AF ，

2AD =，6BC DC ==， 2BF FG GC ∴===，

在Rt ABF 中，

22226242AF AB BF =-=-=，

//PH AF ，

PH BP BH

AF AB BF

∴

==6242x BH ==，

223PH x ∴=

，1

3

BH x =， 1

63

CH x ∴=-，

在Rt PHC 中，22PC PH CH =

+

22221

(

)(6)33

y x x ∴=+-2436(09)y x x x =-+<<， ()3解：作//EM PD 交DC 于M ．

//PE DC ，

∴四边形PDME 是平行四边形．

PE DM x ∴==，即 6MC x =-，

PD ME ∴=，PDC EMC ∠∠=， 又PDC B ∠∠=，B DCB ∠=∠， DCB EMC PBE PEB ∠∠∠∠∴===． PBE ∴∽ECM ，

PB BE EC MC ∴=

，即232663

x

x x x =--， 解得：18

5x =，

即12

5

BE =，

1218655

PD EC ∴==-

=， 当两圆外切时，PD r R =+，即0(R =舍去)； 当两圆内切时，-PD r R =，即10(R =舍去)，236

5

R =； 即两圆相交时，3605

R <<． 【点睛】

本题属于圆综合题，梯形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.

2．已知圆O 的半径长为2，点A 、B 、C 为圆O 上三点，弦BC=AO ，点D 为BC 的中点，

(1)如图，连接AC 、OD ，设∠OAC=α，请用α表示∠AOD ； (2)如图，当点B 为AC 的中点时，求点A 、D 之间的距离：

(3)如果AD 的延长线与圆O 交于点E ，以O 为圆心，AD 为半径的圆与以BC 为直径的圆相切，求弦AE 的长．

【答案】（1）1502AOD α∠=?-；（2）7AD =3331331

+- 【解析】 【分析】

（1）连接OB 、OC ，可证△OBC 是等边三角形，根据垂径定理可得∠DOC 等于30°，OA=OC 可得∠ACO=∠CAO=α，利用三角形的内角和定理即可表示出∠AOD 的值. （2）连接OB 、OC ，可证△OBC 是等边三角形，根据垂径定理可得∠DOB 等于30°，因为点D 为BC 的中点，则∠AOB=∠BOC=60°，所以∠AOD 等于90°，根据OA=OB=2,在直角三角形中用三角函数及勾股定理即可求得OD 、AD 的长.

（3）分两种情况讨论：两圆外切，两圆内切.先根据两圆相切时圆心距与两圆半径的关系，求出AD的长，再过O点作AE的垂线，利用勾股定理列出方程即可求解.

【详解】

(1)如图1：连接OB、OC.

∵BC=AO

∴OB=OC=BC

∴△OBC是等边三角形

∴∠BOC=60°

∵点D是BC的中点

∴∠BOD=1

30 2

BOC

∠=?

∵OA=OC

∴OAC OCA

∠=∠=α

∴∠AOD=180°-α-α-30?=150°-2α

(2)如图2：连接OB、OC、OD.

由（1）可得：△OBC是等边三角形，∠BOD=1

30 2

BOC

∠=?

∵OB=2，

∴OD=OB?cos30?=3

∵B为AC的中点，

∴∠AOB=∠BOC=60°

∴∠AOD=90°

根据勾股定理得：227

AO OD

+=

（3）①如图3.圆O 与圆D 相内切时： 连接OB 、OC ，过O 点作OF ⊥AE ∵BC 是直径，D 是BC 的中点 ∴以BC 为直径的圆的圆心为D 点 由（2）可得：OD=3，圆D 的半径为1 ∴AD=31+ 设AF=x

在Rt △AFO 和Rt △DOF 中，

2222OA AF OD DF -=-

即(

)

2

222331x x -=-+-

解得：331

x 4+=

∴AE=331

2AF +=

②如图4.圆O 与圆D 相外切时： 连接OB 、OC ，过O 点作OF ⊥AE

∵BC 是直径，D 是BC 的中点 ∴以BC 为直径的圆的圆心为D 点 由（2）可得：OD=3，圆D 的半径为1 ∴AD=31- 在Rt △AFO 和Rt △DOF 中，

2222OA AF OD DF -=-

即()

2

222331x x -=--+ 解得：331

x -=

∴AE=331

2AF -=

【点睛】

本题主要考查圆的相关知识：垂径定理，圆与圆相切的条件，关键是能灵活运用垂径定理和勾股定理相结合思考问题，另外需注意圆相切要分内切与外切两种情况.

3．在△ABC 中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN∥BC 交AC 于点N ．

（1）如图1，把△AMN 沿直线MN 折叠得到△PMN，设AM=x ． i ．若点P 正好在边BC 上，求x 的值；

ii ．在M 的运动过程中，记△MNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数关系式，并求y 的最大值．

（2）如图2，以MN 为直径作⊙O，并在⊙O 内作内接矩形AMQN ．试判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由．

【答案】（1）i．当x=2时，点P恰好落在边BC上；ii． y=，当x=时，重叠部分的面积最大，其值为2；（2）当x=时，⊙O与直线BC相切；当x＜

时，⊙O与直线BC相离；x＞时，⊙O与直线BC相交．

【解析】

试题分析：（1）i．根据轴对称的性质，可求得相等的线段与角，可得点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上；

ii．分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积，根据轴对称的性质△MNP的面积等于△AMN的面积，易见y=x2

②当2＜x＜4时，如图2，设PM，PN分别交BC于E，F，由i．知ME=MB=4-x∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，由题意知△PEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求得．

（2）利用分类讨论的思想，先求的直线BC与⊙O相切时，x的值，然后得到相交，相离时x的取值范围．

试题解析：（1）i．如图1，

由轴对称性质知：AM=PM，∠AMN=∠PMN，

又MN∥BC，

∴∠PMN=∠BPM，∠AMN=∠B，

∴∠B=∠BPM，

∴AM=PM=BM，

∴点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上．

ii．以下分两种情况讨论：

①当0＜x≤2时，

∵MN∥BC，

∴△AMN∽△ABC，

∴，

∴，

∴AN=，

△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积，

∴，

②当2＜x＜4时，如图2，

设PM，PN分别交BC于E，F，

由（2）知ME=MB=4-x，

∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，

由题意知△PEF∽△ABC，

∴，

∴S△PEF=（x-2）2，

∴y=S△PMN-S△PEF=，

∵当0＜x≤2时，y=x2，

∴易知y最大=，

又∵当2＜x＜4时，y=，

∴当x=时（符合2＜x＜4），y最大=2，

综上所述，当x=时，重叠部分的面积最大，其值为2．（2））如图3，

设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD，则AO=OD=MN．

在Rt△ABC中，BC==5；

由（1）知△AMN∽△ABC，

∴，即，

∴MN=x

∴OD=x，

过M点作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD=x，

在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，

∴△BMQ∽△BCA，

∴，

∴BM=，AB=BM+MA=x+x=4

∴x=，

∴当x=时，⊙O与直线BC相切；

当x＜时，⊙O与直线BC相离；

x＞时，⊙O与直线BC相交．

考点：圆的综合题．

4．如图1，四边形ABCD中，、为它的对角线，E为AB边上一动点（点E不与点A、B重合），EF∥AC交BC于点F，FG∥BD交DC于点G，GH∥AC交AD于点H，连接HE．记四边形EFGH的周长为，如果在点的运动过程中，的值不变，则我们称四边形ABCD为“四边形”，此时的值称为它的“值”．经过探究，可得矩形是“四边形”．如图2，矩形ABCD中，若AB=4，BC=3，则它的“值”为．

（1）等腰梯形（填“是”或“不是”）“四边形”；

（2）如图3，是⊙O的直径，A是⊙O上一点，，点为上的一动点，将△沿的中垂线翻折，得到△．当点运动到某一位置时，以、、、、、中的任意四个点为顶点的“四边形”最多，最多有个．

【答案】“值”为10；（1）是；（2）最多有5个．

【解析】

试题分析：仔细分析题中“四边形”的定义结合矩形的性质求解即可；

（1）根据题中“四边形”的定义结合等腰梯形的性质即可作出判断；

（2）根据题中“四边形”的定义结合中垂线的性质、圆的基本性质即可作出判断.

矩形ABCD中，若AB=4，BC=3，则它的“值”为10；

（1）等腰梯形是“四边形”；

（2）由题意得当点运动到某一位置时，以、、、、、中的任意四个点为顶点的“四边形”最多，最多有5个.

考点：动点问题的综合题

点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．

5．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，以D为圆心，D长为半径作作⊙D．

⑴求证：AC是⊙D的切线.

⑵设AC与⊙D切于点E，DB=1，连接DE，BF，EF.

①当∠BAD= 时，四边形BDEF为菱形；

②当AB= 时，△CDE为等腰三角形.

【答案】（1）见解析；（2）①30°2+1

【解析】

【分析】

(1) 作DE⊥AC于M,由∠ABC=90°，进一步说明DM=DB，即DB是⊙D的半径，即可完成证明；

（2）①先说明△BDF是等边三角形，再运用直角三角形的内角和定理解答即可；②先说明DE=CE=BD=1，再设AB=x，则AE=x，分别表示出AC、BC、AB的长，然后再运用勾股定理解答即可.

【详解】

⑴证明：如图：作DE⊥AC于M，

∵∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，∴DE=DB.

∴DM是⊙D的半径，

∴AC是⊙D的切线；

⑵①如图：

∵四边形BDEF为菱形；

∴△BDF是等边三角形

∴∠ADB=60°

∴∠BAD=90°-60°=30°

∴当∠BAD=30°时，四边形BDEF为菱形；

②∵△CDE为等腰三角形.

∴DE=CE=BD=1，

∴2

设AB=x，则AE=x

∴在Rt△ABC中，AB=x，AC=1+x，2∴()2

22

+=+，解得2+1 x x

(12)1

∴当2+1时，△CDE为等腰三角形.

【点睛】

本题考查的是切线的判定、菱形的性质和判定、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理的灵活运用；熟练掌握切线的判定方法和灵活应该勾股定理是解答本题的关键.

6．已知：AB 为⊙O 直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ，点E 为⊙O 上一点，AE BE =，BE 与CD 交于点F ．

（1）如图1，求证：BH ＝FH ；

（2）如图2，过点F 作FG ⊥BE ，分别交AC 、AB 于点G 、N ，连接EG ，求证：EB ＝EG ； （3）如图3，在（2）的条件下，延长EG 交⊙O 于M ，连接CM 、BG ，若ON ＝1，△CMG 的面积为6，求线段BG 的长．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）210 ． 【解析】 【分析】

（1）连接AE ，根据直径所对圆周角等于90°及弧与弦的关系即可得解； （2）根据题意，过点C 作CQ FG CS FB ⊥⊥，，连接CE BC 、，通过证明

Rt CGQ Rt CBS ???，CBE CGE ???即可得解；

（3）根据题意，过点G 作GT CD ⊥于T ，连接CN ，设CAB α∠＝，证明

()CMG CNG AAS ???，再由面积法及勾股定理进行计算求解即可.

【详解】

解：（1）如下图，连接AE

∵AB 为直径 ∴90AEB =?∠

∵

AE BE = ∴AE BE = ∴45B ∠=?

又∵CD AB ⊥于H ∴45HFB ∠=? ∴HF HB =；

（2）如下图，过点C 作CQ FG CS FB ⊥⊥，，连接CE BC 、

AB 为直径，∴90ACB QCS ∠=∠=? ∴GCQ BCS ∠=∠

∴()Rt CGQ Rt CBS AAS ??? ∴CG CB =

同理()CBE CGE SAS ??? ∴EG EB =；

（3）如下图，过点G 作GT CD ⊥于T ，连接CN

设CAB α∠=由（2）知：CM CB = ∴CM CB = ∵HB HF =

∴45HBF HFB ∠=∠=? ∵GF BE ⊥

∴45NFH NH BH CN BC ∠=?∴=∴=，， ∴CM CB CN == 则：2MEB α∠=

902AEG α∠=?-

∴45EAG EGA α∠=∠=?+ ∴45M MGC α∠=∠=?+ ∴()CMG CNG AAS ??? ∵CMG ?面积为6 ∴6CAN

GAN

S

S

-=

设2122BH NH x OA OB x AN x ====+=+，，

则()CGT BCH AAS ??? ∴C BH x ==

∴6AN CH AN TH ?-?= ∴

1

(22)62

x CT +?= 解得：2x = ∵2BC BH BA =?

∴2210BC =?，则25BC ＝ ∴2210BG BC ＝＝． 【点睛】

本题主要考查了圆和三角形的综合问题，熟练掌握圆及三角形的各项重要性质及判定方法是解决本题的关键.

7．如图．在Rt ABC 中，90ACB ∠=?，6AC =，10AB =，DE 是ABC 的中位线，连结BD ，点F 是边BC 上的一个动点，连结AF 交BD 于H ，交DE 于G ． (1)当点F 是BC 的中点时，求

DH

BH

的值及GH 的长 (2) 当四边形DCFH 与四边形BEGH 的面积相等时，求CF 的长： (3)如图2．以CF 为直径作O ．

①当O 正好经过点H 时，求证：BD 是O 的切线：

②当

DH

BH

的值满足什么条件时，O 与线段DE 有且只有一个交点．

【答案】（1）12DH BH =，13

GH =；（2）83CF =；（3）①见解析；②当32DH BH =或

2514DH BH >时，O 与线段DE 有且只有一个交点． 【解析】 【分析】

（1）根据题意得H 为ABC 的重心，即可得

DH

BH

的值，由重心和中位线的性质求得

1

6

=

GH AF ，由勾股定理求得AF 的长，即可得GH 的长； （2）根据图中面积的关系得S 四边形DCFG =DEB

S ，列出关系式求解即可得CF 的长；

（3）根据O 与线段DE 有且只有一个交点，可分两类情况讨论：当O 与DE 相切

时，求得DH

BH

的值；当O 过点E ，此时是O 与线段DE 有两个交点的临界点，即可得出

O 与线段DE 有且只有一个交点时

DH

BH

满足的条件． 【详解】

解：（1）∵DE 是ABC 的中位线， ∴,D E 分别是,AC AB 的中点，//DE BC ， 又∵点F 是BC 的中点，

∴BD 与AF 的交点H 是ABC 的重心，

:1:2DH BH ∴=，即

1

2

DH BH =；:1:2=HF AH ， ∴1

3

=

HF AF ， 在ACF 中，D 为AC 中点，//DE BC ，则//DG CF ， ∴DG 为ACF 的中位线，G 为AF 的中点，

1

2

∴=

GF AF ， 111

236

∴=-=

-=GH GF HF AF AF AF ， 在Rt ABC 中，90ACB ∠=?，6AC =，10AB =，

8BC ∴===，

则1

42

=

=CF BC ，

AF ∴=

1

63

∴=?=

GH ； （2）∵四边形DCFH 与四边形BEGH 的面积相等， ∴S 四边形DCFH +DGH S =S 四边形BEGH +DGH

S

，

即S 梯形DCFG =DEB

S

，

∵6AC =，8BC =，DE 是ABC 的中位线， ∴3CD =，4DE =， ∵11

43622

=

??=??=DEB

S

DE CD ，

设2CF a =，∵DG 为ACF 的中位线， ∴1

2

=

=DG CF a ， 则S 梯形DCFG ()3

(2)622

+?==+=DG CF CD a a ，

解得：43a =

， 8

23

∴==CF a ；

（3）①证明：如图2，连结、CH OH ，

CF 为O 的直径，O 经过点H ，

90∴∠=?FHC ，

∴90∠=∠=?AHC FHC ，AHC 为直角三角形， D 为AC 的中点，

1

2

∴==DH AC CD ，

∠∠∴=DCH DHC ． 又OC OH =，

∴∠=∠OCH OHC ，

∴∠+=∠+OCH DCH OHC DHC ，即90∠=∠=?DHO ACB ， ∴BH BD ⊥，即BD 是O 的切线；

②如图3-1，当

O 与DE 相切时，O 与线段DE 有且只有一个交点，

设

O 的半径为r ，圆心O 到DE 的距离为d ，

∴当r=d 时，

O 与DE 相切，

∵//DE CF ，90ACB ∠=?，3CD =， ∴两平行线、DE CF 之间的距离为3CD =， ∴3r =，

则6CF =，1

862,32

=-=-===BF BC CF DG CF ， 由//DE CF 得：DGH

BFH ，

3

2

DH DG BH BF ∴

==； 如图3-2，当O 经过点E 时，连接OE 、OG ，

设

O 的半径为r ，即==OE OC r ，

∵G 为AF 的中点，O 为CF 的中点， ∴//OG CD ，

∴四边形COGD 为平行四边形， 又∵90ACB ∠=?， ∴四边形COGD 为矩形，

∴90∠=?DGO ，则90∠=?OGE ，OGE 为直角三角形， ∴=3=OG CD ，==DG OC r ， 则4=-=-GE DE DG r ，

由勾股定理得：222+=OG GE OE ，即2

2

2

3(4)+-=r r ，

解得：258

r =

，则258==OE OC ，2524==CF r

25725

8,448

∴=-=-===BF BC CF DG OC ，

由//DE BC 得：DGH

BFH ，

25

2514874

∴===DH DG BH BF

，

则当25

14

DH BH >时，O 与线段DE 有且只有一个交点； 综上所述，当32DH BH =或25

14

DH BH >时，O 与线段DE 有且只有一个交点． 【点睛】

本题属于圆综合题，考查了切线的性质与判定、中位线的性质等知识，解题的关键是灵活添加常用的辅助线，属于中考压轴题．

8．已知AB 是

O 的一条弦，点C 在O 上，联结CO 并延长，交弦AB 于点D ，且

CD CB =．

（1）如图1，如果BO 平分ABC ∠，求证：AB BC =； （2）如图2，如果AO OB ⊥，求:AD DB 的值；

（3）延长线段AO 交弦BC 于点E ，如果EOB ?是等腰三角形，且

O 的半径长等于

2，求弦BC 的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）

3

3

（3）51

和22

【解析】

【分析】

（1）由题意利用弦心距即可求证结果，

（2）此题关键先求出AO，做辅助线构造特殊三角形，并求证出∠AOD，再根据平行线分线段成比例求出比值即可，

（3）分情况讨论两种情况：OE=BE时或OB=BE时两种情况，利用三角形相似即

△COE~△CBO找到相似比，利用相似比求解即可．

【详解】

（1）过点O作OP⊥AB，垂足为点P；OQ⊥BC，垂足为点Q，

∵BO平分∠ABC，

∴OP=OQ，

∵OP，OQ分别是弦AB、BC 的弦心距，

∴AB= BC；

（2）∵OA=OB，

∴∠A=∠OBD，

∵CD=CB，

∴∠CDB =∠CBD，

∴∠A+∠AOD =∠CBO +∠OBD，

∴∠AOD =∠CBO，

∵OC=OB，

∴∠C =∠CBO，

∴∠DOB =∠C +∠CBO = 2∠CBO = 2∠AOD，

∵AO⊥OB，

∴∠ AOB =∠AOD +∠BOD =3∠AOD = 90°，

∴∠AOD=30°，

过点D作DH⊥AO，垂足为点H，

∴∠AHD=∠DHO=90°，

∴tan ∠AOD =

HD OH =3

， ∵∠AHD=∠AOB=90°， ∴HD ‖OB ，

∴D A OB H AH

O = ， ∵OA=OB ， ∴HD=AH ， ∵HD ‖OB ，

∴

AH HD OH O AH DB H ===

； （3）∵∠C=∠CBO ， ∴∠OEB =∠C+∠COE >∠CBO ， ∴OE≠OB ； 若OB = EB =2时，

∵∠C=∠C ，∠COE =∠AOD =∠CBO ， ∴△COE ~△CBO ，

∴

CO CE

BC CO =， ∴222

BC BC =-， ∴2BC -2BC -4=0，

∴BC =舍去)或，

∴； 若OE = EB 时， ∵∠EOB =∠CBO ，

∵∠OEB =∠C+∠COE =2∠C =2∠CBO 且∠OEB +∠CBO +∠EOB = 180°， ∴4∠CBO=180°，∠CBO=45°， ∴∠OEB=90°，

∴cos ∠CBO=EB OB =

， ∵OB=2，

∴ ，

∵OE 过圆心，OE ⊥BC ，

∴． 【点睛】

此题考查圆的相关知识：圆心距及圆内三角形相似的相关知识，属于综合题型，难度较高．