山东省青岛市高三数学上学期期末考试试题 文
山东省青岛市胶州市高三(上)期末数学试卷(理.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2015-2016学年山东省青岛市胶州市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=（i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i2．已知集合M={x|x﹣2|＜1}，N={x|y=}，则M∩N（）A．（1，2）B．（1，2]C．（2，3）D．[2，3）3．已知函数y=f（x）﹣x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．24．若直线（1+a）x+y+1=0与圆x2+y2﹣2x=0相切，则a的值为（）A．﹣1，1 B．﹣2，2 C．1 D．﹣15．四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是（）A． B．5 C． D．26．将奇函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，﹣＜φ＜）的图象向左平移个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为（）A ．2B ．3C ．4D ．67．已知函数f （x ）=x 2+cosx ，f ′（x ）是函数f （x ）的导函数，则f ′（x ）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．设α、β、γ为平面，m 、n 、l 为直线，则m ⊥β的一个充分条件是（ ） A ．α⊥β，α∩β=l ，m ⊥l B ．α∩γ=m ，α⊥γ，β⊥γ C ．α⊥γ，β⊥γ，m ⊥α D ．n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α9．在△ABC 内随机取一点P ，使=x+y，则x ≤在的条件下y ≥的概率（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，F 1、F 2是双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B ．若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．4B ．C ．D ．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．设随机变量 ξ～N （μ，σ2），且 P （ξ＜﹣1）=P （ξ＞1），P （ξ＞2）=0.3，则P （﹣2＜ξ＜0）= ．12．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为 ．13．m=sintd t则的展开式的常数项为．14．已知函数的图象的对称中心为（0，0），函数的图象的对称中心为，函数的图象的对称中心为（﹣1，0），…，由此推测，函数的图象的对称中心为．15．一位数学老师希望找到一个函数y=f（x），其导函数f′（x）=lnx，请您帮助他找一个这样的函数．（写出表达式即可，不需写定义域）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足+tan=（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）已知△ABC不是钝角三角形，且c=2，sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．17．某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．18．如图，四棱锥中P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．19．设数列{a n}的前项和为S n，且{}是等差数列，已知a1=1， ++=6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=+，数列{b n}的前项和为T n，求证：T n＜2n+．20．已知O为坐标原点，焦点为F的抛物线E：x2=2py（p＞0）上不同两点A、B均在第一象限．B点关于y轴的对称点为C，△OFA的外接圆圆心为Q，且•=（1）求抛物线E的标准方程；（2）两不同点A、B均在第一象限内，B点关于y轴的对称点为C，设直线OA、OB的倾角分别为α、β，且α+β=①证明：直线AC过定点；②若A、B、C三点的横坐标依次成等差数列，求△ABC的外接圆方程．21．已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）e x的定义域为[﹣2，t]，设f（﹣2）=m，f（t）=n．（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；（Ⅱ）求证：m＜n；（Ⅲ）若不等式+7x﹣2＞k（xlnx﹣1）（k为正整数）对任意正实数恒成立，求的最大值，并证明lnx＜（解答过程可参考使用以下数据ln7≈1.95，ln8≈2.08）2015-2016学年山东省青岛市胶州市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=（i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：∵复数z====﹣i，则z的共轭复数i．故选：A．2．已知集合M={x|x﹣2|＜1}，N={x|y=}，则M∩N（）A．（1，2）B．（1，2]C．（2，3）D．[2，3）【考点】交集及其运算．【分析】求出M中绝对值不等式的解集确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中不等式变形得：﹣1＜x﹣2＜1，解得：1＜x＜3，即M=（1，3），由N中y=，得到4﹣2x≥0，即2x≤4=22，解得：x≤2，即N=（﹣∞，2]，则M∩N=（1，2]，故选：B．3．已知函数y=f（x）﹣x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．2【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数为偶函数，则f（﹣2）﹣（﹣2）=f（2）﹣2，结合已知，即可解出f（﹣2）的值．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x．由题意知g（﹣2）=g（2），即f（2）﹣2=f（﹣2）+2，又f（2）=1，所以f（﹣2）=﹣3．故选：A．4．若直线（1+a）x+y+1=0与圆x2+y2﹣2x=0相切，则a的值为（）A．﹣1，1 B．﹣2，2 C．1 D．﹣1【考点】圆的切线方程．【分析】把圆的方程化为标准形式，根据圆心到直线（1+a）x+y+1=0的距离等于半径，求得a的值．【解答】解：圆x2+y2﹣2x=0 即（x﹣1）2+y2=1，表示以（1，0）为圆心、半径等于1的圆，再根据圆心到直线（1+a）x+y+1=0的距离d==1，求得a=﹣1，故选：D．5．四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是（）A． B．5 C． D．2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知几何体是底面为直角梯形的四棱锥，通过三视图的数据，求出最长的侧棱长度即可．【解答】解：由题意可知几何体是底面为直角梯形，直角边长为：4，2，高为3的梯形，棱锥的高为2，高所在的棱垂直直角梯形的上直角顶点，所以侧棱最长为，底面梯形下底边锐角顶点与棱锥顶点连线，所以长度为：=．故选：A．6．将奇函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，﹣＜φ＜）的图象向左平移个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为（）A．2 B．3 C．4 D．6【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的对称性．【分析】函数是奇函数，求出φ，通过函数图象向左平移个单位得到的图象关于原点对称，求出函数的周期，然后求出ω的值，即可得到选项．【解答】解：奇函数f （x ）=Asin （ωx +φ）（A ≠0，ω＞0，﹣＜φ＜）所以φ=0；函数的图象向左平移个单位得到的图象关于原点对称，所以T=，T=，ω=6，故选D ．7．已知函数f （x ）=x 2+cosx ，f ′（x ）是函数f （x ）的导函数，则f ′（x ）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】函数的图象．【分析】由于f （x ）=x 2+cosx ，得f ′（x ）=x ﹣sinx ，由奇函数的定义得函数f ′（x ）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD ，取x=代入f ′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C ，只有A 适合．【解答】解：由于f （x ）=x 2+cosx ，∴f ′（x ）=x ﹣sinx ，∴f ′（﹣x ）=﹣f ′（x ），故f ′（x ）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD ，又当x=时，f ′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C ，只有A 适合，故选：A ．8．设α、β、γ为平面，m 、n 、l 为直线，则m ⊥β的一个充分条件是（ ） A ．α⊥β，α∩β=l ，m ⊥l B ．α∩γ=m ，α⊥γ，β⊥γ C ．α⊥γ，β⊥γ，m ⊥α D ．n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α 【考点】直线与平面垂直的判定．【分析】根据面面垂直的判定定理可知选项A 是否正确，根据平面α与平面β的位置关系进行判定可知选项B 和C 是否正确，根据垂直于同一直线的两平面平行，以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面，可知选项D 正确．【解答】解：α⊥β，α∩β=l ，m ⊥l ，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m ⊂α，故不正确；α∩γ=m ，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m 与β不一定垂直，故不正确； α⊥γ，β⊥γ，m ⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m 与β不一定垂直，故不正确；n ⊥α，n ⊥β，⇒α∥β，而m ⊥α，则m ⊥β，故正确故选D9．在△ABC内随机取一点P，使=x+y，则x≤在的条件下y≥的概率（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据题意，把问题转化为求二元一次不等式组表示的平面区域问题，根据区域面积的比值求概率的应用问题，即可求出对应的概率．【解答】解：△ABC内随机取一点P，使=x+y，则0≤x+y≤1；又x≤，则由所围成的区域面积为S=×12﹣×=；由所围成的区域面积为S1=×=，所以，所求的概率为P===．故选：C．10．如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的定义，可得F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，再在△F1BF2中应用余弦定理得，a，c的关系，由离心率公式，计算即可得到所求．【解答】解：因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB=BF2=AF2=m，A为双曲线上一点，F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，由，则，在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a2﹣2•2a•4a•cos120°，得c2=7a2，则．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．设随机变量ξ～N（μ，σ2），且P（ξ＜﹣1）=P（ξ＞1），P（ξ＞2）=0.3，则P（﹣2＜ξ＜0）=0.2．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据正态分布的性质求解．【解答】解：因为P（ξ＜﹣1）=P（ξ＞1），所以正态分布曲线关于y轴对称，又因为P（ξ＞2）=0.3，所以P（﹣2＜ξ＜0）=故答案为：0.2．12．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为．【考点】程序框图．【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，输出结果．【解答】解：模拟执行程序框图，可得s=0，k=0满足条件k＜6，k=2，s=满足条件k＜6，k=4，s=满足条件k＜6，k=6，s=+不满足条件k＜6，退出循环，输出s=+=．故答案为：．13．m=sintd t则的展开式的常数项为．【考点】定积分；二项式系数的性质．【分析】首先通过定积分求出m，然后利用二项式定理求常数项．【解答】解：因为m=sintdt=（﹣cost）|=2，则=的展开式的常数项为=﹣；故答案为：﹣．14．已知函数的图象的对称中心为（0，0），函数的图象的对称中心为，函数的图象的对称中心为（﹣1，0），…，由此推测，函数的图象的对称中心为．【考点】归纳推理．【分析】题中所涉及的函数的对称中心的横坐标依次为0，，﹣1，…，即0，，，…，此数列通项公式易求．【解答】解：题中所涉及的函数的对称中心的横坐标依次为0，，﹣1，…，即0，，，…，由此推测，函数的图象的对称中心为故答案为：15．一位数学老师希望找到一个函数y=f（x），其导函数f′（x）=lnx，请您帮助他找一个这样的函数f（x）=xlnx﹣x+c，c是常数．（写出表达式即可，不需写定义域）【考点】导数的运算．【分析】根据导数的关系进行求解即可．【解答】解：当f（x）=xlnx﹣x+c时，f′（x）=lnx，故答案为：f（x）=xlnx﹣x+c，c是常数三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足+tan=（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）已知△ABC不是钝角三角形，且c=2，sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【分析】（I）利用同角三角函数基本关系式即可得出；（II）利用和差公式可得：sinBcosA=2sinAcosA，对A分类讨论，利用正弦定理、三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由+tan=，∴+=，∴=，∴sinC=．又C∈（0，π），∴C=或C=．（Ⅱ）由题意得sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，∴sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin2A，∴2sinBcosA=2×2sinAcosA，当cosA=0时，A=，C=，B=．由正弦定理可得：，∴b===2，∴S△ABC===2．当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，由题意，C=，c=2，∴c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=3a2=12，解得a=2，b=4，∴，∴S△ABC===2．17．某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）从7个小球中取3的取法为，若取一个红球，则说明第一次取到一红2白，根据组合知识可求取球的种数，然后代入古典概率计算公式可求（2）先判断随机变量X的所有可能取值为200，50，10，0根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值【解答】解：（1）设A i表示摸到i个红球，B i表示摸到i个蓝球，则Ai与Bi相互独立（i=0，1，2，3）∴P（A1）==（2）X的所有可能取值为0，10，50，200P（X=200）=P（A3B1）=P（A3）P（B1）=P（X=50）=P（A3）P（B0）==P（X=10）=P（A2）P（B1）==P（X=0）=1﹣=∴X的分布列为x 0 10 50 200PEX==4元18．如图，四棱锥中P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）取AD的中点G，连结PG、GB、BD，推导出PG⊥AD，△ABD是正三角形，BG⊥AD，由此能证明AD⊥PB．（Ⅱ）以G为原点，直线GA、GB、GP所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系G﹣xyz．利用向量法能求出平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）取AD的中点G，连结PG、GB、BD．∵PA=PD，∴PG⊥AD，…∵AB=AD，且∠DAB=60°，∴△ABD是正三角形，BG⊥AD，又PG∩BG=G，∴AD⊥平面PGB．∴AD⊥PB．…解：（Ⅱ）∵侧面PAD⊥底面ABCD，又PG⊥AD，∴PG⊥底面ABCD．∴PG⊥BG．∴直线GA、GB、GP两两互相垂直，故以G为原点，直线GA、GB、GP所在直线为x轴、y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系G﹣xyz．设PG=a，则P（0，0，a），A（a，0，0），B（0，，0），D（﹣a，0，0），C（﹣，，0）．…∴=（﹣，﹣，0）．∴=（0，，﹣a），设=（x0，y0，z0）是平面PBC的法向量，则，取y0=，得=（﹣1，，3）．…又∵平面PAD的法向量=，设平面PAD与平面PBC所成锐二面角为θ，则cosθ===，所以平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为．…19．设数列{a n}的前项和为S n，且{}是等差数列，已知a1=1， ++=6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=+，数列{b n}的前项和为T n，求证：T n＜2n+．【考点】数列的求和；等差关系的确定．【分析】（I）利用等差数列的通项公式、递推关系即可得出；（II）b n=+=+1+=2+，利用“裂项求和”即可得出．【解答】（Ⅰ）解：∵{}是等差数列，设公差为d，a1=1， ++=6，∴=6，∴2=1+2d，解得d=．∴=1+=，∴S n=．=﹣=n．∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1当n=1时也成立，∴a n=n．（Ⅱ）证明：b n=+=+=+1+=2+，∴数列{b n}的前项和为T n=2n++…+=2n+＜2n+，∴T n＜2n+．20．已知O为坐标原点，焦点为F的抛物线E：x2=2py（p＞0）上不同两点A、B均在第一象限．B点关于y轴的对称点为C，△OFA的外接圆圆心为Q，且•=（1）求抛物线E的标准方程；（2）两不同点A、B均在第一象限内，B点关于y轴的对称点为C，设直线OA、OB的倾角分别为α、β，且α+β=①证明：直线AC过定点；②若A、B、C三点的横坐标依次成等差数列，求△ABC的外接圆方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）利用向量的数量积公式，求出p，即可求抛物线E的标准方程；（2）①设直线OA的方程为y=kx（k＞0），则直线OC的方程为y=﹣x，与x2=y联立，求出A，C的坐标，可得直线AC的方程，即可证明：直线AC过定点；②若A、B、C三点的横坐标依次成等差数列，可得A，B，C的坐标，即可求△ABC的外接圆方程．【解答】（1）解：∵△OFA的外接圆圆心为Q，且•=，∴||2=，∴||=，∴抛物线E 的标准方程x 2=y ；（2）①证明：设直线OA 的方程为y=kx （k ＞0），则直线OC 的方程为y=﹣x ，y=kx 与x 2=y 联立，可得A （k ，k 2），y=﹣x 与x 2=y 联立，可得C （﹣，），∴直线AC 的方程为y ﹣k 2=（x ﹣k ），即y=（k ﹣）x +1，令x=0，可得y=1，直线AC 过定点（0，1）；②解：由①，∵A 、B 、C 三点的横坐标依次成等差数列，∴=k ﹣， ∵k ＞0， ∴k=，∴A （，3），B （，），C （﹣，），设△ABC 的外接圆方程的圆心坐标为（0，b ），则（0﹣）2+（b ﹣3）2=（0﹣）2+（b﹣）2，∴b=，r 2=，∴△ABC 的外接圆方程的方程为x 2+（y ﹣）2=．21．已知函数f （x ）=（x 2﹣3x +3）e x 的定义域为[﹣2，t ]，设f （﹣2）=m ，f （t ）=n ． （Ⅰ）试确定t 的取值范围，使得函数f （x ）在[﹣2，t ]上为单调函数； （Ⅱ）求证：m ＜n ；（Ⅲ）若不等式+7x ﹣2＞k （xlnx ﹣1）（k 为正整数）对任意正实数恒成立，求的最大值，并证明lnx ＜（解答过程可参考使用以下数据ln7≈1.95，ln8≈2.08）【考点】函数恒成立问题；函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）由f （x ）=（x 2﹣3x +3）•e x ，知f ′（x ）=（x 2﹣x ）e x ，令f ′（x ）≥0，则x ≥1或x ≤0，由此能够确定t 的取值范围，使得函数f （x ）在[﹣2，t ]上为单调函数．（2）根据（1）求出的函数的单调区间，由函数的增减性得到函数的极小值，把x=﹣2代入f （x ）解析式求出f （﹣2）的值，进行证明即可；（3）根据条件将不等式进行等价转化，构造函数，求函数的导数，判断函数的单调性和最值进行求解即可．【解答】解：（1）因为f ′（x ）=（x 2﹣3x +3）•e x +（2x ﹣3）•e x =x （x ﹣1）•e x ， 由f ′（x ）＞0⇒x ＞1或x ＜0；由f ′（x ）＜0⇒0＜x ＜1，所以f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，欲使f（x）在[﹣2，t]上为单调函数，则﹣2＜t≤0．（2）因为f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，所以f（x）在x=1处取得极小值f（1）=e．又f（﹣2）=＜e，所以f（x）仅在x=﹣2处取得[﹣2，t]上的最小值f（﹣2），从而当t＞﹣2时，f（﹣2）＜f（t），即m＜n．（Ⅲ）由+7x﹣2＞k（xlnx﹣1）等价于x2+4x+1＞k（xlnx﹣1），即x++4﹣klnx＞0…记g（x）=x++4﹣klnx，则g′（x）=1﹣﹣=，由g′（x）=0，得x=k+1，所以g（x）在（0，k+1）上单调递减，在（k+1，+∞）上单调递增，所以≥g（k+1）=k+6﹣ln（k+1），即g（x）＞0对任意正实数x恒成立，等价于k+6﹣ln（k+1）＞0，即1+﹣ln（k+1）＞0…记h（k）=1+﹣ln（k+1），则h′（x）=﹣﹣＜0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递减，又h（6）=2﹣ln7＞0，h（7）=0，所以k的最大值为6…当k=6时，由x2+4x+1＞6（xlnx﹣1），令x=3，则ln3＜…2016年7月30日。
山东省青岛市2017-2018学年高三上学期期末考试数学(文)试卷 Word版含解析
2017-2018学年山东省青岛市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项只有一个是符合题目要求的.1．已知集合M={y|y=3﹣x2，x∈R}，N={x|y=}，则M∩（∁U N）=（）A．（﹣∞，0） B． [0，3） C．（0，3] D．∅2．若复数是纯虚数，则实数a的值为（）A． 2 B．﹣ C．﹣2 D．﹣13．圆（x﹣1）2+y2=1和圆x2+y2+2x+4y﹣4=0的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能4．已知函数f（x）=e|lnx|，则函数y=f（x+1）的大致图象为（）A． B．C． D．5．下列：①k＞4是方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示圆的充要条件；②把y=sinx的图象向右平移单位，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数y=sin（2x﹣）的图象；③函数f（x）=sin（2x+）在[0，]上为增函数；④椭圆+=1的焦距为2，则实数m的值等于5．其中正确的序号为（）A．①③④ B．②③④ C．②④ D．②6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． 2 B． C． D．7．如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（）A． 2016 B． 2 C． D．﹣18．函数f（x）=ln（x+1）﹣（x＞0）的零点所在的大致区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，e） D．（3，4）9．已知x＞0，y＞0，若恒成立，则实数m的取值范围是（）A． m≥4或m≤﹣2 B． m≥2或m≤﹣4 C．﹣2＜m＜4 D．﹣4＜m＜210．已知函数f（x+1）是偶函数，当1＜x1＜x2时，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＞0恒成立，设a=f（﹣），b=f（2），c=f（3），则a，b，c的大小关系为（）A． b＜a＜c B． c＜b＜a C． b＜c＜a D． a＜b＜c二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．设非负实数x，y满足x﹣y+1≥0且3x+y﹣3≤0，则z=4x+y的最大值为．12．观察式子1+＜，1++＜，1+++＜…则可归纳出关于正整数n（n ∈N*，n≥2）的式子为．13．椭圆+=1与双曲线﹣=1有公共的焦点F1，F2，则双曲线的渐近线方程为．14．若平面向量=（log2x，﹣1），=（log2x，2+log2x），则•＜0的实数x的集合为．15．f（x）=ax3﹣x2+x+1在（﹣∞，+∞）上恒为单调递增函数，则实数a的取值范围．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知直线两直线l1：xcosα+y﹣1=0；l2：y=xsin（α+），△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，a=2，c=4，且当α=A时，两直线恰好相互垂直；（Ⅰ）求A值；（Ⅱ）求b和△ABC的面积．17．如图为某校语言类专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80～90分数段的学员数为21人．（Ⅰ）求该专业毕业总人数N和90～95分数段内的人数n；（Ⅱ）现欲将90～95分数段内的n名人分配到几所学校，从中安排2人到甲学校去，若n 人中仅有两名男生，求安排结果至少有一名男生的概率．18．如图，ABCD为梯形，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2a，DA=a，PD=a，E为BC中点（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PDE；（Ⅱ）线段PC上是否存在一点F，使PA∥平面BDF？若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由．19．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，数列{b n}是等比数列，b1=，a5﹣1恰为S4与的等比中项，圆C：（x﹣2n）2+（y﹣）2=2n2，直线l：x+y=n，对任意n∈N*，直线l都与圆C相切．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若对任意n∈N*，c n=a n b n，求{c n}的前n项和T n的值．20．已知g（x）=bx2+cx+1，f（x）=x2+ax﹣lnx+1，g（x）在x=1处的切线为y=2x（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）若a=﹣1，求f（x）的极值；（Ⅲ）设h（x）=f（x）﹣g（x），是否存在实数a，当x∈（0，e]，（e≈2.718，为自然常数）时，函数h（x）的最小值为3．21．已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C2：的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：x2+y2=1上．（Ⅰ）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；（Ⅱ）过点F的直线交抛物线C1于A、B两不同点，交y轴于点N，已知，求证：λ1+λ2为定值．（Ⅲ）直线l交椭圆C2于P、Q两不同点，P、Q在x轴的射影分别为P′、Q′，，若点S满足：，证明：点S在椭圆C2上．2014-2015学年山东省青岛市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项只有一个是符合题目要求的.1．已知集合M={y|y=3﹣x2，x∈R}，N={x|y=}，则M∩（∁U N）=（） A．（﹣∞，0） B． [0，3） C．（0，3] D．∅考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出集合M，N，根据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：M={y|y=3﹣x2，x∈R}={y|y≤3}，N={x|y=}={x|x≤0}，则∁U N={x|x＞0}，即M∩（∁U N）={x|0＜x≤3}，故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算，求出集合M，N的等价条件是解决本题的关键．2．若复数是纯虚数，则实数a的值为（）A． 2 B．﹣ C．﹣2 D．﹣1考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0且虚部不等于0求解实数a的值．解答：解：∵=是纯虚数，∴，解得：a=﹣2．故选：C．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．圆（x﹣1）2+y2=1和圆x2+y2+2x+4y﹣4=0的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：直线与圆．分析：求出两圆的圆心和半径，根据圆与圆的位置关系进行判断即可．解答：解：圆x2+y2+2x+4y﹣4=0的标准方程为（x+1）2+（y+2）2=9，则圆心为A（﹣1，﹣2）．半径r=3，则圆（x﹣1）2+y2=1的圆心坐标为B（1，0），半径R=1，则AB==，则3﹣1＜AB＜3+1，即两圆相交，故选：A点评：本题主要考查圆与圆的位置关系的判断，利用两圆圆心距离之间和半径之间的关系是解决本题的关键．4．已知函数f（x）=e|lnx|，则函数y=f（x+1）的大致图象为（）A． B．C． D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：将函数化为分段函数，先画函数f（x）的图象，而函数y=f（x+1）可由函数y=f（x）的图象向左平移1个单位得到，可选答案．解答：解：f（x）=e|lnx|=，f（x）的图象如图：函数y=f（x+1）可由函数y=f（x）的图象向左平移1个单位得到，选项D对应的图象为函数f（x）平移后的图象，故选：D．点评：本题以指数型复合函数为载体，考查了函数图象的变换，属于中档题．解题的关键是将函数化为分段函数的形式，利用函数的性质与函数的图象相结合来解题．5．下列：①k＞4是方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示圆的充要条件；②把y=sinx的图象向右平移单位，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数y=sin（2x﹣）的图象；③函数f（x）=sin（2x+）在[0，]上为增函数；④椭圆+=1的焦距为2，则实数m的值等于5．其中正确的序号为（）A．①③④ B．②③④ C．②④ D．②考点：的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：①方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0化为（x+k）2+（y+2）2=k2﹣3k﹣8，由k2﹣3k﹣4＞0，解得k＞4或k＜﹣1，即可判断出；②把y=sinx的图象向右平移单位可得y=，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数y=sin（2x﹣）的图象；③x∈[0，]，可得∈，可得函数f（x）=sin（2x+）在[0，]上不具有单调性；④椭圆+=1的焦距为2，则4﹣m=1或m﹣4=1，解得m=3或5．即可判断出．解答：解：①方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0化为（x+k）2+（y+2）2=k2﹣3k﹣8，由k2﹣3k﹣4＞0，解得k＞4或k＜﹣1，因此k＞4或k＜﹣1是方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示圆的充要条件，因此不正确；②把y=sinx的图象向右平移单位可得y=，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数y=sin（2x﹣）的图象，正确；③x∈[0，]，可得∈，因此函数f（x）=sin（2x+）在[0，]上不为增函数，不正确；④椭圆+=1的焦距为2，则4﹣m=1或m﹣4=1，解得m=3或5．因此不正确．综上可得：只有②正确．故选：D．点评：本题考查了简易逻辑的判定、圆的一般式、三角函数变换及其单调性、椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． 2 B． C． D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，我们可以判断出该几何体的几何特征，及几何体的形状，求出棱长、高等信息后，代入体积公式，即可得到答案．解答：解：由图可知该几何体是一个四棱锥其底面是一个对角线为2的正方形，面积S=×2×2=2，高为1则V==故选C点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图判断该物体是一个底面为对角为2的正方形，高为1的四棱锥是解答本题的关键．7．如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（）A． 2016 B． 2 C． D．﹣1考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=2016时，不满足条件k ＜2016，退出循环，输出S的值为2．解答：解：执行程序框图，可得S=2，k=0满足条件k＜2016，S=﹣1，k=1满足条件k＜2016，S=，k=2满足条件k＜2016，S=2，k=3满足条件k＜2016，S=﹣1，k=4…观察可知S的取值周期为3，由2016=672×3满足条件k＜2016，S=，k=2015满足条件k＜2016，S=2，k=2016不满足条件k＜2016，退出循环，输出S的值为2．故选：B．点评：本题主要考察了程序框图和算法，观察取值规律得S的取值周期为3是解题的关键，属于基础题．8．函数f（x）=ln（x+1）﹣（x＞0）的零点所在的大致区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，e） D．（3，4）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题．分析：先判断函数在其定义域（0，+∞）上是增函数，f（1）•f（2）＜0，从而得出结论．解答：解：由于函数f（x）=ln（x+1）﹣（x＞0）在其定义域（0，+∞）上是增函数，f（1）=ln2﹣2＜0，f（2）=ln3﹣1＞0，∴f（1）•f（2）＜0，故函数f（x）=ln（x+1）﹣（x＞0）的零点所在的大致区间是（1，2），故选B．点评：本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．9．已知x＞0，y＞0，若恒成立，则实数m的取值范围是（）A． m≥4或m≤﹣2 B． m≥2或m≤﹣4 C．﹣2＜m＜4 D．﹣4＜m＜2考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题．分析：先利用基本不等式求得的最小值，然后根据恒成立，求得m2+2m＜8，进而求得m的范围．解答：解：≥2=8若恒成立，则使8＞m2+2m恒成立，∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2故选D点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于基础题．10．已知函数f（x+1）是偶函数，当1＜x1＜x2时，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＞0恒成立，设a=f（﹣），b=f（2），c=f（3），则a，b，c的大小关系为（）A． b＜a＜c B． c＜b＜a C． b＜c＜a D． a＜b＜c考点：函数奇偶性的性质；函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：根据条件求出函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，然后根据函数f（x+1）是偶函数，利用单调性即可判定出a、b、c的大小．解答：解：解：∵当1＜x1＜x2时，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＞0恒成立，∴当1＜x1＜x2时，f （x2）﹣f （x1）＞0，即f （x2）＞f （x1），∴函数f（x）在（1，+∞）上为单调增函数，∵f（1+x）=f（1﹣x），∴函数f（x）关于x=1对称，∴a=f（﹣）=f（），又函数f（x）在（1，+∞）上为单调增函数，∴f（2）＜f（）＜f（3），即f（2）＜f（﹣）=＜f（3），∴a，b，c的大小关系为b＜a＜c．故选：A．点评：本题考查了函数性质的应用，主要考查了函数单调性的判断以及运用单调性比较函数值的大小，同时考查了函数的对称性的应用，是函数性质的一个综合考查．属于基础题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．设非负实数x，y满足x﹣y+1≥0且3x+y﹣3≤0，则z=4x+y的最大值为 4 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：利用线性规划的内容作出不等式组对应的平面区域，然后由z=4x+y得y=﹣4x+z，根据平移直线确定目标函数的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=4x+y得y=﹣4x+z，平移直线y=﹣4x+z，由图象可知当直线经过点A（1，0）时，直线的截距最大，此时z最大，代入z=4x+y得最大值为z=4．故答案为：4点评：本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域的知识，以及线性规划的基本应用，利用数形结合是解决此类问题的关键．12．观察式子1+＜，1++＜，1+++＜…则可归纳出关于正整数n（n ∈N*，n≥2）的式子为1++…+＜．考点：归纳推理．专题：计算题；推理和证明．分析：根据规律，左边是正整数n的平方的倒数和，右边是分子是正奇数，分母是正整数n，可以猜想结论．解答：解：根据规律，左边是正整数n的平方的倒数和，右边是分子是正奇数，分母是正整数n，可以猜想的结论为：当n∈N且n≥2时，恒有1++…+＜．故答案为：1++…+＜点评：本题考查的知识点是归纳推理其中分析已知中的式子，分析出两个式子之间的数据变化规律是解答的关键．13．椭圆+=1与双曲线﹣=1有公共的焦点F1，F2，则双曲线的渐近线方程为y=x ．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出椭圆的焦点，可得双曲线的c=2，再由双曲线的a，b，c的关系可得b=1，再由双曲线的渐近线方程即可得到．解答：解：椭圆+=1的焦点为（±2，0），则双曲线的c=2，即有3+b2=4，解得，b=1．则双曲线﹣y2=1的渐近线方程为y=x．故答案为：y=x．点评：本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．14．若平面向量=（log2x，﹣1），=（log2x，2+log2x），则•＜0的实数x的集合为（，4）．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据•＜0，得到不等式组，解出即可．解答：解：∵•=﹣﹣2＜0，∴（﹣2）（+1）＜0，∴﹣1＜＜2，∴＜x＜4，故答案为：（，4）．点评：本题考查了平面向量数量积的运算，考查了对数函数的性质，是一道基础题．15．f（x）=ax3﹣x2+x+1在（﹣∞，+∞）上恒为单调递增函数，则实数a的取值范围[1，+∞）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：已知函数f（x）=ax3﹣x2+x+1在（﹣∞，+∞）上单调递增，对其进行求导转化成f′（x）≥0在x∈R恒成立，从而求解；解答：解：∵函数f（x）=ax3﹣x2+x+1在（﹣∞，+∞）上单调递增，∴f′（x）=3ax2﹣2x+≥0，在x∈R恒成立，∴a＞0，△=4﹣4×3a×≤0，∴a≥1，故答案为：[1，+∞）．点评：此题主要考查函数的单调性与导数的关系，将问题转化为二次函数的恒成立，是一道中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知直线两直线l1：xcosα+y﹣1=0；l2：y=xsin（α+），△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，a=2，c=4，且当α=A时，两直线恰好相互垂直；（Ⅰ）求A值；（Ⅱ）求b和△ABC的面积．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）由α=A，表示出两直线的斜率，由两直线垂直时斜率乘积为﹣1列出关系式，整理求出A的值即可；（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，把a，c，cosA的值代入求出b的值，再由b，c，sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．解答：解：（Ⅰ）当α=A时，直线l1：xcosα+y﹣1=0；l2：y=xsin（α+）的斜率分别为k1=﹣2cosA，k2=sin（A+），∵两直线相互垂直，∴k1k2=﹣2cosAsin（A+）=﹣1，即cosAsin（A+）=，整理得：cosA（sinA+cosA）=，即sinAcosA+cos2A=，化简得：sin2A+=，即sin2A+cos2A=sin（2A+）=，∵0＜A＜π，即0＜2A＜2π，∴＜2A+＜，∴2A+=，即A=；（Ⅱ）∵a=2，c=4，A=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccos，即12=b2+16﹣4b，解得：b=2，则S△ABC=bcsinA=×4×2×=2．点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．17．如图为某校语言类专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80～90分数段的学员数为21人．（Ⅰ）求该专业毕业总人数N和90～95分数段内的人数n；（Ⅱ）现欲将90～95分数段内的n名人分配到几所学校，从中安排2人到甲学校去，若n 人中仅有两名男生，求安排结果至少有一名男生的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图，先求出80～90分数段频率，即可求出N，再用1减去成绩落在其它区间上的频率，即得成绩落在90～95上的频率，继而期初该段的人数（Ⅱ）一一列举出所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可解答：解：（Ⅰ）80～90分数段频率为P1=（0.04+0.03）×5=0.35，此分数段的学员总数为21人所以毕业生，的总人数N为N==60，90～95分数段内的人数频率为P1=1﹣（0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01）×5=0.1所以90～95分数段内的人数n=60×0.1=6，（Ⅱ） 90～95分数段内的6人中有两名男生，4名女生设男生为1，2；女生为3，4，5，6，设安排结果中至少有一名男生为事件A从中取两名毕业生的所有情况（基本事件空间）为12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56共15种组合方式，每种组合发生的可能性是相同的，其中，至少有一名男生的种数为12，13，14，15，16，23，24，25，26共9种所以，P（A）==点评：本题主要考查频率分布直方图、等可能事件的概率，属基础题．18．如图，ABCD为梯形，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2a，DA=a，PD=a，E为BC中点（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PDE；（Ⅱ）线段PC上是否存在一点F，使PA∥平面BDF？若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）连结BD，由已知得BC⊥DE，BC⊥PD，从而BC⊥平面PDE，由此能证明平面PBC⊥平面PDE．（Ⅱ）连结AC，BD交于O点，AB∥CD，从而△AOB∽△COD，AB=DC，进而△CPA中，AO=AC，由PF=，得OF∥PA，由此得到当点F位于PC三分之一分点（靠近P点）时，PA∥平面BDF．解答：（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连结BD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=a，DA=，所以BD=DC=2a，E为BC中点，所以BC⊥DE，…（3分）又因为PD⊥平面ABCD，所以BC⊥PD，因为DE∩PD=D，…（4分），所以BC⊥平面PDE，…（5分）因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PDE．…（6分）（Ⅱ）解：当点F位于PC三分之一分点（靠近P点）时，PA∥平面BDF，…（7分）连结AC，BD交于O点，AB∥CD，所以△AOB∽△COD，AB=DC，所以△CPA中，AO=AC，…（10分）而PF=，所以OF∥PA，…（11分）而OF⊂平面BDF，PA⊄平面BDF，所以PA∥平面BDF．…（12分）点评：本题考查面面垂直的证明，考查线面平行时点的位置的确定与证明，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力，是中档题．19．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，数列{b n}是等比数列，b1=，a5﹣1恰为S4与的等比中项，圆C：（x﹣2n）2+（y﹣）2=2n2，直线l：x+y=n，对任意n∈N*，直线l都与圆C相切．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若对任意n∈N*，c n=a n b n，求{c n}的前n项和T n的值．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列；直线与圆．分析：（Ⅰ）由圆C：（x﹣2n）2+（y﹣）2=2n2的圆心到直线l：x+y=n的距离等于半径得到数列递推式，n∈N*，然后由求得数列的通项公式；设等比数列{b n}的公比为q，由a5﹣1恰为S4与的等比中项求得，代入等比数列的通项公式求得{b n}的通项公式；（Ⅱ）把数列{a n}，{b n}的通项公式代入c n=a n b n，由错位相减法求得{c n}的前n项和T n的值．解答：解：（Ⅰ）圆C：（x﹣2n）2+（y﹣）2=2n2的圆心为（），半径为，对任意n∈N*，直线l：x+y=n都与圆C：（x﹣2n）2+（y﹣）2=2n2相切．∴圆心（）到直线l：x+y﹣n=0的距离d为．∴，得．∴，n∈N*，当n=1时，a1=S1=1；当n≥2时，．综上，对任意n∈N*，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1．设等比数列{b n}的公比为q，∴，a5﹣1恰为S4与的等比中项，a5=9，S6=16，，∴，解得．∴；（Ⅱ）∵，∴．两式相减得．即：．=．=∴．点评：本题考查了直线和圆的位置关系，考查了数列递推式，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．20．已知g（x）=bx2+cx+1，f（x）=x2+ax﹣lnx+1，g（x）在x=1处的切线为y=2x（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）若a=﹣1，求f（x）的极值；（Ⅲ）设h（x）=f（x）﹣g（x），是否存在实数a，当x∈（0，e]，（e≈2.718，为自然常数）时，函数h（x）的最小值为3．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出函数g（x）的导数，求得切线的斜率，由已知切线方程，可得2b+c=2，b+c+1=2，解得b，c即可；（Ⅱ）求出f（x）的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，即可得到极值；（Ⅲ）求出h（x）的导数，讨论①当a≤0时，②当0＜a≤时，当a＞，通过单调性判断函数的最值情况，即可判断是否存在．解答：解：（1）g（x）=bx2+cx+1的导数为g′（x）=2bx+c，g（x）在x=1处的切线斜率为2b+c，由g（x）在x=1处的切线为y=2x，则2b+c=2，b+c+1=2，解得b=1，c=0；（Ⅱ）若a=﹣1，则f（x）=x2﹣x﹣lnx+1，定义域为（0，+∞），∴f′（x）=2x﹣1﹣==，令f′（x）=0，解得x=1，当x＞1，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有x=1处，f（x）取得极小值，且为f（x）极小=f（1）=1，（Ⅲ）h（x）=f（x）﹣g（x）=x2+ax﹣lnx+1﹣（x2+1）=ax﹣lnx，假设存在实数a，使h（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，h有最小值3，h′（x）=a﹣，①当a≤0时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，e]上单调递减，h（x）min=h（e）=ae﹣1=3，解得a=（舍去），②当a＞0时，h′（x）=a﹣=，（i）当0＜a≤时，≥e，h′（x）＜0在（0，e]上恒成立，所以（x）在（0，e]上单调递减，h（x）min=h（e）=ae﹣1=3，解得a=（舍去），（ii）当a＞时，0＜＜e，当0＜x＜时，h′（x）＜0，所以h（x）在（0，）上递减，当＜x＜e时，h′（x）＞0，h（x）在（，e）上递增，所以，h（x）min=h（）=1+lna=3，所以a=e2满足条件，综上，存在a=e2使当x∈（0，e]，（e≈2.718，为自然常数）时，函数h（x）的最小值为3．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，同时考查存在性问题的解法，考查运算能力，属于中档题．21．已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C2：的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：x2+y2=1上．（Ⅰ）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；（Ⅱ）过点F的直线交抛物线C1于A、B两不同点，交y轴于点N，已知，求证：λ1+λ2为定值．（Ⅲ）直线l交椭圆C2于P、Q两不同点，P、Q在x轴的射影分别为P′、Q′，，若点S满足：，证明：点S在椭圆C2上．考点：圆锥曲线的综合；向量在几何中的应用．专题：综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由C1：y2=2px（p＞0）焦点F（，0）在圆O：x2+y2=1上，可求p的值；同理由椭圆的上、下焦点（0，c），（0，﹣c）及左、右顶点（﹣a，0），（a，0）均在圆O：x2+y2=1上可解得椭圆C2的方程；（Ⅱ）设直线AB的方程与抛物线联立，消元，利用韦达定理，结合，从而可求λ1、λ2的值，即可得证；（Ⅲ）设P，Q的坐标，利用，确定S的坐标，利用及P，Q在椭圆上，即可证得结论．解答：（Ⅰ）解：由C1：y2=2px（p＞0）的焦点F（，0）在圆O：x2+y2=1上，得：，解得p=2，∴抛物线C1：y2=4x；由椭圆C2：的上、下焦点（0，c），（0，﹣c）及左、右顶点（﹣a，0），（a，0）均在圆O：x2+y2=1上，可得：a2=1，c2=1，∴a=c=1，则b==，∴椭圆C2：；（Ⅱ）证明：设直线AB的方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），则N（0，﹣k），直线与抛物线联立，消元可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，∴x1+x2=，x1x2=1，∵，∴λ1（1﹣x1）=x1，λ2（1﹣x2）=x2，∴，，∴λ1+λ2==﹣1为定值；（Ⅲ）证明：设P（x3，y3），Q（x4，y4），则P′（x3，0），Q′（x4，0），∵，∴S（x3+x4，y3+y4），∵，∴2x3x4+y3y4=﹣1 ①，∵P，Q在椭圆上，∴②，③，由①+②+③得（x3+x4）2+=1．∴点S在椭圆C2上．点评：本题考查了抛物线与椭圆的方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是设点的坐标，然后联立方程，利用向量知识求解，是压轴题．。
山东省青岛市高三上学期期末数学试卷(理科)
山东省青岛市高三上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A . 1+iB . 1﹣iC . ﹣1+iD . ﹣1﹣i2. （2分） (2018高二下·辽宁期中) 展开式中的常数项是（）A .B .C .D .3. （2分）如图的程序框图，能判断任意输入的整数x的奇偶性：其中判断框内的条件是（）A . m='0'B . x='0'C . x='1'D . m=14. （2分）如图,在半径为的☉O中,弦AB,CD相交于点P,PA=PB=2,PD=1,则圆心O到弦CD的距离为（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高三上·北京月考) 已知直线的斜率为，倾斜角为，则“ ”是“ ”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分） (2016高三上·成都期中) 设实数x，y满足约束条件，则z= 的取值范围是（）A . [ ，1]B . [ ， ]C . [ ， ]D . [ ， ]7. （2分） (2016高三上·宝安模拟) 某几何体的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则该几何体的体积不可能是（）A .B .C .D . 18. （2分） (2019高三上·安徽月考) 2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源于中国古代数学家祖冲之的圆周率。
公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，计算到圆内接3072边形的面积，得到的圆周率是 .公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的结果，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率和约率。
2021届山东省青岛市高三上学期期末数学试题(解析版)
高三教学质量检测数学试题
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一､选择题:(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为(1,1),(0,1)，则
12z z =（ ） A. 1i +
B. 1i -+
C. 1i --
D. 1i - 【答案】D
【解析】
【分析】
由已知条件可得12,z z ，然后代入12
z z ，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】∵复数12,z z 在复平面内对应的点分别为（1，1），（0，1），
∴1z ＝1+i ，2z ＝i ． ∴12z z ()2111i i i i i i
-++===--． 故选D ．
【点睛】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题． 2.设R α∈，则“sin cos αα=”是“sin21α=”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】 sin cos αα=，得4k παπ=+
，得sin2α=1 成立；若sin21α=，得4k παπ=+ ，得
sin cos .αα=，即可判断 【详解】若sin cos αα=，则tan 1,4k π
ααπ==+ ，得sin2α=sin 2sin 142
k πππ⎛
⎫+== ⎪⎝⎭ 成立；反之，若sin21，则α=2224k k π
π
απαπ=+∴=+ ，得。
山东省青岛即墨市高三数学上学期期末考试试题 文 新人教A版
高 三 教 学 质 量 检 测数学（文倾）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，将第Ⅰ卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡相应位置上，考试结束，将答题卡上交。
考试时间90分钟，满分100分。
注意事项：1.答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答案不能答在试题卷上。
3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用涂改液、胶带、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分。
1.已知),(2R b a i b iia ∈+=+，其中i 为虚数单位，则=-ab A.-1 B.1 C.2 D.32.设全集，}6,5,4,3,2,1{=U 集合=⋂==)(}5,4,3{},4,3,2,1{Q C P Q P U ，则， A.｛1，2，3，4，6｝ B.｛1，2，3，4，5｝ C.｛1，2，5｝ D.｛1，2｝3.设)sin()(2φπφφ+===x x f R ”是“，则“为偶函数“的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是乙甲、x x ，则下列说法正确的是 A.乙甲x x >，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛 B.乙甲x x >，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛 C.乙甲x x <，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛 D.乙甲x x <，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛5.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-08010502y x y x y x ，则目标函数y x z 34-=的最小值和最大值分别为A.-6，11B.2，11C.-11，6D.-11，26.已知53)4sin(=+x π，则x 2sin 的值为A.2524-B.2524C.257- D.2577.设a,b 是不同的直线，βα、是不同的平面，则下列命题：①若βα//,//,b a b a 则⊥ ②若ββαα⊥⊥a a 则,,// ③若αβαβ//,,a a 则⊥⊥ ④若βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,b a b a 其中正确命题的个数是A.0B. 1C.2D.38.已知偶函数)(x f 在R 上的任一取值都有导数，且),2()2(,1)1('-=+=x f x f f 则曲线)(x f y =在5-=x 处的切线的斜率为A.2B.-2C.1D.-1 9.如果执行下面的程序框图，输出的S=110，则判断框处为 A.10<k ? B.11≥k ？ C.10≤k ？ D.11>k ?10.函数x xy sin 3+=的图象大致是11.已知0≠a 直线04)2(=+++y b ax 与直线03)2(=--+y b ax 互相垂直，则ab 的最大值等于A.0B.2C.4D.212.过抛物线)0(42>=p px y 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为 A. 215+ B.12+ C.13+ D.2122+第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题4个小题，每小题4分，满分16分。
2022届山东省青岛市莱西市高三上学期期末数学试题(解析版)
2022届山东省青岛市莱西市高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}220A x R x x =∈->，{}3,2,0,1,2,4B =--，C A B =，则集合C 的真子集的个数为（ ） A ．4 B ．7 C ．8 D ．16【答案】B【分析】先根据题意求出集合C ，再根据集合中元素个数求出真子集的个数.【详解】{}220{|0A x R x x x x =∈->=<或2}x >，则{}3,2,4C A B ==--，故集合C 的真子集的个数为3217-=. 故选：B.2．已知定义域为R 的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是( ) A ．∀x ∈R ，f(－x)≠f(x) B ．∀x ∈R ，f(－x)≠－f(x) C ．∃x 0∈R ，f(－x 0)≠f(x 0) D ．∃x 0∈R ，f(－x 0)≠－f(x 0) 【答案】C【分析】利用偶函数的定义和全称命题的否定分析判断解答. 【详解】∵定义域为R 的函数f(x)不是偶函数， ∴∀x ∈R ，f(－x)＝f(x)为假命题， ∴∃x 0∈R ，f(－x 0)≠f(x 0)为真命题. 故选C【点睛】本题主要考查偶函数的定义和全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.3．设随机变量()2~2,X N σ，()040.3P X <<=，()1P X m <-=，则下列结论正确的为（ ） A ．0.35m = B ．0.7m =C ．0.350.7m <<D ．00.35m <<【答案】D【分析】根据正态分布曲线的对称性可得()020.15P X <≤=，从而得到00.35P X ≤=，由()()()1010P X P X P X <-=≤--≤≤可得答案.【详解】由()040.3P X <<=，根据正态分布曲线的对称性可得()020.15P X <≤=，()20.5P X ≤=所以()()()02020.50.150.35P X P X P X ≤=≤-<≤=-=()()()()10100.3510P X P X P X P X <-=≤--≤≤=--≤≤又()100P X -≤≤>，所以()10.35P X <-<且()10P X <-> 所以00.35m << 故选：D4．如果两条直线()()21:2340l m x m m y ++-+=与()2:42370l x m y +-+=平行，则实数m 的值为（ ） A ．2 B ．﹣3 C ．﹣3或2 D ．3或2【答案】D【分析】由题意利用两条直线平行的性质，求出m 的值．【详解】∵两条直线()()21:2340l m x m m y ++-+=与()2:42370l x m y +-+=平行， ∴()()()223243m m m m -+=-，即2560m m -+=，解得2m =或3，当2m =时，1:4240l x y -+=，2:4270l x y -+=，满足题意； 当3m =时，1:540l x +=，2:470l x +=，满足题意； 故选：D5．要得到cos 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将sin3y x =的图象（ ）A ．向左平行移动4π个单位长度 B ．向右平行移动12π个单位长度 C ．向右平行移动712π个单位长度D ．向左平行移动512π个单位长度 【答案】C【分析】首先利用诱导公式统一函数名，即3sin 3cos 32y x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，然后根据平移变换即可求解.【详解】解：因为函数37sin3cos 3cos 32124y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以要得到cos 3y x π⎛⎫=-的图象，只需将sin3y x =的图象向右平行移动7π个单位长度， 故选：C.6．已知3461x y z ==≠，则下列结论正确的为（ ）A ．数列1x ，12z ，12y 是等差数列B ．数列1x，1z ，12y 是等差数列C ．数列1x，1z ，12y 是等比数列D ．数列1x ，12z，12y 是等比数列【答案】A【分析】令()3461x y zt t ===≠,则3log x t =，4log y t =，6log z t =，由此利用对数的运算法则及换底公式即可证明1112z x y -=，由此就可以判断出数列1x ，12z，12y 是等差数列.【详解】令()3461x y zt t ===≠，则3ln log ln 3t x t ==，4ln log ln 4t y t ==，6ln log ln 6t z t ==， ∵11ln 6ln 3ln 2ln ln ln z x t t t-=-=，1ln 42ln 2ln 222ln 2ln ln y t t t ===， ∴1112z x y -=，即1211z y x =+，12212z y x =+， 故数列1x ，12z，12y 是等差数列，故A 正确，B 不正确；由1ln 3ln x t =，1ln 6ln z t =，1ln 22ln y t =，验证可知21112z x y ⎛⎫≠⋅ ⎪⎝⎭，故数列1x ，1z ，12y 不成等比数列，C 不正确，同理211122z x y ⎛⎫≠⋅ ⎪⎝⎭，故数列1x ，12z ，12y 不成等比数列，D 不正确.故选：A .7．通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到如下列联表：已知()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，()210.8280.001P χ≥=，根据小概率值0.001α=的2χ独立性检验，以下结论正确的为（ ）A ．爱好跳绳与性别有关 B ．爱好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C ．爱好跳绳与性别无关D ．爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 【答案】D【分析】由列联表中正确读取a b c d 、、、的数值后，根据公式()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++去计算，将所得结果与10.828进行比较即可解决.【详解】402060a b +=+=，203050c d +=+=，402060a c +=+=，203050b d +=+=，40302020800ad bc -=⨯-⨯=，110n =，()()()()()2221108007.82210.82860506050n ad bc a b c d a c b d χ-⨯==≈<++++⨯⨯⨯故，爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 故选：D8．已知函数()()23,014cos 2,0x x f x x x x ππ⎧+≥⎪=⎨+-<⎪⎩，()1g x kx =+，若函数()()y f x g x =-在[]2,3x ∈-内有3个不同的零点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．113k ≤B ．k =1143k <<C ．4k -<<D ．4k =-或113k >【答案】B【分析】先考虑0x =的情况，再考虑0x ≠的情况，把函数有3个零点转化为方程有3个实根，化简，构造两个新函数，图像有3个交点，画图得答案.【详解】()23,014cos ,0x x f x x x x π⎧+≥=⎨+<⎩，当0x =时，显然有()()f x g x ≠，即0x =不是()()y f x g x =-的零点；当0x ≠时，函数()()y f x g x =-在[]2,3x ∈-内的零点个数即为方程()()f x g x =在[]2,3x ∈-上的实根个数当03x <≤时，有213kx x +=+，即2k x x=+；当20x -≤<时，有114cos kx x x π+=+，即4cos .k x π=所以函数()()y f x g x =-在[]2,3x ∈-内有3个不同的零点等价于y k =与2,03,4cos ,20x x y x x x π⎧+<≤⎪=⎨⎪-≤<⎩的图像有3个不同的交点，作出图像如图：由图可知22k =1143k << 故选：B. 二、多选题9．设a ，b 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，P 是一个点，则下列选项正确的为（ ）A ．若//αβ，a α⊂，则//a βB ．若a b ⊥，a α⊥，b β⊥，则αβ⊥C ．若αβ⊥，b αβ=，P α∈，P a ∈，a b ⊥，则a β⊥D ．若αγ⊥，//αβ，则βγ⊥ 【答案】ABD【分析】选项A. 由面面平行的性质可判断；选项B. 设,a b 分别为直线,a b 的方向向量，由a b ⊥，则a b ⊥从而可判断；选项C.由题意若P b ∈时不一定成立；选项D. 由平面平行的性质可判断.【详解】选项A. 若//αβ，a α⊂，由面面平行的性质可得//a β，故正确. 选项B. 设,a b 分别为直线,a b 的方向向量，由a b ⊥，则a b ⊥ 由a α⊥，b β⊥，则向量,a b 分别为平面,αβ的法向量 由a b ⊥，则αβ⊥，故正确.选项C. 若P b ∈，过点P 作直线a b ⊥，不一定能得到a β⊥. 过点P 作平面γ，使得b γ⊥，如图.过点P 在平面γ作直线a ，都满足条件，但不一定有a β⊥，故不正确.选项D. 若αγ⊥，//αβ，由平面平行的性质可得βγ⊥，故正确. 故选：ABD10．已知复数()21i z a a =+-，i 为虚数单位，a R ∈，则下列正确的为（ ）A ．若z 是实数，则1a =-B ．复平面内表示复数z 的点位于一条抛物线上 C ．3z ≥D ．若21z z =+，则1a =±【答案】BC【分析】以实数定义求出参数a 判断选项A ；以复数z 对应点的坐标判断选项B ；求出复数z 的模判断选项C ；以复数相等求出参数a 判断选项D.【详解】选项A ：由复数()21i z a a =+-是实数可知210a -=，解之得1a =±.选项A 判断错误；选项B ：复数()21i z a a =+-在复平面内对应点2(,1)Z a a -，其坐标满足方程21y x =-，即点2(,1)Z a a -位于抛物线21y x =-上. 判断正确；选项C ：由()21i z a a =+-，可得()22224221331124z a aa a a ⎛⎫=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭.判断正确； 选项D ：21z z =+ 即()()221i =2121i a a a a +-+--可得()2221121a a a a =+⎧⎪⎨-=--⎪⎩，解之得1a =-.选项D 判断错误.11．已知两个向量1e 和2e 满足12e =，21e =，1e 与2e 的夹角为3π，若向量1227te e +与向量12e te +的夹角为钝角，则实数t 可能的取值为（ ）A ．6-B ．C ．12-D ．45-【答案】AD【分析】根据题意，()()1212270te e e te +⋅+<，且不能共线，再求解即可得实数t 的取值范围17,2⎛⎛⎫-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而得答案. 【详解】解：因为12e =，21e =，1e 与2e 的夹角为3π， 所以1221cos13e e π⋅=⨯⨯=，因为向量1227te e +与向量12e te +的夹角为钝角， 所以()()1212270te e e te +⋅+<，且不能共线，所以()()()22221212112227227721570te e e te t e t e e t e t t +⋅+=++⋅+=++<，解得172t -<<-，当向量1227te e +与向量12e te +共线时，有()121227te e e te λ+=+，即27t t λλ=⎧⎨=⎩，解得t =，所以实数t 的取值范围17,2⎛⎛⎫-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以实数t 可能的取值为A ，D 故选：AD12．已知双曲线22:1916x y C -=，过其右焦点F 的直线l 与双曲线交于A ，B 两个不同的点，则下列判断正确的为（ ） A ．AB 的最小值为323B ．以F 为焦点的抛物线的标准方程为220y x =C ．满足2AB =的直线有3条D ．若A ，B 同在双曲线的右支上，则直线l 的斜率44,,33k ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】选项A.由实轴长为6可判断；选项B. 由()5,0F 可得出抛物线方程，从而可判断；选项C. 由当A ，B 两点同再双曲线的右支时，通经为最短弦，当A ，B 两点分别在双曲线一支上时，实轴为最短弦可判断；选项D.过右焦点F 分别作两渐近线的平行线12,l l ，由图可判断.【详解】选项A. 当直线l 的斜率为0时，于A ，B 两点分别为双曲线的顶点，则26AB a ==又3263<，故选项A 不正确. 选项B. ()5,0F ,则以F 为焦点的抛物线的标准方程为220y x =，故选项B 正确.选项C. 当A ，B 两点同在双曲线的右支时（通经为最短弦），则223223b AB a ≥=>，此时无满足条件的直线.当A ，B 两点分别在双曲线一支上时（实轴为最短弦），则262AB a ≥=>，此时无满足条件的直线. 故选项C 不正确.选项D. 过右焦点F 分别作两渐近线的平行线12,l l ，如图，将1l 绕焦点F 沿逆时针方向旋转到与2l 重合的过程中，直线与双曲线的右支有两个焦点. 此时直线l 的斜率43k >或43k <-,故选项D 正确故选：BD三、填空题13．在62x x ⎛ ⎝的展开式中，2x 的系数为___________；【答案】192-【分析】先求出二项展开式的通项公式，令x 的幂指数等于2，求出r 的值，即可求出展开式中2x 项的系数.【详解】由二项展开式的通项公式得()6116322166C 2C 21rrr r r r r r T x x x ----+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中令32r -=，即1r =， 故展开式中2x 的系数为()1156C 21192-=-.故答案为：192-. 14．记函数()()ln N 2nf x x x n +=+∈的图像在点22,f n n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的斜率为n a ，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为___________.【答案】1nn + 【分析】利用导数求得n a n =，可得出11111n n a a n n +=-+，进而可利用裂项相消法可求得数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和.【详解】对函数ln 2n y x x =+求导可得12n y x'=+，由题意可得122n n a nn=+=， ()1111111n n a a n n n n +∴==-++， 因此，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和为111111111122334111n n n n n -+-+-++-=-=+++. 故答案为：1n n +. 15．在ABC 中，CA a =，CB b =，0a b ⋅<，5a =，3b =，若ABC 的外接圆的半C =___________. 【答案】23π 【分析】先根据正弦定理求出sin sin A B ，，再由条件确定C ∠为钝角，,A B ∠∠为锐角，然后求出cos cos A B ，，再利用()sinsin C A B =+即可求得角C . 【详解】设角A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ， 由正弦定理2sin sin a b R A B ===159sin ,sin 143143B A ∴==， cos 0a b a b C ⋅=⋅<，cos 0C ∴<，即C ∠为钝角，,A B ∠∠为锐角，221511913cos 1,cos 11414143143B A ⎛⎫⎛⎫∴=-==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()sin sin sin cos cos si 1513911314142143143n C A B A B A B ∴=+=+=⨯+⨯=， 23C π∴∠=. 故答案为：23π. 16．如图，矩形ABCD 中，23AB =，2AD =，Q 为BC 的中点，点M ，N 分别在线段AB ，CD 上运动（其中M 不与A ，B 重合，N 不与C ，D 重合），且//MN AD ，沿MN 将DMN ∆折起，得到三棱锥D MNQ -．当三棱锥D MNQ -体积最大时，其外接球的表面积的值为________．【答案】253π【解析】沿MN 将DMN 折起，得到三棱锥D MNQ -，得到当平面DMN ⊥平面ABCD 时，三棱锥D MNQ -体积最大，利用三棱锥的体积公式，结合二次函数的性质，即可三棱锥的各棱长，再根据外接球的结构特点可建立关系求出球半径，即可得出表面积. 【详解】由题意，沿MN 将DMN 折起，得到三棱锥D MNQ -，可得当平面DMN ⊥平面MNQ 时，三棱锥D MNQ -体积最大，此时DN ⊥平面MNQ ， 设AM x =，则DN x =，且03x <<则三棱锥D MNQ -的体积为1112(23)332D NQ M Q M N V S DN x x -⎡⎤=⋅=⋅⎢⎥⎣⎦△，当3x =D MNQ -体积最大，且max 1V =， 此时3MB =2MQ NQ ==，故MNQ △为等边三角形， 如图，设MNQ △外接圆心为1O ，则123NO =，DN ⊥平面MNQ ，11322OO DN ∴==， 则在直角1OO N 中，2211536ON OO NO =+=，故外接球的表面积为25325463ππ⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 故答案为：253π.【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及三棱锥的体积计算，其中解答中根据几何体的结构特征，得到当平面DMN ⊥平面ABCD 时，三棱锥D MNQ -体积最大，再利用体积公式和二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 四、解答题17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，()2,m a c b =+，()cos ,cos n B C =，0m n ⋅=.(1)求角B 大小；(2)设()()2π2cos sin 2sin sin 2sin cos cos 3f x x x x B x x A C ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭，当2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值及相应的x . 【答案】(1)2π3B = (2)当7π12x =时，()f x 有最小值2-. 【分析】（1）利用向量垂直的充要条件和正弦定理即可求解；（2）先利用两角和的正弦公式及余弦的二倍角公式化简，再用辅助角公式化为()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最后利用三角函数的性质求出最小值及其取得最小值时的x 值.(1)由已知条件得()2cos cos 0m n a c B b C ⋅=++=， 由正弦定理得()2sin sin cos sin cos 0A C B B C ++=，即2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ++=，()2sin cos sin =0A B B C ++, 则2sin cos sin 0A B A +=， ∵sin 0A ≠，∴1cos 2B =-，又∵()0,πB ∈ ,∴2π3B =; (2)()()2π2cos sin 2sin sin 2sin cos cos 3f x x x x B x x A C ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭212cos sin sin cos 2x x x x x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭222sin cos x x x x =sin 22x x =π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,∵2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴π2π5π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,π22sin 23x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭则()f x 的最小值2-，其中π3π232x +=，即当7π12x =时，()f x 有最小值2-.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a ，n a ，n S 为等差数列；数列{}n b 满足16b =，14n n nb S a =++. (1)求数列{}n b 的前n 项和n T ； (2)若对于*N n ∀∈，总有3207464n n m a --<成立，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)+1112+32n n n n T -=-. (2)6>7m .【分析】（1）由等差数列的性质得12+n n a a S =，继而有+11+12+n n a a S =，两式相减得+12n n a a =，由此得数列{}n a 是以2为公比的等比数列，求得n a ，n S ，再由此求得n b ，运用分组求和法和等比数列的求和公式可求得n T . （2）由（1）将不等式转化为132074>642n n m ---⨯，再令13202n n n c --=，作+12233n nn n c c --=，判断出当8n =时，n c 取得最大值132，由此得174>6432m -⨯，求解即可. (1)解：因为1a ，n a ，n S 为等差数列，所以12+n n a a S =，所以+11+12+n n a a S =，两式相减得+1+122n n n n a a S S -=-，即+12n n a a =，所以数列{}n a 是以2为公比的等比数列， 又16b =，14n n nb S a =++，所以11164a a =++，解得11a =，所以12n na ，12112122n n n S -⨯-=--=，所以1111242+3212n nn n n b --=++=+-，所以212112111112+32+32+++++3+22+2n n n n T b b b ---++⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭⎝⎭()21112+221++2++++32n n n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭111112222+311212nn n --⨯-=+--⨯ +1112+32n n n -=-， 所以+1112+32n n n n T -=-； (2)解：由（1）得不等式为132072464n n m ---<，整理得132074>642n n m ---⨯， 令13202n n n c --=，则()+113+122203202332n nn n nn n n c c -----=-=， 所以当07n <≤，*N n ∈时，+1>0n n c c -，即+1>n n c c ，当>7n ，*N n ∈时，+10n n c c -<，即+1n n c c <，所以当8n =时，n c 取得最大值88138201232c -⨯-==， 所以174>6432m -⨯，即74>2m -，解得6>7m .所以实数m 的取值范围为6>7m .19．现有混在一起质地均匀且粗细相同的长度分别为1m ､2m ､3m 的钢管各3根（每根钢管附有不同的编号），现随机抽取4根（假设各钢管被抽取的可能性是相等的），再将抽取的这4根首尾相接焊成笔直的一根.(1)记事件A =“抽取的4根钢管中恰有2根长度相同”，求()P A ；(2)若用ξ表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计），27ηλξ=-，()1E η>，求ξ的分布列和实数λ的取值范围.【答案】(1)914(2)分布列见解析；12λ>【分析】（1）由古典概型概率计算公式给求出()P A ；（2）ξ可能的取值为5,6,7,8,9,10,11，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及E （ξ），再根据()()271E E ηλξ=->列不等式计算即可. (1)由已知()1211333349()914C C C C C P A ⋅⨯==；(2)由已知ξ可能的取值有5,6,7,8,9,10,11，则()()1349151142C P P C ξξ=====，()()22133349261021C C C P P C ξξ+=====，()()121133334957921C C C C P P C ξξ+=====，()211223333349287C C C C C P C ξ+===，∴ξ的分布列为()125252156789101184221217212142E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， ()()()27271671E E E ηλξλξλ∴=-=-=->，解得12λ>20．在如图所示的三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为菱形，160ABB ∠=︒，AB =BC =4AC =，1BB AC ⊥.(1)求证：平面11BB C C ⊥平面11ABB A ； (2)求平面11A BC 与平面ABC 的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 132001【分析】（1）连接1AB ，取1BB 的中点O ，连接,OA OC ，结合已知可得1BB OC ⊥，由已知的数据通过计算可得222OA OC AC +=，从而得OC OA ⊥，由线面垂直的判定定理可得OC ⊥平面11ABB A ，再由面面垂直的判定定理可证得结论，（2）以O 为原点，,,OA OB OC 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可 (1)连接1AB ，取1BB 的中点O ，连接,OA OC ， 因为四边形11ABB A 为菱形，160ABB ∠=︒， 所以1AB B 为等边三角形，所以1BB OA ⊥， 因为1BB AC ⊥，AC OA A ⋂=， 所以1BB ⊥平面AOC ， 因为OC ⊂平面AOC ， 所以1BB OC ⊥，在等边1AB B 中，22AB = 所以22606OA =︒=在Rt OBC 中，3BC =2OB 所以10OC =因为4AC =，所以222OA OC AC +=，所以OC OA ⊥， 因为1OA BB O =，所以OC ⊥平面11ABB A ， 因为OC ⊂平面11BB C C ， 所以平面11BB C C ⊥平面11ABB A ， (2)由（1）可知,,OA OB OC 两两垂直，所以以O 为原点，,,OA OB OC 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则11(6,22,0),2,0),(0,22,10)A B C --， 所以111(6,0,10),(0,32,10)AC BC =-=- 设(,,)m x y z =为平面11A BC 的一个法向量，则111610032100m AC x z m BC z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令33z =(35,15,33)m =， 设(,,)n a b c =为平面ABC 的一个法向量，由(6,0,0),2,0),10)A B C ，得(6,2,0),(0,2,10)AB BC =-=-， 则6202100n AB a b n BC b c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令5a =，则(5,53,15)n =，设平面11A BC 与平面ABC 的夹角为θ，由图可知θ为锐角，则 15515595132001cos 451527257515m n m nθ⋅++===++⋅++21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为13e =，A ，B 为其左､右顶点，1F ，2F为其左､右焦点，以线段12F F 为直径的圆与直线:0l x y +相切，点P 是椭圆C 上的一个动点（P 异于A ，B 两点），点Q 与点P 关于原点对称，分别连接AP ，2QF 并延长交于点M ，连接2PF 并延长交椭圆C 于点N ，记△2AF M 的面积与2AF N △的面积分别为1S ，2S .(1)求椭圆C 的标准方程； (2)若1225S S =，求点P 的坐标.【答案】(1)22198x y(2)(0,P ±【分析】（1）利用原点到直线:0l x y ++=的距离为c ，求出c 值，再利用离心率13e =，求出a 值，最后利用222b a c =-求出2b 的值，即可求解；（2）设点P 坐标为(),m n ，分别求出直线AP 和直线2QF 的方程，然后联立求出点M 的坐标，利用1225S S =的关系求出点N 的纵坐标，利用点P 、2F 、N 三点共线求出点N 的横坐标，最后利用点N ，点P 在椭圆上，构造方程组即可解得m 、n 的值. (1)∵以线段12F F 为直径的圆与直线:0l x y ++=相切，∴原点到直线:0l x y +=的距离为c ，即1c ==，又∵13c e a ==，∴3a =，即2228b a c =-=， 故椭圆C 的标准方程为22198x y ;(2)设点P 坐标为(),m n ，由()30A -,得，直线AP 的方程为()33ny x m =++（其中3m ≠-，0n ≠）， ∵点Q 与点P 关于原点对称，∴点Q 的坐标为(),m n --， 则直线2QF 的方程为()11ny x m =-+, 将两直线方程联立得()23,2M m n +， 又∵1225S S =，∴1252M N y S S y ==,即252N n y =，45N n y =， 点P 和点N 分别位于x 轴的两侧，则45N ny =-， ∵点P 、2F 、N 三点共线，∴2PF ∥2F N , 即()21,PF m n =--，()21,N N F N x y =-,()()()110N N m y x n ----=，9455Nxm =-，故944,555n N m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭, ∵点N 在椭圆上，∴2219414+=195585n m ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又∵点P 也在椭圆上，∴22198m n +=， 以上两个方程联立求解得0m =，n =±则存在点(0,P ±，使得1225S S =.22．已知()()ln f x ax b x =+-，其中0a >，0b >. (1)求()f x 在[)0,∞+上为减函数的充要条件；(2)求()2y f x =在(),-∞+∞上的最大值；(3)解关于x的不等式：(ln 11ln 2+. 【答案】(1)0a b <≤ (2)maxln ,0ln ,b a b y a b a a b a <≤⎧⎪=-⎨->⎪⎩(3)8x k x k πππ⎧-≤≤⎨⎩或3,48k x k k Z ππππ⎫+≤≤+∈⎬⎭ 【分析】（1）先对函数求导，然后由'()0f x ≤可求出结果，（2）设2[0,)x t =∈+∞，则问题转化为求()y f t =在[0,)t ∈+∞上的最大值，然后分0a b <≤和a b >两种情况求()f t 的最大值即可，（3）取1a b ==，则()ln(1)f x x x =+-，由（1）可知()f x 在[0,)+∞上为减函数，将原不等式转化为(1)f f ≥1≤，进而可求得结果 (1)由()()ln f x ax b x =+-，得'()1a a b axf x ax b ax b--=-=++，[0,)x ∈+∞， 充分性：因为0,0,0x a b ≥>>，所以当'()0f x ≤时，0a b -≤，即0a b <≤，必要性：当0a b <≤时，因为0,0,0x a b ≥>>，所以0,0ax b a b ax +>--≤，即'()0f x ≤， 所以()f x 在[)0,∞+上为减函数的充要条件为0a b <≤， (2)设2[0,)x t =∈+∞，则问题转化为求()y f t =在[0,)t ∈+∞上的最大值，由（1）可知，当0a b <≤时，()f t 在[0,)t ∈+∞上为减函数，所以max (0)ln y f b ==，当a b >时，'()1a a b atf t at b at b--=-=++， 由于0a b t a -≤<时，()0f t '>，则()f t 在0,a b a -⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为增函数，当a b t a ->时，'()0f t <，则()f t 在,a b a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数， 所以max ln a b a b y f a a a --⎛⎫==-⎪⎝⎭， 综上，max ln ,0ln ,b a by a b a a b a <≤⎧⎪=-⎨->⎪⎩(3)取1a b ==，则()ln(1)f x x x =+-，由(ln 11ln 2+≥，得(ln 1ln 21≥-，所以(1)ff ≥，由（1）可知()f x 在[0,)+∞上为减函数，1≤，所以sin 2cos 20sin 2cos 21x x x x +≥⎧⎨+≤⎩，即204214x x ππ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，解得22244k x k ππππ≤+≤+或322244k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈， 所以8k x k πππ-≤≤或348k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，所以不等式的解集为8x k x k πππ⎧-≤≤⎨⎩或3,48k x k k Z ππππ⎫+≤≤+∈⎬⎭ 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数与函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查利用导数解不等式，解题的关键是令1a b ==，将原函数转化为()ln(1)f x x x =+-，从而将原不等式转化为(1)ff ≥，再利用函数的单调性可求得结果，考查了数学转化思和计算能力，属于较难题。
山东省青岛市高三上学期期末数学试卷(理科)
山东省青岛市高三上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）(2017·新课标Ⅲ卷文) 函数f（x）= sin（x+ ）+cos（x﹣）的最大值为（）A .B . 1C .D .2. （2分） (2017高一上·葫芦岛期末) 在三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长为3的正三角形，侧棱SA⊥底面ABC，若三棱锥的外接球的体积为36π，则该三棱锥的体积为（）A .B .C .D .3. （2分） (2018·大新模拟) 在某校高三年级的高考全真模拟考试中，所有学生考试成绩的取值 (单位:分)是服从正态分布的随机变量，模拟“重点控制线”为490分（490分及490分以上都是重点），若随机抽取该校一名高三考生，则这位同学的成绩不低于“重点控制线”的概率为（）(附：若随机变量服从正态分布，则，， )A . 0.6826B . 0.6587C . 0.8413D . 0.34134. （2分）平面，直线，且，则与（）A .B . 与斜交C .D . 位置关系不确定5. （2分） (2016高三上·贵阳模拟) 阅读右边的程序，若输出的y=3，则输入的x的值为（）A . 1B . 2C . ±2D . 1或26. （2分）(2017·衡阳模拟) 将一条均匀木棍随机折成两段，则其中一段大于另一段三倍的概率为（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高二下·九江期末) 设（2x+ ）6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6 ，则（a0+a2+a4+a6）2﹣（a1+a3+a5）2的值为（）A . ﹣1B . 1C . 2D . ﹣28. （2分）已知两点，过动点作轴的垂线，垂足为，若，当时，动点的轨迹为（）A . 圆B . 椭圆C . 双曲线D . 抛物线9. （2分）函数f（x））满足（x+2）= ，若f（1）=2，则f（99）=（）A . 1B . 3C .D .10. （2分） (2016高一上·普宁期中) 下列各图中，不能是函数f（x）图象的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）(2016·安庆模拟) 有5名优秀毕业生到母校的3个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为________．12. （1分） (2017高一上·建平期中) 若不等式的解集为（1，2），则实数a的值是________．13. （1分） (2017高二上·南阳月考) ，为两个定点，是的一条切线，若过两点的抛物线以直线为准线，则该抛物线的焦点的轨迹方程是________．14. （1分）数列的通项公式为，对于任意自然数，数列都是递增数列，则实数的取值范围为________．15. （1分）一件工作可以用两种方法完成，有5人会用第1种方法完成，有4人会用第2种方法完成，从中选1人来完成这件工作，不同选法的总数是________．三、解答题 (共8题；共60分)16. （10分） (2017高二下·定州开学考) 为方便市民休闲观光，市政府计划在半径为200米，圆心角为120°的扇形广场内（如图所示），沿△ABC边界修建观光道路，其中A、B分别在线段CP、CQ上，且A、B两点间距离为定长米．（1）当∠BAC=45°时，求观光道BC段的长度；（2）为提高观光效果，应尽量增加观光道路总长度，试确定图中A、B两点的位置，使观光道路总长度达到最长？并求出总长度的最大值．17. （5分） (2017·昌平模拟) 从某校随机抽取部分男生进行身体素质测试，获得掷实心球的成绩数据，整理得到数据分组及频率分布表，成绩在11.0米（精确到0.1米）以上（含）的男生为“优秀生”．分组（米）频数频率[3.0，5.0）0.10[5.0，7.0）0.10[7.0，9.0）0.10[9.0，11.0）0.20[11.0，13.0）0.40[13.0，15.0）10合计 1.00（Ⅰ）求参加测试的男生中“优秀生”的人数；（Ⅱ）从参加测试男生的成绩中，根据表中分组情况，按分层抽样的方法抽取10名男生的成绩作为一个样本，再从该样本中任选2名男生的成绩，求至少选出1名男生的成绩不低于13.0米的概率；（Ⅲ）若将这次测试的频率作为概率，从该校全体男生中随机抽取3人，记X表示3人中“优秀生”的人数，求X的分布列及数学期望．18. （10分） (2017高三上·伊宁开学考) 过P（2，1）且两两互相垂直的直线l1 ， l2分别交椭圆 +=1于A，B与C，D．（1）求|PA|•|PB|的最值；（2）求证： + 为定值．19. （5分）(2017·福州模拟) 如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1B1B为正方形，BB1C1C为菱形，B1C⊥AC1 ．（Ⅰ）求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）若D是CC1中点，∠ADB是二面角A﹣CC1﹣B的平面角，求直线AC1与平面ABC所成角的余弦值．20. （10分）已知函数f（x）=lnx+ax．（1）若函数f（x）在x=1处的切线方程为y=2x+m，求实数a和m的值；（2）若函数f（x）在定义域内有两个不同的零点x1，x2，求实数a的取值范围．21. （5分）(2017·泰州模拟) 设矩阵M= ，N= ，若MN= ，求矩阵M的逆矩阵M﹣1 ．22. （5分）求直线l1：（t为参数）与直线l2：2x﹣4y=5的交点B的坐标，及点B与A（1，2）的距离．．23. （10分） (2016高二下·芒市期中) 已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共8题；共60分) 16-1、16-2、17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、23-1、23-2、。
山东省青岛市城阳区高三上学期学分认定考试(期末)数学(文)试题
第一学期学分认定考试高三数学(文)试题2018．01 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．填空题和解答题的作答：第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔(中性笔)作答。
答案必须写在答题纸指定区域；如需改动，先划掉原来的解答，然后再写上新的解答；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．公式：1．线性回归方程错误！未找到引用源。
的系数公式错误！未找到引用源。
2．独立性检验统计量错误！未找到引用源。
3．临界值表：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．z为虚数，i为虚数单位，若错误！未找到引用源。
A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
2．已知集合错误！未找到引用源。
，则下列说法错误的．．．是A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
3．数列错误！未找到引用源。
为等差数列，错误！未找到引用源。
为其前n项和，错误！未找到引用源。
的最大值为A．477 B．456 C．459 D．4324．阅读右侧框图，输出的结果为A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
5．在平面直角坐标系中，动点错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
，则z的最大值为A．0 B．错误！未找到引用源。
C．1 D．错误！未找到引用源。
山东省青岛二中高三数学上学期期末考试试卷 文(含解析)
2014-2015学年山东省青岛二中高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合，则A∩B=( )A．（0，1）B．（0，1]C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，0）∪（0，1）2．已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则z的共轭复数是( )A．2﹣iB．2+iC．1+2iD．1﹣2i3．已知实数﹣1，x，y，z，﹣4成等比数列，则xyz=( )A．﹣8B．±8C．D．4．已知，则sin2α等于( )A．B．C．D．5．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数为( )①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；②若m∥l，且m∥α，则l∥α；③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n；④若α∩β=m，β∩γ=l，γ∩α=n，且n∥β，则l∥m．A．1B．2C．3D．46．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为( )A．3B．4C．5D．67．定义域为R的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）=x2﹣x，则当x∈[﹣1，0]时，f（x）的最小值为( )A．﹣B．﹣C．0D．8．已知e是自然对数的底数，函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式成立的是( )A．f（1）＜f（a）＜f（b）B．f（a）＜f（b）＜f（1）C．f（a）＜f（1）＜f（b）D．f（b）＜f（1）＜f（a）9．已知不等式|y+4|﹣|y|≤2x+对任意实数x，y都成立，则常数a的最小值为( )A．1B．2C．3D．410．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积9π，则p=( )A．2B．4C．3D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上）11．如图，某几何体的三视图均为边长为1的正方形，则该几何体的体积是__________．12．已知=（2，1），=（1，﹣3），若=+2，=2﹣x，且⊥，则x=__________．13．已知点P的坐标（x，y）满足过点P的直线l与圆C：x2+y2=14交于M、N两点，那么|MN|的最小值是__________．14．若函数f（x）=x3+x2﹣ax在区间（1，+∞）上单调递增，且在区间（1，2）上有零点，则实数a的取值范围是__________．15．设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为__________．三．解答题（本大题共6小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．某市有M，N，S三所高校，其学生会学习部有“干事”人数分别为36，24，12，现采用分层抽样的方法从这些“干事”中抽取6名进行“大学生学习部活动现状”调查．（Ⅰ）求应从M，N，S这三所高校中分别抽取的“干事”人数；（Ⅱ）若从抽取的6名干事中随机选2，求选出的2名干事来自同一所高校的概率．17．已知函数f（x）=2sin2（x+）﹣cos2x，x∈[，]．设x=α时f（x）取到最大值．（1）求f（x）的最大值及α的值；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=α﹣，且sinBsinC=sin2A，求b﹣c的值．18．如图1，在四棱锥P﹣ABCD中PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，M为侧棱PD上一点．该四棱锥的俯视图与侧（左）视图如图2所示．（Ⅰ）证明：BC⊥平面PBD；（Ⅱ）证明：AM∥平面PBC；（Ⅲ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．19．已知数列{a n}中，a1=t（t为非负常数），数列{a n}的前n项和为S n，且S n满足S n+1=3S n （Ⅰ）当t=1时，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．20．（13分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点与两个焦点构成的三角形周长为6+4．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A，B两点（A，B不是顶点），且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，证明这样的直线l恒过定点，并求出该点坐标．21．（14分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．2014-2015学年山东省青岛二中高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合，则A∩B=( )A．（0，1）B．（0，1]C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，0）∪（0，1）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据对数函数的定义域求出集合A，再根据不等式求出集合B，再利用两个集合的交集的定义求出A∩B．解答：解：集合A={x|y=log2（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}=（﹣∞，1），集合B={x|x2＞0}={x|x≠0}=（﹣∞，0）∪（0，+∞），故集合A∩B=（﹣∞，0）∪（0，1）故选D．点评：本题主要考查对数函数的定义域，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2．已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则z的共轭复数是( )A．2﹣iB．2+iC．1+2iD．1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接由复数代数形式的除法运算化简复数z，则z的共轭复数可求．解答：解：∵（1+2i）z=4+3i，∴，则z的共轭复数是2+i．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了共轭复数的求法，是基础题．3．已知实数﹣1，x，y，z，﹣4成等比数列，则xyz=( )A．﹣8B．±8C．D．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由等比数列的性质可得y2=xz=（﹣1）（﹣4），解方程易得答案．解答：解：由等比数列的性质可得y2=xz=（﹣1）（﹣4），解得xz=4，y=﹣2，（y=2时，和x2=﹣y矛盾），∴xyz=﹣8．故选：A点评：本题考查等比数列的性质，属基础题．4．已知，则sin2α等于( )A．B．C．D．考点：二倍角的余弦；诱导公式的作用；两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简已知的等式，整理后求出tanα的值，然后将所求的式子分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化为sin2α+cos2α，分子利用二倍角的正弦函数公式化简，然后分子分母同时除以cos2α，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tanα的值代入即可求出值．解答：解：∵tan（α﹣）==，∴tanα=2，则sin2α====．故选C点评：此题考查了二倍角的正弦函数公式，两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．5．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数为( )①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；②若m∥l，且m∥α，则l∥α；③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n；④若α∩β=m，β∩γ=l，γ∩α=n，且n∥β，则l∥m．A．1B．2C．3D．4考点：平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：①根据两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，判断①；②根据直线与平面平行的判定定理，得出②错误；③根据空间中的线面平行关系，判断③错误；④根据空间中的线面平行关系，得出④正确．解答：解：对于①，当m∥l，m⊥α时，l⊥α，∴①正确；对于②，当m∥l，m∥α时，l∥α，或l⊂α，∴②错误；对于③，当α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n时，l∥m∥n，或l、m、n交于一点，∴③错误；对于④，当α∩β=m，β∩γ=l，γ∩α=n，且n∥β时，l∥m，∴④正确．综上，正确的命题为①④．故选：B．点评：本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了数学符号语言的应用问题，是基础性题目．6．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为( )A．3B．4C．5D．6考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据程序框图，运行相应的程序，写出每次循环i，a的值，判断a＞50满足时，输出i的值即可．解答：解：运行相应的程序，有a=1，i=0，i=1，a=2，a＞50不成立，有i=2，a=5，a＞50不成立，有i=3，a=16，a＞50不成立，有i=4，a=65，a＞50成立，输出i的值为4．故选：B．点评：本题主要考察程序框图和算法，属于基础题．7．定义域为R的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）=x2﹣x，则当x∈[﹣1，0]时，f（x）的最小值为( )A．﹣B．﹣C．0D．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：设x∈[﹣1，0]，则x+1∈[0，1]，故由已知条件求得 f（x）==，再利用二次函数的性质求得函数f（x）的最小值．解答：解：设x∈[﹣1，0]，则x+1∈[0，1]，故由已知条件可得f（x+1）=（x+1）2﹣（x+1）=x2+x=2f（x），∴f（x）==，故当x=﹣时，函数f（x）取得最小值为﹣，故选：A．点评：本题主要考查求函数的解析式，二次函数的性质应用，属于基础题．8．已知e是自然对数的底数，函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式成立的是( )A．f（1）＜f（a）＜f（b）B．f（a）＜f（b）＜f（1）C．f（a）＜f（1）＜f（b）D．f（b）＜f（1）＜f（a）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：首先判断两个函数的单调性，再由定义知f（a）=0，f（1）=e+1﹣2＞0，g（b）=0，g（1）=0+1﹣2＜0，从而可判断0＜a＜1＜b；从而再利用单调性判断大小关系．解答：解：易知函数f（x）=e x+x﹣2在R上是增函数，g（x）=lnx+x﹣2在R上也是增函数；又∵f（a）=0，f（1）=e+1﹣2＞0，g（b）=0，g（1）=0+1﹣2＜0，∴0＜a＜1＜b；故f（a）＜f（1）＜f（b）；故选C．点评：本题考查了函数的单调性的判断与应用及函数零点的判定定理的应用，属于基础题．9．已知不等式|y+4|﹣|y|≤2x+对任意实数x，y都成立，则常数a的最小值为( )A．1B．2C．3D．4考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：令f（y）=|y+4|﹣|y|，利用绝对值不等式可得|y+4|﹣|y|≤|y+4﹣y|=4，从而将问题转化为2x+≥f（y）max=4，令g（x）=﹣（2x）2+4×2x，则a≥g（x）max=4，从而可得答案．解答：解：令f（y）=|y+4|﹣|y|，则f（y）≤|y+4﹣y|=4，即f（y）max=4．∵不等式|y+4|﹣|y|≤2x+对任意实数x，y都成立，∴2x+≥f（y）max=4，∴a≥﹣（2x）2+4×2x=﹣（2x﹣2）2+4恒成立；令g（x）=﹣（2x）2+4×2x，则a≥g（x）max=4，∴常数a的最小值为4，故选：D．点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查化归思想与构造函数思想，突出恒成立问题的考查，属于中档题．10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积9π，则p=( )A．2B．4C．3D．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值．解答：解：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径∵圆面积为9π，∴圆的半径为3又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，∴+=3∴p=4故选：B．点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查学生的计算能力，属于基础题．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上）11．如图，某几何体的三视图均为边长为1的正方形，则该几何体的体积是或．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：先由三视图判断几何体的形状，画出其直观图，再利用正方体的体积减去棱锥的体积求得．解答：解：由三视图知，几何体有两种情况，如图：几何体为边长为1的正方形消去一个三棱锥或消去两个三棱锥，三棱锥的体积V==，∴几何体的体积为或．故答案是或．点评：本题考查由三视图求几何体的体积．12．已知=（2，1），=（1，﹣3），若=+2，=2﹣x，且⊥，则x=．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据平面向量的坐标运算，利用两向量垂直，数量积为0，列出方程，求出x的值．解答：解：∵=（2，1），=（1，﹣3），∴=+2=（4，﹣5），=2﹣x=（4﹣x，2+3x），又⊥，∴•=4（4﹣x）﹣5（2+3x）=0；解得x=．故答案为：．点评：本题考查了平面向量的坐标运算问题，也考查了平面向量的数量积的应用问题，是基础题目．13．已知点P的坐标（x，y）满足过点P的直线l与圆C：x2+y2=14交于M、N两点，那么|MN|的最小值是4．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，欲求|MN|的最小值，只需求出经过可行域的点的直线在圆上所截弦长何时取最大值即可．解答：解：先根据约束条件画出可行域，当直线l过点A（1，3）时，A点离圆心最远，此时截得的弦MN最小，最小值是4，故填4．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．14．若函数f（x）=x3+x2﹣ax在区间（1，+∞）上单调递增，且在区间（1，2）上有零点，则实数a的取值范围是＜a≤3．考点：函数零点的判定定理．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：求出f′（x）=x2+2x﹣a，根据函数性质，和零点的判断方法得，f′（1）=3﹣a≥0，f（1）f（2）＜0，求解不等式即可．解答：解：∵函数f（x）=x3+x2﹣ax，∴f′（x）=x2+2x﹣a，∵对称轴x=﹣1，f′（1）=3﹣a≥0，∴a≤3，∵在区间（1，2）上有零点，∴f（1）f（2）＜0，∴＜a＜．∴实数a的取值范围是＜a≤3，故答案为：＜a≤3点评：本题考查了函数的单调性，零点的判断方法，属于中档题．15．设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的定义求出|PF1|，|F1F2|，|PF2|，然后利用最小内角为30°结合余弦定理，求出双曲线的离心率．解答：解：因为F1、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|+|PF2|=6a，不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a所以|F1F2|=2c，|PF1|=4a，|PF2|=2a，∵△PF1F2的最小内角∠PF1F2=30°，由余弦定理，∴|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2﹣2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，即4a2=4c2+16a2﹣2c×4a×，∴c2﹣2ca+3a2=0，∴c= a所以e==．故答案为：．点评：本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．三．解答题（本大题共6小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．某市有M，N，S三所高校，其学生会学习部有“干事”人数分别为36，24，12，现采用分层抽样的方法从这些“干事”中抽取6名进行“大学生学习部活动现状”调查．（Ⅰ）求应从M，N，S这三所高校中分别抽取的“干事”人数；（Ⅱ）若从抽取的6名干事中随机选2，求选出的2名干事来自同一所高校的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）求出抽样比，即可从M，N，S这三所高校中分别抽取的“干事”人数；（Ⅱ）在抽取到的6名干事中，来自高校M的3名分别记为1、2、3，来自高校N的2名分别记为a、b，来自高校S的1名记为c，写出选出2名干事的所有可能结果，设A={所选2名干事来自同一高校}，写出事件A的所有可能结果，利用古典概型求解即可．解答：解：（Ⅰ）抽样比为：，故应从M，N，S这三所高校抽取的“干事”人数分别为3，2，1；（Ⅱ）在抽取到的6名干事中，来自高校M的3名分别记为1、2、3，来自高校N的2名分别记为a、b，来自高校S的1名记为c，则选出2名干事的所有可能结果为：{1，2}，{1，3}，{1，a }，{1，b }，{1，c}，{2，3}，{2，a}，{2，b}，{2，c}，{3，a}，{3，b }，{3，c }，{ a，b }，{ a，c }，{ b，c}共15种．设A={所选2名干事来自同一高校}，事件A的所有可能结果为{1，2}，{1，3}，{2，3}，{a，b}，共4种，所以．点评：本题考查古典概型的应用，分层抽样，基本知识的考查，是高考文科概率考试类型题目．17．已知函数f（x）=2sin2（x+）﹣cos2x，x∈[，]．设x=α时f（x）取到最大值．（1）求f（x）的最大值及α的值；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=α﹣，且sinBsinC=sin2A，求b﹣c的值．考点：正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值．分析：（1）利用二倍角公式对函数解析式化简利用x的范围判断出2x﹣的范围，利用正弦函数的性质求得函数的最大值及α的值．（2）利用正弦定理把已知角的正弦等式转化成变化的等式，进而利用余弦定理求得b﹣c 的值．解答：解：（1）依题．又，则，故当即时，f（x）max=3．（2）由（1）知，由sinBsinC=sin2A即bc=a2，又a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc，则b2+c2﹣bc=bc即（b﹣c）2=0，故b﹣c=0．点评：本题主要考查了余弦定理的应用，三角函数图象与性质．是对三角函数基础知识的综合考查．18．如图1，在四棱锥P﹣ABCD中PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，M为侧棱PD上一点．该四棱锥的俯视图与侧（左）视图如图2所示．（Ⅰ）证明：BC⊥平面PBD；（Ⅱ）证明：AM∥平面PBC；（Ⅲ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）利用俯视图和勾股定理的逆定理可得BC⊥BD，利用线面垂直的性质定理可得BC⊥PD，再利用线面垂直的判定定理即可证明；（Ⅱ）取PC上一点Q，使PQ：PC=1：4，连接MQ，BQ．利用左视图和平行线分线段成比例的判定和性质即可得出MQ∥CD，MQ=CD．再利用平行四边形的判定和性质定理即可得出AM∥BQ，利用线面平行的判定定理即可证明．（Ⅲ）利用棱锥的体积公式，即可求四棱锥P﹣ABCD的体积．解答：（Ⅰ）证明：由俯视图可得，BD2+BC2=CD2，∴BC⊥BD．又∵PD⊥平面ABCD，∴BC⊥PD，又∵BD∩PD=D，∴BC⊥平面PBD．（Ⅱ）证明：取PC上一点Q，使PQ：PC=1：4，连接MQ，BQ．由左视图知 PM：PD=1：4，∴MQ∥CD，MQ=CD．在△BCD中，易得∠CDB=60°，∴∠ADB=30°．又 BD=2，∴AB=1，AD=．又∵AB∥CD，AB=CD，∴AB∥MQ，AB=MQ．∴四边形ABQM为平行四边形，∴AM∥BQ．∵AM⊄平面PBC，BQ⊂平面PBC，∴直线AM∥平面PBC．（Ⅲ）解：∵底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD，AD⊥AB，AB=1，CD=4，AD=，∴S ABCD=，∵PD⊥底面ABCD，PD=4，∴V=•S ABCD•PD==．点评：熟练掌握由三视图得到线面位置关系和数据、线面垂直的判定和性质定理、线面平行的判定和性质定理、求四棱锥P﹣ABCD的体积是解题的关键．19．已知数列{a n}中，a1=t（t为非负常数），数列{a n}的前n项和为S n，且S n满足S n+1=3S n （Ⅰ）当t=1时，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）由S n+1=3S n，可知数列{S n}是首项为1，公比为3的等比数列，即可得出S n．当n≥2时，利用a n=S n﹣S n﹣1即可得出．（II）由（I）可得：b n=．当n=1时，T1=t．当n≥2时，T n=t+2t（2+3×3+4×32+…+n•3n﹣2），再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（I）由S n+1=3S n，可知数列{S n}是首项为1，公比为3的等比数列，∴S n=3n﹣1．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=3n﹣1﹣3n﹣2=2×3n﹣2．∴a n=．（II）由（I）可得：b n=．∴当n=1时，T1=t．当n≥2时，T n=t+2t（2+3×3+4×32+…+n•3n﹣2），3T n=3t+2t[2×3+3×32+…+（n﹣1）•3n﹣2+n•3n﹣1]，∴﹣2T n=﹣2t+2t（2+3+32+…+3n﹣2﹣n•3n﹣1）=﹣2t+2t=t（1﹣2n）•3n﹣1﹣t，∴T n=．当t=1时，上式也成立．∴T n=．点评：本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．20．（13分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点与两个焦点构成的三角形周长为6+4．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A，B两点（A，B不是顶点），且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，证明这样的直线l恒过定点，并求出该点坐标．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）由题意可得：2a+2c=6+4，=，又a2=b2+c2，联立解出即可得出．（II）由题意可得：直线l的斜率不为0，设直线l的方程为：x=my+n，与椭圆方程联立化为（m2+9）y2+2mny+n2﹣9=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由于以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，可得CA⊥CB，=0，即（my1+n﹣3）（my2+n﹣3）+y1y2=0，化简整理代入根与系数的关系即可得出．解答：解：（I）由题意可得：2a+2c=6+4，=，又a2=b2+c2，解得a=3，b=1，c=2，∴椭圆M的方程为+y2=1．（II）由题意可得：直线l的斜率不为0，设直线l的方程为：x=my+n，联立，化为（m2+9）y2+2mny+n2﹣9=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=．∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，∴CA⊥CB．∴=0，∴（x1﹣3）（x2﹣3）+y1y2=0，∴（my1+n﹣3）（my2+n﹣3）+y1y2=0，化为（m2+1）y1y2+m（n﹣3）（y1+y2）+（n﹣3）2=0，∴++（n﹣3）2=0，解得n=3或n=，n=3舍去；n=，直线AB经过定点，满足与椭圆有两个交点．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系、直线过定点问题、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（14分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求函数的导函数f′（x），再求所求切线的斜率即f′（0），由于切点为（0，0），故由点斜式即可得所求切线的方程；（2）先求原函数的导数得：f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna，再对a进行讨论，得到f'（x）＞0，从而函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．（3）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f （﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．解答：解：（1）∵f（x）=a x+x2﹣xlna，∴f′（x）=a x lna+2x﹣lna，∴f′（0）=0，f（0）=1即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（2）由于f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna＞0①当a＞1，y=2x单调递增，lna＞0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna 单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；（3）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna，记g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0），因为g′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0（当t=1时取等号），所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）（14分）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1⇒+lna≥e﹣1⇒0＜a≤，综上知，所求a的取值范围为a∈（0，]∪[e，+∞）．（16分）点评：本题考查了基本函数导数公式，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性及利用导数求闭区间上函数的最值．属于中档题．。
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- 1 - 山东省青岛市2015届高三上学期期末考试 数学试题 第I卷（选择题 共50分） 一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项只有一个是符合题目要求的.
1. 已知集合213,,12xUMyyxxRNxyMCN，则， A. 0， B. 03， C. 03， D.
2.若复数12aii是纯虚数，则实数a的值为 A. 2 B. 12 C. 2 D. 1 3.圆2211xy和圆222440xyxy的位置关系为 A.相交 B.相切 C.相离 D.以上都有可能
4.已知函数lnxfxe，则函数1yfx的大致图象为 下5.列命题： ①
4k是方程2224380xykxyk表示圆的充要条件；
②把sinyx的图象向右平移3单位，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到函数sin23yx
的图象；
③函数sin2036fxx在，上为增函数； - 2 -
④椭圆2214xym的焦距为2，则实数m的值等于5. 其中正确命题的序号为 A.①③④ B.②③④ C.②④ D.② 6.一个几何体的的三视图如右图所示，则该几何体的体积为
A. 2 B.13 C. 23 D. 43 7.如果执行如图的程序框图，那么输出的值是 A. 2016 B. 2
C. 12 D. 1 8.函数2ln1fxxx的零点所在的大致区间是
A. 0,1 B. 1,2 C. 2,eD. 3,4
9.已知2280,02yxxymmxy，若恒成立，则实数m的取值范围是
A. 42mm或 B. 24mm或 C. 24m D. 42m
10.已知函数1fx是偶函数，当121xx时，21210fxfxxx恒成立，设1,2,32afbfcf
，则,,abc的大小关系为
A. bac B. cba C. bca D. abc
第II卷（非选择题 共100分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11.设非负实数,xy满足10330xyxy且，则4zxy的最大值为_______. - 3 -
12.观察式子2222221311511171,1,1...222332344则可归纳出关于正整数,2nnNn
的式子为__________________.
13.椭圆22162xy与双曲线22213xyb有公共的焦点12FF，，则双曲线的渐近线方程为________.
14.若平面向量222log,1,log,2logaxbxxrr，则0abrrg的实数x的集合为___.
15. 22113fxaxxx在，上恒为单调递增函数，则实数a的取值范围________. 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）
已知直线两直线121:cos10:sin,26lxylyxABC；中，内角A，B，C对边分别为,,23,4=abcacA，，且当时，两直线恰好相互垂直； （I）求A值；
（II）求b和ABC的面积 17. （本小题满分12分） 右图为某校语言类专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80~90分数段的学员数为21人 （I）求该专业毕业总人数N和90~95分数段内的人数n； （II）现欲将90~95分数段内的n名人分配到几所学校，从中安排2人到甲学校去，若n人中仅有两名男生，求安排结果至少有一名男生的概率； 18. （本小题满分12分）
如图，ABCD为梯形，PD平面ABCD，AB//CD，=ADC=90BADo 22,3,3DCABaDAaPDa，E
为BC中点
（I）求证：平面PBC平面PDE； （II）线段PC上是否存在一点F，使PA//平- 4 -
面BDF？若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由. 19. （本小题满分12分）
已知nS是等差数列na的前n项和，数列nb是等比数列，151,12ba恰为421Sb与的等比中项，圆222:22nCxnySn，直线:lxyn，对任意nN，直线l都与圆C相切.
（I）求数列nnab，的通项公式； （II）若对任意,,nnnnnNcabc求的前n项和nT的值. 20. （本小题满分13分）
已知221,ln1,1gxbxcxfxxaxxgxx在处的切线为2yx （I）求,bc的值； （II）若1afx，求的极值； （III）设hxfxgx，是否存在实数,0,,axe当（2.718e，为自然常数）时，函数hx的最小值为3. 21. （本小题满分14分）
已知抛物线21:2Cypx上一点03My，到其焦点F的距离为4；椭圆22222
10yxCabab：
的离心率22e，且过抛物线的焦点F.
（I）求抛物线1C和椭圆2C的标准方程； （II）过点F的直线1l交抛物线1C于A、B两不同点，交y轴于点N，已知NAAFNBBFuuruuuruuuruuur，，求证：为定值.
（III）直线2l交椭圆2C于P，Q两不同点，P，Q在x轴的射影分别为P，Q， 10OPOQOPOQuuuruuuruuuruuurgg，若点S满足：OSOPOQuuruuuruuur，
证明：点S在椭圆2C上. - 5 -
第一学期学分认定考试 高三数学（文）试题 2015.01
第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的． 1-5 CCADD 6-10 CBBDA 第Ⅱ卷（非选择题 共100分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11． 4 12． 22221111211...234nnn 13． 33yx 14． 1(,4)2 15． [1,) 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤． 16．（本小题满分12分）
解：(Ⅰ)当A时，直线 121:cos10;:sin()26lxylyx的斜率分别为122cos,sin()6kAkA，两直线相互垂直
所以12(2cos)sin()16kkAA 即1cossin()62AA 可得1cos(sincoscossin)662AAA 所以2311sincoscos222AAA，所以311cos21sin2()4222AA 即31cos2sin2122AA 即1sin(2)62A…………………………4分 因为0A，022A，所以132666A - 6 -
所以只有5266A 所以3A………………………………6分 (Ⅱ) 23,4,3acA, 所以2222cos3abcbc 即21121682bb，所以2(2)0b 即2b…………………9分 所以ABC的面积为11sin42sin23223ABCSbcA
……
………………12分 17．（本小题满分12分）
(Ⅰ)8090分数段频率
为1(0.040.03)50.35p, 此分数段的学员总数为21人所以毕业生
的总人数N为21600.35N…………3分 9095分数段内的人数
频率为21(0.010.040.050.040.030.01)50.1p所以9095分数段内的人数600.16n………………………6分 (Ⅱ) 9095分数段内的6人中有两名男生,4名女生 设男生为12,AA;女生为1234,,,BBBB,设安排结果中至少有一名男生为事件A 从中取两名毕业生的所有情况(基本事件空间)为
O 频率组距
分数 100 95 90 85 80 75 70 65
y 0.01 0.03 0.04 0.05