江苏省南京市六校联合体2020-2021学年高一下学期期末数学试题 答案和解析
江苏省南京市六校联考2020-2021学年高一下学期期末考试化学试题Word版含答案
南京市六校2020~2021学年度第二学期期末联考高一化学试卷本卷：共100分 考试时间：75分钟可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 O-16 Na-23 S-32 Cl-35.5 Fe-56 Cu-64第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共20小题，每小题3分，共计60 分。
每小题只有一个选项符合题意。
1．绿色化学的核心就是利用化学原理从源头上减少和消除工业生产对环境的污染。
下列 做法不符合绿色化学理念的是A ．研制水溶剂涂料替代有机溶剂涂料B ．用可降解塑料生产包装盒或快餐盒C ．用反应2CH 2==CH 2＋O 2――→Ag制备环氧乙烷D ．用反应Cu ＋2H 2SO 4(浓)=====△CuSO 4＋SO 2↑＋2H 2O 制备硫酸铜 2．化学与生活、生产、环境等密切相关。
下列说法错误的是 A ．棉、丝、毛都是天然有机高分子化合物B ．蛋白质、油脂、糖类一定条件下都能发生水解反应C ．煤的液化、石油的裂化和油脂的皂化都属于化学变化D ．向鸡蛋清溶液中加入硫酸铜产生沉淀，是蛋白质发生了变性 3．下列有关化学用语使用正确的是 A ．乙酸的结构简式：B ．一氯甲烷的电子式：C ．丙烷分子的空间充填模型：D4．常温下，取铝土矿（含有Al 2O 3、FeO 、Fe 2O 3、SiO 2等物质）用硫酸浸出后的溶液， 分别向其中加入指定物质，反应后的溶液中主要存在的一组离子正确的是 A ．加入过量NaOH 溶液：Na +、AlO 2－、OH －、SO 42－B ．加入过量氨水：NH ＋4、Al 3+、OH －、SO 42－C ．通入过量Cl 2：Fe 2+、H +、ClO －、SO 42－D ．加入过量H 2SO 4 溶液：Fe 2+、Na +、NO 3－、SO 42－5．N A 代表阿伏加德罗常数的值，下列说法中正确的是 A ．20g D 2O 中含有的电子数目为9N AB ．标准状况下，11.2L SO 3中含有分子数目为0.5N AC ．1mol CHCH 2中含有碳碳双键的数目为4N AD ．16.8gFe 与足量的水蒸气完全反应转移的电子数目为0.8N A 6．下列有关实验原理或操作正确的是甲 乙 丙 丁 A. 图甲装置，吸收HCl 气体时可以防止倒吸 B. 图乙装置，H +移向负极实现化学能转化为电能 C. 图丙装置，从下层放出CCl 4实现与水的分离 D. 图丁装置，用饱和碳酸钠溶液实现乙酸乙酯的提纯7．下表各组物质之间通过一步反应能实现如图所示转化关系，且与表中条件也匹配的是8．下列制取Cl 2、验证其漂白性、收集并进行尾气处理装置和原理不能达到实验目的的是A. AB. BC. CD. D选项 X Y Z 箭头上为反应条件或试剂A Fe FeCl 2 FeCl 3①通入少量Cl 2B Na 2CO 3 NaCl NaHCO 3 ②先通CO 2、再通过量NH 3C SiO 2 Na 2SiO 3 H 2SiO 3③加热 DNaAlO 2Al(OH)3Al 2O 3④加H 2O苯水 HClH 2O 2 H 2O H +H 2O 电极a电极b浓硫酸酒精、乙酸 碎瓷片饱和碳酸钠9．下列表示对应化学反应的离子方程式正确的是A ．向Na 2SO 3中滴加稀HNO 3溶液：SO 2－3＋2H +＝SO 2↑＋H 2OB ．0.3 mol FeBr 2与0.4 mol Cl 2在溶液中反应：8Cl 2＋6Fe 2+＋10Br －＝6Fe 3+＋16Cl －＋5Br 2C ．用稀硝酸除去试管内壁银镜：Ag ＋2H +＋NO －3＝Ag +＋NO 2↑＋H 2OD ．酸性介质中KMnO 4氧化H 2O 2：2MnO －4＋2H 2O 2＋8H ＋＝2Mn 2＋＋3O 2↑＋6H 2O 10．海水资源开发利用的部分过程如下图所示。
2020-2021学年江苏省南京市六校联合体高二(下)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年江苏省南京市六校联合体高二（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 已知i 是虚数单位，则复数z =2−i 20222+i 2021所对应的点所在的象限是( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 甲、乙、丙、丁四位同学各自对x ，y 两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求的相关系数r ，如表则哪位同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性？( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁3. 设x ∈R ，则“x 2−x <0”是“|x −1|<1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. (4x −√x )n (n ∈N ∗)展开式中所有项的系数和为243，展开式中二项式系数最大值为( )A. 6B. 10C. 15D. 205. 已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是对边OB ，AC 的中点，点G 在线段MN 上，MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，现用基向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，表示向量OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x ，y ，z 的值分别是( )A. x =13，y =13，z =13 B. x =13，y =13，z =16 C. x =13，y =16，z =13D. x =16，y =13，z =136. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有( )A. 144个B. 120个C. 96个D. 72个7. 若曲线f(x)=lnx +x 在点(x 0,f(x 0))处的切线方程为y =kx +b ，则k +b 的最小值为( )A. −1B. −12C. 12D. 18. 已知双曲线C ：x 2a 2−4y 2=1(a >0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于√34，抛物线E ：y 2=2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线4x −3y +11=0和l 2：x =−1距离之和的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 下列说法正确的有( )A. 若随机变量X ～N(1,σ2)，P(X <4)=0.79，则P(X ≤−2)=0.21B. 若随机变量X ～B(10,13)，则方差D(3X +2)=22C. 从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为314C 51CC 154D. 已如随机变量X 的分布列为P(X =i)=ai(i+1)(i =1,2，3)，则P(X =2)=2910. 设复数z 1，z 2满足z 1+z 2=0，则下列结论正确的是( )A. |z 1|=|z 2|B. z 1−=z 2C. 若z 1(2−i)=3+i ，则z 1z 2=−2iD. 若|z 1−(1+√3i)|=1，则1≤|z 2|≤311. 已知函数f(x)=xsinx ，下列说法正确的是( )A. 函数f(x)在(0,π)上不单调B. 函数f(x)在(π2,π)内有两个极值点 C. 函数f(x)在[−2π,2π]内有4个零点 D. 函数g(x)=f(x)+1lnx 在区间(1,π]上的最小值为1lnπ12. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，△PAD 为等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，AC ，BD 交于点E ，则下列结论正确的是( )A. 若PD//平面MAC ，则M 为PB 的中点B. 若M 为PB 的中点，则三棱锥M −PAC 的体积为√33C. 锐二面角B −PD −A 的大小为π3D. 若BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =4BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则直线MC 与平面BDP 所成角的余弦值为57三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 点A 是椭圆C 1：x 225+y 29=1与双曲线C 2：x 29−y 27=1的一个交点，点F 1，F 2是椭圆C 1的两个交点，则|AF 1|⋅|AF 2|=______．14. 为庆祝中国共产党成立100周年，某志愿者协会开展“党史下乡”宣讲活动，准备派遣5名志愿者去三个乡村开展宣讲，每名志愿者只去一个乡村，每个乡村至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有______种(用数字作答) 15. 已知(2−mx)(1+1x )3的展开式中的常数项为8，则实数m =______．16. 购买某种意外伤害保险，每个投保人年度向保险公司交纳保险费20元，若被保险人在购买保险的一年度内出险，可获得赔偿金20万元．已知该保险每一份保单需要赔付的概率为10−5，某保险公司一年能销售10万份保单，且每份保单相互独立，则一年度内该保险公司此项保险业务需要赔付的概率约为______(保留两位有效数字)；一年度内盈利的期望为______万元．(参考数据：(1−10−5)105≈0.37) 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 某企业的甲、乙两种产品在东部地区三个城市以及西部地区两个城市的销售量x ，y 的数据如表：(1)根据上述数据补全下列2×2联表：(2)判断是否有99%的把握认为东、西部的地区差异与甲、乙两种产品的销售量相关．参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ． 临界值表：2×2列联表：东部城市 西部城市 总计甲 50乙600 总计65080018. 已知函数f(x)=13x 3+x 2+ax +1．(1)当a =−3时，求函数f(x)的极值；(2)当a <2时，若函数f(x)在区间[a,2]上单调递增，求实数a 的取值范围．19. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1=AB =AC =2，AB ⊥AC ，M 是棱BC 的中点，点P 在线段A 1B 上．(1)若BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线MP 与直线AC 所成角的余弦值大小；(2)若N 是CC 1的中点，直线A 1B 与平面PMN 所成角的正弦值为√77，求线段BP 的长度．20. 某公司招聘员工，甲、乙两人同时参与应聘，应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率均为23，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为34，13，12，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为34，12，乙面试部分每个环节通过的概率依次为23，34，若面试部分的两个环节都通过，则可以被该公司成功录用．甲、乙两人通过各个环节相互独立．(1)求乙未能参与面试的概率；(2)记甲本次应聘过程中通过的环节数为X ，求X 的分布列以及数学期望； (3)若该公司仅招聘1名员工，试通过概率计算，判断甲、乙两人谁更有可能入职．21. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，直线y =x 被椭圆C 截得的线段长为4√105． (1)求椭圆C 的方程：(2)设直线l 与交C 于M 、N 两点，点D 在椭圆C 上，O 是坐标原点，若四边形OMDN 为平行四边形，则此四边形的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由．22.已知函数f(x)=alnx+x+a．(1)判断f(x)的单调性，并写出单调区间；(2)若f(x)存在两个零点x1，x2，求a的取值范围，并证明x1x2>1．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵i2022=(i2)1011=(−1)1011=−1，i2021=i2022i =−1i=i，∴z=2−i20222+i2021=2+12+i=6−3i5，在第四象限，故选：D．化简i2022=(i2)1011=−1，i2021=−1i =i，从而得到z=6−3i5，从而确定象限．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.【答案】A【解析】解：因为|−0.92|>|0.887|>|0.78|>|−0.69|，所以甲同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性．故选：A．根据|r|的绝对值越大，两变量具有更强的线性相关性，即可判断得到答案．本题考查了相关系数的理解与应用，解题的关键是掌握|r|的绝对值越大，两变量具有更强的线性相关性，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：由x2−x<0解得：0<x<1；由|x−1|<1解得：0<x<2．∴“x2−x<0”是“|x−1|<1”的充分不必要条件．故选：A．分别解出不等式：x2−x<0，|x−1|<1，即可判断出结论．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：在(4x −1√x )n (n ∈N ∗)展开式中，令x =1，可得所有项的系数之和为3n =243， ∴n =5，∴展开式中的二项式系数的最大值为C 52=C 53=10．故选：B ．根据所有项的系数之和为3n =243，求得n =5，可得展开式中的二项式系数的最大值． 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：∵M 、N 分别是对边OB 、AC 的中点， ∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23(ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=13OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13×12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23×12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴x =13，y =16，z =13． 故选：C ．根据条件，可得OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后由OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得到x ，y ，z 的值．本题主要考查空间向量的线性运算，熟练掌握向量的三角形法则及平行四边形法则是解题的关键，属于基础题．6.【答案】B【解析】 【分析】本题考查计数原理的运用，根据题意，分析出满足题意的五位数的首位、末位数字的特征，进而可得其可选的情况．根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，①首位数字为5时，②首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案．【解答】解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；分两种情况讨论：①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有3×24=72个，②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有2×24=48个，共有72+48=120个．故选B．7.【答案】D【解析】解：f(x0)=lnx0+x0，因为切点在直线上，所以lnx0+x0=kx0+b①，f′(x)=1x +1，结合导数的几何意义有k=f′(x0)=1x0+1②，因为x0>0，所以k>1，联立①②消去x0得b=−1−ln(k−1)，所以k+b=k−1−ln(k−1)，(k>1)，令g(x)=x−1−ln(x−1)，则g′(x)=1−1x−1=x−2x−1，令g′(x)>0，解得x>2；令g′(x)<0，解得1<x<2，所以g(x)在(1,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，因此g(x)min=g(2)=1，故k+b的最小值为1．故选：D．先根据题意建立k，b的方程，再把k+b用一个变量来表示，再构造函数求最小值即可得到k+b的最小值．本题考查导数的几何意义，考查消元法的应用，考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：双曲线C：x2a2−4y2=1(a>0)的渐近线方程为y=±x2a，右顶点(a,0)到其一条渐近线的距离等于√34，可得a√1+4a2=√34，解得a=√32，即有c=1，由题意可得p2=1，解得p=2，即有抛物线的方程为y2=4x，如图，过点M作MA⊥l1于点A，作MB⊥准线l2：x=−1于点C，连接MF，根据抛物线的定义得MA+MC=MA+MF，设M到l1的距离为d1，M到直线l2的距离为d2，∴d1+d2=MA+MC=MA+MF，根据平面几何知识，可得当M、A、F三点共线时，MA+MF有最小值．∵F(1,0)到直线l1：4x−3y+11=0的距离为|4−0+11|√16+9=3．∴MA+MF的最小值是3，由此可得所求距离和的最小值为3．故选：C．求出双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算可得a，进而得到c，由抛物线的焦点坐标，可得p=2，进而得到抛物线的方程．连接MF，过点M作MA⊥l1于点A，作MB⊥准线x=−1于点C.由抛物线的定义，得到d1+d2=MA+MF，再由平面几何知识可得当M、A、F三点共线时，MA+MF有最小值，因此算出F到直线l的距离，即可得到所求距离的最小值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，同时考查抛物线的方程和性质，给出抛物线和直线l1，求抛物线上一点到准线的距离与直线l1距离之和的最小值，着重考查了点到直线的距离公式、抛物线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．9.【答案】AD【解析】解：对于A ，已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)， 图象关于x =1对称，根据P(ξ≤4)=0.79，可得P(ξ≥−2)=0.79，则P(ξ≤−2)=0.21，故A 正确；对于B ，因为随机变量X ～B(10,13)，所以方差D(X)=10×13×(1−13)=209，则D(3X +2)=32(DX)=20，故B 错误； 对于C ，从10名男生，5名女生中选取4人， 则其中至少有一名女生的概率为1−C 54C 104≠314C 51CC 154，故错；对于D ，因为 a1×2+a2×3+a3×4=1，所以a =43，则P(X =2)=29，故正确． 故选：AD ．由已知利用正态分布曲线的对称性求得P(ξ≤−2)判断A ； 由已知结合方差公式判断B ； 直接计算，即可判定C ；；利用 a1×2+a2×3+a3×4=1，求得a =43，即可判断．本题考查的知识要点：概率的运算，组合数，必然事件概率，数学期望，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.【答案】ACD【解析】解：设z 1=a +bi ，a ，b ∈R ，∵z 1+z 2=0，∴z 2=−a −bi ，可得B 不正确； ∵|z 1|=√a 2+b 2，|z 2|=√(−a)2+(−b)2=√a 2+b 2，∴|z 1|=|z 2，可得A 正确； ∵z 1(2−i)=3+i ，∴z 1(2−i)(2+i)=(3+i)(2+i)， 化为z 1=6−1+5i 5=1+i ，∴z 2=−1−i ，∴z 1z 2=−(1+i)2=−2i ，可得C 正确．∵|z 1−(1+√3i)|=1，z 1+z 2=0，∴|−z 2−(1+√3i)|=1，∴|z 2−(−1−√3i)|=1， ∴复数z 2对应的点P(x,y)在以C(−1,−√3)为圆心，1为半径的圆上，∴|OC|=√(−1)2+(−√3)2=2，则2−1≤|z 2|≤2+1，即1≤|z 2|≤3，因此D 正确． 故选：ACD ．利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义及其模的计算公式即可判断出正误． 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义及其模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.【答案】AD【解析】解：f(x)=xsinx，f′(x)=sinx+xcosx，令g(x)=sinx+xcosx，g′(x)=cosx+cosx−xsinx=2cosx−xsinx，对于A：f(x)在(0,π)上连续，f(0)=f(π)=0，所以f(x)在(0,π)上不单调，故A正确；对于B：因为g′(x)=2cosx−xsinx，当x∈(π2,π)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，因为g(π2)=f′(π2)=1>0，g(π)=f′(π)=−π<0，所以存在唯一x0∈(π2,π)，使得f′(x0)=0，随着x的变化，f′(x)，f(x)的变化情况如下：所以f(x)在(π2,π)内有且只有一个极值点，故B错误；对于C：令f(x)=xsinx=0，得x=0或x=kπ，k∈Z，所以在[−2π,2π]上有5个零点，故C错误；对于D：由选项B可知，f(x)在(1,x0)内单调递增，在(x0,π)内单调递减，又因为f(1)=sin1>0，f(π)=0，所以当x∈(1,π]时，0<lnx<lnπ，所以g(x)=f(x)+1lnx ≥1lnπ，当且仅当x=π时取等号，所以g(x)在(1,π]上的最小值为1lnπ，故D正确．故选：AD．求导得f′(x)=sinx+xcosx，令g(x)=sinx+xcosx，则g′(x)=2cosx−xsinx，对于A：f(x)在(0,π)上连续，f(0)=f(π)=0，则f(x)在(0,π)上不单调，即可判断A 是否正确；对于B：g′(x)=2cosx−xsinx，分析g′(x)的正负，g(x)的单调性，推出存在唯一x0∈(π2,π)，使得f′(x0)=0，列表分析随着x的变化，f′(x)，f(x)的变化情况，推出f(x)在(π2,π)内有且只有一个极值点，即可判断B是否正确；对于C：令f(x)=xsinx=0，得x=0或x=kπ，k∈Z，推出在[−2π,2π]上有5个零点，即可判断C是否正确；对于D：由选项B可知，f(x)在(1,x0)内单调递增，在(x0,π)内单调递减，又f(1)>0，f(π)=0，推出当x∈(1,π]时，0<lnx<lnπ，进而可得g(x)=f(x)+1lnx ≥1lnπ，即可判断D是否正确．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．12.【答案】ABD【解析】解：对于A，连接ME，当PD//平面MAC，根据线面平行的性质可得ME//PD，从而得到M为PB的中点．故A正确；∵M为PB的中点，∴V M−PAC=12V B−PAC=12V P−ABC，取AD中点F，连接PF，因为△PAD为等边三角形，所以PF⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，由面面垂直性质可得PF⊥底面ABCD，∴V P−ABC =13S △ABC ⋅PF =13×12×2×2×√3=2√33，∴V M−PAC =√33，所以B 正确．连接BF ，因为PF ⊥底面ABCD ，又BF ⊂平面ABCD ，所以PF ⊥BF ， 在Rt △PBF 中，PB =√PF 2+BF 2=√3+5=√8=BD,PA =AD =2， 取PB 中点Q ，连接BQ ，AQ ，∴BQ ⊥PD ，AQ ⊥PD ，∴∠AQB 为锐二面角B −PD −A 的平面角，在△AQB 中，AB =2,BQ =√BD 2−DQ 2=√(2√2)2−12=√7， AQ =√AD 2−QD 2=√22−12=√3，由余弦定理可得 cos∠AQB =AQ 2+BQ 2−AB 22⋅AQ⋅BQ=√217，所以∠AQB ≠π3，故C 错误．对于D ，建立空间直角坐标系F −xyz ，则A(−1,0，0)，B(−1,2，0)，C(1,2，0)，P(0,0，√3)，D(1,0，0)，因为BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =4BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以M(−34,32,√34)，∴BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2,√3),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−√3),MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(74,12,−√34)设平面PBD 的法向量n⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{x −2y +√3z =0x −√3z =0，取z =1， 解得x =y =√3，所以n ⃗ =(√3,√3,1)， ∴cos〈MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉=MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=7√34+√32−√34√4916+14+316⋅√3+3+1=57，故D 正确．故选：ABD ．对于A ，根据线面平行性质可得ME//PD ，进而得到M 为PB 的中点； 对于B ，利用V M−PAC =12V B−PAC =12V P−ABC 求解即可；对于C ，作PD 的中点Q ，则∠AQB 为锐二面角B −PD −A 的平面角，再结合余弦定理可求解二面角B −PD −A 的平面角的余弦值，即可判断C 错误；对于D ，建系，求平面BDP 的法向量，根据向量的夹角来求直线MC 与平面BDP 所成角的余弦值．本题考查线面平行的性质定理，面面垂直的性质定理，考查三棱锥的体积，考查二面角的求法，考查空间向量在立体几何中的应用．13.【答案】16【解析】解：椭圆C 1：x 225+y 29=1的焦点在x 轴上，且c 2=a 2−b 2=25−9=16，双曲线C 2：x 29−y 27=1的焦点在x 轴上，且c′2=a′2+b′2=9+7=16，所以椭圆与双曲线有相同的焦点坐标， 设|AF 1|=m ，|AF 2|=n ，由椭圆与双曲线的定义，可得{m +n =10|m −n|=6，所以(m +n)2−|m −n|2=4mn =102−62=64，所以mn =16， 所以|AF 1|⋅|AF 2|=16． 故答案为：16．先判断出椭圆与双曲线有相同的焦点坐标，设|AF 1|=m ，|AF 2|=n ，利用椭圆与双曲线的定义，求出mn ，即可得到答案；本题考查了椭圆与双曲线的定义和性质，考查了化简运算能力，属于中档题．14.【答案】150【解析】解：该安排先分组，有两种，为1，1，3和1，2，2； 共有C 53+23C 52C2=10+15=25种，再排序，A 33=6种，故不同的安排方法共有25×6=150种，故答案为：150．该安排可按先分组后排序处理，再用乘法原理求得．本题考查了排列问题的应用，同时考查了乘法原理，属于中档题．15.【答案】−2【解析】解：∵(1+1x )3的展开式的通项公式为：C3r⋅(1x)r=C3r⋅x−r，由−r=0，得r=0；由−r=−1，得r=1，∴(2−mx)(1+1x)3的展开式中的常数项为：2×C30+(−m)⋅C31=8，∴m=−2；故答案为：−2．写出二项式(1+1x)3的展开式的通项，求出其中含x−1的项与常数项，从而可得关于m 的方程，求解即可．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题．16.【答案】0.63150【解析】解：由题意，设该保险业务需要赔付为事件A，该保险每一份保单需要赔付的概率为10−5，则每一份保单不需要赔付的概率为1−10−5，故10万份保单都不需要赔付的概率为P(A−)=(1−10−5)105≈0.37，则保险业务需要赔付的概率为P(A)=1−P(A−)=1−0.37=0.63，所以一年度内盈利的期望为20×10−50=150万元．故答案为：0.63；150．设该保险业务需要赔付为事件A，由相互独立事件的概率公式可得P(A−)，结合对立事件的概率公式求出P(A)，再由数学期望的定义求解即可．本题考查了相互独立事件的概率乘法公式以及随机变量数学期望的计算，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)由题意，2×2列联表如下：(2)由题意可知，K 2=800×100002(150+500)×(50+100)×(150+50)×(500+100)=800117≈6.83>6.635， 故有99%的把握认为东、西部的地区差异与甲、乙两种产品的销售量相关．【解析】(1)由题中给出的数据，完成2×2列联表即可；(2)利用公式求出K 2的值，对照临界表中的数据，比较大小即可得到答案．本题考查了2×2列联表的应用，独立性检验的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)当a =−3时，f(x)=13x 3+x 2−3x +1，则f′(x)=x 2+2x −3， 当−3<x <1时，f′(x)<0，当x <−3或x >1时，f′(x)>0，∴函数f(x)在(−∞,−3)单调递增，在(−3,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增， ∴f(x)极小值=f(1)=−23，f(x)极大值=f(−3)=10；(2)依题意，f′(x)=x 2+2x +a ≥0在[a,2]上恒成立，①当△=4−4a ≤0，即1≤a <2时，x 2+2x +a ≥0恒成立，符合题意；②当△=4−4a >0，即a <1时，由于对称轴x =−1，故只需{a >−1a 2+2a +a ≥0，即0≤a <1即可；综上，实数a 的取值范围为[0,2)．【解析】(1)将a =−3代入，求导，解关于导函数的不等式，求得单调性，进而得到极值；(2)依题意，f′(x)=x 2+2x +a ≥0在[a,2]上恒成立，然后分△≤0及△>0讨论即可． 本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查转化思想及分类讨论思想，考查运算求解能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0，0)，B(2,0，0)，C(0,2，0)，A 1(0,0，2)，M(1,1，0)， 因为BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则P(23,0,43)，所以MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−13,−1,43),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)， 则|cos <MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗||MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√19+1+169×2=3√2626， 故直线MP 与直线AC 所成角的余弦值大小为3√2626； (2)因为N 是CC 1的中点，则N(0,2，1)， 所以MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,1)，设P(x,y ，z)， 设BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,0≤λ≤1， 则有(x −2,y ，z)=λ(−2，0，2)， 解得x =2−2λ，y =0，z =2λ， 所以点P(2−2λ,0，2λ)， 故MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−2λ,−1,2λ)，设平面PMN 的法向量为n⃗ =(a,b,c)， 则{n ⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−a +b +c =0n ⃗ ⋅MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−2λ)a −b +2λc =0， 令c =1，则n ⃗ =(1+12λ,12λ,1)， 因为BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,2)，又直线A 1B 与平面PMN 所成角的正弦值为√77，所以|cos <n⃗ ,BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|−2×(1+12λ)+2|√(1+12λ)2+(12λ)2+1×2√2=√77，解得λ=14，所以BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =14BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故BP =14BA 1=√22．【解析】(1)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和直线MP 与直线AC 的方向向量的坐标，由向量的夹角公式求解即可；(2)设P(x,y ，z)，设BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,0≤λ≤1，求出点P 的坐标，求出直线A 1B 的方向向量与平面PMN 的法向量，然后利用向量的夹角公式建立等式关系，求解λ的值，即可得到答案．本题考查了异面直线所成的角以及线面角的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题意可知，若乙笔试部分三个环节一个都没有通过或只通过一个，则不能参加面试，故乙未能参加面试的概率为P =34×23×12+14×13×12+14×23×12+14×23×12=1124； (2)由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3，4，5， 所以P(X =0)=(13)3=127，P(X =1)=C 31⋅(13)2×23=29，P(X =2)=C 32⋅(23)2×13×14×12=118，P(X =3)=(23)3×14×12+C 32⋅(23)2×13×(14×12+34×12)=727， P(X =4)=(23)3×(14×12+34×12)+C 32⋅(23)2×13×34×12=1754，P(X =5)=(23)3×34×12=19，所以X 的分布列为：故E (X)=0×127+1×29+2×118+3×727+4×1754+5×19=7927；(3)由(2)可知，甲入职的概率为P =19+C 32⋅(23)2×13×34×12=518， 乙入职的概率为P′=(1−1124)×23×34=1348， 因为518>1348， 故甲更有可能入职．【解析】(1)利用相互独立事件的概率乘法公式计算即可；(2)先求出随机变量X 的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可；(3)分别求出甲、乙两人入职的概率，比较大小即可得到答案．本题考查了相互独立事件的概率乘法公式的运用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)∵椭圆的离心率为√32， ∴e =c a =√a 2−b 2a=√32，可得a 2=4b 2，联立直线与椭圆方程{x 2+4y 2=a 2y =x ，解得x =±√55a ，∴|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+12 2√5a 5=2√10a 5=4√105，即a =2，∴椭圆的标准方程为x 24+y 2=1．(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， ∵四边形OMDN 为平行四边形， ∴D(x 1+x 2,y 1+y 2)， 又∵点D 在椭圆上， ∴(x 1+x 2)24+(y 1+y 2)2=1， 又∵x 124+y 12=1，x 224+y 22=1，∴x 1x 2+y 1y 2=−2 ①，设{x 1=2cosαy 1=sinα，{x 2=2cosβy 2=sinβ，代入①式，可得2cosα⋅2cosβ+4sinα⋅sinβ=−2，即为cos(α−β)=−12， ∴sin(α−β)=±√32， ∴S ▱OMDN =2S △OMN =|x 1y 2−x 2y 1|=|2cosβ⋅sinα−2cosα⋅sinβ|=|2sin(α−β)|=2×√32=√3，为定值．【解析】(1)根据椭圆的离心率为√32，可得a 2=4b 2，联立直线与椭圆方程，解得x =±√55a ，再结合弦长公式，即可求解．(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，四边形OMDN 为平行四边形，可得D(x 1+x 2,y 1+y 2)，将D 点坐标代入椭圆方程中，可推得x 1x 2+y 1y 2=−2，再结合参数方程，即可求解． 本题考查圆锥曲线中椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系中面积为定值问题，需要学生较强的综合能力，属于难题．22.【答案】(1)解：因为f(x)=alnx +x +a ，x >0，所以f′(x)=a x +1， 当a ≥0时，f′(x)>0，即f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，无递减区间；当a <0时，令f′(x)<0，可解得0<x <−a ，令f′(x)>0，可解得x >−a ， 所以f(x)的单调递减区间为(0,−a)，单调递增区间为(−a,+∞)．(2)f′(x)=a x +1=a+x x (x >0)，若f(x)存在两个零点x 1，x 2，由(1)可知，a <0，f(x)的单调递减区间为(0,−a)，单调递增区间为(−a ，十∞)．f(x)min =f(−a)=aln(−a)<0，解得a <−1，注意此时f(1e )=1e >0①当−2≤a <−1时，f(e 3)=e 3+4a >0，此时1e <−a <e 3，则f(x)在(0,−a)和(−a,+∞)上分别存在一个零点；②当a <−2时，f(e −a )=alne −a +e −a +a =e −a −a²+a ，设g(a)=e −a −a²+a ，a <−2，则g′(a)=−e −a −2a +1，g″(a)=e −a −2>0， 所以g′(a)在(−∞,−2)单调递增，则g′(a)<g′(−2)=−e²+5<0，．所以g(a)在(−∞,−2)单调递减，则g(a)>g(−2)=e²−6>0，即f(e −a )>0， 此时1e <−a <e −a ，则f(x)在(0,−a) 和(−a,+∞)分别存在一个零点；综上，若f(x)有两个零点，则a 的取值范围为(−∞,−1)．下面证明x 1x 2>1，不妨设0<x 1<−a <x 2，由f(x 1)=f(x 2)=0 得，{alnx 1+x 1+a =0alnx 2+x 2+a =0， 两式相减得，−a =x 1−x2lnx 1−lnx 2， 两式相加得，lnx 1+lnx 2=x 1+x 2−a −2=x 1+x2x 1−x 2(lnx 1−lnx 2)−2， 要证x 1x 2>1，只需证ln(x 1x 2)=lnx 1+lnx 2>0，即证x 1+x 2x1−x 2(lnx 1−lnx 2)−2>0， 即证lnx 1−lnx 22−x 1−x 2x 1+x 2=12ln x 1x 2−x 1x 2−1x 1x 2+1<0， 令ℎ(t)=12lnt −t−1t+1，t ∈(0,1)，ℎ′(x)=12t −2(t+1)2=(t−1)22t(t+1)2>0，则ℎ(t)在(0,1)上单调递增，所以ℎ(t)<ℎ(1)=0，又因为x 1x 2∈(0,1)，所以12ln x 1x 2−x 1x 2−1x 1x 2+1<0，得证．【解析】(1)对f(x)求导，再对a 分类讨论，由导数与单调性的关系求解即可；(2)结合(1)中结论及题意可得a <0，求得f(x)的最值，结合题意可得a <−1，根据函数的单调性及零点存在性定理可得若f(x)有两个零点，则a 的取值范围为(−∞,−1).不妨设0<x 1<−a <x 2，分析可得要证x 1x 2>1，只需证12ln x 1x 2−x 1x 2−1x 1x 2+1<0，令ℎ(t)=12lnt −t−1t+1，t ∈(0,1]，利用导数证得ℎ(t)<0，即可得证． 本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值问题，考查函数零点问题，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于难题．。
2020-2021学年江苏省南京市高一上学期期末数学试题及答案解析
绝密★启用前2020-2021学年江苏省南京市高一上学期期末数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．若角α的终边经过点()()3,0P a a ≠，则（ ） A ．sin 0α> B ．sin 0α<C ．cos 0α>D ．cos 0α<答案：C根据三角函数定义可得sin α=cos α=判断符号即可.解：解：由三角函数的定义可知，sin α=cos 0α=>，故选：C ．点评：任意角的三角函数值：（1）角α与单位圆交点(,)P x y ，则sin ,cos ,tan (0)yy x x xααα===≠； （2）角α终边任意一点(,)P x y ，则sin tan (0)yx xααα===≠.2．设函数y =A ，函数()ln 1y x =-的定义域为B ，则A B =（ ）A ．()1,2B ．(]1,2C ．()2,1-D ．[)2,1-答案：B求出两个函数的定义域后可求两者的交集.解：由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x >， 故{}{}|22|1AB x x x x =-≤≤>{}|12x x =<≤，故选：B.点评：本题考查函数的定义域和集合的交，函数的定义域一般从以下几个方面考虑： （1）分式的分母不为零；（2（*,2n N n ∈≥，n 为偶数）中，0a ≥；（3）零的零次方没有意义；（4）对数的真数大于零，底数大于零且不为1. 3．设实数x 满足0x >，函数4231y x x =+++的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．1D ．6答案：A将函数变形为()43111y x x =++-+，再根据基本不等式求解即可得答案. 解：解：由题意0x >，所以10x +>， 所以()4423231311y x x x x =++=++-+++()4311111x x =++-≥=+，当且仅当()4311x x +=+，即103x =->时等号成立，所以函数4231y x x =+++的最小值为1. 故选：A ．点评：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 4．已知a ，b ，m 都是负数，且a b <，则（ ） A ．11a b< B ．a b b a< C ．a m b m +>+D ．b m ba m a+>+ 答案：D利用不等式的性质可判断A 、B 、C ，利用作差法可判断D.解：由题意0a b <<，则11a b>，选项A 错误； 由a b <，不等式两边同除ab ，可得a b ab ab <，即b a a b<，选项B 错误； 由不等式的可加性可知，由a b <，可得a m b m +<+，选项C 错误；由()()()()()()0a b m b a m m a b b m b a m a a a m a a m a a m ++-+-=-=>++++，所以b m ba m a+>+，选项D 正确；故选：D5．有一组实验数据如下表所示：t1.9 3.0 4.0 5.1 6.1 v1.54.07.512.018.0现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ） A ．22v t =- B ．212t v -=C ．0.5log v t =D ．3log v t =答案：B先画出实验数据的散点图，结合各选项中的函数特征可得的选项. 解：实验数据的散点图如图所示：4个选项中的函数，只有B 符合， 故选：B.6．若函数()sin 2f x x =与()2cos g x x =都在区间(),a b 上单调递减，则b a -的最大值是（ ） A ．π4B ．π3C ．π2D ．2π3答案：C根据题意求出(),()f x g x 原点附近的单调递减区间，根据递减区间分析可得max 3π4b =，min π4a =，相减即可.解：解：由题意函数()sin 2f x x =在π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数()2cos g x x =在()0,π上单调递减， 所以则max 3π4b =，min π4a =，所以b a -的最大值为3πππ442-=. 故选：C.点评：求三角函数单调区间的2种方法:（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间. 7．函数f(x)=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．答案：D先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 解：由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ． 点评：本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．8．若函数()f x 同时满足：①定义域内存在实数x ，使得()()0f x f x ⋅-<；②对于定义域内任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦；则称函数()f x 为“DM 函数”．下列函数中是“DM 函数”的为（ ） A ．()3f x x =B ．()sin f x x =C ．()1x f x e-=D ．()ln f x x =答案：A根据题意函数定义域关于原点对称且函数值有正有负，且为定义域内的单调递增函数，通过此两点判定即可.解：解：由定义域内存在实数x 有()()0f x f x ⋅-<，可得函数定义域关于原点对称且函数值有正有负，排除D 、C.由②得“DM 函数”为单调递增函数，排除B. 故选：A 【解析】确定函数单调性的四种方法： （1）定义法：利用定义判断；（2）导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数；（3）图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；（4）性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性.二、多选题9．关于函数()tan 2f x x =，下列说法中正确的是（ ）A ．最小正周期是π2B ．图象关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．图象关于直线π4x =对称 D ．在区间ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 答案：AB利用正切函数的知识逐一判断即可. 解：()tan 2f x x =的最小正周期为π2T =，故选项A 正确； 由π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选项B 正确； 因为函数()tan 2f x x =不存在对称轴，故选项C 错误； 因为ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以()2π,πx ∈-，此区间不是函数tan y x =的单调递增区间，故选项D 错误；故选：AB ．10．已知曲线1:sin C y x =，2π:sin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下列说法中正确的是（ ） A ．把1C 向左平移π3个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍，得到2C B ．把1C 向左平移π3个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的12倍，得到2CC ．把1C 上所有点的横坐标变为原来的12倍，再向左平移π3个单位长度，得到2CD ．把1C 上所有点的横坐标变为原来的12倍，再向左平移π6个单位长度，得到2C答案：BD根据三角函数的图象变换可分别判断.解：变换方式一：由函数sin y x =的图象可向左平移π3个单位长度，得到sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将所有点的横坐标变为原来的12倍，得到πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 变换方式二：由函数sin y x =的图象可讲其图象上所有点的横坐标变为原来的12倍，得到sin 2y x =，再向左平移π6个单位长度，得到πsin 2sin 263y x x π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：BD ．11．我们知道，如果集合A S ⊆，那么S 的子集A 的补集为{SA x x S =∈，且}x A ∉．类似地，对于集合A ，B ，我们把集合{x x A ∈，且}x B ∉叫作集合A 与B 的差集，记作A B -．据此，下列说法中正确的是（ ） A ．若A B ⊆，则A B -=∅ B ．若B A ⊆，则A B A -= C ．若AB =∅，则A B A -= D ．若AB C =，则A B A C -=-答案：ACD利用集合的新定义逐一判断即可. 解：由差集的定义可知，对于选项A ，若A B ⊆，则A 中的元素均在B 中，则A B -=∅，故选项A 正确； 对于选项B ，若B A ⊆，则B 中的元素均在A 中，则AA B B A -=≠，故选项B 错误；对于选项C ，若AB =∅，则A 、B 无公共元素，则A B A -=，故选项C 正确；对于选项D ，若A B C =，则AA B C A C -==-，故选项D 正确；故选：ACD ．12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设R x ∈，用[]x表示不超过x 的最大整数，[]y x =也被称为“高斯函数”，例如：[]3.54-=-，[]2.12=．已知函数()[]1f x x x =+-，下列说法中正确的是（ ） A ．()f x 是周期函数 B ．()f x 的值域是(]0,1 C ．()f x 在()0,1上是增函数 D ．x R ∀∈，()0f x ⎡⎤=⎣⎦答案：AB根据新定义将函数()f x 写成分段函数的形式，再画出函数的图象，根据图象判断函数的性质.解：由题意[]1,210,1011,012,12x x x x x --≤<-⎧⎪-≤<⎪+=⎨≤<⎪⎪≤<⎩，所以()[]1,21,1011,012,12x x x x f x x x x x x x ---≤<-⎧⎪--≤<⎪=+-=⎨-≤<⎪⎪-≤<⎩，可画出图象，可得到函数()f x 是周期为1的函数，且值域为(]0,1，在()0,1上单调递减，故选项A 、B 正确，C 错误；对于选项D ，1x =- ()11f -=，则()11f -=⎡⎤⎣⎦，所以选项D 错误， 故选：AB ．点评：关键点点睛：本题的关键是理解定义，画出函数的图象，根据函数的图象判断函数的性质.三、填空题13．幂函数y x α=的图象过点2)，则α=___________.答案：12将点的坐标代入解析式可解得结果.解：因为幂函数y x α=的图象过点，2α=，解得12α=. 故答案为：1214．已知函数()221,1,,1,x x f x x ax x ⎧+<=⎨+≥⎩若()()03f f a =，则a 的值为______．答案：4根据自变量所属的区间，代入相应段的解析式求值即可.解：由题意可知()00212f =+=，()22223f a a =+=，解得4a =，故答案为：4． 15．已知π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则25ππsin sin 63αα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为______． 答案：119由诱导公式可得5sin()sin()66ππαα-=+，ππcos sin 36αα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2sin ()3πα-21cos 3πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，代入可得到答案.解：因为π5ππ66αα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πππ632αα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以5πsin 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭ππ1sin πsin 663αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=+=⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，ππππ1cos cos sin 32663ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以2225ππ1π4111sin sin 1cos 6333339ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=+--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故答案为：119． 点评：本题主要考查三角函数诱导公式、凑角的应用，涉及到同角三角函数的基本关系，关键点是利用π5ππ66αα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πππ632αα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭转化求值，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.16．地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．震级()M 是用据震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的．里氏震级的计算公式为0lg lg M A A =-，其中A 是被测地震的最大振幅，0A 是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)．根据该公式可知，7.5级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的______倍（精确到1）． 答案：32 有对数运算得10M AA =，进而得7.5M =时，地震的最大振幅为7.51010A A =⋅，6M =时，地震的最大振幅为62010A A =⋅， 故1232A A ≈ 解：解：由题意00lg lg lgA M A A A =-=，即10M AA =，则010M A A =⋅， 当7.5M =时，地震的最大振幅为7.51010A A =⋅；当6M =时，地震的最大振幅为62010A A =⋅，所以37.57.56 1.512621010101010A A -====32=≈. 故答案为：32．点评：本题考查数学知识的迁移应用，考查运算求解能力，解题的关键在于根据对数运算得010M A A =⋅，进而根据相应震级计算.是中档题.四、解答题 17．已知集合2111x A xx +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，(){}2220B x x m x m =+--<．（1）当1m =时，求A B ；（2）已知“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数m 的取值范围． 答案：（1）{}21A B x x ⋃=-<<；（2）[]2,4m ∈-． （1）先求出集合A ，B ，再根据并集定义即可求出； （2）由题可得B A ⊆，再讨论2m-和1的大小可求出.解：解：（1）由2111x x +<-，得 201x x +<-，所以{}21A x x =-<<． (){}()(){}2220120B x x m x m x x x m =+--<=-+<．当1m =时，112B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭． 所以{}21A B x x ⋃=-<<．（2）因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，所以B A ⊆．若12m->，不符合题意； 若12m-=即2m =-时，B =∅，符合题意；若12m -<，则12m B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，所以212m-≤-<，解得24m -<≤． 综上，[]2,4m ∈-．点评：结论点睛：本题考查根据必要条件求参数，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应的集合与p 对应集合互不包含． 18．已知()()1sin πcos π8αα+-=，且π04α<<．（1）求πcos cos 2αα⎛⎫++⎪⎝⎭的值； （2）求tan α的值．答案：（1（2）4 （1）将条件化为1sin cos 8αα=，然后()222cos sin cos 2sin cos sin αααααα-=-+，可得答案；（2）由第一问可得22sin cos 1sin cos 8αααα=+，然后2tan 1tan 18αα=+，解出即可.解：（1）因为()()sin cos ππcos sin αααα-=+，且()()1sin πcos π8αα+-=，所以1sin cos 8αα=． 故()222cos sin cos 2sin cos sin αααααα-=-+1312sin cos 1284αα=-=-⨯=．又因为π04α<<，所以cos sin αα>，即cos sin 0αα->，所以cos sin 2αα-=．所以πcos cos cos sin 22αααα⎛⎫++=-=⎪⎝⎭． （2）由（1）知1sin cos 8αα=，又因为22sin cos 1αα+=， 所以22sin cos 1sin cos 8αααα=+．因为π04α<<，cos 0α≠，所以2tan 1tan 18αα=+，即2tan 8tan 10αα-+=，解得tan 4α=tan 4α=+． 因为π04α<<，所以0tan 1α<<，所以tan 4α= 19．（1）计算：()22log 5320.125-++；（2）已知0.4log 3a =，4log 3b =，求证：0ab a b <+<． 答案：（1）13；（2）证明见解析.（1）根据指数和对数的运算法则直接计算可得；（2）根据对数函数的单调性分别求出ab 范围和+a b 范围可判断.解：（1）原式()243352--⎡⎤=++⎣⎦544=++13=．（2）因为0.4log y x =在()0,∞+上递减，4log y x =在()0,∞+上递增， 所以0.40.4log log 10a x =<=，44log 3log 10b =>=， 故0ab <．因为()333311log 0.4log 4log 0.44log 1.6a b+=+=⨯=， 且3log y x =在()0,∞+递增，所以3330log 1log 1.6log 31=<<=，即1101a b<+=． 所以110ab ab a b ⎛⎫>+>⎪⎝⎭，即0ab a b <+<． 点评：本题考查对数函数单调性的应用，解题的关键是利用对数函数的单调性求出,a b 范围，进而可比较大小.20．已知函数()f x x x a =-为R 上的奇函数． （1）求实数a 的值；（2）若不等式()()2sin 2cos 0f x f t x +-≥对任意π7π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数t 的最小值． 答案：（1）0a =；（2）14． （1）由奇函数得到()x x a x x a -⋅--=-⋅-，再由多项式相等可得a ；（2）由()f x 是奇函数和已知得到()()2sin 2cos f x f x t ≥-，再利用()f x 是R 上的单调增函数得到2sin 2cos x x t ≥-对任意π7π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立．利用参数分离得22cos sin t x x ≥-对任意π7π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，再求22cos sin x x -，π7π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上最大值可得答案．解：（1）因为函数()f x x x a =-为R 上的奇函数， 所以()()f x f x -=-对任意x ∈R 成立， 即()x x a x x a -⋅--=-⋅-对任意x ∈R 成立， 所以--=-x a x a ，所以0a =．（2）由()()2sin 2cos 0f x f t x +-≥得()()2sin 2cos f x f t x ≥--，因为函数()f x 为R 上的奇函数， 所以()()2sin 2cos f x f x t ≥-．由（1）得，()22,0,,0,x x f x x x x x ⎧≥==⎨-<⎩是R 上的单调增函数，故2sin 2cos x x t ≥-对任意π7π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立． 所以22cos sin t x x ≥-对任意π7π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立． 因为()2222cos sin cos 2cos 1cos 12x x x x x -=+-=+-， 令cos m x =，由π7π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得1cos 1,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，即11,2m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦． 所以()212y m =+-的最大值为14，故14t ≥， 即t 的最小值为14． 点评：本题考查了函数的性质，不等式恒成立的问题，第二问的关键点是根据函数的为单调递增函数，得到2sin 2cos x x t ≥-，再利用参数分离后求22cos sin x x -π7π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最大值，考查了学生分析问题、解决问题的能力.21．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在（单位：）时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度（单位：）由关系式确定，其中，，．在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为．且最高点与最低点间的距离为．（1）求小球相对平衡位置的高度（单位：）和时间（单位：）之间的函数关系；（2）小球在内经过最高点的次数恰为50次，求的取值范围．答案：（1），；（2）． （1）首先根据题意得到，，从而得到，．（2）根据题意，当时，小球第一次到达最高点，从而得到，再根据周期为，即可得到.解：（1）因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为，所以．因为在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为，所以周期为2， 即，所以． 所以，．（2）由题意，当时，小球第一次到达最高点，以后每隔一个周期都出现一次最高点， 因为小球在内经过最高点的次数恰为50次，所以．因为，所以， 所以的取值范围为．（注：的取值范围不考虑开闭）22．对于定义在D 上的函数()f x ，如果存在实数0x ，使得()00f x x =，那么称0x 是函数()f x 的一个不动点．已知()21f x ax =+．（1）当2a =-时，求()f x 的不动点；（2）若函数()f x 有两个不动点1x ，2x ，且122x x <<． ①求实数a 的取值范围；②设()()log a g x f x x =-⎡⎤⎣⎦，求证()g x 在(),a +∞上至少有两个不动点． 答案：（1）()f x 的不动点为1-和12；（2）①10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，②证明见解析.（1）当2a =-时，函数()221f x x =-+，令()f x x =，即可求解；（2）①由题意，得到210ax x -+=的两个实数根为1x ，2x ，设()21p x ax x =-+，根据二次函数的图象与性质，列出不等式即可求解；②把()g x x =可化为()2log 1a ax x x -+=，设()210p x ax x =-+=的两个实数根为m ，n ，根据1x =是方程()g x x =的实数根，得出()()210n n h n a an n a =--+=>，结合函数()h x 单调性，即可求解.解：（1）当2a =-时，函数()221f x x =-+，方程()f x x =可化为2210x x +-=，解得1x =-或12x =， 所以()f x 的不动点为1-和12． （2）①因为函数()f x 有两个不动点1x ，2x ，所以方程()f x x =，即210ax x -+=的两个实数根为1x ，2x ， 记()21p x ax x =-+，则()p x 的零点为1x 和2x ，因为122x x <<，所以()20a p ⋅<，即()410a a -<，解得104a <<． 所以实数a 的取值范围为10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭．②因为()()()2log log 1a a g x f x x ax x =-=-+⎡⎤⎣⎦．方程()g x x =可化为()2log 1a ax x x -+=，即221,10x a ax x ax x ⎧=-+⎨-+>⎩因为104a <<，140a ∆=->，所以()0p x =有两个不相等的实数根． 设()210p x ax x =-+=的两个实数根为m ，n ，不妨设m n <． 因为函数()21p x ax x =-+图象的对称轴为直线12x a=， 且()10p a =>，112a >，110p a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以1112m n a a <<<<． 记()()21xh x a ax x =--+，因为()10h =，且()10p a =>，所以1x =是方程()g x x =的实数根， 所以1是()g x 的一个不动点，()()210n n h n a an n a =--+=>，因为104a <<，所以14a >，141110a h a a a ⎛⎫=-<-< ⎪⎝⎭，且()h x 的图象在1,n a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象是不间断曲线，所以01,x n a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，又因为()p x 在1,n a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()()00p x p n >=，所以0x 是()g x 的一个不动点， 综上，()g x 在(),a +∞上至少有两个不动点．点评：利用函数的图象求解方程的根的个数或研究不等式问题的策略：1、利用函数的图象研究方程的根的个数：当方程与基本性质有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程()0f x =的根就是函数()f x 与x 轴的交点的横坐标，方程()()f x g x =的根据就是函数()f x 和()g x 图象的交点的横坐标；2、利用函数研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.。
江苏省南京市六校联合体2021-2022学年高三下学期期初联合调研数学试卷答案
高三第二学期期初调研测试数学答案三、填空题13、7014、1-=x15、1)(2-=x x f （答案不唯一）16、101 4四、解答题17、解析：（1）设数列{a n }是公差为d （d ≠0）的等差数列，a 1=1 若a 1，a 2，a 5成等比数列，可得a 1a 5=a 22，即有21(14)(1)d d +=+，解得2d =或d =0(舍去) ………2分 则12(1)21n a n n =+-=- ………4分 （2）12122213)111(4131)12(1311--+++-=+-+=+-=n n a n n n n n a b n………6分 可得前n 项和：)3273()1113121211(4112-+++++-++-+-=n n n n S ………8分 )19(834491)91(3)111(41-++=--++-=n n n n n………10分 18、解析：(1) 若选①，因为b sin A ＋B 2＝c sin B ，由正弦定理可得sin B sinA ＋B2＝sin C sin B ． ……………………2分 又因为0＜B ＜π，sin B ≠0，从而得sin A ＋B 2＝sin C ，即sin π－C2＝sin C ．………………3分 所以cos C 2＝2sin C 2cos C2，又因为0＜C 2＜π2，所以cos C 2≠0，则sin C 2＝12，由C 2＝π6，得C ＝π3．…⋯⋯5分若选②，因为3(c cos A －b )＝－a sin C ，由正弦定理可得3(sin C cos A －sin B )＝－sin A sin C ， 即3(sin C cos A －sin(A ＋C )]＝－sin A sin C ，整理可得3sin A cos C ＝sin A sin C ．……………2分因为0＜A 、C ＜π，所以sin A ＞0，所以tan C ＝3，则C ＝π3．………5分若③，因为c cos C ＝a ＋b cos A ＋cos B ，所以由正弦定理可得sin C cos C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B ，整理可得sin C cos A ＋sin C cos B ＝sin A cos C ＋sin B cos C ，即sin C cos A －sin A cos C ＝sin B cos C －sin C cos B ，即sin(C －A )＝sin(B －C )，………………2分 因为－0＜C －A ＜π，－0＜B －C ＜π，∴C －A ＋B －C ＝π (舍)或 C －A ＝B －C ，所以A ＋B ＝2C ，于是由A ＋B ＋C ＝π，得3C ＝π，所以C ＝π3． ………………… ……5分(2) 由题有S △ABC ＝12ab sin C ＝12ab ·32＝43，解得ab ＝16．…………………………7分由余弦定理可得：AD 2＝b 2＋(a 2)2－2b ·a 2·cos C ＝b 2＋(a 2)2－2b ·a 2·12＝b 2＋a 24－12ab ＞2·b ·a 2－12ab ＝12ab ＝8， …………………………9分所以AD ≥22，当且仅当b ＝a2且ab ＝16，即a ＝42且b ＝22时，取“＝” …………11分从而BD 的最小值为22． ………………………12分 （或者：选择正弦定理解答的参照评分标准酌情给分）19、解析：(1)①0.02:0.03:0.062:3:6=，所以211211⨯=，311311⨯=，611611⨯=，即从15-中选2个，610-个中选3个，1115-个中选6个，又因为单次完成106-个引体向上的人共有60人， ………………2分记“单次完成106-个引体向上的甲被抽中”为事件A ，则201)(360259==C C A P ………………4分②X 的所有可能取值有0、1、2，3931128(0)55C P X C === 122931124(1)55C C P X C ===21293113(2)55C C P X C ===………………6分所以243306()012.5555555511E X =⨯+⨯+⨯==………………8分x A(2)因为222()400(500010000)808.8897.879()()()()3001001502509n ad bc a b c d a c b d χ--===≈>++++⨯⨯⨯所以有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关． ………………12分 20、解析：（1）因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点， 所以DE 为∆ABC 的中位线，且DE//AC 因为ABC －A 1B 1C 1为棱柱，所以AC//A 1C 1所以DE//A 1C 1. …………1分在直棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，因为DE ⊂平面ABC ， 所以DE ⊥AA 1.又因为A 1C 1⊥A 1B 1，所以DE ⊥A 1B 1.因为AA 1∩A 1B 1=A 1，AA 1、A 1B 1⊂平面AA 1B 1B ，所以DE ⊥平面AA 1B 1B. ………………3分 又A 1F ⊂平面AA 1B 1B ，所以DE ⊥A 1F ，又因为A 1F ⊥B 1D ，DE∩B 1D=D ，且DE 、B 1D ⊂平面B 1DE所以A 1F ⊥平面B 1DE. ………………5分 (2)以AB ，AC ，AA 1分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,0) 因为三棱锥B 1－A 1C 1F 的体积为所以所以=所以B 1F=1因为B 1D ⊥A 1F ，且D 是AB 的中点 所以∆A 1B 1F ≌∆B 1BD ，由得所以B 1B=8，则F(4,0,7），A 1(0,0,8)，B 1(4,0,8)，C 1(0,4,8)因为E 为BC 的中点，AB=AC ，所以AE ⊥BC ，所以AE ⊥平面BCC 1B 1 所以平面BCC 1B 1的法向量为……………8分（解法一）设平面A 1C 1F 的法向量为 因为，由 得 取 ……………10分则（解法二）因为B 1D ⊥A 1F ，B 1D ⊥A 1C 1所以B 1D ⊥平面A 1C 1F ，即平面A 1C 1F 的法向量为下面同解法一（略）所以平面A 1C 1F 与平面BCC 1B 1所成锐二面角的余弦值为3434………………12分 21、解：(1) 因为过C 的焦点垂直于实轴的弦长为6，将x ＝c 代入双曲线，得y ＝±b 2a ，则2b 2a＝6 ①， ………1分又C 的一条渐近线方程为y ＝3x ，则ba ＝ 3 ②， ………2分由①②解得a ＝1，b ＝3，所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1． ………4分(2)解法一、 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．当直线l 和坐标轴平行时，由OA ⊥OB ，得|x 1|＝|x 2|＝|y 1|＝|y 2|，结合x 2－y 23＝1，解得|x 1|＝|x 2|＝|y 1|＝|y 2|＝62，故此时点O 到直线l 的距离为62． ………5分 当直线l 和坐标轴线不平行时，设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，由⎩⎨⎧3x 2－y 2＝3，x ＝my ＋t ，消去x ，得(3m 2－1)y 2＋6mty ＋3t 2－3＝0，则△＝(6mt )2－4(3m 2－1)(3t 2－3)＝12(3m 2＋t 2－1)＞0且m 2≠13③，且y 1＋y 2＝－6mt3m 2－1，y 1y 2＝3t 2－33m 2－1． …………………7分因为OA ⊥OB ，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，又因为x 1＝my 1＋t ，x 2＝my 2＋t ， 则OA →·OB →＝(my 1＋t )(my 2＋t )＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋t 2＝0， 即(m 2＋1)(3t 2－3)－6m 2t 2＋t 2(3m 2－1)3m 2－1＝0，则可化为2t 2＝3m 2＋3． 点O 到直线l 的距离d ＝|t |m 2＋1＝t 2m 2＋1＝3(m 2＋1)2(m 2＋1)＝62． 故点O 到直线l 的距离为定值62． …………………9分因为△ABC 的面积为352，所以12AB ×d ＝352，即12×62×AB ＝352，可得AB 2＝30．则AB 2＝(1＋m 2)[( y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝(1＋m 2)[(6mt 3m 2－1)2－4×3t 2－33m 2－1]＝30，结合2t 2＝3m 2＋3，可得(9m 2－1)(m 2－1)＝0，解得m 2＝1，或m 2＝19．当m 2＝1时，t 2＝3，当m 2＝19时，t 2＝53．这两种情形满足③………11分从而所求直线l 的方程为x ＝±y ±3或x ＝±13y ±153． …………………………12分解法二、 显然，当直线OA 斜率为0、不存在时均不符合题意． ………………5分 当直线OA 斜率存在且不为0时，设直线OA 的斜率为k ，则方程为y ＝kx (0＜k 2＜3)．由⎩⎨⎧3x 2－y 2＝3，y ＝kx ，得(3－k 2)x 2＝3，于是得⎩⎨⎧x 2＝33－k 2，y 2＝3k 23－k 2，则OA 2＝x 2＋y 2＝3＋3k23－k 2，………7分同理可得OB 2＝3＋3k 23k 2－1，因为S △OAB2＝14 OA 2·OB 2＝14·3＋3k 23－k 2·3＋3k 23k 2－1＝454， 即k 4－3k 2＋1＝0，解得k 2＝3±52．……………9分即k ＝±5＋12或k ＝±5－12 (满足0＜k 2＜3)．考虑到5＋12×5－12＝1，只需分以下两种情形． 1º当OA 、OB 的斜率为5＋12、－5－12时， 结合⎩⎨⎧3x 2－y 2＝3，y ＝kx ，得A 1(15＋32，15＋332)或A 2(－15＋32，－15＋332)，同理可得B 1(15－32， 15－332)或B 2(－15－32，－15－332)， 于是由点A 1、B 1，据直线的两点式方程并化简可得AB 方程3x －y －15＝0， ……11分同理可得AB 的方程为3x －y ＋15＝0或x －y －3＝0或x －y ＋3＝0． 2º 同理，当OA 、OB 的斜率为－5＋12、5－12时， 直线AB 的方程为3x ＋y －15＝0或3x ＋y ＋15＝0或x ＋y －3＝0或x ＋y ＋3＝0综上，直线AB 的方程为3x ±y ±15＝0或x ±y ±3＝0………………………12分解法三、若直线L 斜率不存在时，由OA ⊥OB 可知OA 的方程为y=±x ，则可求得△ABC 的面积为，不合题意，故直线L 的斜率存在……………5分设直线L 方程为y=kx+t 与双曲线方程联立消去y 化简得由∆>0且≠0得，因为OA ⊥OB ，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1+t)(kx 2+t)=(1+k 2)x 1x 2+kt(x 1+x 2)+t 2=0 将上式代入化简得 3k 2+3-2t 2=0 ①………8分|AB|==②点O 到直线的距离为 ③因为将①②③代入此等式可化简得 ……………10分解得k 2=1即k=±1或k 2=9即k=±3，进而得到t 2=3即t=±或t 2=15即t=±，检验知以上都符合故所求直线AB 的方程为3x ±y ±15＝0或x ±y ±3＝0………………………12分注意：其它解法酌情给分．22、解析：（1）1)(-+='a e x f x， （1）当，即时，得恒成立，此时函数)(x f 在R 上单调递增，故函数)(x f 在R 上无最大最小值 ………………………2分○2当，即时，由，解得，当时，，f (x ) 单调递增 当时，，f (x )单调递减所以时，f (x )取最小值即)1ln()1(1))1(ln()(min a a a a f x f --+-=-= ………………………4分（2）x x e x g x f x h x-+-=-=)4sin(2)()()(π，则1)4cos(2)(-+-='πx e x h x○1当)43,4(ππ-∈x 时，由)4cos(π+=x y 在区间)43,4(ππ-上单调递减，知：)(x h '在)43,4(ππ-上单调递增，且01)0(<-='h ，012)43(43>-+='ππe h ，知：函数)(x h '在)43,4(ππ-上有唯一的零点)43,0(0π∈x 。
江苏省南京市校际联合体2020-2021学年高一下学期期末考试物理试题 (含答案)
(2)若使所有离子都能打到B板，且落点在B板上的长度为L，则A、B间要加多大的电压?
(3)若打到B板的离子只占总离子数的 ，则A、B间要加多大的电压?
2020-2021学年南京市“校际联合体”高一下期末联考
（物理）参考答案
一、单项选择题：本题包括10小题，每小题4分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项最符合题目要求。
2020-2021学年南京市“校际联合体”高一下期末联考
（物理）试题
本试卷满分100分，考试时间75分钟．
一、单项选择题：本题包括10小题，每小题4分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项最符合题目要求。
1.如图所示，某扫地机器人电池容量2000mA·h，额定工作电压15V，额定功率30W，则下列说法正确的是（）
13.(9分)如图所示，闭合电键后，理想电压表示数为2V，理想电流表示数是0.8 1.3A之间的某个值。一段时间后，电阻 发生了断路，两表的示数变为4.5V和1.5A。已知电源电动势E=6V，R3=1Ω，问：
(1)电阻R1的阻值是多少？
(2)电源内电阻r是多少？
(3)电阻R2 阻值是多少？
14．(13分)如图，将质量m=2kg的圆环套在与水平面成θ=37角的足够长的直杆上，直杆固定不动，环的直径略大于杆的截面直径，直杆在A点以下部分粗糙，环与杆该部分间的动摩擦因数=0.5（最大静摩擦力与滑动摩擦力近似相等），直杆A点以上部分光滑。现在直杆所在的竖直平面内，对环施加一个与杆成37夹角斜向上的恒力F，使环从直杆底端O处由静止开始沿杆向上运动，经t=4s环到达A点时撤去恒力F，圆环向上最远滑行到B处，已知圆环经过A点时速度的大小 。（重力加速度g=10m/s2，sin37=0.6，cos37=0.8）
江苏南京六校联合体2024年高二下学期期末调研测试数学试卷
2023-2024学年第二学期六校联合体期末调研测试高二数学2024.6.24注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．对于x ，y 两个变量，有四组样本数据，分别算出它们的线性相关系数r （如下），则线性相关性最强的是A ．－0.87B ．0.72C ．－0.78D ．0.852．在空间直角坐标系O －xyz 中，点(－1，2，3)关于x 轴的对称点坐标是A ．(1，2，3)B ．(－1，－2，3)C ．(－1，－2，－3)D ．(1，－2，－3)3．已知(x －2)8＝a 0＋a 1(x －1)＋…＋a 8(x －1)8，则a 0＋a 1＋…＋a 8＝A ．－1B ．0C ．1D ．24．3个男生2个女生站成一排，其中女生相邻的排法个数是A ．24B ．48C ．96D ．1205．已知函数f (x )＝tan x ，那么f '(π3)的值是A.33B.3C.2D.46．已知随机变量X ，Y 满足:X ～B (4，p )，P (X ＝0)＝1681，X ＋2Y ＝1，则A ．E (X )＝23B ．E (Y )＝－13C ．D (X )＝49D ．D (Y )＝297．给出下列四个命题，其中真命题是A ．若向量a 与向量b ，c 共面，则存在实数x ，y ，使a ＝x b ＋y cB ．若存在实数x ，y ，使MP →＝xMA →＋yMB →，则点P ，M ，A ，B 共面C ．直线a 的方向向量为a ＝(1，0，－1)，平面α的法向量为m ＝(1，1，1)，则a ⊥αD ．若平面β经过三点P (－1，2，0)，Q (1，0，－1)，T (0，1，0)，向量n ＝(1，x ，y )是平面β的法向量，则x ＋y ＝28．若函数2)(x ae x f x -=有两个极值点21,x x ，且21x x <，则下列结论中不正确的是A ．12>x B ．112x e x <C ．a 的范围是2,0(eD ．0ln ln 21<+x x 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分．9．A －，B －分别为随机事件A ，B 的对立事件，下列命题正确的是A ．P (A |B )＋P (A －|B )＝1B ．若P (A )＞0，P (B )＞0，则P (A )＋P (B )＝P (A ＋B )C ．若P (A |B )＝P (A )，则A 与B 独立D ．P (A |B )P (B )＋P (A |B －)P (B －)＝P (A )10．已知函数f (x )＝13x 3－ax 2－x ，下列选项正确的是A ．若f (x )在区间(0，2)上单调递减，则a 的取值范围为(34，＋∞)B ．若f (x )在区间(0，2)上有极小值，则a 的取值范围为(－∞，34)C ．当a ＝0时，若经过点M (2，m )可以作出曲线y ＝f (x )的三条切线，则实数m 的取值范围为(－2，23)D.若曲线y ＝f (x )的对称中心为(1，－53)，则a ＝111．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,点F 在底面ABCD 内运动(含边界),点E 是棱CC 1的中点,则A.若F 在棱AD 上时，存在点F 使cos ∠D 1B 1F ＝56B.若F 是棱AD 的中点，则EF //平面AB 1CC.若EF ⊥平面B 1D 1E ，则F 是AC 上靠近C 的四等分点D.若F 在棱AB 上运动，则点F 到直线B 1E 的距离最小值为255三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．平面α过点A (0，1，0)，其法向量为m ＝(0，2，1)，则点B (1，1，1)到平面α的距离为▲________．13．从集合U={a 1，a 2，a 3，a 4}的子集中选出2个不同．．的子集A ，B ，且A ⊆B ，则一共有▲________种选法．14．现有甲、乙两个盒子，甲盒有2个红球和1个白球，乙盒有1个红球和1个白球．先从甲盒中取出2个球放入乙盒，再从乙盒中取出2个球放入甲盒．记事件A 为“从甲盒中取出2个红球”，事件B 为“乙盒还剩1个红球和1个白球”，则P (B |A )＝▲________，P (－A －B )＝▲________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)为了研究学生的性别与喜欢运动的关联性，随机调查了某中学的100名学生，整理得到如下，左表数据：（1）求a ,b 的值，并判断是否有90％的把握认为“学生的性别与喜欢运动有关联”？（2）经调查，学生的学习效率指数y 与每天锻炼时间x （单位：拾分钟）呈线性相关关系，统计数据见右下表，求y 关于x 的线性回归方程．附：（1）()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++（2）()()()1122211ˆ,ˆˆnni iiii i n niii i x x yy x ynx y ba y bxx x xnx ====---===---∑∑∑∑16．(本小题满分15分)已知),3()2()(*N n n x x f n ∈≥+=的展开式中，第2，3，4项的二项式系数成等差数列．（1）求n 的值；（2）求)001.0(f 的近似值（精确到0.01）；（3）求n x )2(+的二项展开式中系数最大的项．男学生女学生合计喜欢运动a b 60不喜欢运动b b合计60100x 23456y 2.533.556α0.10.050.01x α2.7063.8416.63517．(本小题满分15分)如图，所有棱长均为2的正四棱锥P －ABCD ，点M ，N 分别是PA ，BD 上靠近P ，B 的三等分点.（1）求证：MN ⊥BC ；（2）求二面角M －CN －B 的余弦值．18．(本小题满分17分)某校举行投篮趣味比赛，甲、乙两位选手进入决赛，每位选手各投篮4次，选手在连续投篮时，第一次投进得1分，并规定：若某次投进，则下一次投进的得分比本次得分多1分；若某次未投进，则该次得0分，且下一次投进得1分．已知甲同学每次投进的概率为13，乙同学每次投进的概率为23，且甲、乙每次投篮相互独立．（1）求甲最后得3分的概率；（2）记甲最后得分为X ，求X 的概率分布和数学期望；（3）记事件B 为“甲、乙总分之和为7”，求P (B )．19．(本小题满分17分)定义：如果函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象上分别存在点M 和点N 关于x 轴对称，则称函数y ＝f (x )和y ＝g (x )具有“伙伴”关系.（1）判断函数f (x )＝9x －4与g (x )＝3x +1是否具有“伙伴”关系；（2）已知函数f (x )＝ln x －ax －1，x ∈(1，＋∞)，a ＞0，g (x )＝1－a x ＋2a .①若两函数具有“伙伴”关系，求a 的取值范围；②若两函数不具有“伙伴”关系，求证：1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n ＋n ＋14n ＞ln2，其中n 为正整数．。
江苏省南京市六校联考2020-2021学年高一下学期期末英语 试卷(含答案)
南京市六校2020-2021学年度第二学期期末联考高一英语试卷本卷：共150分考试时间：120分钟第一部分听力（共两节，满分20分）第一节（共5小题；每小题1分，满分5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. How will the woman pay?A. By credit card.B. By cash.C. By check.2. Where was the man born?A. In America.B. In England.C. In Canada.3. Which season is it now?A. Spring.B. Winter.C. Summer.4. When will the man get on a plane?A. At 8:00.B. At 8:15.C. At 8:30.5. Where does the woman want to go?A. Spain.B. Switzerland.C. Singapore.第二节（共15 小题；每小题 1 分，满分15分）听下面 5 段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各小题，每小题5 秒钟；听下面一段对话，回答第6 和第7 两个小题。
6. What can’t Janie understand?A. Her English paper.B. Her history test.C. Her homework.7. Who will the man help?A. His father.B. His sister.C. The woman.听下面一段对话，回答第8 至第10 三个小题。
江苏省南京市六校2020-2021学年高一上学期11月联合调研数学试题(解析版)
2020-2021学年第一学期11月六校联合调研试题高一数学一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 命题“x R ∀∈，2(1)0x -≥”的否定为（ ）A. x R ∀∈，2(10)x -<B. 不存在x ∈R ，2(10)x -< C. 0x R ∃∈，()2010x -< D. 0x R ∃∈，()2010x -≥【答案】C 【解析】 【分析】将全称命题否定为特称命题即可【详解】命题为全称命题，则命题“x R ∀∈，()210x -≥”的否定为0x R ∃∈，()2010x -<． 故选：C ．2. 设集合{1,0}A =-，{1,1}B =-，则A B =（ ）A. φB. {}1-C. {1,1}-D. {1,0,1}-【答案】D 【解析】 【分析】直接根据并集的概念运算求解即可得结果. 【详解】{}1,0A =-，{}1,1B =-，{}1,0,1A B ∴=-．故选：D ．3. 设函数21(),1x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A. 1 C. 2D. 4【答案】C 【解析】【分析】根据分段函数解析式求出1()2f =，再求出2f =即可得解.【详解】函数()21,1x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩，12f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭2122f f f⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：C ．4. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A. 1(0)y x x=-≠ B. ()y x x R =-∈C. 2()y x x R =-∈D. ()y x x R =∈【答案】B 【解析】 【分析】分别根据解析式判断函数的单调性和奇偶性可得答案. 【详解】对于A ，函数()10y x x=-≠为奇函数，在定义域内不单调，故A 不符合题意； 对于B ，函数()y x x R =-∈为奇函数，在定义域R 上为减函数，符合题意； 对于C ，函数()2y xx R =-∈为偶函数，不符合题意；对于D ，函数()y x x R =∈为奇函数，且在定义域R 上为增函数，不符合题意． 故选：B ．【点睛】关键点点睛：掌握幂函数的奇偶性和单调性是解题关键. 5. “0ab =”是“0a =”的（ ） A. 必要条件 B. 充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断【详解】因为00a ab =⇒=，但是0ab =不能说a 一定为0，所以“0ab =”是“0a =”的必要不充分条件． 故选：A ．6. 已知0a >，0b >且31a b +=，则28a b +的最小值为（ ）A.B. C. 6 D. 8【答案】A 【解析】 【分析】由于0a >，0b >且31a b +=，则利用基本不等式可得28a b +≥=，从而可得答案 【详解】因为0a >，0b >且31a b +=，则28a b +≥==，当且仅当132a b ==即12a =，16b =时取等号，所以28a b +的最小值为故选：A ．7. 对数应用很广泛，有些速算的原理来自对数，例如：如果正整数a 的31次方是个35位数，那么根据3431351010a <<，取常用对数得到3435lg 3131a <<，即可得到1.09lg 1.15a <<，由对数表可知这个数是13，已知某个正整数的57次方是个45位数，则该正整数是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B 【解析】 【分析】本题首先可设这个正整数a ，然后根据题意得出4457451010a <<，转化得出0.77lg 0.79a <<，最后根据表中数据即可得出结果.【详解】设这个正整数为a ，因为a 的57次方是个45位数， 所以4457451010a <<，即4445lg 5757a <<， 则0.77lg 0.79a <<，结合表中数据易知，6a =， 故选：B.8. 关于x 的不等式()22110x x a x x a --+++++>对任意的0x >恒成立，则a 的取值范围是（ ）A. 2a >-B. 1a >-C. 0a >D. 1a >【答案】B 【解析】 【分析】 令()12t x xt -=+≥，利用基本不等式得到t 的范围，把问题转化为210t at a ++->对任意的2t ≥恒成立，也即()()110t t a ++->对任意的2t ≥恒成立，所以只需min 1a t -<，即可求出结果. 【详解】关于x 的不等式()22110x x a x x a --+++++>对任意的0x >恒成立，即()()21110x x a x x a --++++->对任意的0x >恒成立，令()12t x xt -=+≥，当且仅当1x =时取等号；则210t at a ++->对任意的2t ≥恒成立， 也即()()110t t a ++->对任意的2t ≥恒成立， 所以只需min 1a t -<， 所以12a -<， 即1a >-． 故选：B ．【点睛】关键点睛：令()12t x xt -=+≥，利用基本不等式得到t 的范围，把问题转化为210t at a ++->对任意的2t ≥恒成立是解决本题的关键.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，不选或有选错的得0分．9. 下列命题正确的有（ ）A. 0x ∃<，2210x x --=B. 0m =是函数2()1f x x mx =++为偶函数的充要条件C. x R ∀∈x =D. 1x >是(1)(2)0x x -+>的必要条件 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A ，解方程2210x x --=可判断；对于B ，利用充要条件的定义判断即可；对于C ,0,0x x x x x ≥⎧=⎨-<⎩，可判断C 错误；对于D ，由必要条件的定义判断即可【详解】对于A ，2210x x --=，解得1x ==±0x ∃<，2210x x --=，所以A 正确；对于B ，“0m =”时，函数()21f x x =+是偶函数，“函数()21f x x mx =++是偶函数时，由()()f x f x -=得到0m =，故B 正确．对于C x =，所以x R ∀∈x =不正确，所以C 不正确． 对于D ，1x >可得()()120x x -+>，反之不成立，所以D 不正确． 故选：AB ．10. 若0b a <<，则下列不等式中恒成立的有（ ） A. b a >B. a b ab +<C. 22bc ac <D. 22a a b b<-【答案】ABD 【解析】 【分析】本题首先可根据0b a <<判断出A 正确，然后根据0a b +<、0ab >判断出B 正确，再然后取0c这种情况判断出C 错误，最后通过()20a b b-<判断出D 正确.【详解】A 项：因为0b a <<，所以b a >，A 正确； B 项：因为0a b +<，0ab >，所以a b ab +<，B 正确； C 项：当0c时，22bc ac ，C 错误；D 项：因为()2220a b a a b b b--+=<，所以22a a b b <-，D 正确， 故选：ABD ．11. 下列不等式恒成立的有（ ）A.2a b ba+≥B. 1(1)4a a -≤C. 22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭D. 222a b c ab bc ca ++≥++【答案】BCD 【解析】 【分析】举特值可知A 不正确，作差比较大小可知BCD 正确. 【详解】对于A ：令1a =-，1b =-，显然错误；对于B ：()2211110442a a a a a ⎛⎫⎛⎫--=--+=--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；对于C ：()2222222222220224244a b a b a b a ab b a b a ab b -+++++-+⎛⎫-=-=-=-≤ ⎪⎝⎭，故C 正确； 对于D ：()()()()22222222220a b c ab ac bc a b b c a c ++---=-+-+-≥，故D 正确；故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：作差比较大小是本题的解题关键. 12. 已知22()1xf x x =+，则下列说法正确的有（ ） A. ()f x 奇函数 B. ()f x 的值域是[1,1]-C. ()f x 递增区间是[1,1]-D. ()f x 的值域是(,1][1,)-∞-+∞【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，利用奇函数的定义进行判断；对于B ，D ，利用判别式法求其值域；对于C ，利用单调性的定义进行判断【详解】对于A ，()221x f x x =+，其定义域为R ，有()()221xf x f x x -=-=-+，为奇函数，A 正确； 对于B ，221xy x =+，变形可得220yx x y -+=，则有2440y ∆=-≥，解可得11y -≤≤，即函数的值域为[]1,1-，B 正确， 对于C ，()221xf x x =+，任取12,x x R ∈，且12x x <，则 1221121222221212222()(1)()()11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++， 当12,[1,1]x x ∈-，所以12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 的递增区间是[1,1]-，所以C 正确，对于D ，由选项B 的结论，D 错误， 故选：ABC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 计算83log 9log 16⨯的值是________． 【答案】83【解析】 【分析】根据公式log log m na a nb b m =和1log log a bb a =运算即可.【详解】83log 9log 16⨯()2328log 34log 233=⨯=． 故答案为：83． 14. 已知函数3()||f x ax bx x =-+，,a b ∈R ，且(2)1f -=-，则(2)f 的值是________．【答案】5 【解析】 【分析】根据()()224f f +-=以及(2)1f -=-可得结果.【详解】根据题意，函数()3f x ax bx x =-+，则()2822f a b =-+，()2822f a b -=-++，则有()()224f f +-=，又由()21f -=-，则()25f =， 故答案为：5．15. 已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]-∞上是减函数，若(1)(32)0f m f m ++-<，则实数m 的取值范围是________． 【答案】1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】利用函数奇偶性和单调性的关系进行求解判断． 【详解】()f x 是奇函数，在(],0-∞上是减函数，()f x ∴在R 上单调递减， ()()1320f m f m ++-<， ()()132f m f m ∴+<--，即()()123f m f m +<-，123m m ∴+>-，解得14m >． 故答案为：1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭． 16. 设集合2,12x x b a b a ⎧⎫=+≤≤≤⎨⎬⎩⎭∣中的最大、最小元素分别为M 、m ，则M m +的值是________，当x 取最小元素m 时，+a b 的值是________．【答案】 (1). 4+ (2). 【解析】 【分析】由题意分析a 取最小值为1，b 取最大值为2．所以可得最大值；22b a a a+≥+，利用基本不等式即可得到最小值以及x 取最小元素m 时，+a b 的值.【详解】12a b ≤≤≤，a ∴取最小值为1，b 取最大值为2．所以最大值2224M b a=+=+=， 又2222b a a a a a+≥+≥⨯= 当且仅当2a a =时取到等号， 即2b a ==有最小值22m =， 所以422M m +=+当x 取最小元素m 时+a b 的值是22 故答案为：422+，2．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17. 已知集合{}2|9A x x =<，{|22}B x m x m =-<<+． （1）当2m =时，设全集U =R ，求UA B ；（2）若AB =∅，求实数m 取值范围．【答案】（1）(3,0]UA B ⋂=-；（2）5m ≤-或5m ≥.【解析】【分析】（1）先求解集合,A B ，再利用集合的补集和交集运算求解即可；（2）利用AB =∅，可得23m +≤-或23m -≥，求解即可.【详解】（1）由29x <得(3,3)A =-， 当2m =时，(0,4)B =，(,0][4,)UB =-∞⋃+∞，所以(3,0]UA B ⋂=-．（2）若AB =∅，又(3,3)A =-，{|22}B x m x m =-<<+， 则23m +≤-或23m -≥， 解得5m ≤-或5m ≥，所以实数m 取值范围是：5m ≤-或5m ≥.18. 设正实数x ，y 满足211x y+=．（1）求xy 的最小值，并指出最小值时相应的x ，y 的值； （2）求2x y +的最小值，并指出取得最小值时相应的x ，y 的值． 【答案】（1）最小值是8，4x =，2y =；（2）最小值是9， 3x y ==. 【解析】 【分析】（1）运用基本不等式进行求解即可；（2）运用基本不等式，结合“1”代换进行求解即可.【详解】（1）因x ，y 是正实数，211x y =+≥=，即8xy ≥， 当且仅当2112x y ==时取等号，有4x =，2y =， 所以xy 的最小值是8，此时4x =，2y =． （2）因x ，y 是正实数，则21222(2)559x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭， 当且仅当22x yy x=时等号，即当3x y ==时取等号，所以2x y +的最小值是9， 此时3x y ==．19. 某种商品的市场需求量1y （万件）、市场供应量2y （万件）与市场价格x （元/件）分别近似地满足下列关系：180y x =-+，2210y x =-，其中580x ≤≤，当12y y =时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量． （1）求平衡价格和平衡需求量．（2）若该商品的市场销售量P （万件）是市场需求量1y 和市场供应量2y 两者中的较小者，该商品的市场销售额W （万元）等于市场销售量P 与市场价格x 的乘积．当市场价格x 取何值时，市场销售额W 取得最大值，并求出最大值．【答案】（1）平衡价格是30元，平衡需求量是50万件；（2）市场价格是40元时，市场总销售额W 取得最大值，最大值为1600万元． 【解析】 【分析】（1）令12y y =可解得结果；（2）根据题意求出W （万元）关于x （元/件）的函数关系式，再分段求出最大值，取更大的函数值即可得解.【详解】（1）令12y y =，得80210x x -+=-，解得30x =，此时1250y y ==， 所以平衡价格是30元，平衡需求量是50万件．（2）由题意可知：210,53080,3080x x P x x -≤≤⎧=⎨-+<≤⎩，故22210,53080,3080x x x W x x x ⎧-≤≤=⎨-+<≤⎩，当530x ≤≤时，22525210222W x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，即30x =时，max 1500W =；当3080x <≤时，2280(40)1600W x x x =-+=--+， 即40x =时，max 16001500W =>，综述：当580x ≤≤时，40x =时，max 1600W =．答：市场价格是40元时，市场总销售额W 取得最大值，最大值为1600万元．【点睛】关键点点睛：正确理解题意，建立W （万元）关于x （元/件）的函数关系式是解题关键. 20. 已知关于x 的不等式2220a x ax --<的解集是M ． （1）若2M ∈，求a 的取值范围．（2）若函数22()2f x a x ax =--的零点是1-和12，求不等式2(1)20ax a x +-+<的解集． （3）直接写出关于x 的不等式2220a x ax --<的解集． 【答案】（1）112a -<<；（2）()1,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭；（3）答案见解析.【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解即可；（2）利用函数的零点是1-和12，求出a 的值，代入不等式求解即可；（3）分0,0,0a a a =><三种情况求解即可. 【详解】（1）由2M ∈得2210a a --<， 解得112a -<<． （2）函数22()2f x a x ax =--零点是1-和12， 即方程120x x a a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的两根为1-和12，则11212a a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或11221a a⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得2a =-．代入2(1)20ax a x +-+<得22320x x -->， 即12x <-或2x >． 则原不等式解集为()1,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．（3）由2220a x ax --<， 当0a =时，20-<恒成立， 原不等式的解集为R ， 当0a ≠时，120x x a a ⎛⎫⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当0a >时，原不等式的解集为12x x a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣， 当0a <时，原不等式的解集为21xx aa ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭∣． 综上：当0a =时，原不等式的解集为R ；当0a >时，原不等式的解集为12x x a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣；当0a <时，原不等式的解集为21xx a a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭∣． 【点睛】方法点睛：解含参数的一元二次不等式的步骤：（1）若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；（2）判断方程根的个数，讨论判别式∆与0的关系；（3）确定无根式可直接写出解集，确定方程有两根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集.21. 已知函数2()(,)f x x ax b a b =++∈R ，且()f x 单调递增区间是[,)+∞b ．（1）若1()4f x ≥对任意实数x ∈R 都成立，求a ，b 的值． （2）若()f x 在区间(,1]-∞上有最小值-1，求实数b 的值．（3）若2b ≥，对任意的1x ，2[1,2]x b ∈，总有12|()()|23f x f x b -≤+，求实数b 的取值范围 【答案】（1）12b =，1a =-；（2）b =2b =；（3）23b ≤≤. 【解析】 【分析】根据二次函数的单调区间得到2a b =-，2()2f x x bx b =-+， （1）根据214404b b ⎛⎫∆=--≤ ⎪⎝⎭可解得结果；（2）分类讨论对称轴，用二次函数知识求出最小值，结合已知最小值可得结果；（3）转化为对[1,2]x b ∈，max min ()()23f x f x b -≤+，然后利用二次函数知识求出最大最小值代入即可解得结果.【详解】函数2()f x x ax b =++的单调递增区间是[,)+∞b ，则2ab -=，即2a b =-，则2()2f x x bx b =-+． （1）1()4f x ≥即21204x bx b -+-≥对任意实数x ∈R 都成立，则214404b b ⎛⎫∆=--≤ ⎪⎝⎭，即2(21)0b -≤， 故12b =，1a =-． （2）()f x 的对称轴为x b =，①若1b <，则()f x 在(,]b -∞递减，在(,1]b 上递增，min ()()1f x f b ==-，所以2221b b b -+=-，即210b b --=，解得12b ±=，因为1b <，所以12b -=．②若1b ≥，则()f x 在(,1]-∞递减，则min ()(1)1f x f ==-，即2b =，综上，12b -=或2b =． （3）由题意，对[1,2]x b ∈，max min ()()23f x f x b -≤+， 因为2b ≥，所以[1,2]b b ∈，且122b b +<，所以max ()(2)f x f b b ==，2min ()()f x f b b b ==-+， 则2()23b b b b --+≤+，即2230b b --≤，解得13b -≤≤， 又2b ≥，所以23b ≤≤．【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： ①若()k f x ≥在[,]a b 上恒成立，则max ()k f x ≥； ②若()k f x ≤在[,]a b 上恒成立，则min ()k f x ≤； ③若()k f x ≥在[,]a b 上有解，则min ()k f x ≥； ④若()k f x ≤在[,]a b 上有解，则max ()k f x ≤；22. 已知函数2()g x k x k =+，()22()214h x x k k x =--++．（1）当1k =时，求函数()()h x y g x =，(,1)x ∈-∞-的最大值； （2）令(),0()(),0g x x f x h x x >⎧=⎨<⎩，求证：对任意给定的非零实数1x ，存在惟一的实数()212x x x ≠使得()()12f x f x =成立的充要条件是4k =．【答案】（1）4-；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）换元后，利用基本不等式求得最大值；（2）充分性：当4k =时，可知()f x 在(0,)+∞上和(,0)-∞上都是单调函数，且值域都是(4,)+∞，所以任意给定的实数1x ，存在惟一的实数()212x x x ≠使得()()12f x f x =成立；必要性：当0k =时，显然不符合题意，因此0k ≠，此时0x >时，()f x 的取值集合(,)A k =+∞，0x <，()f x 的取值集合(4,)B =+∞，由A B ⊆且B A ⊆列式可解得结果.【详解】（1）当1k =时，函数2241x x y x -+=+，(,1)x ∈-∞-，令10t x =+<，则74y t t=+-，此时0t ->，由7()t t ⎛⎫-+-≥= ⎪⎝⎭即7t t+≤-，当且仅当7t，即1x =时取等号，综上，当1x =时，y 最大值是4-． （2）充分性：当4k =时，2164,0()264,0x x f x x x x +>⎧=⎨-+<⎩， 当0x >时，164y x =+在(0,)+∞单调递增，且4y >， 当0x <时，2264y x x =-+在(,0)-∞单调递减，且4y >，若1>0x ，则存在惟一的20x <，使得()()12f x f x =，同理10x <时也成立， 必要性：当0x >时，2y k x k =+，当0k =时，()f x 在(0,)+∞上的值域为{0}，显然不符合题意，因此0k ≠， 当0x >时，()f x 在()f x 的取值集合(,)A k =+∞，0x <，()22()214f x x k k x =--++的对称轴210x k k =-+>，()f x 在(,0)-∞上递减，()(0)4f x f >=，所以()f x 的取值集合(4,)B =+∞，①若1>0x ，()f x 且在(0,)+∞上单调递增，要使()()12f x f x =， 则20x <，且A B ⊆，有4k ≥．②若10x <，()f x 且在(,0)-∞上单调递减，要使()()12f x f x =， 则20x >，且B A ⊆，有4k ≤． 综上：4k =．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.。
江苏省南京市六校联考2020-2021学年高一下学期期末生物试卷(含答案)
2020-2021学年度第二学期末联考高一生物试卷本卷:共100分考试时间：75分钟一、单选题：本题共30题，每题2分，共60分。
1.下列关于孟德尔研究过程的分析，叙述正确的是 ( )A.孟德尔依据减数分裂的相关实验结果，进行“演绎推理”B.孟德尔假说的核心内容是“成对的遗传因子分离，且雌雄配子数量比为1:1”C.为了验证作出的假说是否正确，孟德尔设计并完成了正、反交实验进行验证D.孟德尔成功的原因之一是应用统计学方法对实验结果进行分析2.下列各组中属于相对性状的是( )A.玉米的黄粒和圆粒B.家鸡的长腿和毛腿C.绵羊的白毛和黑毛D.豌豆的高茎和豆荚的绿色3.某种水果果皮红色(H)对黄色(h)为显性，果肉酸味(R)对甜味(r)为显性，这两对相对性状独立遗传。
现有基因型为HhRr、hhrr的两个个体杂交，其子代的表现型比例是( )A.9∶3∶3∶1B.1∶1∶1∶1C.3∶l∶3∶1D.1∶14.孟德尔的两对相对性状的遗传实验中，具有1∶1∶1∶1比例的是( )①F1产生配子类型的比例②F2表现型的比例③F1测交后代类型的比例④F1表现型的比例⑤F2遗传因子组合的比例A.②④B.①③C.④⑤D.②⑤5.减数分裂过程中，染色体的行为变化顺序是( )A.复制→分离→联会→分裂B.联会→复制→分离→分裂C.联会→分离→复制→分裂D.复制→联会→分离→分裂6.下图是某种生物细胞减数分裂过程中几个特定时期的显微照片。
下列叙述正确的是( )A.图甲中，细胞中的同源染色体之间可能会发生交叉互换B.图乙中，移向细胞两极的染色体种类相同C.图丙中，染色体的复制正在进行，着丝粒尚未分裂D.图丁中，细胞中的同源染色体分离，染色体数目减半7.关于减数分裂的说法，错误的是( )A.减数分裂过程中细胞分裂两次B.减数分裂前的间期染色体只复制一次C.减数分裂过程中染色体数目的减半发生在减数第二次分裂D.成熟的生殖细胞中的染色体数目是原始生殖细胞的一半8.人体内某一细胞正在进行减数分裂，其内有44条常染色体和两个同型的性染色体，此细胞不可能是 ( )①初级精母细胞②次级卵母细胞③初级卵母细胞④次级精母细胞⑤卵细胞⑥精细胞A.①⑤⑥B. ②③④C.①④⑥D.②③⑤9.右图是某哺乳动物减数分裂模式图，该细胞 ( )A.有1个四分体B.分裂后产生4种精子C.处于有丝分裂中期D.可能发生过基因突变或基因重组10.下列有关受精作用的叙述，不正确的是 ( )A.受精卵中全部遗传物质的一半来自精子B.受精时精子细胞核与卵细胞的核相融合C.受精卵中的染色体一半来自父方，一半来自母方D.受精卵中染色体数与本物种体细胞染色体数一致11.最早证明基因在染色体上的实验是( )A.孟德尔的豌豆杂交实验B.萨顿的蝗虫实验C.摩尔根的果蝇杂交实验D.人的红绿色盲研究12.下列关于基因和染色体在减数分裂过程中行为变化的描述，错误的是( )A.同源染色体分离的同时，等位基因也随之分离B.非同源染色体自由组合，使所有的非等位基因之间也发生自由组合C.染色单体分开时，复制而来的两个基因也随之分离D.非同源染色体数量越多，非等位基因组合的种类也越多13.果蝇的红眼对白眼为显性，且控制眼色的基因在X染色体上。
江苏省南京市六校联合体2021-2022学年高二下学期期末数学试题(解析版)
江苏省南京市六校联合体2021-2022学年高二下学期期末数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合{}2560A x x x =--≤，(){}ln 25B x y x ==-，则AB =（ ）A. 5,32⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 5,62⎛⎤ ⎥⎝⎦C.()3,+∞ D. ()6,+∞ 〖答 案〗B〖解 析〗因为256(6)(1)0x x x x --=-+≤，解得16x -≤≤，所以集合{}16A x x =-≤≤，又ln(25)y x =-，故250x ->，解得52x >，所以集合52B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，所以5,62A B ⎛⎤= ⎥⎝⎦. 故选：B.2. 已知复数12i1i z +=-，则复数z 的共轭复数z 的虚部是（ ）A.32-B. 32 C.12D. 1i 2〖答 案〗A〖解 析〗复数()()()()1+2i 1+i 1+2i 1+3i1i 1i 1+i 2z -===--，则13i22z =--，z 的虚部为32-． 故选：A.3. 已知向量a ，b 满足2a =，1b =，,a b 夹角为60︒，若()()a b a bλ+⊥-，则实数λ的值为（）A. 2B. C. 5D. 52〖答案〗D〖解析〗因为2a=，1b =且a与b夹角为60︒，所以1cos602112a b a b⋅=⋅︒=⨯⨯=，又()()a b a bλ+⊥-，所以()()0a b a bλ+⋅-=，即()2210a ab bλλ+-⋅-=，即()2210a ab bλλ+-⋅-=，所以()2221110λλ+-⨯-⨯=，解得52λ=；故选：D.4. 若双曲线222:14x yCa-=的一条渐近线与直线:3220l x y+-=相互垂直，则双曲线C 的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为（）A. B. 6 C. D. 8〖答案〗C〖解析〗双曲线222:14x yCa-=的一条渐近线方程为20x ay-=，由两直线垂直得，23203a a⨯-=⇒=，22213c a b∴=+=，所以双曲线的焦点坐标为)()12,F F==，虚轴一个顶点坐标为()0,2B，121211222F BFS F F OB∴=⨯⨯=⨯=故选：C.5. 已知51mx xx x⎛⎫⎛⎫+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中常数项为20，则m=（）A. 3-B. 3C.13 D.13-〖答案〗B〖解 析〗51()x x -展开式中第1r +项5521551C ()(1)C r r r r r r r T x xx --+=-=-，当2r =时，235C 10T x x==，3r =时，34510C T x x =-=-，所以51m x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中常数项为10101010m x x m x x ⨯-⨯=-，所以101020m -=，得3m =. 故选：B.6. 设某工厂仓库中有10盒同样规格的零部件，已知其中有4 盒、3盒、3盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种零部件的次品率依次为111,,101520，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一个零部件，则取得的零部件是次品的概率为（ ） A. 0.06 B. 0.07C. 0.075D. 0.08〖答 案〗C〖解 析〗依题意，任取一盒产品，分别来自甲、乙、丙三厂的概率分别是433,,101010， 所以任取一个零部件，则取得的零部件是次品的概率为14131330.07510101510201040P =⨯+⨯+⨯==，故选：C ． 7. 已知圆221:4O x y +=，圆()222:22400O x y mx my m +---=≠，则同时与圆1O 和圆2O 相切的直线有（ ）A. 4条B. 2条C. 1条D. 0条 〖答 案〗B 〖解 析〗由221:4O x y +=，得圆()10,0O ，半径为12r =，由()222:22400O x y mx my m +---=≠，得()2,O m m ，半径为2r ==所以210O O ==>，2120r r -=>，122r r +=+ 所以121212OO r r r r -<<+，所以圆1O 与圆2O 相交，所以圆1O 与圆2O 有两条公共的切线.故选：B. 8. 将等比数列{}n b 按原顺序分成1项，2项，4项，…，12n -项的各组，再将公差为2的等差数列{}n a 的各项依次插入各组之间，得到新数列{}n c ：1b ，1a ，2b ，3b ，2a ，4b ，5b ，6b ，7b ，3a ，…，新数列{}n c 的前n 项和为n S ．若11c =，22c =，3134S =，则S 200= （ ）A.3841117232⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ B.3861113032⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦C. 3861117232⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦D.38411302⎛⎫- ⎪⎝⎭〖答 案〗A〖解 析〗由已知得11b =，12a =，2331214b c S c c ==--=，等比数列{}n b 的公比14q =． 令21122221n n n T -=++++=-，则663T =，7127T =，8255T =所以数列{}n c 的前200项中含有数列{}n a 的前7项，含有数列{}n b 的前193项，故()()20012181292S b b b a a a =+++++++1933841176112472172123214⎛⎫- ⎪⎡⎤⨯⎛⎫⎝⎭=++⨯=-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⨯．故选：A ．二、多项选择题：(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9. 下列说法正确的是（ ）A. 若随机变量η的概率分布列为()(1,2,3,4,5)P k ak k η===，则110a =B. 若随机变量X ~2(3,)N σ，(5)0.7P X ≤= ，则(1)0.3≤=P X C. 若随机变量X ~2(8,)3B ，则16()3D X =D. 在含有4件次品的10件产品中，任取3件，X 表示取到的次品数，则3(2)10P X ==〖答 案〗BD〖解 析〗对于A 选项，由分布列的性质可知()512345151k P k a a a a a a η===++++==∑，解得115a =，A 错误；对于B 选项，若随机变量()23,XN σ且()50.7P X ≤=，则()()()15150.3P X P X P X ≤=≥=-≤=，B 对；对于C 选项，若随机变量28,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()21168339D X =⨯⨯=，C 错； 对于D 选项，由超几何分布的概率公式可得()2146310C C 3632C 12010P X ====，D 对.故选：BD.10. 为响应政府部门疫情防控号召，某红十字会安排甲、乙、丙、丁四名志愿者奔赴A ，B ，C 三地参加防控工作，则下列说法正确的是（ ） A. 不同的安排方法共有64种B. 若恰有一地无人去，则不同的安排方法共有42种C. 若甲必须去A 地，且每地均有人去，则不同的安排方法共有12种D. 若甲､乙两人都不能去A 地，且每地均有人去，则不同的安排方法共有14种 〖答 案〗BCD〖解 析〗四人到三地去，一人只能去一地，方法数4381=，A 错；若恰有一地无人去，则不同的安排方法数是11233444C (C C C )42++=，B 正确；若甲必须去A 地，且每地均有人去，则不同的安排方法数为233133A C C 12++=，C 正确； 若甲､乙两人都不能去A 地，且每地均有人去，则不同的安排方法数为11222332C (C C )A 14++=，D 正确．故选：BCD ．11. 已知椭圆22143x y +=的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，则下列说法正确的是（ ） A. 2ABF 的周长为8 B. 椭圆的长轴长为2 C.22AF BF +的最大值为5D.2ABF 面积最大值为3〖答 案〗ACD〖解 析〗由题可知，在椭圆22143x y +=中，2,1a b c ===， 2ABF 的周长为221148AF AF BF BF a +++==,故A 项正确；椭圆的长轴长为24a =，故B 项错误； 因为228AF BF AB+=-，当且仅当12AB F F ⊥时，AB最小，代入1x =-，解得32y =±，故3AB =，所以22AF BF +的最大值为5，故C 项正确；根据椭圆的性质可得，当且仅当12AB F F ⊥时，2ABF 面积最大，故12132S AB F F =⋅=,故D 项正确.故选：ACD.12. 已知函数()f x 的定义域为R ，且(1)f x +为奇函数，(2)f x +为偶函数，且对任意的()12,1,2x x ∈，且12x x ≠，都有1212()()f x f x x x ->-，则下列结论正确的是（ ）A. ()f x 是奇函数B. (1023)0f =C. ()f x 的图像关于(1,0)对称D.719()()48f f -> 〖答 案〗BCD〖解 析〗由题设，(1)(1)f x f x -+=-+，即()(2)f x f x =--，则()f x 关于(1,0)对称，C 正确；(2)(2)f x f x -+=+，即()(4)f x f x -=+，()f x 关于2x =对称，所以()(2)(4)f x f x f x =-+=+，即()f x 周期为4， 且()()f x f x =-，即()f x 为偶函数，A 错误；则(1023)(42561)(1)(1)0f f f f =⨯-=-==，B 正确；又()12,1,2x x ∈，且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-，即()f x 在1,2上递增，综上，()f x 在(0,1)上递增，则(2,4)上递减，故7719()()()448f f f -=>，D 正确. 故选：BCD第Ⅱ卷（非选择题 共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.2R,10x x x λ∀∈-+>，则λ的取值范围为__________． 〖答 案〗22λ-<<〖解 析〗由题设240λ∆=-<，可得22λ-<<. 故〖答 案〗为：22λ-<<. 14. 将公差不为零的等差数列1a ，2a ，3a 调整顺序后构成一个新的等比数列ia ，ja ，ka ，其中{,,}{1,2,3}i j k =，试写出一个调整顺序后成等比数列的数列公比：_____．（写出一个即可）．〖答 案〗2-或12-〖解 析〗设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0，则21a a d =+，312a a d =+，则1a ，2a ，3a 或3a ，2a ，1a 不成等比数列；（1）若2a ，1a ，3a 或3a ，1a ，2a 成等比数列，则2123a a a =，即22211132a a a d d =++，解得132d a =-， 此时等比数列2a ，1a ，3a 的公比为122a a =-，等比数列3a ，1a ，2a 的公比为1312a a =-；（2）若2a ，3a ，1a 或1a ，3a ，2a 成等比数列，则2312a a a =，即222111144a a d d a a d ++=+，解得134d a =-， 此时等比数列1a ，3a ，2a 的公比为3112a a =-，等比数列2a ，3a ，1a 的公比为322a a =-．综上可得，等比数列的公比为12-或2-．故〖答 案〗为：12-或2-．15. 正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在线段CC 1上，且12MC CM =．点P 在平面A 1B 1C 1D 1上，且AP ⊥平面MBD 1，则线段AP 的长为________．〖答案〗3〖解 析〗如图，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，1(0,0,1)D ，1(0,1,1)C ，12MC CM =，则M 是靠近C 的线段1CC 的三等分点，1(0,1,)3M ， 1(1,1,1)BD =--，1(1,0,)3BM =-，P 在平面1111D C B A 上，设(,,1)P x y ，则(1,,1)=-AP x y ，由AP ⊥平面MBD 1，得11101103AP BD x y AP BM x ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，解得4323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以12(,,1)33AP =，1(3AP ==． 故〖答 案〗为：3．16. 设[a ，]b 是函数()f x 定义域的一个子集，若存在(,)c a b ∈，使得()f x 在[a ，]c 上单调递增，在[c ，]b 上单调递减，则称()f x 为[a ，]b 上的单峰函数，c 为峰点．若()(e -e )(e -e ln )x x f x x x m =+为[a ，]b 上的单峰函数，则实数m 的取值范围为__________．〖答 案〗01m <<〖解 析〗由()(e -e )(e -e ln )x x f x x x m =+得：()()()e -e 2e 2e ln x x f x x m '=-+，令()e ex m x =-，()2e 2e ln x n x x m=-+ ，则()()e ,2e 2ex x m x n x ''==-，当1x >时，()0,n x '>当1x <时，()0,n x '< 故()n x 在(),1-∞ 单调递减，在()1,+∞ 单调递增.所以当1x =时，()n x 取最小值，且最小值为ln m ，()m x 最小值为0.若ln 0m ≥ ,则m 1≥ ，此时()0n x ≥，()f x 在(),1-∞ 单调递减，在()1,+∞ 单调递增.不符合单峰函数的定义.当ln 0m <，则01m << ，此时存在121x x ，使得()()12n x n x = ，当()1,1x x ∈时，()()0,0m x n x <<， 则()()()0f x n x m x '=>，此时()f x 单调递增， 当()21,x x ∈时，()()0,0m x n x ><，则()()()0f x n x m x '=<，此时()f x 单调递减，故满足单峰函数的定义，其中[]12,x x 是单峰区间，1x = 是峰点.故〖答 案〗为：01m <<.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤．17. 已知函数2()2(1)4f x x k x =--+； （1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为(1,)m ，求实数,m k 的值； （2）存在0x >，使得()0f x <成立，求实数k 的取值范围．解：（1）由题意知：1和m 是()22140x k x --+=的两根，故()121m k +=-，14⨯=m ，即4m =，72k =.（2）存在()0,x ∞∈+，使得()0f x <成立，即存在()0,x ∞∈+，使得()22140x k x --+<成立，即存在()0,x ∞∈+，使得()421k x x ->+成立，当()0,x ∞∈+时，44x x +≥=，当且仅当2x =时取等号，故()214k ->，可得3k >．即实数k 的取值范围为()3,+∞.18. 已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且111a b ==，322bb =，441a b +=．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设11n n n a c b ++=，数列{}n c 的前n 项和为n S ，若不等式12n n nS λ-<+对任意的n *∈N 恒成立，求实数λ的取值范围． 解：（1）因为数列{}n b 是等比数列，又因为322b b =，所以数列{}n b 的公比2q，由112b q =⎧⎨=⎩，所以得12n n b -=．又因为数列{}n a 是等差数列，且111a b ==，44418,7a b a +===，则公差137,2d d +==，所以()12121n a n n =+-=-．故21n a n =-，12n n b -=；（2）由（1）得：1112n n n n a nc b -++==，数列{}n c 的前n 项和为121231222n n nS -=+++⋅⋅⋅+①所以22111231222222n n nn nS --=+++⋅⋅⋅++② 由①-②得：121111112121222222222n n n n n n n n n S -+⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-=--=- ⎪⎝⎭， 所以1242n n n S -+=-,不等式12nn n S λ-<+恒成立，化为不等式2142n λ-<-恒成立，令2142n n c -=-,则{}n c 为递增数列，即转化为()min n c λ<，当1n =时，()12min 1422n c -=-=，所以2λ<，综上可得：实数λ的取值范围是(),2-∞．19. 某企业主管部门为了解企业某产品年营销费用x （单位：万元）对年销售量）（单位：万件）的影响，对该企业近5年的年营销费用ix 和年销售量()1,2,3,4,5i y i =做了初步处理，得到的散点图及一些统计量的值如下：根据散点图判断，发现年销售量y （万件）关于年营销费用x （万元）之间可以用ˆˆy bx a=+进行回归分析．（1）求y 关于x 的回归方程；（2）从该产品的流水线上随机抽取100件产品，统计其质量指标值并绘制频率分布直方图：规定产品的质量指标值在[)65,85的为劣质品，在[)85,105的为优等品，在[]105,115的为特优品，销售时劣质品每件亏损0.8元，优等品每件盈利4元，特优品每件盈利6元，以这100件产品的质量指标值位于各区间的频率代替产品的质量指标值位于该区间的概率．如果企业今年计划投入的营销费用为80万元，请你预报今年企业该产品的销售总量和年总收益．附：①收益＝销售利润－营销费用； ②对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅，其回归直线ˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx =-．解：（1）根据题意得51305ii xx ===∑，511055ii yy ===∑，()()()5152118001.51200ˆiii i i x x y y bx x ==--===-∑∑，ˆˆ105 1.53060a y bx =-=-⨯=，y 关于x 的回归方程为ˆ1.560y x =+.（2）由（1）可知：当80x =时，ˆ1.58060180y =⨯+=， 即营销费用为80万元，该产品的销售总量约为180万件， 由频率分布直方图知，产品的质量指标值在[)65,85、[)85,105、[]105,115的频率分别为0.25、0.65、0.1，以频率为概率可以估计：销售的180万件产品中，劣质品约为180×0.25=45（万件）， 优等品约为180×0.65＝117（万件），特优品约为180×0.1＝18（万件），估计今年企业该产品的总收益为：45(0.8)117418680460⨯-+⨯+⨯-=（万元）， 所以，今年企业该产品的销售总量估计为180万件，年总收益估计为460万元. 20. 如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为正三角形，D 为棱AC 的中点，1A D ⊥平面ABC ．（1）证明：BD ⊥平面11ACC A ；（2）若12AA AB ==，求直线1AB 与平面1BB C 所成角的正弦值．（1）证明：在正ABC 中，因为D 为AC 的中点，所以BD AC ⊥． 因为1A D ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1BD A D⊥因为1AC A D D ⋂=，AC ，1A D均在平面11ACC A 内，所以BD ⊥平面11ACC A（2）解：因为1A D ⊥平面ABC ．所以1A D DC⊥，1A D DB⊥．即1DA ，DC ，DB 两两相互垂直．以{}1,,DB DC DA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -．因为12AB AC AA ===，所以点()0,1,0A -，)B，()0,1,0C，(1A所以(1AA =，()3,1,0AB =，()BC =-从而(113,2,ABAA AB =+=，(11BB AA ==设平面1BB C 的一个法向量为(),,n x y z =，则0n BC ⋅=，10n BB ⋅=即00y y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 令y =()1,3,1n =-，记直线1AB 与平面1BB C 所成角为θ．则11132sin cos ,510AB nAB n AB nθ+⋅=<>===⨯，所以，直线1AB 与平面1BB C 所成角的正弦值为．21. 已知点A 是抛物线x 2＝2py （p ＞0）上的动点，过点M （－1，2）的直线AM 与抛物线交于另一点B ．（1）当A 的坐标为（－2，1）时，求点B 的坐标；（2）已知点P （0，2），若M 为线段AB 的中点，求PAB △面积的最大值．解：（1）当A 的坐标为()2,1-时，则2221p =⋅，所以24p =，所以抛物线的方程为：24x y =，由题意可得直线AM 的方程为：()211212y x --=+-+，即3yx，代入抛物线的方程可得24120x x --=解得2x =-（舍）或6，所以，B 的坐标为()6,9.（2）法一：设直线AB 的方程：()21y k x -=+，即2y kx k =++，设直线AB 与y 轴的交点为Q ，()11,A x y ，()22,B x y ，由222y kx k x py =++⎧⎨=⎩，可得22240x pkx pk p ---=，122x x pk+=，1224x x pk p=--，因为M 为线段AB 的中点，所以1212x x pk +==-，令0x =，2y k =+，即()0,2Q k +，所以PQ k=，则PAB △的面积12111222S PQ x x k k =⋅-=⋅=⋅12k =⋅把1pk =-代入上式，S ， 当2k =时，max 2S =，所以PAB △的面积的最大值为2．法二：222y kx kx py=++⎧⎨=⎩，可得22240x pkx pk p---=，122x x pk+=，1224x x pk p=--，因为M为线段AB的中点，所以121 2x xpk+==-，设点P到直线AB的距离为d，则d=AB==1122S AB d k=⋅=⋅把1pk=-代入上式，S，所以，当2k=时，ABC的面积的最大值为222. 已知函数3(),,Rf x x ax b a b=++∈的图像记为曲线E．（1）过点A(2，0)作曲线E的切线，若这样的切线有三条，求2a b+的取值范围；（2）若3e()x f x x≥-对Rx∈恒成立，求ab的最大值．解：（1）∵()3f x x ax b=++，,a b∈R，∴()23f x x a'=+设切点为()00,x y，则3000y x ax b=++，所以切线方程为()()20003y y x a x x-=+-，将点()2,0A代入得()()2000032y x a x-=+-，可化为()32002620x x a b--+=，设()()32262g x x x a b=--+，∵()2612g x x x'=-，令()0g x'>即26120x x->，解得2x>或0x<；令()0g x'<即26120x x-<，解得02x<<；所以函数()g x在()0,2上单调递减，在(),0∞-和()2,+∞上单调递增，∴()y g x =的极值点0和2，∵过点()2,0A 作曲线E 的切线，若这样的切线有三条，()0g x = 有三个不同的实数根，由三次函数的图像得()()0020g g ⎧>⎪⎨<⎪⎩，∴820a b -<+<；所以()28,0a b +∈-.（2）由()3e xf x x ≥-得e xax b ≥+对x ∈R 恒成立，①若0a <，y ax b =+在x ∈R 单调递减，而e xy = 单调递增，显然不成立. ②若0a =，则0ab =， ③若0a >，则()e x ab a ax ≤-，设函数()()e x w x a ax =-，令()0w x '>，即()e 0x a a ->，解得ln x a >； 令()0w x '<，即()e 0x a a -<，解得ln x a <；所以函数()()e x w x a ax =-在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增∴()()()ln ln w x w a a a a a ≥=-，设()()ln r a a a a a =-，∵()()12ln r a a a =-'令()0r a '>，即()12ln 0a a ->，解得0a <<令()0r a '<，即()12ln 0a a -<，解得a >∴函数()r a在(上单调递增，在)+∞上单调递减．∴()1e 2r a r≤=，即ab 的最大值为1e 2，此时a =b =综上，ab 的最大值为1e2.。
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（2）三棱锥 的体积.
19．已知 的顶点 边上的中线 所在直线方程为 ， 边上的高 所在直线方程为 .求
（1）顶点 的坐标；
（2）直线 的方程.
20．如图，直三棱柱 中，点 是棱 的中求证：平面 平面 ；
（2）棱 上是否存在一点 ，使得 平面 证 明你的结论．
江苏省南京市六校联合体【最新】高一下学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若圆 ， ，则 和 的位置关系是（）
A．外离B．相交C．内切D．外切
2．计算 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．在空间直角坐标系中，点 关于 轴对称的点的坐标为（ ）
故选C．
【点睛】
本题考查了新定义的理解，图表认知，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．
A．【最新】第三季度环比有所提高B．【最新】第一季度同比有所提高
C．【最新】第三季度同比有所提高D．【最新】第一季度环比有所提高
5．同时抛掷三枚硬币，则抛掷一次时出现两枚正面一枚反面的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．直线 与直线 平行，则 （ ）
A． B． 或 C． D． 或
7．已知m，n表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（）
（1）若从第 ， ， 组中用分层抽样的方法抽取 名志愿者参广场的宣传活动，应从第 ， ， 组各抽取多少名志愿者？
（2）在（1）的条件下，该市决定在这 名志愿者中随机抽取 名志愿者介绍宣传经验，求第 组志愿者有被抽中的概率.
18．如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 底面 ， 是 的中点， 已知 ， ， ，求：
A．若 则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
8．若圆 的圆心在第一象限，则直线 一定不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．在空间四边形 中， ， ， ， 分别是 ， 的中点 ， ，则异面直线 与 所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数 和 的定义域都是 ，则它们的图像围成的区域面积是（ ）
A． B． C． D．
11．在 中，已知 ， .若 最长边为 ，则最短边长为（ ）
A． B． C． D．
12．已知锐角 中，角 所对的边分别为 ，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．若直线 与圆 有公共点，则实数 的取值范围是__________．
14．某公司调查了商品 的广告投入费用 （万元）与销售利润 （万元）的统计数据，如下表：
A． B． C． D．
4．产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工业产能利用率是衡量工业生产经营状况 的重要指标．下图为国家统计局发布的 2015 年至 2018 年第 2 季度我国工业产能利用率的折线图．
在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如 2016 年第二 季度与 2015 年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如 【最新】第二季度与 2015 年第一季度相比较．据上述信息，下列结论中正确的是（ ）
【详解】
可知，圆 的圆心为 ，半径为 ，圆 的圆心 ，半径为 ，
，
因此，圆 与圆 外切.
故选：D.
【点睛】
本题考查两圆位置关系的判断，考查推理能力，属于基础题.
2．D
【分析】
直接由二倍角的余弦公式，即可得解.
【详解】
由二倍角公式得： ，
故选D.
【点睛】
本题考查了二倍角的余弦公式，属于基础题.
3．A
【分析】
22．已知 的三个顶点 ， ， ，其外接圆为圆 ．
（1）求圆 的方程；
（2）若直线 过点 ，且被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程；
（3）对于线段 上的任意一点 ，若在以 为圆心的圆上都存在不同的两点 ， ，使得点 是线段 的中点，求圆 的半径 的取值范围．
参考答案
1．D
【分析】
求出两圆的圆心距 ，比较 与两圆半径和与差的绝对值的大小，进行可判断出两圆的位置关系.
在空间直角坐标系中，点 关于 轴对称的点的坐标为 .
【详解】
根据对称性，点 关于 轴对称的点的坐标为 .
故选A.
【点睛】
本题考查空间直角坐标系和点的对称，属于基础题.
4．C
【分析】
根据同比和环比的定义比较两期数据得出结论．
【详解】
解：【最新】第二季度利用率为74.3%，第三季度利用率为74.0%，故【最新】第三季度环比有所下降，故A错误；
【最新】第一季度利用率为74.2%，【最新】第一季度利用率为72.9%，故【最新】第一季度同比有所下降，故B错误；
【最新】底三季度利用率率为73.2%，【最新】第三季度利用率为76.8%，故【最新】第三季度同比有所提高，故C正确；
【最新】第四季度利用率为78%，【最新】第一季度利用率为76.5%，故【最新】第一季度环比有所下降，故D错误．
16．如图，正方体 的棱长为 ，动点 在对角线 上，过点 作垂直于 的平面 ，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为 ，设 ， 则当 时，函数 的值域__________．
三、解答题
17．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中 随机抽取 名按年龄分组：第 组 ，第 组 ，第 组 ，第 组 ，第 组 ，得到的频率分布直方图如图所示.
21．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角 为的扇形 ，小区的两个出入口设置在点 及点 处，且小区里有一条平行于 的小路 ．
（1）已知某人从 沿 走到 用了 分钟，从 沿 走到 用了 分钟，若此人步行的速度为每分钟 米，求该扇形的半径 的长（精确到 米）
（2）若该扇形的半径为 ，已知某老人散步，从 沿 走到 ，再从 沿 走到 ，试确定 的位置，使老人散步路线最长．
广告费用 （万元）
销售利润 （万元）
由表中的数据得线性回归方程为 ，则当 时，销售利润 的估值为___．（其中： ）
15．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点 ， ，动点 满足 （其中 和 是正常数，且 ），则 的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”，该圆的半径为__________．