圆锥曲线常见题型小结

合集下载

圆锥曲线题型总结

直线和圆锥曲线常考题型运用的知识： 1、中点坐标公式：1212,y 22x x y yx ++==，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。

2、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，AB ====或者AB ==== 3、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =- 两条直线垂直，则直线所在的向量120v v •=4、韦达定理：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a+=-=。

常见的一些题型：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题题型三：动弦过定点的问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题题型五：共线向量问题题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值问题题型八：角度问题问题九：四点共线问题问题十：范围问题（本质是函数问题）问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m ，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22:14x y C m+=始终有交点，求m 的取值范围解：根据直线:1l y kx =+的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆22:14x y C m+=过动点04m ±≠（，且，如果直线:1l y kx =+和椭圆22:14x y C m+=始终有交点，则14m m ≥≠，且，即14m m ≤≠且。

规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：:101l y kx =+⇒过定点（，）:(1)1l y k x =+⇒-过定点（，0） :2(1)1l y k x -=+⇒-过定点（，2）题型二：弦的垂直平分线问题例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。

高中圆锥曲线大题四类题型总结

利用不等式关系得到
2k 2
2 2
4k 4 4k 2 1
1
2
2k
2
2
1 2k
2
|AB | 2
1 4
2=3，当且仅当2k 2
1 2k 2
,
k
2 ,等号成立 2
即|OA| |OB|max = 2|AB|max 3 2
配合不等式
1. 解析几何快速画出相对标准的草图是解题的一个基础 2. 题目中给出一条直线时，看题干中给的直线斜率k，如果k给出，就不需要讨论k不存在的情况，没有给出，一定要讨论斜率存在和不存在两种情况 3. 题目中涉及垂直，首先考虑向量数量积为0，构造出X1*X2和X1+X2的形式，再联立方程，结合韦达定理得到结论 4. 求取值范围的或者最值的问题，最后化简得到的式子往往涉及函数的取值范围计算，方法主要为以下几种：1.换元 2.分离常数 3.基本不等式 4.二次函数单调性 5. 题中出现圆，一定要考虑其特殊性质， 6. 换元法一定要给出新的元的的范围
， F2
，其焦距为2
3，点E在椭圆C上，EF1 EF2
，直线EF1
的斜率为
b c为半焦距。
c
1 求椭圆C的方程
2 设圆O：x2 y2 2的切线l2交椭圆于A, B两点O为坐标原点证明：OA OB
3 在2的条件下，求|OA| |OB|的最大值
E
F1
F2
画出草图，更加直观
1由于直线EF1的斜率为
程的一个系数
AE
F1
O F2
B
2
1.当切线斜率不存在时，l2 : x 2或x 2, 于是y 2 根据对称性，不妨选择x 2的情况，此时直线与椭圆的交点

(完整版)圆锥曲线大题题型归纳,推荐文档

精心整理圆锥曲线大题题型归纳基本方法：1．待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a 、b 、c 、e 、p 等等； 2．齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题；3．韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。

要注4． 5． 1．2．3无关；45“转化”的经验；6．大多数问题只要真实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。

题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题例1、已知F 1，F 2为椭圆2100x +264y =1的两个焦点，P 在椭圆上，且∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为多少？点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。

变式1、已知12,F F 分别是双曲线223575x y -=的左右焦点，P 是双曲线右支上的一点，且12F PF ∠=120︒，求12F PF ∆的面积。

变式2、已知F 1，F 2为椭圆2221100x y b +=(0＜b ＜10)的左、右焦点，P 是椭圆上一点．（1）求|PF 1|?|PF 2|的最大值；（2）若∠F 1PF 2=60°且△F 1PF 2的面积为6433，求b 的值题型二过定点、定值问题例2．（淄博市2017届高三3月模拟考试）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>经过点3(1,)，离心率为3，点A 为椭圆C 的右顶点，直线l 与椭圆相交于不同于点A 的两个点1122(,),(,)P x y Q x y . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）当0AP AQ •=u u u r u u u r时，求OPQ ∆面积的最大值；（Ⅲ）若直线l 的斜率为2，求证：OPQ ∆的外接圆恒过一个异于点A 的定点.处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。

圆锥曲线知识题型总结

高二选修1圆锥曲线知识点及典型例题总结1.圆锥曲线的定义：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。

若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （2）方程8=表示的曲线是_____如已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是__ ___2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。

如（1）已知方程12322=-++ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222bx a y -＝1（0,0a b >>）。

如（1）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（2）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（3）抛物线：开口向右时22(0)y p xp =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x p y p =>，开口向下时22(0)x py p =->。

圆锥曲线题型总结

直线和圆锥曲线常考题型运用的知识:1、中点坐标公式：，其中是点的中点坐标。

2、弦长公式：若点在直线上，则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，或者。

3、两条直线垂直:则两条直线垂直，则直线所在的向量4、韦达定理:若一元二次方程有两个不同的根，则。

常见的一些题型：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二:弦的垂直平分线问题题型三：动弦过定点的问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题题型五：共线向量问题题型六：面积问题题型七:弦或弦长为定值问题题型八：角度问题问题九:四点共线问题问题十：范围问题（本质是函数问题）问题十一、存在性问题:（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形(等比、等腰、直角)，四边形（矩形、菱形、正方形），圆）题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题1、已知直线与椭圆始终有交点,求的取值范围解：根据直线的方程可知,直线恒过定点（0，1），椭圆过动点，如果直线和椭圆始终有交点，则，即。

规律提示:通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：题型二：弦的垂直平分线问题例题2、过点T(—1,0）作直线与曲线N ：交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(,0),使得是等边三角形，若存在,求出;若不存在，请说明理由。

解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。

设直线，，，。

由消y整理，得①由直线和抛物线交于两点，得即②由韦达定理,得：。

则线段AB的中点为。

线段的垂直平分线方程为：令y=0，得,则为正三角形，到直线AB的距离d为.解得满足②式此时。

题型三：动弦过定点的问题例题3、已知椭圆C：的离心率为,且在x轴上的顶点分别为A1（—2，0)，A2（2，0).(I）求椭圆的方程；(II）若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点?并证明你的结论解：（I）由已知椭圆C的离心率,,则得。

高中数学：圆锥曲线七个经典题型整理，概念、公式、例题

高中数学：圆锥曲线七个经典题型整理，概念、公式、例题圆锥曲线中常见题型总结1、直线与圆锥曲线位置关系这类问题主要采用分析判别式，有△＞0，直线与圆锥曲线相交；△=0，直线与圆锥曲线相切；△＜0，直线与圆锥曲线相离．若且a=0，b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点．注意：设直线方程时一定要考虑斜率不存在的情况，可单独提前讨论。

2、圆锥曲线与向量结合问题这类问题主要利用向量的相等，平行，垂直去寻找坐标间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合应用，体现数形结合的思想，达到简化计算的目的。

3、圆锥曲线弦长问题弦长问题主要记住弦长公式：设直线l与圆锥曲线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则：4、定点、定值问题（1）定点问题可先运用特殊值或者对称探索出该定点，再证明结论，即可简化运算；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．5、最值、参数范围问题这类常见的解法有两种：几何法和代数法．（1）若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法；（2）若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．6、轨迹问题轨迹问题一般方法有三种：定义法，相关点法和参数法。

定义法：（1）判断动点的运动轨迹是否满足某种曲线的定义；（2）设标准方程，求方程中的基本量（3）求轨迹方程相关点法：（1）分析题目：与动点M（x，y）相关的点P（x0，y0）在已知曲线上；（2）寻求关系式，x0=f（x，y），y0=g（x，y）；（3）将x0，y0代入已知曲线方程；（4）整理关于x，y的关系式得到M的轨迹方程。

圆锥曲线题型总结.docx

直线和圆锥曲线经常考查的一些题型直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切•直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。

解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是：(1)直线的斜率不存在，直线的斜率存在(2)联立直线和曲线的方程组；(3)讨论类一元二次方程(4)一元二次方程的判别式(5)韦达定理，同类坐标变换(6)同点纵横坐标变换(7)x,y , k(斜率)的取值范围(8)目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等运用的知识：1、中点坐标公式：x=xι x2,y=yι y2,其中X I y 是点A(x1,y1), B(x2,y2)的中2 2点坐标。

2、弦长公式：若点A(x1, y1), B(x2,y2)在直线y = kx b(k = 0) 上, 则y1=kX1 ∙ b, y2 = kx2 b ,这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，AB=J(X1 —X2)2 +(% -y?)2=J(X1 —X2)2 +(kX1 —kx?)2=J(1 + k2)(X1 —X2)2= .(1 k2)[(X1 X2)2 -4x1X2]或者I AB=J(X —X2)2+(% —y2)2=、丿(1为—*x2)2+(y1 —y2)2=』(1+右)(％-丫2)2 s(1T2)[(y1 y2)2-4y"]。

V k3、两条直线I1: y = k1x b1,l2: y = k2x b2垂直：则k1k2= -1两条直线垂直，则直线所在的向量V If2 =04、韦达定理：若一元二次方程ax2bx 0(a = 0)有两个不同的根x1, X2,则b CX1 十X2 = ——, X1X2 = —, X1 -X2a aa常见题型：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系2 2例题1、已知直线l : ^ kx 1与椭圆C :― L =1始终有交点，求m的取值范围4 m思路点拨：直线方程的特点是过定点（0，1），椭圆的特点是过定点（-2，0）和（2，0），和动点（0, _._帝）,且m = 4。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

圆锥曲线常见题型小结第一部分圆锥曲线常考题型和热点问题一．常考题型题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题题型三：动弦过定点问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题题型五：共线向量问题题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值的问题题型八：角度问题题型九：四点共线问题题型十：范围为题（本质是函数问题）

题型十一：存在性问题（存在点，存在直线ykxm，存在实数，三角形（等边、等腰、直角），四边形（矩形，菱形、正方形），圆）二．热点问题 1.定义与轨迹方程问题 2.交点与中点弦问题 3.弦长及面积问题 4.对称问题 5.范围问题 6.存在性问题 7.最值问题 8.定值，定点，定直线问题

第二部分知识储备

一．与一元二次方程20(0)axbxca相关的知识（三个“二次”问题） 1. 判别式：24bac 2. 韦达定理：若一元二次方程20(0)axbxca有两个不等的实数根12,xx，则

12bxxa，12cxxa

3. 求根公式：若一元二次方程20(0)axbxca有两个不等的实数根12,xx，则21,242bbacxa

 二．与直线相关的知识 1. 直线方程的五种形式：点斜式，斜截式，截距式，两点式，一般式

2. 与直线相关的重要内容：①倾斜角与斜率：tany，[0,)；

②点到直线的距离公式：0022AxByCdAB（一般式）或00221kxybdk （斜截式） 3. 弦长公式：直线ykxb上两点1122(,),(,)AxyBxy间的距离： 222121212122

11(1)[()4](1)ABkxxkxxxxAByyk或

4. 两直线1111122222:,:lykxblykxb的位置关系： ① 12121llkk ②121212//llkkbb且 5. 中点坐标公式：已知两点1122(,),(,)AxyBxy，若点,Mxy线段AB的中点，则1112,22xxyyxy

三．圆锥曲线的重要知识考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质，文理要求有所不同。文科：掌握椭圆，了解双曲线；理科：掌握椭圆及抛物线，了解双曲线 1. 圆锥曲线的定义及几何图形：椭圆、双曲线及抛物线的定义及几何性质。 2. 圆锥曲线的标准方程：①椭圆的标准方程 ②双曲线的标准方程 ③抛物线的标准方程

3. 圆锥曲线的基本性质：特别是离心率，参数,,abc三者的关系，p的几何意义等

4. 圆锥曲线的其他知识：①通径：椭圆22ba，双曲线22ba，抛物线2p ②焦点三角形的面积：p在椭圆上时122tan2FPFSb p在双曲线上时122/tan2FPFSb

四．常结合其他知识进行综合考查 1．圆的相关知识：两种方程，特别是直线与圆，两圆的位置关系 2．导数的相关知识：求导公式及运算法则，特别是与切线方程相关的知识 3．向量的相关知识：向量的数量积的定义及坐标运算，两向量的平行与垂直的判断条件等 4．三角函数的相关知识：各类公式及图像与性质 5．不等式的相关知识：不等式的基本性质，不等式的证明方法，均值定理等五．不同类型的大题（1）圆锥曲线与圆例1.（本小题共14分）已知双曲线的离心率为，右准线方程为（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线

交于不同的两点，证明的大小为定值… 【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．

（Ⅰ）由题意，得，解得，

∴，∴所求双曲线的方程为. （Ⅱ）点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得. 由及得， ∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且， ∴，且，设A、B两点的坐标分别为，

则， ∵，且，

2222:1(0,0)xyCabab3

3x

Cl22:2Oxy0000(,)(0)PxyxylC

,ABAOB

2333a

cca











1,3ac

2222bcaC

2212yx

0000,0Pxyxy222xy

00,Pxy

xyyxxy

002xxyy22

00122yxxxyy





22002xy

222

000344820xxxxx

l2002x

20340x

222

00016434820xxx

1122,,,xyxy

200121222

482,3434xxxxxxxx



cosOAOBAOBOAOB

12121201022

122OAOBxxyyxxxxxxy . ∴ 的大小为. 【解法2】（Ⅰ）同解法1. （Ⅱ）点在圆上，圆在点处的切线方

程为，化简得.由及得 ①

② ∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且， ∴，设A、B两点的坐标分别为，

则， ∴，∴ 的大小为. （∵且，∴，从而当时，方程①和方程②的判别式均大于零）.

练习1：已知点是椭圆的左顶点，直线与椭

圆相交于两点，与轴相交于点.且当时，△的面积为. （Ⅰ）求椭圆的方程；

2

120120122

1422xxxxxxxxx

2222

0000

22220000

82828143423434xxxxxxxx







22002200

828203434xxxx



AOB90



0000,0Pxyxy222xy00,Pxy

0

xyyxxy002xxyy

00122yxxxyy





22002xy

222

000344820xxxxx

222

000348820xyyxx

l2002x

20340x



1122,,,xyxy

2200121222

8228,3434xxxxyyxx



12120OAOBxxyyAOB90



22002xy

000xy

220002,02xy2

0340x

A22:109xyCtt:1()lxmymR

C,EFxB0mAEF

C（Ⅱ）设直线，与直线分别交于，两点，试判断以为直径的圆是否经过点？并请说明理由.

（2）圆锥曲线与图形形状问题例2.1已知A，B，C是椭圆W：24x＋y2＝1上的三个点，O是坐标原点．

(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．

解：(1)椭圆W：24x＋y2＝1的右顶点B的坐标为(2,0)．因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分．所以可设A(1，m)，代入椭圆方程得14＋m2＝1，即m＝32.

所以菱形OABC的面积是12|OB|·|AC|＝12×2×2|m|＝3. (2)假设四边形OABC为菱形．因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)．

由2244,xyykxm消y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. 设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则1224214xxkmk，121222214yyxxmkmk.

所以AC的中点为M224,1414kmmkk. 因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为14k. 因为k·14k≠－1，所以AC与OB不垂直．所以OABC不是菱形，与假设矛盾．所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．

练习1：已知椭圆C：)0(12222babyax过点(2，1)，且以椭圆短轴的两个端点和

一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形. (Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)设M,)xy（是椭圆C上的动点，P,0)p（是X轴上的定点，求MP的最小值及取最小值时点M的坐标.

AEAF3xMNMNB