高考文科数学试题全国卷及解析完美版
2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)(含解析版)
2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x||x|＜3，x∈Z}，B＝{x||x|＞1，x∈Z}，则A∩B＝（）A．∅B．{﹣3，﹣2，2，3}C．{﹣2，0，2}D．{﹣2，2}2．（5分）（1﹣i）4＝（）A．﹣4B．4C．﹣4i D．4i3．（5分）如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12．设1≤i＜j＜k≤12．若k﹣j＝3且j﹣i＝4，则a i，a j，a k为原位大三和弦；若k﹣j＝4且j﹣i＝3，则称a i，a j，a k为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）A．5B．8C．10D．154．（5分）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A．10名B．18名C．24名D．32名5．（5分）已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（）A ．B．2+C ．﹣2D．2﹣6．（5分）记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，则＝（）A．2n﹣1B．2﹣21﹣n C．2﹣2n﹣1D．21﹣n﹣17．（5分）执行如图的程序框图，若输入的k＝0，a＝0，则输出的k为（）A．2B．3C．4D．58．（5分）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（）A ．B ．C ．D ．9．（5分）设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C ：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E 两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A．4B．8C．16D．3210．（5分）设函数f（x）＝x3﹣，则f（x）（）A．是奇函数，且在（0，+∞）单调递增B．是奇函数，且在（0，+∞）单调递减C．是偶函数，且在（0，+∞）单调递增D．是偶函数，且在（0，+∞）单调递减11．（5分）已知△ABC 是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（）A ．B ．C．1D ．12．（5分）若2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，则（）A．ln（y﹣x+1）＞0B．ln（y﹣x+1）＜0C．ln|x﹣y|＞0D．ln|x﹣y|＜0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高考文科数学(全国卷大纲版)解析版全word版
普通高等学校招生全国统一考试全国大纲数学（文科）19．（本小题满分12分）如图，四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD -∠=∠==∆∆中，，与都是边长为2的等边三角形.（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求点.A PCD 到平面的距离【解析】(Ⅰ)证明：取BC 的中点E ，连结DE ，则ABED 为正方形.过P 作PO ⊥平面ABCD,垂足为O.连结OA,OB,OD,OE.由△PAB 和△PAD 都是等边三角形知PA=PB=PD,所以OA=0B=OD,即点O 为正方形ABED 对角线的交点，故OE ⊥BD,从而PB ⊥OE.因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE ∥CD,所以;PB CD ⊥（Ⅱ）解：取PD 的中点F ，连结OF,则OF ∥PB ，由(Ⅰ)知，;PB CD ⊥，故OF ⊥CD. 又122OD BD ==,222OP PD OD =-=, 故△POD 为为等腰三角形，所以OF ⊥PD.又PD ∩CD=D ，所以OF ⊥平面PCD. 因为AE ∥CD ，CD ⊂平面PCD 的，AE ⊄平面PCD,所以AE ∥PCD.所以，O 到平面PCD 的距离OF 就是A 到平面PCD 的距离，而112OF PB ==. 所以A 到平面PCD 的距离为1.【考点定位】(1)解题的关键是辅助线的添加，取BC 的中点E 是入手点，然后借助三垂线定理实行证明；（2）求点面距离的求解方法比较多，在解题过程中，如何根据题设条件恰当选择相适合的方法是比较棘手的问题20．（本小题满分12分） 甲、乙、丙三人实行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.（I ）求第4局甲当裁判的概率；（II ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率.【解析】(Ⅰ)记1A 表示事件“第2局结果为甲胜”， 2A 表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”，则12A A A =⋅,12()()P A P A A =⋅12()()P A P A ⋅14=（Ⅱ）记1B 表示事件“第1局结果为乙胜” 2B 表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”3B 表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”B 表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判” 则1312312B B B B B B B B =⋅+⋅⋅+⋅，所以1312312()()()()P B P B B P B B B P B B =⋅+⋅⋅+⋅1312312()()()()()()()()P B P B P B P B P B P B P B P B =⋅+⋅⋅+⋅ 11154848=++= 【考点定位】考查独立事件和互斥事件的概率问题以及离散型数学期望，考查分析问题和计算水平21．（本小题满分12分）已知函数()32=33 1.f x x ax x +++（I ）求()f ;a x =的单调性；（II ）若[)()2,0,.x f x a ∈+∞≥时，求的取值范围【解析】(Ⅰ)当a =()32=3 1.f x x x -++ ()2=33f x x '-+.令()0f x '=，得121,1x x =.当(1)x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在(1)-∞上是增函数；当1)x ∈时，()0f x '<，()f x 在1)上是减函数；当1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在1,)+∞上是增函数；（Ⅱ）由(2)0f ≥得54a ≥-. 当54a ≥-，(2,)x ∈+∞时， ()22251=3633(21)3(1)3()(2)22f x x ax x ax x x x x '-+=-+≥-+=-- 所以()f x 在(2,)+∞是增函数，于是当[2,)x ∈+∞时，()f x (2)0f ≥≥.综上，a 的取值范围是5[,)4-+∞【考点定位】考查利用导数求解函数的单调性与参数范围问题22．（本小题满分12分） 已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2y C =与（I ）求,;a b ；（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF BF -证明：22.AF AB BF 、、成等比数列【解析】(Ⅰ)由题设知3c a=，即2229a b a +=，故228b a =.所以C 的方程为22288x y a -=.将2y =代入上式，求得x =由题设知，=21a =. 所以1a =，b = （Ⅱ）由(Ⅰ)知，1(3,0)F -，2(3,0)F ,C 的方程为2288x y -=○1由题意可设的l 方程为(3)y k x =-，||k <，代入○1并化简得，2222(8)6980k x k x k -+--=，设1122(,),(,)A x y B x y ，11x ≤-，21x ≥ 则212268k x x k +=-，2122988k x x k +=- 于是11||(31)AF x ===-+12||31BF x ===+由11||||AF BF =得123(1)31x x -+=+，即1223x x +=- 故226283k k =--解得245k =从而12199x x =-因为21||13AF x ===-22||31BF x ===- 故2212||||||23()4AB AF BF x x =-=-+=，221212||||3()9116AF BF x x x x ⋅=+--=因而222||||||AF BF AB ⋅=，所以22||,||,||AF AB BF 成等比数列.【考点定位】本题考查双曲线方程与直线与双曲线的位置关系，考查设而不求的思想及就是水平。
2023年高考数学试题全国卷2(文)全解全析
2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项:1．答第Ⅰ卷前,考生务必将自己地姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出解析后,用铅笔把答题卡上对应题目地解析标号涂黑．如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它解析标号．不能答在试卷卷上．3．本卷共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地．参考公式:如果事件A B ，互斥,那么 球地表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24πS R=如果事件A B ，相互独立,那么 其中R 表示球地半径()()()P A B P A P B = 球地体积公式如果事件A 在一次试验中发生地概率是p ,那么 34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次地概率 其中R 表示球地半径()(1)(012)k kn k k n P k C p p k n -=-= ，，，，一、选择题1．若sin 0α<且tan 0α>是,则α是（ ）A ．第一象限角B ． 第二象限角C ． 第三象限角D ． 第四象限角【解析】C【解析】sin 0α<,α在三、四象限；tan 0α>,α在一、三象限,∴选C2．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ,{|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤（ ）A ．{}01，B ．{}101-，， C ．{}012，，D ．{}1012-，，，【解析】B【解析】{}1,0,1,2--=M ,{}3,2,1,0,1-=N ,∴{}1,0,1-=N M 【高考考点】集合地运算,整数集地符号识别3．原点到直线052=-+y x 地距离为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．5【解析】D 【解析】52152=+-=d 【高考考点】点到直线地距离公式4．函数1()f x x x=-地图像关于（ ）A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称 C ． 坐标原点对称 D ． 直线x y =对称【解析】C 【解析】1()f x x x=-是奇函数,所以图象关于原点对称【高考考点】函数奇偶性地性质5．若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，,则（ ）A ．a <b <c B ．c <a <bC ． b <a <cD ． b <c <a【解析】C【解析】由0ln 111<<-⇒<<-x x e ,令x t ln =且取21-=t 知b <a <c 6．设变量x y ，满足约束条件:222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥,则y x z 3-=地最小值为（ ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-【解析】D【解析】如图作出可行域,知可行域地顶点是A （－2,2）、B(32,32)及C(－2,－2) 于是8)(min -=A z 7．设曲线2ax y =在点（1,a ）处地切线与直线062=--y x 平行,则=a （ ）A ．1B ．12C ．12-D ．1-【解析】A【解析】ax y 2'=,于是切线地斜率a y k x 2'1===,∴有122=⇒=a a 8．正四棱锥地侧棱长为32,侧棱与底面所成地角为︒60,则该棱锥地体积为（ ）A ．3 B ．6C ．9D ．18【解析】B【解析】高360sin 32＝︒=h ,又因底面正方形地对角线等于32,∴底面积为 6332212=⨯⨯⨯=S ,∴体积63631=⨯⨯=V 【备考提示】在底面积地计算时,要注意多思则少算9．44)1()1(x x +-地展开式中x 地系数是（ ）A ．4-B ．3- C ．3D ．4【解析】A【解析】41666141404242404-=-+=-+C C C C C C 【易错提醒】容易漏掉1414C C 项或该项地负号10．函数x x x f cos sin )(-=地最大值为（ ）A ．1 B ． 2C ．3D ．2【解析】B【解析】4sin(2cos sin )(π-=-=x x x x f ,所以最大值是2【高考考点】三角函数中化为一个角地三角函数问题【备考提示】三角函数中化为一个角地三角函数问题是三角函数在高考中地热点问题11．设ABC △是等腰三角形,120ABC ∠=,则以A B ，为焦点且过点C 地双曲线地离心率为（ ）A ．221+B ．231+C ． 21+D ．31+【解析】B【解析】由题意BC c =2,所以c c AC 3260sin 220=⨯⨯=,由双曲线地定义,有c a c c BC AC a )13(2322-=⇒-=-=,∴231131+=-==a c e 【高考考点】双曲线地有关性质,双曲线第一定义地应用12．已知球地半径为2,相互垂直地两个平面分别截球面得两个圆．若两圆地公共弦长为2,则两圆地圆心距等于（ ）A ．1 B ．2C ．3D ．2【解析】C【解析】设两圆地圆心分别为1O 、2O ,球心为O ,公共弦为AB,其中点为E,则21EO OO 为矩形,于是对角线OE O O =21,而3122222=-=-=AE OA OE ,∴321=O O 【高考考点】球地有关概念,两平面垂直地性质2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I)第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分．把解析填在题中横线上．13．设向量(12)(23)==，，，a b ,若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线,则=λ ．【解析】 2【解析】λ+a b ＝)32,2(++λλ则向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线274322=⇒--=++⇔λλλ14．从10名男同学,6名女同学中选3名参加体能测试,则选到地3名同学中既有男同学又有女同学地不同选法共有 种（用数字作答）【解析】 420【解析】4202701501621026110=+=+C C C C 15．已知F 是抛物线24C y x =：地焦点,A B ，是C 上地两个点,线段AB 地中点为(22)M ，,则ABF △地面积等于 ．【解析】 2【解析】设过M 地直线方程为)2(2-=-x k y ,由0)1(444)2(22222=-+-⇒⎩⎨⎧=-=-k kx x k xy x k y ∴k x x 421=+,2221)1(4kk x x -=,由题意144=⇒=k k ,于是直线方程为x y = 421=+x x ,021=x x ,∴24=AB ,焦点F （1,0）到直线x y =地距离21=d ∴ABF △地面积是216．平面内地一个四边形为平行四边形地充要条件有多个,如两组对边分别平行,类似地,写出空间中地一个四棱柱为平行六面体地两个充要条件:充要条件① ；充要条件② ．（写出你认为正确地两个充要条件）【解析】两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．注:上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确解析,同样给分．三、解答题:本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在ABC △中,5cos 13A =-,3cos 5B =． （Ⅰ）求sinC 地值；（Ⅱ）设5BC =,求ABC △地面积．18．（本小题满分12分）等差数列{}n a 中,410a =且3610a a a ，，成等比数列,求数列{}n a 前20项地和20S ．19．（本小题满分12分）甲、乙两人进行射击比赛,在一轮比赛中,甲、乙各射击一发子弹．根据以往资料知,甲击中8环,9环,10环地概率分别为0.6,0.3,0.1,乙击中8环,9环,10环地概率分别为0.4,0.4,0.2．设甲、乙地射击相互独立．（Ⅰ）求在一轮比赛中甲击中地环数多于乙击中环数地概率；（Ⅱ）求在独立地三轮比赛中,至少有两轮甲击中地环数多于乙击中环数地概率．20．（本小题满分12分）如图,正四棱柱1111ABCD A B C D -中,124AA AB ==,点E 在1CC 上且EC E C 31=．（Ⅰ）证明:1A C ⊥平面BED ；（Ⅱ）求二面角1A DE B --地大小．21．（本小题满分12分）设a ∈R ,函数233)(x ax x f -=．（Ⅰ）若2=x 是函数)(x f y =地极值点,求a 地值；（Ⅱ）若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，,在0=x 处取得最大值,求a 地取值范围．ABC D EA 1B 1C 1D 122．（本小题满分12分）设椭圆中心在坐标原点,(20)(01)A B ，，，是它地两个顶点,直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ,与椭圆相交于E 、F 两点．（Ⅰ）若6ED DF =,求k 地值；（Ⅱ）求四边形AEBF 面积地最大值．2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷（必修+选修Ⅰ）参考解析和评分参考评分说明:∙∙∙1．本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生地解法与本解答不同,可根据试卷地主要考查内容比照评分参考制订相应地评分细则．∙∙∙2．对计算题,当考生地解答在某一步出现错误时,如果后继部分地解答未改变该题地内容和难度,可视影响地程度决定后继部分地给分,但不得超过该部分正确解答应得分数地一半；如果后继部分地解答有较严重地错误,就不再给分．3．解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得地累加分数．4．只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题1．C 2．B 3．D 4．C 5．C 6．D 7．A 8．B 9．A 10．B 11．B 12．C 二、填空题13．2 14．420 15．216．两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．注:上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确解析,同样给分．三、解答题17．解:（Ⅰ）由5cos 13A =-,得12sin 13A =,由3cos 5B =,得4sin 5B =．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分所以16sin sin()sin cos cos sin 65C A B A B A B =+=+=．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分（Ⅱ）由正弦定理得45sin 13512sin 313BC B AC A ⨯⨯===．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分所以ABC △地面积1sin 2S BC AC C =⨯⨯⨯1131652365=⨯⨯⨯83=．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分18．解:设数列{}n a 地公差为d ,则3410a a d d =-=-,642102a a d d =+=+,1046106a a d d =+=+．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分由3610a a a ，，成等比数列得23106a a a =,即2(10)(106)(102)d d d -+=+,整理得210100d d -=,解得0d =或1d =．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7分当0d =时,20420200S a ==．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分当1d =时,14310317a a d =-=-⨯=,于是2012019202S a d ⨯=+207190330=⨯+=．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分19．解:记12A A ，分别表示甲击中9环,10环,12B B ，分别表示乙击中8环,9环,A 表示在一轮比赛中甲击中地环数多于乙击中地环数,B 表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中地环数多于乙击中地环数,12C C ，分别表示三轮中恰有两轮,三轮甲击中环数多于乙击中地环数．（Ⅰ）112122A A B A B A B =++ ,∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分112122()()P A P A B A B A B =++ 112122()()()P A B P A B P A B =++ 112122()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++ 0.30.40.10.40.10.40.2=⨯+⨯+⨯=．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分（Ⅱ）12B C C =+,∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分22213()[()][1()]30.2(10.2)0.096P C C P A P A =-=⨯⨯-=,332()[()]0.20.008P C P A ===,1212()()()()0.0960.0080.104P B P C C P C P C =+=+=+=．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分20．解法一:依题设,2AB =,1CE =．（Ⅰ）连结AC 交BD 于点F ,则BD AC ⊥．由三垂线定理知,1BD A C ⊥．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分在平面1A CA 内,连结EF 交1A C 于点G ,由于1AA ACFC CE==,故1Rt Rt A AC FCE △∽△,1AA C CFE ∠=∠,CFE ∠与1FCA ∠互余．于是1A C EF ⊥．1A C 与平面BED 内两条相交直线BD EF ，都垂直,所以1A C ⊥平面BED ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分（Ⅱ）作GH DE ⊥,垂足为H ,连结1A H ．由三垂线定理知1A H DE ⊥,故1A HG ∠是二面角1A DE B --地平面角．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分EF ==,CE CF CG EF ⨯==,EG ==13EG EF =,13EF FD GH DE ⨯=⨯=又1A C ==,11A G A C CG =-=．11tan A GA HG HG∠==所以二面角1A DE B --地大小为arctan ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分 解法二:以D 为坐标原点,射线DA 为x 轴地正半轴,建立如下图所示直角坐标系D xyz -．依题设,1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，．AB CDE A 1B 1C 1D 1FH G(021)(220)DE DB ==，，，，，,11(224)(204)A C DA =--= ，，，，，．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分（Ⅰ）因为10A C DB = ,10A C DE =,故1A C BD ⊥,1A C DE ⊥．又DB DE D = ,所以1A C ⊥平面DBE ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分（Ⅱ）设向量()x y z =，，n 是平面1DA E 地法向量,则DE ⊥ n ,1DA ⊥ n ．故20y z +=,240x z +=．令1y =,则2z =-,4x =,(412)=-，，n ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分1A C <> ，n 等于二面角1A DE B --地平面角,111cos A C A C A C<>==，n n n ．所以二面角1A DE B --地大小为∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分21．解:（Ⅰ）2()363(2)f x ax x x ax '=-=-．因为2x =是函数()y f x =地极值点,所以(2)0f '=,即6(22)0a -=,因此1a =．经验证,当1a =时,2x =是函数()y f x =地极值点．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分（Ⅱ）由题设,3222()336(3)3(2)g x ax x ax x ax x x x =-+-=+-+．当()g x 在区间[02]，上地最大值为(0)g 时,(0)(2)g g ≥,即02024a -≥．故得65a ≤．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分反之,当65a ≤时,对任意[02]x ∈，,26()(3)3(2)5g x x x x x +-+≤23(210)5xx x =+-3(25)(2)5xx x =+-0≤,而(0)0g =,故()g x 在区间[02]，上地最大值为(0)g ．综上,a 地取值范围为65⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分22．（Ⅰ）解:依题设得椭圆地方程为2214x y +=,直线AB EF ，地方程分别为22x y +=,(0)y kx k =>．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分如图,设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，,其中12x x <,且12x x ，满足方程22(14)4k x +=,故21x x =-=．①由6ED DF = 知01206()x x x x -=-,得021215(6)77x x x x =+==；由D 在AB 上知0022x kx +=,得0212x k=+．所以212k =+,化简得2242560k k -+=,解得23k =或38k =．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分（Ⅱ）解法一:根据点到直线地距离公式和①式知,点E F ，到AB 地距离分别为1h 2h ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分11又AB ==,所以四边形AEBF 地面积为121()2S AB h h =+12===≤当21k =,即当12k =时,上式取等号．所以S地最大值为．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分解法二:由题设,1BO =,2AO =．设11y kx =,22y kx =,由①得20x >,210y y =->,故四边形AEBF 地面积为BEF AEFS S S =+△△222x y =+∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分===,当222x y =时,上式取等号．所以S 地最大值为．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分。
2020年全国卷一文科数学高考试题(word版+详细解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试全国卷一文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{|340}A x x x =--<，{4,1,3,5}B =-，则A B =A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}答案：D解析：2{|340}{|14}A x x x x x =--<=-<<，则交集的定义可得，{13}，A B =，故选D 2．若312i i z =++，则||z =A ．0B ．1C ．2D ．2答案：C解析：因为312i i 12i (i)1i z =++=++-=+，所以22||=112z +=，故选C3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A．14 B．12C．14 D．12 答案：C解析：如图，P ABCD -是正四棱锥，过P 作PO ABCD ⊥平面，O 为垂足，则O 是正方形ABCD 的中心，取BC 的中点E ，则OE BC ⊥，因为PO ABCD ⊥平面，所以BC PO ⊥，又PO OE O =，所以BC POE ⊥平面，因为PE POE ⊂平面，所以PE BC ⊥，设BC a =，PO h =，由勾股定理得PE =1122PBCS BC PE =⋅=212h =，所以221142PE a aPE -=，解得PE =或PE =（舍去)，故选CE OPA B C D4．设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为A ．15B ．25C ．12D ．45答案：A解析：O ，A ，B ，C ，D 中任取3点的取法用集合表示有{,,}O A B ，{,,}O A C ，{,,}O A D ，{,,}O B C ，{,,}O B D ，{,,}O C D ，{,,}A B C ，{,,}A B D ，{,,}A C D ，{,,}B C D ，共有10种取法，其中3点共线的取法有{,,}O A C ，{,,}O B D ，共2种，故取到的3点共线的概率为21105=，故选AODCBA5．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i ix y i=得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是A．y a bx=+B．2y a bx=+C．e xy a b=+D．lny a b x=+答案：D解析：本题考查回归方程及一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的图象，观察散点图可知，散点图用光滑曲线连接起来比较接近对数函数的图象，故选D。
2023年高考数学(全国甲卷文科)真题详细解读及评析
2023年高考数学真题完全解读（全国甲卷文科）适用省份四川、广西、贵州、西藏整I试卷总评2023年高考数学全国卷全面考查了数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等学科核心素养，体现基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，突出理性思维，发挥出数学学科在人才选拔中的重要作用。
一、 题型与分值分布题型：（1）单选题12道，每题5分共60分；（2）填空题4道，每题5分共20分；（3）解答题三道，每题12分共60分；（4）选做题2道，每题10分。
二、 题目难度和复杂度三、知识点覆盖详细情况说明难度级别具体试题总分值整体评价★ ☆☆☆☆第1题、第2题、第4题、第13题、第15题25分整体试卷难度偏 易，整体复杂度不高，综合知识点大多都是2个左右★ ★☆☆☆第3题、第5题、第6题、第14题、第17题、第22题、第23题42分★ ★★☆☆第7题、第8题、第9题、第10题、第18题、第19题44分★ ★★★☆第11题、第20题、第21题29分★ ★★★★第12题、第16题10分知识点题型题目数量总分值整体评价集合单选题1个15分复数单选题1个15分平面向量单选题1个15分程序框图单选题1个15分主干知识考查全而，题目数量设置均衡；与课程标准保持了一致性。
数列单选题1个填空题1个210分三角函数单选题1个解答题1个217分概率与统计单选题1个解答题1个217分立体几何单选题1个填空题1个解答题1个322分圆锥曲线单选题2个解答题1个322分函数与导数单选题2个填空题1个解答题1个427分极坐标与参数方程选做题1个110分不等式填空题1个（线性规划问题）选做题1个215分四、高考试卷命题探究2023年高考数学全国卷在命制情境化试题过程中，通过对阅读题的分析，可以发现今年的高考命题在素材使用方而，对文字数量加以控制，阅读理解雄度也有所降低：在抽象数学问题方而，力图设置合理的思维强度和抽象程度；在解决问题方面，通过设置合适的运算过程和运算量，力求使情境化试题达到试题 要求层次与考生认知水平的契合与贴切。
207年高考文科数学试题全国卷及解析word完美版
2017 年一般高等学校招生全国一致考试 1 卷文科数学一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。
1、已知会合 A={x|x<2} ， B={x|3 –2x>0}，则 ()A． A∩ B={x|x<}B． A∩ B=ΦC．A∪ B={x|x<} D． A∪ B=R2、为评估一种农作物的栽种成效，选了n 块地作试验田。
这n 块地的亩产量 (单位： kg)分别为 x1， x2，， x n，下边给出的指标中能够用来评估这类农作物亩产量稳固程度的是()A． x1， x2，，x n的均匀数B． x1， x2，，x n的标准差C． x1， x2，， x n的最大值D． x1， x2，， x n的中位数3、以下各式的运算结果为纯虚数的是()A． i(1+i)2B．i 2(1–i)C． (1+i)2D． i(1+i)4、以下左 1 图，正方形 ABCD内的图形来自中国古代的太极图。
正方形内切圆中的黑色部分和白色部分对于正方形的中心成中心对称。
在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A． B． C． D．5、已知 F 是双曲线 C： x2–=1 的右焦点， P 是 C 上一点，且 PF 与 x 轴垂直，点 A 的坐标是 (1,3)。
则△APF的面积为 ()A．B． C．D．6 、如上左 2–5图，在以下四个正方体中，A， B 为正方体的两个极点，M ，N， Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面 MNQ 不平行的是 ()7 、设 x，y 知足拘束条件，则z=x+y 的最大值为 ()A． 0B．1C． 2D． 38 、函数 y=的部分图像大概为 ()9 、已知函数 f(x)=lnx+ln(2 –x)，则 ()A． f(x)在 (0,2)单一递加B． f(x)在(0,2)单一递减C． y=f(x)的图像对于直线x=1 对称D． y=f(x)的图像对于点(1,0)对称10、如图是为了求出知足3n–2n >1000 的最小偶数 n，那么在和两个空白框中，能够分别填入 ()A． A>1000 和 n=n+1B． A>1000 和 n=n+2C． A≤ 1000和 n=n+1D． A≤ 1000和 n=n+211、△ ABC的内角 A、 B、C 的对边分别为 a、 b、 c。
2022年全国高考文科数学(乙卷)试题及答案解析
2022年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷）文科数学一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 集合M ={2,4,6,8,10}，N ={x|−1<x <6}，则M ∩N =( )A. {2,4}B. {2,4,6}C. {2,4,6,8}D. {2,4,6,8,10}2. 设(1+2i)a +b =2i ，其中a ，b 为实数，则( )A. a =1，b =−1B. a =1，b =1C. a =−1，b =1D. a =−1，b =−13. 已知向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(−2,4)，则|a ⃗ −b ⃗ |=( )A. 2B. 3C. 4D. 54. 分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位：ℎ)，得如图茎叶图：则下列结论中错误的是( )A. 甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B. 乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C. 甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D. 乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.65. 若x ，y 满足约束条件{x +y ≥2,x +2y ≤4,y ≥0,则z =2x −y 的最大值是( )A. −2B. 4C. 8D. 126. 设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，点A 在C 上，点B(3,0)，若|AF|=|BF|，则|AB|=( )A. 2B. 2√2C. 3D. 3√27. 执行如图的程序框图，输出的n =( )A. 3B. 4C. 5D. 68.如图是下列四个函数中的某个函数在区间[−3,3]的大致图像，则该函数是()A. y=−x3+3xx2+1B. y=x3−xx2+1C. y=2xcosxx2+1D. y=2sinxx2+19.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则()A. 平面B1EF⊥平面BDD1B. 平面B1EF⊥平面A1BDC. 平面B1EF//平面A1ACD. 平面B1EF//平面A1C1D10.已知等比数列{a n}的前3项和为168，a2−a5=42，则a6=()A. 14B. 12C. 6D. 311.函数f(x)=cosx+(x+1)sinx+1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为()A. −π2，π2B. −3π2，π2C. −π2，π2+2 D. −3π2，π2+212.已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为()A. 13B. 12C. √33D. √22二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若2S 3=3S 2+6，则公差d =______．14. 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为______． 15. 过四点(0,0)，(4,0)，(−1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为______． 16. 若f(x)=ln|a +11−x |+b 是奇函数，则a =______，b =______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinCsin(A −B)=sinBsin(C −A)．(1)若A =2B ，求C ； (2)证明：2a 2=b 2+c 2．18. 如图，四面体ABCD 中，AD ⊥CD ，AD =CD ，∠ADB =∠BDC ，E 为AC 的中点． (1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设AB =BD =2，∠ACB =60°，点F 在BD 上，当△AFC 的面积最小时，求三棱锥F −ABC 的体积．19. 某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m 2)和材积量(单位：m 3)，得到如下数据： 样本号i12345678910 总和根部横截面积x i 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量y i0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9并计算得∑x i 210i=1=0.038，∑y i 210i=1=1.6158，∑x i 10i=1y i =0.2474．(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)； (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m 2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值． 附：相关系数r =∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)√∑(ni=1x i −x −)2∑(n i=1y i −y −)2，√1.896≈1.377．20. 已知函数f(x)=ax −1x −(a +1)lnx ．(1)当a =0时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)恰有一个零点，求a 的取值范围．21. 已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A(0,−2)，B(32,−1)两点．(1)求E 的方程；(2)设过点P(1,−2)的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =TH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .证明：直线HN 过定点． 22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =√3cos2t,y =2sint(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π3)+m =0．(1)写出l 的直角坐标方程；(2)若l 与C 有公共点，求m 的取值范围．已知a ，b ，c 都是正数，且a 32+b 32+c 32=1，证明：(1)abc ≤19；(2)a b+c+b a+c+c a+b≤2√abc．答案解析1.【答案】A【解析】解：∵M ={2,4,6,8,10}，N ={x|−1<x <6}， ∴M ∩N ={2,4}． 故选：A ．直接利用交集运算求解即可．本题考查集合的交集运算，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：∵(1+2i)a +b =2i ， ∴a +b +2ai =2i ，即{a +b =02a =2，解得{a =1b =−1．故选：A ．根据已知条件，结合复数相等的条件，即可求解． 本题主要考查复数相等的条件，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：a ⃗ −b ⃗ =(4,−3)，故∣a ⃗ −b ⃗ ∣=√42+(−3)2=5，故选：D ．先计算处a ⃗ −b ⃗ 的坐标，再利用坐标模长公式即可． 本题主要考查向量坐标公式，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：由茎叶图可知，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.3+7.52=7.4，选项A 说法正确；由茎叶图可知，乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8，选项B 说法正确； 甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值为616=38<0.4，选项C 说法错误； 乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值为1316=0.8125>0.6，选项D 说法正确．故选：C．根据茎叶图逐项分析即可得出答案．本题考查茎叶图，考查对数据的分析处理能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：作出可行域如下图阴影部分所示，由图可知，当(x,y)取点C(4,0)时，目标函数z=2x−y取得最大值，且最大为8．故选：C．作出可行域，根据图象即可得解．本题考查简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：F为抛物线C：y2=4x的焦点(1,0)，点A在C上，点B(3,0)，|AF|=|BF|=2，由抛物线的定义可知A(1,2)(A不妨在第一象限)，所以|AB|=2√2．故选：B．利用已知条件，结合抛物线的定义，求解A的坐标，然后求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，距离公式的应用，是基础题．7.【答案】B【解析】解：模拟执行程序的运行过程，如下：输入a=1，b=1，n=1，计算b=1+2=3，a=3−1=2，n=2，判断|3222−2|=14=0.25≥0.01，计算b=3+4=7，a=7−2=5，n=3，判断|7252−2|=125=0.04≥0.01；计算b=7+10=17，a=17−5=12，n=4，判断|172122−2|=1144<0.01；输出n=4．故选：B．模拟执行程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的n值．本题考查了程序的运行与应用问题，也考查了推理与运算能力，是基础题．8.【答案】A【解析】解：首先根据图像判断函数为奇函数，其次观察函数在(1,3)存在零点，而对于B选项：令y=0，即x3−xx2+1=0，解得x=0，或x=1或x=−1，故排除B选项，对于D选项，令y=0，即2sinxx2+1=0，解得x=kπ，k∈Z，故排除D选项，C选项分母为x2+1恒为正，但是分子中cosx是个周期函数，故函数图像在(0,+∞)必定是正负周期出现，故错误，故选：A．首先分析函数奇偶性，然后观察函数图像在(1,3)存在零点，可排除B，D选项，再利用cosx 在(0,+∞)的周期性可判断C选项错误．本题主要考查函数图像的识别，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：对于A，由于E，F分别为AB，BC的中点，则EF//AC，又AC⊥BD，AC⊥DD1，BD∩DD1=D，且BD，DD1⊂平面BDD1，∴AC⊥平面BDD1，则EF⊥平面BDD1，又EF⊂平面B1EF，∴平面B1EF⊥平面BDD1，选项A正确；对于B，由选项A可知，平面B1EF⊥平面BDD1，而平面BDD1∩平面A1BD=BD，故平面B1EF不可能与平面A1BD垂直，选项B错误；对于C，在平面ABB1A1上，易知AA1与B1E必相交，故平面B1EF与平面A1AC不平行，选项C错误；对于D，易知平面AB1C//平面A1C1D，而平面AB1C与平面B1EF有公共点B1，故平面B1EF 与平面A1C1D不可能平行，选项D错误．故选：A．对于A，易知EF//AC，AC⊥平面BDD1，从而判断选项A正确；对于B，由选项A及平面BDD1∩平面A1BD=BD可判断选项B错误；对于C，由于AA1与B1E必相交，容易判断选项C错误；对于D，易知平面AB1C//平面A1C1D，而平面AB1C与平面B1EF有公共点B1，由此可判断选项D错误．本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，考查逻辑推理能力，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，q≠0，由题意，q≠1．∵前3项和为a1+a2+a3=a1(1−q3)1−q=168，a2−a5=a1⋅q−a1⋅q4=a1⋅q(1−q3)= 42，∴q=12，a1=96，则a6=a1⋅q5=96×132=3，故选：D．由题意，利用等比数列的定义、性质、通项公式，求得a6的值．本题主要考查等比数列的定义、性质、通项公式，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：f(x)=cosx+(x+1)sinx+1，x∈[0,2π]，则f′(x)=−sinx+sinx+(x+1)cosx=(x+1)cosx，令cosx=0得，x=π2或3π2，∴当x∈[0,π2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(π2,3π2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(3π2,2π]时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(x)在区间[0,2π]上的极大值为f(π2)=π2+2，极小值为f(3π2)=−3π2，又∵f(0)=2，f(2π)=2，∴函数f(x)在区间[0,2π]的最小值为−3π2，最大值为π2+2，故选：D．先求出导函数f′(x)=(x+1)cosx，令cosx=0得，x=π2或3π2，根据导函数f′(x)的正负得到函数f(x)的单调性，进而求出函数f(x)的极值，再与端点值比较即可．本题主要考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a，底面所在圆的半径为r，则r=√22a，∴该四棱锥的高ℎ=√1−a22，∴该四棱锥的体积V=13a2√1−a22=43√a24⋅a24⋅(1−a22)≤4 3√(a24+a24+1−a223)3=43√(13)3=4√327，当且仅当a24=1−a22，即a2=43时，等号成立，∴该四棱锥的体积最大时，其高ℎ=√1−a22=√1−23=√33，故选：C．由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a，由勾股定理可知该四棱锥的高ℎ=√1−a22，所以该四棱锥的体积V=13a2√1−a22，再利用基本不等式即可求出V的最大值，以及此时a的值，进而求出ℎ的值．本题主要考查了四棱锥的结构特征，考查了基本不等式的应用，属于中档题．13.【答案】2【解析】解：∵2S3=3S2+6，∴2(a1+a2+a3)=3(a1+a2)+6，∵{a n}为等差数列，∴6a2=3a1+3a2+6，∴3(a2−a1)=3d=6，解得d=2．故答案为：2．根据已知条件，可得2(a 1+a 2+a 3)=3(a 1+a 2)+6，再结合等差中项的性质，即可求解．本题主要考查等差数列的前n 项和，考查转化能力，属于基础题．14.【答案】310【解析】解：由题意，从甲、乙等5名学生中随机选出3人，基本事件总数C 53=10， 甲、乙被选中，则从剩下的3人中选一人，包含的基本事件的个数C 31=3，根据古典概型及其概率的计算公式，甲、乙都入选的概率P =C 31C 53=310．故答案为：310．从甲、乙等5名学生中随机选出3人，先求出基本事件总数，再求出甲、乙被选中包含的基本事件的个数，由此求出甲、乙被选中的概率．本题主要考查古典概型及其概率计算公式，熟记概率的计算公式即可，属于基础题．15.【答案】x 2+y 2−4x −6y =0(或x 2+y 2−4x −2y =0或x 2+y 2−83x −143y =0或x 2+y 2−165x −2y −165=0)【解析】解：设过点(0,0)，(4,0)，(−1,1)的圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0， 即{F =016+4D +F =02−D +E +F =0，解得F =0，D =−4，E =−6， 所以过点(0,0)，(4,0)，(−1,1)圆的方程为x 2+y 2−4x −6y =0． 同理可得，过点(0,0)，(4,0)，(4,2)圆的方程为x 2+y 2−4x −2y =0． 过点(0,0)，(−1,1)，(4,2)圆的方程为x 2+y 2−83x −143y =0．过点(4,0)，(−1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为x 2+y 2−165x −2y −165=0．故答案为：x 2+y 2−4x −6y =0(或x 2+y 2−4x −2y =0或x 2+y 2−83x −143y =0或x 2+y 2−165x −2y −165=0)．选其中的三点，利用待定系数法即可求出圆的方程．本题考查了过不在同一直线上的三点求圆的方程应用问题，是基础题．16.【答案】−12 ln2【解析】解：f(x)=ln|a+11−x|+b，若a=0，则函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，不具有奇偶性，∴a≠0，由函数解析式有意义可得，x≠1且a+11−x≠0，∴x≠1且x≠1+1a，∵函数f(x)为奇函数，∴定义域必须关于原点对称，∴1+1a =−1，解得a=−12，∴f(x)=ln|1+x2(1−x)|+b，定义域为{x|x≠1且x≠−1}，由f(0)=0得，ln12+b=0，∴b=ln2，故答案为：−12；ln2．显然a≠0，根据函数解析式有意义可得，x≠1且x≠1+1a ，所以1+1a=−1，进而求出a的值，代入函数解析式，再利用奇函数的性质f(0)=0即可求出b的值．本题主要考查了奇函数的定义和性质，属于中档题．17.【答案】解：(1)由sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)，又A=2B，∴sinCsinB=sinBsin(C−A)，∵sinB≠0，∴sinC=sin(C−A)，即C=C−A(舍去)或C+C−A=π，联立{A=2B2C−A=πA+B+C=π，解得C=58π；证明：(2)由sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)，得sinCsinAcosB−sinCcosAsinB=sinBsinCcosA−sinBcosCsinA，由正弦定理可得accosB−bccosA=bccosA−abcosC，由余弦定理可得：ac⋅a2+c2−b22ac =2bc⋅b2+c2−a22bc−ab⋅a2+b2−c22ab，整理可得：2a2=b2+c2．【解析】(1)由sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)，结合A=2B，可得sinC=sin(C−A)，即C+C−A=π，再由三角形内角和定理列式求解C；(2)把已知等式展开两角差的正弦，由正弦定理及余弦定理化角为边即可证明结论．本题考查三角形的解法，考查正弦定理及余弦定理的应用，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】证明：(1)∵AD =CD ，∠ADB =∠BDC ，BD =BD ， ∴△ADB≌△CDB ，∴AB =BC ，又∵E 为AC 的中点． ∴AC ⊥BE ，∵AD =CD ，E 为AC 的中点． ∴AC ⊥DE ，又∵BE ∩DE =E ， ∴AC ⊥平面BED ， 又∵AC ⊂平面ACD ， ∴平面BED ⊥平面ACD ； 解：(2)由(1)可知AB =BC ，∴AB =BC =2，∠ACB =60°，∴△ABC 是等边三角形，边长为2， ∴BE =√3，AC =2，AD =CD =√2，DE =1， ∵DE 2+BE 2=BD 2，∴DE ⊥BE ， 又∵DE ⊥AC ，AC ∩BE =E ， ∴DE ⊥平面ABC ，由(1)知△ADB≌△CDB ，∴AF =CF ，连接EF ，则EF ⊥AC ， ∴S △AFC =12×AC ×EF =EF ，∴当EF ⊥BD 时，EF 最短，此时△AFC 的面积最小， 过点F 作FG ⊥BE 于点G ，则FG//DE ，∴FG ⊥平面ABC ， ∵EF =DE×BE BD=√32， ∴BF =√BE 2−EF 2=32，∴FG =EF×BF BE=34， ∴三棱锥F −ABC 的体积V =13×S △ABC ×FG =13×√34×22×34=√34．【解析】(1)易证△ADB≌△CDB ，所以AC ⊥BE ，又AC ⊥DE ，由线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面BED ，再由面面垂直的判定定理即可证得平面BED ⊥平面ACD ； (2)由题意可知△ABC 是边长为2的等边三角形，进而求出BE =√3，AC =2，AD =CD =√2，DE =1，由勾股定理可得DE ⊥BE ，进而证得DE ⊥平面ABC ，连接EF ，因为AF =CF ，则EF ⊥AC ，所以当EF ⊥BD 时，EF 最短，此时△AFC 的面积最小，求出此时点F 到平面ABC 的距离，从而求得此时三棱锥F −ABC 的体积．本题主要考查了面面垂直的判定定理，考查了三棱锥的体积公式，同时考查了学生的空间想象能力与计算能力，是中档题．19.【答案】解：(1)设这棵树木平均一棵的根部横截面积为x −，平均一棵的材积量为y −， 则根据题中数据得：x −=0.610=0.06，y −=3.910=0.39；(2)由题可知，r =10i=1i −i −√∑(i=1x i −x −)2∑(i=1y i −y −)2=i 10i=1i −−√(∑x i i=1−nx −2)(∑y i i=1−ny −2)=√0.002×0.0948=0.01×√1.896=0.01340.01377=0.97；(3)设从根部面积总和X ，总材积量为Y ，则XY=x−y−，故Y =0.390.06×186=1209(m 3).【解析】根据题意结合线性回归方程求平均数、样本相关系数，并估计该林区这种树木的总材积量的值即可．本题考查线性回归方程，属于中档题．20.【答案】解：(1)当a =0时，f(x)=−1x −lnx(x >0)，则f′(x)=1x 2−1x =1−x x 2，易知函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减， ∴f(x)在x =1处取得极大值，同时也是最大值， ∴函数f(x)的最大值为f(1)=−1； (2)f′(x)=a +1x 2−a+1x=ax 2−(a+1)x+1x 2=(x−1)(ax−1)x 2，①当a =0时，由(1)可知，函数f(x)无零点；②当a <0时，易知函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减， 又f(1)=a −1<0，故此时函数f(x)无零点；③当0<a <1时，易知函数f(x)在(0,1),(1a ,+∞)上单调递增，在(1,1a )单调递减， 且f(1)=a −1<0，f(1a )=1−a +(a +1)lna <0，且当x →+∞时，f(x)>0，此时f(x)在(0,+∞)上存在唯一零点； ④当a =1时，f′(x)=(x−1)2x 2≥0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，又f(1)=0，故此时函数f(x)有唯一零点；⑤当a >1时，易知函数f(x)在(0,1a ),(1,+∞)上单调递增，在(1a ,1)上单调递减， 且f(1)=a −1>0，且当x →0时，f(x)<0，故函数f(x)在(0,+∞)上存在唯一零点； 综上，实数a 的取值范围为(0,+∞)．【解析】(1)将a =0代入，对函数f(x)求导，判断其单调性，由此可得最大值； (2)对函数f(x)求导，分a =0，a <0，0<a <1，a =1及a >1讨论即可得出结论．本题考查里利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查函数的零点问题，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于难题．21.【答案】解：(1)设E 的方程为x 2a 2+y2b2=1， 将A(0,−2),B(32,−1)两点代入得{4b 2=194a2+1b2=1，解得a 2=3，b 2=4， 故E 的方程为x 23+y 24=1；(2)由A(0,−2),B(32,−1)可得直线AB ：y =23x −2 ①若过P(1,−2)的直线的斜率不存在，直线为x =1， 代入x 23+y 24=1，可得M(1,2√63)，N(1,−2√63)， 将y =2√63代入AB ：y =23x −2，可得T(√6+3,2√63)，由MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =TH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得H(2√6+5,2√63)， 易求得此时直线HN ：y =(2−2√63)x −2，过点(0,−2)；②若过P(1,−2)的直线的斜率存在，设kx −y −(k +2)=0，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 联立{kx −y −(k +2)=0x 23+y 24=1，得(3k 2+4)x 2−6k(2+k)x +3k(k +4)=0，故有{x 1+x 2=6k(2+k)3k 2+4x 1x 2=3k(4+k)3k 2+4,{y 1+y 2=−8(2+k)3k 2+4y 1y 2=4(4+4k−2k 23k 2+4，且x 1y 2+x 2y 1=−24k3k 2+4(∗)， 联立{y =y 1y =23x −2，可得T(3y 12+3,y 1),H(3y 1+6−x 1,y 1)，可求得此时HN ：y −y 2=y 1−y 23y1+6−x 1−x 2(x −x 2)，将(0,−2)代入整理得2(x 1+x 2)−6(y 1+y 2)+x 1y 2+x 2y 1−3y 1y 2−12=0， 将(∗)代入，得24k +12k 2+96+48k −24k −48−48k +24k 2−36k 2−48=0， 显然成立．综上，可得直线HN 过定点(0,−2)． 【解析】(1)设E 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1，将A ，B 两点坐标代入即可求解；(2)由A(0,−2),B(32,−1)可得直线AB ：y =23x −2，①若过P(1,−2)的直线的斜率不存在，直线为x =1，代入椭圆方程，根据MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =TH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可求解；②若过P(1,−2)的直线的斜率存在，设kx−y−(k+2)=0，M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立{kx−y−(k+2)=0x23+y24=1，得(3k2+4)x2−6k(2+k)x+3k(k+4)=0，结合韦达定理和已知条件即可求解．本题考查了直线与椭圆的综合应用，属于中档题．22.【答案】解：(1)由ρsin(θ+π3)+m=0，得ρ(sinθcosπ3+cosθsinπ3)+m=0，∴12ρsinθ+√32ρcosθ+m=0，又x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴12y+√32x+m=0，即l的直角坐标方程为√3x+y+2m=0；(2)由曲线C的参数方程为{x=√3cos2t,y=2sint(t为参数)．消去参数t，可得y2=−2√33x+2，联立{√3x+y+2m=0y2=−2√33x+2，得3y2−2y−4m−6=0(−2≤y≤2)．−3≤√3≤6，即−193≤4m≤10，−1912≤m≤52，∴m的取值范围是[−1912,5 2 ].【解析】(1)由ρsin(θ+π3)+m=0，展开两角和的正弦，结合极坐标与直角坐标的互化公式，可得l的直角坐标方程；(2)化曲线C的参数方程为普通方程，联立直线方程与曲线C的方程，化为关于y的一元二次方程，再求解m的取值范围．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．23.【答案】解：(1)证明：∵a，b，c都是正数，∴a32+b32+c32≥33a32⋅b32⋅c32=3(abc)12，当且仅当a=b=c=3−23时，等号成立．因为a32+b32+c32=1，所以1≥3(abc)12，所以13≥(abc)12，所以abc≤19，得证．(2)证明：要使ab+c +ba+c+ca+b≤2√abc成立，只需证a32√bcb+c+b32√aca+c+c32√aba+b≤12，又因为b+c≥2√bc，a+c≥2√ac，a+b≥2√ab，当且仅当a=b=c=3−23时，同时取等．所以a 32√bcb+c +b32√aca+c+c32√aba+b≤a32√bc2√bcb32√ac2√ac32√ab2√ab=a32+b32+c322=12，得证．【解析】结合基本不等式与恒成立问题证明即可．本题考查基本不等式的应用，属于中档题．。
2023年高考数学真题完全解读(全国甲卷文科)
2023年高考数学真题完全解读（全国甲卷文科）适用省份四川、广西、贵州、西藏2023年高考数学全国卷全面考查了数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等学科核心素养，体现基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，突出理性思维，发挥出数学学科在人才选拔中的重要作用。
一、题型与分值分布题型：（1）单选题12道，每题5分共60分；（2）填空题4道，每题5分共20分；（3）解答题5道，每题12分共60分；（4）选做题2道，每题10分。
二、题目难度和复杂度知识点题型题目数量总分值整体评价集合单选题1个15分复数单选题1个15分平面向量单选题1个15分程序框图单选题1个15分数列单选题1个填空题1个210分三角函数单选题1个解答题1个217分概率与统计单选题1个解答题1个217分立体几何单选题1个填空题1个解答题1个322分圆锥曲线单选题2个解答题1个322分函数与导数单选题2个填空题1个解答题1个427分极坐标与参数方程选做题1个110分不等式填空题1个（线性规划问题）选做题1个215分主干知识考查全面，题目数量设置均衡；与课程标准保持了一致性。
四、高考试卷命题探究2023年高考数学全国卷在命制情境化试题过程中，通过对阅读题的分析，可以发现今年的高考命题在素材使用方面，对文字数量加以控制，阅读理解难度也有所降低；在抽象数学问题方面，力图设置合理的思维强度和抽象程度；在解决问题方面，通过设置合适的运算过程和运算量，力求使情境化试题达到试题要求层次与考生认知水平的契合与贴切。
一是创设现实生活情境。
数学试题情境取材于学生生活中的真实问题，贴近学生实际，具有现实意义，具备研究价值。
如第4题，取材于学校文艺活动，贴近考生，贴近生活，意在引导学生积极参加文艺活动，全面发展。
二是设置科学研究情境。
科学研究情境的设置不仅考查数学的必备知识和关键能力，而且引导考生树立理想信念，热爱科学，为我国社会主义事业的建设作出贡献。
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年普通高等学校招生全国统一考试1卷文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合A={x|x<2}，B={x|3–2x>0}，则( )A ．A ∩B={x|x<32}B ．A ∩B =ΦC ．A ∪B={x|x<32} D ．A ∪B=R2、为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田。
这n 块地的亩产量(单位：kg)分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( ) A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数 B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差 C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值 D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数3、下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A ．i(1+i)2B ．i 2(1–i)C ．(1+i)2D ．i(1+i)4、如下左1图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图。
正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称。
在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A ．14B ．π8C ．12D ．π45、已知F 是双曲线C ：x 2–y23=1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)。
则△APF 的面积为( )A ．13B ．12C ．23D ．326、如上左2–5图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是( )7、设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x+3y≤3x –y ≥1y≥0，则z=x+y 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．38、函数y=sin2x1–cosx的部分图像大致为( )9、已知函数f(x)=lnx+ln(2–x)，则( ) A ．f(x)在(0,2)单调递增 B ．f(x)在(0,2)单调递减 C ．y=f(x)的图像关于直线x=1对称D ．y=f(x)的图像关于点(1,0)对称10、如图是为了求出满足3n –2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A ．A>1000和n=n+1B ．A>1000和n=n+2C ．A≤1000和n=n+1D ．A≤1000和n=n+211、△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。
已知sinB+sinA(sinC –cosC)=0，a=2，c=2，则C=( )A ．π12B ．π6C ．π4D ．π312、设A 、B 是椭圆C ：x 23+y2m =1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB=120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9,+∞)B ．(0,3]∪[9,+∞)C ．(0,1]∪[4,+∞)D ．(0,3]∪[4,+∞)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、已知向量a =(–1,2)，b =(m,1)。
若向量a +b 与a 垂直，则m=______________。
14、曲线y=x 2+1x 在点(1,2)处的切线方程为_________________________。
15、已知α∈(0,π2)，tan α=2，则cos(α–π4)=__________。
16、已知三棱锥S –ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径。
若平面SCA⊥平面SCB ，SA=AC ，SB=BC ，三棱锥S –ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________。
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：60分。
17、(12分)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知S 2=2，S 3=–6。
(1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n+1，S n ，S n+2是否成等差数列。
18、(12分)如图，在四棱锥P –ABCD 中，AB16119.9716i i x x ===∑16162221111()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-≈∑∑1621(8.5)18.439i i =-≈∑161()(8.5) 2.78ii x x i =--=-∑.,16．(1)求(x i ,i)(i=1,2,...,16)的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)．(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(x –3s,x +3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查②在(x –3s,x +3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差 (精确到．附：样本(x i ,y i )(i=1,2,...n)的相关系数()()niix x y y r --=∑，错误!≈．20、(12分)设A ，B 为曲线C ：y=x24上两点，A 与B 的横坐标之和为4。
(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程。
21、(12分)已知函数f(x)=e x (e x –a)–a 2x ． (1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)≥0，求a 的取值范围．(二)选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22、[选修4―4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x=3cosθy=sinθ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x=a+4ty=1–t(t 为参数)。
(1)若a=1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a 。
23、[选修4—5：不等式选讲](10分)已知函数f(x)=–x 2+ax+4，g(x)=|x+1|+|x –1|。
(1)当a=1时，求不等式f(x)≥g (x)的解集；(2)由(1)可得S n =1–q =–3+(–1)n 3。
由于S n+2+S n+1=–43+(–1)n 2n+3–2n+23=2[–23+(–1)n 2n+13]=2S n 。
故S n+1，S n ，S n+2成等差数列。
18、解：(1)由已知∠BAP=∠CDP=90°，得AB⊥AP，CD⊥PD。
由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD 。
又AB 平面PAB ，所以平面PAB⊥平面PAD 。
(2)在平面PAD 内作PE⊥AD，垂足为E 。
由(1)知，AB⊥平面PAD ，故AB⊥PE，可得PE⊥平面ABCD 。
设AB=x，则由已知可得AD=2x，PE=22x。
故四棱锥P–ABCD的体V P–ABCD=13AB·AD·PE=13x3。
由题设得13x3=83，故x=2。
从而PA=PD=2，AD=BC=22，PB=PC=22。
可得四棱锥P–ABCD的侧面积为12PA·PD+12PA·AB+12PD·DC+12BC2sin60°=6+23。
19、解：(1)由样本数据得(x i,i)(i=1,2,...,16)的相关系数为16116162211()(8.5)2.780.180.2121618.439()(8.5)iiii ix x irx x i===---==≈-⨯⨯--∑∑∑由于|r|<，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小。
(2)①由于x=，s≈，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(x–3s,x+3s)以外，因此需对当天的生产过程进行检查。
②剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为115(16×–=。
这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为，162221160.212169.971591.134iix==⨯+⨯≈∑，剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为115––15×≈。
这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为错误!≈。
20、解：(1)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1≠x2，y1=x124，y2=x224，x1+x2=4，于是直线AB的斜率k=y1–y2x1–x2=x1+x24=1。
(2)由y=x24，得y'=x2，设M(x3,y3)，由题设知x32=1，解得x3=2，于是M(2,1)。
设直线AB的方程为y=x+m代入y=x24得x2–4x–4m=0。
当△=16(m+1)>0，即m>–1时，x=2±2m+1，从而|AB|=2|x1–x2|=42(m+1)。
由题设知|AB|=2|MN|，即42(m+1)=2(m+1)，解得m=7。
所以直线AB的方程为y=x+7。
21、解：(1)函数f(x)的定义域为(–∞,+∞)，f'(x)=2e2x–ae x–a2=(2e x+a)(e x–a)。
①若a=0，则f(x)=e2x，在(–∞,+∞)单调递增。
②若a>0，则由f'(x)=0得x=lna。
当x∈(–∞,lna)时，f'(x)<0；当x∈(lna,+∞)时，f'(x)>0；故f(x)在(–∞,lna)单调递减，在(lna,+∞)单调递增。
③若a<0，则由f'(x)=0得x=ln(–a2)。
当x∈(–∞,ln(–a2))时，f'(x)<0；当x∈(ln(–a2),+∞)时，f'(x)>0；故f(x)在(–∞,ln(–a2))单调递减，在(ln(–a2),+∞)单调递增。
(2)①若a=0，则f(x)=e2x，所以f(x)≥0。
②若a>0，则由(1)得，当x=lna时，f(x)取得最小值，最小值为f(lna)=–a2lna，从而当且仅当–a2lna≥0，即a≤1时，f(x)≥0。