高二数学上册10月月考检测试题9

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山西省部分学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含答案)

2024~2025学年高二10月质量检测卷数学（A 卷）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册第一章～第二章。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知直线经过，两点，则的倾斜角为（）A.B.C.D.2.已知圆的方程是，则圆心的坐标是（）A. B. C. D.3.在长方体中，为棱的中点.若，，，则（）A. B. C. D.4.两平行直线，之间的距离为（）B.3D.5.曲线轴围成区域的面积为（）l (A (B l 6π3π23π56πC 2242110x y x y ++--=C ()2,1-()2,1-()4,2-()4,2-1111ABCD A B C D -M 1CC AB a = AD b =1AA c = AM =111222a b c -+ 111222a b c ++12a b c-+12a b c++ 1:20l x y --=2:240l x y -+=y =xA. B. C. D.6.已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点到平面的距离是（）A. B.D.37.在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上存在点，使以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.8.在正三棱柱中，，，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为（）A.2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

湖南省名校联考联合体2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案

高二数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一，二册占60%，选择性必修第一册第一章至第二章第4节占40%.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，{}1,4,5B =，则()UB A ⋂=ð（）A.{}3B.{}4C.{}1,4 D.{}1,5【答案】D 【解析】【分析】利用补集与交集的定义可求解.【详解】因为全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，所以{}U 1,3,5A =ð，又因为{}1,4,5B =，(){}{}{}U 51,3,51,4,51,A B == ð.故选：D.2.已知复数1i z a =+（0a >），且3z =，则a =（）A.1B.2C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用复数的模的定义即可求解.【详解】因为1i z a =+，3z =3=，解得a =±，因为0a >，所以a =故选：D,3.已知1sin 3α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πcos 22α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.9B.19-C.79-D.9-【答案】A 【解析】【分析】根据同角三角函数关系得出余弦值，再结合诱导公式化简后应用二倍角正弦公式计算即可.【详解】因为221sin ,sin cos 13ααα=+=,又因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以cos 3α===,所以π12242cos 2sin22sin cos 22339αααα⎛⎫-===⨯⨯ ⎪⎝⎭.故选：A.4.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，且当0x ≤时，()22x af x =+，则()1f =（）A.2B.4C.2- D.4-【答案】A 【解析】【分析】利用题意结合奇函数的定义判断()f x 是奇函数，再利用奇函数的性质求解即可.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，所以()f x 是奇函数，且()00f =，故0202a+=，解得2a =-，故当0x ≤时，()222x f x =-+，由奇函数性质得()()11f f =--，而()121222f --=-+=-，故()()112f f =--=，故A 正确.故选：A5.在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1B AC B --的正切值为（）A.2B.3C.3D.【答案】D 【解析】【分析】取AC 的中点M ，连接1,MB MB ，可得1B MB ∠是二面角1B AC B --的平面角，求解即可.【详解】取AC 的中点M ，连接1,MB MB ，由正方体1111ABCD A B C D -，可得11,AB B C AB BC ==，所以1,B M AC BM AC ⊥⊥，所以1B MB ∠是二面角1B AC B --的平面角，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，可得AC =，所以BM =在1Rt B B M 中，11tan B B B MB BM =∠==,所以二面角1B AC B --.故答案为：D.6.已知线段AB 的端点B 的坐标是()3,4，端点A 在圆()()22124x y -+-=上运动，则线段AB 的中点P的轨迹方程为（）A.()()22232x y -+-= B.()()22231x y -+-=C.()()22341x y -+-= D.()()22552x y -+-=【答案】B 【解析】【分析】设出动点P 和动点A 的坐标，找到动点P 和动点A 坐标的关系，再利用相关点法求解轨迹方程即可.【详解】设(,)P x y ，11(,)A x y ，由中点坐标公式得1134,22x y x y ++==，所以1123,24x x y y =-=-，故(23,2)A x y --4，因为A 在圆()()22124x y -+-=上运动，所以()()222312424x y --+--=，化简得()()22231x y -+-=，故B 正确.故选：B7.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵111ABC A B C -中，π2ABC ∠=，1AB BC AA ==，,,D E F 分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足BF DE ⊥的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明逐个判断即可.【详解】在从左往右第一个图中，因为π2ABC ∠=，所以AB BC ⊥，因为侧棱垂直于底面，所以1AA ⊥面ABC ，如图，以B 为原点建立空间直角坐标系，设12AB BC AA ===，因为,,D E F 分别是所在棱的中点，所以(0,0,0),(0,1,0),(1,0,2),(1,1,0)B E D F所以(1,1,0)BF = ，(1,1,2)DE =-- ，故110BF DE ⋅=-+=，即BF DE ⊥得证，在从左往右第二个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，此时(0,0,0),(1,1,0),(1,0,2),(0,1,1)B E D F ，所以(0,1,1)BF = ，(0,1,2)DE =-，故121BF DE ⋅=-=-，所以,BF DE 不垂直，在从左往右第三个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，此时(0,0,0),(1,1,0),(1,0,0),(1,1,2)B E D F ，故(1,1,2)BF = ，(0,1,0)DE = ，即1BF DE ⋅=，所以,BF DE 不垂直，则下列3个直观图中满足BF DE ⊥的有1个，故B 正确.故选：B8.已知过点()1,1P 的直线l 与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，O 为坐标原点，则22OA OB+的最小值为（）A.12B.8C.6D.4【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知直线l 的斜率存在设为(0)k k <，分别解出,A B 两点的坐标，表示出22OA OB +的表达式由基本不等式即可求得最小值.【详解】由题意知直线l 的斜率存在．设直线的斜率为(0)k k <，直线l 的方程为1(x 1)y k -=-，则1(1,0),(0,1)A B k k--，所以222222121(1)(1)112OA OB k k kk k k+=-+-=-++-+22212(2)28k k k k =+--++≥++=，当且仅当22212,k k k k-=-=，即1k =-时，取等号.所以22OA OB +的最小值为8.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分．9.已知函数()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于直线π85x =对称C.()f x 的图象关于点π,18⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D.()f x 的值域为[]1,1-【答案】ABD 【解析】【分析】求得最小正周期判断A ；求得对称轴判断B ；求得对称中心判断C ；求得值域判断D.【详解】因为()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以的最小正周期为2ππ2T ==，故A 正确；由ππ2π,Z 42x k k +=+∈，可得ππ,Z 28k x k =+∈，所以()f x 图象的对称轴为ππ,Z 28k x k =+∈，当1k =时，图象的关于π85x =对称，故B 正确；由Z 2ππ,4k x k =∈+，可得ππ,Z 28k x k =-∈，所以()f x 图象的对称中心为ππ(,0),Z 28k k -∈，当0k =时，图象的关于点()π8,0-对称，故C 不正确；由()πsin 2[1,1]4f x x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，故()f x 的值域为[]1,1-，故D 正确.故选：ABD.10.若数据1x ，2x ，3x 和数据4x ，5x ，6x 的平均数、方差、极差均相等，则（）A.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的平均数相等B.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的方差相等C.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的极差相等D.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的中位数相等【答案】ABC 【解析】【分析】运用平均数，方差，极差，中位数的计算方法和公式计算，通过已知两组数据的平均数、方差、极差均相等这个条件，来分析这两组数据组合后的相关统计量与原数据的关系.【详解】设数据123,,x x x 的平均数为x ，数据456,,x x x 的平均数也为x .那么数据123456,,,,,x x x x x x 的平均数为123456()()3366x x x x x x x xx ++++++==，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的平均数相等，A 选项正确.设数据123,,x x x 的方差为2s ，数据456,,x x x 的方差也为2s .对于数据123456,,,,,x x x x x x ，其方差计算为2222221234561[()((()()()]6x x x x x x x x x x x x -+-+-+-+-+-2222221234561[3(()(())3(((())]6x x x x x x x x x x x x =⨯-+-+-+⨯-+-+-2221(33)6s s s =+=,所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的方差相等，B 选项正确.设数据123,,x x x 的极差为R ，数据456,,x x x 的极差也为R .对于数据123456,,,,,x x x x x x ，其极差是这六个数中的最大值减去最小值，由于前面两组数据的极差相等，所以组合后数据的极差依然是R ，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的极差相等，C 选项正确.设数据123,,x x x 按从小到大排列为123x x x ≤≤，中位数为2x .设数据456,,x x x 按从小到大排列为456x x x ≤≤，中位数为5x .对于数据123456,,,,,x x x x x x 按从小到大排列后，中位数不一定是2x ，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的中位数不一定相等，D 选项错误.故选：ABC11.已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为6的菱形，1AA ⊥平面ABCD ，13AA =，π3DAB ∠=，点P 满足1AP AB AD t AA λμ=++，其中λ，μ，[]0,1t ∈，则（）A.当P 为底面1111D C B A 的中心时，53t λμ++=B.当1t λμ++=时，AP 长度的最小值为2C.当1t λμ++=时，AP 长度的最大值为6D.当221t λμλμ++==时，1A P为定值【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，利用空间向量进行逐项进行分析求解判断.【详解】对于A ，当P 为底面1111D C B A 的中心时，由1AP AB AD t AA λμ=++ ，则11,,122t λμ===故2t λμ++=，故A 错误；对于B ，当1t λμ++=时，()22222222112·AP AB AD t AA AB AD t AA AB ADλμλμλμ=++=+++()()222223693636936t t λμλμλμλμ=+++=++-22245723636457236362t t t t λμλμ+⎛⎫=-+-≥-+- ⎪⎝⎭223273654273644t t t ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭当且仅当13,84t λμ===，取最小值为2，故B 正确;对于C ，当1t λμ++=时，1AP AB AD t AA λμ=++，则点P 在1A BD 及内部，而AP是以A 为球心，以AP 为半径的球面被平面1A BD 所截图形在四棱柱1111ABCD A B C D -及内的部分，当=1=0t λμ=，时，=6AP ，当=0=10t λμ=，，时，=6AP ，可得1A P最大值为6，故C 正确；对于D ，221t λμλμ++==，()22223693636945AP t λμλμ=+++=+= ，而11=A P A A AP +，所以()22222111111=+2·=+2A P A A AP A A AP A A AP A A AB AD t AA λμ++⋅++ 22211=29452936A A AP t A A +-=+-⨯= ，则16A P = 为定值，故D 正确.故答案选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量()1,2a =- ，(),4b m =-．若()a ab ⊥+ ，则m =________．【答案】3-【解析】【分析】利用非零向量垂直时数量积为0，计算即可.【详解】()1,2a b m +=--．因为()a ab ⊥+ ，所以()1220m ---⨯=，解得3m =-．故答案为：3-.13.已知在正四棱台1111ABCD A B C D -中，()0,4,0AB = ，()13,1,1CB =- ，()112,0,0A D =-，则异面直线1DB 与11A D 所成角的余弦值为__________.【答案】19【解析】【分析】利用向量的线性运算求得1DB，根据向量的夹角公式可求异面直线1DB 与11A D 所成角的余弦值.【详解】111(0,4,0)(3,1,1)(3,3,1)DB DC CB AB CB =+=+=+-=，所以111111111·cos,19·DB A DDB A DDB A D==-，所以异面直线1DB与11A D所成角的余弦值为19.故答案为：1914.已知函数()21xg x=-，若函数()()()()()2121f xg x a g x a=+--+⎡⎤⎣⎦有三个零点，则a的取值范围为__________.【答案】()2,1--【解析】【分析】令()0f x=，可得()2g x=或()1g x a=--，函数有三个零点，则需方程()1g x a=--有两个解，则=与1y a=--的图象有两个交点，数形结合可求解.【详解】令()0f x=，可得()()()()21210g x a g x a⎡⎤+--+=⎣⎦，所以()()()[2][1]0g x g x a-++=，所以()2g x=或()1g x a=--，由()2g x=，又()21xg x=-，可得212x-=，解得21x=-或23x=，方程21x=-无解，方程23x=有一解，故()2g x=有一解，要使函数()()()()()2121f xg x a g x a⎡⎤=+--+⎣⎦有三个零点，则()1g x a=--有两解，即=与1y a=--的图象有两个交点，作出函数=的图象的示图如下：由图象可得011a<--<，解得21a-<<-.所以a的取值范围为(2,1)--.故答案为：(2,1)--.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos c b a B +=．（1）若π2A =，求B ；（2）若a =1b =，求ABC V 的面积.【答案】（1）π4（2）12【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合内角和定理与两角和与差的正弦公式化简等式得sin sin()B A B =-，代入π2A =求解可得；（2）由sin sin()B A B =-根据角的范围得2A B =，由正弦定理结合二倍角公式可得cos 2B =，从而得π4B =，再利用余弦定理求边c ，由面积公式可求结果.【小问1详解】因为2cos c b a B +=，所以由正弦定理得，sin sin 2sin cos C B A B +=，又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+代入上式得，所以()sin sin cos cos sin sin =-=-B A B A B A B ，由π2A =，则B 为锐角，且c sin s os n π2i B B B ⎛⎫-= ⎭=⎪⎝，所以π4B =.【小问2详解】由（1）知，()sin sin B A B =-，因为a =1b =，所以A B >，则0πA B <-<，π02B <<，故B A B =-，或πB A B A +-==（舍去）.所以2A B =，又a =1b =，由正弦定理得sin sin 22cos sin sin A B aB B B b====，则cos 2B =，则π4B =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，则2122c =+-，化简得2210c c -+=，解得1c =，所以111sin 2222ABC S ac B === .故ABC V 的面积为12.16.甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环.设甲、乙、丙三人水平相当，每场比赛双方获胜的概率都为12.（1）求甲连续打四局比赛的概率；（2）求在前四局中甲轮空两局的概率；（3）求第四局甲轮空的概率.【答案】（1）18（2）14（3）38【解析】【分析】（1）由题意知甲前三局都要打胜，计算可得甲连续打四局比赛的概率；（2）甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，计算即可；（3）分析可得甲第四轮空有两种情况：第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，计算即可.【小问1详解】若甲连续打四局，根据比赛规则可知甲前三局都要打胜，所以甲连续打四局比赛的概率311(28=；【小问2详解】在前四局中甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，故在前四局中甲轮空两局的概率111(1(1)224-⨯-=；【小问3详解】甲第四轮空有两种情况：第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，第1种情况的概率111(1)(1224-⨯-=；第2种情况的概率1111(12228⨯⨯-=；由互斥事件的概率加法公式可得第四局甲轮空的概率为113488+=.17.如图，在几何体PABCD 中，PA ⊥平面ABC ，//PA DC ，AB AC ⊥，2PA AC AB DC ===，E ，F 分别为棱PB ，BC 的中点.（1）证明：//EF 平面PAC ．（2）证明：AB EF ⊥.（3）求直线EF 与平面PBD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）6【解析】【分析】（1）构造线线平行，证明线面平行.（2）先证AB ⊥平面PACD ，得到AB PC ⊥，结合（1）中的结论，可得AB EF ⊥.（3）问题转化为直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.设1CD =，表示CP 的长，利用体积法求C 到平面PBD 的距离，则问题可解.【小问1详解】如图，连接CP .在BCP 中，E ，F 分别为棱PB ，BC 的中点，所以//EF CP ,，又EF ⊄平面PAC ，CP ⊂平面PAC .所以//EF 平面PAC .【小问2详解】因为PA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以PA AB ⊥，又AB AC ⊥,,PA AC ⊂平面PAC ，且PA AC A = ，所以AB ⊥平面PAC .因为CP ⊂平面PAC ，所以AB CP ⊥.又因为//EF CP ，所以AB EF ⊥.【小问3详解】因为//EF CP ，所以直线EF 与平面PBD 所成角与直线PC 与平面PBD 所成角相等，设为θ.不妨设1CD =，则=PC 设C 到平面PBD 的距离为h .则13C PBD PBD V S h -=⋅ .又11212333C PBDB PCD PCD V V S AB --==⋅=⨯⨯= .在PBD △中，PB =BD PD ==，所以12PBD S =⨯= .所以33C PBD PBD V h S -=== .所以63sin θ6h PC ===.故直线EF 与平面PBD.18.设A 是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a ，b ，c A Î，使得a b b c -=-，则称A 为“等差集”．（1）若集合{}1,3,5,9A =，B A ⊆，且B 是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B ；（2）若集合{}21,,1A m m =-是“等差集”，求m 的值；（3）已知正整数3n ≥，证明：{}23,,,,nx x x x ⋅⋅⋅不是“等差集”．【答案】（1）答案见解析（2）2m =（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差集的定义结合子集的定义求解即可；（2）根据等差集定义应用a b b c -=-，即2a c b +=逐个计算判断即可；（3）应用反证法证明集合不是等差集.【小问1详解】因为集合{}1,3,5,9A =，B A ⊆，存在3个不同的元素a ，b ，c B ∈，使得a b b c -=-，则{}1,3,5,9B =或{}1,3,5B =或{}1,5,9B =.【小问2详解】因为集合{}21,,1A m m =-是“等差集”，所以221m m =+-或2211m m =+-或()2221m m +=-,计算可得1132m -±=或0m =或2m =或1334m =，又因为m 正整数,所以2m =.【小问3详解】假设{}22,,,,nx x x x⋅⋅⋅是“等差集”，则存在{},,1,2,3,,,m n q n m n q ∈<< ,2n m q x x x =+成立，化简可得2m n q n x x --=+,0m n x ->因为*N ,1x q n ∈-≥,所以21q n x x ->≥≥,所以=1与{}22,,,,nx x x x ⋅⋅⋅集合的互异性矛盾，所以{}22,,,,nx x x x⋅⋅⋅不是“等差集”．【点睛】方法点睛：解题方法是定义的理解，应用反证法设集合是等差集，再化简计算得出矛盾即可证明.19.过点()00,A x y 作斜率分别为1k ，2k 的直线1l ，2l ，若()120k k μμ=≠，则称直线1l ，2l 是()A K μ定积直线或()()00,x y K μ定积直线．（1）已知直线a ：()0y kx k =≠，直线b ：13y x k=-，试问是否存在点A ，使得直线a ，b 是()A K μ定积直线？请说明理由．（2）在OPM 中，O 为坐标原点，点P 与点M 均在第一象限，且点()00,M x y 在二次函数23y x =-的图象上．若直线OP 与直线OM 是()()0,01K 定积直线，直线OP 与直线PM 是()2P K -定积直线，直线OM与直线PM 是()00,202x y K x ⎛⎫- ⎪⎝⎭定积直线，求点P 的坐标．（3）已知直线m 与n 是()()2,44K --定积直线，设点()0,0O 到直线m ，n 的距离分别为1d ，2d ，求12d d 的取值范围．【答案】（1）存在，理由见解析（2）()1,2（3）[)0,8【解析】【分析】（1）由定积直线的定义运算可求结论；（2）设直线OM 的斜率为()0λλ≠，则直线OP 的斜率为1λ，利用定积直线的定义可得01x λ=或1-，进而2003x x λ-=，计算即可；（3）设直线():42m y t x -=+，直线()4:42n y x t-=-+，其中0t ≠，计算得12d d =，利用基本不等式可求12d d 的取值范围.【小问1详解】存在点()0,0A ，使得a ，b 是()A K μ定积直线，理由如下：由题意可得1133k k ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，由()013y kx k y x k ⎧=≠⎪⎨=-⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，故存在点()0,0A ，使得a ，b 是()A K μ定积直线，且13μ=-．【小问2详解】设直线OM 的斜率为()0λλ≠，则直线OP 的斜率为1λ，直线PM 的斜率为2λ-．依题意得()2022x λλ⋅-=-，得2201x λ=，即01x λ=或1-．直线OM 的方程为y x λ=，因为点()200,3M x x -在直线OM 上，所以2003x x λ-=．因为点M 在第一象限，所以20031x x λ-==，解得02x =或2-（舍去），12λ=，()2,1M ，所以直线OP 的方程为12y x x λ==，直线PM 的方程为()2213y x x λ=--+=-+，由23y x y x =⎧⎨=-+⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，即点P 的坐标为()1,2．【小问3详解】设直线():42m y t x -=+，直线()4:42n y xt-=-+，其中0t ≠，则12d d ===2216171725t t ++≥=，当且仅当2216t t =，即24t =时，等号成立，所以08≤<，即1208d d ≤<，故12d d 的取值范围为[)0,8．【点睛】思路点睛：理解新定义题型的含义，利用定积直线的定义进行计算求解，考查了运算求解能力，以及基本不等式的应用.。

湖南省名校大联考2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案

高二数学专版（答案在最后）考生注意：1､答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2､回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数4ii z +=在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】由复数除法化简复数，即可得对应的点求解.【详解】由4iiz +=可得()()()()()4i i 4i i 14i i i z +-==+-=--，故对应的点为()1,4-，位于第四象限，故选：D2.已知椭圆(22213x y a a +=>的离心率为12，左､右焦点分别为12,,F F A 为椭圆上除左､右顶点外的一动点，则12AF F △的面积最大为（）A.1B.C.2D.【答案】B 【解析】【分析】根据离心率求出2a ，进而可求12||F F ，当点A 在椭圆的上顶点或下顶点时，12AF F △的面积最大.【详解】由题可知椭圆的焦点在x 轴上，3b =，因为椭圆的离心率为12，所以22231112b e a a =-=-=，解得24a =，所以221222F F a b =-=，如图所示，当点A 与椭圆的上顶点或下顶点重合时，12AF F △的面积最大，此时12AF F △的最大面积为121123322F F b ⨯⨯=⨯⨯=，故选：B.3.设R a ∈，直线()()12:110,:220l a x y l x ay a ++-=+-+=，则“1a =”是“1l //2l ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求出1l //2l 的a 值，再利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求解.【详解】因为直线()()12:110,:220l a x y l x ay a ++-=+-+=，当1a =时，12:210,:230l x y l x y +-=+-=，此时1l //2l ，即1a =可以推出1l //2l ，当1l //2l 时，(1)2a a +=，解得1a =或2-，又2a =-时，12:10,:0l x y l x y -+=-=，此时1l //2l ，所以1l //2l 推不出1a =，所以“1a =”是“1l //2l ”的充分不必要条件，故选：A.4.若函数()()2391xxx ax f x +=+为偶函数，则a =（）A.1- B.0C.1D.3【答案】B 【解析】【分析】根据偶函数的定义求解即可.【详解】因为函数()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，所以()()22339191xxxxx ax x ax ---+=++，解得0a =，经检验0a =满足题意，故选：B .5.已知点()00,x y 为直线260x y ++=的最小值是（）A.B.2C. D.【答案】C【解析】【分析】的几何意义为直线上的点到原点的距离，由点到直线的距离公式可得．【详解】点()00,x y 为直线260x y ++=上任意一点，的几何意义为直线上的点到()1,0-的距离，故最小值为()1,0-=故选：C ．6.如图，在异面直线,m n 上分别取点,A B 和,C D ，使2,4,6AB CD BD ===，且,AC m AC n ⊥⊥，若π,3AB CD <>= ，则线段AC 的长为（）A.2B.2C.26D.6【答案】C 【解析】【分析】过C 作//l AB ，过B 作BH l ⊥于H ，连接,BH HD ，根据条件得到AC ⊥面CDH ，从而得到AC DH ⊥，进而得BH DH ⊥，在CHD V 中，利用余弦定理得到23HD =26AC BH ==.【详解】如图，过C 作//l AB ，过B 作BH l ⊥于H ，连接,BH HD ，因为AC m ⊥，所以AC CH ⊥，又AC n ⊥，n CH C = ，,n CH ⊂面CDH ，所以AC ⊥面CDH ，又DH ⊂面CDH ，所以AC DH ⊥，又易知//AC BH ，所以BH DH ⊥，又π,3AB CD <>= ，所以π3HCD ∠=，在CHD V 中，2,4CH AB CD ===，所以222π2cos 416224cos 123HD CH CD CH CD HCD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，在Rt BHD V 中，6BD =，3HD =，所以222361224BHBD DH =-=-=，又//,//AC BH AB CH ，所以6AC BH ==，故选：C.7.已知点P 为椭圆221169x y +=上任意一点，则点P 到直线:90l x y -+=的距离的最小值为（）A.B.4C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据条件，设(4cos ,3sin )P θθ，利用点到直线的距离公式得到d =，再利用辅助角公式及cos y x =的性质，即可求解.【详解】由题可设(4cos ,3sin )P θθ，则点P 到直线:90l x y -+=的距离为d ==3tan 4ϕ=，所以当cos()1θϕ+=-时，d 最小，最小值为d ==故选：D.8.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，π3,3PA ABC BAP ∠∠===，且1cos 6PAD ∠=，则cos PBC ∠=（）A.7-B.7C.14-D.14【答案】D 【解析】【分析】利用基底AB AD AP 、、表示出向量PC ，然后求出PC的模，余弦定理求出PB 的长，在PBC 中，利用余弦定理的变形即可求出cos .PBC ∠【详解】如图连接AC ,则PC AC AP AB AD AP=-=+- 2222()||||222PC AB AD AP AB AD AD AB AD AB AP AD AP∴=+-=+++⋅-⋅-⋅ 由题可知π12,3,,cos 36AB PA ABC BAP PAD ∠∠∠=====，∴222||4,||9,AB AD AP === 122cos 22242AB AD AB AD BAD ∠⎛⎫⋅=⋅⋅=⨯⨯⨯-=- ⎪⎝⎭ ，122cos 22362AB AP AB AP PAD ∠⋅==⨯⨯⨯= ，122cos 22326AD AP AD AP PAD ∠⋅==⨯⨯⨯= ，∴4494625PC =++---，在ABP 中,22212cos 4922372PB AB AP AB AP PAB =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=,7PB ∴=,在PBC 中2227, cos 214272PB BC PC PBC PB BC ∠+-==⋅⨯⨯,故选：D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.党的二十大作出“发展海洋经济，保护海洋生态环境，加快建设海洋强国”的战略部署．如图是2018—2023年中国海洋生产总值的条形统计图，根据图中数据可知下列结论正确的是（）A.从2018年开始，中国海洋生产总值逐年增大B.从2019年开始，中国海洋生产总值的年增长率最大的是2021年C.这6年中国海洋生产总值的极差为15122D.这6年中国海洋生产总值的80%分位数是94628【答案】BD 【解析】【分析】对A ，根据条形图数据可判断；对B ，根据数据计算年增长率可判断；对C ，计算极差可判断；对D ，根据80%分位数概念计算可判断.【详解】对于A ，根据条形图数据可以看到2020年较2019年海洋生产总值是下降的，故A 错误；对于B ，2019年海洋生产总值年增长率是8941510.07283415-=，2020年海洋生产总值年增长率是8001010.10589415-=-，2021年海洋生产总值年增长率是9038510.13080010-=，2022年海洋生产总值年增长率是9462810.04790385-=，2023年海洋生产总值年增长率是9853710.04194628-=，故年增长率最大的是2021年，故B 正确；对于C ，这6年中国海洋生产总值的极差为985378001018527-=，故C 错误；对于D ，将这6年的海洋生产总值按照从小到大排列80010，83415，89415，90385，94628，98537，又680% 4.8⨯=，所以这6年中国海洋生产总值的80%分位数是94628，故D 正确.故选：BD.10.已知圆22:(1)1M x y -+=与圆22:(2)4N x y +-=相交于,A B 两点（点A 在第一象限），则（）A.直线AB 的方程是20x y -=B.,,,A M B N 四点不共圆C.圆M 的过点A 的切线方程为3480x y +-=D.4cos 5AMB ∠=-【答案】AC 【解析】【分析】选项A ，利用两圆方程相减，即可求解；选项B ，联立直线AB 的方程与圆的方程，直接求出84(,)55A ，(0,0)B ，进而可得MN 中点到,,,A M B N 四点距离相等，即可求解；选项C ，利用选项B 中结果，先求出43MA k =，进而得到切线方程的斜率为34-，即可求解；选项D ，直接求出455AB =，1MA MB ==，利用余弦定理即可求解.【详解】对于选项A ，因为圆22:(1)1M x y -+=与圆22:(2)4N x y +-=，两圆方程相减得到20x y -=，即直线AB 的方程是20x y -=，所以选项A 正确，对于选项B ，由20x y -=和22(1)1x y -+=，解得00x y =⎧⎨=⎩或8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即84(,)55A ，(0,0)B ，又(1,0),(0,2)M N ，所以MN 中点为1(,1)2P ，则52PB PA ==，又MN =，所以P 到,,,A M B N 四点距离相等，即,,,A M B N 四共圆，所以选项B 错误，对于选项C ，由选项B 知84(,)55A ，所以4458315MAk ==-，得到圆M 的过点A 的切线方程为438()545y x -=--，整理得到3480x y +-=，所以选项C 正确，对于选项D，因为5AB ==，1MA MB ==，在BMA △中，由余弦定理得222161135cos 225MA MB ABAMB MA MB∠+-+-===-⋅，所以选项D 错误，故选：AC.11.在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1AP AB AD AA λ=++，其中[)1,λ∞∈+，则下列说法正确的是（）A.若1,,,,A B D A P 在同一球面上，则3λ=B.若AB ∥平面1A DP ，则2λ=C.若点P 到1,,,A B D A 四点的距离相等，则2λ=D.若1AP ⊥平面PBD ，则32λ=【答案】BCD 【解析】【分析】由题知点P 在线段1AC 上(不包含A 点)；对于A ，若1,,,,A B D A P 在同一球面上,则此球为正方体的外接球,所以P 与1C 重合，由此求出λ的值；对于B ，利用线面平行的性质定理得P 为1AC 的中点，据此求λ值；对于C ，点P 到1,,,A B D A 四点的距离相等,则P 为正方体外接球的球心,即1AC 的中点,据此求λ值；对于D ，若1A P ⊥平面PBD ,则1A P PO ⊥,由对称性知11A AO A PO ≅ ，所以RA RP =，进而可得P 是1AC 上靠近1C 的三等分点，据此求λ值.【详解】因为点P 满足1AP AB AD AA λ=++，所以点P 在线段1AC 上(不包含A 点).对于A ，若1,,,,A B D A P 在同一球面上，则此球为正方体的外接球，所以P 与1C 重合，所以1λ=，故A 错误;对于B ，如图1，设1A D 的中点为Q ，连接PQ ，则平面11ABC D 与平面1A DP 的交线为直线PQ ，要使//AB 平面1A DP ，则需//AB PQ ，则P 为1AC 的中点，此时2λ=，故B 正确;对于C ，点P 到1,,,A B D A 四点的距离相等，则P 为正方体外接球的球心，即1AC 的中点，此时2λ=，故C 正确;对于D ，如图2，设正方形ABCD 的中心为O ，连接1AO ，与1AC 交于点R ，连接11A C 易证11A C R OAR ≅ ，所以1112C R A C AR OA==，所以R 是1AC 上靠近A 的三等分点，假设正方体的边长12AA =，则2AC =,如图所示，在平面11ACC A 中，建立如图所示的平面直角坐标系，则())()()110,2,2,0,0,0,2,2A OA C ,所以)()12,2,2,2A O AC =-=,因为1·0AO AC = ，所以11A O AC ⊥，若1A P ⊥平面PBD ，PO ⊂面PBD ，则1A P PO ⊥，由对称性易知11A AO A PO ≅ ，则RA RP =，从而P 是1AC 上靠近1C 的三等分点，此时32λ=，故D 正确.故选：BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线:2l y kx =+在x 轴上的截距为1，则k =__________.【答案】2-【解析】【分析】根据条件，利用横截距的定义，即可求解.【详解】因为直线:2l y kx =+，令0y =，得到2x k=-，由题有21k -=，解得2k =-，故答案为：2-.13.已知tan 2α=，则2sin cos sin 1ααα-+=__________.【答案】35##0.6【解析】【分析】用弦切互化的方法即可求解.【详解】22222sin cos sin 1sin cos sin sin cos sin cos cos ααααααααααα-+=-++=+2222sin cos cos tan 1213sin cos tan 1415ααααααα+++====+++,故答案为：35.14.古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数()1λλ≠的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点()7,0A -，B 为直线:43110l x y ++=上的动点，P 为圆22:(2)9C x y -+=上的动点，则3PA PB +的最小值为__________.【答案】9【解析】【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义可设||3||PA PD =，利用待定系数法得D 的坐标为(1,0)，即可根据三点共线，结合点到直线的距离公式即可求解.【详解】令3PA PD =，则||3||PA PD =．由题意可得圆22:(2)9C x y -+=是关于点A ，D 的阿波罗尼斯圆，且3λ=，设点D 坐标为(,)D m n，则||3||PA PD ==整理得22229794994948m n m n x y x y --+-+=-，由题意得该圆的方程为22:(2)9C x y -+=，即2245x y x +-=所以229744904499958m n m n +⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪--=⎪⎩，解得10m n =⎧⎨=⎩，所以点D 的坐标为D (1,0)，所以3333PA PB PD PB DB +=+≥，当BD l ⊥时，此时DB3=，因此当BD l ⊥时，3PA PB +的值最小为339⨯=，故答案为：9【点睛】关键点点睛：根据3PA PB +的形式，设3PA PD =，则||3||PA PD =，利用阿波罗尼斯圆的定义待定出点D (1,0)，即可利用点到直线的距离求解.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知直线1l 的方程为()420a x ay +-+=，直线2l 经过点1,02A ⎛⎫⎪⎝⎭和10,B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）若12l l ⊥，求a 的值；（2）若当a 变化时，1l 总过定点C ，求AC .【答案】（1）2a =-或4a =.（2）2【解析】【分析】（1）求出直线1l 和2l 的斜率，利用斜率相乘为-1求解即可；（2）将直线1l 的方程为()420a x ay +-+=进行变形，然后解方程组即可得到直线1l 经过的定点，再利用两点间的距离公式求解即可.【小问1详解】直线2l 经过点1,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭和10,B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以0a ≠，所以直线2l 的斜率为102102a k a -==--，因为直线1l 的斜率为4a a +，12l l ⊥,所以421a a a +⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭,解得2a =-或4a =.【小问2详解】直线1l 的方程为()420a x ay +-+=可以改写为()420a x y x -++=,由0420x y x -=⎧⎨+=⎩，解得12x y ==-，所以1l 总过定点11C ,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭,根据两点间的距离公式,.2AC ==16.已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b csin cos C c A c =+.（1）求A ；（2）若π,4C ABC =△的面积为6+，求c .【答案】（1）π3（2）4【解析】【分析】（1）cos1A A=+，再利用辅助角及特殊角三角函数值，即可求解；（2）根据条件及（1）中结果，得到5π12B=，利用正弦定理得到12b c+=，再利用面积公式，即可求解.【小问1详解】sin cosC c A c=+sin sin cos sinA C C A C=+，又(0,π)C∈，sin0C≠cos1A A=+cos1A A-=，所以π2sin()16A-=，得到π1sin()62A-=，又(0,π)A∈，所以ππ5π(,)666A-∈-，所以ππ66A-=，解得π3A=.【小问2详解】因为π4C=，由（1）知π3A=，所以ππ5ππ3412B=--=，由正弦定理sin sin sina b cA B C==，得到5πsinsin5π12sinπsin12sin4cc BbC===，又5π7πππ1sin sin=sin()12124322224=+=+=，所以12b c+=，又ABCV的面积为6+，所以211313sin62222S bc A c+==⨯⨯=，整理得到216c=，解得4c=.17.已知圆221:202E x mx y m-+-=，点()1,0A关于直线:l y ax b=+的对称点为()2,3B-.（1）求l的方程；（2）若l与圆E相交于,M N两点，圆心E到l，圆C的圆心在线段MN上，且圆C与圆E相切，切点在劣弧MN上，求圆C的半径的最大值.【答案】（1）2y x=+（2【解析】【分析】（1）利用直线AB 与l 垂直，可得1a =，再利用AB 中点在l 上，即可求解；（2）根据条件求出4m =-，联立直线与圆的方程得到2630x x ++=，解得1233x x =--=-+，设出(,2)C a a +，其中33a -<<-+，利用圆与圆的位置关系得到r CE =-=，即可求解.【小问1详解】因为点()1,0A 关于直线:l y ax b =+的对称点为()2,3B -，所以313a ⨯=--，得到1a =，又易知AB 中点为13(,22-，则3122b =-+，解得2b =，所以直线l 的方程为2y x =+.【小问2详解】因为圆221:202E x mx y m -+-=的圆心为(m,0)E ，=0m =或4m =-，当0m =时，圆22:0E x y +=，不合题意，所以4m =-，圆22:820E x x y +++=，即22(4)14x y ++=，设1122(,),(,)M x y N x y ，由228202x x y y x ⎧+++=⎨=+⎩，消y 得到2630x x ++=，所以1233x x =--=-+设圆C 的圆心为(,2)C a a +，半径为r ，又圆C 与圆E 相切，切点在劣弧MN 上，则CE r =，得到r CE ====又易知33a --<<-+3a =-时，圆C18.如图，在三棱锥P ABC -中，2,22,,,PA AB BC PB AC PA BC M N =====⊥分别是棱PB ，CA 上的动点（不含端点），且BM CN =.（1）证明：平面ABC ⊥平面PAB .（2）设BM t =，则当t 为何值时，MN 的长度最小？（3）当MN 的长度最小时，求平面AMN 与平面PAB 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）2t =时，MN 的长度最小（3）33【解析】【分析】（1）根据,PA BC ⊥,PA AB ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得PA ⊥平面ABC 进而由面面垂直的判定即可求解；（3）根据线面垂直的性质，结合余弦定理和勾股定理，得到MN 的表达式，即可由二次函数的性质求解最值.（3）建立空间直角坐标系进而求得平面AMN 的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】由于2,2,,PA AB PB PA AB ===∴⊥又,PA BC ⊥,,BC AB B BC AB ⋂=⊂平面ABC ，所以PA ⊥平面ABC ，又因为PA ⊂平面PAB ，所以平面ABC ⊥平面PAB .【小问2详解】作//MD PA 交AB 于D ，连接DN ，由于PA ⊥平面ABC ，故MD ⊥平面ABC ，MN ⊂平面ABC ，故MD MN ⊥，BM t =，故22BD DM BM ===，CN t =，故,AN t =-又易知ABC V 是等腰直角三角形，由余弦定理可得2222cos 45DN AD AN AD AN =+-⋅()()222221224222t t ⎛⎫⎫=-+--=-+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故NM ==，故当t =时，此时MN .【小问3详解】由于2,AB BC AC ===，故AB BC ⊥，以B 为坐标原点，以,BC BA 所在的直线分别为x 和y 轴，以过点B 垂直与平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，当t =时，,M N 分别为,PB AC 的中点，则()0,2,0A ，()0,0,0B ()()()2,0,0,0,1,1,1,1,0C M N ，所以()()0,1,1,1,1,0AM AN =-=- ，设平面AMN 的法向量为(,,)n x y z = ，则00n AM n AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00y z x y -+=⎧⎨-=⎩，取1y =，可得平面AMN 的一个法向量()1,1,1n = ，平面PAB 的一个法向量为()1,0,0m =，设平面AMN 与平面PAB 的所成角为θ，则cos |cos ,|||3||||n m n m n m θ⋅=〈〉== ，故平面AMN 与平面PAB的所成角的余弦值为3.19.已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点()3,1，且离心率为,3O 为坐标原点.（1）求E 的方程.（2）过点()0,3P 且不与y 轴重合的动直线l 与E 相交于,A B 两点，AB 的中点为Q .（i ）证明：直线l 与OQ 的斜率之积为定值；（ii ）当OAB △的面积最大时，求直线l 的方程.【答案】（1）221124x y +=（20-+=0+-=..【解析】【分析】（1）根据已知点在椭圆上及离心率列方程组求解可得椭圆方程；（2）设方程()()1122:3,,,,l y kx A x y B x y =+，直线与椭圆联立消去y 利用韦达定理和斜率公式证明直线l 与OQ 的斜率之积为定值；根据弦长公式和三角形面积公式求得直线斜率最后得到直线方程.【小问1详解】由已知，得22222911,,3,a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故E 的方程为221124x y +=.【小问2详解】①由题可设()()1122:3,,,,l y kx A x y B x y =+.将2211243x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得()221318150k x kx +++=.当()2Δ436150k =->，即2512k >时，有1212221815,1313k x x x x k k-+==++.所以121212229,321322133x x y y x x k k k k +++-==⨯+=++，即2293,1313k Q k k-⎛⎫ ⎪++⎝⎭，可得13OQ k k =-，所以31OQ k k ⋅=-，即直线l 与OQ 的斜率之积为定值.②由（1）可知()()222121212114AB k x x k x x x x ⎡⎤=+-=++-⎣⎦22221361531k k k +-=+又点O 到直线l 的距离21d k =+，所以OAB △的面积22133615231OABk S d AB k -=⋅=+ .23615k t -=，则2391243627OAB tS t t t ==++ 0,263,32727362763OAB t t t S t t t t>∴+≥⨯==≤=+ 当且仅当33t =426k =±时等号成立，且满足Δ0>.所以当OAB △的面积最大时，直线l 76360+=76360x +-=.t=，把面积转换为t的函数结合基本不等式计算最值即可，注意取等条件是否符合题意.。

四川省成都市石室中学2024-2025学年高二上学期10月月考试题数学含解析

成都石室中学2024-2025学年度上期高2026届十月考试数学试题（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 满足：()i 12i 34z +=-，则复数z 的共轭复数z 的虚部为（）A. 2iB. -2C. 2D. 2i-2. 在一个实验中，某种豚鼠被感染A 病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[]0,9之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：192 907 966 925 271 932 812 458 569 683257 393 127 556 488 730 113 537 989 431据此估计三只豚鼠都没被感染的概率为（）A. 0.25B. 0.4C. 0.6D. 0.753. 如图，在圆锥PO 中，轴截面PAB 的顶角60A P B Ð=°，设D 是母线PA 的中点，C 在底面圆周上，且PC AB ^，则异面直线CD 与PB 所成角的大小为（）A.15°B.30°C. 45°D.60°4. 已知三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ^底面A B C ，则“1CB BB ^”是“CB AB ^”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 庑殿（图1）是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，多用于宫殿、坛庙、重要门楼等高级建筑上，庑殿的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，故又称“四阿殿”或“五脊殿”．图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面ABCD 是矩形，且四个侧面与底面的夹角均相等，则（）A. AB BC EF =+B. 2BC AB EF =+C. 2EF AB BC =+ D. 2AB BC EF =-6. 两条异面直线,a b 所成的角为60°，在直线,a b 上分别取点,A E 和点,B F ，使AB a ^，且AB b ^.已知6,8,14AE BF EF ===的长为（A. 20或12B. 12或或 D. 207. 已知55ln ,lg 22a ab b +=+=，则（）A. 2a b << B. 2b a << C. 2b a << D. 2a b <<8. 正四面体的棱长为3，MN 是它内切球的直径，P 为正四面体表面上的动点，PM PN ×uuuu r uuu r 的最大值为（）A. 2B. 94 C. 52 D. 3二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（）A. 乙发生的概率为12B. 丙发生的概率为12C. 甲与丁相互独立 D. 丙与丁互为对立事件10. 如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，,E F 为CD 上任意两点，且EF 的长为定值，则（）A.点P 到平面QEF 的距离为定值B.三棱锥P QEF -的体积为定值C.直线PQ 与平面PEF 所成的角为定值D.二面角P EF Q --的大小为定11. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()()()22,12,1f x y f x y f x f y f f x +×-=-=+为偶函数，则（）A. ()32f = B. ()f x 为偶函数C. ()20f = D. 20241()0k f k ==å三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的横线上.12. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则点B 到直线1AC 的距离为_________．13. 把正方形ABCD 沿对角线AC 折成60°的二面角，,E F 分别是,BC AD 的中点，O 是原正方形ABCD 的中心，则EOF Ð的余弦值为_________．14. 已知函数()()πsin 0,2f x x w j w j æö=+><ç÷èø．直线y =与曲线()y f x =的两个交点,A B 如图所示，若π4AB =，且()f x 在区间5π11π,1212æöç÷èø上单调递减，则w =_______；j =_______．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）在A B C △中，2,120AB BC ABC ==Ð=°，将A B C △绕着BC 旋转到BDC △的位置，如图所示．（1）求直线AD 与直线BC 所成角的大小；（2）当三棱锥D ABC -的体积最大时，求平面ABD 和平面B D C 的夹角的余弦值．16.（本小题满分15分）为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组[)20,25、第2组[)25,30、第3组[)30,35、第4组[)35,40、第5组[]40,45.（1）求图中x 的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[)35,40的人数；（2）估计抽出的100名志愿者年龄的第75百分位数；（3）若在抽出的第2组、第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.17.（本小题满分15分）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且2cos 2b C a c =+．（1）求角B（2）若b =D 为AC 边上的一点，1BD =，且______，求ABC V 的面积．请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．①BD 是ABC Ð的平分线；②D 为线段AC 的中点．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．）18.（本小题满分17分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为BC 的中点，点M 在1BD 上．再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点M 唯一确定，并解答问题．条件①：MA MC =；条件②：EM AD ^；条件③：//EM 平面11CDD C ．（1）求证：M 为1BD 的中点；（2）求直线EM 与平面MCD 所成角的大小；（3）求点E 到平面MCD 的距离．注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．19. （本小题满分17分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，90ACB Ð=°，11,2BC AC CC ===.（1）证明：11AC A B ^；（2）设直线1AA 与平面11BCC B ，求平面11A ABB 与平面ABC 的夹角的余弦值.成都石室中学2024-2025学年度上期高2026届10月月考数学试题（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 满足：()i 12i 34z +=-，则复数z 的共轭复数z 的虚部为（）A. 2iB. -2C. 2D. 2i-【答案】C2. 在一个实验中，某种豚鼠被感染A 病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[]0,9之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：192 907 966 925 271 932 812 458 569 683257 393 127 556 488 730 113 537 989 431据此估计三只豚鼠都没被感染的概率为（）A. 0.25B. 0.4C. 0.6D. 0.75【答案】A3. 如图，在圆锥PO 中，轴截面PAB 的顶角60A P B Ð=°，设D 是母线PA 的中点，C 在底面圆周上，且PC AB ^，则异面直线C D 与PB 所成角的大小为（ C ）A.15°B.30°C. 45°D.60°4. 已知三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ^底面A B C ，则“1CB BB ^”是“CB AB ^”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 5. 庑殿（图1）是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，多用于宫殿、坛庙、重要门楼等高级建筑上，庑殿的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，故又称“四阿殿”或“五脊殿”．图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面ABCD 是矩形，且四个侧面与底面的夹角均相等，则（）A. AB BC EF =+B. 2BC AB EF =+C. 2EF AB BC =+D. 2AB BC EF=-【答案】A 6. 两条异面直线,a b 所成的角为60°，在直线,a b 上分别取点,A E 和点,B F ，使AB a ^，且AB b ^.已知6,8,14AE BF EF ===，则线段AB 的长为（）A. 20或12B. 12或C. D. 20【答案】B7. 已知55ln ,lg 22a ab b +=+=，则（）A. 2a b << B. 2b a <<C. 2b a<< D. 2a b<<【答案】D 8. 正四面体的棱长为3，MN 是它内切球的直径，P 为正四面体表面上的动点，PM PN ×uuuu r uuu r 的最大值为（）A. 2B. 94C. 52D. 3【答案】D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（）A. 乙发生的概率为12B. 丙发生的概率为12C. 甲与丁相互独立D. 丙与丁互为对立事件【答案】ACD10. 如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，,E F 为CD 上任意两点，且EF 的长为定值，则（ ABD ）A.点P 到平面QEF 的距离为定值B.三棱锥P QEF -的体积为定值C.直线PQ 与平面PEF 所成的角为定值D.二面角P EF Q --的大小为定值11. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()()()22,12,1f x y f x y f x f y f f x +×-=-=+为偶函数，则（）A. ()32f = B. ()f x 为偶函数C. ()20f = D. 20241()0k f k ==å【答案】CD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的横线上.12. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则点B 到直线1AC 的距离为_________．13. 把正方形ABCD 沿对角线AC 折成60°的二面角，,E F 分别是,BC AD 的中点，O 是原正方形ABCD 的中心，则EOF Ð的余弦值为_________．【答案】14-14. 已知函数()()πsin 0,2f x x w j w j æö=+><ç÷èø．直线y =与曲线()y f x =的两个交点,A B 如图所示，若π4AB =，且()f x 在区间5π11π,1212æöç÷èø上单调递减，则w =_______；j =_______．【答案】 ①. 2 ②. π3-四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）在A B C △中，2,120AB BC ABC ==Ð=°，将A B C △绕着BC 旋转到BDC △的位置，如图所示．（1）求直线AD 与直线BC 所成角的大小；（2）当三棱锥D ABC -的体积最大时，求平面ABD 和平面B D C 的夹角的余弦值．【解析】（1）取A D 的中点E ，连接,CE BE ，由题意可知,AC D C AB D B ==，所以,CE AD BE AD ^^；因为,,CE BE E CE BE Ç=Ì平面B C E ，所以AD ^平面B C E ；因B C Ì平面B C E ，所以BC AD ^，直线AD 与直线BC 所成角为90°.（2）由题意可知三棱锥D ABC -的体积最大时，平面D B C ^平面A B C ；在平面D B C 内作出DO BC ^，且与CB 的延长线交于点O ，连接OA ；因为平面D B C ^平面A B C ，平面D B C I 平面ABC BC =，DO BC ^，所以DO ^平面A B C ；根据旋转图形的特点可知，,,OD OA OC 两两垂直，以O 为坐标原点，,,OA OC OD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，因为2,120AB BC ABC ==Ð=°，所以1OA OD OB ===；())(()0,1,0,,,0,3,0B AD C；)(1,0,0,BA BD =-=-uuu r uuu r ，设平面ABD 的一个法向量为(),,n x y z =r ，则00n BA n BD ì×=ïí×=ïîuu u r r uuu r r，00y y -=-=，令y =，则()n =r；易知平面B D C的一个法向量为)OA =uuu r,为设平面ABD 和平面B D C 的夹角为q，则cos OA n OA nq ×===uuu r r uuu r r 所以平面ABD 和平面B D C.16. 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组[)20,25、第2组[)25,30、第3组[)30,35、第4组[)35,40、第5组[]40,45.（1）求图中x 的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[)35,40的人数；（2）估计抽出的100名志愿者年龄的第75百分位数；（3）若在抽出的第2组、第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.【答案】（1）150（2）37.5（3）415【解析】（1）由直方图知：(0.14)51x +´=，可得0.06x =，∴500名志愿者中年龄在[)35,40的人数为0.065500150´´=人. ………2分（2）因为()0.010.040.0750.60.75++´=<，()0.010.040.070.0650.90.75+++´=>，所以第75百分位数在[)35,40区间内，若该数为a ，∴0.60.06(35)0.75a +´-=，解得37.5a =.………6分（3）由题设，第2组、第4组和第5组的频率之比为2:3:1，知6名志愿者有2名来自[)25,30，3名来自[)35,40，1名来自[)40,45， ………8分不妨设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者为12123,,,,,a a b b b c ，则抽取两人的基本事件有()()()()()()()1211112122123,,,,,,,,,,,,,a a a a a a c a b a b b b b ，()()232,,,,a b a c ()()()()()()121312323,,,,,,,,,,,b b b b b c b b b c b c ，共15个，………12分∴抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率415P =.………13分17.（本小题满分15分）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且2cos 2b C a c =+．（1）求角B 的大小；（2）若b =D 为AC 边上的一点，1BD =，且______，求ABC V 的面积．请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．①BD 是ABC Ð的平分线；②D 为线段AC 的中点．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．）【解析】（1）由正弦定理知，2sin cos 2sin sin B C A C =+，∵()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，代入上式得2cos sin sin 0B C C +=，………3分∵()0,πC Î，∴sin 0C >，1cos 2B =-，∵()0,πB Î，∴2π3B =．………5分（2）若选①：由BD 平分ABC Ð得，ABC ABD BCD S S S =+△△△，∴12π1π1πsin 1sin 1sin 232323ac c a =´´+´´，即ac a c =+．………8分在ABC V 中，由余弦定理得2222π2cos 3b ac ac =+-，又b =，∴2212a c ac ++=，………10分联立2212ac a c a c ac =+ìí++=î得()2120ac ac --=，解得4ac =，3ac =-（舍去），∴12π1sin 4232ABC S ac ==´=△………15分若选②：因为()12BD BA BC =+uuu r uuu r uuu r，所以()()222211244BD BA BC BA BA BC BC =+=+×+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，即2212π12cos 43c ac a æö=++ç÷èø，得224a c ac +-=，………10分在ABC V 中，由余弦定理得2222π2cos 3b ac ac =+-，即2212a c ac ++=，联立2222412a c ac a c ac ì+-=í++=î，可得4ac =，∴12π1sin 4232ABC S ac ==´=△………15分18.（本小题满分17分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为BC 的中点，点M 在1BD 上．再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点M 唯一确定，并解答问题．条件①：MA MC =；条件②：EM AD ^；条件③：//EM 平面11CDD C ．（1）求证：M 为1BD 的中点；（2）求直线EM 与平面MCD 所成角的大小；（3）求点E 到平面MCD 的距离．注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】（1）证明：选条件①：由MA MC =，根据正方体1111ABCD A B C D -的对称性，此时点M 为1BD 上的任意一点，所以不成立；选条件②：EM AD ^．连接1CD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，由BC ^平面11CDD C ，因为1CD Ì平面11CDD C ，所以1BC CD ^，又因为EM AD ^，//AD BC ，所以EM BC ^，因为1,EM CD Ì平面1BCD ，所以1//EM CD ，又因为E 为BC 的中点，所以M 为1BD 的中点．………6分选择条件 ③：//EM 平面11CDD C ．连接1CD ，因为//EM 平面11CDD C ，EM Ì平面1BCD ，且平面1BCD Ç平面111CDD C CD =，所以所以1//EM CD ，因为E 为BC 的中点，所以M 为1BD 的中点． ………6分（2）在正方体1111ABCD A B C D -中，1,,DA DC DD 两两互相垂直，建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,0,0),(0,2,0),(1,2,0),(1,1,1)D C E M ，所以(0,2,0)DC =uuu r ，(1,1,1)DM =uuuu r ，(,,)011=-EM u u u r，设平面MCD 的法向量为(,,)m x y z =u r ，则0m DC y m DM x y z ì×==ïí×=++=ïîuuu r r uuuu rr ，令1x =，则0,1y z ==-．于是(1,0,1)m =-u r，………13分设直线EM 与平面MCD 所成的角为q ，则1sin cos ,2m EM m EM m EM q ×===×uuuu r r uuuur r uuuu r r ，所以直线EM 与平面MCD 所成角的大小为30o ，………15分（3）点E 到平面MCD的距离为sin sin 30d EM q ===o uuuu r .………17分19. （本小题满分17分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，90ACB Ð=°，11,2BC AC CC ===.（1）证明：11AC A B ^；（2）设直线1AA 与平面11BCC B，求平面11A ABB 与平面ABC 的夹角的余弦值.解法一：（1）1A D ^平面ABC ，1A D Ì平面11AA C C ，故平面11AA C C ^平面ABC ．又BC AC ^，BC \^平面11AA C C ．连结1A C ，又1A C Ì平面11AA C C ，1BC A C \^∵侧面11AA C C 为菱形，11AC A C ^，1A C BC C Ç=，1AC \^平面1A BC ，又1A B Ì平面1A BC ，11AC A B \^；………6分（2）BC ^平面11,AA C C BC Ì平面11BCC B ，故平面11AA C C ^平面11BCC B ．作11,A E CC E ^为垂足，则1A E ^平面11BCC B ．………9分又直线1AA ∥平面11BCC B ，因而1A E1AA 与平面11BCC B 的距离，1A E =．∵1A C 为1ACC Ð的角平分线，故11A D A E ==………12分．作,DF ABF ^为垂足，连结1A F ，1A F AB ^，故1A FD Ð为二面角1A AB C --的平面角．………15分由1AD==得D 为AC的中点，12AC BC DF AB ´=´=，1A F ===，11cos 4A FD Ð=∴平面11A ABB 与平面ABC 的夹角的余弦值为14.………17分解法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -．由题设知1A D 与z 轴平行，z 轴在平面11AA C C（1）设()1,0,A a c ，由题设有()()2,2,0,0,0,1,0,a A B £则()()()()11112,1,0,2,0,,4,0,,,1,.AB AC a c AC AC AA a c BA a c =-=-=+=-=-uuu r uuu r uuur uuuu r uuu r uuur uuur由12AA =uuur 得2=，即2240a a c -+=（①）．于是22111140,AC BA a a c AC A B ×=-+=\^uuuu r uuur．………6分（2）设平面11BCC B 的法向量(),,,m x y z =u r则1,,m CB m BB ^^u r uuu r u r uuur 即10,0m CB m BB ×=×=u r uuu r u r uuur ．()0,1,0,CB =uuu r Q ()112,0,,BB AA a c ==-uuur uuur故0y =，且()20a x cz -+=．令x c =，则()2,,0,2z a m c a =-=-u r，点A 到平面11BCC B 的距离为cos ,CA m c ×=uuu r u r ．又依题设，点A 到平面11BCC B 的距离为,c \=．代入①解得3a =（舍去）或1a =．于是(11,0,AA =-uuur．………10分设平面1ABA 的法向量),,n q r r，则1,n AA n AB ^^r uuur r uuu r ，即10,0,0n AA n AB p ×=×=\-+=r uuur r uuu r，故且20p q -+=．令p =1,q r ==111)n =r ．………15分又()0,0,1p =u r 为平面ABC 的法向量，故1cos ,4n p n p n p ×==×r u rr u r r u r ，∴平面11A ABB 与平面ABC 的夹角的余弦值为14.………17分。

重庆市巴蜀中学教育集团2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题及答案

重庆市巴蜀中学教育集团高2026届高二（上）月考数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试卷上作答无效。

3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存。

满分150分，考试用时120分钟。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、直线30x y --=的倾斜角为（）A ．π3B ．π6C ．π4D ．2π32、平面内，动点P 的坐标(),x y ，则动点P 的轨迹方程为（）A ．2212421x y +=B ．22163x y +=C ．22169x y +=D ．22196x y +=3、以点()1,5C --为圆心，且过原点的圆的方程是（）A ．()()221525x y -+-=B ．()()22151x y +++=C ．()()22159x y -+-=D ．()()221526x y +++=4、已知圆1C ：224x y +=，圆2C ：224440x y x y +--+=，则两圆的公共弦方程为（）A ．20x y ++=B ．20x y +-=C ．40x y ++=D ．40x y +-=5、直线l 过点()1,2，且与圆C ：()()222410x y -+-=相交所形成的长度为）A ．3B ．2C ．1D ．06、若点()2,1A 关于直线l ：y kx b =+（k ，b ∈R ）的对称点为()4,3A '-，则b =（）A ．3-B ．1-C ．3D ．57、已知椭圆E ：221106x y +=的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且斜率为3直线交E 于P ，Q 两点，则1PQF △的内切圆半径为（）A ．8B ．4C ．4D ．88、点M 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，与y 轴相交于P ，Q 两点，若PQM △是直角三角形，则该椭圆的离心率为（）A ．2B ．12-C ．2-D ．2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

黑龙江省哈尔滨市2024-2025学年高二上学期10月月考试题数学含答案

哈尔滨市2024-2025学年度上学期十月学业阶段性评价考试高二数学学科考试试卷（答案在最后）（考试时间：120分钟满分150分）第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意）1.在空间直角坐标系中，点()2,1,4-关于x 轴对称的点坐标是（）A.()2,1,4-- B.()2,1,4 C.()2,1,4--- D.()2,1,4-2.若向量{}123,,e e e 是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量a，存在唯一的有序实数组(),,x y z ，使得：123a xe ye ze =++ ，我们把有序实数组(),,x y z 叫做基底{}123,,e e e 下向量a 的斜坐标.设向量p 在基底{},,a b c 下的斜坐标为()1,2,3-，则向量p 在基底{},,a b a b c +-下的斜坐标为（）A.13,,322⎛⎫--⎪⎝⎭B.13,,322⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C.13,,322⎛⎫-⎪⎝⎭ D.13,,322⎛⎫-⎪⎝⎭3.已知两条直线12:410,:20l ax y l x ay +-=++=，则“2a =”是“12l l //”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知平面α的一个法向量(2,2,1)n =--，点()1,3,0A -在平面α内，若点()2,1,P z -到α的距离为103，则z =（）A.16B.4- C.4或16- D.4-或165.已知点()2,3A -，()3,2B --，若过点()1,1的直线与线段AB 相交，则该直线斜率的取值范围是（）A.[)3,4,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦B.(]3,4,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣--⋃⎭∞C.3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.34,4⎡⎤-⎢⎣⎦6.直线l 过点()2,3A ，则直线l 与x 轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（）A.9B.12C.18D.247.如图，在平行六面体ABCD A B C D -''''中，5,3,7AB AD AA ='==，60BAD ∠=︒，45BAA DAA ''∠=∠=︒，则AC '的长为（）A. B.C.D.8.正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，所有棱长均为2，点E ，F 分别为棱BB 1，A 1C 1的中点，若过点A ，E ，F 作一截面，则截面的周长为（）A. B.C. D.2+二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分）9.下列命题中正确的是（）A.若向量,a b 满足0a b ⋅<，则向量,a b 的夹角是钝角B.若,,OA OB OC 是空间的一组基底，且232OD OA OB OC =-+，则,,,A B C D 四点共面C.若向量{},,a b c 是空间的一个基底，若向量m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一个基底D.若直线l 的方向向量为(1,0,3)e = ，平面α的法向量为(2,0,2)n =-，则直线l 与平面α所成角的余弦值为5510.以下四个命题为真命题的是（）A.过点()10,10-且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为11542y x =-+B.直线()cos 20R x θθ+=∈的倾斜角的范围是π5π0,,π66⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎢⎣⎦⎣⎭C.直线10x y +-=与直线2210x y ++=D.直线()()()1213m x m y m m -+-=-∈R 恒过定点()5,2-11.如图，在多面体ABCDES 中，SA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且//DE SA ，22SA AB DE ===，,M N 分别是线段,BC SB 的中点，Q 是线段DC 上的一个动点（含端点,D C ），则下列说法正确的是（）A.不存在点Q ，使得NQ SB⊥B.存在点Q ，使得异面直线NQ 与SA 所成的角为60o C.三棱锥Q AMN -体积的最大值是23D.当点Q 自D 向C 处运动时，直线DC 与平面QMN 所成的角逐渐增大第Ⅱ卷（共92分）三、填空题（共3个小题，每小题5分）12.已知()()()1,1,0,0,3,0,2,2,2A B C ，则向量AB 在AC上的投影向量的坐标是______．13.当点()2,1P --到直线l ：()()()131240x y λλλλ+++--=∈R 距离的最大值时，直线l 的一般式方程是______．14.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P 为多面体Γ的一个顶点，定义多面体Γ在点P 处的离散曲率为()122311112πP k k k Q PQ Q PQ Q PQ Q PQ -∅=-∠+∠++∠+∠ ，其中i Q （1i =，2，……，k ，3k ≥）为多面体Γ的所有与点P 相邻的顶点，且平面12Q PQ ，平面23Q PQ ，…，平面1k k Q PQ -和平面1k Q PQ 为多面体Γ的所有以P 为公共点的面.如图，四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，且2AC =，顶点S 在底面的射影O 为AC 的中点.若该四棱锥在S 处的离散曲率13S ∅=，则直线OS 与平面SAB 所成角的正弦值为___________.四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知直线()():12360m a x a y a -++-+=，:230n x y -+=.（1）若坐标原点O 到直线m ，求a 的值；（2）当0a =时，直线l 过m 与n 的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l 的方程.16.已知ABC V 的顶点()1,2,A AB 边上的中线CM 所在直线的方程为210,x y ABC +-=∠的平分线BH 所在直线的方程为y x =.（1）求直线BC 的方程和点C 的坐标；（2）求ABC V 的面积．17.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==(1)求证：PD ⊥平面PAB ．(2)在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．18.已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA a = ，OB b =，则AOB ∠叫做向量a ，b 的夹角，记作,a b <> .定义a 与b 的“向量积”为：a b ⨯是一个向量，它与向量a ，b 都垂直，它的模sin ,a b a b a b ⨯=.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，4DP DA ==，E 为AD 上一点，AD BP ⨯=.（1）求AB 的长；（2）若E 为AD 的中点，求二面角P EB A --的余弦值；19.如图①所示，矩形ABCD 中，1AD =，2AB =，点M 是边CD 的中点，将ADM △沿AM 翻折到PAM △，连接PB ，PC ，得到图②的四棱锥P ABCM -，N 为PB 中点，（1）若平面PAM ⊥平面ABCD ，求直线BC 与平面PMB 所成角的大小；（2）设P AM D --的大小为θ，若π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值.哈尔滨市2024-2025学年度上学期十月学业阶段性评价考试高二数学学科考试试卷（考试时间：120分钟满分150分）第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意）【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】B二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分）【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】BD【11题答案】【答案】CD第Ⅱ卷（共92分）三、填空题（共3个小题，每小题5分）【12题答案】【答案】111,,663⎛⎫ ⎪⎝⎭【13题答案】【答案】3250x y +-=【14题答案】【答案】1323-四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）【15题答案】【答案】（1）14a =-或73a =-（2）370x y -=或120x y -+=【16题答案】【答案】（1）2310x y --=，51(,)77，（2）107.【17题答案】【答案】(1)证明见解析；(2)存在，AM AP 的值为14.【18题答案】【答案】（1）2（2）13-【19题答案】【答案】（1）π6；（2）11。

湖北云学名校联盟2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含解析)

2024年湖北云学名校联盟高二年级10月联考数学试卷命题学校：武汉二中命题人：李凯丰陈莉张鹄审题人：夷陵中学王方杨晓璐考试时间：2024年10月15日 15：00-17：00 时长：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知i 为虚数单位，20253i 1i ++的虚部为（）A. i −B. iC. 1−D. 12. 已知一组数据：2，5，7，x ，10平均数为6，则该组数据的第60百分位数为（） A. 7B. 6.5C. 6D. 5.53. 直线1l ：20250ax y −+=，2l ：()3220a x ay a −+−=，若12l l ⊥，则实数a 值为（） A. 0B. 1C. 0或1D.13或1 4. 为了测量河对岸一古树高度AB 的问题（如图），某同学选取与树底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得15BCD ∠=°，30BDC ∠=°，48m CD =，并在点C 处测得树顶A 的仰角为60°，则树高AB 约为（）1.4≈1.7≈）A. 100.8mB. 33.6mC. 81.6mD. 57.12m5. 如果直线ax ＋by ＝4与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，那么点P (a ，b )与圆的位置关系是( ) A. P 在圆外 B. P 圆上 C. P 在圆内D. P 与圆的位置关系不确定6. 在棱长为6的正四面体ABCD 中，点P 与Q 满足23AP AB = ，且2CD CQ =，则PQ 的值为（）的的在A.B.C.D.7. 下列命题中正确的是（）A. 221240z z +=，则120z z ==；B 若点P 、Q 、R 、S 共面，点P 、Q 、R 、T 共面，则点P 、Q 、R 、S 、T 共面； C. 若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 是对立事件；D. 从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为310； 8. 动点Q 在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D −侧面11BCC B 上，满足2QA QB =，则点Q 的轨迹长度为（） A 2πB.4π3C.D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（） A. 若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为1−；B. 已知()2,4A ，()1,1B ，若直线l ：20kx y k ++−=与线段AB 有公共点，则21,32k∈−； C. 过点()1,2，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程为10x y −+=； D. 若圆()2214x y −+=上恰有3个点到直线y x b =+的距离等于1，则1b =−±．10. 如图所示四面体OABC 中，4OB OC ==，3OA =，OB OC ⊥，且60AOB AOC ∠=∠=°，23CD CB =，G 为AD 的中点，点H 是线段OA 上动点，则下列说法正确的是（）A. ()13OG OA OB OC =++； B. 当H 是靠近A 的三等分点时，DH ，OC ，AB共面；..C. 当56OH OA = 时，GH OA ⊥ ；D. DH OH ⋅的最小值为1−．11. 已知()2,3P 是圆C ：22810410x y x y a +−−−+=内一点，其中0a >，经过点P 的动直线l 与C 交于A ，B 两点，若|AAAA |的最小值为4，则（） A. 12a =；B. 若|AAAA |=4，则直线l 的倾斜角为120°；C. 存在直线l 使得CA CB ⊥；D. 记PAC 与PBC △的面积分别为PAC S ，PBC S ，则PAC PBC S S ⋅△△的最大值为8．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 实数x 、y 满足224x y +=，则()()2243x y −++的最大值是______．13. 记ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()cos 2cos a B c b A =−，其中π2B ≠，若ABC 的面积S =，2BE EC = ，且AE = BC 的长为______．14. 如图，已知四面体ABCD 的体积为9，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，G 、H 分别在CD 、AD 上，且G 、H 是靠近D 的三等分点，则多面体EFGHBD 的体积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在对某高中1500名高二年级学生的百米成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高二年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生成绩的平均数和方差分别为13.2秒和13.36，女生成绩的平均数和方差分别为15.2秒和17.56．（1）求抽取的总样本的平均数；（2）试估计高二年级全体学生的百米成绩的方差．16. 在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的顶点A 的坐标为()4,2−，ACB ∠的角平分线所在的直线方程为10x y −+=，AC 边上中线BM 所在的直线方程为220x y +−=．（1）求点C 的坐标；（2）求直线BC 的方程．17. 直三棱柱111ABC A B C −中，12AB AC AA ===，其中,,E F D 分别为棱111,,BC B A B C 的中点，已知11AF A C ⊥，（1）求证：AF DE ⊥；（2）设平面EFD 与平面ABC 的交线为直线m ，求直线AC 与直线m 所成角的余弦值． 18. 已知圆C ：22430x y y +−+=，过直线l ：12y x =上的动点M 作圆C 的切线，切点分别为P ，Q ．（1）当π3PMQ ∠=时，求出点M 的坐标；（2）经过M ，P ，C 三点的圆是否过定点？若是，求出所有定点的坐标；（3）求线段PQ 的中点N 的轨迹方程．19. 四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为等腰梯形，224AB BC CD ===，侧面PAD 为正三角形；（1）当BD PD ⊥时，线段PB 上是否存在一点Q ，使得直线AQ 与平面ABCD 所成角的正弦值为若存在，求出PQ QB 的值；若不存在，请说明理由．（2）当PD 与平面BCD 所成角最大时，求三棱锥P BCD −的外接球的体积．2024年湖北云学名校联盟高二年级10月联考数学试卷命题学校：武汉二中命题人：李凯丰陈莉张鹄审题人：夷陵中学王方杨晓璐考试时间：2024年10月15日 15：00-17：00 时长：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知i 为虚数单位，20253i 1i ++的虚部为（）A. i −B. iC. 1−D. 1【答案】C 【解析】【分析】根据复数乘方、乘法、除法运算法则结合复数的概念运算即可得出结果. 【详解】根据复数的乘方可知()50620254i i i i =⋅=，则()()()()20253i 1i 3i 3i 32i 12i 1i 1i 1i 1i 2+−++−+====−+++−，其虚部为1−. 故选：C2. 已知一组数据：2，5，7，x ，10的平均数为6，则该组数据的第60百分位数为（） A. 7 B. 6.5C. 6D. 5.5【答案】B 【解析】【分析】先根据平均数求x 的值，然后将数据从小到大排列，根据百分位数的概念求值. 【详解】因为2571065x ++++=⇒6x =.所以数据为：2，5，6，7，10.又因为560%3×=，所以这组数据的第60百分位数为：676.52+=. 故选：B3. 直线1l ：20250ax y −+=，2l ：()3220a x ay a −+−=，若12l l ⊥，则实数a 的值为（） A 0 B. 1 C. 0或1 D.13或1 【答案】C.【分析】根据两直线垂直的公式12120A A B B +=求解即可.【详解】因为1l ：20250ax y −+=，2l ：()3220a x ay a −+−=垂直，所以()()3210a a a −+−=，解得0a =或1a =，将0a =，1a =代入方程，均满足题意，所以当0a =或1a =时，12l l ⊥. 故选：C .4. 为了测量河对岸一古树高度AB 的问题（如图），某同学选取与树底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得15BCD ∠=°，30BDC ∠=°，48m CD =，并在点C 处测得树顶A 的仰角为60°，则树高AB 约为（）1.4≈1.7≈）A. 100.8mB. 33.6mC. 81.6mD. 57.12m【答案】D 【解析】【分析】先在BCD △中，利用正弦定理求出BC ，再在Rt ABC △中求AB 即可.【详解】在BCD △中，15BCD ∠=°，30BDC ∠=°，所以135CBD ∠=°，又48CD =，由正弦定理得：sin sin CD CBCBD CDB=∠∠⇒12CB=⇒CB =在Rt ABC △中，tan 60AB BC =°=24 1.4 1.7≈××57.12=. 故选：D5. 如果直线ax ＋by ＝4与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，那么点P (a ，b )与圆的位置关系是( ) A. P 在圆外 B. P 在圆上D. P 与圆的位置关系不确定【答案】A 【解析】224a b ∴+，所以点(),a b 在圆外考点：1．直线与圆的位置关系；2．点与圆的位置关系6. 在棱长为6的正四面体ABCD 中，点P 与Q 满足23AP AB = ，且2CD CQ =，则PQ 的值为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】以{},,AB AC AD 为基底，表示出PQ，利用空间向量的数量积求模.【详解】如图：以{},,AB AC AD 为基底，则6AB AC AD ===，60BAC BAD CAD ∠=∠=∠=°，所以66cos 6018AB AC AB AD AC AD ⋅=⋅=⋅=××°=.因为()1223PQ AQ AP AC AD AB =−=+− 211322AB AC AD =−++. 所以22211322PQ AB AC AD =−++222411221944332AB AC AD AB AC AB AD AC AD =++−⋅−⋅+⋅169912129=++−−+19=.所以PQ =故选：D7. 下列命题中正确的是（）A. 221240z z +=，则120z z ==；B. 若点P 、Q 、R 、S 共面，点P 、Q 、R 、T 共面，则点P 、Q 、R 、S 、T 共面；C. 若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 是对立事件；D. 从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为310；【答案】D 【解析】【分析】举反例说明ABC 不成立，根据古典概型的算法判断D 是正确的.【详解】对A ：若1i z =，22z =，则221240z z +=，但120z z ==不成立，故A 错误；对B ：如图：四面体S PRT −中，Q 是棱PR 上一点，则点P 、Q 、R 、S 共面，点P 、Q 、R 、T 共面，但点P 、Q 、R 、S 、T 不共面，故B 错误；对C ：掷1枚骰子，即事件A ：点数为奇数，事件B ：点数不大于3，则()12P A =，()12P B =，()()1P A P B +=，但事件A 、B 不互斥，也不对立，故C 错误；对D ：从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，有35C 10=种选法，这三条线段能构成一个三角形的的选法有：{}3,5,7，{}3,7,9，{}5,7,9共3种，所以条线段能构成一个三角形的的概率为：310P =，故D 正确. 故选：D8. 动点Q 在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D −侧面11BCC B 上，满足2QA QB =，则点Q 的轨迹长度为（）A. 2πB.4π3C.D.【解析】【分析】结合图形，计算出||BQ =，由点Q ∈平面11BCC B ，得出点Q 的轨迹为圆弧 EQF，利用弧长公式计算即得.【详解】如图，易得AB ⊥平面11BCC B ,因BQ ⊂平面11BCC B ，则AB BQ ⊥，不妨设||BQ r =，则||2AQ r =, ||3AB ===，解得r =又点Q ∈平面11BCC B ，故点Q 的轨迹为以点B EQF,故其长度为π2=. 故选：D.二、选择题：本题共36分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（） A. 若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为1−；B. 已知()2,4A ，()1,1B ，若直线l ：20kx y k ++−=与线段AB 有公共点，则21,32k∈−； C. 过点()1,2，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程为10x y −+=；D. 若圆()2214x y −+=上恰有3个点到直线y x b =+的距离等于1，则1b =−±．【答案】BD 【解析】【分析】根据直线是否存在斜率判断A 的真假；数形结合求k 的取值范围判断B 的真假；根据截距的概念判断真假；转化为点（圆心）到直线的距离求b 判断D 的真假.【详解】对A ：“若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为1−”成立的前提是两条直线的斜率都存若两条直线1条不存在斜率，另一条斜率为0，它们也垂直.故A 是错误的. 对B ：如图：对直线l ：20kx y k ++−=⇒()21y k x −=−+，表示过点()1,2P −，且斜率为k −的直线，且()422213AP k −==−−，()121112BP k −==−−−，由直线l 与线段AB 有公共点，所以：203k ≤−≤或102k −≤−<，即203k −≤≤或102k <≤，进而得：2132k −≤≤.故B 正确；对C ：过点()1,2，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程为10x y −+=或2y x =，故C 错误；对D ：“圆()2214x y −+=上恰有3个点到直线y x b =+的距离等于1”可转化为“圆心(1,0)到直线y x b =+的距离等于1”.1⇒1b =−.故D 正确.故选：BD10. 如图所示四面体OABC 中，4OB OC ==，3OA =，OB OC ⊥，且60AOB AOC ∠=∠=°，23CD CB =，G 为AD 的中点，点H 是线段OA 上动点，则下列说法正确的是（）A. ()13OG OA OB OC =++ ；B. 当H 是靠近A 的三等分点时，DH ，OC ，AB共面；C. 当56OH OA = 时，GH OA ⊥ ； D. DH OH ⋅ 的最小值为1−．【答案】BCD【解析】【分析】以{},,OA OB OC 为基底，表示出相关向量，可直接判断A 的真假，借助空间向量共面的判定方法可判断B 的真假，利用空间向量数量积的有关运算可判断CD 的真假.【详解】以{},,OA OB OC 为基底，则3OA = ，4OB OC == ，6OA OB OA OC ⋅=⋅= ,0OB OC ⋅= . 对A ：因为23AD AC CD AC CB =+=+ ()23AC AB AC =+− 2133AB AC =+ ()()2133OB OA OC OA =−+− 2133OA OB OC =−++ . 所以12OG OA AG OA AD =+=+ 121233OA OA OB OC =+−++ 111236OA OB OC =++ ，故A 错误；对B ：当H 是靠近A 的三等分点，即23OH OA = 时， DH AH AD =− 121333OA OA OB OC =−−−++221333OA OB OC =−− ，又AB OB OA =−，所以13DH AB OC =− .故DH ，AB ，OC 共面.故B 正确；对C ：因为HG OG OH OA AG OH =−=+− 1526OA AD OA =+− 12152336OA OA OB OC OA =+−++− 111336OA OB OC =−++ ，所以：HG OA ⋅= 111336OA OB OC OA −++⋅2111336OA OB OA OC OA =−+⋅+⋅ 1119660336=−×+×+×=，所以HG OA ⊥ ，故GH OA ⊥ ，故C 正确；对D ：设OH OA λ= ，()01λ≤≤.因为：DH OH OD =− ()OA OA AD λ=−+ 2133OA OA OA OB OC λ =−−++2133OA OB OC λ=−− . 所以DH OH ⋅ 2133OA OB OC OA λλ =−−⋅ ()2233OA OA OB OA OC λλλ=−⋅−⋅ 296λλ=−，()01λ≤≤. 当13λ=时，DH OH ⋅ 有最小值，为：1196193×−×=−，故D 正确. 故选：BCD11. 已知()2,3P 是圆C ：22810410x y x y a +−−−+=内一点，其中0a >，经过点P 的动直线l 与C 交于A ，B 两点，若|AAAA |的最小值为4，则（）A. 12a =；B. 若|AAAA |=4，则直线l 的倾斜角为120°；C. 存在直线l 使得CA CB ⊥；D. 记PAC 与PBC △的面积分别为PAC S ，PBC S ，则PAC PBC S S ⋅△△的最大值为8．【答案】ACD【解析】【分析】根据点()2,3P 在圆内，列不等式，可求a 的取值范围，在根据弦|AAAA |的最小值为4求a 的值，判断A 的真假；明确圆的圆心和半径，根据1l CP k k ⋅=−，可求直线AB 的斜率，进而求直线AB 的倾斜角，判断B 的真假；利用圆心到直线的距离，确定弦长的取值范围，可判断C 的真假；由三角形面积公式和相交弦定理，可求PAC PBC S S ⋅△△的最大值，判断D 的真假.【详解】对A ：由222382103410a +−×−×−+<⇒8a >.此时圆C ：()()2245x y a −+−=.因为过P 点的弦|AAAA |的最小值为4，所以CP =又CP ===⇒12a =.故A 正确；对B ：因为53142CP k −==−，1l CP k k ⋅=−，所以直线l 的斜率为1−，其倾斜角为135°，故B 错误；对C ：当|AAAA |=4时，如图：sin ACP ∠==cos ACP ∠==，所以41cos 1033ACB ∠=−=>，所以ACB ∠为锐角，又随着直线AB 斜率的变化，ACB ∠最大可以为平角，所以存在直线l 使得CA CB ⊥.故C 正确；对D ：如图：直线CP 与圆C 交于M 、N 两点，链接AM ，BN ，因为MAP BNP ∠=∠，APM NPB ∠=∠，所以APM NPB .所以AP MPNP BP =⇒(4AP BP MP NP ⋅=⋅=+=.又1sin 2PAC S PA PC APC APC =⋅⋅∠=∠ ，PBC S BPC =∠ ，且sin sin APC BPC ∠=∠. 所以22sin PAC PBC S S PA PB APC ⋅=⋅⋅∠ 28sin APC =∠8≤，当且仅当sin 1APC ∠=，即AB CP ⊥时取“=”.故D 正确.故选：ACD【点睛】方法点睛：在求PAC PBC S S ⋅△△的最大值时，应该先结合三角形相似（或者蝴蝶定理）求出AP BP ⋅为定值，再结合三角形的面积公式求PAC PBC S S ⋅△△的最大值.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 实数x 、y 满足224x y +=，则()()2243x y −++的最大值是______．【答案】49【解析】【分析】根据()()2243x y −++几何意义为圆上的点(),x y 与()4,3−距离的平方，找出圆上的与()4,3−的最大值，再平方即可求解.【详解】解：由题意知：设(),p x y ，()4,3A −，则(),p x y 为圆224x y +=上的点，圆224x y +=的圆心OO (0,0),半径2r =，则()()2243x y −++表示圆上的点(),p x y 与()4,3A −距离的平方，又因为max27PA AO r =+=+=, 所以22max749PA ==；故()()2243x y −++的最大值是49.故答案为：49.13. 记ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()cos 2cos a B c b A =−，其中π2B ≠，若ABC 的面积S =，2BE EC = ，且AE = BC 的长为______．【解析】【分析】利用正弦定理对()cos 2cos a B c b A =−化简，可得π3A =，再由三角形面积公式求出8bc =，根据题意写出1233AE AB AC =+ ，等式两边平方后，可求出,b c 的值，由余弦定理2222cos a b c bc A =+−，求出BC 的长.【详解】()cos 2cos a B c b A =−,由正弦定理可得:sin cos 2sin cos sin cos A B C A B A =−， sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=，()sin 2sin cos A B C A +=，()sin πC 2sin cos C A −=,sin 2sin cos (sin 0)C C A C =>，即1cos 2A =,π3A =，1sin 2ABC S bc A == ,得8bc =， ∵2BE EC = ，∴1233AE AB AC =+ ，221233AE AB AC =+，即2228144cos 3999c b bc A =++，由8bc =，解得42b c = = 或18b c = = ，根据余弦定理2222cos a b c bc A =+−，当42b c = =时，a =，此时π2B =，不满足题意，当18b c = =时，a =.14. 如图，已知四面体ABCD 的体积为9，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，G 、H 分别在CD 、AD 上，且G 、H 是靠近D 的三等分点，则多面体EFGHBD 的体积为______．【答案】72##3.5 【解析】【分析】多面体EFGHBD 的体积为三棱锥G DEH −与四棱锥E BFGD −的体积之和，根据体积之比与底面积之比高之比的关系求解即可.【详解】连接ED，EG，因为H为AAAA上的靠近D的三分点，所以13DH AD=，因为E为AAAA的中点，所以点E到AAAA的距离为点B到AAAA的距离的一半，所以16DEH BADS S=，又G为CCAA上靠近D的三分点，所以点G到平面ABD的距离为点C到平面ABD的距离的13，所以111119663182G DEH G BAD C BADV V V−−−==×=×=，1233BCD FCG BCD BCD BCD BFGDS S S S S S=−=−=四边形，所以2211933323E BFGD E BCD A BCDV V V−−−==×=×=，所以多面体EFGHBD的体积为17322 G DEH E BFGDV V−−+=+=.故答案为：7 2 .【点睛】关键点点睛：将多面体转化为两个锥体的体积之和，通过体积之比与底面积之比高之比的关系求解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在对某高中1500名高二年级学生的百米成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高二年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生成绩的平均数和方差分别为13.2秒和13.36，女生成绩的平均数和方差分别为15.2秒和17.56．（1）求抽取的总样本的平均数；（2）试估计高二年级全体学生的百米成绩的方差．【答案】（1）14 （2）16【解析】【分析】（1）先确定样本中男生、女生的人数，再求总样本的平均数.（2）根据方差的概念，计算总样本的方差.【小问1详解】样本中男生的人数为：100900601500×=；女生的人数为：1006040−=.所以总样本的平均数为：6013.24015.214100x×+×==.【小问2详解】记总样本的方差为2s ，则()(){}22216013.3613.2144017.5615.214100s =×+−+×+− 16=. 所以，估计高二年级全体学生的百米成绩的方差为16.16. 在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的顶点A 的坐标为()4,2−，ACB ∠的角平分线所在的直线方程为10x y −+=，AC 边上中线BM 所在的直线方程为220x y +−=．（1）求点C 的坐标；（2）求直线BC 的方程．【答案】（1）(3,4)C ；（2）72130x y −−=【解析】【分析】（1）设(,1)C m m +，则43(,)22m m M −+，代入220x y +−=，求解即可；（2）设直线BC 的方程为：340x ny n +−−=，在直线10x y −+=取点(0,1)P ，利用点P 到直线AC 的距离等于点P 到直线BC 的距离，求解即可.【小问1详解】解：由题意可知点C 在直线10x y −+=上，所以设(,1)C m m +，所以AC 中点43(,)22m m M −+，又因为点43(,)22m m M −+在直线220x y +−=上，所以34202m m +−+−=，解得3m =，所以(3,4)C ；【小问2详解】解：因为(3,4)C ，设直线BC 的方程为：340x ny n +−−=，又因为(4,2)A −，所以直线AC 的方程为：27220x y −+=，.又因为ACB ∠的角平分线所在的直线方程为10x y −+=，在直线10x y −+=取点(0,1)P ，则点P 到直线AC 的距离等于点P 到直线BC 的距离，=21453140n n ++=，解得：72n =−或27n =−，当72n =−时，所求方程即为直线AC 的方程，所以27n =−，所以直线BC 的方程为： 72130x y −−=.17. 直三棱柱111ABC A B C −中，12AB AC AA ===，其中,,E F D 分别为棱111,,BC B A B C 的中点，已知11AF A C ⊥，（1）求证：AF DE ⊥；（2）设平面EFD 与平面ABC 的交线为直线m ，求直线AC 与直线m 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取AB 的中点G ，连接1,EG A G 证得四边形ADEG 为平行四边形，得到1//DE A G ，利用1A AG ABF ≌，证得90AHG ∠= ，得到1AF A G ⊥，即可证得AF DE ⊥；（2）根据题意，证得11A C ⊥平面11ABB A ，得到1111A C A B ⊥，以A 为原点，建立空间直角坐标系，求得(0,2,0)AC = ，再取AC 的中点M ，延长,MB DF 交于点N ，得到直线AC 与直线m 所成角，即为直线AC 与直线EN 所成角，求得(4,1,0)N −，得到(3,2,0)EN =− ，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取AB 的中点G ，连接1,EG A G ，因为E 的中点，可得//EG AC ，且12EG AC =，又因为1//A D AC ，且112A D AC =，所以1//EG A D ，且1EG A D =，所以四边形ADEG 平行四边形，所以1//DE A G ，在正方形11ABB A 中，可得1A AG ABF ≌，所以1A GA AFB ∠=∠，因为90AFB AFB ∠+∠= ，所以190AFB A GA ∠+∠= ，AGH 中，可得90AHG ∠= ，所以1AF A G ⊥，又因为1//DE A G ，所以AF DE ⊥.【小问2详解】解：在直三棱柱111ABC A B C −中，可得1AA ⊥平面111A B C ，因为11AC ⊂平面111AB C ，所以111AA AC ⊥，又因为11AF A C ⊥，且1AA AF A ∩=，1,AA AF ⊂平面11ABB A ，所以11A C ⊥平面11ABB A ，因为11A B ⊂平面11ABB A ，所以1111A C A B ⊥，即直三棱柱111ABC A B C −的底面为等腰直角三角形，以A 为原点，以1,,AB AC AA 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为12AB AC AA ===，可得(0,0,0),(0,2,0)A C ，则(0,2,0)AC = ，为在取AC 的中点M ，连接,MB DM ，可得1//DM CC 且1DM CC =，因为11//BB DD 且11BB DD =，所以//BF DM ，且12BF DM =，延长,MB DF 交于点N ，可得B 为MN 的中点，连接EN ，可得EN 即为平面DEF 与平面ABC 的交线，所以直线AC 与直线m 所成角，即为直线AC 与直线EN 所成角，又由(0,1,0),(2,0,0),(1,1,0)M B E ，设(,,)N x y z ，可得MB BN =，即(2,1,0)(2,,)x y z −=−，可得4,1,0x y z ==−=，所以(4,1,0)N −，可得(3,2,0)EN =− ，设直线EN 与直线AC 所成角为θ，可得cos cos ,AC EN AC EN AC EN θ⋅==== ，即直线AC 与直线m18. 已知圆C ：22430x y y +−+=，过直线l ：12y x =上的动点M 作圆C 的切线，切点分别为P ，Q ．（1）当π3PMQ ∠=时，求出点M 的坐标；（2）经过M ，P ，C 三点的圆是否过定点？若是，求出所有定点的坐标；（3）求线段PQ 的中点N 的轨迹方程．【答案】（1）(0,0)或84(,)55（2）过定点(0,2)或42(,)55（3）22173042x y x y +−−+= 【解析】【分析】（1）点M 在直线l 上，设(2,)M m m ，由对称性可知30CMP ∠= ，可得2MC =，从而可得点M 坐标．（2）MC 的中点,12m Q m+，因为MP 是圆P 的切线，进而可知经过C ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MC 为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于m 的恒等式，进而可求得x 和y ，得到结果；（3）结合（2）将两圆方程相减可得直线PQ 的方程，且得直线PQ 过定点13,42R，由几何性质得MN RN ⊥，即点N 在以MR 为直径的圆上，进而可得结果.【小问1详解】（1）直线l 的方程为20x y −=，点M 在直线l 上，设(2,)M m m ，因为π3PMQ ∠=，由对称性可得：由对称性可知30CMP ∠= ，由题1CP =所以2MC =，所以22(2)(2)4+−=m m ，解之得：40,5==m m 故所求点M 的坐标为(0,0)或84(,)55．【小问2详解】设(2,)M m m ，则MC 的中点(,1)2m E m +，因为MP 是圆C 的切线，所以经过,,C P M 三点的圆是以Q 为圆心，以ME 为半径的圆，故圆E 方程为：2222()(1)(1)22m m x m y m −+−−=+−化简得：222(22)0x y y m x y +−−+−=，此式是关于m 的恒等式，故2220,{220,x y y x y +−=+−=解得02x y = = 或4525x y = =, 所以经过,,C P M 三点的圆必过定点(0,2)或42(,)55．【小问3详解】由()22222220,430x y mx m y m x y y +−−++= +−+= 可得PQ ：()22320mx m y m +−+−=，即()22230m x y y +−−+=，由220,230x y y +−= −= 可得PQ 过定点13,42R . 因为N 为圆E 的弦PQ 的中点，所以MN PQ ⊥，即MN RN ⊥，故点N 在以MR 为直径的圆上，点N 的轨迹方程为22173042x y x y +−−+=. 19. 四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为等腰梯形，224AB BC CD ===，侧面PAD 为正三角形；（1）当BD PD ⊥时，线段PB 上是否存在一点Q ，使得直线AQ 与平面ABCD所成角的正弦值为若存在，求出PQ QB 的值；若不存在，请说明理由．（2）当PD 与平面BCD 所成角最大时，求三棱锥P BCD −的外接球的体积．【答案】（1）存在；1.（2【解析】【分析】（1）先证平面PAD ⊥平面ABCD ，可得线面垂直，根据垂直，可建立空间直角坐标系，用空间向量，结合线面角的求法确定点Q 的位置.（2）根据PD 与平面BCD 所成角最大，确定平面PAD ⊥平面ABCD ，利用（1）中的图形，设三棱锥P BCD −的外接球的球心，利用空间两点的距离公式求球心和半径即可.【小问1详解】因为底面ABCD 为等腰梯形，224AB BC CD ===，所以60BAD ∠=°，120BCD ∠=°，30CBD ABD ∠=∠=°，所以90ADB ∠=°.所以BD AD ⊥，又BD PD ⊥，,AD PD ⊂平面PAD ，且AD PD D = ，所以BD ⊥平面PAD .又BD ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD .取AD 中点O ，因为PAD △是等边三角形，所以PO AD ⊥，平面PAD ∩平面ABCD AD =，所以⊥PO 平面ABCD .再取AB 中点E ，连接OE ，则//OE BD ，所以OE AD ⊥.所以可以O 为原点，建立如图空间直角坐标系.则()0,0,0O ，()1,0,0A ，()1,0,0D −，()E ，()1,B −，(P ，()C −.(1,PB =− .设PQ PB λ= ，可得)()1Q λλ−−所以)()1,1AQ λλ=−−− ，取平面ABCD 的法向量()0,0,1n = .因为AQ 与平面ABCD ，所以AQ nAQ n ⋅==⋅ ，解得12λ=或5λ=（舍去）. 所以：线段PB 上存在一点Q ，使得直线AQ 与平面ABCD ，此时1PQ QB =. 【小问2详解】当平面PAD ⊥平面ABCD 时, PD 与平面BCD 所成角为PDA ∠.当平面PAD 与平面ABCD 不垂直时，过P 做PH ⊥平面ABCD ，连接HD ，则PDH ∠为PD 与平面BCD 所成角，因为PH PO <，sin PH PDH PD ∠=，sin PO PDA PD∠=，s s n i i n PDA PDH ∠∠<，所以A PDH PD ∠∠<. 故当平面PAD ⊥平面ABCD 时，PD 与平面BCD 所成角最大.此时，设棱锥P BCD −的外接球球心为(),,G x y z ，GP GB GC GD R====,所以(()(()(()2222222222222222121x y z R x y z R x y z R x y z R ++= ++−+= +++=+++=，解得20133x y z R = = = = 所以三棱锥P BCD −的外接球的体积为：34π3V R ==. 【点睛】方法点睛：在空间直角坐标系中，求一个几何体的外接球球心，可以利用空间两点的距离公式，根据球心到各顶点的距离相等列方程求解..。

浙江省精诚联盟2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案

2024学年第一学期浙江省精诚联盟10月联考高二年级数学学科试题（答案在最后）考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.直线:30l y ++=的倾斜角α为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒【答案】C 【解析】【分析】先求得直线的斜率，从而求得对应的倾斜角.【详解】由于直线:30l y ++=的倾斜角为α，则直线的斜率tan α=，再由0180α︒≤<︒，可得120α=︒.故选：C2.已知()1,2,2a = ，()3,,3b λ=- ，且()a a b ⊥-，则λ的值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】A 【解析】【分析】利用向量减法的坐标运算求出()4,2,1a b λ--=- ，再根据()a a b ⊥-得出数量积等于零，建立等式求解．【详解】()4,2,1a b λ---=，()a ab ⊥- ，()()()422210a a b λ∴⋅-=+⨯-+⨯-=，解得：3λ=，故选：A ．3.直线1l ：10x y +-=与直线2l ：2250x y +-=的距离是（）A.2B.4C.D.【答案】B 【解析】【分析】利用平行线间的距离公式可直接求解.【详解】设1:102220l x y x y +-=⇒+-=与2:2250l x y +-=的距离为d ，则4d ==.故选：B .4.已知空间向量()1,2,3AB = ，()2,1,1AC =-- ，()9,2,AD x =-，若,,,A B C D 四点共面，则实数x的值为（）A.1-B.0C.32D.2【答案】A 【解析】【分析】利用空间向量共面定理得到关于,,x λμ的方程组，解之即可得解.【详解】因为,,,A B C D 四点共面，所以向量,,AB AC AD 共面，即存在实数,λμ使得AD AB AC λμ=+，又()1,2,3AB = ，()2,1,1AC =-- ，()9,2,AD x =-，所以(9,2,)(1,2,3)(2,1,1)x λμ-=+--，所以92223x λμλμλμ=+⎧⎪-=-⎨⎪=-⎩，解得141x λμ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，则1x =-.故选：A.5.已知点()0,2P 关于直线10x y -+=对称的点Q 在圆C ：2220x y x m +++=外，则实数m 的取值范围是（）A.4m >-B.1m <C.41m -<<D.4m <-或1m >【答案】C 【解析】【分析】设(),Q a b ，利用点关于线对称列方程求得Q 坐标，代入圆方程得出不等式计算即可.【详解】设点()0,2P 关于直线10x y -+=对称的点(),Q a b ，则210021022b a a b -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩，解得1,1a b ==.因为()1,1Q 在C 外，所以1120m +++>，可得4m >-且2220x y x m +++=表示圆可得4040m +->，即得1m <综上可得41m -<<.故选：C.6.已知点A 坐标为(1,1,2)，直线l 经过原点且与向量()1,2,2α=平行，则点A 到直线l 的距离为（）A.73B.136C.3D.76【答案】C 【解析】【分析】利用空间向量垂直，以及两点间的距离公式即可得到结论．【详解】由题意得(1,1,2)OA = ，直线l 的一个方向向量为()1,2,2α=，所以，点A 到直线l的距离为：sin ,d OA OA α==，OA ==53=.故选：C ．7.已知)A，()0,1B -，直线l：2230ax y --=上存在点P ，满足2PA PB +=，则l 的倾斜角的取值范围是（）A.π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.π5π0,,π36⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ C.π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.πππ5π,,3226⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【答案】D【解析】【分析】找到动直线的定点，由动直线与线段有，结合图形判断出倾斜角的范围.【详解】将)A代入2230ax y --=得a =将()0,1B -代入2230ax y ---=得a =，所以A ，B 不在直线l 上，又∵2AB =，2PA PB +=所以点P 在线段AB 上，直线AB 的方程为：0x =，直线l 过定点33,22M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭且斜率k a =一定存在，故由数形结合可知：AM k k ≥=或3BM k k ≤=-故倾斜角5,,3226ππππα⎡⎫⎛⎤∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，故选：D8.正三角形ABC 边长为2，D 为BC 的中点，将三角形ABD 沿AD 折叠，使83AB AC ⋅= .则三棱锥B ADC -的体积为（）A.69 B.2C.39D.16【答案】A 【解析】【分析】根据正三角形折叠后得出AD ⊥平面BCD ,设,DB DC夹角为θ，进而sin 3θ=,再应用三棱锥体积公式计算即可.【详解】正三角形ABC 边长为2，D 为BC 的中点，将三角形ABD 沿AD 折叠，,,,,AD BD AD DC DC BD D DC BD ⊥⊥⋂=⊂平面BCD ,AD ⊥平面BCD ,设,DB DC夹角为θ，使()()28····30011cos 3AB AC AD DB AD DC AD ADDB AD DC DB DC θ⋅=++=+++=+++⨯⨯= .则1cos ,sin 33θθ=-==,1,AD BD DC ===11111sin 3323239B ADC A BCD BCD V V S AD BD DC AD θ--==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）.A.直线()24y ax a a =-+∈R 恒过第一象限B.直线31y x =-关于x 轴的对称直线为31y x =--C.原点到直线10x ++=的距离为12D.已知直线l 过点()3,1P -，且在x ，y 轴上截距相等，则直线l 的方程为20x y +-=【答案】AC 【解析】【分析】求出直线24(R)y ax a a =-+∈过得定点判断A ，求得直线关于x 轴的对称直线方程判断B ，由点到直线的距离判断C ，讨论直线在,x y 轴上截距是否为0，求出直线方程判断D.【详解】直线24(R)y ax a a =-+∈即直(2)4(R)y a x a =-+∈，当2x =时，4y =，即直线24(R)y ax a a =-+∈恒过定点(2,4)，由(2,4)在第一象限知A 正确；直线31y x =-关于x 轴的对称直线为31y x -=-，即31y x =-+，故B 错误；由点到直线距离可得12d ==，故C 正确；因为直线l 过点()3,1P -，且在,x y 轴上截距相等，当截距都为0时，直线l 方程为13y x =-，当截距不为0时，可设直线方程为1x ya a +=，则311a a-+=，2a ∴=，则直线方程为20x y +-=，故D 错误.故选：AC10.已知点P 在曲线22x y x y +=+上，点()2,0Q ，则P 的可能取值为（）A.2B.1C.2D.4【答案】BC 【解析】【分析】根据对称性可知：只需讨论x 轴以及其上方的图象即可，分0,0x y ≥≥和0,0x y ≤≥两种情况，结合圆的性质分析求P 的最值，结合选项分析判断.【详解】对于方程22x y x y +=+，将y 换成y -可得：()22x y x y +-=+-，即22x y x y +=+，可知曲线关于x 轴对称，且点()2,0Q 在x 轴上，则只需讨论x 轴以及其上方的图象即可，当0,0x y ≥≥，则曲线方程化为22x y x y +=+，即22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时曲线为以11,22A ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径12r =的半圆，可知1min2PQ AQ r =-=，当且仅当P 为线段AQ 与曲线的交点1P 时，等号成立；当0,0x y ≤≥，则曲线方程化为22x y x y +=-+，即22111222x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时曲线为以11,22B ⎛⎫-⎪⎝⎭为圆心，半径22r =，可知2max2PQ BQ r =+=，当且仅当P 为QB 的延长线与曲线的交点2P 时，等号成立；即22PQ ≤≤，结合选项可知：AD 错误；BC 正确.故选：BC.11.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为侧面11ADD A 内的一个动点（含边界），点P 、Q 分别是线段1CC 、BC 的中点，则下列结论正确的是（）A.存在点M ，使得二面角--M DC P 大小为2π3B.1MB MP ⋅最大值为6C.直线PM 与面11A ADD 所成角为π4时，则点M 的轨迹长度为2π3D.当1MB BP ⊥时，则三棱锥1B AMQ -的体积为定值.【答案】BCD 【解析】【分析】由题意得到二面角--M DC P 的平面角,其中1π0,2MDD ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，可得判定A 错误；建系求出点及向量，再应用向量的数量积坐标表示计算最值判断B ,根据线面角得出M 的轨迹，结合边长得出角进而应用弧长公式求出侧面内的劣弧判断C,应用向量垂直得出点M 的位置，再应用等体积法求体积即可判断D.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，可得CD ⊥平面11ADD A ，因为MD ⊂平面11ADD A ，1DD ⊂平面11ADD A ，所以1,CD MD CD DD ⊥⊥，所以二面角--M DC P 的平面角为1∠MDD ，其中1π0,2MDD ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，A错误；如图建系，设()[]()()1,0,,,0,2,2,2,2,0,2,1M t n t n B P ∈，()()12,2,2,,2,1MB t n MP t n =--=--，()()()22124212432MB MP t t n n t t n n ⋅=--++--=-++-+()22311124t n ⎛⎫=-+-+⎪⎝⎭存在2,0t n ==时，取1MB MP ⋅最大值为6，B正确；设面11A ADD 法向量为 =0,1,0，直线PM 与面11A ADD 所成角为π4时，可得()22π22sin 4241n PM n PMt n ⋅==⋅++-，所以()2214t n +-=，则点M 的轨迹是以0,0,1为球心，2为半径的球，点M 为侧面11ADD A 内的一个动点，则点M 的轨迹在侧面11ADD A 内是以0,0,1为圆心，2为半径的劣弧，如图所示，分别交AD ，11A D 于2M ，1M ，如图所示，111112,1,cos 2M ED E M ED ==∠=，则121π3D E D M M E ∠=∠=，则21π3M M E ∠=，劣弧12M M 的长为π3π223⨯=，C 正确当1MB BP ⊥时，()122020MB BP t n ⋅=--++-=，所以26t n +=，所以2,2t n ==，可得()2,0,2M 为1A ，则三棱锥1B AMQ -的体积为11111111123323B AMQ Q A AB A AB V V S QB AB AA QB --==⨯=⨯⨯⨯⨯= ，所以当1MB BP ⊥时，三棱锥1B AMQ -的体积为定值，D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：解决轨迹长度的关键是先设点M 计算求轨迹方程()2214t n +-=，点M 的轨迹是以0,0,1为球心以2为半径的球，再结合侧面内的边长得出角进而得出弧长即可.非选择题部分三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.12.()2,0,0a = ，()1,1,1b = ，则b 在a上的投影向量为________（用坐标表示）【答案】(1,0,0)【解析】【分析】直接利用向量的夹角运算及数量积运算求出投影向量．【详解】由于空间向量()2,0,0a =，()1,1,1b = ，故向量b 在向量a上的投影向量的坐标21||cos ,(2,0,0)(1,0,0)||||2a ab b a b a a a ⋅<>⋅=⋅== ．故答案为：(1,0,0)．13.已知直线1l ：()10x m y +-=，2l ：10mx y +-=，若满足12l l ⊥，则两直线的交点坐标为________.【答案】24,55⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】先由直线1:(1)0l x m y +-=与直线2:10l mx y +-=垂直的性质能求出m ，再联立直线方程求交点即可.【详解】直线1:(1)0l x m y +-=与直线2:10l mx y +-=垂直，10m m ∴+-=，解得12m =，所以10(1)02101102x y x m y mx y x y ⎧-=⎪+-=⎧⎪⇒⎨⎨+-=⎩⎪+-=⎪⎩，解得2545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故答案为：24,55⎛⎫⎪⎝⎭.14.如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD 、ABEF 的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直.长度为2的金属杆端点N 在对角线BF 上移动，另一个端点M 在正方形ABCD 内（含边界）移动，且始终保持MNAB ⊥，则端点M 的轨迹长度为________.【答案】π【解析】【分析】建系标点，设()()[],,0,,0,,,,0,2N a a M x z a x y ∈，根据垂直关系可得x a =，结合长度可得224x z +=，分析可知端点M 的轨迹是以B 为圆心，半径2r =的圆的14部分，即可得结果.【详解】以B 为坐标原点，,,BA BE BC 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()2,0,0,0,0,0A B ，设()()[],,0,,0,,,,0,2N a a M x z a x y ∈，可得()()2,0,0,,,BA NM x a a z ==-- ，因为MN AB ⊥，即()20BA NM x a ⋅=-= ，可得x a =，则()0,,NM x z =- ，则2NM == ，整理可得224x z +=，可知端点M 的轨迹是以B 为圆心，半径2r =的圆的14部分，所以端点M 的轨迹长度为12π2π4⨯⨯=.故答案为：π.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆C 的圆心在y 轴上，并且过原点和().（1）求圆C 的方程；（2）若线段AB 的端点()4,2A -，端点B 在圆C 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.【答案】（1）()2224x y +-=（2）()2221x y -+=【解析】【分析】（1）利用待定系数法计算即可求解；（2）设s ，()00,B x y ，由中点坐标公式可得024x x =-，022y y =+，代入圆C 方程，整理即可求解.【小问1详解】设圆C 方程：()()2220x y b r r +-=>，由已知(()222223b r b r ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩，解得22b r =⎧⎨=⎩，∴圆C 方程为()2224x y +-=.【小问2详解】设点s ，()00,B x y .∵()4,2A -，∴004222x x y y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩.整理得024x x =-，022y y =+，∵点B 在圆C 上，∴()()222424x y -+=，∴点M 的轨迹方程为()2221x y -+=.16.在四面体ABCD 中，2AB AC BC BD CD =====，3AD =，E 是BC 的中点，F 是AD 上靠近A 的三等分点，（1）设AB a =，AC b = ，AD c = ，试用向量a 、b 、c 表示向量FE ；（2）证明：FE CD ⊥．【答案】（1）111223FE a b c =+- （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由向量的加法与减法运算；（2）证明0C E D F ⋅= ，得EF CD ⊥ ，可得EF CD ⊥．【小问1详解】()1123FE AE AF AB AC AD =-=+- ，即111223FE a b c =+- ；【小问2详解】CD AD AC c b=-=- ()111111111223223223FE CD a b c c b a c b c c c a b b b c b ⎛⎫⋅=+-⋅-=⋅+⋅-⋅-⋅-⋅+⋅ ⎪⎝⎭ 221313111113232332222302424322234=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯--⨯⨯⨯+⨯⨯⨯所以FE CD ⊥．17.在长方体1111ABCD A B C D -中，1222BC BB BA ===，点M 为棱AB 上的动点（含端点）．（1）当点M 为棱AB 的中点时，求二面角1M D C D --的余弦值；（2）当AM 的长度为何值时，直线1B C 与平面1CMD 所成角的正弦值最小，并求出最小值．【答案】（1）66（2）2AM =，最小值为5【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，找出坐标，求出平面1CMD 的一个法向量为()11,2,1n =- ，平面1CD D 的一个法向量为()21,0,0n = ，再利用公式12cos cos ,n n α= 求解即可；（2）引入参数，设AM t =，()02t ≤≤，表示出()1,1,M t ，()11,1,0B C =- ，()11,1,D M t = ，()10,1,2D C = ．求出平面1CMD 法向量()32,2,1n t =-- ，设1B C 与平面1CMD 的所成角为β，利用31sin cos ,n B C β= 建立等式，再利用基本不等式求解．【小问1详解】如图，以1D 为原点，11D A ，1D D ，11D C 分别为x 轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系．设二面角1M D C D --为α，则该角为锐角．而()10,0,0D ，()1,1,1M ，()0,1,2C ，()11,0,2B ．所以()10,1,2D C = ，()11,1,1D M = ．设平面1CMD 法向量()1,,n x y z = 所以111102000n D C y z x y z n D M ⎧⋅=+=⎧⎪⇒⎨⎨++=⋅=⎩⎪⎩ ．取1z =，得平面1CMD 的一个法向量为()11,2,1n =- 易知平面1CD D 的一个法向量为()21,0,0n =所以121212cos cos ,6n n n n n n α⋅==== ．【小问2详解】设AM t =，()02t ≤≤所以()1,1,M t ，()11,1,0B C =- ，()11,1,D M t = ，()10,1,2D C = ．设平面1CMD 法向量为()3111,,n x y z = ．所以31111113100200n D M x y tz y z n D C ⎧⋅=++=⎧⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩ 取11z =，得平面1CMD 的一个法向量为()32,2,1n t =-- ．设1B C 与平面1CMD 的所成角为β所以31sin cos ,n B C β==令4t u -=，则11142u ≤≤即sin β==当112u =时，即2u =，2t =．sin β最小值为5，此时2AM =．18.已知ABC V ，点()1,1A -，点B ，C 在直线20x y +-=上运动（点B 在点C 上方）.（1）已知以点A 为顶点的ABC V 是等腰三角形，求BC边上的中线所在直线方程；（2）已知BC =，试问：是否存在点C ，使得ABC V 的面积被x 轴平分，若存在，求直线AC 方程；若不存在，说明理由?【答案】（1）2y x =-（2）存在，2y x =-【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质及垂直直线的斜率关系求得边BC 的中线的斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可；（2）结合点到直线的距离公式求出ABC V 的面积，设(),2B a a -，()1,1C a a +-，分点C 在x 轴下方和点C 在x 轴或x 轴上方，两种情况讨论，根据面积列式求解点C 的坐标，再求直线AC 方程即可.【小问1详解】因为ABC V 是以点A 为顶点的等腰三角形，所以边BC 的中线垂直直线BC ，所以边BC 的中线的斜率1111BC k k =-=-=-，又过点()1,1A -，所以边BC 的中线方程为11y x +=-，即2y x =-；【小问2详解】因为点A到直线l的距离d ==，故112ABC S == .假设存在C 满足条件，设(),2B a a -，()1,1C a a +-，则20a ->，即2a <，①当点C 在x 轴下方时，即10a -<时，即12a <<，AB 所在直线的方程为()21111a y x a -++=--，令0y =，解得23x a=-，直线AB 与x 轴的交点2,03M a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，又直线20x y --=与x 轴的交点()2,0N ，所以242233a MN a a -=-=--，()1142122232BMN B a S MN y a a -=⋅=⋅⋅-=- ，解得1a =或52a =，舍去；②当点C 在x 轴或x 轴上方时，即10a -≥时，即1a ≤，AC 所在直线的方程为()111111a y x a -++=-+-，令0y =，解得22x a=-，直线AC 与x 轴的交点2,02E a ⎛⎫⎪-⎝⎭，所以22222356ME a a a a =-=---+，21121122562AME A S ME y a a =⋅=⋅⋅=-+ ，解得1a =或4a =（舍去）；综上，当1a =时，存在点()2,0C 满足题意，此时，直线AC 的斜率为()01121--=-，故直线AC 方程为2y x =-.19.出租车几何或曼哈顿距离（ManhattanDistance ）是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在空间（平面）直角坐标系上的绝对轴距总和.例如：在平面直角坐标系中，若()11,A x y ，()22,B x y ，两点之间的曼哈顿距离()2121,d A B x x y y =-+-.（1）已知点()1,4A ，()3,3B -，求(),d A B 的值；（2）记(),d B l 为点B 与直线l 上一点的曼哈顿距离的最小值.已知点()1,1B ，直线l ：420x y -+=，求(),d B l ；（3）已知三维空间内定点()1,1,1A ，动点P 满足(),1d A P =，求动点P 围成的几何体的表面积.【答案】（1）9（2）54（3）【解析】【分析】（1）由曼哈顿距离定义直接计算即可；（2）设直线420x y -+=上任意一点坐标为s ，然后表示(),d B l ，分类讨论求(),d C B 的最小值即可；（3）不妨将A 平移到0,0,0处，利用曼哈顿距离定义求得P 围成的图形为八面体，即可求解其表面积.【小问1详解】()(),13439d A B =-+--=，所以(),9d A B =.【小问2详解】设动点s 为直线l 上一点，则42y x =+，所以(),1421141d B l x x x x =-++-=-++，即()5,11,32,1415,4x x d B l x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=+-≤<⎨⎪⎪-<-⎪⎩，当1x ≥时，(),5d B l ≥；当114x -≤<时，()5,54d B l ≤<；当14x <-时，()5,4d B l >；综上，(),d B l 为54.【小问3详解】动点P的正三角形，其表面积为13822⨯=证明如下：不妨将A 平移到0,0,0处，设(),,P x y z ，若(),1d A P =，则1x y z ++=，当,,0x y z ≥时，即()10,,1x y z x y z ++=≤≤，设()11,0,0M ，()20,1,0M ，()30,0,1M ，则()112131,,(,,)M P x y z y z y z yM M zM M =-=--=+ ，所以P ，1M ，2M ，3M 四点共面，所以当,,0x y z ≥时，P 的等边三角形123M M M 内部（含边界）.同理可知等边三角形内部任意一点(),,Q x y z '''，均满足1x y z '''++=.所以满足方程()10,,1x y z x y z ++=≤≤的点P ，的等边三角形内部（含边界）.由对称性可知，P 围成的图形为八面体，每个面均为边长为的等边三角形.故该几何体表面积284S =⨯⨯=【点睛】思路点睛：本题考查了新概念问题，解决新概念问题首先要读懂新概念的定义或公式，将其当做一种规则和要求严格按照新概念的定义要求研究，再结合所学知识处理即可.。

广西壮族自治区2024-2025学年高二上学期10月月考试题数学含答案

2023级“高中”10月高二年级新高考月考测试数学（答案在最后）（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位，若复数12i1i z +=+，则复数z 的实部为（）A.12-B.39-C.12D.322.若向量)a =是直线l 的一个方向向量，则直线l 的倾斜角为（）A.π6B.π3C.2π3D.5π63.定义运算：a b ad bc c d=-．已知()sin cos180sin 270cos tan60ααα=+，则tan α=（）A.32B.233C.2- D.233-4.已知()3,4A --，()6,3B 两点到直线:10l ax y ++=的距离相等，求a 的值（）A.13B.97-C.13-或79-D.13或79-5.从1984年第23届洛杉矶夏季奥运会到2024年第33届巴黎夏季奥运会，我国获得的夏季奥运会金牌数依次为15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40，这11个数据的60%分位数是（）A.16B.30C.32D.516.关于x 的方程22cos cos cos 02Cx x A B -⋅⋅-=有一根为1，则ABC V 一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形7.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC AB AA ==，120BAC ∠=︒，,,D E F 分别是棱11B C ，BC ，11A C 的中点，则异面直线AD 与EF 所成角的余弦值为（）A.310B.10C.25D.7108.已知函数212()log f x =，则()f x 有（）A.最小值2log 3-B.最大值2log 3-C.最小值32-D.最大值32-二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的选项中，有多项符合题目要求.（答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分）9.在空间直角坐标系Oxyz 中，点(0,0,0)O ，(2,1,1)A --，(3,4,5)B ，下列结论正确的有（）A.AB =B.向量OA 与OB的夹角的余弦值为6-C.点A 关于z 轴的对称点坐标为(2,1,1)---D.向量OA 在OB 上的投影向量为110OB -u u u r 10.（多选）从今年起[]()1,8,N x x x ∈∈年内，小李的年薪y （万元）与年数x 的关系是20.2y x =+，小马的年薪y （万元）与年数x 的关系是0.5 1.2x y =+，则下列判断正确的有（）A.5年后小马的年薪超过小李B.6年后小马的年薪超过小李C.小马的年薪比小李的增长快D.小马的年薪比小李的增长慢11.已知ABC V 内角A B C ､､的对边分别是,2a b c A B =､､，则（）A.()2a b b c =+B.22b a c b+的最小值为3C.若ABC V 为锐角三角形，则()1,2cb∈D.若3a b ==，则3c =三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.过直线30x y +-=和260x y -+=的交点，且与直线3210x y -+=垂直的直线方程是____________．13.已知ABC V 是边长为6的等边三角形，点D 是AB 的中点，点G 是线段CD 上一点，满足15AG AB AC λ=+ ，则GA AC ⋅=__________．14.如图，正方体ABCD EFMN -的棱长为3，在棱AB 上有一动点H ，设直线EH 与平面DEM 所成的角为θ，当105cos 15θ=时，则此时点H 与点D 之间的距离HD =_____________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知直线()21R l y kx k k =-+∈：．（1）若直线l 不经过第二象限，求k 的取值范围．（2）若直线l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点，当△AOB 的面积为92时（O 为坐标原点），求此时相应的直线l 的方程．16.已知函数()1933xx f x a --=-⋅+.（1）若43a =，解不等式()0f x <；（2）若关于x 的方程()0f x =有解，求a 的取值范围.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是正方形，PD DC =，PD ⊥底面ABCD ，E 是线段PC 的中点，F 在线段PB 上，EF PB ⊥．（1）证明：PB ⊥平面DEF ；（2）G 在线段PB 上，EG 与PA 所成的角为45 ，求平面DEF 与平面DEG 夹角的余弦值．18.在神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功的背景下．某学校高一年级利用高考放假期间组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：（1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人，求10人中成绩不高于50分的人数；（2）求a 的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；（3）由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为23，乙复赛获优秀等级的概率为34，丙复赛获优秀等级的概率为12，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率．19.在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin2sin cos cos c B A C A a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）点D 是AC 上的一点，ABD CBD ∠=∠，且1BD =，求ABC V 周长的最小值.2023级“高中”10月高二年级新高考月考测试数学（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】B二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的选项中，有多项符合题目要求.（答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分）【9题答案】【答案】BD 【10题答案】【答案】BC 【11题答案】【答案】ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】23100x y +-=【13题答案】【答案】725-【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）12k ≥（2）3y x =-+或4213=-+y x 【16题答案】【答案】（1）{10}xx -<<∣（2）,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【17题答案】【答案】（1）证明见解析（2）3【18题答案】【答案】（1）4（2）0.030a =；平均数为71；中位数为2203（3）1724【19题答案】【答案】（1）π3 B ；（2）.。

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精品word 你我共享知识改变命运第I卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.每个小题只有一个正确答案. 1.双曲线2228xy的实轴长是 A. 2 B．22 C． 4 D．42 2.双曲线22221xyab的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是 A. 2 B. 3 C. 2 D. 32 3.化简方程2222(2)(2)10xyxy的结果是 A. 2212516xy B. 2212521xy C. 221254xy D. 2212516yx 4.方程2xyxx表示的曲线是 A．一个点 B．一条直线 C．两条直线 D．一个点和一条直线 5.已知4k，则曲线22194xy和22194xykk有 A. 相同的短轴 B. 相同的焦点 C. 相同的离心率 D. 相同的长轴 6.过原点的直线l与双曲线221yx有两个交点，则直线l的斜率的取值范围为 A．(1,1) B．(,1)(1,) C．(1,0)(0,1) D．,44 7.已知F1、F2是双曲线22221(0,0)xyabab的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是精品word 你我共享知识改变命运 A．423 B．31 C．312 D．31 8.离心率为黄金比512的椭圆称为“优美椭圆”.设22221(0)xyabab是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个顶点，则FBA等于 A. 60 B. 75 C. 90 D. 120 9.椭圆22162xy和双曲线2213xy的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，那么12cosFPF的值是 A．13 B．23 C．73 D．14 10.我国于07年10月24日成功发射嫦娥一号卫星，并经四次变轨飞向月球。嫦娥一号绕地球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆。若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为m，远地点到地心的距离为n，第二次变轨后两距离分别为2m、2n（近地点是指卫星距离地面最近的点，远地点是距离地面最远的点），则第一次变轨前的椭圆的离心率比第二次变轨后的椭圆的离心率 A．不变 B. 变小 C. 变大 D.无法确定 11.若椭圆1C：2222111xyab（110ab）和椭圆2C：2222221xyab（220ab）的焦点相同且12aa.给出如下四个结论： ①椭圆1C和椭圆2C一定没有公共点； ②1122abab； ③22221212aabb； ④1212aabb

. 精品word 你我共享知识改变命运其中，所有正确结论的序号是 A．②③④ B. ①③④ C．①②④ D. ①②③ 12.已知P是椭圆22143xy上的一点，F1、F2是该椭圆的两个焦点，若△PF1F2的内切圆半径为12，则12PFPF的值为

A. 32 B. 94 C. 94 D. 0 二、填空题：本题共4个小题，每小题4分，共16分. 请将答案填在第II卷的相应位置. 13.已方程22232xymm表示焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围是 ▲ . 14.双曲线2214xy的右焦点到其渐近线的距离为 ▲ . 15.已知点P是椭圆2214xy上在第一象限内的点，定点(2,0)A、(0,1)B，O是原点，则四边形OAPB的面积的最大值是__▲_______． 16.已知“双曲线22221xyab（0ab0，）的两个焦点为1F、2F，P为其上一点，且12||2||PFPF，则双曲线离心率的取值范围为(1,3]”. 若将其中的条件“12||2||PFPF”更换为“12||||PFkPF，0k且1k”，试经过合情推理，得出双曲线离心率的取值范围是 ▲ . 精品word 你我共享

知识改变命运石室中学高2013级2011年10月月考数学试题（理科）第II卷二、填空题：每小题4分，共16分.

13. 14. 15. . 16. 三、解答题：本题共6个小题，满分74分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）（1）焦点在x轴上的椭圆的一个顶点为A（2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．（2）已知双曲线的一条渐近线方程是20xy，并经过点2,2，求此双曲线的标准方程．精品word 你我共享

知识改变命运 18.（本小题满分12分）已知1F、2F分别是双曲线22136xy的左右焦点，过右焦点2F作倾斜角为30的直线交双曲线于A、B两点. (Ⅰ)求线段AB的长； (Ⅱ)求1AFB的周长. 精品word 你我共享

知识改变命运 19.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点(0,3)、(0,3)的距离之和等于4．设点P的轨迹为C． (I)求曲线C的方程； (II)设直线1ykx与C交于AB、两点，若OAOB，求k的值.

20.（本小题满分12分）已知两点(0,3)A，(0,3)B. 曲线G上的动点(,)Pxy使得直线PA、PB

的斜率之积为34. (I)求G的方程； (II)过点(0,1)C的直线与G相交于EF、两点，且2ECCF，求直线EF精品word 你我共享知识改变命运的方程.

21.（本小题满分12分）已知点00(,)Pxy是椭圆E：2212xy上任意一点，直线l：0012xxyy. 精品word 你我共享知识改变命运 (I)判断直线l与椭圆E的交点的个数，说明理由； (II)直线0l过点P且与直线l垂直，点(1,0)M关于直线0l的对称点为N，证明直线PN恒过一定点G，并求出点G的坐标. 精品word 你我共享

知识改变命运 22.（本小题满分14分）已知两点1(2,0)F、2(2,0)F，曲线C上的动点(,)Pxy满足

1212||||2PFPFPFPF. 精品word 你我共享知识改变命运 (I)求曲线C的方程； (II)设直线:(0)lykxmk，对定点(0,1)A，是否存在实数m，使直线l与曲线C有两个不同的交点MN、，满足||||AMAN? 若存在，求出m

的范围；若不存在，请说明理由.

答案一、选择题理科 CCBD BBDC AABB 文科 CCBD BABD CAAB 二、填空题 13.(3,2)；14. 1；15. 2；16.理科 1(1,]|1|kk；文科 ①③④ 三、解答题

17. 解：（1）由题可知a=2,b=1，椭圆的标准方程为：2214xy+=； 6分精品word 你我共享知识改变命运（2）设双曲线方程为：224λxy-=， 9分 ∵双曲线经过点（2，2），∴22λ24212=-?-

，

故双曲线方程为：221312yx-=.

12分 18.解：(Ⅰ)由双曲线的方程得1(30)F,-，2(30)F,，直线AB的方程为3(3)3yx=-① 2分

将其代入双曲线方程消去y得，256270xx+-=，解之得12935x,x=-=. 4分将12x,x代入①，得1223235y,y=-=-，故(323)A,--,923()55B,-，故1635AB=. 8分 (Ⅱ) 周长11||||||ABAFBF83. 12分 19.解：（Ⅰ）设P（x，y）,由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦距，长半轴为2的椭圆.它的短半轴222(3)1,b 故曲线C的方程为1422yx. 4分

（Ⅱ）设1122(,),(,)AxyBxy，其坐标满足221,41.yxykx，消去y并整理得22(4)2kxkx—3=0，(*) 6分故12122223,.44kxxxxkk 若,OAOB即12120.xxyy 精品word 你我共享知识改变命运则22121222233210,444kkxxyykkk， 10分化简得2410,k所以1.2k满足(*)中0，故12k为所求. 12分 20.文科解：(I)2222(2)(2)23xyxy，即点P到两定点(2,0)和(2,0)的距离为23，由椭圆的定义知，点P的轨迹为椭圆，且3a，2c，则1b，从而

点P的轨迹C的方程为2213xy； 4分 (II)设2:myxlEF，代入得0912)13(22myym，由102m，8分于是]29,3(1363)1(),2(),2(22122211myymyxyxDFDE. 12分

20.理科解：（I）由题知，33(0)APBPyyk,kxxx-+==?，