《材料力学》第8章组合变形及连接部分的计算习题解

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材料力学第8章

截面形心位置
yC 0.04m 0.1m 0.05m 0.2m 0.03m 0.115m 0.089 m 0.04m 0.1m 0.2m 0.03m
对y、z轴的惯性矩
0.1 0.043 4 0.03 0.23 4 Iz m m 20.53 106 m4 12 12
M z max M y max [ ] Wz Wy
图8-4
例题8-1 已知矩形截面悬臂梁受水平荷载2F和竖向荷载F作用，如图8-5所示，
若矩形截面宽、高分别为b、h，试求梁固定端截面上A、B、C、D各点的应力。
图8-5 例题8-1图
【解】
力F单独作用时，点A的应力为压应力力2F单独作用时，点A的应力为拉应力力F和2F共同作用时，A点的正应力
C
4 Fl Fl 24 Fl 6 Fl hb 2 bh 2 hb 2 bh 2 6 6
D
4 Fl Fl 24 Fl 6 Fl hb 2 bh 2 hb 2 bh 2 6 6
例题8-2 T型截面梁承担M=20 kN﹒m的弯矩，方向如图8-6(a)所示，试确定该
tan I z M y 20.53kN m cot 30 2.55 I y M z 13.92kN m
其中B点为最大拉应力点，D点为最大压应力点，其值为
图8-6
M z y M y z 10 103 N m 0.1m 17.32 103 N m 0.041m B 99.72 106 Pa 99.72MPa 6 4 6 4 Iz Iy 20.53 10 m 13.92 10 m
A
A
Fl bh 2 / 6
4 Fl hb 2 / 6

工程力学材料力学第八章组合变形

时，称为单向偏心拉伸（压缩）
。
2. 当偏心压力P的作用线与柱轴
线平行，但不通过横截面任一形
心主轴时，称为双向偏心拉伸（
压缩）。
3. 偏心拉伸（压缩）将引起轴
向拉伸（压缩）和平面弯曲两种
基本变形。
P
P
双向偏心压缩
x
P
z
P
x
y
My
z
Mz
P
y
My
一、应力分析：
MZ
P
P
xP
A
xM
z
My
Mzy
9
W p 5300 10
4Q 4
0.5 P
Q

0.001P MPa
6
3 A 3 707 10
M
M
0.2 P

0.076 P MPa
9
W 2 650 10
M
M
2
2
0.076 P
2
0.076 P
1
2

3
0.034 P
OXY 平面）内发生平面弯曲，这类梁的弯曲变形称为斜弯
曲，它是两个互相垂直方向的平面弯曲的组合。
平面弯曲
斜弯曲
Pz
z
xz平面内的平面弯曲
Pz
z
y
P
z
Py
y
xy平面内的平面弯曲
Py
y
q
F
Me
纵
向
对称面
M y F1 x
B
A
y
M z F2 x a
x
FAy
F2
a
FBy
z

材料力学(第八章)(06)

t max
t
N
2 4 2.6 7
t
26.7(MPa) [ t ]
c
c max
c
N
402.67
37.3(MPa) [ c ]
N
∴该立柱安全！
mt ax
mc ax
[例4] 图示钢板，厚度t=10mm，受力P=100kN，试求最大正应力；若将缺口移至板宽的中央，则最大正应力为多少？
P
y yC
解：坐标如图，形心位置
P2
z x
Mz zN x
P1
L
y
y x
M
Mz
N
N
max M N
Mz N Wz A
强度条件：
max
Mz Wz
N A
[ ]
max
[例1]
简易吊车，AB梁为18号工字钢，W=185cm3，
A=30.6cm2，梁长l=2.6m，=30°，[]=120MPa，
P=25kN，校核梁的强度。
C
第八章组合变形构件的强度
§8–1 概述 §8–2 拉伸（压缩）与弯曲的组合 §8–3 弯曲与扭转的组合
§8–1 概述
C A
B
P
l
§8–1 概述
20ºP z y
P2
D1
x
A
D1
C
150 B 200
100 D
P1
§8–2 拉伸（压缩）与弯曲的组合
一、弯拉(压)组合变形：杆件同时受横向力和轴向力的作用而产生的变形。
由弯曲强度进行试算：
max
M W
[ ]
W M 32.5106
[ ] 120
270103 (mm 3 ) ∴选22a工字钢，W=309cm3

材料力学第8章组合变形_OK

作用在横梁上的力有载荷F，拉杆的拉力FB，支座C的反力FCx、FCy，将 B点的作用力分解为FBx、FBy。可以将作用在BC梁上的力分为两组：F、
14
FBy、FCy使梁发生弯曲变形。FBx、F
第8章组合变形
由静平衡方程可求得
FB 40kN FCx FBx FBcos30 34.6kN
略不计。将以上两项正应力叠加后
就得到横截面上任意点的总应力为
' " FN (x) M z (x) y
（8－1）
A
Iz
式中A为横截面面积，Iz为截面对z轴的惯性矩。叠加后的正
应力分布如图8－4(d)所示。
11
第8章梁组发合变生形弯曲变形时固定端处弯
矩最大，固定端处为弯曲的危险截
面；由于轴力是常量，每个横截面
M
Wz
32M
d 3
31.29MPa
30
第8章组合变形应力叠加后，最大拉应力发生在立柱的右侧，其值为
t max 32.51MP a t
最大压应力发生在立柱的左侧，其值为
c max 30.07MP a c
由此例可以看出，偏心拉压中的偏心距越大，弯曲应力所占比例就越高。因此，要提高偏心拉压杆件的强度，就应尽可能减小偏心距或尽量避免偏心受载。
第8章(4）组合强变形度计算。由型钢表查得N
o20a号工字钢横截面面积A=35.5cm2
=35.5×10-4m2，抗弯截面系数Wz=23
7cm3=237×10-6m3。危险截面J的上
边缘各点的应力为 σcmax
FN A
M max W
3354.5.6110034
28103 237106
9.75118.14127.9MPa[σ]

武汉理工大学材料力学课件8 组合变形及连接部分的计算--JK

9
若横截面周边具有棱角，则无需确定中性轴的位置，直接根据梁的变形情况，确定最大拉应力和最大压应力点的位置。 D D
1 1
z
z D2 y 中性轴
D2
y
中性轴
强度条件：
（）若 [ t ] [ c ] [ ], 则 1 （2）若 [ t ] [ c ], 则
t ,max [ t ] ,
z
c ,max
FN M max [ c ] A Wz
(1)若F 的作用点在杆的一对称轴上， F M 则强度条件为： [ t ] t , max A Wz 其中 M Fe
c ,max
F M [ c ] A Wz
23
(2) 若F 的作用点不在杆的任一对称轴上
FN My A Iz
z
c ,max
(2)若 t ] [ c ] [ ] , [
则
FN M max [ c ] A Wz
max Max { t ,max , c ,max } [ ]
20
[例8-3-1] 最大吊重为 P=20kN的简易吊车，如图所示，AB为工字A3钢梁，许用应力[σ]＝100MPa，试选 T YA 择工字梁型号。 Ty XA D
另外，和的正负号可由My和 Mz引起的变形是拉 8 还是压直接判断。
sin cos 则，F引起的应力为： M ( I z I y) y z
二、中性轴的位置令（y0，z0）是中性轴上任一点，则有：显然，中性轴是一条通过坐标原点的直线，设其与z轴的夹角为α，则有：
A Tx
C
B F
A
30° 2m
C
1m

材料力学第八章组合变形

第八章组合变形及连接部分的计算§8-1 概述由两种或两种以上基本变形的组合——组合变形研究方法：叠加法1.将作用的荷载向杆件形心分解或简化成几组荷载，使杆在每组荷载作用下，只产生一种基本变形；2.计算出每一种基本变形下的应力和变形；3.由叠加原理就可得到杆在组合变形下的应力和变形；§8-1 概述由两种或两种以上基本变形的组合——组合变形组合变形的概念4.确定危险截面，危险点的位置，危险点的应力状态，据此进行强度计算。

杆件处于线弹性变形内，且小变形情况下,常见的组合变形：两垂直平面内的弯曲拉（压）弯组合偏心压缩（拉伸）弯扭组合分析步骤：•外载分解：分解为基本变形组合•内力计算：画轴力、扭矩与（或）弯矩图，确定危险面•应力计算：各基本变形应力分析•强度计算：应力叠加，确定危险点的位置，应力状态A(y ，z )x e o yzfcFφF z F 一、正应力计算= F y （l -x ）= F = F z （l -x ）= F F y =F cos φF z =F sin φF外力内力M M )sin cos (z I y I M yz ϕϕσσσ+-=''+'=——横截面上任一点的应力计算公式。

M zM yA(y ，z )x e o yzfcFφy)sin cos (z I y I M yz ϕϕσσσ+-=''+'=yz y z +y=二、最大正应力和中性轴的位置000=+-z I y I y zϕϕsin cos ——中性轴方程（过截面形心的直线）α00tan y z α=tan zy I I φ=⋅φF斜弯曲时，中性轴与外力作用线不垂直。

F z F例：截面为由端受水平集中力I y ＝280.0cm （1）梁的最大拉应力和最大压应力；（2）固定端截面和2mx yF解：(1) 固定端截面为危险截面A (2)（3）挠度22zy w w w +=σσA(y ，z )oyz Fl拉伸（压缩）和弯曲组合变形。

第八章组合变形5、6

受剪面
A jy d t
jy P jy 141MPa [ jy] A jy
P4 P4 P4 P4
P
3P 4 P 4
p
+
1
P4 P4 P4 P4
P
1
(3) 钢板的拉伸强度
P 107 MPa [] 11 (b d )t
2
P4 P4 P4
1
P4
P
2
1
3P 4 99.3MPa [] 2 2 (b 2d )t
51.8MPa
§8-6
铆钉连接的主要方式
铆钉连接的计算
P
搭接 P
P P
一个受剪面
单盖板对接
P
P
P
P
一个受剪面
(b)
双盖板对接
P
铆钉双剪切
P
P
P
两个受剪面
(c)
图 8-6
I、铆钉组承受横向荷载
P
P
P
P
图 8-7
在铆钉组连接中, 为了简化计算, 假设: 不论铆接的方式如何, 均不考虑弯曲的影响。
T ' 2Q'
Q'
T ' T1 T
s
假想钢轨在接触面上处处传递剪应力 τ ' ，接触面的宽度为 b 。 T
S
T1
T ' τ ' bs
τ ' Q S* max z
T ' 2Q'
Q'
bI z
S
为一根钢轨的横截面面积对中性轴的静矩
* z max
S
* z max
A.c 6406 m4

材料力学第22讲 Chapter8-2第八章组合变形(拉弯扭转)

z
x
P A
Mz y Iz
Myz Iy
Mz
xM z
Mz Iz
y
14
（2）中性轴方程
对于偏心拉压问题
x
P A
Mz y Iz
Myz Iy
x
My P z
z
Mz y
zp
yp y
x
P M z y0
A
Iz
M y z0 Iy
0
P PyP y0 PzP z0 0
A Aiz2
Aiy2
P (1 A
yP y0 iz2
30
例：图示钢制实心圆轴，轴上的齿轮C上作用有铅垂切向力5kN，径向力1.82kN；齿轮D上作用有水平切向力10kN，径向力3.64kN 。齿轮C的直径d1＝400mm，齿轮D的直径d2＝200mm。若轴的直径d＝60mm，[]=100MPa，试按第四强度理论校核轴的强度。
31
轴承
32
解：受力分析
中性轴6
截面核心
中性轴5
y 中性轴3 中性轴4
24
三、拉伸与扭转组合
FN T
25
例圆杆直径为d = 0.1m,T = 7kNm, P = 50kN
[]=100MPa,按第三强度理论校核强度。
P A
T
T P
26
P A
T P
A
T
解：拉扭组合,危险点应力状态如图
P 450 103 6.37MPa A 0.12
T Wp
16
7000 0.13
35.7MPa
r3 1 3
1,3
2
0
2
0
2
2
r3 2 4 2 36.3 [ ] 100Mpa 故安全

材料力学第八章

建立图示杆件的强度条件解：①外力向形心简化并分解
弯扭组合变形
②每个外力分量对应 M(x) x –Fl ③确定危险面 T(x) x –Fa 的内力方程和内力图
M ( x) ; T ( x)
⑤画危险面应力分布图，找危险点 M max T σ xD1 = τ D1 = W Wt
⎧σ 1 σ σ 2 2 ⎨ = ± ( ) +τ 2 ⎩σ 3 2
⑥建立强度条件
σ r 3 = σ 1 − σ 3 = σ + 4τ
2
2
=
M W
2 max 2
+4
T2 Wt 2
σ r 3 = σ 1 − σ 3 = σ + 4τ
2
2
=
M2 W
2
+4
T2 W t2
=
M 2 +T 2 W
σ r3 =
M 2 +T 2 W
σ r4 =
1 (σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ 1 )2 2
P（zP， yP）
中性轴 yy
F ( zF , yF )
y F y0 z F z 0 1+ 2 + 2 = 0 iz iy
σ
' max
四、危险点（距中性轴最远的点）
σ '' max
F Mz My = + + A Wz Wy F Mz My = − − A Wz Wy
五、（偏心拉、压问题的）截面核心：压力作用区域。当压力作用在此区域内时，横截面上无拉应力。 ay
方向； (4) 根据第一强度理论，说明梁破坏时B、C两点处的裂缝方向。

结构力学第八章

plot(94.25*D^3-1200*D-1842,D=0..5); plot(94.25*D^3-1200*D-1842,D=0..10); plot(94.25*D^3-1200*D-1842,D=0..15); plot(94.25*D^3-1200*D-1842,D=0..20); 由上述结果可以看出，有意义的实数解为：D=4.173m. 下面两图给出了 D∈[0,5]、D∈[0,10]等几种情况下，强度方程的图形，由此可以看出，当 D>4.173m 时，函数恒大于零。
qyl2
根据矩形截面的特点，可得梁的最大正应力为
σ max =
max M zmax M y 6 × 3.464 ×103 6 × 2 × 103 + = + = 11.97 × 106 ( Pa ) −9 −9 2 2 Wz Wy 120 ×160 ×10 160 ×120 × 10
qy 作用下最大挠度为
上述解答中取有意义的解为
x≤
8 3 6 − = 5.212 ×10−3 (m) 125 125
8-13、试确定图示十字形截面的截面核心边界。解、截面对形心轴的惯性矩为
1 1 × 0.2 × 0.63 + 2 × × 0.24 = 3.867 × 10−3 (m 4 ) 12 12 I 2 iy = iz2 = y = 0.01933(m 2 ) y A I y = Iz =
wy =
5q y l 4 384 EI z
=
12 × 5 ×1.732 × 103 × 44 = 0.0141(m) 384 × 10 × 109 ×120 × 1603 × 10−12
1
第八章
组合变形习题答案
qz 作用下最大挠度为

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第八章组合变形及连接部分的计算习题解 [习题8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知ml8.0，kNF5.21，kNF0.12，试求危险截面上的最大正应力。

解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因钢材的拉压性能相同，故只计算最大拉应力：

式中，zW，yW由14号工字钢，查型钢表得到3102cmWz，31.16cmWy。故

MPaPammNmmN1.79101.79101.168.0100.11010228.0105.236363363max [习题8-2] 受集度为 q的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向对称面间的夹角为 030，如图所示。已知该梁材料的弹性模量 GPaE10；梁的尺寸为ml4，mmh160，mmb120；许用应力MPa12][；许用挠度150/][lw。

试校核梁的强度和刚度。 2

解：（1）强度校核 )/(732.1866.0230cos0mkNqqy （正y方向↓）

)/(15.0230sin0mkNqqz （负z方向←）

)(464.34732.1818122mkNlqMyzmaz 出现在跨中截面

)(241818122mkNlqMzymaz 出现在跨中截面

)(5120001601206161322mmbhWz )(3840001201606161322mmhbWy 最大拉应力出现在左下角点上：

yyzzWMWMmaxmaxmax

MPammmmNmmmmN974.1138400010251200010464.33636max

因为 MPa974.11max，MPa12][，即：][max 所以满足正应力强度条件，即不会拉断或压断，亦即强度上是安全的。（2）刚度校核

= 3

mwm0267.0150/4][0202.0。即符合刚度条件，亦即刚度安全。

[习题8-3] 悬臂梁受集中力F作用如图所示。已知横截面的直径mmD120，mmd30，材料的许用应力MPa160][。试求中性轴的位置，并按照强度条件求梁的许可荷载[F]。

解： FFFy866.030cos0 （正y方向↓）

FqFz5.030sin0 （负z方向←）

)(732.12866.0mNFFlFMyzmaz 出现在固定端截面，上侧受拉

)(25.0mNFFlFMzymaz 出现在固定端截面，外侧受拉

)34(64]41641[2641442244dDdddDIz

4448822419)3034120(6414.3mm

)2(6464126414444dDdDIy

44410094119)302120(6414.3mm 9816577.1882241910094119732.1tanmaxmaxFFIIM

zyyz

'001363223.639816577.1arctan

，即：中性轴是过大圆的圆心，与y轴的正

向成'01363的一条直线（分布在二、四象限）。 4

FFFMMMyz23222max2maxmax （沿F作用线方向）

)(1470406088224192/3mmDIWzz

MPammmmNFWMz16014704010233maxmax kNNF763.1111763 kNF763.11][ [习题8-4] 图示一楼梯木料梁的长度ml4，截面为mm1.02.0的矩形，受均布荷载作用，mkNq/2。试作梁的轴力图和弯矩图，并求横截面上的最大拉应力与最大压应力。

解：以A为坐标原点，AB方向为x轴的正向。过Ａ点，倾斜向下方向为y轴的正向。 )/(121230sin0mkNqqx （负x方向：↙）

)/(323230cos0mkNqqy （正y方向：↘）

A、B支座的反力为：kNXA4，kNRYBA32 ＡＢ杆的轴力：4)4()(xxqxNx

ＡＢ杆的弯矩：2223322132)(xxxqxxMy x 0 1 2 3 4 N -4 -3 -2 -1 0 M 0 2.598 3.464 2.598 0

AB杆的轴力图与弯矩图如图所示。 5

轴力图-5-4-3-2-1001234

x(m)

N(kN)

弯矩图00.511.522.533.54

01234x(m)

M(kNm) 232

22.01.0)4(2.01.061)866.0464.3()()()(mkNxmmkNxxAxNWxMxzt



)4(50)866.0464.3(15002xxx xxx50200129951962 200524612992xx （)kPa

令052462598)(xdxxdt，得：当mx019.2时，拉应力取最大值： MPakPat097.5)(5.5096200019.25246019.212992max

232

22.01.0)4(2.01.061)866.0464.3()()()(mkNxmmkNxxAxNWxMxzc



)4(50)866.0464.3(15002xxx 6

xxx50200129951962 200514612992xx

令051462598)(xdxxdt，得：当mx981.1时，压应力取最大值： MPakPac297.5)(5.5296200981.15146981.112992max [习题8-5] 图示一悬臂滑车架，杆AB为18号工字钢，其长度为 m。试求当荷载作用在AB的中点D处时，杆内的最大正应力。设工字钢的自重可略去不计。

解：18号工字钢，，AB杆系弯压组合变形。 AFWMBCc0max

30cos中

0AM：0230sin0lFlFBC，kNFBC25

)(25.1626.25.025230sin0mkNlFMBC中

MPaPamNmmNc9.9410)07.783.87(106.302310251085.11025.166243343max

[习题8-6] 砖砌烟囱高mh30，底截面mm的外径md31，内径md22，自重kNP20001，受mkNq/1的风力作用。试求：

（1）烟囱底截面上的最大压应力；（2）若烟囱的基础埋深mh40，基础及填土自重按kNP10001计算，土壤的许用压应力MPa3.0][，圆形基础的直径D应为多大？ 7

注：计算风力时，可略去烟囱直径的变化，把它看作是等截面的。解：烟囱底截面上的最大压应力：

= = 土壤上的最大压应力：

即即解得： m [习题8-7] 螺旋夹紧器立臂的横截面为ba和矩形，如图所示。已知该夹紧器工作时承受的夹紧力kNF16，材料的许用应力MPa160][，立臂厚mma20，偏心距mme140。试求立臂宽度b。

解：立柱是拉弯构件。最大拉应力为：

)61(6122maxbebaFabFeabFt

)14061(20160002bb )8401(8002bb 正应力强度条件： 8

][maxt

160)8401(8002bb

0420052bb 解得：mmb356.67

[习题8-8] 试求图示杆内的最大正应力。力F与杆的轴线平行。

解：（1）求T形截面的形心位置形心在y轴上，0484282222aaaaaayC （2）把力F先向y轴平移，产生一个FaaFMy22；然后，再把F向z轴平移，又产生一个FaaFMz22。故，T形截面的杆件是拉伸与双向弯曲的组合变形构件。（3）判断最大拉应力与最大压应力出现的位置由yM、zM的方向（正负号）可知，A点处拉应力最大，B点处压应力最大。（4）计算最大拉应力 422322332]4)2()4(121[]8)2(4121[aaaaaaaaaIz

《材料力学》第8章 组合变形及连接部分的计算 习题解