2013-2014年湖北省武汉二中高二(上)期中数学试卷和答案(文科)
湖北省武汉市部分重点中学2013-2014学年高二上学期期末考试 数学理试题 含答案
湖北省部分重点中学2013－2014学年度上学期高二期末考试数 学 试 卷(含答案)一、 选择题（每小题5分，共50分）1. 两个三角形全等是这两个三角形相似的（ ）（A ）充分但不必要条件 （B ）必要但不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件 2. 命题“所有实数的平方是非负实数”的否定是（ ） （A ）所有实数的平方是负实数（B ）不存在一个实数，它的平方是负实数 （C ）存在一个实数，它的平方是负实数 （D ）不存在一个实数它的平方是非负实数3. 若椭圆经过原点，且焦点分别为12(0,1),(0,3)F F ，则其离心率为（ ）3211()()()()4324A B C D4. 若双曲线2214y x k +=的离心率(1,2)e ∈，则k 的取值范围是（ ） ()(,0)()(3,0)()(12,0)()(60,12)A B C D -∞----5. 已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，那么127a a a +++=（ ）()2()0()2()1A B C D -6. 三名学生与两名老师并排站成一排。
如果老师甲必须排在老师乙的左边，且两名老师必须相邻，那么不同的排法共有（ ）种。
()60()48()36()24A B C D7. 若X 是离散型随机变量，1221(),()33P x x P x x ====，且12x x <，又已知42(),()39E x D x ==，则12x x +=（ ） 5711()()()3()333A B C D8. 如果方程221(0,0)x y p q p q+=<<-表示双曲线，那么下列椭圆中，与这个双曲线共焦点的是（ ）2222()1()122x y x y A B q p q q p p+=+=-++2222()1()122x y x y C D p q q p q p+=+=-++9. 在平面直角坐标系中，若方程222(21)(23)m x y y x y +++=-+表示的曲线为椭圆，则m 的取值范围是（ ）()(0,1)()(1,)()(0,5)()(5,)A B C D +∞+∞10. 若椭圆22143x y +=上有n 个不同的点123,,,,n P P P P F 为右焦点，{}iPF 组成公差1100d >的等差数列，则n 的最大值为（ ） ()199()200()99()100A B C D二、 填空题（每小题5分，共25分）11. 与双曲线2244x y -=有共同的渐近线，并且经过点(2,3)的双曲线是 。
湖北省部分重点中学2013-2014学年上学期高二期中考试 数学理试卷 含答案
湖北省部分重点中学2013-2014学年度上学期高二期中考试数 学 试 卷(理）命题人：市49中 唐和海 审题人: 洪高 高珺一、选择题1、通过随机抽样用样本估计总体，下列说法正确的是( ).A ．样本的结果就是总体的结果B ．样本容量越大，可能估计就越精确C ．样本的标准差可以近似地反映总体的平均状态D ．数据的方差越大，说明数据越稳定2、下图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入( ）（A ）1000NP =（B ） 41000N P =（C) 1000M P =（D ） 41000M P =3、已知x 、y 取值如下表:从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关,且ˆ0.95y x a =+，则a =（ ）A ．1。
30B ．1.45C ．1。
65D ．1.804、函数[]2()2155f x x x x =+-∈-，，，在定义域内任取一点0x ,使0()0f x ≤的概率是( ). Ａ．320Ｂ．23Ｃ．310Ｄ．455、对学生进行某种体育测试，甲通过测试的概率为1P ，乙通过测试的概率为2P ,则甲、乙至少1人通过测试的概率为（ ）A ．21P P + B ．21P PC ．21P P 1- D ．)P 1)(P 1(121---6、一个袋中装有2个红球和2个白球,现从袋中取出1球,然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率是（ ）A ．41B ．31C ．21D ．527、将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图）为（ )8、设m ，n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m ⊥α，n //α,则m n ⊥； ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ； ③若m //α,n //α，则m n //; ④若αγ⊥,βγ⊥，则//αβ。
湖北省武汉外国语学校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)
湖北省武汉外国语学校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（本题10小题，每小题5分，共50分，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）下列命题是真命题的为（）A．若，则x=y B．若x2=1，则x=1C．若x=y，则D．若x＜y，则x2＜y22．（5分）已知向量=（x﹣1，2），=（2，1），则⊥的充要条件是（）A．x=﹣B．x=﹣1 C．x=5 D．x=03．（5分）命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tan α≠1 B．若α=，则tan α≠1C．若tan α≠1，则α≠D．若tan α≠1，则α=4．（5分）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）A．y2=±4x B．y2=4x C．y2=±8x D．y2=8x5．（5分）设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=（）A．e2B．e C．D．ln26．（5分）双曲线﹣=1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A．B．2C．3D．67．（5分）设图F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．38．（5分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．2B．3C．D．10．（5分）△ABC的顶点A（﹣5，0），B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C 的轨迹方程是（）A．﹣=1 B．=1C．﹣=1（x＞3）D．=1（x＞4）三、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.11．（5分）若a≤b，则ac2≤bc2，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是．12．（5分）“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的条件．13．（5分）如果直线l将圆C：（x﹣2）2+（y+3）2=13平分，那么坐标原点O到直线l的最大距离为．14．（5分）若函数存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是．15．（5分）椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，∠F1PF2的大小为．16．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p=．17．（5分）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的最大值是．三、解答题：本大题共6小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（6分）已知命题P：函数y=log a（1﹣2x）在定义域上单调递增；命题Q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立．若P∨Q是真命题，求实数a的取值范围．19．（6分）已知命题p：方程2x2+ax﹣a2=0在上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x02+2ax+2a≤0，若命题“p∨q”是假命题，求a的取值范围．20．（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为且过点（4，﹣）（Ⅰ）求双曲线方程；（Ⅱ）若点M（3，m）在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；（Ⅲ）由（Ⅱ）的条件，求△F1MF2的面积．21．（13分）已知椭圆C：x2+2y2=4．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．22．（14分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C 位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=．（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？23．（14分）设抛物线Γ：y2=2px（p＞0）过点（t，）（t是大于0的常数）．（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）若F是抛物线Γ的焦点，斜率为1的直线交抛物线Γ于A，B两点，x轴负半轴上的点C，D 满足|FA|=|FC|，|FD|=|FB|，直线AC，BD相交于点E，当时，求直线AB的方程．湖北省武汉外国语学校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题10小题，每小题5分，共50分，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）下列命题是真命题的为（）A．若，则x=y B．若x2=1，则x=1C．若x=y，则D．若x＜y，则x2＜y2考点：四种命题的真假关系．专题：简易逻辑．分析：逐一判断即可．解答：解：A、由得=0，则x=y，为真命题；B、由x2=1得x=±1，x不一定为1，为假命题；C、若x=y，不一定有意义，为假命题；D、若x＜y＜0，x2＞y2，为假命题；故选A．点评：本题较简单，A显然正确，其它可不看．2．（5分）已知向量=（x﹣1，2），=（2，1），则⊥的充要条件是（）A．x=﹣B．x=﹣1 C．x=5 D．x=0考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：直接利用向量垂直的充要条件，通过坐标运算求出x的值即可．解答：解：因为向量=（x﹣1，2），=（2，1），⊥，所以2（x﹣1）+2=0，解得x=0．故选D．点评：本题考查向量垂直条件的应用，充要条件的应用，考查计算能力．3．（5分）命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tan α≠1 B．若α=，则tan α≠1C．若tan α≠1，则α≠D．若tan α≠1，则α=考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，直接写出它的逆否命题即可．解答：解：命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”．故选：C．点评：本题考查了命题和它的逆否命题之间的关系的应用问题，解题时应根据四种命题之间的关系进行解答，是基础题．4．（5分）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）A．y2=±4x B．y2=4x C．y2=±8x D．y2=8x考点：抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据抛物线方程表示出F的坐标，进而根据点斜式表示出直线l的方程，求得A的坐标，进而利用三角形面积公式表示出三角形的面积建立等式取得a，则抛物线的方程可得．解答：解：抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F坐标为，则直线l的方程为，它与y轴的交点为A，所以△OAF的面积为，解得a=±8．所以抛物线方程为y2=±8x，故选C．点评：本题主要考查了抛物线的标准方程，点斜式求直线方程等．考查学生的数形结合的思想的运用和基础知识的灵活运用．5．（5分）设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=（）A．e2B．e C．D．ln2考点：导数的乘法与除法法则．分析：利用乘积的运算法则求出函数的导数，求出f'（x0）=2解方程即可．解答：解：∵f（x）=xlnx∴∵f′（x0）=2∴lnx0+1=2∴x0=e，故选B．点评：本题考查两个函数积的导数及简单应用．导数及应用是高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分．6．（5分）双曲线﹣=1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A．B．2C．3D．6考点：双曲线的简单性质；点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：求出渐近线方程，再求出圆心到渐近线的距离，根据此距离和圆的半径相等，求出r．解答：解：双曲线的渐近线方程为y=±x，即x±y=0，圆心（3，0）到直线的距离d==，∴r=．故选A．点评：本题考查双曲线的性质、点到直线的距离公式．7．（5分）设图F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：要求离心率，即求系数a，c间的关系，因此只需用系数将题目已知的条件表示出来即可．本题涉及到了焦点弦问题，因此注意结合定义求解．解答：解：由双曲线的定义得：|PF1|﹣|PF2|=2a，（不妨设该点在右支上）又|PF1|+|PF2|=3b，所以，两式相乘得．结合c2=a2+b2得．故e=．故选B点评：本题考查了双曲线的定义，离心率的求法．主要是根据已知条件找到a，b，c之间的关系化简即可．8．（5分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．解答：解：|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选D．点评：本题考查椭圆的简单性质，求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题．9．（5分）已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．2B．3C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系；点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：先确定x=﹣1为抛物线y2=4x的准线，再由抛物线的定义得到P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F（l2，0）的距离，进而转化为在抛物线y2=4x上找一个点P使得P到点F（l2，0）和直线l2的距离之和最小，再由点到线的距离公式可得到距离的最小值．解答：解：直线l2：x=﹣1为抛物线y2=4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F（l2，0）的距离，故本题化为在抛物线y2=4x上找一个点P使得P到点F（l2，0）和直线l2的距离之和最小，最小值为F（l2，0）到直线l2：4x﹣3y+6=0的距离，即d=，故选A．点评：本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，考查基础知识的综合应用．圆锥曲线是高考的热点也是难点问题，一定要强化复习．10．（5分）△ABC的顶点A（﹣5，0），B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C 的轨迹方程是（）A．﹣=1 B．=1C．﹣=1（x＞3）D．=1（x＞4）考点：轨迹方程．专题：计算题；数形结合．分析：根据图可得：|CA|﹣|CB|为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，从而写出其方程即得．解答：解：如图设△ABC与圆的切点分别为D、E、F，则有|AD|=|AE|=8，|BF|=|BE|=2，|CD|=|CF|，所以|CA|﹣|CB|=8﹣2=6．根据双曲线定义，所求轨迹是以B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为﹣=1（x＞3）．故选C点评：本题考查轨迹方程，利用的是定义法，定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．三、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.11．（5分）若a≤b，则ac2≤bc2，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是2．考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：首先，判断原命题为假命题，然后，分别写出它的其它三种形式的命题，然后，分别判断真假．解答：解：若a≤b，则ac2≤bc2，为真命题；逆命题为：若ac2≤bc2，则a≤b，为假命题；否命题：若a＞b，则ac2＞bc2，为假命题；逆否命题：若ac2＞bc2，则a＞b，为真命题；故正确命题的个数为2，故答案为：2．点评：本题重点考查了四种命题的真假判断，属于中档题．12．（5分）“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的必要不充分条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据复合命题之间的关系进行判断即可．解答：解：若“p或q”为真命题，则p，q至少有一个为真，则此时“p且q”不一定为真命题，若“p且q”为真命题，则p，q同时为真，必要性成立，故“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的必要不充分条件，故答案为：必要不充分点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复合命题之间的关系是解决本题的关键．13．（5分）如果直线l将圆C：（x﹣2）2+（y+3）2=13平分，那么坐标原点O到直线l的最大距离为．考点：直线与圆的位置关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先考虑斜率不存在时，的情况，再看斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离建立关于k的一元二次方程，利用判别式法求得d的范围．解答：解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=2，原点到直线l的距离为2，当斜率存在时，设为k，则直线的方程为y+3=k（x﹣2），整理得kx﹣y﹣2k﹣3=0，原点到直线l的距离d=，d2=，整理得（4﹣d2）k2+12k+9﹣d=0，△=144﹣4（4﹣d2）（9﹣d）≥0，求得0＜d≤，故坐标原点O到直线l的最大距离为．故答案为：点评：本题主要考查了直线的位置关系．解题的过程中不要忘了斜率不存在的情况．14．（5分）若函数存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是2，+∞）点评：本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于切点为该点的切线的斜率．15．（5分）椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，∠F1PF2的大小为120°．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由|PF1|+|PF2|=6，且|PF1|=4，易得|PF2|，再利用余弦定理，即可求得结论．解答：解：∵|PF1|+|PF2|=2a=6，|PF1|=4，∴|PF2|=6﹣|PF1|=2．在△F1PF2中，cos∠F1PF2==﹣，∴∠F1PF2=120°．故答案为：120°点评：本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．16．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p=2．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：抛物线的方程可求得焦点坐标，进而根据斜率表示出直线的方程，与抛物线的方程联立消去y，进而根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而利用配方法求得|x1﹣x2|，利用弦长公式表示出段AB的长求得p．解答：解：由题意可知过焦点的直线方程为，联立有，∴x1+x2=3p，x1x2=∴|x1﹣x2|==又求得p=2故答案为2点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．涉及直线与抛物线的关系时，往往是利用韦达定理设而不求．17．（5分）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的最大值是+1．考点：参数方程化成普通方程；向量在几何中的应用．专题：坐标系和参数方程．分析：由题意可得，点D在以C（3，0）为圆心的单位圆上，设点D的坐标为（3+cosθ，sinθ），求得|++|=．根据4cosθ+2sinθ的最大值为=2，可得|++|的最大值．解答：解：由题意可得，点D在以C（3，0）为圆心的单位圆上，设点D的坐标为（3+cosθ，sinθ），则|++|==．∵4cosθ+2sinθ的最大值为=2，∴|++|的最大值是=+1，故答案为：+1．点评：本题主要考查参数方程的应用，求向量的模，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（6分）已知命题P：函数y=log a（1﹣2x）在定义域上单调递增；命题Q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立．若P∨Q是真命题，求实数a的取值范围．考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题．分析：根据对数函数的函数性，复合函数的单调性，我们可以可以得到命题P为真时，实数a的取值范围；根据二次不等式恒成立的条件，我们可以得到命题Q成立时，实数a的取值范围；再根据P∨Q是真命题时，两个命题中至少一个为真，进而可以求出实数a的取值范围．解答：解：∵命题P函数y=log a（1﹣2x）在定义域上单调递增；∴0＜a＜1（3分）又∵命题Q不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立；∴a=2（2分）或，（3分）即﹣2＜a≤2（1分）∵P∨Q是真命题，∴a的取值范围是﹣2＜a≤2（5分）点评：本题考查的知识点是命题真假判断与应用，其中根据对数函数的函数性，复合函数的单调性，及二次不等式恒成立的条件，判断命题P与Q的真假是解答本题的关键．19．（6分）已知命题p：方程2x2+ax﹣a2=0在上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x02+2ax+2a≤0，若命题“p∨q”是假命题，求a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：推理和证明．分析：首先求出命题p与q的等价命题，再根据命题“p∨q”是假命题求解即可．解答：解：由2x2+ax﹣a2=0，得（2x﹣a）（x+a）=0，∴x=或x=﹣a，∴当命题p为真命题时，||≤1或|﹣a|≤1，∴|a|≤2．即p⇔﹣2≤a≤2又“只有一个实数x0满足不等式x+2ax0+2a≤0”，即抛物线y=x2+2ax+2a与x轴只有一个交点，∴△=4a2﹣8a=0，∴a=0或a=2．即q⇔a=0或a=2．∴命题“p∨q”为真命题时，|a|≤2．∵命题“p∨q”为假命题，∴a＞2或a＜﹣2．即a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．点评：本题借助命题考查才一元二次方程的区间根问题，属于基础题．20．（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为且过点（4，﹣）（Ⅰ）求双曲线方程；（Ⅱ）若点M（3，m）在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；（Ⅲ）由（Ⅱ）的条件，求△F1MF2的面积．考点：双曲线的标准方程；圆与圆锥曲线的综合．专题：计算题．分析：（1）双曲线方程为x2﹣y2=λ，点代入求出参数λ的值，从而求出双曲线方程，（2）先求出•的解析式，把点M（3，m）代入双曲线，可得出•=0，即可证明．（3）求出三角形的高，即m的值，可得其面积．解答：解：（Ⅰ）∵离心率e=∴设所求双曲线方程为x2﹣y2=λ（λ≠0）则由点（4，﹣）在双曲线上知λ=42﹣（﹣）2=6∴双曲线方程为x2﹣y2=6（Ⅱ）若点M（3，m）在双曲线上则32﹣m2=6∴m2=3由双曲线x2﹣y2=6知F1（2，0），F2（﹣2，0）∴∴，故点M在以F1F2为直径的圆上．（Ⅲ）S△F1MF2=×2C×|M|=C|M|=2×=6点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用．解答的关键是对双曲线标准方程的理解和向量运算的应用．21．（13分）已知椭圆C：x2+2y2=4．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．考点：椭圆的简单性质；两点间的距离公式．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2=4化为标准方程为，求出a，c，即可求椭圆C的离心率；（Ⅱ）先表示出线段AB长度，再利用基本不等式，求出最小值．解答：解：（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2=4化为标准方程为，∴a=2，b=，c=，∴椭圆C的离心率e==；（Ⅱ）设A（t，2），B（x0，y0），x0≠0，则∵OA⊥OB，∴=0，∴tx0+2y0=0，∴t=﹣，∵，∴|AB|2=（x0﹣t）2+（y0﹣2）2=（x0+）2+（y0﹣2）2=x02+y02++4=x02+++4=+4（0＜x02≤4），因为≥4（0＜x02≤4），当且仅当，即x02=4时等号成立，所以|AB|2≥8．∴线段AB长度的最小值为2．点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．22．（14分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C 位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=．（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？考点：圆的切线方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）在四边形AOCB中，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，设出AF，然后通过解直角三角形列式求解BE，进一步得到CE，然后由勾股定理得答案；（2）设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，设OM=xm，把PC、PQ用含有x的代数式表示，再结合古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m列式求得x的范围，得到x取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大．解答：解：（1）如图，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，∵∠ABC=90°，∠BEC=90°，∴∠ABF=∠BCE，∴．设AF=4x（m），则BF=3x（m）．∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°，∴OE=AF=4x（m），EF=AO=60（m），∴BE=（3x+60）m．∵，∴CE=（m）．∴（m）．∴，解得：x=20．∴BE=120m，CE=90m，则BC=150m；（2）如图，设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，∵∠POM=∠PQC=90°，∴∠PMO=∠BCO．设OM=xm，则OP=m，PM=m．∴PC=m，PQ=m．设⊙M半径为R，∴R=MQ=m=m．∵A、O到⊙M上任一点距离不少于80m，则R﹣AM≥80，R﹣OM≥80，∴136﹣﹣（60﹣x）≥80，136﹣﹣x≥80．解得：10≤x≤35．∴当且仅当x=10时R取到最大值．∴OM=10m时，保护区面积最大．点评：本题考查圆的切线，考查了直线与圆的位置关系，解答的关键在于对题意的理解，是中档题．23．（14分）设抛物线Γ：y2=2px（p＞0）过点（t，）（t是大于0的常数）．（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）若F是抛物线Γ的焦点，斜率为1的直线交抛物线Γ于A，B两点，x轴负半轴上的点C，D 满足|FA|=|FC|，|FD|=|FB|，直线AC，BD相交于点E，当时，求直线AB的方程．考点：抛物线的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）根据抛物线R：y2=2px（p＞0）过点（t，），求出p，即可得出抛物线Γ的方程；（Ⅱ）设直线AB的方程为y=x﹣m代入抛物线方程，可得x2﹣2（m+1）x+m2=0，求出直线AC、BD的方程，可得E的坐标，求出相应三角形的面积，利用，即可求直线AB的方程．解答：解：（Ⅰ）∵抛物线R：y2=2px（p＞0）过点（t，），∴2t=2pt，∴p=1，∴抛物线R的方程为y2=2x；（Ⅱ）设直线AB的方程为y=x﹣m，A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程代入抛物线方程，可得x2﹣2（m+1）x+m2=0，△=8m+4＞0，∴m＞﹣，x1+x2=2（m+1），x1x2=m2，∴|x1﹣x2|=2，y1+y2=2，y1y2=﹣2m，∵|FA|=|FC|，∴x C=﹣x1，∴k AC==，直线AC的方程为x﹣y1y+x1=0，①同理直线BD的方程为x﹣y2y+x2=0，②由①②可得E（﹣m，1），∴S△AEF=（+x1）（y1﹣1），S△BEF=（+x2）（y2﹣1），∴S△AEF S△BEF=（2m+1），在△ABF中，|AB|=|x1﹣x2|=2，F到直线AB的距离为d=，∴S△ABF=|2m﹣1|∵，∴=，∴m=或m=﹣，∴直线AB的方程为y=x﹣或y=x+．点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
湖北省武汉市二中2014-2015学年高二上学期期中考试理科数学试卷(解析版)
湖北省武汉市二中2014-2015学年高二上学期期中考试理科数学试卷（解析版）一、选择题1．直线043:=-+y x l 与圆4:22=+y x C 的位置关系是 （ ） A.相交且过圆心 B.相交不过圆心 C.相切 D.相离 【答案】C 【解析】试题分析：∵圆C 的圆心为（0，0），半径2r =，而圆心到直线l 的距离2d r ===所以直线l 与圆C 相切考点：直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式 2．已知y x ,之间的几组数据如下表假设根据上表数据所得线性回归方程为11a x b y +=, 某同学根据上表中前两组数据 求得的直线方程为22a x b y +=, 则以下结论正确的是 （ ） A.2121,a a b b >> B.2121,a a b b <> C.2121,a a b b >< D.2121,a a b b << 【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知6n =，713,26x y == 12713043121524666267351491625366()2b +++++-⨯⨯==+++++-⨯，122930a =， 而由直线方程的求解可得22b =，把(1,0)代入可得22a =-， ∴1212,b b a a <>考点：线性回归方程的求解3．下图是一个程序框图, 则输出的结果为 （ ）A.20B.14C.10D.7 【答案】A 【解析】试题分析：由程序框图知：第一次循环1,5i a ==; 第二次循环2,14i a ==； 第三次循环3,7i a ==； 第四次循环4,20i a ==； 第五次循环5,10i a ==；第六次循环6,5i a ==；……，输出的a 值的周期为5∵跳出循环的i 值为2015，∴第2014次循环的20a =. 考点：循环结构的程序框图4．统计中国足球超级联赛甲、乙两支足球队一年36次比赛中的结果如下 甲队平均每场比赛丢失5.1个球, 全年比赛丢失球的个数的标准差为2.1; 乙队全年丢失了79个球, 全年比赛丢失球的个数的方差为6.0.据此分析 ①甲队防守技术较乙队好; ②甲队技术发挥不稳定; ③乙队几乎场场失球;④乙队防守技术的发挥比较稳定. 其中正确判断的个数是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】试题分析：因为甲队平均每场比赛丢失1.5个球，乙队全年丢失了79个球，乙队平均每场比赛丢失7912， 所以甲队技术比乙队好，故①正确；因为甲队比赛丢失球的个数的标准差为1.2，全年比赛丢失球的个数的方差为0.6.所以乙队发挥比甲队稳定，故②正确；乙队几乎场场失球，甲队表现时好时坏，故③④正确， 考点：平均数，方差，标准差5．题文天气预报说, 在今后的三天中, 每三天下雨的情况不完全相间, 每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率 用1, 2, 3, 4表示下雨, 从下列随机数表的第1行第2列开始读取直到末尾从而获得N 个数据.据此估计, 这三天中恰有两天下雨的概率近似为 （ ）19 07 96 61 91 92 52 71 93 28 12 45 85 69 19 16 83 43 12 57 39 30 27 55 64 88 73 01 13 53 79 89 A.236 B.216C.41D.非ABC 的结果【答案】C【解析】 试题分析：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下36组随机数， 在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：192、193、281、245、393、125、302、011、353，共9组随机数，所以所求概率为90.2536= 考点：随机数的含义与应用6．如果圆8)()(22=-+-a y a x 上总存在到原点的距离为2的点, 则实数a 的取值范围是 （ ）A.)3,1()1,3(⋃--B.)3,3(-C.[－1, 1]D.]3,1[]1,3[⋃-- 【答案】D 【解析】试题分析：圆22()()8x a y a -+-=的圆心(,)a a ，半径r =由于圆22()()8x a y a -+-=∴≤≤∴1||a ≤≤解得13a ≤≤或31a -≤≤-∴实数a 的取值范围是[3,1][1,3]-- 考点：点到直线的距离公式，圆的标准方程7．若P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）=1,则事件A 与B 的关系是 （ ）A.互斥不对立B.对立不互斥C.互斥且对立D.以上答案都不对 【答案】D 【解析】试题分析：若是在同一试验下，由P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）=1，说明事件A 与事件B 一定是对立事件；但若在不同实验下，虽有P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）=1，但事件A 和B 不一定对立，所以事件A 与B 的关系是不确定的 考点：互斥事件与对立事件 8．已知直线1+=bkxb y 与圆10022=+y x 有公共点, 且公共点的横坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有 （ ）A.60条B.66条C.70条D.71条 【答案】A 【解析】 试题分析：22100x y +=，整点为(0,10)±，(6,8)±±，(8,6)±±，(10,0)±，如图，共12个点，直线1x ya b+=（a,b 为非零实数），∴直线与x,y 轴不平行，不经过原点，任意两点连线有212C 条，与x,y 轴平行的有14条，经过原点的有6条，其中有两条既过原点又与x,y 轴平行，所以共有212C +12-14-6+2=60考点：圆与圆锥曲线综合 9．我班制定了数学学习方案 星期一和星期日分别解决4个数学问题, 且从星期二开始, 每天所解决问题的个数与前一天相比, 要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”.在一周中每天所解决问题个数的不同 方案共有（ ）A.50种B.51种C.140种D.141种 【答案】D【解析】 试题分析：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，所以后面六天中解决问题个数“多一个”或“少一个”的天数可能是0、1、2、3天，共四种情况，所以共有01122336656463141C C C C C C C +++=种考点：排列组合问题10．如图, 在四面体ABCD 中, E, F 分别为AB, CD 的中点, 过EF 任作一个平面α分别与直线BC, AD相交于点G, H, 有下列四个结论, 其中正确的个数是（ ）①对于任意的平面α, 都有直线GF, EH, BD 相交于同一点;②存在一个平面0α, 使得点G 在线段BC 上, 点H 在线段AD 的延长线上;③对于任意的平面α, 它把三棱锥的体积分成相等的两部分 A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B 【解析】试题分析：①取AD 的中点H ，BC 的中点G ，则EGFH 在一个平面内，此时直线GF ∥EH ∥BD ，因此不正确；②不存在一个平面0α，使得点G 在线段BC 上，点H 在线段AD 的延长线上；③对于任意的平面α，当G ，H 在线段BC ，AD 上时，可以证明几何体AC-EGFH 的体积是四面体ABCD 体积的一般，故③正确. 考点：棱柱、棱台、棱锥的体积二、填空题 11．武汉2中近3年, 每年有在校学生2222人, 每年有22人考取了北大清华, 高分率稳居前“2”, 展望未9年前景美好.把三进制数3)22222222(化为九进制数的结果为 . 【答案】9(8888) 【解析】试题分析：012345673(22222222)23232323232323236560=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∵0123656089898989=⨯+⨯+⨯+⨯，∴把三进制数3(22222222)化为九进制数的结果是9(8888)考点：进位制 12．某人有4把钥匙, 其中2把能打开门, 现随机地取1把钥匙试着开门, 不能开门就把钥匙放在旁边, 他第二次才能打开门的概率是 . 【答案】13【解析】试题分析：第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门的概率为221433⨯= 考点：相互独立事件的概率乘法公式 13．已知)1,0(,∈y x , 则1212222222+-+++-+++x y x y y x y x 22222+--++y x y x 的最小值为 .【答案】【解析】试题分析：从所给式子的几何意义考虑，即找点(,)x y 到（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）四点的距离之和最小（其中)1,0(,∈y x ），显然当2x =，2y =时距离之和最小为考点：两点间距离公式的应用14．集合}1)1()1(|),{(},1|1||||),{(22≤-+-=≤-+-=y x y x B y a x y x A ,若集合∅=B A , 则实数a 的取值范围是 . 【答案】[1,3] 【解析】试题分析：先分别画出集合{(,)||||1|1}A x y x a y =-+-≤，22{(,)|(1)(1)1}B x y x y =-+-≤表示的平面图形，集合A 表示一个正方形，集合B 表示一个圆.如图所示，其中(1,1)A a +，(1,1)B a -，欲使A B =∅，只须A 或B 点在圆内即可，∴22(11)(11)1a +-+-≤或22(11)(11)1a --+-≤，解得：11a -≤≤或13a ≤≤，即13a -≤≤ 考点：简单的线性规划问题15．如图, P 为60的二面角βα--l 内一点, P 到二面角两个面的距离分别为2、3, A 、B 是二面角的两个面内的动点,则△PAB 周长的最小值为 .【答案】 【解析】 试题分析：如图，作出P 关于两个平面,αβ的对称点M 、N ，连接MN ，线段MN 与两个平面的交点坐标分别为C ，D ，连接MP ，NP ，CP ，DP ，则△PAB 的周长L=PA+PB+AB=AM+AB+BN,当A 与C 重合，B 与D 重合时，由两点只见线段最短可以得出MN 即为△PAB 周长的最小值，根据题意可知：P 到二面角两个面的距离分别为2、3，∴MP=4，NP=6，∵大小为60°的二面角l αβ--，∴∠EOF=60°，∴∠MPN=120° 根据余弦定理有：2222MN MP NP MP NP COS MPN =+-⋅⋅∠22146246()762=+-⨯⨯⨯-=∴MN =∴△PAB 周长的最小值等于考点：三角形周长的最小值求法，二面角的定义和求法.三、解答题 16．（本小题满分12分）下图是调查某地某公司1000名员工的月收入后制作的直方图.（1）求该公司员工的月平均收入及员工月收入的中位数;（2）在收入为1000至1500元和收入为3500至4000元的员工中用分层抽样的方法抽取一个容量15的样本, 员工甲、乙的月收入分别为1200元、3800元, 求甲乙同时被抽到的概率.【答案】（1）平均收入为2400，中位数为2400； （2）甲、乙同时被抽到的概率为1001【解析】试题分析：（1）利用组中值，可得该公司员工的月平均收入及员工月收入的中位数；（2）月收入在1000至1500元之间的有100人，月收入在3500元至4000元之间的有50人，由分层抽样可知甲、乙同时被抽到的概率. 试题解析：（1）可求出第一个小矩形的高度为0.0002 平均收入为=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯375005.0325015.0275025.0225025.017502.012501.02400元 中位数为2400元（面积分为相等的两部分; （3分）（2）月收入在1000至1500元之间的有100人, 月收入在3500元至4000元之间的有50人, 由分层抽样可知, 甲、乙同时被抽到的概率为1001 考点：频率分布直方图 17．（本小题满分12分）标号为0到9的10瓶矿泉水.（1）从中取4瓶, 恰有2瓶上的数字相邻的取法有多少种？ （2）把10个空矿泉水瓶挂成如下4列的形式, 作为射击的靶子, 规定每次只能射击每列最下面的一个（射中后这个空瓶会掉到地下）, 把10个矿泉水瓶全部击中有几种不同的射击方案？（3）把击中后的矿泉水瓶分送给A 、B 、C 三名垃圾回收人员, 每个瓶子1角钱.垃圾回收人员卖掉瓶子后有几种不同的收入结果？ 【答案】（1）35种；（2）25200；（3）66. 【解析】 试题分析：（1）取4张红卡，其中2张连在一起，组成3个组合卡，6张白卡排成一排，插入3个组合卡，有3537=C 种方法，即可得出结论；（2）一种射击方案对应于从0至9共十个数字中取2个、3个、3个、2个数字的组合，因为每组数的数字大小是固定的，数字小的挂下面，可得结论；（3）由于A 、B 、C 所得钱数与瓶子编号无关，他们所得钱数只与所得瓶子个数有关，即可得出结论 试题解析：（1）取4张红卡, 其中有2张连在一起, 组成3个组合卡, 6张白卡排成一排, 插入3个组合卡, 有3537=C 种方法, 然后在卡片上从左到右依次编号, 取出红色卡, 一种插法对应一种取数字的方法, 所以共有35种.（2）一种射击方案对应于从0至9共十个数字中取2个、3个、3个、2个数字的组合, 因为每组数的数字大小是固定的, 数字小的挂下面.所以共有252003538210=C C C .（3）由于A 、B 、C 所得钱数与瓶子编号无关, 他们所得钱数只与所得瓶子个数有关.所以66212=C .考点：考查排列、组合的实际应用18．（本小题满分12分）如图, 已知圆M ()2244x y +-=, 直线l 的方程为20x y -=,点P 是直线l 上一动点, 过点P 作圆的切线PA 、PB , 切点为A 、B ．（1）当P 的横坐标为165时, 求∠APB 的大小; （2）求证 经过A 、P 、M 三点的圆N 必过定点, 并求出所有定点的坐标． 【答案】（1）∠APB ＝60°；（2）84(0,4),,55⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】试题分析：（1）由题设可知，圆M 的半径2r =，168(,)55P ，∠MAP=90°，根据MP=2r ，可得∠MPA=30°，从而可求∠APB 的大小；（2）设P 的坐标，求出经过A 、P 、M 三点的圆的方程即可得到圆过定点. 试题解析：解 （1）由题可知, 圆M 的半径r ＝2, 168(,)55P , 因为PA 是圆M 的一条切线, 所以∠MAP ＝90°又因MP＝4=＝2r, 又∠MPA ＝30°, ∠APB ＝60°; （6分）（2）设P （2b, b ）, 因为∠MAP ＝90°, 所以经过A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径, 方程为 ()()222244424b b b x b y +-+⎛⎫-+-=⎪⎝⎭即()22(24)40x y b x y y +--+-= 由2224040x y x y y +-=⎧⎨+-=⎩, 解得04x y =⎧⎨=⎩或8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 所以圆过定点84(0,4),,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ 考点：直线与圆的综合问题，圆过定点，19．（本小题满分12分）边长为2的正方形ABCD 中, BC F AB E ∈∈,（1）如果E 、F 分别为AB 、BC 中点, 分别将△AED 、△DCF 、△BEF 沿ED 、DF 、FE 折起, 使A 、B 、C 重合于点P.证明 在折叠过程中, A 点始终在某个圆上, 并指出圆心和半径.（2）如果F 为BC 的中点, E 是线段AB 上的动点, 沿DE 、DF 将△AED 、△DCF 折起,使A 、 C 重合于点P, 求三棱锥P －DEF 体积的最大值.【答案】（1）证明见解析，A 在以M 为圆心, AM 为半径的圆上.（2 【解析】试题分析：（1）根据三角形在折叠过程的点的变化，即可得到结论.（2）根据线面垂直的性质，结合三棱锥的体积公式即可得到结论.试题解析：（1）解：∵E 、F 分别为正方形边AB 、BC 中点, 在平面图中连接AF, BD 交于O 点, AF 交DE 于M, 可知O为三角形DEF 的垂心.三角形AED 在沿DE 折叠过程中, AM 始终垂直于DE, ∴A 在过M 且与DE 垂直的平面上, 又AM ＝52, ∴A 在以M 为圆心, AM 为半径的圆上. （2）∵PD ⊥PF, PD ⊥PE, ∴PD 垂直于平面PEF, 所以当三角形PEF 面积最大时, 三棱锥P －DEF 体积最大.设PE ＝t,α=∠EPF ,αcos 211)2(22t t t -+=+-,tt 22cos -=α 48321)22(12122-+-=--=∆t t t t t S PEF , 当34=t 时932max =V . 考点：空间几何体的折叠问题，三棱锥的体积计算20．（本小题满分14分）已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是边长为2的菱形, AC∩BD=O,AA 1=23, BD ⊥A 1A, ∠BAD=∠A 1AC=60°, 点M 是棱AA 1的中点.（1）求证 A 1C ∥平面BMD;（2）求证 A 1O ⊥平面ABCD;（3）求直线BM 与平面BC 1D 所成角的正弦值.【答案】（1）（2）证明详见试题分析（3【解析】试题分析：（1）连结MO ，由已知条件推导出MO//A1C,由此能证明（2）由已知条件推导出BD ⊥面A1AC ，12AO AC == （3）通过作辅助线确定直线MB 与平面1BDC 所成的角，然后求出其正弦值试题解析：（1）证明：连结MO ，∵1,AM MA AO OC ==，∴MO ∥1AC ，∵MO ⊂平面BMD ，1AC ⊄平面BMD ∴A 1C ∥平面BMD.（2）证明：∵1BD AA ⊥，BD AC ⊥，∴BD ⊥平面1A AC于是1BD AO ⊥，AC BD O =，∵AB=CD=2,∠BAD=60°，∴AO=12又∵1AA =160o AAC ∠=，∴1AO AC ⊥， 又∵1AO BD ⊥，∴1AO ⊥平面ABCD.（3）解：如图，以O 为原点，以OA 为x 轴，OB 为y 轴，1OA 为z 轴建立空间直角坐标系，由题意知1(0,0,3)A ，A ，(C (0,1,0)B ，(0,1,0)D -，∵11(AC AC ==-，∴1(C -∵3()22M，∴3()22MB =--，(0,2,0)DB =，1(1,3)BC =--， 设平面1BC D 的法向量为(,,)nx y z =，则12030n DB y n BC y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，取x =(3,0,2)n =∴332cos ,MB n --<>==∴直线BM 与平面1BC D =. 考点：立体几何的证明与求解21．（本小题满分13=5+5+3分）已知点),(00y x P 是圆:C 8)2()2(22=-+-y x 内一点（C 为圆心）, 过P 点的动弦AB.（1）如果)1,1(P , 72||=AB , 求弦AB 所在直线方程.（2）如果)1,1(P , 当PAC ∠最大时, 求直线AP 的方程.（3）过A 、B 作圆的两切线相交于点M , 求动点M 的轨迹方程.【答案】（1）1=y （2）1+-=x y （3）8)2)(2()2)(2(00=--+--y y x x【解析】试题分析：（1）当x AB ⊥轴时, 72=a , 此时1:=x AB , 由对称性知另一条弦所在的直线方程为1=y ；（2）由于以PC 为直径的圆在圆C 内, 所以角CAP 为锐角, 过C 作PA 的垂线, 垂足为N, 当xy zNC 最大时, 角CAP 最大；（3）求出圆C 在A 、B 处的切线方程，可得AB 的方程，点P 00(,)x y 在AB 上，即可得出结论.试题解析：（1）当x AB ⊥轴时, 72=a , 此时1:=x AB , 由对称性知另一条弦所在的直线方程为1=y（2）由于以PC 为直径的圆在圆C 内, 所以角CAP 为锐角, 过C 作PA 的垂线, 垂足为N, 当NC 最大时, 角CAP 最大, 又NC ≤PC, 所以当N 、P 重合时, PAC ∠最大, 此时PC PA ⊥, 故PA 的方程为 1+-=x y（3）因为过A 、B 的圆心的两条切线相交, 所以P 点异于圆心C.设),(,),(2211y x B y x A , ),(//y x M , 圆C 在A 、B 处的切线方程分别为 8)2)(2()2)(2(11=--+--y y x x , 8)2)(2()2)(2(22=--+--y y x x , 它们交于点M , 所以8)2)(2()2)(2(/1/1=--+--y y x x ,8)2)(2()2)(2(/2/2=--+--y y x x这两式表明 A 、B 两点在直线8)2)(2()2)(2(//=--+--y y x x 上, 即AB 的直线方程为8)2)(2()2)(2(//=--+--y y x x , P 在AB 上,所以8)2)(2()2)(2(/0/0=--+--y y x x所以M 的轨迹方程为 8)2)(2()2)(2(00=--+--y y x x考点：直线和圆的方程的应用。
湖北省武汉外国语学校2013-2014学年高二下学期期中考试 数学文试题 含答案
武汉外国语学校2013-2014学年度下学期期中考试高二数学（文科）试题考试时间:2014年4月25日上午10：00-12：00 命题人：赵亮 满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1。
已知i 是虚数单位，a ∈R．若复数2i 2ia a +-的虚部为1,则 a＝ （ ）A ．14B ．1C ．2 D．2±2。
函数f （x ）＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( ）A ．(0,1］B ．［1,＋∞）C ．(－∞,－1］∪(0,1］D ．[－1，0）∪（0，1］ 3。
已知某生产厂家的年利润y (单位:万元）与年产量x (单位：万件）的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（ ）A ．13万件B ．11万件C ．9万件 D ．7万件 4。
已知x >0,由不等式x ＋错误!≥2错误!＝2，x＋4x2＝错误!＋错误!＋错误!≥3错误!＝3，…，我们可以得出推广结论：x＋错误!≥n＋1(n∈N*),则a＝（）A．2nB．n2C．3nD．n n5。
已知x，y之间的数据如表所示，则回归直线过点( )A．(0，0) B．（2,1。
8) C．(3，2。
5) D．(4，3。
2）x 1 2 3 4 5y1。
2 1.8 2.5 3.2 3。
8 6．观察下列各图形:其中两个变量x、y具有相关关系的图是（)A．①② B．①④C．③④ D．②③7. 设)(x f在),0(+∞上是单调递增函数，当*Nn∈时，*)(Nnf∈，且12)]([+=nnff,则（）A．(4)6f=B．(4)4f=C．(4)5f=D．(4)7f=8. 函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数'()f x在（a,b）内的图象如图所示，则函数f(x）在开区间（a,b)内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9. 已知函数∈-=a x x a x f (sin )(R ），则下列错误．．的是（ ）A ．若11a -≤≤，则()f x 在R 上单调递减B ．若()f x 在R 上单调递减，则11a -≤≤C ．若1a =，则()f x 在R 上只有1个零点D ．若()f x 在R 上只有1个零点，则1a =10。
2013-2014学年湖北省武汉二中高一(上)期中数学试卷
2013-2014学年湖北省武汉二中高一（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，选出正确选项填在答题卡相应位置．）22．（5分）函数的定义域为（）3．（5分）已知f（x）=，则f（3）的值为（）4．（5分）（2013•乐山一模）下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）①③③③①②，．C D．6．（5分）已知函数f（x）=（﹣x2+ax+5）在（1，2）上是增函数，则a的取值范围是（）．D．7．（5分）f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若对任意的x1∈[﹣1，2]，存在x0∈[﹣1，2]，使g（x1）=f（x0），．C8．（5分）（2013•天津）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增．若实数a满足f（log2a）+f（log a）≤2f（1），则a的取值范围是（）C D﹣xC．＜x1x2＜1 ＜x1x2＜110．（5分）（淮南一模）已知函f（x）在R上是单调函数，且满足对任意x∈R，都有f[f（x）﹣2二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知：U={﹣1，2，3，6}，集合A⊆U，A={x|x2﹣5x+m=0}．若∁U A={2，3}，则m的值是_________．12．（5分）计算：﹣•log2+lg4+2lg5=_________．13．（5分）已知函数f（x）=ln（x2+ax+1）的定义域为R，函数g（x）=ln（x2+x+a）的值域为R，则实数a的取值范围是_________．14．（5分）已知函数的最大值为M，最小值为m，则M+m=_________．15．（5分）给出下列命题：①若函数在（﹣∞，+∞）上是减函数，则a的取值范围是；②若函数f（x）满足f（x+1）=f（3﹣x），则f（x）的图象关于直线x=2对称；③函数y=f（x+1）与函数y=f（3﹣x）的图象关于直线x=2对称；④若函数f（x+2013）=x2﹣2x﹣1（x∈R），则f（x）的最小值为﹣2．其中正确命题的序号有_________（把所有正确命题的序号都写上）．三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）设A={x|﹣x2+3x+10≥0}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A．（1）求A；（2）求实数m的取值范围．17．（12分）设函数y=f（x）且lg（lgy）=lg（3x）+lg（3﹣x）．（Ⅰ）求f（x）的解析式及定义域．（Ⅱ）求f（x）的值域．2000元后的余额，例如：某人月总收入2520元，减除2000元，应纳税所得额就是520元，由税率表知其中500元税率为5%，另20元的税率为10%，所以此人应纳个人所得税500×5%+20×10%=27元；（1）请写出月个人所得税y关于月总收入x（0＜x≤7000）的函数关系；（2）某人在某月交纳的个人所得税为190元，那么他这个月的总收入是多少元？19．（12分）已知函数，其中a是大于0的常数．（1）设，判断并证明g（x）在内的单调性；（2）当a∈（1，4）时，求函数f（x）在[2+∞）内的最小值；（3）若对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，试确定a的取值范围．20．（13分）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，使得对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立．（1）函数f（x）=x是否属于M？说明理由；（2）若函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，求证：f（x）=a x∈M；（3）设f（x）∈M，且T=2，已知当1＜x＜2时，f（x）=x+lnx，求当﹣3＜x＜﹣2时，f（x）的解析式．21．（14分）已知函数f（x）=|x|（x﹣a），a为实数．（1）当a=1时，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当a≤0时，指出函数f（x）的单调区间（不要过程）；（3）是否存在实数a（a＜0），使得f（x）在闭区间上的最大值为2．若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．2013-2014学年湖北省武汉二中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，选出正确选项填在答题卡相应位置．）22．（5分）函数的定义域为（）解：函数的定义域为：{x|3．（5分）已知f（x）=，则f（3）的值为（），4．（5分）（2013•乐山一模）下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）①③③③①②，．C D．，再由对数的运算法则知原式为=，可得答案．==6．（5分）已知函数f（x）=（﹣x2+ax+5）在（1，2）上是增函数，则a的取值范围是（）．）上大于零且是减函数，∴．解得﹣7．（5分）f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若对任意的x1∈[﹣1，2]，存在x0∈[﹣1，2]，使g（x1）=f（x0），．≤8．（5分）（2013•天津）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增．若实数a满足f（log2a）+f（log a）≤2f（1），则a的取值范围是（）可变为，即，解得≤﹣xC．＜x1x2＜1 ＜x1x2＜1＞综上所述，可得10．（5分）（2014•淮南一模）已知函f（x）在R上是单调函数，且满足对任意x∈R，都有f[f（x）﹣2x]=3，若则f二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）212．（5分）计算：﹣•log2+lg4+2lg5=20．×+lg13．（5分）已知函数f（x）=ln（x2+ax+1）的定义域为R，函数g（x）=ln（x2+x+a）的值域为R，则实数a的取，∴实数]]，14．（5分）已知函数的最大值为M，最小值为m，则M+m=0．化为===15．（5分）给出下列命题：①若函数在（﹣∞，+∞）上是减函数，则a的取值范围是；②若函数f（x）满足f（x+1）=f（3﹣x），则f（x）的图象关于直线x=2对称；③函数y=f （x+1）与函数y=f（3﹣x）的图象关于直线x=2对称；④若函数f（x+2013）=x2﹣2x﹣1（x∈R），则f（x）的最a对称，x=三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）设A={x|﹣x2+3x+10≥0}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A．17．（12分）设函数y=f（x）且lg（lgy）=lg（3x）+lg（3﹣x）．）﹣．目前，右表中“全月应纳税所得额”是从总收入中减除2000元后的余额，例如：某人月总收入2520元，减除2000元，应纳税所得额就是520元，由税率表知其中500元税率为5%，另20元的税率为10%，所以此人应纳个人所得税500×5%+20×10%=27元；（1）请写出月个人所得税y关于月总收入x（0＜x≤7000）的函数关系；y=19．（12分）已知函数，其中a是大于0的常数．（1）设，判断并证明g（x）在内的单调性；（2）当a∈（1，4）时，求函数f（x）在[2+∞）内的最小值；）分解因式，得到，通过讨论这个差的正负，得到）的结论，得到真数对应的函数变形，得到不等式）设在﹣11，，）在）设）知）上的最小值为，所以20．（13分）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，使得对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立．（1）函数f（x）=x是否属于M？说明理由；（2）若函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，求证：f（x）=a x∈M；∴方程组12）的解析式是21．（14分）已知函数f（x）=|x|（x﹣a），a为实数．（1）当a=1时，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当a≤0时，指出函数f（x）的单调区间（不要过程）；（3）是否存在实数a（a＜0），使得f（x）在闭区间上的最大值为2．若存在，求出a的值；若不存在，，），单调减区间为（）（＜）213。
湖北省武汉市部分重点中学2013-2014学年高二上学期期末考试数学理试卷Word版含答案
湖北省部分重点中学2013－2014学年度上学期高二期末考试数 学 试 卷命题人：武汉中学 陈国刚 审题人：洪山高中：徐义武一、 选择题（每小题5分，共50分）1. 两个三角形全等是这两个三角形相似的（ ）（A ）充分但不必要条件 （B ）必要但不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件 2. 命题“所有实数的平方是非负实数”的否定是（ ） （A ）所有实数的平方是负实数（B ）不存在一个实数，它的平方是负实数 （C ）存在一个实数，它的平方是负实数 （D ）不存在一个实数它的平方是非负实数3. 若椭圆经过原点，且焦点分别为12(0,1),(0,3)F F ，则其离心率为（ ）3211()()()()4324A B C D4. 若双曲线2214y x k+=的离心率(1,2)e ∈，则k 的取值范围是（ ）()(,0)()(3,0)()(12,0)()(60,12)A B C D -∞----5. 已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，那么127a a a +++=（ ）()2()0()2()1A B C D -6. 三名学生与两名老师并排站成一排。
如果老师甲必须排在老师乙的左边，且两名老师必须相邻，那么不同的排法共有（ ）种。
()60()48()36()24A B C D7. 若X 是离散型随机变量，1221(),()33P x x P x x ====，且12x x <，又已知42(),()39E x D x ==，则12x x +=（ ）5711()()()3()333A B C D8. 如果方程221(0,0)x y p q p q+=<<-表示双曲线，那么下列椭圆中，与这个双曲线共焦点的是（ ）2222()1()122x y x y A B q p q q p p+=+=-++2222()1()122x y x y C D p q q p q p+=+=-++9. 在平面直角坐标系中，若方程222(21)(23)m x y y x y +++=-+表示的曲线为椭圆，则m 的取值范围是（ ）()(0,1)()(1,)()(0,5)()(5,)A B C D +∞+∞10. 若椭圆22143x y +=上有n 个不同的点123,,,,n P P P P F 为右焦点，{}iPF 组成公差1100d >的等差数列，则n 的最大值为（ ） ()199()200()99()100A B C D二、 填空题（每小题5分，共25分）11. 与双曲线2244x y -=有共同的渐近线，并且经过点(2,3)的双曲线是 。
湖北省武汉市武汉中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
湖北省部分重点中学2014--2015学年度上学期高二期中考试理科数学试卷全卷满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为A ．25B ．30C ．31D ．61 2．已知集合}02|{2<--=x x x A ，}21lg|{+-==x xy x B ，在区间)3,3(-上任取一实数x ，则B A x ∈的概率为 A.31 B.41 C.81 D.121 3．某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过3次而 接通电话的概率为 A ．109 B ．103 C ．81 D ．1014．对某同学的6次数学测试成绩(满分100分)于该同学数学成绩的以下说法： ①中位数为84； ②众数为85； ③平均数为85； ④极差为12. 其中，正确说法的序号是A. ①②B.③④C. ②④D.①③5．为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K 2＝8.01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握性约为A.0.1% B ．1% C ．99% D ．99.9% 6．执行如下的程序框图，若输入的]1,0[∈x ，则输出的x 的范围是 A.[1,3]B.[3,7]C.[7,15]D.[15,31]7．一个几何体的三视图如上图所示，则该几何体的体积为A.32πB.34πC. 43πD.23π 8．设A 、B 、C 、D 是球面上的四点，AB 、AC 、A D 两两互相垂直，且3=AB ，4=AC ，11=AD ，则球的表面积为A.π36B.π64C. π100D. π144 9．下表是一位母亲给儿子作的成长记录：93.7319.7ˆ+=x y，给出下列结论： ① y 与x 具有正的线性相关关系；②回归直线过样本的中心点(42，117.1)； ③儿子10岁时的身高是83.145cm ；④儿子年龄增加1周岁，身高约增加19.7cm. 其中，正确结论的个数是A.1B.2C. 3D. 410．设点P 是函数2)1(4---=x y 图象上的任意一点，点)3,2(-a a Q (R ∈a )，则||PQ 的最小值为2 2 2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．某单位有职工200名，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号，…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第10组抽出的号码应是_________． 12．已知P 是ABC ∆所在平面内一点，0=++PA PC PB 2，现将一粒黄豆随机撒在ABC ∆内，则黄豆落在PBC ∆内的概率是_________．13．过点)2,1(P 引圆122=+y x 的两条切线，这两条切线与x 轴和y 轴围成的四边形的面积是_________．14．如图所示，1111D C B A ABCD -为正方体，给出以下五个结论：①//BD 平面11D CB ； ②1AC ⊥平面11D CB ；③1AC 与底面ABCD 所成角的正切值是2； ④二面角111C D B C --的正切值是2；⑤过点1A 且与异面直线AD 和 1CB 均成70°角的直线有2条． 其中，所有正确结论的序号为________．15．已知圆:M 1)sin ()cos (22=-++θθy x ，直线:l kx y =，给出下面四个命题：①对任意实数k 和θ，直线l 与圆M 有公共点；②对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与圆M 相切； ③对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与圆M 相切； ④存在实数k 与θ，使得圆M 上有一点到直线l 的距离为3. 其中，所有正确命题的序号是________.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）在一个盒子中装有6枝圆珠笔，其中3枝一等品，2枝二等品和1枝三等品，从中任取3枝，求：（Ⅰ）取出的3枝中恰有1枝一等品的概率；（Ⅱ）取出的3枝中一、二、三等品各一枝的概率；（Ⅲ）取出的3枝中没有三等品的概率.17．（本小题满分12分）已知圆:C 5)1(22=-+y x ，直线:l 01=-+-m y mx ，且直线l 与圆C 相交于A ，B 两点.（Ⅰ）若17||=AB ，求直线l 的倾斜角；（Ⅱ）若点)1,1(P 满足PB AP =2，求此时直线l 的方程。
2014-2015学年湖北省武汉市汉阳二中高二(上)12月月考数学试卷(文科)
2014-2015学年湖北省武汉市汉阳二中高二（上）12月月考数学试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知圆C的方程是x2+y2-8x-2y+10=0，过点M（3，0）的最短弦所在的直线方程是（）A.x+y-3=0B.x-y-3=0C.2x-y-6=0D.2x+y-6=0【答案】A【解析】解：圆x2+y2-8x-2y+10=0，即（x-4）2+（y-1）2=7，表示以C（4，1）为圆心，半径等于的圆，显然点M（3，0）在圆的内部，故当直线和CM垂直时，弦长最短，故最短的弦所在直线的斜率为==-1，故过点M（3，0）的最短弦所在的直线方程是y-0=-（x-3），即x+y-3=0，故选：A．由题意可得点M（3，0）在圆的内部，故当直线和CM垂直时，弦长最短，求出最短的弦所在直线的斜率，用点斜式求得过点M（3，0）的最短弦所在的直线方程．本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，用点斜式求直线的方程，属于基础题．2.在复平面内，复数（1-2i）2的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】解：在复平面内，复数（1-2i）2=-3-4i的共轭复数-3+4i对应的点（-3，4）位于第二象限，故选：B．利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，属于基础题．3.给出命题：“若x2+y2=0，则x=y=0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】D【解析】解：“若x2+y2=0，则x=y=0”，是真命题，其逆命题为：“若x=y=0，则x2+y2=0”是真命题，据互为逆否命题的两个命题真假相同，可知其否命题为真命题、逆否命题是真命题，故真命题的个数为3．故选：D．先写出其命题的逆命题，只要判断原命题和其逆命题的真假即可，根据互为逆否命题的两个命题真假相同，即可判定其否命题、逆否命题的真假．本题考查四种命题及真假判断，注意原命题和其逆否命题同真假，属容易题．4.如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是124，则判断框①处应填入的条件是（）A.n＞2B.n＞3C.n＞4D.n＞5【答案】C【解析】解答：解：由s=0，n=1得出s=（0+1）×1=1，n=2；由s=1，n=2得出s=（1+2）×2=6；由s=6，n=3得出s=（6+3）×3=27．由s=27，n=4得出s=（27+4）×4=124，n=5，此时不满足条件为输出结果，应终止循环，因此判定框①中应为n＞4．故选C．分别计算n=1，2，3，…时的s的值，直到满足S=124时，进而即可得出判定框①中的条件．点评：本题主要考查程序框图的识别和应用，正确理解循环结构和判断框的功能是解题的关键．5.对某同学的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学数学成绩的以下说法：①中位数为83；②众数为83；③平均数为85；④极差为12．其中，正确说法的序号是（）A.①②B.②③C.③④D.②④【答案】B【解析】解：将各数据按从小到大排列为：78，83，83，85，90，91．可见：中位数是=84，∴①是不正确的；众数是83，②是正确的；=85，∴③是正确的．极差是91-78=13，④不正确的．可见，只有选项B是正确的．极差是91-78=13．故选B根据统计知识，将数据按从小到大排列，可以发现，①不正确，不能选A，②正确不能选C，③正确只能选B本题借助茎叶图考查了统计的基本概念，属于基础题．得到的线性回归方程为，则（）A.a＞0，b＞0B.a＞0，b＜0C.a＜0，b＞0D.a＜0，b＜0【答案】B【解析】解：样本平均数=5.5，=0.25，∴（）=-24.5，2=17.5，∴b=-=-1.4，∴a=0.25-（-1.4）•5.5=7.95，故选：B．利用公式求出b，a，即可得出结论．本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．7.有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（）A.至多有1次中靶B.2次都中靶C.2次都不中靶D.只有1次中靶【答案】C【解析】解：由于两个事件互为对立事件时，这两件事不能同时发生，且这两件事的和事件是一个必然事件，再由于一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的反面为“2次都不中靶”，故事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”，故选C．根据对立事件的定义可得事件“至少有1次中靶”的对立事件．本题主要考查对立事件的定义，求一个事件的对立事件的方法，属于基础题．8.如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n（n＞1，n∈N*）个点，相应的图案中总的点数记为a n，则=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：每个边有n个点，把每个边的点数相加得3n，这样角上的点数被重复计算了一次，故第n个图形的点数为3n-3，即a n=3n-3．令S n==++…+=1-+-+…+-=∴=故选B．根据图象的规律可得出通项公式a n，根据数列{}的特点可用列项法求其前n项和的公式，而是前2011项的和，代入前n项和公式即可得到答案．本题主要考查简单的和清推理，求等差数列的通项公式和用裂项法对数列进行求和问题，同时考查了计算能力，属中档题．9.在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：①2013∈[3]；②-2∈[2]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④当且仅当“a-b∈[0]”整数a，b属于同一“类”．其中，正确结论的个数为．（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】解：①∵2013÷5=402…3，∴2013∈[3]，故①正确；②∵-2=5×（-1）+3，∴-2∈[3]，故②错误；③∵整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③正确；④∵整数a，b属于同一“类”，∴整数a，b被5除的余数相同，从而a-b被5除的余数为0，反之也成立，故当且仅当“a-b∈[0]”整数a，b属于同一“类”．故④正确．正确的结论为①③④．故选：C．根据“类”的定义分别进行判断即可．本题主要考查新定义的应用，利用定义正确理解“类”的定义是解决本题的关键．10.已知直线l1：y=x和l2：y=-x，对于任意一条直线l：y=kx进行变换，记该变换为R，得另一条直线R（l）．变换R为：先经l1反射，所得直线（即以l1为对称轴，l 的轴对称图形）再经l2反射，得到R（l）．令R（1）=R（l），对于n≥2定义R（n）（l）=R（R（n-1）（l）），则使得R（m）（l）=l恒成立的最小正整数m为（）A.2B.3C.4D.6【答案】B【解析】解：设直线l：y=kx的倾斜角为α（0＜α＜），则经l1反射，所得直线的倾斜角为-α，经l2反射，所得直线的倾斜角为+α，即R（1）（l）的倾斜角为+α；经l1反射，所得直线的倾斜角为π-α，经l2反射，所得直线的倾斜角为-α，即R（2）（l）的倾斜角为-α；经l1反射，所得直线的倾斜角为+α，经l2反射，所得直线的倾斜角为α，即R（3）（l）的倾斜角为α．故使得R（m）（l）=l恒成立的最小正整数m为3．故选：B．利用对称性，即可得出结论．本题考查与直线关于点、直线对称的直线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)11.某中学高一年级有学生600人，高二年级有学生450人，高三年级有学生750人，每个学生被抽到的可能性均为0.2，若该校取一个容量为n的样本，则n= ______ ．【答案】360【解析】解：因为每人被抽取的机率为0.2，所以=0.2，∴n=360．故答案为360．题目给出了各层的人数，则总容量可求，用样本容量除以总容量等于0.2可求样本容量．本题考查了分层抽样，分层抽样中，每个个体被抽取的可能性是相等的．12.一个k进制数132与十进制数30相等，那么k等于______ ．【答案】4【解析】解：由题意可得：1×k2+3×k+2=30整理可得：k2+3k-28=0即有：（k+7）（k-4）=0从而解得：k=-7排除，k=4故答案为：4．由题意可得：1×k2+3×k+2=30，即可解得k的值．本题主要考察了进制数之间的互化，属于基本知识的考查．13.已知直线l：y=x-1，点A（1，2），B（3，1），若在直线l上存在一点P，使得|PA|-|PB|最大，则点P坐标为______ ．【答案】（3，2）【解析】解：作点A关于直线l的对称点C，作直线BC交l于P点，此时||PB|-|PA||最大，则点P为所求点．设C（a，b），则满足AC⊥l，∵直线y=x-1的斜率k=1，则，解得a=3，b=0，即C（3，0）．此时直线BC的方程为x=3，由点P在直线l：y=x-1上，从而解得x=3，y=2，即P（3，2），故答案为：（3，2）．作点A关于直线l的对称点C，作直线BC交l于P点，此时||PB|-|PA||最大，则点P为所求点．本题考查的是最短线路问题，解答此类题目的关键是根据轴对称的性质画出图形，再由两点之间线段最短的知识求解，本题属于中档题．14.多选题是标准化考试的一种题型，一般是从A、B、C、D四个选项中选出所有正确的答案才算答对，在一次考试中有一道多选题，甲同学不会，他随机猜测，则他答对此题的概率为______ ．【答案】【解析】解：因为正确答案的种数m=1，随机猜测的种数n==15，所以，他答对此题的概率P==．故答案为：．随机猜测的所有可能的种数为，由此利用古典概型及其概率计算公式能求出结果．本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，是基础题，对数学思维的要求较高．15.用[x]表示不超过x的最大整数，例如[-2.5]=-3，[2.5]=2，设函数f（x）=[x[x]]．（1）f（3.6）= ______ ；（2）若函数f（x）的定义域是[0，n），n∈N+，则其值域中元素个数为______ ．【答案】10；【解析】解：（1）∵函数f（x）=[x[x]]，∴f（3.6）=[3.6[3.6]]=[3.6×3]=[10.8]=10．（2）∵函数f（x）的定义域是[0，n），n∈N+，∴当0≤x＜1时，[x]=0，f（x）=[x[x]]=[x×0]=[0]=0，函数值有1个，当1≤x＜2时，[x]=1，f（x）=[x[x]]=[x×1]=[x]=1，函数值有1个，当2≤x＜3时，4≤2x＜6[x]=2，f（x）=[x[x]]=[x×2]=[2x]，能取到4，5，函数值有2个，当3≤x＜4时，9≤3x＜12，[x]=3，f（x）=[x[x]]=[x×3]=[3x]，能取到9，10，11，函数值有3个，当4≤x＜5时，16≤4x＜20，[x]=4，f（x）=[x[x]]=[x×4]=[4x]，能取到16，17，18，19，函数值有4个，…当n-1≤x＜n时，（n-1）2≤（n-1）x＜n（n-1），[x]=n-1，f（x）=[x[x]]=[x×（n-1）]=[（n-1）x]，能取到（n-1）2，（n-1）2+1，（n-1）2+2，…，n（n-1）-1，函数值有n-1个，∴值域中元素个数为：1+1+2+3+…+（n-1）=．故答案为：．本题（1）利用取整函数的规定，求出[3.6]的值，再求出[3.6[3.6]]的值，得到本题结论；（2）利用取整函数的规定，根据x∈[0，n），找出其函数值的取值规律，求出值域中元素个数，得到本题结论．本题考查了取整函数的定义及其应用，本题有一定的难度，属于中档题．16.在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1-x2|+|y1-y2|为两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到M（-1，0），N（1，0）两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形；④到M（-1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．其中正确的命题是______ ．（写出所有正确命题的序号）【答案】①③④【解析】解：到原点的“折线距离”等于1的点的集合{（x，y）||x|+|y|=1}，是一个正方形故①正确，②错误；到M（-1，0），N（1，0）两点的“折线距离”之和为4的点的集合是{（x，y）||x+1|+|y|+|x-1|+|y|=4}，故集合是面积为6的六边形，则③正确；到M（-1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合{（x，y）||x+1|+|y|-|x-1|-|y|=1}={（x，y）||x+1|-|x-1|=1}，集合是两条平行线，故④正确；故答案为：①③④先根据折线距离的定义分别表示出所求的集合，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可．本题主要考查了“折线距离”的定义，以及分析问题解决问题的能力，属于中档题．三、解答题(本大题共5小题，共65.0分)17.已知函数f（x）=sin2x-2cos2x++a．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）设x∈[0，]时，f（x）的最小值是-2，求f（x）的最大值．【答案】解析：（1）f（x）=sin2x-（1+cos2x）++a=sin2x-cos2x+a=2sin（2x-）+a，令2kπ+≤2x-≤2kπ+，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，∴f（x）的单调递减区间[kπ+，kπ+]（k∈Z）…（6分）（2）∵0≤x≤，-≤2x-≤，-≤sin（2x-）≤1，∴f（x）min=-+a；f（x）max=2+a，令-+a=-2得a=-2，所以f（x）max=2+-2．…（12分）【解析】（1）利用三角恒等变换，将y=f（x）整理可得f（x）=2sin（2x-）+a，令2kπ+≤2x-≤2kπ+，即可求得函数f（x）的单调递减区间；（2）0≤x≤⇒-≤2x-≤⇒-≤sin（2x-）≤1，依题意，即可求得a的值，继而可得f（x）的最大值．本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．18.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，ABCD是矩形，E是棱PD的中点，PA=AD=4，AB=3．（1）证明PB∥底面ACE；（2）求直线PB与平面PAC所成角的正弦值．【答案】证明：（1）连接BD交AC于O，连接EO，则：EO是△PBD的中位线，所以：PB∥EO因为PB⊄平面ACE，EO⊂平面ACE所以：PB∥平面ACE（2）作BH⊥AC于H，连接PH因为：PA⊥底面ABCD，所以：平面PAC⊥平面ABCD由两平面垂直的性质定理得，BH⊥平面PAC所以：∠BPH就是直线PB与平面PAC所成的角．因为PB=5，BH=，所以：sin∠BPH=，即直线PB与平面PAC所成的角的正弦值为．【解析】（1）首先利用中位线得到线线平行，进一步转化为线面平行．（2）首先利用绵绵的垂直转化成线面的垂直，进一步得出线面的夹角，最后利用解直角三角形知识求出结果．本题考查的知识要点：线面平行的判定定理，线面的夹角，解直角三角形知识，属于基础题型．19.若S n和T n分别表示数列{a n}和{b n}的前n项和，对任意正整数n，有a n=-，4T n-12S n=13n．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）设c n=b n+，若++…+＞，求n的最小值．【答案】解析：（1）当n≥2，n∈N*时：，两式相减得：4b n-12a n=13，∴b n=3a n=-3n-，又b1=-也适合上式，∴数列{b n}的通项公式为．（2）由（1）得c n=-3n，于是==（），所以++…+=（1-）=（1-）=．令＞，得n＞99．所以n的最小值为100．【解析】（1）利用公式法，两式作差即可解得结论；（2）利用裂项相消法求得++…+=（1-）=（1-）=．令＞解得即可．本题主要考查数列通项公式的求法及利用裂项相消法求数列的和等知识，考查学生的等价转化思想的运用能力及运算求解能力，属于中档题．20.从某校高三年级800名男生中随机抽取50名学生测量其身高，据测量被测学生的身高全部在155cm到195cm之间．将测量结果按如下方式分成8组：第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]，如图是按上述分组得到的频率分布直方图的一部分．已知：第1组与第8组的人数相同，第6组、第7组和第8组的人数依次成等差数列．（1）求下列频率分布表中所标字母的值，并补充完成频率分布直方图；（2）若从身高属于第6组和第8组的所有男生中随机的抽取2名男生，记他们的身高分别为x、y，求满足：|x-y|≤5事件的概率．【答案】解：（1）由直方图可得前5组的概率是（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5=0.82，（1分）第8组的概率是0.04，所以第6，7组的概率是1-0.86=0.14，所以样本中6、7组的人数为7人．①（3分）∵x，m，2成等差数列，∴x=2m-2②由①②得：m=3，x=4，即y=0.08，n=0.06；z=0.016，p=0.012．频率分布直方图如分）图所示．（6（2）由（1）知，身高在[180，185）内的人数为4人，设为a，b，c，d，身高在[190，195]内的人数为2人，设为A，B，（7分）若x，y∈[180，185）有ab，ac，ad，bc，bd，cd有6种情况；（8分）x，y∈[190，195]有AB有1种情况，若x，y∈[180，185）或x，y∈[190，195]时有a A，b A，c A，d A，a B，b B，c B，d B 有8种情况．所以基本事件总数为6+1+8=15种．（10分）所以，事件“|x-y|≤5”所包含的基本事件个数为6+1=7种，所以，P（|x-y|≤5）=（12分）【解析】（1）由频率和为1，及题设条件得出样本中6、7组的人数为7人，由已知：x+m=7，x，m，2成等差数列，故可求得答案．（2从身高属于第6组和第8组的所有男生中随机的抽取2名男生，记他们的身高分别为x、y，求满足：|x-y|≤5事件的概率，这是一个古典概率模型的问题．用列举法列出基本事件的个数与事件总包含的基本事件数，用古典概率模型的公式求概率．考查统计抽样中数据的处理以及古典概率模型，属于基础技能题型．高中数学试卷第11页，共13页21.已知圆x2+y2-x=0与直线x+y-1=0交于P，Q两点，动圆C过P，Q两点．（1）若圆C圆心在直线y=x上，求圆C的方程；（2）求动圆C的面积的最小值；（3）若圆C与x轴相交于两点M，N（点N横坐标大于1）．若过点M任作的一条与圆O：x2+y2=4交于A，B两点直线都有∠ANM=∠BNM，求圆C的方程．【答案】解：（1）设圆C方程为x2+y2-x+λ（x+y-1）=0，=．∵，解得λ=-1．∴圆C方程为x2+y2-2x-y+1=0．（2）由（1）可得，∴动圆C的面积的最小值为．（3）设圆C方程为x2+y2-x+λ（x+y-1）=0，令y=0，x2+（λ-1）x-λ=0，∴（x-1）（x+λ）=0，x M=1，x N=-λ，-λ＞1．设直线AB的方程为y=k（x-1），代入x2+y2=4得，（1+k2）x2-2k2x+k2-4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），从而，．∵，而（x1-1）（x2+λ）+（x2-1）（x1+λ）=2x1x2-（-λ+1）（x2+x1）-2λ==，∵∠ANM=∠BNM，∴，即=0，得λ=-4．当直线AB与x轴垂直时也成立．∴圆C的方程为x2-5x+y2-4y+4=0．【解析】（1）由题意可设圆C方程为x2+y2-x+λ（x+y-1）=0，圆C圆心在直线y=x上即可得出λ．（2）由（1）可得，即可得出动圆C的面积的最小值．（3）设圆C方程为x2+y2-x+λ（x+y-1）=0，令y=0，x2+（λ-1）x-λ=0，可得x M=1，x N=-λ，-λ＞1．设直线AB的方程为y=k（x-1），代入x2+y2=4得，（1+k2）x2-2k2x+k2-4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得根与系数的关系，由于∠ANM=∠BNM，可得，高中数学试卷第12页，共13页代入解出即可．本题考查了直线与圆的相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．高中数学试卷第13页，共13页。
湖北省武汉二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科) (Word
湖北省武汉二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）直线l：x+y﹣4=0与圆C：x2+y2=4的位置关系是（）A．相交过圆心B．相交不过圆心C．相切D．相离2．（5分）已知x，y之间的几组数据如下表：x 1 2 3 4 5 6y 0 2 1 3 3 4假设根据上表数据所得线性回归方程为y=b1x+a1，某同学根据上表中前两组数据求得的直线方程为y=b2x+a2，则以下结论正确的是（）A．b1＞b2，a1＞a2B．b1＞b2，a1＜a2C．b1＜b2，a1＞a2D．b1＜b2，a1＜a2 3．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的a为（）A．20 B．14 C．10 D．74．（5分）统计中国足球超级联赛甲、乙两支足球队一年36次比赛中的结果如下：甲队平均每场比赛丢失1.5个球，全年比赛丢失球的个数的标准差为1.2；乙队全年丢失了79个球，全年比赛丢失球的个数的方差为0.6．据此分析：①甲队防守技术较乙队好；②甲队技术发挥不稳定；③乙队几乎场场失球；④乙队防守技术的发挥比较稳定．其中正确判断的个数是（）A．1B．2C．3D．45．（5分）天气预报说，在今后的三天中，每三天下雨的情况不完全相间，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：用1，2，3，4表示下雨，从下列随机数表的第1行第2列开始读取直到末尾从而获得N个数据．据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）1907966191925271932812458569191683431257393027556488730113537989．A．B．C．D．非ABC的结果6．（5分）如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在到原点的距离为的点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，﹣1）∪（1，3）B．（﹣3，3）C．[﹣1，1]D． [﹣3，﹣1]∪[1，3]7．（5分）若P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，则事件A与B的关系是（）A．互斥不对立B．对立不互斥C．互斥且对立D．以上都不对8．（5分）已知直线+1与圆x2+y2=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（）A．60条B．66条C．70条D．71条9．（5分）我班制定了数学学习方案：星期一和星期日分别解决4个数学问题，且从星期二开始，每天所解决问题的个数与前一天相比，要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”．在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有（）A．50种B．51种C．140种D．141种10．（5分）如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，过EF任作一个平面α分别与直线BC，AD相交于点G，H，有下列三个结论，其中正确的个数是（）①对于任意的平面α，都有直线GF，EH，BD相交于同一点；②存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；③对于任意的平面α，它把三棱锥的体积分成相等的两部分．A．0B．1C．2D．3二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11．（5分）武汉2中近3年来，每年有在校学生2222人，每年有22人考取了北大清华，高分率稳居前“2”，展望未来9年前景美好．把三进制数（22222222）3化为九进制数的结果为．12．（5分）某人有4把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门就把钥匙放在旁边，他第二次才能打开门的概率是．13．（5分）已知x，y∈（0，1），则的最小值为．14．（5分）已知A={（x，y）||x﹣a|+|y﹣1|≤1}，B={（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是．15．（5分）如图，P为60°的二面角α﹣l﹣β内一点，P到二面角两个面的距离分别为2、3，A、B是二面角的两个面内的动点，则△PAB周长的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）如图是调查某地某公司1000名员工的月收入后制作的直方图．（1）求该公司员工的月平均收入及员工月收入的中位数；（2）在收入为1000至1500元和收入为3500至4000元的员工中用分层抽样的方法抽取一个容量15的样本，员工甲、乙的月收入分别为1200元、3800元，求甲乙同时被抽到的概率．17．（12分）标号为0到9的10瓶矿泉水．（1）从中取4瓶，恰有2瓶上的数字相邻的取法有多少种？（2）把10个空矿泉水瓶挂成如下4列的形式，作为射击的靶子，规定每次只能射击每列最下面的一个（射中后这个空瓶会掉到地下），把10个矿泉水瓶全部击中有几种不同的射击方案？（3）把击中后的矿泉水瓶分送给A、B、C三名垃圾回收人员，每个瓶子1角钱．垃圾回收人员卖掉瓶子后有几种不同的收入结果？18．（12分）如图，已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，直线l的方程为x﹣2y=0，点P是直线l 上一动点，过点P作圆的切线PA、PB，切点为A、B．（1）当P的横坐标为时，求∠APB的大小；（2）求证：经过A、P、M三点的圆N必过定点，并求出所有定点的坐标．19．（12分）边长为2的正方形ABCD中，E∈AB，F∈BC（1）如果E、F分别为AB、BC中点，分别将△AED、△DCF、△BEF沿ED、DF、FE折起，使A、B、C重合于点P．证明：在折叠过程中，A点始终在某个圆上，并指出圆心和半径．（2）如果F为BC的中点，E是线段AB上的动点，沿DE、DF将△AED、△DCF折起，使A、C重合于点P，求三棱锥P﹣DEF体积的最大值．20．（14分）已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，AC∩BD=O，AA1=2，BD⊥A1A，∠BAD=∠A1AC=60°，点M是棱AA1的中点．（Ⅰ）求证：A1C∥平面BMD；（Ⅱ）求证：A1O⊥平面ABCD；（Ⅲ）求直线BM与平面BC1D所成角的正弦值．21．（13分）已知点P（x0，y0）是圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=8内一点（C为圆心），过P 点的动弦AB．（1）如果P（1，1），，求弦AB所直线方程．（2）如果P（1，1），当∠PAC最大时，求直线AP的方程．（3）过A、B作圆的两切线相交于点M，求动点M的轨迹方程．湖北省武汉二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）直线l：x+y﹣4=0与圆C：x2+y2=4的位置关系是（）A．相交过圆心B．相交不过圆心C．相切D．相离考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：求出圆心（0，0）到直线l：x+y﹣4=0的距离d正好等于半径，可得直线和圆相切．解答：解：由于圆心（0，0）到直线l：x+y﹣4=0的距离为d==2=r（半径），故直线和圆相切，故选：C．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．2．（5分）已知x，y之间的几组数据如下表：x 1 2 3 4 5 6y 0 2 1 3 3 4假设根据上表数据所得线性回归方程为y=b1x+a1，某同学根据上表中前两组数据求得的直线方程为y=b2x+a2，则以下结论正确的是（）A．b1＞b2，a1＞a2B．b1＞b2，a1＜a2C．b1＜b2，a1＞a2D．b1＜b2，a1＜a2考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：利用数据求出回归直线方程y=b1x+a1的系数，利用数据（1，0）和（2，2）求得的直线方程y=b2x+a2的数据，比较可得结论．解答：解：由题意可知n=6，=，=∴b1==﹣，a1=，而由直线方程的求解可得b2=2，把（1，0）代入可得a2=﹣2，∴b1＜b2，a1＞a2．故选：C．点评：本题考查线性回归方程的求解，涉及由两点求直线方程，属中档题．3．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的a为（）A．20 B．14 C．10 D．7考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：根据框图的流程依次计算程序运行的结果，发现输出a值的周期是5，再根据条件确定最后一次运行的a值．解答：解：由程序框图知：第一次循环i=1，a=5；第二次循环i=2，a=14；第三次循环i=3，a=7；第四次循环i=4，a=20；第五次循环i=5，a=10；第六次循环i=6，a=5；…，输出的a值的周期为5，∵跳出循环的i值为2015，∴第2014次循环的a=20．故选：A．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果，发现输出a值的周期是关键．4．（5分）统计中国足球超级联赛甲、乙两支足球队一年36次比赛中的结果如下：甲队平均每场比赛丢失1.5个球，全年比赛丢失球的个数的标准差为1.2；乙队全年丢失了79个球，全年比赛丢失球的个数的方差为0.6．据此分析：①甲队防守技术较乙队好；②甲队技术发挥不稳定；③乙队几乎场场失球；④乙队防守技术的发挥比较稳定．其中正确判断的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．专题：计算题；概率与统计．分析：根据甲队平均每场比赛丢失1.5个球，乙队全年丢失了79个球，乙队平均每场比赛丢失，根据两个队的标准差比较，甲队不如乙队稳定，乙队几乎场场失球，甲队表现时好时坏，选出正确的说法．解答：解：∵甲队平均每场比赛丢失1.5个球，乙队全年丢失了79个球，乙队平均每场比赛丢失，∴甲队技术比乙队好，故①正确，∵甲全年比赛丢失球的个数的标准差为1.2，全年比赛丢失球的个数的方差为0.6．∴乙队发挥比甲队稳定，故②正确，乙队几乎场场失球，甲队表现时好时坏，故③④正确，总上可知有4种说法正确，故选D．点评：本题考查方差与标准差，考查平均数，这是对于两组数据最常考查的内容，平均数可以反映数据的平均水平，方差反映数据的稳定程度，一般从这两个方面来把握数据．5．（5分）天气预报说，在今后的三天中，每三天下雨的情况不完全相间，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：用1，2，3，4表示下雨，从下列随机数表的第1行第2列开始读取直到末尾从而获得N个数据．据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）1907966191925271932812458569191683431257393027556488730113537989．A．B．C．D．非ABC的结果考点：随机数的含义与应用．专题：计算题；概率与统计．分析：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下32组随机数，在32组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有可以通过列举得到共8组随机数，根据概率公式，得到结果．解答：解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下32组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、191、431、393、113，共8组随机数，∴所求概率为=0.25．故选：C点评：本题考查模拟方法估计概率，解题的关键是利用等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．6．（5分）如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在到原点的距离为的点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，﹣1）∪（1，3）B．（﹣3，3）C．[﹣1，1]D． [﹣3，﹣1]∪[1，3]考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：由已知得圆上点到原点距离d=，从而2﹣≤|a|≤2+，由此能求出实数a的取值范围．解答：解：圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8的圆心（a，a）到原点的距离为|a|，半径r=2，由圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在点到原点的距离为，∴2﹣≤|a|≤2+，∴1≤|a|≤ 3解得1≤a≤3或﹣3≤a≤﹣1．∴实数a的取值范围是[﹣3，﹣1]∪[1，3]．故选：D点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．7．（5分）若P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，则事件A与B的关系是（）A．互斥不对立B．对立不互斥C．互斥且对立D．以上都不对考点：概率的基本性质．专题：计算题．分析：通过举例子，得到满足P（A∪B）=P（A）+P（B）的两个事件不一定互斥也不一定对立．解答：解：设X是[0，1]上的均匀分布而事件A={0≤X≤0.5}事件B={0.5≤X≤1}显然P（A）=P（B）=0.5而P（A∪B）=P（A）+P（B）=0.5+0.5=1但AB={0.5} 不是空集所以事件A和B不互斥而若事件A={0≤X＜0.5}事件B={0.5＜X≤1}显然P（A）=P（B）=0.5，而P（A∪B）=P（A）+P（B）=0.5+0.5=1，P（AB）=0显然事件A和B不对立，但AB是空集故选：D．点评：本题考查要说明一个命题为假命题，只需一个反例即可，属于基础题．8．（5分）已知直线+1与圆x2+y2=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（）A．60条B．66条C．70条D．71条考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：直线是截距式方程，因而不平行坐标轴，不过原点，考查圆上横坐标和纵坐标均为整数的点的个数，结合排列组合知识分类解答．解答：解：可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，而圆x2+y2=100上的整数点共有12个，分别为（6，±8），（﹣6，±8），（8，±6），（﹣8，±6），（±10，0），（0，±10），前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有8条；12个点中过任意两点，构成C122=66条直线，其中有4条直线垂直x轴，有4条直线垂直y轴，还有6条过原点（圆上点的对称性），故满足题设的直线有52条．综上可知满足题设的直线共有52+8=60条，故选A．点评：本题主要考查直线与圆的概念，以及组合的知识，既要数形结合，又要分类考虑，要结合圆上点的对称性来考虑过点的直线的特征．9．（5分）我班制定了数学学习方案：星期一和星期日分别解决4个数学问题，且从星期二开始，每天所解决问题的个数与前一天相比，要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”．在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有（）A．50种B．51种C．140种D．141种考点：计数原理的应用．专题：计算题；排列组合．分析：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，都是0、1、2、3天，共四种情况，利用组合知识可得结论．解答：解：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，所以后面六天中解决问题个数“多一个”或“少一个”的天数可能是0、1、2、3天，共四种情况，所以共有=141种．故选D．点评：本题考查组合知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定中间“多一个”或“少一个”的天数必须相同是关键．10．（5分）如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，过EF任作一个平面α分别与直线BC，AD相交于点G，H，有下列三个结论，其中正确的个数是（）①对于任意的平面α，都有直线GF，EH，BD相交于同一点；②存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；③对于任意的平面α，它把三棱锥的体积分成相等的两部分．A．0B．1C．2D．3考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：①取AD的中点H，BC的中点G，利用特殊值法即可判断；②不存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；③对于任意的平面α，当G，H在线段BC，AD上时，可以证明几何体AC﹣EGFH的体积是四面体ABCD体积的一半．解答：解：①取AD的中点H，BC的中点G，则EGFH在一个平面内，此时直线GF∥EH∥BD，因此不正确；②不存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；③对于任意的平面α，当G，H在线段BC，AD上时，可以证明几何体AC﹣EGFH的体积是四面体ABCD体积的一半，故③正确．综上可知：只有③正确．故选：B点评：本题考查了线面平行的判定与性质、共面公理、三角形的中位线定理，考查了推理能力和空间想象能力，属于难题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11．（5分）武汉2中近3年来，每年有在校学生2222人，每年有22人考取了北大清华，高分率稳居前“2”，展望未来9年前景美好．把三进制数（22222222）3化为九进制数的结果为8888（9）．考点：进位制．专题：算法和程序框图．分析：先把5进制的数（22222222）3化为十进制数再变为七九进制数，用除k取余法．解答：解：（22222222）3=2×30+2×31+2×32+2×33+2×34+2×35+2×36+2×37=6560，∵6560=8×90+8×91+8×9 2+8×93∴把三进制数（22222222）3化为九进制数的结果是8888（9）故答案为：8888（9）点评：本题考查进位制之间的换算，熟练掌握进行制的变化规律是正确解题的要诀．12．（5分）某人有4把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门就把钥匙放在旁边，他第二次才能打开门的概率是．考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：第二次打开门的概率为．解答：解：第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门的概率为．故答案为：点评：本题考查等可能事件的概率，相互独立事件的概率乘法公式的应用，明确第二次打开门所表示的意义，是解题的关键．13．（5分）已知x，y∈（0，1），则的最小值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用两点之间的距离公式、三角形的三边大小关系即可得出．解答：解：=+++．∵x，y∈（0，1），如图所示．∴+++=|OP|+|PC|+|PA|+|PB|≥|OB|+AC|=2．∴的最小值为．故答案为：．点评：本题考查了两点之间的距离公式、三角形的三边大小关系、数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）已知A={（x，y）||x﹣a|+|y﹣1|≤1}，B={（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是[﹣1，3]．考点：交集及其运算；抛物线的简单性质．专题：集合．分析：分别画出集合A={（x，y）|}|x﹣a|+|y﹣1|≤1}，B={（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1}表示的平面图形，集合A表示一个正方形，集合B表示一个圆，欲使得A∩B≠∅，只需点A 或点在圆内即可．解答：解：分别画出集合A={（x，y）|}|x﹣a|+|y﹣1|≤1}，B={（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1}表示的平面图形，集合A表示一个正方形，集合B表示一个圆，如图所示，欲使得A∩B≠∅，只需点A或点在圆内即可，∴（a+1﹣1）2+（1﹣1）2≤1或（a﹣1﹣1）2+（1﹣1）2≤1，解得﹣1≤a≤1或1≤a≤3，即﹣1≤a≤3．故答案为：[﹣1，3]．点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意数形结合思想的合理运用．15．（5分）如图，P为60°的二面角α﹣l﹣β内一点，P到二面角两个面的距离分别为2、3，A、B是二面角的两个面内的动点，则△PAB周长的最小值为2．考点：与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题；空间角．分析：作出P关于两个平面α，β对称点M、N，连接MN，线段MN与两个平面的交点坐标分别为C，D，连接MP，NP，由已知条件推导出△PAB周长L=PM+PN+MN=AM+MN+BN，当A与C重合，B与D重合时，由两点之间线段最短可以得出MN，即为△PAB周长的最小值．解答：解：如图，作出P关于两个平面α，β的对称点M、N，连接MN，线段MN与两个平面的交点坐标分别为C，D，连接MP，NP，CP，DP，则△PAB的周长L=PA+PB+AB=AM+AB+BN，当A与C重合，B与D重合时，由两点之间线段最短可以得出MN即为△PAB周长的最小值，根据题意可知：P到二面角两个面的距离分别为2、3，∴MP=4，NP=6，∵大小为60°的二面角α﹣l﹣β，∴∠EOF=60°，∴∠MPN=120°，根据余弦定理有：MN2=MP2+NP2﹣2MP•NP•cos∠MPN=42+62﹣2×4×6×（﹣）=76，∴MN=2，∴△PAB周长的最小值等于2．故答案为：2．点评：本题考查三角形周长的最小值的求法，注意运用对称的方法，同时考查二面角的定义和求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）如图是调查某地某公司1000名员工的月收入后制作的直方图．（1）求该公司员工的月平均收入及员工月收入的中位数；（2）在收入为1000至1500元和收入为3500至4000元的员工中用分层抽样的方法抽取一个容量15的样本，员工甲、乙的月收入分别为1200元、3800元，求甲乙同时被抽到的概率．考点：频率分布直方图．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）利用组中值，可得该公司员工的月平均收入及员工月收入的中位数；（2）月收入在1000至1500元之间的有100人，月收入在3500元至4000元之间的有50人，由分层抽样可知甲、乙同时被抽到的概率．解答：解：（1）由题意，第一个小矩形的高度为0.0002，公司员工的月平均收入0.1×1250+0.2×1750+0.25×2250+0.25×2750+0.15×3250+0.05×3750=2400元（3分）中位数为2400元（面积分为相等的两部分）；（3分）（2）月收入在1000至1500元之间的有100人，月收入在3500元至4000元之间的有50人，由分层抽样可知，甲、乙同时被抽到的概率为（6分）点评：本题考查频率分布直方图、利用频率分布直方图进行总体估计：求中位数，属基本知识、基本运算的考查．17．（12分）标号为0到9的10瓶矿泉水．（1）从中取4瓶，恰有2瓶上的数字相邻的取法有多少种？（2）把10个空矿泉水瓶挂成如下4列的形式，作为射击的靶子，规定每次只能射击每列最下面的一个（射中后这个空瓶会掉到地下），把10个矿泉水瓶全部击中有几种不同的射击方案？（3）把击中后的矿泉水瓶分送给A、B、C三名垃圾回收人员，每个瓶子1角钱．垃圾回收人员卖掉瓶子后有几种不同的收入结果？考点：排列、组合的实际应用．专题：应用题；排列组合．分析：（1）01连在一起时有15中情况；12连在一起时有10种情况；23连在一起有11种情况；34连在一起有11种情况；45连在一起有11种情况；56和34一样，67和23一样；78和12一样；89和01一样，共有105种；（2）一种射击方案对应于从0至9共十个数字中取2个、3个、3个、2个数字的组合，因为每组数的数字大小是固定的，数字小的挂下面，可得结论；（3）由于A、B、C所得钱数与瓶子编号无关，他们所得钱数只与所得瓶子个数有关，即可得出结论．解答：解：（1）01连在一起时有15中情况；12连在一起时有10种情况；23连在一起有11种情况；34连在一起有11种情况；45连在一起有11种情况；56和34一样，67和23一样；78和12一样；89和01一样，共有105种．（2）一种射击方案对应于从0至9共十个数字中取2个、3个、3个、2个数字的组合，因为每组数的数字大小是固定的，数字小的挂下面．所以共有．（3）由于A、B、C所得钱数与瓶子编号无关，他们所得钱数只与所得瓶子个数有关．所以．点评：本题考查排列、组合的实际应用，考查学生的计算能力，属于中档题．18．（12分）如图，已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，直线l的方程为x﹣2y=0，点P是直线l 上一动点，过点P作圆的切线PA、PB，切点为A、B．（1）当P的横坐标为时，求∠APB的大小；（2）求证：经过A、P、M三点的圆N必过定点，并求出所有定点的坐标．考点：直线和圆的方程的应用．专题：综合题；直线与圆．分析：（1）由题可知，圆M的半径r=2，，∠MAP=90°，根据MP=2r，可得∠MPA=30°，从而可求∠APB的大小；（2）设P的坐标，求出经过A、P、M三点的圆的方程即可得到圆过定点．解答：解：（1）由题可知，圆M的半径r=2，，因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP=90°又因MP==2r，又∠MPA=30°，∠APB=60°；（6分）（2）设P（2b，b），因为∠MAP=90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，方程为：，即（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0由，解得或，所以圆过定点（6分）点评：本题考查直线与圆的综合，考查圆过定点，考查两圆位置关系，确定圆的方程是关键．19．（12分）边长为2的正方形ABCD中，E∈AB，F∈BC（1）如果E、F分别为AB、BC中点，分别将△AED、△DCF、△BEF沿ED、DF、FE折起，使A、B、C重合于点P．证明：在折叠过程中，A点始终在某个圆上，并指出圆心和半径．（2）如果F为BC的中点，E是线段AB上的动点，沿DE、DF将△AED、△DCF折起，使A、C重合于点P，求三棱锥P﹣DEF体积的最大值．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）根据三角形在折叠过程的点的变化，即可得到结论．（2）根据线面垂直的性质，结合三棱锥的体积公式即可得到结论．解答：解：（1）∵E、F分别为AB、BC中点，在平面图形中连结AF，BD交O点，AF 交DE于M，则O为三角形DEF的垂心，三角形AED在沿DE的折叠过程中，AM始终垂直于DE，∴过A在过M且与DE垂直的平面上，又AM=，∴A在以M为圆心，AM为半径的圆上．（2）由于PD⊥PF，PD⊥PE，故PD⊥平面PEF，∴当三角形PEF面积最大时，三棱锥P﹣DEF体积最大，设PE=t，∠EPF=α，则（2﹣t）2+1=1+t2﹣2tcosα，即cosα=，则=，故当t=时，体积最大为．点评：本题主要考查考查空间几何体的折叠问题，以及三棱锥的体积计算，综合性较强，难度较大．20．（14分）已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，AC∩BD=O，AA1=2，BD⊥A1A，∠BAD=∠A1AC=60°，点M是棱AA1的中点．（Ⅰ）求证：A1C∥平面BMD；（Ⅱ）求证：A1O⊥平面ABCD；（Ⅲ）求直线BM与平面BC1D所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间角．分析：（Ⅰ）连结MO，由已知条件推导出MO∥A1C，由此能证明A1C∥平面BMD．（Ⅱ）由已知条件推导出BD⊥面A1AC，AO=AC=，由此能证明A1O⊥平面ABCD．（Ⅲ）以O为原点，以OA为x轴，OB为y轴，OA1为z轴，建立直角坐标系，利用向量法能求出直线BM与平面BC1D所成角的正弦值．解答：（Ⅰ）证明：连结MO，∵A1M=MA，AO=OC，∴MO∥A1C，∵MO⊂平面BMD，A1C不包含于平面BMD，∴A1C∥平面BMD．…（3分）（Ⅱ）证明：∵BD⊥AA1，BD⊥AC，∴BD⊥面A1AC，于是BD⊥A1O，AC∩BD=O，∵AB=CD=2，∠BAD=60°，∴AO=AC=，又∵AA1=2，∠A1AC=60°，∴A1O⊥AC，又∵A1O⊥BD，∴A1O⊥平面ABCD．…（7分）（Ⅲ）解：如图，以O为原点，以OA为x轴，OB为y轴，OA1为z轴，建立直角坐标系，由题意知，C（﹣，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），∵，∴，∵M（），∴=（﹣，1，﹣），，=（﹣2，﹣1，3），设平面BC1D的法向量为=（x，y，z），则，取x=，得，…（9分）∴cos＜＞==﹣，…（11分）∴直线BM与平面BC1D所成角的正弦值为．…（12分）点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．21．（13分）已知点P（x0，y0）是圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=8内一点（C为圆心），过P 点的动弦AB．（1）如果P（1，1），，求弦AB所直线方程．（2）如果P（1，1），当∠PAC最大时，求直线AP的方程．（3）过A、B作圆的两切线相交于点M，求动点M的轨迹方程．考点：直线和圆的方程的应用．专题：综合题；直线与圆．分析：（1）当AB⊥x时，a=2，此时AB：x=1，由对称性可得另一条弦所在直线方程为y=1；（2）由于以PC为直径的圆在圆C内，所以∠PAC为锐角，过C作PA的垂线，垂足为N，当NC最大时，∠PAC最大；（3）求出圆C在A、B处的切线方程，可得AB的方程，点P（x0，y0）在AB上，即可得出结论．解答：解：（1）当AB⊥x时，a=2，此时AB：x=1，由对称性可得另一条弦所在直线方程为y=1；（2）由于以PC为直径的圆在圆C内，所以∠PAC为锐角，过C作PA的垂线，垂足为N，当NC最大时，∠PAC最大，∵NC≤PC，∴N，P重合时，∠PAC最大，此时PA⊥PC，直线AP的方程为y=﹣x+2；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x′，y′），圆C在A、B处的切线方程分别为：（x1﹣2）（x﹣2）+（y1﹣2）（y﹣2）=8，（x2﹣2）（x﹣2）+（y2﹣2）（y﹣2）=8，它们交于点M，所以，，∴AB的方程为（x﹣2）（x′﹣2）+（y﹣2）（y′﹣2）=8，∵点P（x0，y0）在AB上，∴（x0﹣2）（x′﹣2）+（y0﹣2）（y′﹣2）=8，∴动点M的轨迹方程为（x0﹣2）（x′﹣2）+（y0﹣2）（y′﹣2）=8．点评：本题考查直线和圆的方程的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．。
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第1页（共22页） 2013-2014学年湖北省武汉二中高二（上）期中数学试卷（文科） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．﹣6 B．13 C． D． 2．（5分）定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：（1）1*1=1，（2）（n+1）*1=n*1+2，则n*1等于（ ） A．n﹣1 B．2n﹣1 C．2n+1 D．n2 3．（5分）用简单随机抽样方法从含有6个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，某一个体a“第一次被抽到的概率”、“第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到”的概率分别是（ ） A． B． C． D． 4．（5分）若某程序框图如图所示，则输出的p的值是（ ）
A．21 B．26 C．30 D．55 5．（5分）在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ） 第2页（共22页）
A． B． C． D． 6．（5分）在2012年中央电视台举办的“我要上春晚”大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图，数据的平均数和中位数分别为（ ）
A．84，84 B．84，86 C．85，86 D．85，87 7．（5分）在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人表演节目．若选到女同学的概率为，则这班参加聚会的同学的人数为（ ） A．12 B．18 C．24 D．32 8．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=1，设点CG到平面PAB的距离为d1，点B到平面PAC的距离为d2，则有（ ）
A．1＜d1＜d2 B．d1＜d2＜1 C．d1＜1＜d2 D．d2＜d1＜1 9．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O在底面ABCD中心，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1内随机取一点P则点P与点O距离大于1的概率为（ ） A． B． C． D． 10．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（ ） A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞） C．[2﹣2，2+2] D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）
二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．（5分）计算的值的程序框图如图所示，其中判断框内应填 第3页（共22页）
入的条件是 ． 12．（5分）数列{an}的通项公式（n∈N*），，试通过计算f（1），f（2），f（3），…的值，推测出f（n）的表达式为 ． 13．（5分）对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如下表： x 2 4 5 6 8 y 20 40 60 70 80 若它们的回归直线方程为=10.5x+a，则a的值为 ． 14．（5分）已知某程序的框图如图，若分别输入的x的值为0，1，2，执行该程序后，输出的y的值分别为a，b，c，则a+b+c= ．
15．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ． 第4页（共22页）
16．（5分）已知结论：“在正三角形ABC中，若D是BC的中点，G是三角形ABC重心，则=2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在正四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则= ． 17．（5分）由直线l：x+2y+4=0上的动点P引圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的两切线，切点为A、B，则四边形PACB的面积最小值为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（12分）从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，据测量被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组；第一组[155，160）、第二组[160，165）；…第八组[190，195），如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列． （1）求第六组、第七组的频率． （2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x、y，求满足|x﹣y|≤5的事件概率．
19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=BC=2AC=2，D为AA1中点． 第5页（共22页）
（Ⅰ）求证：CD⊥B1C1； （Ⅱ）求证：平面B1CD⊥平面B1C1D； （Ⅲ）求三棱锥C1﹣B1CD的体积．
20．（13分）已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为（x，y）． （I）求当x，y∈R时，P满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的概率； （II）求当x，y∈Z时，P满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的概率． 21．（14分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形． （1）求出f（5）； （2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）的关系式，并根据你得到的关系式求f（n）的表达式； （3）求+++…+的值．
22．（14分）已知圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心在直线y=x上，且，又直线l：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点． （Ⅰ）求圆C的方程； （Ⅱ）若，求实数k的值； （Ⅲ）过点（0，1）作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M、N两点，求四 第6页（共22页）
边形PMQN面积的最大值． 第7页（共22页）
2013-2014学年湖北省武汉二中高二（上）期中数学试卷（文科） 参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．﹣6 B．13 C． D． 【解答】解：由复数==是纯虚数，
则，解得a=﹣6． 故选：A． 2．（5分）定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：（1）1*1=1，（2）（n+1）*1=n*1+2，则n*1等于（ ） A．n﹣1 B．2n﹣1 C．2n+1 D．n2 【解答】解：∵1*1=1，（n+1）*1=n*1+2， ∴（n+1）*1=n*1+2=（n﹣1）*1+4=（n﹣2）*1+6=…=[n﹣（n﹣1）]*1+2n=1+2n， ∴n*1=2n﹣1． 故选：B．
3．（5分）用简单随机抽样方法从含有6个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，某一个体a“第一次被抽到的概率”、“第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到”的概率分别是（ ） A． B． C． D． 第8页（共22页）
【解答】解：个体a第一次被抽到的概率是一个等可能事件， 试验发生包含的事件数6，满足条件的事件数1， ∴个体a第一次被抽到的概率是 第二次被抽到表示第一次没有被抽到且第二次抽到， 这是一个相互独立事件同时发生的概率， 第一次不被抽到的概率是，第二次被抽到的概率是
∴第二次被抽到的概率是 在整个抽样过程中被抽到的概率是 故选：C．
4．（5分）若某程序框图如图所示，则输出的p的值是（ ）
A．21 B．26 C．30 D．55 【解答】解：根据题意可知该循环体运行3次 第1次：n=2，p=1+22=5 第2次：n=3，p=5+32=14， 第3次：n=4，p=14+42=30 因为P=30＞20，结束循环，输出结果p=30． 故选：C． 第9页（共22页）
5．（5分）在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ） A． B． C． D．
【解答】解：随机取出2个小球得到的结果数有C52=种 取出的小球标注的数字之和为3或6的结果为{1，2}，{1，5}，{2，4}共3种， ∴P=， 故选：A．
6．（5分）在2012年中央电视台举办的“我要上春晚”大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图，数据的平均数和中位数分别为（ ）
A．84，84 B．84，86 C．85，86 D．85，87 【解答】解：由七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图知： 数据为：73，84，84，84，85，86，92， 平均数=（73+84+84+84+85+86+92）=84， 第10页（共22页）
中位数=84． 故选：A．
7．（5分）在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人表演节目．若选到女同学的概率为，则这班参加聚会的同学的人数为（ ） A．12 B．18 C．24 D．32 【解答】解：设男同学有x人，则女同学有x+6人，由题意可得 =，解得 x=6，则这个班所有的参加聚会的同学的人数为 2x+6=18人， 故选：B．
8．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=1，设点CG到平面PAB的距离为d1，点B到平面PAC的距离为d2，则有（ ）
A．1＜d1＜d2 B．d1＜d2＜1 C．d1＜1＜d2 D．d2＜d1＜1 【解答】解：过C做平面PAB的垂线， 垂足为E，连接BE， 则三角形CEB为直角三角形，其中∠CEB=90°， 根据斜边大于直角边，得CE＜CB，即d2＜1． 同理，d1＜1． 再根据面PAC和面PAB与底面所成的二面角可知，前者大于后者， 所以d2＜d1． 所以d2＜d1＜1． 故选：D．
9．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O在底面ABCD中心，在