自主招生试题选讲(清华
清华2018自主招生试题及答案
2018清华自主招生试题与答案(2018清华自主招生)1、如图所示的电路，闭合开关S ，当滑动变阻器滑片P 向右移动时，下列说法正确的是 CA．电流表读数变小，电压表读数变大B．小电泡L 变暗C．电容器C 上电荷量减小D．电源的总功率变小(2018清华自主招生)2、如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与竖直放置的轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，弹簧处于原长h。
让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零．则在圆环下滑过程中 C A．圆环机械能守恒B．弹簧的弹性势能先增大后减小C．弹簧的弹性势能变化了mgh D．弹簧的弹性势能最大时圆环的动能最大3、(2018清华自主招生)4、如图所示，有三个斜面a，b，c，底边的长分别为L、L 、2L高度分别为2h、h、h ，某物体与三个斜面间的动摩擦因数都相同，这个物体分别沿三个斜面从顶端由静止下滑到底端，忽略空气阻力，三种情况相比较，下列说法正确的是BDA．物体克服摩擦力做的功W c= 2W b= 4W aB．物体克服摩擦力做的功W c= 2W b= 2W aC．物体到达底端的动能E ka= 2E kb= 2E kcD ．物体到达底端的动能E ka >2E kb >2E kc解：克服摩擦力做的功 cos W mg x mgx =μθ=μ斜底则有 ::W 2:1:1c b a W W =动能定理 k mgx mgx E -μ=高底则有 E ka >2E kb >2E kc(2018清华自主招生)10、2013 年 12 月 6 日，“嫦娥三号”携带月球车“玉兔号”运动到地月转移轨道的P 点时做近月制动后被月球俘获，成功进入环月圆形轨道Ⅰ上运行，如图所示。
在“嫦娥三号”沿轨道Ⅰ经过 P 点时，通过调整速度使其进入椭圆轨道Ⅱ，在沿轨道Ⅱ经过Q 点时，再次调整速度后又经过一系列辅助动作，成功实现了其在月球上的“软着陆”。
自主招生之函数与方程问题选讲(附答案)
自主招生之函数与方程问题选讲（附答案）解法要点：1.函数单调性2.参变量与主变量3.换元法4.数形结合5.分类讨论6.特殊探路1．（2005年复旦大学）设212{|log (1)0},{|221}x x A x R x x B x R -=∈-->=∈->，则B A C 为 ；2．（2005年复旦大学）定义在R 上的函数()(1)f x x ≠满足2002()2()40151x f x f x x ++=--，则(2004)f = ；3．（2003同济大学）()f x 是周期为2的函数，在区间[1,1]-上，()||f x x =，则3(2)2f m += （m 为整数） 4．（2008上海交通大学）若121(),()()21x x f x g x f x --==+，则3()5g = ；5．（2008年浙江大学）225{(,)|(1)(2)},{(,)||1|2|2|}4A x y x y B x y x y a =-+-≤=-+-≤，A B ⊆，求a 的取值范围。
6．（2008上海交通大学）已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且()f x x =没有实数根，试判断[()]f f x x =是否有实数根？并证明你的结论。
7．（2006年上海交大）若有函数(,)()()()()f x y a x b y c x d y =+，其中(),()a x c x 为关于x 的多项式，(),()b y d y 为关于y 的多项式，则称(,)f x y 为P 类函数，判断下列函数是否是P 类函数，并说明理由。
（1） 1xy + （2）221xy x y ++8．（2005年上海交大）若2281ax x b y x ++=+得最大值为9，最小值为1，求满足条件的实数,a b 。
9．（2005年复旦大学）定义在R 上的函数4121(),()()(),2,3,42x n x n f x S f f f n n n n-==+++=+ （1） 求n S（2） 问是否存在常数0M >，使得2n ∀≥有231111n M S S S ++++≤10．（2003年复旦大学）定义闭集合S ，若,a b S ∈，则,a b S a b S +∈-∈（1）举一例，真包含于R 的无限闭集合；（2）求证对任意两个闭集合12,S S R ⊂，存在c R ∈，但是12c S S ∉11.(2009复旦)如果一个函数f(x)在其定义区间内对任意x ，y 都满足()()()22x y f x f y f ++≤，则称这个函数时下凸函数，下列函数 （1）()f x 2x = （2）()f x =3x （3）()f x =2log x （0x >）（4）,0,()2,0,x x f x x x <⎧=⎨≥⎩ 中是下凸函数的有A ．(1)(2) B. (2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4)12. （06复旦）设x 1,x 2∈（0，2π），且x 1≠x 2，下列不等式中成立的是： (1)12（tanx 1+tanx 2）>tan 122x x +; (2) 12（tanx 1+tanx 2）<tan 122x x +; (3)12（sinx 1+sinx 2）>sin 122x x +; (4) 12（sinx 1+sinx 2）<sin 122x x + A ． (1),(3) B ．(1),(4) C ．(2),(3) D ．(2),(4)13.（09，清华）,1,y x 0,y 0,x +∈=+>>N n 证明：122221x -≥+n n n y14.（07交大） 设432()(1)(32)4f x a x x a x a =++-+-，试证明对任意实数a ： （1）方程()0f x =总有相同实根；（2）存在0x ，恒有0()0f x ≠．15.（06交大）设3229,29270k x kx k x k ≥++++=解方程16. （053=的实数根．参考答案1.｛1|-<x x ｝2.60153.21 4.2 5.25≥a 6.无7.（1）是 （2）不是8.a=b=5 9.21-=n S n ;不存在 10.（1）S ＝Z （2）设1S x ∉，2S y ∉，则21S S y x ⋃∉+11.D12.B13.略14.⑴x ＝－2；⑵0)2(≠f15.)3(+-=k x 或227632--±-=k k k x 16.6=x 或9-=x。
2021年清华大学自主招生化学真题和答案
2021年清华大学自主招生化学真题和答案2021年清华大学自主招生化学试题一简答题（35分，17题，最后一题3分）1. 画出CrO5 , H3PO2 的结构。
2. 判断H2O2、O3的极性，给出理由。
3．什么金属可以用来盛浓硝酸？写出两种，并给出理由。
4．为什么高浓度的NaCl可以用来保存食物？ 5．写出CO中毒的原理。
6．为什么CO2是一种温室气体？7．“夏天多雨，秋天丰收”，解释其科学原理。
8．美国科学院1992年评出一种含氮的“明星小分子”，写出它的分子式，并说出它的生物功能。
9．F非金属性比Cl强，但F2的解离能小于Cl2，为什么？ 10 Na与水反应比Li与水反应剧烈，为什么？11．为什么常温下、F2 ,Cl2为气体，Br2为液体，I2为固体？ 12．为什么镀锌铁板比马口铁（镀锡铁板）耐腐蚀？13．理想气体状态方程为pV=nRT，这是不考虑分子间相互作用力所得的方程，请问若考虑气体的分子间作用力，应当对方程作怎样的修正？怎样的实际气体可以用理想气体状态方程?14．为什么卤素（氯、溴、碘）可以显+1、+3、+5、+7价？1.5．从分子结构的角度说O2是一种活性强的分子，可以与卤素、除Au、Pt 、Ag以外的金属直接作用生成相应的氧化物。
16．写出用Cl2制漂白粉的离子方程式。
17．吡咯、吡啶、咪唑的结构简式分别为，回答下列问题：（1）吡咯是否有芳香性？说明理由。
（2）吡咯与吡啶主要进行什么反应？与苯相比相对难易程度如何？（3）吡咯、咪唑何者酸性更强，何者碱性更强。
二．蛋白质的H核磁共振谱可以用来测定蛋白质结构。
常常用重水替换法，让重水中的D替换氨基酸氨基中的H，这样氨基酸氨基中的H便会脱落而没有信号。
实际上，不同的氨基的H被替换的速率差别很大，请问这是为什么？（提示：从蛋白质结构角度考虑）三．为了准确测定HCl的浓度，往往用NaOH 在酚酞的指示下进行中和滴定。
（1）怎样准确地配制NaOH的浓度？（2）要以用来进行滴定分析的反应一般要有什么特性？四．“毒鼠强”又名“424”，指的是它的分子结构中有4个C，4个N，2个S，其分子式为C4S2N4O4H8，分子中没有不饱和键，请画出它的结构五．25ml的KI溶液，用稀HCl处理后，再与10ml的0.05mol/L的KIO3反应。
2013清华北大自主招生测评试题数学自主招生数学与逻辑测评试题.docx
2013 清华北大自主招生 测评试题数学自主招生数学与逻辑测评试题（考试时间： 90 分钟，总分 100 分）一、选择题：本大题共 6 小题．每小题 6 分，共 36 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设 z 1,z 2 为一对不相等的共轭复数，且 z 1 = 3,z 12为实数，则 z 1-z 2 的值为z 2（ ） A ． 3B ． 6C ．3D ．232. 若点 P 在曲线 y=-x 2 -1上，点 Q 在曲线 x=1+y 2 上，则 PQ 的最小值为（）A ．3 2B ．3 2C ．3 2D ．3 22483. 在 ABC 中，三边和三角满足 a cos B-b cos A= 3 c 则 tan A = （）5tan BA 。
3B 。
4C 。
5D 。
64. 如图，在正四棱锥 P-ABCD 中，∠ APC =60 °，则二面角 A-PB-C的平面角的余弦值为（ ）A.1 B.177C.1 D.1P22DM CA B5. 设 P 是函数 y=x+ 2x>2 图像上任意一点，过点P 分别向直线 y=x 和 y x轴作垂线，垂足分别为 A 、B ，则 PA PB = （）A ．1B ．2C ．-1D ．-26. 某情报站有 A 、B 、C 、D 四种互不相同的密码，每周使用一种，且每周都是从上周没使用的三种密码中等可能的随机选用一种，设第一周使用 A 密码，则第七周也使用 A 密码的概率为（）（用最简分数表示）A．43B．61C．48D．61 8124324381选择题答题处： 1.() 2.() 3.() 4.()5.()6.( )二、解答题 (每题 16 分,共 64 分)7. 设函数f n x =x n1-x2在1,1上的最大值为 a n n=1,2,3, 2（1）求数列 a n的通项公式；（2）求证：对任何正整数 n n 2 ，都有 a n1成立；2n+2（3）设数列 a n的前 n 项和为S n，求证：对任意正整数 n ，都有S n<7成16立。
清华大学2017年领军计划试题
清华大学2017年自主招生与领军计划数学试题（1）设函数2()xx f x ee ax =+-，若对0,()2xf x ∀≥≥，则实数a 的取值范围是()(,3]A -∞ ()[3,)B +∞ ()(,2]C -∞ ()[2,)D +∞解答：问题等价于22x x e e ax +≥+在[0,)+∞上恒成立；记2()xx g x e e =+，()2h x ax =+，两函数均过(0,2)，且(0)3g '=，可知(,3]a ∈-∞.答案A.（2）设,A B 为两个随机事件，且,0()1A B P A ⊂<<，则()()1()A P AB P B =- ()()1()B P AB P B =-()(|)()C P B A P B = ()(|)()D P B A P B =解答：（A ）()1()1()P AB P AB P A =-=-，所以A 错；（B ）()()1()1()P AB P A B P A B P B ==-=-，所以B 对；（C ）()()(|)1()()P AB P A P B A P A P A ===，所以C 错； （D ）()()()(|)1()1()P B A P B P A P B A P A P A --==--，所以D 错；答案B.（3）从0,1,2,,9中选出三个不同数字组成四位数（其中的一个数字用两次），如5242，这样的四位数共有()1692A 个 (B)3672个 (C)3708个 (D)3888个解答：十个数中先选出3个数，再从中选出一个作为用两次的，再选出两个位置放这个数，剩下两个数再排列一下，共有32104324320C C ⨯⨯⨯=个.下面考虑0被排在了首位的情况：1°0在后三位还出现了一次：则在剩下9个数中再选两个，于是有293!216C ⨯=个.2°0只出现在首位：则在剩下9个数中再选两个，其中一个重复两次，于是有2923216C ⨯⨯=个.于是符合题目要求的四位数共有43202162163888--=个. 答案D.（4）已知集合{1,0,1}M =-，{2,3,4,5,6}N =，设映射:f M N →满足：对任意的,()()x M x f x xf x ∈++是奇函数，这样的映射f 的个数()25A (B)45 (C)50 (D)100解答：设()()()g x x f x xf x =++则(1)1g -=-，(0)(0)g f =，(1)12(1)g f =+，(1),(1)g g -均为奇数，所以只需令(0)f 为奇数，所以共有52550⨯⨯=种选择. 答案C.（5）若关于x 的方程12cos(1)0x a x -+-=只有一个实数解，则实数a 的值()1A -等于 (B)1等于 (C)2等于 (D)不唯一解答：显然12x -与cos(1)a x -均关于1x =对称，若有1x =之外的解，则均成对出现，所以要只有一个解，则只能在1x =处，此时1a =- 当1a =-时，1x ≠时121x ->，1cos(1)1a x -≤-≤，确实只有1x =一个解.答案A.（6）设,a b 为非零向量，且2b a =，则b 与b a -夹角的最大值为（B ）()12A π(B)6π(C)4π(D)3π 解答：因为2b a =，取OD b =，则平移向量a 的起点到点O ，则向量a 的终点在以O 为圆心，以2b 为半径的圆上，则b 与b a -夹角为COD ∠，根据几何意义可知，当CD 与圆O相切时，夹角最大，此时，OC CD ⊥，则1sin 2OC COD OD ∠==,则6COD π∠=. 所以0,6πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 答案B.（7）已知三棱锥P ABC -的底面为边长为3的正三角形，且3,4,5,PA PB PC ===则P ABC -的体积为（C ）()3A解答：因为3AB AC AP ===,过点A 向面PBC 作垂线PH ，因为斜边长相等，则射影相等，可知H 到顶点,,P B C 距离相等，因此H 为PBC 的外心，因为PBC 为直角三角形，所以H 为PC 的中点.AH ⊥平面PBC，则2AH ==,所以113432P ABC A PBC V V --==⋅⋅⋅=答案C.（8）设函数432()2(2)2(12)41f x x x m x m x m =-++-+++，若对任意的实数,()0,x f x ≥则实数m 的取值范围是（A ）()[0,)A +∞ 1()[,)2B +∞ ()[0,1]C 1()[,1]2D解答：：()4322()02221440f x x x x x m x x ≥⇔-+-++-+≥即()()()()()2224322442221211m x x x x x x m x x x-+≥--+-+⇔-≥--+则，题目等价于对任意的实数,x ()()()222211m x x x-≥--+恒成立，当2x =时，不等式显然成立，当2x ≠时，题目等价于对任意的实数,x ()()()222112x x m x -+≥--恒成立， 因为()()()2221102x x x -+-≤-，而且0能取到，所以()()()222112x x x -+--的最大值为0， 因此0m ≥. 答案A.（9）设正实数,,,x y z w 满足22020x y z w yz wx z y --+=⎧⎪-=⎨⎪≥⎩，则z y 的最小值为 D()62A + ()622B + ()632C + ()642D +解答：设z t z yt y =⇒=，则22(2)21x w y t y t wx t +=+⎧⎪=⎨⎪≥⎩，由均值不等式可得，22(2)22(2)8y t xw y t xw +≥⇔+≥， 又因为22y t wx =，所以222(2)16y t y t +≥，则2(2)16642,642t t t t +≥⇔≥+≤-，又因为1t ≥，所以642t ≥+， 答案D.（10）给定圆O 及圆内一点P ，设,A B 是圆O 的两个动点，满足90APB ︒∠=，则AB 的中点的轨迹为 (A)()A 一个圆 ()B 一个椭圆 ()C 一段双曲线 ()D 一段抛物线解答：如图，建立平面直角坐标系，不妨假设圆O 的方程为222,x y R +=()(),00P m m R ≤<，则OM AB ⊥,所以222AM OA OM =-,因为AM PM =，所以222PM OA OM =-， 设(),M x y ，则22222()x m y R x y -+=--化简得：2222m x y mx 22R +-+=，即2222x y 224m R m ⎛⎫-+=-⎪⎝⎭， 所以轨迹为一个圆. 答案A.（11）方程23100x y z ++=的非负整数解的个数是()883A ()884B ()885C ()886D 解答：令2x y t +=，先研究3100t z +=的解的个数，然后对于t 的每一个可能的取值0t ，分别研究02x y t +=的解的个数.将未知问题（三元）转化为已知问题（二元）去解决。
2012年清华等五校自主招生试题通用测试数学试题
2012年清华等五校自主招生试题数 学一、选择题1.若P 为ABC ∆内部任一点(不包括边界),且()(2)0PB PA PB PA PC -+-= ,则ABC ∆必为( )A.直角三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形2.圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形,O 为底面中心,M 为SO 的中点,动点P 在圆锥底面内(包括圆周).若MA MP ⊥,则P 点形成的轨迹的长度为( )C.3D.323.若以体积为54的正四面体的四个面的中心为顶点做一个四面体,则所作四面体的体积为( )A.1B.2C.3D.44.某种型号的计算器上有一个特殊的按键,在计算器上显示正整数n 时按下这个按键,会等可能的将其替换为0,1,2,,1n - 中的任意一个数.如果初始时显示2011,反复按这个按键使得最终显示0,那么这个过程中,9,99,999都出现的概率是( ) A.4110 B.5110 C.6110 D.7110 5.已知,R αβ∈,直线1sin sin sin cos x y αβαβ+=++与1cos sin cos cos x y αβαβ+=++的交点在直线y x =-上,则cos sin c in s s o ααββ+++=( )A.0B.1C.1-D.26.设lg lg lg 111()121418x x xf x =+++++,则1()()f x f x +=( ) A.1B.2C.3D.4 7.已知1cos 45θ=,则44sin cos θθ+=( ) A.45 B.35C.1D.45-8.若正四棱柱ABCD AB C D ''''-内接于一球,且1,'AB AA =,则点,A C 间的球面距离为( ) A.π4 B.π29.若将满足,||3,||3x y x y <<<,且使得关于t 的方程33421()(3)0x y t x y t x y -+++=-没有实数根的点(,)x y 所成的集合记为M ,则由点集M 所确定的区域的面积为( ) A.814 B.834 C.815 D.835 10.已知椭圆22143x y +=的左,右焦点分别为12,F F ,过椭圆的右焦点作一条直线交椭圆于点,P Q ,则1F PQ ∆的内切圆面积的最大值是( ) A.2516π B.925π C.1625π D.916π 二、解答题11.设2()(,)f x x bx c b c =++∈R .若||2x ≥时,()0f x ≥,且()f x 在区间(2,3]上的最大值为1,求22b c +的最大值和最小值.12.已知椭圆C :22221x y a b +=(0a b >>),其离心率为45,两准线之间的距离为252. (1)求,a b 之值；(2)设点A 坐标为(6,0),B 为椭圆C 上的动点,以A 为直角顶点,作等腰直角ABP ∆(字母,,A B P 按顺时针方向排列),求P 点的轨迹方程.13.已知数列{}n a 中的相邻两项212,k k a a -是关于x 的方程2(32)320k x k x k -++⋅=的两个根.(1)求数列{}n a 的前2n 项和2n S .(2)记1|sin |()(3)2sin n f n n =+,(2)(3)(4)()123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a -----=++++ ,求证:15624n T ≤≤. 14.已知椭圆22221x y a b+=过定点(1,0)A ,且焦点在x 轴上,椭圆与曲线y x =的交点为,B C .现有以A 为焦点,过,B C 且开口向左的抛物线,其顶点坐标为(,0)M m ,当椭圆离心率满足2213e <<时,求实数m 的取值范围. 15.已知从“神八”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为13,某植物研究所进行该种子的发芽实验,每次实验种一料种子,每次实验结果相互独立.假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的,如果种子没有发芽,则称该次实验是失败的.若该研究所共进行四次实验,设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值(1)求随机变量ξ的数学期望E ξ；(2)记“关于x 的不等式210x x ξξ-+>的解集是实数集R ”为事件A ,求事件A 发生的概率()P A .。
2013清华北大自主招生测评试题 物理 物理测评试题
2013年清华北大自主招生测评试题物理自主招生物理 测评试题（考试时间：90分钟，总分100分）一、选择及填空题：（本大题共8小题．每小题6分，共48分．在每小题给出的四个选项中，有的只有一项符合题目要求，有的有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）1．如图所示，三根长度均为l 的轻绳分别连接于C 、D 两点，A 、B 两端被悬挂在水平天花板上，相距2l .现在C 点上悬挂一个质量为m 的重物，为使CD 绳保持水平，在D 点上可施加力的最小值为( )A ．mgB.33mg C.12mg D.14mg 2. 如图所示，物体m 在沿斜面向上的拉力F 1作用下沿斜面匀速下滑．此过程中斜面仍静止，斜面质量为M ，则水平地面对斜面体：（ ）A.无摩擦力B.有水平向左的摩擦力C.支持力为(M +m )gD.支持力小于(M+m )g3. 如图，一不可伸长的轻质细绳跨过定滑轮后，两端分别悬挂质量为m 1和m 2的物体A 和B .若滑轮有一定大小，质量为m 且分布均匀，滑轮转动时与绳之间无相对滑动，不计滑轮与轴之间的摩擦．设细绳对A 和B 的拉力大小分别为F T1和F T2，已知下列四个关于F T1的表达式中有一个是正确的．请你根据所学的物理知识，通过一定的分析，判断正确的表达式是( )A ．F T1＝m ＋2m 2m 1gm ＋2m 1＋m 2B ．F T1＝m ＋2m 1m 1gm ＋4m 1＋m 2C ．F T1＝m ＋4m 2m 1gm ＋2m 1＋m 2D ．F T1＝m ＋4m 1m 2gm ＋4m 1＋m 24.（08顺义二模）如图所示电路，电源保持不变，L 是标有‚6V 3W ‛的小灯泡，R 是滑动变阻器．闭合3S ,断开12S S 、，滑片P 位于中点时，灯泡L 恰好正常发光，电压表V 的示数为1U ；当123S S S 、、都闭合，滑片P 滑至b 端时，电流表示数为1.5A ,电压表V 的示数为2U ；12:=1:2U U ,下列选项正确的是（ ）A ．滑动变阻器的变化范围是0~12ΩB ．滑动变阻器的变化范围是0~24ΩC ．当123S S S 、、都闭合，滑片P 位于a 端时，灯泡L 仍能正常工作D ．当123S S S 、、都闭合，滑片P 位于b 端时，1R 消耗的实际电功率是6W5．足够长的光滑金属导轨MN 、PQ 水平平行固定，置于竖直向上的匀强磁场中，在导轨上放两条金属杆ab 、cd ，两杆平行且与导轨垂直接触良好。
2018年清华大学自主招生试题数学Word版含解析
一、选择题1.设复数z=cos 23π+isin 23π，则2111-1z z +-=（ ） (A)0 (B)1 (C)12 (D)322.设数列{}n a 为等差数列，p,q,k,l 为正整数，则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”的( )条件(A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要 3.设A 、B 是抛物线y=2x 上两点，O 是坐标原点，若OA ⊥OB,则( )(A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥22(C)直线AB 过抛物线y=2x 的焦点 (D)O 到直线AB 的距离小于等于14.设函数()f x 的定义域为(-1,1)，且满足：①()f x >0,x ∈(-1,0)；②()f x +()f y =()1x yf xy++，x 、y ∈(-1,1)，则()f x 为 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数5.如图，已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点，则F(x)=f (x)−kx 有（ ）(A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点 6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c ．若c=2，∠C=3π，且sinC+sin(B −A)−2sin2A=0,则有（ ） (A)b=2a (B)△ABC 的周长为3 (C)△ABC 的面积为33(D)△ABC 的外接圆半径为337.设函数2()(3)xf x x e =-，则（ ）(A)()f x 有极小值，但无最小值 (B) ()f x 有极大值，但无最大值 (C)若方程()f x =b 恰有一个实根，则b>36e(D)若方程()f x =b 恰有三个不同实根，则0<b<36e 8.已知A={(x,y)∣222x y r +=}，B={(x,y)∣222()()x a y b r -+-=，已知A∩B={(11,x y ),(22,x y )}，则（ ）(A)0<22a b +<22r (B)1212()(y )0a x x b y -+-= (C)12x x +=a ，12y y +=b (D)22a b +=1122ax by +9.已知非负实数x,y,z 满足22244x y z +++2z=3，则5x+4y+3z 的最小值为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)410.设数列{n a }的前n 项和为n S ，若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n S =m a ，则（ ）（A ）{n a }可能为等差数列 （B ）{n a }可能为等比数列（C ）{n a }的任意一项均可写成{n a }的两项之差(D)对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n a =m S11.运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6道的选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（ ） (A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁12.长方体ABCD −1111A B C D 中，AB=2，AD=A 1A =1，则A 到平面1A BD 的距离为（ ）(A)13 (B)23(C)2 (D)313.设不等式组||||22(1)x y y k x +≤⎧⎨+≤+⎩所表示的区域为D ，其面积为S ，则（ ）(A)若S=4，则k 的值唯一 (B)若S=12，则k 的值有2个(C)若D 为三角形，则0<k ≤23(D)若D 为五边形，则k>4 14.△ABC 的三边长是2,3,4，其外心为O ，则OA AB OB BC OC CA ⋅+⋅+⋅=（ ） (A)0 (B)−15 (C)−212(D)−29215.设随机事件A 与B 互相独立，且P(B)=0.5，P(A −B)=0.2，则（ ）(A)P(A)=0.4 (B)P(B −A)=0.3 (C)P(AB)=0.2 (D)P(A+B)=0.916.过△ABC 的重心作直线将△ABC 分成两部分，则这两部分的面积之比的（ ） (A)最小值为34 (B)最小值为45 (C)最大值为43 (D 最大值为5417.从正15边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（ ）(A)105种 (B)225种 (C)315种 (D)420种18.已知存在实数r ，使得圆周222x y r +=上恰好有n 个整点，则n 可以等于（ ） (A)4 (B)6 (C)8 (D)12 19.设复数z 满足2|z|≤|z −1|，则（ ） (A)|z|的最大值为1 (B)|z|的最小值为13 (C)z 的虚部的最大值为23(D)z 的实部的最大值为1320.设m,n 是大于零的实数，a =(mcosα,msinα)，b =(ncosβ,nsinβ)，其中α,β∈[0,2π)α,β∈[0,2π)．定义向量12a =(2α2α),12b =(2β2β)，记θ=α−β，则（ ）(A)12a ·12a =a (B)1122a b ⋅=2θ(C)112222||44a b mn θ-≥(D)112222||44a b mn θ+≥21.设数列{n a }满足：1a =6，13n n n a a n++=，则（ ） (A)∀n ∈N ∗,n a <3(1)n + (B)∀n ∈N ∗,n a ≠2015 (C)∃n ∈N ∗,n a 为完全平方数 (D)∃n ∈N ∗, n a 为完全立方数 22.在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有（ ） （A ）ρ=1cos sin θθ+ （B ）ρ=12sin θ+ （C ）ρ=12cos θ- （D ）ρ=112sin θ+23.设函数2sin ()1xf x x x π=-+，则（ ）（A ）()f x ≤43(B)|()f x |≤5|x| (C)曲线y=()f x 存在对称轴 (D)曲线y=()f x 存在对称中心24.△ABC 的三边分别为a ,b,c ，若△ABC 为锐角三角形，则（ ） (A)sinA>cosB (B)tanA>cotB (C)222a b c +> (D)333a b c +>25.设函数()f x 的定义域是(−1,1)，若(0)f =(0)f '=1，则存在实数δ∈(0,1)，使得（ ） (A)()f x >0，x ∈(−δ,δ) (B)()f x 在(−δ,δ)上单调递增 (C)()f x >1，x ∈(0,δ) (D)()f x >1，x ∈(−δ,0)26.在直角坐标系中，已知A(−1,0)，B(1,0)．若对于y 轴上的任意n 个不同的点k P (k=1,2,…,n)，总存在两个不同的点i P ,j P ，使得|sin ∠A i P B −sin ∠A j P B|≤13，则n 的最小值为（ ）(A)3 (B)4 (C)5 (D)627.设非负实数x,y 满足2x+y=1，则）(A)最小值为45 (B)最小值为25(C)最大值为1 (D)最大值为1328.对于50个黑球和49个白球的任意排列（从左到右排成一行），则（ ）(A)存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多 (B)存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多(C)存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个 (D)存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个29.从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成五位数，其中有两个数字各用两次，例如12231，则能得到的不同的五位数有（ ） (A)300个 (B)450个 (C)900个 (D)1800个30.设曲线L 的方程为42242(22)(2)y x y x x +++-=0，则（ ） (A)L 是轴对称图形 (B)L 是中心对称图形 (C)L ⊂{(x,y)∣22x y +≤1} (D)L ⊂{(x,y)∣−12≤y ≤12} ##Answer## 1.【解析】2111-1z z +-=211-zz z zz z +-=11-z z z z +-=22cos sin 1332221-cos sin 2sin 333i i i πππππ-+--=212sin 2sincos333i πππ-⋅-22cos()sin()33sin )22i i ππππ-+-+ =cos 0sin 02sin [cos()sin()]366i i πππ+-+-77)sin()]66i ππ-+-1sin )662i i ππ+=1，选B2.【简解】 ()p q k l a a a a +-+=[(p+q)-(k+l)]d ，与公差d 的符号有关，选D3.【解析】设A(211,x x ),B(222,x x ),OA OB ⋅=1212(1)x x x x +=0⇒211x x =-答案(A),||||OA OB ⋅=2，正确；答案(B),|OA|+|OB|≥22,正确；答案(C),直线AB 的斜率为222121x x x x --=21x x +=111x x - 方程为y-21x =(111x x -)(x-1x ),焦点(0,14)不满足方程，错误；答案(D)，原点到直线AB ：(111x x -)x-y+1=0的距离1，正确。
清华大学自主招生面试题
以下是小编为大家做了的2014年清华大学自主招生笔试题目!!!一、中英文综合(200分)(一)、语文部分(95分)1、甲文：白居易的粉丝(9分)(1)、请解释什么是“白居易现象”。
(2)、“文章已满行人耳，一度思卿一怆然。
”一句中的“文章”指的是什么?(3)、陈至呼为“白舍人行诗图”的根据是什么?(4)、作者写到“打开整部中国文学史上，与大众如此呼吸相通，生息相关，声气相连，心神相交的文人，还真是很少见有与他相匹敌者。
”作者似乎另有感慨，作者感慨的是什么哪2、乙文：4年前与奥巴马的邂逅(11分)(略)(1)、请具体说明文中“如同奥巴马所期待的那样”指的是什么?(2)、下文为奥巴马当选总统后的演讲，请说明文中“我”的作用和下文中安·尼克松·库伯的作用分别是什么?3、丙文：历史与记忆(13分)(略)(1)、文中“记忆能否擦拭掉历史的尘垢，恢复其本来面目?”显然有两种回答：能或不能。
请选择一种，并举例论证。
(2)、“在押往集中营的火车上，她设法递出了令人揪心的一封明信片。
她说，她不知道她的孩子在哭泣，在挨饿?他要死了吗?她希望有人去照料一下她的孩子啊!这份明信片现在就在博物馆里展出。
"作者举这个例子的目的是什么?(3)、如果《中国发展年鉴》要增加一个词条“城市记忆”，请你做一个解释。
(30字以内)4、丁文：传统油画过气了吗?(12分)(略)(1)、最后说这种诗意又是“东方式”的，怎么理解?(2).式微一词出自哪?它的意思是什么?(3)、文中与架上油画意思相同的词还有哪些?(请写出两个)(4)、传统油画仍是绘画艺术中魅力犹存的主流样式。
在作者看来，原因是什么5、甲--丁文：作文(1)、下面的词都是与原文相关的词汇，选择其中的5个，做简单的解释。
(5分)IT 粉丝过气涂鸦小众化(2)、上面四篇文章是选自某一期报纸的某一版面，请你为这个版面拟一个称谓，并说明你的构想(800字左右)(45分)(二)、英语部分(80分)1、10个词汇题，给出一句话，将其中一个词划线，从A、B、C、D中选出与划线词意思相近的词。
2010清华大学自主招生试题数学试题
父本、母本的基因型 相应情况 子一代基因 子一代基因 子一代基因
式
出现的概率 为 的概率 为 的概率 为 的概率
父母
父母
父母
父母
父母
父母
第 7页（共 13页）
父母 父母 父母
子一代的基因型式为 的概率为
……………3 分 由对称性知子一代的基因型式为 的概率为 . ……………………6 分 子一代的基因型式为 的概率为
把
代入，整理得
所以 因为
都不平行于 轴，
所以直线
斜率之和为
可知直线
的倾角互补，而 平行于 轴，
所以 平分
作
为垂足
则
可得
由已知
，
可得
，所以
所以
为直角三角形
（Ⅱ）如图，根据的结果，可以设直线的方程分别为
第 5页（共 13页）
把
分别代入，得
所以
由已知可知
，
所以
所以
或
解得
，
当取
时，求得
，又 斜率
，
所以直线 方程为
.
………
若记
，
， 的比例为
……………………9 分
，则
，
，
，子一代三种基因型式： ，
. …………10 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知子二代的基因型式为 ， ， 的比例为
，
.
由
，可得
，
.
………… ，其中
故子二代三种基因型式 ， ， 的比例为
例相 同.
……………………14 分
第 8页（共 13页）
，与子一代基因型式的比
正棱锥的表面积
由（Ⅰ）知，当时，正棱锥的表面积取得最小值。由于正棱锥的表面积与底面机之比为
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华夏园自主招生特训数学资料 w w w . h x y j y . c n 自主招生试题选讲(清华、北大、交大等) 2009，11 清华大学、上海交通大学、中国科学技术大学、南京大学、西安交通大学五所顶尖大学自主招生上强强联手，掀开了国内高招史上的新篇章 自主招生试题特点：试题难度高于高考，有的达到竞赛难度，试题灵活，毫无规律可寻，但各个学校有自己命题风格。一般说来，各高校对后续性的知识点：如，函数、不等式、排列组合等内容相对占比例稍高。 应试策略：1、注重基础：一般说来，自主招生中，基础题目分数比例大约占60-70% 2、适当拓展知识面，自主招生中，有不少内容是超出教材范围 3、对考生自己所考的院校历届真题争取尽量弄到手，并进行分析。 几个热点问题 方程的根的问题：
1. 已知函数2()fxaxbxc(0)a，且()fxx没有实数根．那么(())ffxx是否有实数根？并证明你的结论．（08交大） 2. 设432()(1)(32)4fxaxxaxa，试证明对任意实数a：
（1）方程()0fx总有相同实根； （2）存在0x，恒有0()0fx．（07交大） 3.（06交大）设3229,29270kxkxkxk解方程 4. （05复旦）在实数范围内求方程：441073xx的实数根． 5.（05交大）320xaxbxc的三根分别为a,b,c，并且a,b,c是不全为零的有理数，求a,b,c的值．
6. 解方程：．求方程2223xxxxx（n重根）的解．(09交大)
凸函数问题 1. (2009复旦) 如果一个函数f(x)在其定义区间内对任意x，y都满足 ()()()22xyfxfyf，则称这个函数时下凸函数，下列函数
（1）()fx2x （2）()fx3x （3）()fx2logx（0x） 华夏园自主招生特训数学资料 w w w . h x y j y . c n （4）,0,()2,0,xxfxxx 中是下凸函数的有-------------------。 A．(1)(2) B. (2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4)
2. （06复旦）设x1,x2∈（0，2），且x1≠x2，下列不等式中成立的是： (1)12（tanx1+tanx2）>tan122xx; (2) 12（tanx1+tanx2）(3)12（sinx1+sinx2）>sin122xx; (4) 12（sinx1+sinx2）A． (1),(3) B．(1),(4) C．(2),(3) D．(2),(4)
3.（09，清华）,1,yx0,y0,xNn证明：122221xnnn
y
柯西不等式
时等号成立。时，规定，当且仅当为任意实数，则，，，及，，，设)00())(()(22112222122221222112121iinnnnnnnnbababababbbaaa
babababbbaaa
1．(03交大)已知,xyR，x+2y＝1，则22xy的最小值是______________． 2. 已知2x+3y+4z=10，求x2+y2+z2的最小值。 3．P为△ABC内一点，它到三边BC、CA、AB的距离分别为123,,ddd，S为△ABC的面积，
求证：2123()2abcabcdddS．（09南大）
4. 给定正整数n和正常数a，对于满足不等式aaan2121的所有等差数列a1,a2,a3,…,和式121nniia的最大值=_______.（07复旦）
A.)1(210na; B.na210; C.)1(25na; D.na25. 5. （07复旦）当a和b取遍所有实数时，则函数22)sin2()cos35(),(bababaf
所能达到的最小值为_____________. A.1; B.2; C.3; D.4. 华夏园自主招生特训数学资料 w w w . h x y j y . c n 基础题
1. 求()xefxx的单调区间及极值.(2007年清华) 2.设正三角形1T边长为a，1nT是nT的中点三角形， nA为nT除去1nT后剩下三个三角形内切圆面积之和.
求1limnknkA.(2007年清华) 3. 圆内接四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝3，DA＝4， 求ABCD的外接圆半径．(北大2009) 4. 已知一公差为正整数无穷项等差数列，其中有3项：13，25，41． 求证：2009为数列中一项．（2009，北大）
5. 求最小正整数n，使得11()223nIi为纯虚数，并求出I．(06,清华)
6. 已知ba、为非负数，1ba,baM44，求M的最值．(06,清华) 7. 已知cossinsin、、为等差数列，cossinsin、、为等比数列，求2cos212cos的值．(06,清华) 8. 比较25log24与26log25的大小并说明理由．（04复旦）
9. 求证：边长为1的正五边形对角线长为215（08北大）. 10. 四面体ABCD中,AB=CD,AC=BD,AD=BC。 （1）求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形。 （2）设底面为BCD，设另外三个面与面BCD所形成的二面角为α，β，γ。 求证：cosα+cosβ+cosγ=1。 11.（09清华）（1）,1,yx0,y0,xNn证明：122221xnnn
y
（2）已知x，y，z>0，a，b，c是x，y，z的一个排列。求证：3abcxyz。 12. 求所有3项的公差为8的自然数数列，满足各项均为素数。 华夏园自主招生特训数学资料 w w w . h x y j y . c n 13. 求所有满足tantantan[tan][tan][tan]ABCABC 的非直角三角形（这里x表示不超过x的最大整数） (2009年南京大学自主招生试题) 14. 求由正整数组成的集合S，使S中的元素之和等于元素之积(06，清华)。
15. 1515的整数部分为A，小数部分为B。 （1）求A,B； （2）求222ABAB； （3）求22lim()nnBBB。（09，清华） 16．（09复旦）.定义全集X的子集AX的特征函数为 1,,()0,,AXxAxxAfC
这里，XAC表示A在X中的补集。那么，
对A，BX，下列命题中不准确的是_______________. A．AB()Axf≤()Bxf，∀xX
B．()1()XAAxxCff，∀xX c. ()ABxf()Axf()Bx
f
，∀xX
D. ()ABxf()Axf+()Bxf，∀xX 17．（09复旦）.半径为R的球内部装4个有相同半径r的小球，则小球半径r的最大可能值是_______________。
A．323R B. 636R C. 113R D．525R
中等题 18. 给出一个整系数多项式1110()nnnnfxaxaxaxa， 使()0fx有一个根为323（2009清华）
19.．通信工程中常用n元数组123(,,,)naaaa……表示信息，其中0ia或1，inN、．设
123(,,)nuaaaa……，123(,,)nvbbbb……，(,)duv表示u和v中相对应的元素不同的
个数． （１）(0,0,0,0,0)u问存在多少个5元数组v 使得(,)1duv； 华夏园自主招生特训数学资料 w w w . h x y j y . c n （２）(1,1,1,1,1)u问存在多少个5元数组v 使得(,)3duv； （３）令0(0,0,00)nw个……，123(,,)nuaaaa……，123(,,)nvbbbb……，
求证：(,)(,)(,)duwdvwduv．（08交大） 20．证明：若f（f（x））有唯一不动点，f（x）也有唯一不动点（09交大）
21. 已知(1,1)A，△ABC是正三角形，且B、C在双曲线1(0)xyx一支上. (1)求证B、C关于直线yx对称； (2)求△ABC的周长.(07,清华)
22. 是否存在实数x，使3cot,3tanxx均为有理数？(09，北大)
23．对于集合2RM，称M为开集，当且仅当0PM，0r， 使得20{}PRPPrM. 判断集合{(,)4250}xyxy与{(,)0,0}xyxy是否 为开集，并证明你的结论.(2007年清华)。
*
111223*124.{},,,(,)(1).(2),1,.(3)(2),.nn
mnm
iiaabbbaabNaabbabaamnNabba
首项为公差为首项为公比为且求的值若使求的值
在的条件下求
25．定义在R上的函数244xxxf，
nnfnfnfSn
121 n=2,3,…
(1) 求nS； (2) 是否存在常数M>0，2n，有231111nMSSS．（05复旦） 26．已知线段AB长度为3，两端均在抛物线2xy上，试求AB的中点M到y轴的最短距离和此时M点的坐标．（07交大） 27．有限条抛物线及其内部能否覆盖整个平面？并证明。（抛物线内部指焦点所在的一侧）（09清华）
28． 数列na满足2121nnaa，1Na且11Na，其中2,3,4,N
①求证：11a；