2021_2022学年新教材高中数学第三章函数3.2函数与方程、不等式之间的关系(第2课时)零点的存

第2课时 零点的存在性及其近似值的求法考点学习目标核心素养 函数零点存在定理会用函数零点存在定理判断函数在某一区间上零点的存在性及零点个数，会根据函数零点的情况求参数数学抽象、数学运算、直观想象二分法通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求定理近似解的方法，会用二分法求一个函数在给定区间内零点近似值数学抽象、数学运算、逻辑推理问题导学预习教材P115－P118的内容，思考以下问题： (1)函数零点存在定理的内容是什么？ (2)二分法的概念是什么？(3)用二分法求函数零点近似值的步骤是什么？1.函数零点存在定理如果函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上的图像是连续不断的，并且f (a )·f (b )＜0(即在区间两个端点处的函数值异号)，那么函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]中至少有一个零点，即∃x 0∈(a ，b )，f (x 0)＝0.■名师点拨 定理要求具备两条：①函数在区间[a ，b ]上的图像是连续不断的一条曲线；②f (a )·f (b )＜0.2.用二分法求函数零点近似值的步骤在函数零点存在定理的条件满足时(即f (x )在区间[a ，b ]上的图像是连续不断的，且f (a )·f (b )＜0)，给定近似的准确度ε，用二分法求零点x 0的近似值x 1，使得|x 1－x 0|＜ε的一般步骤如下：第一步 检查|b －a |＜2ε是否成立，如果成立，取x 1＝a ＋b2，计算完毕；如果不成立，转到第二步.第二步 计算区间[a ，b ]的中点a ＋b2对应的函数值，假设f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝0，取x 1＝a ＋b 2，计算完毕；假设f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≠0，转到第三步.第三步 假设f (a )f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＜0，将a ＋b 2的值赋给b ⎝ ⎛⎭⎪⎫用a ＋b 2→b 表示，下同，回到第一步；否那么必有f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2f (b )＜0，将a ＋b 2的值赋给a ，回到第一步.■名师点拨 二分就是将所给区间平均分成两局部，通过不断逼近的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的准确度，用此区间内的某个数值近似地表示真正的零点.判断正误(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)假设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有零点，那么一定有f (a )·f (b )＜0.( ) (2)所有函数的零点都可以用二分法来求.( ) (3)函数f (x )＝|x |可以用二分法求其零点.( ) 答案：(1)× (2)× (3)×观察以下函数的图像，判断能用二分法求其零点的是( )答案：A函数f (x )＝x 3－3x －3有零点的区间是( ) A.(－1，0) B.(0，1) C.(1，2)D.(2，3)解析：选D.因为f (－1)＝－1＋3－3＝－1＜0，f (0)＝－3＜0，f (1)＝1－3－3＝－5＜0， f (2)＝8－6－3＝－1<0，f (3)＝27－9－3＝15>0，所以f (x )＝x 3－3x －3的零点在区间(2，3)内.用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算得f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈ ，第二次应计算 .答案：(0) f (0.25)判断函数零点个数或所在区间(1)函数y＝f(x)的图像是连续不断的一条曲线，有如下的对应值表：x 12345 6 y －7.82那么以下说法正确的选项是( )A.函数y＝f(x)在区间[1，6]上有3个零点B.函数y＝f(x)在区间[1，6]上至少有3个零点C.函数y＝f(x)在区间[1，6]上至多有3个零点D.函数y＝f(x)在区间[1，2]上无零点(2)函数f(x)＝x3＋x－5的零点所在区间为( )A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)【解析】(1)由表可知，f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(，函数y＝f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上分别至少存在一个零点，所以函数y＝f(x)在区间[1，6f(1)·f(2)＞0，但函数y＝f(x)在[1，2]上也有可能存在一个或多个零点.(2)由函数f(x)＝x3＋x－5可得f(1)＝1＋1－5＝－3＜0，f(2)＝8＋2－5＝5＞0，故有f(1)f(2)＜0，根据函数零点存在定理可得，函数f(x)的零点所在区间为(1，2)，应选B.【答案】(1)B (2)B(1)判断函数零点所在区间的三个步骤①代入：将区间端点值代入函数求出相应的函数值.②判断：把所得的函数值相乘，并进展符号判断.③结论：假设符号为正且函数在该区间内是单调函数，那么在该区间内无零点，假设符号为负且函数连续，那么在该区间内至少有一个零点.(2)判断函数存在零点的2种方法①方程法：假设方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数.②图像法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一平面直角坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图像，根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数.1.在以下区间上，方程x 3＝3x －1无实数解的是( ) A.(－2，－1) B.(－1，0) C.(0，1)D.(1，2)解析：选B.令f (x )＝x 3－3x ＋1， 易知f (x )在R 上连续，f (－1)＝－1＋3＋1＝3＞0， f (－2)＝－8＋6＋1＝－1＜0，且f (0)＝0－0＋1＝1＞0.f (1)＝1－3＋1＝－1＜0， f (2)＝8－6＋1＝3＞0.故f (x )在(－2，－1)，(0，1)，(1，2)上有零点， 故方程x 3－3x ＋1＝0在区间(－1，0)上没有零点. 应选B.2.对于函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，假设f (a )＞0，f (b )＞0，那么函数f (x )在区间(a ，b )上( )A.一定有零点B.一定没有零点C.可能有两个零点D.至多有一个零点解析：选C.(1)当Δ＝m 2－4n ＜0时，方程x 2＋mx ＋n ＝0无实根，即函数f (x )＝x 2＋mx ＋n 在(a ，b )上没有零点.(2)当Δ＝m 2－4n ＝0，且a ＜－m2＜b ，方程x 2＋mx ＋n ＝0在(a ，b )上有两个相等的实根，即x 1＝x 2＝－m2，此时函数f (x )＝x 2＋mx ＋n 在(a ，b )上有一个零点.(3)当Δ＝m 2－4n ＞0，且a ＜－m2＜b ，f (a )＞0，f (b )＞0时，方程x 2＋mx ＋n ＝0在(a ，b )上有两个不等实根，即函数f (x )＝x 2＋mx ＋n 在(a ，b )上有两个零点.根据函数零点求参数(1)a 是实数，函数f (x )＝2|x －1|＋x －a ，假设函数y ＝f (x )有且仅有两个零点，那么实数a 的取值范围是 .(2)函数f (x )＝ax 2－2x ＋1，假设y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12内有零点，那么实数a 的取值范围为 Ｗ.【解析】 (1)函数f (x )＝2|x －1|＋x －a 有且仅有两个零点，即函数y ＝2|x －1|＋x 与y ＝a 有且仅有两个交点.分别作出函数y ＝2|x －1|＋x 与y ＝a 的图像，如下图.由图易知，当a >1时，两函数的图像有两个不同的交点，故实数a 的取值范围是(1，＋∞).(2)f (x )＝ax 2－2x ＋1＝0，可得a ＝－1x 2＋2x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12＋1.假设f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12内有零点，那么f (x )＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12内有解，当－12≤x <0或0<x ≤12时，可得a ＝－1x 2＋2x ≤0.所以实数a 的取值范围为(－∞，0].【答案】 (1)(1，＋∞)(2)(－∞，0]根据函数零点个数求参数值(范围)的方法函数有零点(方程有根)求参数取值范围的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围.(2)别离参数法：先将参数别离，然后转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.函数f (x )＝|x 2－2x |－a ，求满足以下条件的a 的取值范围.(1)函数f (x )没有零点； (2)函数f (x )有两个零点； (3)函数f (x )有三个零点； (4)函数f (x )有四个零点.解：函数g (x )＝|x 2－2x |的图像如下图.(1)函数f (x )没有零点，即直线y ＝a 与g (x )＝|x 2－2x |的图像没有交点，观察图像可知，此时a ＜0.(2)函数f (x )有两个零点，即直线y ＝a 与g (x )＝|x 2－2x |的图像有两个交点，观察图像可知此时a ＝0或a ＞1.(3)函数f (x )有三个零点，即直线y ＝a 与g (x )＝|x 2－2x |的图像有三个交点，由图像易知a ＝1.(4)函数f (x )有四个零点，即直线y ＝a 与g (x )＝|x 2－2x |的图像有四个交点，由图像易知0＜a ＜1.利用二分法求方程的近似解用二分法求方程x 2－2x －1＝0的正解的近似值(准确度为0.1).【解】 设f (x )＝x 2－2xf (2)＝－1＜0，f (3)＝2＞0，又f (x )在(2，3)内递增，所以在区间(2，3)内，方程x 2－2x －1＝0有唯一实数根，记为x 0.取区间(2，3)的中点x 1，因为f (2.5)＝0.25＞0，所以x 0∈(2，). 再取区间(2，)的中点x 2，因为f (2.25)＝－0.437 5＜0，所以x 0∈，). 同理可得，x 0∈75，). ，故方程x 2－2x 错误!＝2.437 5.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原那么(1)需依据图像估计零点所在的初始区间[m ，n ](一般采用估计值的方法完成). (2)取区间端点的中点c ，计算f (c )，确定有解区间是(m ，c )还是(c ，n )，逐步缩小区间的“长度〞，直到区间的两个端点符合准确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值.函数f (x )＝2x 3－1(x ∈R ).(1)证明：函数f (x ，1)内有一个零点；(2)求出f (x ，1)内零点的近似解.(准确度为0.1) 解：(1)证明：函数f (x )＝2x 3，1]上连续. 且f (1)＝2－1＝1＞0，f (0.5)＝14－1＜0，所以函数f (x ，1)内有一个零点；(2)由(1)知f (0.5)＜0，又f (1)＞0，所以方程2x 3，1)内有实数根. 如此继续下去，得到方程的一个实数根所在的区间，如下表： (a ，b ) (a ，b )的中点 f (a ) f (b ) f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，1) f (0.5)＜0 f (1)＞0 f (0.75)＜0 ，1)f (0.75)＜0f (1)＞0f (0.875)＞0，所以方程2x 3－1＝0的一个近似解可取为错误!＝0.812 5.R 上的函数f (x )的图像是连续不断的，且有如下对应值表：x 1 2 3 f (x )那么函数f(x)一定存在零点的区间是( )A.(－∞，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，＋∞)解析：选C.由于f(2)＞0，f(3)＜0，根据函数零点的存在定理可知函数f(x)在区间(2，3)内一定有零点，其他区间不好判断.应选C.2.假设f(x)＝x3＋x2－2x－2在区间[1]内的零点通过二分法逐次计算，参考数据如表，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个根在(1.406 5，)之间，那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为(准确度为0.1)1.4；那么其近似根为1.4.应选C.3.对于方程x3＋x2－2x－1＝0，有以下判断：①在(－2，－1)内有实数根；②在(－1，0)内有实数根；③在(1，2)内有实数根；④在(－∞，＋∞)内没有实数根.其中正确的有.(填序号)解析：设f(x)＝x3＋x2－2x－1，那么f(－2)＝－1＜0，f(－1)＝1＞0，f(0)＝－1＜0，f(1)＝－1＜0，f(2)＝7＞0，那么f(x)在(－2，－1)，(－1，0)，(1，2)内均有零点，即①②③正确.答案：①②③4.假设关于x的方程11＋|x|－x2＋a＝0有两个不等的实数解，那么a的取值范围是Ｗ.解析：作出函数y＝11＋|x|的图像(可以先作出函数y＝11＋x(x＞0)的图像，然后再关于y轴作翻折变换得到函数y＝11＋|x|的图像).函数y＝x2－a是一个二次函数，画出图像如下图.不难发现当－a＜1时，两个函数图像有两个交点，从而a的取值范围是(－1，＋∞).答案：(－1，＋∞)[A 根底达标]1.定义在R上的函数f(x)的图像是连续的，且其中的四组对应值如下表，那么在以下区间中，函数f(x)不一定存在零点的是( )x 123 5f(x)3－120A.(1，2)B.[1，3]C.[2，5)D.(3，5)解析：选D.由图表可知，f(1)＝3，f(2)＝－1，f(3)＝2，f(5)＝0.由f(1)·f(2)＜0，可知函数f(x)在(1，2)上一定有零点；那么函数f(x)在[1，3]上一定有零点；由f(2)·f(3)＜0，可知函数f(x)在(2，3)上一定有零点；那么函数f(x)在[2，5)上一定有零点；由f(3)＞0，f(5)＝0，可知f(x)在(3，5)上不一定有零点.所以函数f(x)不一定存在零点的是(3，5).应选D.2.函数f(x)＝x3－9的零点所在的大致区间是( )A.(－1，0)B.(0，1)C.(1，2)D.(2，3)解析：选D.因为函数f(x)＝x3－9在R上单调递增，f(2)＝8－9＝－1＜0，f(3)＝27－9＝18＞0，所以根据零点存在定理，可得函数f(x)＝x3－9的零点所在的大致区间是(2，3).应选D.3.f(x)＝x2＋6x＋c有零点，但不能用二分法求出，那么c的值是( )A.9C.7解析：选A.f (x )＝x 2＋6x ＋c 有零点，但不能用二分法求出，那么x 2＋6x ＋c ＝0，有两个相等的实数根，那么Δ＝36－4c ＝0，解得c ＝9， 应选A.4.用二分法求方程的近似解，求得f (x )＝x 3＋2x －9的局部函数值数据如表所示：x 1 21.812 5 f (x )－631.341 80.579 3，方程x 3＋2x －9＝0的近似解可取为( ) A.1.6 C.1.8，函数f (x )＝x 3＋2x －9的零点在(1.75，)之间： 结合选项可知， 方程x 3＋2x ， 应选C.5.(2021·岳阳一模)对任意实数a 、b 定义运算⊗：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1a ，a －b ＜1，设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，假设函数y ＝f (x )＋k 有三个零点，那么实数k 的取值范围是( )A.(－1，3]B.[－3，1]C.[－1，2)D.[－2，1)解析：选D.由题意可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ≤－2或x ≥3x 2－1，－2＜x ＜3，作出f (x )的函数图像，如下图：因为y ＝f (x )＋k 有三个零点， 所以－1＜－k ≤2，即－2≤k ＜1. 应选D.6.函数y ＝x 2＋a 存在零点，那么a 的取值范围是 . 解析：函数y ＝x 2＋a 存在零点，那么x 2＝－a 有解，所以a ≤0. 答案：(－∞，0]7.函数f (x )是定义域为R 的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，那么该函数有 个零点，这几个零点的和等于 .解析：因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，所以ff (－2)＝0，所以f (2)＝－f (－2)＝0，故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0.答案：3 08.假设函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在区间[0，4]内至少有一个零点，那么实数a 的取值范围为 Ｗ.解析：因为函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在区间[0，4]内至少有一个零点，且f (0)＝2＞0，结合函数f (x )的图像(图略)，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤2a 2≤4，Δ＝4a 2－8≥0或⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＞4，f (4)≤0，解得2≤a ≤4或a ＞4，即a ≥ 2.所以实数a 的取值范围为[2，＋∞).答案：[2，＋∞) 9.函数f (x )＝13x 3－x 2＋1.(1)证明方程f (x )＝0在区间(0，2)内有实数解；(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f (x )＝0(x ∈[0，2])的实数解x 0在哪个较小的区间内.解：(1)证明：因为f (0)＝1>0，f (2)＝－13<0，所以f (0)·f (2)<0，由函数的零点存在定理可得方程f (x )＝0在区间(0，2)内有实数解. (2)取x 1＝12(0＋2)＝1，得f (1)＝13>0，由此可得f (1)·f (2)<0，下一个有解区间为(1，2). 再取x 2＝12(1＋2)＝32，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－18<0， 所以f (1)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<0，下一个有解区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.再取x 3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝54，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54＝17192>0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<0，下一个有解区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，32. 综上所述，得所求的实数解x 0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫54，32内.10.假设方程x 2－2kx ＋k 2－1＝0有两个不等实数根介于－2与4之间，求k 的范围.解：令f (x )＝x 2－2kx ＋k 2－1，那么二次函数f (x )的图像的对称轴方程为x ＝k ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4k 2－4(k 2－1)＞0－2＜k ＜4f (－2)＝3＋4k ＋k 2＞0f (4)＝15－8k ＋k 2＞0，解得－1＜k ＜3，即要求的k 的范围是(－1，3). [B 能力提升]11.(2021·太原期末)函数y ＝f (x )为[0，1]上的连续函数，且f (0)·f (1)＜0，使用二分法求函数零点，要求近似值准确度到达，那么需对区间至多等分的次数为( )A.2C.4n 次，那么n 满足12n ，即2n ＞10.故计算4次就可满足要求，所以将区间(1，2)等分的次数为4次.应选C.12.(2021·洛阳模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |－3，x ≤3－(x －3)2，x ＞3，函数g (x )＝b －f (3－x )，其中b ∈R ，假设函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，那么实数b 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－114，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－114 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－114 D.(－3，0)解析：选B.因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |－3，x ≤3－(x －3)2，x ＞3， 所以f (3－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|3－x |－3，x ≥0－x 2，x ＜0， 由y ＝f (x )－g (x )＝f (x )＋f (3－x )－b ＝0.得b ＝f (x )＋f (3－x )，令h (x )＝f (x )＋f (3－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x －3，x ＜0－3，0≤x ≤3－x 2＋7x －15，x ＞3，函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，即y ＝b 与h (x )＝f (x )＋f (3－x )的图像有4个不同的交点，作出函数图形如图：结合函数的图像可得，当－3＜b ＜－114时，函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点， 所以实数b 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－3，－114. 应选B.13.假设函数f (x )＝3x 2－5x ＋a 的两个零点分别为x 1，x 2，且有－2＜x 1＜0与1＜x 2＜3，试求出a 的取值范围.解：因为f (x )＝3x 2－5x ＋a .所以f (x )的图像是开口向上的抛物线. 由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＞0f (0)＜0f (1)＜0f (3)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧12＋10＋a ＞0a ＜03－5＋a ＜027－15＋a ＞0， 解得－12＜a ＜0.故a 的取值范围为(－12，0).14.函数f (x )＝x |x －1|－a .(1)当a ＝0时，画出f (x )的图像，并写出函数的单调区间；(2)讨论函数y ＝f (x )零点的个数.解：(1)当a ＝0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －1)(x ≥1)x (1－x )(x ＜1)，那么函数y ＝f (x )的图像如下图，由图可知，函数f (x )的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12和(1，＋∞)；单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (2)函数y ＝f (x )零点的个数等价于函数y ＝x |x －1|的图像与直线y ＝a 的交点个数，由(1)得：①当a ＜0或a ＞14时，函数y ＝f (x )零点的个数为1个； ②当a ＝0或a ＝14时，函数y ＝f (x )零点的个数为2个； ③当0＜a ＜14时，函数y ＝f (x )零点的个数为3个. [C 拓展探究]15.北京时间2021年4月10日18时19分智利发生，，停水断电，交通受阻.A 地到B 地的 线路发生故障(假设线路只有一处发生故障)，这是一条10 km 长的线路，每隔50 m 有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？解：如图，可首先从中点C 开场检查，假设AC 段正常，那么故障在BC 段；再到BC 段中点D 检查，假设CD 段正常，那么故障在BD 段；再到BD 段中点E 检查，如此这般，每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半，经过7次查找，即可将故障范围缩小到50～100 m 之间，即可迅速找到故障所在.。