高中数学三次函数图象和性质与四次函数问题
高中数学函数知识点
高中数学函数知识点没有深厚经验衬托的广博思想和知识，就像是一本每页仅有两行正文却有四十行注释的教科书。
下面小编给大家分享一些高中数学函数知识，希望能够帮助大家，欢迎阅读!高中数学函数知识1一次函数一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx (k为常数，k≠0)二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b (k为任意不为零的实数 b取任何实数)2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：1.作法与图形：通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。
(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。
3.k，b与函数图像所在象限：当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b>0时，直线必通过一、二象限;当b=0时，直线通过原点当b<0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。
这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式：已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
(2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。
所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ① 和y2=kx2+b …… ②(3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。
关于三次函数的解法与思考
关于三次函数的解法与思考发布时间：2021-08-13T16:14:28.123Z 来源：《教学与研究》2021年8月上作者：劳科挺[导读] 三次函数已经成为中学阶段一个重要的函数，在高考和竞赛中频繁出现有关它的单独命题慈溪赫威斯育才高级中学劳科挺三次函数已经成为中学阶段一个重要的函数，在高考和竞赛中频繁出现有关它的单独命题，基本每一年的全国高考中，各大省市都有出现，特别是以压轴的形式出现，更应该引起我们的重视，三次函数的考察形式多出现在以导数为载体，但由于三次函数的导数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数问题已经成为高考命题的一个新的热点和亮点，大量模拟题的出现，更需要广大师生多进行研究，以便掌握规则，培养解题能力！下面以一道真题为例，谈谈解题方法，并做适当的推广。
解法1的做法是高中最常规的解法，也是平时反复强调训练的方法，部分学生能考虑到，但由于讨论繁琐，计算复杂，导致半途而废。
要知道，我们高中阶段所研究的基本初等函数都具有一些简单的几何性质，利用性质求解，往往会有意想不到的收获，三次函数作为另一类基本函数，也具有一些性质，例如三次函数的图像对称性以及绝对值的对称性。
三次函数不仅具有对称中心这一性质,还有很多好的性质，例如切线一类，大量习题中出现。
解决此类题型，需梳理解题方法，将知识点与方法相综合整理，并将难题化归，提高学生的解题效率。
注重培养数学素养和问题解决能力，鼓励学生多思考，多方位创造性思考，本题解答过程中，更换主元思想（解法3），曲径通幽。
导数作为压轴题，历来令考生望而生畏，不战而退，而本题一题多解，优化解法，帮助学生找到了解决之道。
含参的三次函数的最值问题，数形结合，具备了代数的复杂和几何的直观。
在具体做题时，除了需要具备一定的运算能力之外，还要善于灵活多变，优化计算，提高解题效率！以此题为例，希望给广大师生带来一点启示。
高中数学函数的图象与性质考试题(含答案解析)
---------------------------------------------------------------装--------------------订--------------------线-------------------------------------------------------------函数的图象与性质试题成绩课程名称高考数学二轮复习模拟考试开卷闭卷√教研室高三数学组A卷√B卷复习时间年月日时分至时分适用专业班级班级姓名学号考生注意：舞弊万莫做，那样要退学，自爱当守诺，最怕错上错，若真不及格，努力下次过。
答案写在答题纸上，写在试题纸上无效。
A组一、选择题一、选择题1．(2017·高考山东卷)设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝()A．(1，2)B．(1，2]C．(－2，1) D．[－2，1)2．(2017·沈阳模拟)已知函数f(x)＝则f(f(4))的值为() A．－19B．－9C.19D．93．(2017·湖南东部六校联考)函数y＝lg|x|()A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减试题共页第页C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减4．函数f(x)＝2|log2x|－⎪⎪⎪⎪⎪⎪x－1x的图象为()5．(2017·西安模拟)对于函数y＝f(x)，部分x与y的对应关系如下表：x 123456789y 37596182 4数列{x n}满足：x1＝1，且对于任意n∈N*，点(x n，x n＋1)都在函数y＝f(x)的图象上，则x1＋x2＋…＋x2 017＝()A．7 554 B．7 540C．7 561 D．7 5646．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，若f(lg x)＜0，则x的取值范围是()A．(0，1) B．(1，10)C．(1，＋∞) D．(10，＋∞)7．(2016·福州质检)已知偶函数f(x)满足：当x1，x2∈(0，＋∞)时，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0恒成立．设a＝f(－4)，b＝f(1)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为() A．a<b<c B．b<a<cC．b<c<a D．c<b<a8．函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝() A．－2 B．－1C．0 D．1---------------------------------------------------------------装--------------------订--------------------线------------------------------------------------------------- 9．(2017·高考山东卷)设f(x)＝⎩⎨⎧x，0＜x＜1，2(x－1)，x≥1.若f(a)＝f(a＋1)，f(1a)＝() A．2 B．4C．6 D．810．(2017·山西四校联考)已知函数f(x)满足：①定义域为R；②∀x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)；③当x∈[－1，1]时，f(x)＝－|x|＋1.则方程f(x)＝12log2|x|在区间[－3，5]内解的个数是()A．5 B．6C．7 D．811．(2017·天津模拟)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是()A．x2cos x B．sin x2C．x sin x D．x2－16x412．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则()A．f(－25)<f(11)<f(80)B．f(80)<f(11)<f(－25)C．f(11)<f(80)<f(－25)D．f(－25)<f(80)<f(11)二、填空题13．(2017·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.试题共页第页---------------------------------------------------------------装--------------------订--------------------线-------------------------------------------------------------B组1．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧2x－2，x≤0，－log3x，x>0，且f(a)＝－2，则f(7－a)＝() A．－log37 B．－34C．－54D．－742．(2017·高考北京卷)已知函数f(x)＝3x－(13)x，则f(x)()A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数3．函数y＝(x3－x)2|x|的图象大致是()4．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是() A．(－∞，0) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12C．[0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎪⎫12，＋∞试题共页第页5．若函数f(x)＝⎩⎨⎧x2－5x，x≥0，－x2＋ax，x<0是奇函数，则实数a的值是()A．－10 B．10C．－5 D．56．(2017·贵阳模拟)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是()A．f(x)＝e1－x2 B．f(x)＝e x2－1C．f(x)＝e x2－1 D．f(x)＝ln(x2－1)7．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)，且x∈(－1，0)时，f(x)＝2x＋15，则f(log220)＝()A．1 B.45C．－1 D．－458．(2017·陕西宝鸡中学第一次月考)已知函数f(x)＝⎩⎨⎧(3a－1)x＋4a，x<1，log a x，x≥1满足对任意x1≠x2，都有f(x1)－f(x2)x1－x2<0成立，则实数a的取值范围是()A.⎝⎛⎭⎪⎫0，13 B.⎝⎛⎭⎪⎫13，1C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，19．对于函数f(x)，使f(x)≤n成立的所有常数n中，我们把n的最小值G叫做函数f(x)的上确界．则函数f(x)＝的上确界是()试题共页第页A组答案解析1．解析：∵4－x2≥0，∴－2≤x≤2，∴A＝[－2，2]．∵1－x＞0，∴x＜1，∴B＝(－∞，1)，∴A∩B＝[－2，1)．故选D.答案：D2．解析：因为f(x)＝所以f(f(4))＝f(－2)＝19.答案：C3．解析：因为lg|－x|＝lg|x|，所以函数y＝lg|x|为偶函数，又函数y＝lg|x|在区间(0，＋∞)上单调递增，由其图象关于y轴对称，可得y＝lg|x|在区间(－∞，0)上单调递减，故选B.答案：B4．解析：由题设条件，当x≥1时，f(x)＝2log2x－⎝⎛⎭⎪⎫x－1x＝1x；当0<x<1时，f(x)＝2－log2x－⎝⎛⎭⎪⎫1x－x＝1x－⎝⎛⎭⎪⎫1x－x＝x.故f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x≥1，x，0<x<1.故选D.答案：D5．解析：∵数列{x n}满足x1＝1，且对任意n∈N*，点(x n，x n＋1)都在函数y＝f(x)的图象上，∴x n＋1＝f(x n)，∴由图表可得x2＝f(x1)＝3，x3＝f(x2)＝5，x4＝f(x3)＝6，x5＝f(x4)＝1，…，∴数列{x n}是周期为4的周期数列，∴x1＋x2＋…＋x2 017＝504(x1＋x2＋x3＋x4)＋x1＝504×15＋1＝7 561.故选C.答案：C6．答案：A7．解析：因为f(x)为偶函数，故f(－4)＝f(4)．因为(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f(－4)＝f(4)>f(3)>f(1)，即a>c>b，故选C.---------------------------------------------------------------装--------------------订--------------------线------------------------------------------------------------- 答案：C8．答案：D9．解析：若0＜a＜1，由f(a)＝f(a＋1)得a＝2(a＋1－1)，∴a＝14，∴f(1a)＝f(4)＝2×(4－1)＝6.若a≥1，由f(a)＝f(a＋1)得2(a－1)＝2(a＋1－1)，无解．综上，f(1a)＝6.故选C.答案：C10．解析：画出y1＝f(x)，y2＝12log2|x|的图象如图所示，由图象可得所求解的个数为5.答案：A11．解析：由图象可得f ⎝⎛⎭⎪⎫π2>0，故可排除A选项．由于函数f(x)在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上先增后减，而函数y＝x sin x在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增(因为y＝x及y＝sin x均在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，且函数取值恒为正)，故排除C选项．对函数y＝x2－16x4而言，y′＝2x－23x3＝23x(3－x2)，当x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，y′＝23x(3－x2)>0，故y＝x2－16 x4在区间⎝⎛⎦⎥⎤0，π2上单调递增，与图象不符，故排除D选项．故选B. 答案：B12．解析：由f(x－4)＝－f(x)得f(x＋2－4)＝f(x－2)＝－f(x＋2)，由f(－x)＝－f(x)试题共页第页---------------------------------------------------------------装--------------------订--------------------线------------------------------------------------------------- 1．解析：当a≤0时，2a－2＝－2无解；当a>0时，由－log3a＝－2，解得a ＝9，所以f(7－a)＝f(－2)＝2－2－2＝－74，故选D.答案：D2．解析：∵函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝3－x－(13)－x＝(13)x－3x＝－f(x)，∴函数f(x)是奇函数．∵函数y＝(13)x在R上是减函数，∴函数y＝－(13)x在R上是增函数．又∵y＝3x在R上是增函数，∴函数f(x)＝3x－(13)x在R上是增函数．故选A.答案：A3．解析：易判断函数为奇函数，由y＝0得x＝±1或x＝0.且当0<x<1时，y<0；当x>1时，y>0，故选B.答案：B4．解析：y＝|x|(1－x)＝⎩⎨⎧x(1－x)，x≥0，－x(1－x)，x<0＝⎩⎨⎧－x2＋x，x≥0，x2－x，x<0＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎫x－122＋14，x≥0，⎝⎛⎭⎪⎫x－122－14，x<0.试题共页第页试题共页第页。
第4讲 三角函数的图象与性质
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数
y＝sin x
图象
y＝cos x
定义域 值域
R [_－__1_，__1_]__
R _[_－__1_，__1_] _
5
y＝tan x
{x|x∈R，且 x≠kπ＋ π2，k∈Z} _R________
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第四章 三角函数、解三角形
6
函数 奇偶性
y＝sin x ___奇__函__数__
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第四章 三角函数、解三角形
8
常用结论
1．函数 y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期 T＝|2ωπ|，函数 y＝tan(ωx＋φ)
的最小正周期 T＝|ωπ|.
2．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的
对称中心与对称轴之间的距离是14周期．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期． 3．三角函数中奇函数一般可化为 y＝Asin ωx 或 y＝Atan ωx 的形式，偶函数一般可化为
第四章 三角函数、解三角形
第4讲 三角函数的图象与性质
数学
第四章 三角函数、解三角形
1
01
基础知识 自主回顾
02
核心考点 深度剖析
03
方法素养 助学培优
04
高效演练 分层突破
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第四章 三角函数、解三角形
2
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第四章 三角函数、解三角形
3
一、知识梳理 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 在正弦函数 y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，0)，(π2，1)，(π，0)， _(_3_2π_，__－__1_)，(2π，0)．
三次函数的根与系数的关系
三次函数的根与系数的关系三次函数的根与系数的关系1. 引言三次函数是数学中常见的一类函数，其特点是具有三次方的变量。
在解析几何、代数学和数学分析等学科中，三次函数有着重要的应用和研究价值。
本文将通过探讨三次函数的根与系数的关系，帮助读者深入理解这一主题。
2. 三次函数的定义与一般形式三次函数的一般形式可以表示为：f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c和d为实数，a ≠ 0。
函数的定义域为实数集合，值域也为实数集合。
3. 根的概念与性质一个函数的根是指使函数取零值的自变量值。
对于三次函数来说，根可能有一个、两个或三个。
根的性质包括：- 根与函数图像的交点：三次函数的根对应于函数图像与x轴的交点，即在该点函数取零值。
- 根的个数与函数的性质：三次函数可以有一个、两个或三个根，具体个数取决于函数的系数和形态。
当函数的首项系数a>0时，函数图像呈现“上凹”的形态，可能有一个或两个实根，或者没有实根。
- 复数根：三次函数可能还存在复数根，这些根不能在实数集合中找到对应的值，在复数域中有对应的意义和解释。
4. 系数与根的关系三次函数的系数对于根有着重要的影响，下面将具体探讨系数与根的关系。
4.1 一次项系数c对于根的影响三次函数的一次项系数c对于根的影响是非常直观的。
当c=0时，函数的一次项消失，此时函数只有两次项和常数项，等同于一个二次函数。
此时三次函数的根将与二次函数相同，具有相同的性质和关系。
4.2 二次项系数b对于根的影响二次项系数b的大小和正负决定了三次函数图像的开口方向和形态。
当b>0时，函数图像呈现“上凹”的形态，可能存在一个或两个实根，或者没有实根。
当b<0时，函数图像呈现“下凹”的形态，可能存在一个实根和两个共轭复数根，或者没有实根。
4.3 三次项系数a对于根的影响三次项系数a决定了三次函数图像的整体缩放程度和形态。
当a>0时，函数图像在x轴的两侧呈现“上凹”的形态，可能存在一个或两个实根，或者没有实根。
[精]高三第一轮复习全套课件4三角函数：三角函数的图像和性质
![[精]高三第一轮复习全套课件4三角函数：三角函数的图像和性质](https://img.taocdn.com/s3/m/fdb5060503d8ce2f00662346.png)
２）依题意，周期 T≤
1 150
，即
*
2 6
≤
， >0） （ω
150
∴ ω ≥300π ＞942，又ω ∈N ， 故最小正整数ω ＝943．
点评:本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言．其中，读图、识图、 用图是形数结合的有效途径．
例 5 （1）y=cosx+cos（x+ （2）y=2sin（3x－
特级教师 王新敞
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特级教师 王新敞
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4π 3
+ ） ，
4π 3
+ ）=cos（x+
4π 3
4π 3
+ ） ，
4π 3
4π 3
+ ） +sinxsin （
+ ） =cosxcos （
3 1
得 y= sinx 的图象；
3
1
（3）再将 y= sinx 图象上各点的纵坐标扩大为原来的 3 倍（横坐标不
3
1
变） ，即可得到 y=sinx 的图象
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分析：求函数的定义域： （1）要使 0≤cosx≤1， （2）要使 sin（cosx） ＞0，这里的 cosx 以它的值充当角
π 4
π 3
）的最大值是_______；
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专题73三角函数的图象和性质(精讲精析篇)-新高考高中数学核心知识点全透视
专题7.3三角函数的图象和性质（精讲精析篇）一、核心素养1.与不等式相结合考查三角函数定义域的求法，凸显数学运算的核心素养．2．与二次函数、函数的单调性等结合考查函数的值域(最值)，凸显数学运算的核心素养．3．借助函数的图象、数形结合思想考查函数的奇偶性、单调性、对称性等性质，凸显数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养．4.五点作图与函数图象变换、函数性质相结合考查三角函数图象问题，凸显直观想象、数学运算的核心素养．5．将函数图象、性质及函数零点、极值、最值等问题综合考查y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及应用，凸显直观想象、逻辑推理的核心素养．二、考试要求1．能画出 y = sin x , y = cos x , y = tan x 的图像,了解三角函数的周期性.2．理解正弦函数、余弦函数在区间 [ 0,2π ] 上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间（π2，π2）内的单调性.3．了解函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像,了解参数 A , ω ,ϕ 对函数图像变化的影响.4．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题.三、主干知识梳理（一）“五点法”作图“五点法”作图：先列表，令30,,,,222x ππωϕππ+=，求出对应的五个x 的值和五个y 值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到()sin y A x h ωϕ=++在一个周期的图象，最后把这个周期的图象以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数()sin y A x h ωϕ=++的图象.（二）正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质正弦函数sin y x =,余弦函数cos y x =,正切函数tan y x =的图象与性质 性质sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域R R,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当()22x k k Z ππ=+∈时，max 1y =；当()22x k k Z ππ=-∈时，min 1y =-．当()2x k k Z π=∈时，max 1y =；当()2x k k Z ππ=+∈时，min 1y =-．既无最大值，也无最小值周期性2π 2ππ奇偶性 ()sin sin x x -=-,奇函数()cos cos x x -=偶函数 ()tan tan x x -=-奇函数单调性 在()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上是增函数；在()32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦上是减函数．在[]()2,2k k k Z πππ-∈上是增函数；在π[]()2,2k k k Z πππ+∈上是减函数．在(),22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭上是增函数．对称性 对称中心()(),0k k Z π∈对称轴()2x k k Z ππ=+∈，既是中心对称又是轴对称图形. 对称中心(),02k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭对称轴()x k k Z π=∈，既是中心对称又是轴对称图形.对称中心(),02k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形.（三）函数y ＝A sin(ωx ＋φ) 1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ≥0)表示一个简谐运动振幅 周期 频率 相位 初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：提醒：用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，精髓是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，3π2，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象，其中相邻两点的横向距离均为T4.3．由y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0)的图象提醒：(1)两种变换的区别①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位长度．(2)变换的注意点无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x 而言的，即图象变换要看“自变量x ”发生多大变化，而不是看角“ωx ＋φ”的变化． [常用结论]1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．2．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．一、命题规律1.客观题主要考查三角函数的定义，图象与性质，同角三角函数关系，诱导公式，和、差、倍角公式，正、余弦定理等知识.2.解答题涉及知识点较为综合．涉及三角函数图象与性质、三角恒等变换与解三角形知识较为常见.二、真题展示1．（2021·江苏·高考真题）若函数()()4sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则它的一条对称轴是（ ）A ．12x π=- B ．0x =C ．6x π=D ．23x π=【答案】A 【分析】 由2T πω=，可得2ω=，所以()4sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2()32x k k Z πππ-=+∈，得51()122x k k Z ππ=+∈，从而可得到本题答案. 【详解】 由题，得222T ππωπ===，所以()4sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2()32x k k Z πππ-=+∈，得51()122x k k Z ππ=+∈， 所以()f x 的对称轴为51()122x k k Z ππ=+∈， 当1k =-时，12x π=-，所以函数()f x 的一条对称轴为12x π=-.故选：A2．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【分析】 解不等式()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈， 取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项满足条件，B 不满足条件； 取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭， 32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，CD 选项均不满足条件. 故选：A.考点01 “五点法”做函数()sin y A x h ωϕ=++的图象【典例1】（2021·江苏·高一课时练习）用“五点法”画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与正(余)弦曲线的区别和联系： （1） y =cos x 1；（2） y =sin ()3x π-.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【分析】(1)用“五点法”作出函数y =cos x 1的图象，再画出余弦曲线，观察图象说明它们的联系；(2)用“五点法”作出函数y =sin ()3x π-的图象，再画出正弦曲线，观察图象说明它们的联系.【详解】（1） 先用“五点法”画一个周期的图象，按五个关键点列表： x 0 2π π 32π 2π cos x 1 0 1 0 1 cos x 1121描点画图，然后由周期性得整个图象，如图：由图象可知，函数y =cos x 1的图象与余弦曲线有上下之分，可由余弦曲线向下平移1个单位长度得到； （2）先用“五点法”画一个周期的图象，按五个关键点列表： x3π 56π 43π 116π73π x3π 02π π 32π 2πsin ()3x π-0 10 1 0描点画图，然后由周期性得整个图象，如图：由图象可知，函数y =sin ()3x π-的图象与正弦曲线有左右之分，可由正弦曲线向右平移3π个单位长度得到.【典例2】（2020·全国高三（文））(1)利用“五点法”画出函数1()sin()26f x y x π==+在长度为一个周期的闭区间的简图. 列表:126x π+x y作图:(2)并说明该函数图象可由sin (R)y x x =∈的图象经过怎么变换得到的. (3)求函数()f x 图象的对称轴方程.【答案】(1)见解析(2) 见解析(3) 22,3x k k Z ππ=+∈. 【解析】（1）先列表,后描点并画图126x π+ 02ππ32π 2πx3π-23π 53π 83π 113πy 0 11；（2）把sin y x =的图象上所有的点向左平移6π个单位, 再把所得图象的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,得到1sin()26y x π=+的图象，即1sin()26y x π=+的图象； （3）由12,2,2623x kx x k k Z ππππ+=+=+∈， 所以函数的对称轴方程是22,3x k k Z ππ=+∈. 【总结提升】用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为()sin y A x h ωϕ=++()0,0A ω>>或()cos y A x h ωϕ=++()0,0A ω>>的形式；②求出周期2T πω=；③求出振幅A ；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点．考点02 三角函数的图象和性质【典例3】（2020·山东·高考真题）下列命题为真命题的是（ ） A ．10>且34> B ．12>或45> C ．x R ∃∈，cos 1x > D ．x R ∀∈，20x ≥【答案】D 【分析】本题可通过43>、12<、45、cos 1≤x 、20x ≥得出结果.【详解】A 项：因为43>，所以10>且34>是假命题，A 错误；B 项：根据12<、45易知B 错误；C 项：由余弦函数性质易知cos 1≤x ，C 错误；D 项：2x 恒大于等于0，D 正确， 故选：D.【典例4】（2021·广东·高三月考）已知函数()()2cos 3f x x ϕ=+，则“2πϕ=＋2kπ，k ∈Z ”是“()f x 为奇函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】首先把ϕ的值代入函数()f x 的解析式，从而判断函数()f x 为奇函数；然后再根据()f x 为奇函数求出ϕ的值，从而可判断选项. 【详解】 当22k πϕπ=+，k ∈Z 时，()2cos(3)2sin3f x x x ϕ=+=-，所以()f x 为奇函数．当()f x 为奇函数时，2k πϕπ=+，k ∈Z ．综上，“22k πϕπ=+，k ∈Z ”是“()f x 为奇函数”的充分不必要条件．故选：A.【典例5】（2021·江苏·海安高级中学高三月考）已知()sin()(0)f x wx w ϕ=+>，直线12x π=，3x π=是()f x 的图像的相邻两条对称轴，则()f x 的图像的对称中心可以是（ ）A ．,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．,024π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【分析】用相邻两条对称轴的距离的2倍即为函数周期，求出周期，然后求w ，进而再求出ϕ的值，注意这里ϕ有两种可能，需要分类讨论. 【详解】由题意23122T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，所以24w T π==，因为0w >，所以4w =，又12x π=是()f x 的图像的对称轴，所以代入后()f x 等于1或1. ①当()1f x =时，即sin(4)112πϕ⨯+=，此时42122k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，解得：26k πϕπ=+，k Z ∈.所以()sin(42)6f x x k ππ=++，把()f x 的图像的对称中心设为()0m ,，则426m k k πππ++=，k Z ∈.解得24m k ππ=-+，k Z ∈.当0k =时，24m π=-，故C 选项正确.②当()1f x =-时，即sin(4)112πϕ⨯+=-，此时342122k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，解得：726k πϕπ=+，k Z ∈.所以7()sin(42)6f x x k ππ=++，把()f x 的图像的对称中心设为(),0n ，则7426n k k πππ++=，k Z ∈.解得724n k ππ=-+，k Z ∈.A 、B 、D 选项均不满足上面两种情况. 故选：C【典例6】（2019年高考全国Ⅱ卷文）若x 1=4π，x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=（ ）A ．2B ．32 C ．1D ．12【答案】A【解析】由题意知，()sin f x x ω=的周期232()44T ωπππ==-=π，解得2ω=．故选A ．【典例7】（2019年高考全国Ⅰ卷文）函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 【典例8】（2020·全国高考真题（理））关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③ 【解析】对于命题①，152622f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误. 故答案为：②③.【典例9】（2021·河南许昌·高三月考（理））已知函数()6sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的定义域为[0,]m ，值域为[2,7]-，则m 的最大值是（ ） A ．6π B ．3π C ．23πD ．56π 【答案】C 【分析】 由条件可得2,2666x m πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，然后可得72266m πππ≤-≤，解出即可得到答案. 【详解】由()6sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的值域为[2,7]-可得1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦由[0,]x m ∈可得2,2666x m πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦所以72266m πππ≤-≤，解得233m ππ≤≤所以m 的最大值是23π故选：C【典例10】（2020·山东高一期末）函数tan2xy =的定义域为_____．【答案】{}2,x x k k Z ππ≠+∈ 【解析】 解不等式()22x k k Z ππ≠+∈，可得()2x k k Z ππ≠+∈，因此，函数tan2xy =的定义域为{}2,x x k k Z ππ≠+∈. 故答案为：{}2,x x k k Z ππ≠+∈.【典例11】（2021·河南·高三月考（文））函数()2sin cos f x x x =-的最大值为_______________________．【答案】1 【分析】将原式化简成关于sin x 的二次函数求解最值即可 【详解】()22215sin cos sin sin 1sin 24f x x x x x x ⎛⎫=-=+-=+- ⎪⎝⎭所以当sin 1x =时，() 1.max f x = 故答案为：1【典例12】（2021·天津市武清区杨村第一中学高三月考）已知函数()sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，若()f x 的最大负零点在,315ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭内，则ω的取值范围是__________.【答案】334ω<≤【分析】当0,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，,44412x ππππωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，利用sin y t =的单调性可得1224πππω+≤；令sin 04x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得4,k x k Zwππ-=∈，当0k =时取得最大的零点,4315w πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，求解即可 【详解】由题意，当0,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，,44412x ππππωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦由于函数()f x 在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，故sin y t =在,4241πππω⎡⎤+⎢⎥⎣⎦单调故1224πππω+≤，解得03ω<≤令sin 044x x k ππωωπ⎛⎫+=∴+= ⎪⎝⎭4,k x k Z wππ-∴=∈，当0k =时取得最大的负零点,4315x w πππ⎛⎫∴=-∈-- ⎪⎝⎭，解得31544ω<< 综上：ω的取值范围是334ω<≤故答案为：334ω<≤【总结提升】1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 2．三角函数值域的不同求法(1)利用sin x 和cos x 的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； (3)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域； (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．3.求形如()sin y A x ωϕ=+或()cos y A x ωϕ=+ (其中A ≠0，0ω>)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“x ωϕ+ (0ω>)”视为一个“整体”；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与sin y x = (x R ∈)，cos y x = (x R ∈)的单调区间对应的不等式方向相同(反)．4.当0ω<时，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为sin()y A x ωϕ=---的形式，然后求其单调递增区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递增区间之内.5．已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解． (2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解.6.求三角函数的周期的方法（1）定义法：使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；（2）公式法：使用周期公式，必须先将解析式化为sin()y A x h ωϕ=++或cos()y A x h ωϕ=++的形式；正弦余弦函数的最小正周期是2T πϖ=，正切函数的最小正周期公式是T πϖ=；注意一定要注意加绝对值，两个公式不要弄混.(3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定. 如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =cos x +的周期为2π，而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626y x y x ππ=-+=-+，|tan |y x =的周期不变.7.对称与周期:正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期. 8. 一般根据函数的奇偶性的定义解答，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()f x -；最后比较()f x -和()f x 的关系，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有()f x -=()f x ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.9. 如何判断函数()f x ωϕ+的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数()f x ωϕ+的奇偶性，常见的结论如下：(1)若sin()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()2k k Z πϕπ=+∈;若为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈；(2)若cos()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()k k Z ϕπ=∈;若为奇函数则有()2k k Z πϕπ=+∈；(3)若tan()y A x ωϕ=+为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈.10.函数的对称性问题，往往先将函数化成sin )y A x B ωϕ=++（的形式，其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心, 关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心． 11.函数的性质 (1).(2)周期(3)由求对称轴，最大值对应自变量满足，最小值对应自变量满足，(4)由求增区间; 由求减区间.12.对正弦函数、余弦函数单调性的两点说明(1)正弦函数、余弦函数在定义域R 上均不是单调函数，但存在单调区间．(2)由正弦函数、余弦函数的最小正周期为2π，所以任给一个正弦函数、余弦函数的单调区间，加上2k π，(k ∈Z)后，仍是单调区间，且单调性相同． 13．对正弦函数、余弦函数最值的三点说明(1)明确正、余弦函数的有界性，即|sin x |≤1，|cos x |≤1．(2)函数y ＝sin x ，x ∈D ，(y ＝cos x ，x ∈D )的最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域D 来决定． (3)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数最值通常利用“整体代换”，即令ωx ＋φ＝Z ，将函数转化为y ＝A sin Z 的形式求最值．14.正切函数单调性的三个关注点 (1)正切函数在定义域上不具有单调性．(2)正切函数无单调递减区间，有无数个单调递增区间，在(－π2，π2)，(π2，32π)，…上都是增函数．(3)正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正切函数在(－π2，π2)∪(π2，3π2)∪…上是增函数．考点03 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象变换【典例13】（2020·全国高考真题（理））设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A ．10π9 B ．7π6 C ．4π3D ．3π2【答案】C 【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点， 所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω=== 故选：C【典例14】（2021·全国·高考真题（理））把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，则()f x =（ ）A ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】B 【分析】解法一：从函数()y f x =的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到23y f x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即得2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再利用换元思想求得()y f x =的解析表达式；解法二：从函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到()y f x =的解析表达式. 【详解】解法一：函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到(2)y f x =的图象，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，应当得到23y f x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，根据已知得到了函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，所以2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令23t x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则,234212t t x x πππ=+-=+,所以()sin 212t f t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；解法二：由已知的函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭逆向变换，第一步：向左平移3π个单位长度，得到sin sin 3412y x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到sin 212x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，即为()y f x =的图象，所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：B. 【总结提升】1.由()sin y A x ωϕ=+的图象求其函数式：已知函数()sin y A x ωϕ=+的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定ϕ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点,0ϕω⎛⎫- ⎪⎝⎭作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置． 2.利用图象变换求解析式：由sin y x =的图象向左()0ϕ>或向右()0ϕ<平移ϕ个单位，，得到函数()sin y x ϕ=+，将图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，便得()sin y x ωϕ=+，将图象上各点的纵坐标变为原来的A 倍(0A >)，便得()sin y A x ωϕ=+.3. 图象的变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”，注意二者的“不同”之处．4.研究函数的性质，要注意“复合函数”这一特征.巩固提升1．（2020·福建高二学业考试）函数cos y x =的最小正周期为（ ） A ．2πB ．πC ．32π D ．2π【答案】D 【解析】函数cos y x =的最小正周期为：2π故选：D2.（2021·湖南·高考真题）为了得到函数sin()4y x π=+的图象，只需要sin y x =将的图象（ ）A ．向上平移4π个单位 B ．向左平移4π个单位 C ．向下平移4π个单位D ．向右平移4π个单位【答案】B 【分析】根据“左+右”的平移规律判断选项. 【详解】根据平移规律可知，sin y x =只需向左平移4π个单位得到sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：B3.（2020·河南开封�高一期末）设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A ．10π9 B ．7π6 C ．4π3D ．3π2【答案】C 【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭， 将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点， 所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω=== 故选：C4. 【多选题】（2020·海南省高考真题）下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x - C ．πcos(26x +） D ．5πcos(2)6x - 【答案】BC 【解析】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A, 当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得：()223k k ϕππ=+∈Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭ 故选：BC.5.（2020·辽宁沈阳�高一期末）【多选题】己知函数()sin cos f x x x =，3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的图象关于直线y 轴对称B ．()f x 在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．()f x 的图象关于直线2x π=轴对称D ．()f x 的最大值为12【答案】BCD 【解析】1sin 2,,222()sin cos 13sin 2,,222x x f x x x x x ππππ⎧⎡⎤∈-⎪⎢⎥⎪⎣⎦==⎨⎛⎤⎪-∈ ⎥⎪⎝⎦⎩，其图象如下所示：由图可知，()f x 的图象关于直线2x π=对称，故A 错误，C 正确；()f x 在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故B 正确； ()f x 的最大值为12，()f x 的最小值为12-，故D 正确 故选：BCD6．（2020·全国高三其他）【多选题】函数()())()sin 0,0,2f x x ωϕωϕπ⎡=+>∈⎣的部分图象如图所示，点P 是图象上的最高点，点A 是图象与x 轴的交点，点B 在x 轴上.若PAB △是等腰直角三角形，则下列结论正确的是（ ）A ．()12f =B ．()f x 在区间()1,2上单调递增C ．()f x 的图象关于点3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x 在区间[]5,10上有1个极值点 【答案】AC 【解析】由题意可得1AB PB ==，则1,02B ⎛⎫⎪⎝⎭, 该函数的最小正周期24T πω==，则2πω=.又点112P ⎛⎫⎪⎝⎭，在()f x 的图像上，所以11sin 1222f πϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)0,2ϕπ⎡∈⎣，则4πϕ=，所以()sin 24f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以()31sin 42f π==，A 正确；当()1,2x ∈时，352444x ππππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，()f x 单调递减，B 错误； 3sin 02f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()f x 的图像关于点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，C 正确： 令()sin 124f x x ππ⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭，则242x k ππππ+=+，k ∈Z ，即122x k =+，k ∈Z . 又[]5,10x ∈，则3k =或4，即()f x 在区间[]5,10上有2个极值点，D 错误. 故选：AC.7.（2021·湖南·永州市第一中学高一期中）下列关于函数()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的说法正确的有（ ）A ．周期为πB ．把()f x 的图像向右平移π12x =个单位，得到一个奇函数的图像C ．图像关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．图像关于直线2π3x =对称 【答案】AC 【分析】根据公式可求函数的周期，从而可判断A 的正误，利用代入法可判断CD 的正误，利用平移变换可求平移后所得图象的解析式，从而可判断B 的正误. 【详解】因为2ω=，故22T ππ==，故A 正确. 而2ππsin 0333f π⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故图像关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故C 正确.又24ππsin 0333f π⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故图像不关于直线2π3x =对称，故D 错误. 把()f x 的图像向右平移π12x =个单位， 所得图象对应的解析式为()πsin 2cos 22g x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，而()()()cos 2g x x g x -=--=，故()g x 为偶函数，故B 错误. 故选：AC.8.（2021·江苏·高一课时练习）求函数πtan 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域，周期和单调区间.【答案】定义域为|,122k x x k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ；最小正周期为2π；单调增区间为5,,122122k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭，无单调减区间. 【分析】根据正切函数的定义域和单调区间用整体代入的方法即可求出函数πtan 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域和单调区间；利用公式T πω=即可求出函数πtan 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期. 【详解】 由2,32x k k Z πππ+≠+∈得,122k x k ππ≠+∈Z ， 所以函数的定义域为|,122k x x k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 由2T ππω==，所以函数的最小正周期为2π；由2,232k x k k Z πππππ-+<+<+∈，得5,122122k k x k Z ππππ-+<<+∈，所以函数的单调增区间为5,,122122k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭，无单调减区间. 9.（2020·山东·高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数sin()0,0,2y A x A ωϕωϕπ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在一个周期内的图象时，列表如下：根据表中数据，求： （1）实数A ，ω，ϕ的值；（2）该函数在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】（1）3A =，2ω=，3πϕ=；（2）最大值是3，最小值是32-. 【分析】（1）利用三角函数五点作图法求解A ，ω，ϕ的值即可.（2）首先根据（1）知：3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据题意得到11172636x πππ≤+≤，从而得到函数的最值.【详解】（1）由表可知max 3y =，则3A =， 因为566T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，2T πω=，所以2ππω=，解得2ω=，即3sin(2)y x ϕ=+，因为函数图象过点,312π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则33sin 212πϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，即πsinφ16，所以262k ππϕπ+=+，k ∈Z ，解得23k πϕπ=+，k ∈Z ，又因为2πϕ<，所以3πϕ=.（2）由（1）可知3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为3544x ππ≤≤，所以11172636x πππ≤+≤， 因此，当11236x ππ+=时，即34x π=时，32y =-，当5232x ππ+=时，即1312x π=时，3y =. 所以该函数在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是3，最小值是32-.10.（2020·镇原中学高一期末）已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><，在一周期内，当12x π=时，y 取得最大值3，当712x π=时，y 取得最小值3-，求（1）函数的解析式；（2）求出函数()f x 的单调递增区间、对称轴方程、对称中心坐标； （3）当,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域. 【答案】（1）()3sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，对称轴方程为212k x ππ=+，k Z ∈，对称中心为,062k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（k Z ∈）；（3）3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】(1)由题设知，3A =， 周期7212122T πππ=-=，T π=，由2T πω=得2ω=.所以()()3sin 2f x x ϕ=+. 又因为12x π=时，y 取得最大值3， 即3sin 36ϕπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，262k ππϕπ∴+=+，解得23k πϕπ=+，又ϕπ<，所以3πϕ=，所以()3sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. (2)由222232k x k πππππ-≤+≤+，得51212k x k ππππ-≤≤+. 所以函数()f x 的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.由232x k πππ+=+，k Z ∈，得212k x ππ=+，k Z ∈. 对称轴方程为212k x ππ=+，k Z ∈.. 由23x k ππ+=，得62πk πx =-+（k Z ∈）. 所以，该函数的对称中心为,062k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（k Z ∈）. (3)因为,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2,362x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以33sin 2323x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭.所以值域为：3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 所以函数()f x 的值域为3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。
三次函数高中什么时候学
三次函数高中什么时候学全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：三次函数是高中数学重要的内容之一，通常在高中数学的二年级学习。
它在数学的重要性不言而喻，因此在教学中被赋予了特别的重要性。
三次函数的概念广泛应用于数学、物理、化学等领域，在解决各种实际问题中都起着重要的作用。
它是一种具有特定形式的二次多项式函数，具有特定的性质和图像，是高中数学的重要内容之一。
在高中数学的学习过程中，三次函数通常是在函数与方程章节中教授的。
学生在学习三次函数之前，需要具备一定的数学基础，例如函数的概念、二次函数的性质和图像等。
在三次函数的学习中，学生将会接触到三次函数的定义、性质、图像以及与二次函数的比较等内容。
通过学习三次函数，学生将会更深入地了解函数的性质和变化规律，进一步提高对函数的理解和运用能力。
三次函数在数学中的应用十分广泛，可以用来描述各种实际问题中的变化规律。
在物理学中，三次函数可以描述物体的运动轨迹、速度、加速度等变化规律；在化学中，三次函数可以描述化学反应速率、溶解度等变化规律。
在经济学、生物学等领域中，三次函数也有着重要的应用。
学习三次函数对于学生将会具有很高的实用性和意义。
三次函数是高中数学中的一个重要内容，通过学习三次函数，可以提高学生对函数的理解和运用能力，为他们将来的学习和工作奠定坚实的数学基础。
学生在学习三次函数时需要认真对待，扎实掌握相关知识，提高自己的数学素养，为将来的学习和发展打下良好的基础。
【三次函数高中什么时候学】文章就到这里，希望对大家有所帮助。
第二篇示例：高中数学中的三次函数一般会在高中数学的第二学期被学习，通常会在高中数学的第一年的下学期进行教学。
三次函数是一种比二次函数更高级的函数，它的表示形式为y=ax^3+bx^2+cx+d，其中a、b、c、d为常数且a不等于0。
三次函数的图像通常是一个倆臾個波浪线，比起二次函数更加复杂且具有更多的起伏变化。
学习三次函数的学生需要掌握如何求三次函数的导数、驻点、凹凸性和拐点等相关知识，并能够利用这些知识来解决实际问题。
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三次函数与四次函数某某市红旗高中王金泽 wjz9589＠163.在初中，已经初步学习了二次函数，到了高中又系统的学习和深化了二次函数，三次函数是继二次函数后接触的新的多项式函数类型，它是二次函数的发展，和二次函数类似也有“与x轴交点个数〞等类似问题。
三次函数是目前高考尤其是文科高考的热点，不仅仅如此，通过深化对三次函数的学习，可以解决四次函数问题。
2008年高考有多个省份出现了四次函数高考题，本文的目的就是，对三次函数做个重点的归纳，并且阐述在四次函数中的应用第一部分：三次函数的图象特征、以及与x轴的交点个数〔根的个数〕、极值情况三次函数图象说明a对图象的影响可以根据极限的思想去分析当a＞0时，在x→+∞右向上伸展，x→-∞左向下伸展。
当a＜0时，在x→+∞右向下伸展，x→-∞左向上伸展。
(可以联系二次函数a对开口的影响去联想三次函数右侧伸展情况)与x轴有三个交点假设032>-acb,且)()(21<⋅xfxf，既两个极值异号；图象与x轴有三个交点与x轴有二个交点假设032>-acb,且)()(21=⋅xfxf，既有一个极值为0，图象与x轴有两个交点与x 轴有一个交点1。
存在极值时即032>-ac b ,且0)()(21>⋅x f x f ，既两个极值同号，图象与x 轴有一个交点。
2。
不存在极值，函数是单调函数时图象也与x 轴有一个交点。
1.()0f x =根的个数三次函数d cx bx ax x f +++=23)(导函数为二次函数:)0(23)(2/≠++=a c bx ax x f ， 二次函数的判别式化简为：△=)3(412422ac b ac b -=-， (1) 假设032≤-ac b ，那么0)(=x f 恰有一个实根；(2) 假设032>-ac b ,且0)()(21>⋅x f x f ，那么0)(=x f 恰有一个实根； (3) 假设032>-ac b ,且0)()(21=⋅x f x f ，那么0)(=x f 有两个不相等的实根； (4) 假设032>-ac b ,且0)()(21<⋅x f x f ，那么0)(=x f 有三个不相等的实根.说明(1)(2)0)(=x f 含有一个实根的充要条件是曲线)(x f y =与X 轴只相交一次，即)(x f 在R 上为单调函数〔或两极值同号〕，所以032≤-ac b 〔或032>-ac b ，且0)()(21>⋅x f x f 〕.(3)0)(=x f 有两个相异实根的充要条件是曲线)(x f y =与X 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以032>-ac b ，且0)()(21=⋅x f x f .(4)0)(=x f 有三个不相等的实根的充要条件是曲线)(x f y =与X 轴有三个公共点，即)(x f 有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以032>-ac b 且0)()(21<⋅x f x f .2.极值情况：三次函数d cx bx ax x f +++=23)(〔a ＞0〕, 导函数为二次函数)0(23)(2/>++=a c bx ax x f ， 二次函数的判别式化简为：△=)3(412422ac b ac b -=-， (1) 假设032≤-ac b ，那么)(x f 在),(+∞-∞上为增函数；(2) 假设032>-ac b ，那么)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上为增函数，)(x f 在),(21x x 上为减函数，其中aac b b x a ac b b x 33,332221-+-=---=.证明：c bx ax x f ++=23)('2, △=)3(412422ac b ac b -=-，(1) 当0≤∆ 即032≤-ac b 时，0)('≥x f 在 R 上恒成立， 即)(x f 在),(+∞-∞为增函数. (2) 当0>∆ 即032>-ac b 时，解方程0)('=x f ，得aac b b x a ac b b x 33,332221-+-=---=由0)('>x f 得1x x <或2x x >，)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上为增函数. 由0)('<x f 得21x x x <<，)(x f 在),(21x x 上为减函数.总结以上得到结论:三次函数)0()(23>+++=a d cx bx ax x f , (1) 假设032≤-ac b ，那么)(x f 在R 上无极值；(2) 假设032>-ac b ，那么)(x f 在R 上有两个极值；且)(x f 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值. 由此三次函数的极值要么一个也没有，要么有两个。
[例题1]：〔2005全国二卷〕设a 为实数，函数32()f x x x x a =--+． 〔Ⅰ〕求()f x 的极值；〔Ⅱ〕当a 在什么X 围内取值时，曲线()y f x =与x 轴仅有一个交点．解：〔I 〕f x x x '()=--3212假设f x '()=0，那么x =-131， 当x 变化时，)(),('x f x f 变化情况如下表：x()-∞-，13-13()-131， 1 ()1，+∞f x '() ＋0 －0 ＋f x ()↑极大值↓极小值↑所以f(x)的极大值是a f +=-275)31(，极小值是f a ()11=- 〔II 〕函数f x x x x a x x a ()()()=--+=-++-322111由此可知x 取足够大的正数时，有f x ()>0，x 取足够小的负数时有f x ()<0，所以曲线y f x =()与x 轴至少有一个交点。
结合f(x)的单调性可知： 当f(x)的极大值5270+<a ，即a ∈-∞-()，527时，它的极小值也小于0，因此曲线y f x =()与x 轴仅有一个交点，它在()1，+∞上；当f(x)的极小值a ->10，即a ∈+∞()1，时，它的极大值也大于0，因此曲线y f x =()与x 轴仅有一个交点，它在()-∞-，13上 所以当a ∈-∞-+∞()()，，5271 时，曲线y f x =()与x 轴仅有一个交点。
〔也可以直接用1()(1)03f f -⋅>，〕[变式训练]：a 为何值时f 〔x 〕的图象与直线y=1恰有一个交点 分析：令 极大值1275)31(<+=-a f ，或极小值11)1(>-=a f第二部分：在四次函数中的应用由于四次函数的导函数为三次函数，所以四次函数的问题往往转化为三次函数问题 [例题2](2008某某文) 函数43219()42f x x x x cx =+-+有三个极值点。
〔I 〕证明：275c -<<；〔II 〕假设存在实数c ，使函数)(x f 在区间[],2a a +上单调递减，求a 的取值X 围。
解：〔I 〕因为函数43219()42f x x x x cx =+-+有三个极值点, 所以32()390f x x x x c '=+-+=有三个互异的实根.设32()39,g x x x x c =+-+那么2()3693(3)(1),g x x x x x '=+-=+- 当3x <-时，()0,g x '>()g x 在(,3)-∞-上为增函数; 当31x -<<时，()0,g x '<()g x 在(3,1)-上为减函数; 当1x >时，()0,g x '>()g x 在(1,)+∞上为增函数; 所以函数()g x 在3x =-时取极大值,在1x =时取极小值. 因为()0g x =有三个不同实根, 所以(3)0g ->且(1)0g <. 即2727270c -+++>,且1390c +-+<,解得27,c >-且5,c <故275c -<<.〔II 〕由〔I 〕的证明可知，当275c -<<时,()f x 有三个极值点. 不妨设为123x x x ，，〔123x x x <<〕，那么123()()()().f x x x x x x x '=---所以()f x 的单调递减区间是1(]x -∞，,23[,]x x假设)(x f 在区间[],2a a +上单调递减，那么[],2a a +⊂1(]x -∞，, 或[],2a a +⊂23[,]x x ,假设[],2a a +⊂1(]x -∞，,那么12a x +≤.由〔I 〕知，13x <-,于是 5.a <-假设[],2a a +⊂23[,]x x ,那么2a x ≥且32a x +≤.由〔I 〕知，23 1.x -<<又32()39,f x x x x c '=+-+当27c =-时，2()(3)(3)f x x x '=-+; 当5c =时，2()(5)(1)f x x x '=+-.因此, 当275c -<<时，31 3.x <<所以3,a >-且2 3.a +≤即3 1.a -<<故5,a <-或3 1.a -<<反之, 当5,a <-或31a -<<时， 总可找到(27,5),c ∈-使函数)(x f 在区间[],2a a +上单调递减.综上所述,a 的取值X 围是(5)(3,1)-∞--，.总结：四次函数的导数是三次函数，有三个极值点说明三次函数有三个相异的实数根。
可以归结为三次函数图象与x 轴有三个交点问题，可以利用第一部分很好的解决 [例题3](2008某某文)函数4322411()(0)43f x x ax a x a a =+-+> 〔1〕求函数()y f x =的单调区间；〔2〕假设函数()y f x =的图像与直线1y =恰有两个交点，求a 的取值X 围．解：〔1〕因为322()2(2)()f x x ax a x x x a x a '=+-=+-令()0f x '=得1232,0,x a x x a =-==由0a >时，()f x '在()0f x '=根的左右的符号如下表所示x(,2)a -∞- 2a -(2,0)a - 0(0,)aa (,)a +∞ ()f x ' - 0+ 0-+()f x极小值极大值极小值所以()f x 的递增区间为(2,0)(,)a a -+∞与()f x 的递减区间为(2)(0)a a -∞-，与， 〔2〕由〔1〕得到45()(2)3f x f a a =-=-极小值，47()()12f x f a a ==极小值4()(0)f x f a ==极大值要使()f x 的图像与直线1y =恰有两个交点，只要44571312a a -<<或41a <， 即4127a >或01a ≤<. 只要我们掌握了三次函数的这些性质，在高考中无论是主观题还是客观题，都能找到明确的解题思路，解题过程也简明扼要。