不可约多项式的判别方法
用素数判定多项式不可约
＾ 一
令 ｚ— ｌ 得 下 关 于 的 ‘ 等 式 ： ， 亘
（ 目为 Ⅱ 一 ≥ ０ Ｒ （ ） ０ １ ， ｅ÷ ） ≥
≥ 卜 ，
，
∑ａ … 一 【 ｂ ’ ∑ 一 ） ， ｙ ∑ ． ） （ ’ ，
Ｉ ０ Ｉ Ｃ Ｉ ０
（） ３ ， ）一 ３ ｘ
（） ２
即 ｌ ） ≥ １ 这 与 ，（ 一 ０矛 盾 ！ 以 ，（ ｌ ， ） 所
理 １成 立 ．
若 存 在 一 个 正 整 数 Ｐ ＞ ２ ｌ‘ ｝ ｍａ ｘ｛ ， Ⅱ ｊ ，使 ｆ 户） 不 是 台 数 ， ，（ ）在 ０ 上 不 可 约． ，（ ｌ 则 工
引理 ２ 则
为 证 明 定 理 １ 先 给 出 两 ／ ｌ ． ， 卜 理
． Ｉ（ ） — Ｉｌ Ｉ 一 ｌ － ｇＰ ｌ ｂⅡ ｉ ． ＇
Ｊ 】 ＝
引 理 １ 多 项 式 （ ）的根 的模 必 小 于 １
Ｈ — ｌ＋ ｍａ １ ． Ｋ｛Ｉ ）
＞ Ｉ． ｊ ， — Ｉ（） ≥ １ ｂ Ⅱ “一ｎｌ ｇ ｕ ｌ ， Ｉ
０ “ ≤
，
（ — Ｒｅ ） 一 （ ｍ ａ） Ｐ ａ Ｉ
证 明 ｆ（ ）一 ０ 时 ， 设 Ｒ ｚ≥ ｚ 假 ｅ
＞ ／（ “～ Ｒｅ ） ａ 。＋ （ ｍａ ， １ ）
（ 有 ≥ Ｌ ｝
）
．
即
ｌ —ｎ ＞ ｌ Ｐ ｌ “一 １ ． 定 理 １的 证 明 假 设 ，（ ）在 ０ 上 可 约 ，
Ｊ＝ 】
即
ｌ （ Ｉ Ｉ 同理 Ｉ （ ｌ １ ｇ 户） ＞ ＿ ＾ 户） ＞ ＿ 得 ｌ ） — ｌ 户） ．１ （ ｌ 台 数 ， ，（ ｌ 茸（ １ ｈ ｐ） 为 这
不可约多项式和互素的区别
不可约多项式和互素的区别在数学领域中，不可约多项式和互素是两个非常基础而重要的概念。
这两个概念分别描述了多项式之间的不同特征，下面将详细讲述不可约多项式和互素的区别。
一、不可约多项式在代数学中，不可约多项式指的是不能分解成两个或更多多项式乘积的多项式。
不可约多项式是有理数系或实数系或复数系上的多项式。
它们的系数是有理数或实数或复数。
这样的多项式具有区别于次数为一次或零次多项式的性质，因为它们不能完全分解成一次或零次多项式的乘积。
不可约多项式的重要性在于它们是多项式环上的基本元素，而且能够用来描述一些数域的性质，比如代数数的阶。
不可约多项式的定义是不可分解的，因此它的因子只能是常数和自身，而不能分解成其他单项式。
不可约多项式的一个重要性质是，它必须是多项式环上的主理想的生成元。
二、互素互素指的是在整数环上，若两个整数的最大公约数为1，则这两个整数互质。
推广到多项式环上可以得到，若两个多项式的最大公因式为1，则这两个多项式互素。
比如，f(x) = x^2+1, g(x) = x+1。
这两个多项式不可约，但它们不互素，因为它们的最大公因式为1，即f(x)和g(x)没有公共因子。
互素的概念可以用于求解线性代数和数学分析中的问题。
比如，假设有两个多项式f(x)和g(x)，它们互素，如何求得f(x)和g(x)的乘积的系数。
可以利用互素的特性，将f(x)和g(x)展开成两个整数m和n的积，再通过展开式转换，求得系数。
这个方法广泛应用于线性代数和数学分析中。
三、不可约多项式和互素的区别虽然不可约多项式和互素都是多项式理论中的基本概念，但它们之间存在着一定的区别。
主要表现在以下几个方面：1、定义不同：不可约多项式指的是不能再分解的多项式，互素指的是最大公因式为1的多项式。
2、性质不同：不可约多项式通常满足一些数学公理，比如它们是多项式环上的主理想的生成元等。
而互素无此性质。
3、用途不同：不可约多项式主要用于表示一些数域的性质，比如代数数的阶。
有理数域上分圆多项式的不可约性
有理数域上分圆多项式的不可约性有理数域上的分圆多项式，也叫线性有理函数，它由一系列“常数"和“幂”组成，并满足特定数学关系，即“多项式函数”。
也就是说，它是一组有关有理数的函数关系，在有理数域上可以被表示为一组简单的函数公式。
有理数域上的分圆多项式有若干特殊性质，其中不可约性是一个重要性质，其原理也是本文的重点内容。
一般来说，分圆的多项式是指当它的次数(即多项式中的项数)不为一时，多项式的其他项(即多项式中的比一次项更高次数的项)可以用较小的多项式相除而得，得出一个多项式比例，而这个多项式比例小数据结构体中的所有分母项，被称为非可约多项式。
化简分圆多项式的方法是一般的方法：把原先的多项式以最高幂的多项式为系数除以最高幂的多项式，得出一个新的多项式，该多项式的次数比原先的多项式的次数少1，即称作除以最高幂的多项式的分子数。
接下来，以新出的多项式系数重复上述操作，直到整个多项式可以分解出有理数作为分子数和分母数，即可以带有系数的分数表示，这就是多项式化简到有理数的方法。
在某些情况下，多项式不能再按上述方法化简为有理数，即没有分数表示，也没有微分解出有理数，此时，多项式就称为不可约多项式。
不可约多项式不产生有理数比例式，而是得到一批多项式，其中有一个多项式的次数和分数的分母一样。
化简的结果是，有理数域上分圆多项式不可约，也就是说它无法归约。
将有理数域上分圆多项式用有理数域上的多项式方法表示方法做进一步讨论，不可约的多项式L(x)，在有理数领域里可以表示为：L(x)=A(x*p+q)+B(x*r+s)其中，A,B,p,q,r,s分别为实数常数，x表示有理数域上变量。
当p/r和q/s 都不等于任何有理数时，多项式不可约。
有理数域上分圆多项式的不可约性，是一个重要的主题，它不仅体现了有理数域上的多项式的特性，而且对学习数学有极大的意义。
从单纯的几何角度来说，当两个平行线表示的不可约多项式曲线相交时，刻画出的曲线形式简单明了，可以更加清晰地表示出不可约多项式的几何性质；从多项式的角度来说，不可约多项式有着一定的函数构造及函数分析性质，具有基础性意义；从数论的角度来说，不可约多项式给了一些有意义的多项式，而这些多项式经常用在大量的数学问题上，所以有必要探讨它们的不可约性及其特性。
整数环上的不可约多项式
以下用Ｉｘ］表示不超过ｚ的最大整数． 定理１ 若
厂（ｚ）＝ａ。ｚ。＋口，ｌｚ”１＋…＋口ｌｚ＋ａｏ， 其中口；，，ｌ，点∈Ｚ，ｉ＝０，１，…，ｎ一１，口。为素数，若以 下条件满足：
（１），（ｚ）在Ｚ上无一次因式Ｉ （２） ａｏ’ａ·士１， （３）ａｏ ｉ乃，Ｊ—ｌ，２，…，志一１， 则厂（ｚ）在Ｚ上不能分解为其中一因式的次数小于或 等于五的多项式之积． 证明 若，（ｚ）在Ｚ上能分解为其中一因式的 次数小于或等于是的多项式之积，不妨设
其中ａ，６，行，ｋ∈Ｚ，ｂ为素数，
［号］≤足＜训口士６ Ｉ≠１，ｂＴ口士１＇
则，（ｚ）在Ｚ上不可约． 证明 由引理５及６为素数，知，（ｚ）的整数根
只可能为士ｌ，士ｂ，而 Ｉ口士ｂ Ｉ≠１，
所以
，（１）＝１＋ａ＋ｂ≠０，
，（一１）＝（一１）４＋口（一１）‘＋ｂ≠０．
若厂（６）＝０，则 ６一十口６‘＋６＝６（６Ｊｒｌ＋幻Ｈ＋１）一０．
［４］陈侠．关于整系数不可约多项式［Ｊ］．沈阳航空工业学院 学报．２００４（１）１１—２．
万方数据
整数环上的不可约多项式作者来自 作者单位：刊名： 英文刊名： 年，卷(期)：
陈雪雯， 吴晓红 陈雪雯(广西经贸职业技术学院,南宁,530021)， 吴晓红(广西师范大学数学科学学院,桂林 ,541004)
，（Ｄ＝，＋ｍ矿＋铂一＋…＋嘞嗣＝Ｈ＋ｃｌｏ，
其中口ｌ，扎，ｋ，Ｚ∈Ｚ，ｉ＝０，志一ｆ，…，五，
［号］≤五＜靠，０＜ｚ＜志，ａｏ Ｉ口卜ｆ，
ｎ。为素数，，（ｚ）在Ｚ上无一次因式，则，（ｚ）在Ｚ上 不可约．
在定理１的基础上，推论１推广了引理２与引理 ３，推论２和推论３推广了引理４，使其适用范围更大．
多项式分解为不可约多项式的方法
多项式分解为不可约多项式的方法多项式的分解是将一个多项式表示为更简单的不可约多项式的乘积形式。
不可约多项式是无法再进行进一步分解的多项式。
多项式分解的方法包括因式分解、开方并合并等。
1.因式分解法因式分解法是将多项式分解为一些因式的乘积形式。
这些因式可以是常数、一次因式、二次因式等。
a)常数因式分解首先，判断多项式是否可以被常数因式整除，即判断是否存在一个常数因式，使得多项式除以这个常数因式后余数为零。
如果存在，则将这个常数因式提取出来，并写在括号外面。
余下的部分为被提取出常数因式之后的多项式，继续进行因式分解，直到无法再进行因式分解为止。
例如，考虑多项式P(x)=2x^3+6x^2+12x，可以发现它可以被常数因式2整除，即P(x)=2(x^3+3x^2+6x)。
余下的部分为不可以再被2因式整除的多项式x^3+3x^2+6x，继续进行因式分解。
b)一次因式分解对于一次因式，即形式为ax + b的因式，可以使用综合除法或因式定理来进行分解。
综合除法：将多项式除以一次因式，得到商的一次多项式和余数。
商的一次多项式即为一次因式的系数，余数为0则说明一次因式是多项式的因式。
因式定理：根据因式定理，如果P(x)是一个多项式，且x-k是P(x)的因式，那么P(x)除以x-k的余数为0。
可以通过试除法找到多项式的一次因式，再用综合除法进行具体的分解。
例如，考虑多项式P(x)=x^2+2x-8，我们可以通过试除法找到一次因式，例如将x-2代入多项式中计算余数，发现余数为0。
因此可以将P(x)分解为P(x)=(x-2)(x+4)。
c)二次因式分解对于二次因式，即形式为ax^2 + bx + c的因式，可以使用求解二次方程或配方法来进行分解。
求解二次方程：对于二次因式ax^2 + bx + c，可以使用求解一元二次方程的方法来找到其根，进而得到二次因式的分解式。
根据韦达定理，一元二次方程的两个根可以由二次项系数和常数项决定。
高等代数北大第三版 在线阅读
3° p2+α
则 在有理数域上是不可约的 .
17
证： 若 在 上可约 ， 由定理11， f(x)可分解为两次数较低的整系数多项式积
f(x)=(bx+b1x1+…+b)(cmx"+cmx"-1+…+c)
b,cjez， , m < n ，I+m=n
又 不妨设
…p l 或 plc
判别法来判断是其是否可约 ，此时可考虑用适当的
代换
使
满足
Eisenstein判别法条件 ， 从而来判定原多项式
不可约 .
22
命题 有理系数多项式 f(x)在有理系数上不可约
多项式 g(x)= f(ax+b) 在有理数域上不可约 .
23
例5 证明：
在 上不可约 .
证： 作变换 x=y+1, 则
f(x)=y2+2y+ 2,
取 p= 2, 由Eisenstein判别法知， y2+ 2y+2 在Q上不可约，
所以 在Q上不可约 .
24
说明：
对于许多 上的多项式来说 ，作适当线性代换后 再用Eisenstein判别法判定它是否可约是一个较好的 办法 ，但未必总是凑效的． 也就是说 ，存在 上的
多项式
无论作怎样的代换
都不能
使
f ( x ) = ( sx- r ) ( bjx" - 1 + … + bx+ b )
bez， i=0,1…n-1 比较两端系数 ，
得
an= sbn1， a0= -rbd. 所以 ，sla， r l a
有理系数多项式不可约
有理系数多项式不可约在代数学中，多项式的概念十分广泛。
除了无理数系数的多项式之外，还有一种重要的类型是具有有理数系数的多项式。
对于有理系数多项式来说，一个重要且有趣的性质就是它的不可约性问题。
本文将就这个问题进行深入探讨和研究。
首先，我们需要了解什么是多项式的不可约性。
多项式的不可约性是指该多项式不能被分解为几个一次或二次因式的乘积的形式。
换句话说，如果一个多项式可以被表示为一个长度的多项式的乘积形式，那么这个多项式就被称为可约的；反之，则被称为不可约的。
有理系数多项式的不可约性的重要性在于它与代数基本定理有着密切的关系。
代数基本定理指出任何次数大于1的多项式在复数域上都可以被分解成一次因式的整数次幂的和。
这意味着对于给定的有理系数多项式，如果能证明它是不可约的，那么我们就可以利用代数基本定理将其转化为一些简单的因式和指数运算来解决相关问题。
因此，理解并解决有理系数多项式的不可约性问题具有重要的理论和实践意义。
为了更好地理解和探究有理系数多项式的不可约性，我们可以从以下三个方面入手：一、定义的理解：需要仔细阅读和理解关于多项式的定义以及相关的数学知识，以便能够正确地处理和处理涉及有理系数多项式的问题。
二、方法的应用：由于有理系数多项式的特殊性，可能需要使用不同于无理数系数的多项式的方法来解决问题。
例如，可以通过观察特殊情况下的例子或者借助其他工具如几何方法和矩阵知识等来寻找规律和方法。
三、数值模拟实验：通过具体的数值模拟实验可以直观地看到某些有理系数多项式的行为，从而帮助我们更准确地把握其性质和特点。
基于以上分析，我们将以一个具体的有理系数多项式为例来进行说明和分析。
假设我们有这样一个多项式f(x)=x^4+2x^3-5x^2+6x+7, 它是一个四次多项式。
在这个例子中，我们可以通过观察发现它没有公因子（即不是可约的），并且无法通过合并同类项的方式将它化简到更高次的单项式之和的形式。
这就意味着这个多项式是不可约的。
判定有限域上不可约多项式及本原多项式的一种高效算法
判定有限域上不可约多项式及本原多项式的一种高效算法王鑫;王新梅;韦宝典【摘要】提出了一个判定有限域上任一多项式是否为不可约多项式、本原多项式的高效的确定性算法.分析了多项式次数与其不可约因式之间的内在联系,给出了有限域上任意n次多项式是否为不可约多项式、本原多项式的一个充要条件.通过利用欧几里得算法,该判定仅需做O((log2n)n3)次域上乘法,属于多项式时间,易于硬件实现.为扩频通信与序列密码寻找和利用不可约多项式构造线性反馈移位寄存器提供了一种有效算法.【期刊名称】《中山大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2009(048)001【总页数】4页(P6-9)【关键词】有限域;不可约;本原;多项式时间算法;扩频通信;序列密码【作者】王鑫;王新梅;韦宝典【作者单位】西安电子科技大学综合业务网国家重点实验室,陕西,西安,710071;西安电子科技大学综合业务网国家重点实验室,陕西,西安,710071;中山大学电子与通信工程系,广东,广州,510275【正文语种】中文【中图分类】TP309有限域上的不可约多项式与本原多项式在密码，编码理论及随机数的产生等方面有着广泛的应用。
这是由于在扩频通信与序列密码中被广泛应用的伪随机序列，可在连续波雷达中用作测距信号，在遥控系统中用作遥控信号，在多址通信中用作地址信号，在数字通信中用作群同步信号，还可用作噪声源在保密通信中起加密作用。
这些伪随机序列大部分是利用有限域上的不可约多项式和本原多项式通过反馈移位寄存器和其它非线性逻辑产生的。
另一方面，多项式理论尤其是不可约多项式和本原多项式又是分析伪随机性能和密码体制的一种有效工具，因此研究有限域上的不可约多项式与本原多项式具有重要意义[1-4]。
设GF(q)为一个含q个元素的有限域，其中q=pk，p为一素数，k为正整数，那么对于任一正整数n，一定存在GF(q)上的n次不可约多项式[5]。
目前，判定有限域上一个n次多项式是否不可约的方法一般有确定性(构造性)和概率性两种算法[6]。
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不可约多项式的判别方法
一个多项式f(x) 是不可约的，当且仅当以下任一条件成立：
1. f(x) 为常数多项式。
2. f(x) 为一次多项式，即f(x)=ax+b，其中a\neq 0。
3. f(x) 为二次多项式，但其判别式\Delta=b^2-4ac 为负数，其中
f(x)=ax^2+bx+c，a\neq 0。
4. f(x) 的次数大于等于3，且它没有根的有理数解。
这时我们可以利用如下Tschirnhaus 变换，将f(x) 转化为一个新的多项式g(x)，使得g(x) 在有理数域上有一个根r=\frac{p}{q} （p 和q 互质）：
g(x)=f(x-rq)
其中r 为有理数解，rq 表示其denominator。
如果g(x) 还是不可约多项式，则f(x) 也是不可约多项式。
对于f(x) 的判别，我们可以通过暴力枚举f(x) 的因子进行验证。
具体地，我们从2 到\sqrt{\deg f(x)} 枚举每一个整数d，判断f(x) 是否能够被x^d-1
整除，如果能被整除，则说明存在一个次数为d 的不可约多项式，它是f(x) 的因子。
如果f(x) 不能被任何次数小于\sqrt{\deg f(x)} 的不可约多项式整除，则f(x) 是不可约多项式。