初中数学竞赛专题选讲 列表法(含答案)
用列表法巧解初中数学应用题
用列表法巧解初中数学应用题【摘要】用列表法解数学应用题，轻松理清应用题中的数量关系，轻松解决初中数学应用题轻松解决初中数学应用题【关键词】应用题【关键词】应用题 列表法列表法 解决解决 数量关系数量关系对于初中生来说对于初中生来说,,解应用题是个难点。
之所以难，因为初中的应用题，题目长，经常看到后面忘记了前面的；数量多且关系复杂，看完题目头脑一片混乱……比如七年级下册106页的探究3：如图（图略），长青化工厂与a ，b 两地有公路﹑铁路相连。
这家工厂从a 地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到b 地。
已知公路运价为1.5元∕元∕((吨.千米千米))，铁路运价为1.2元∕元∕((吨.千米千米))，且这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元。
这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？元。
这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？去也理不出头绪；这时引导他们填好课本分析中的表格，题目中的数量关系就理顺了，难点就解决了。
数量关系就理顺了，难点就解决了。
(表格可略去表格可略去))解应用题解应用题,,根据题意列出一个表来根据题意列出一个表来,,把题目的数字填在相应的表中题目的数字填在相应的表中,,就能把题目中的数量关系理得清清楚楚,再根据相等关系列出等式或方程，难点就解决了！掌握了这种方法，就能轻轻松松解决所有初中应用题！对于较长较复杂的题目，列表法更显出其优越性。
下面我通过例题来具体展示怎样用列表法来分析解决应用题的难点。
来分析解决应用题的难点。
1.1.行程问题：行程问题：行程问题：6千米千米,,二人同时出发相向而行二人同时出发相向而行,1,1小时后相遇小时后相遇;;同时出发同向而行同时出发同向而行,,甲3小时可追上乙小时可追上乙..问两人的平均速度各是多少?2.2.工程问题工程问题工程问题1﹑某单位整理一批图书，如果由一个人单独做要用60小时。
现先由一部分人用1小时整理，随后增加15人和他们一起又做了2小时，恰好完成整理工作。
2021年初中数学竞赛专题复习 第二篇 平面几何 第4章 共点线与共线点试题 新人教版
2021年初中数学竞赛专题复习 第二篇 平面几何 第14章 共点线与共线点试题 新人教版14.1.1★★设等腰直角三角形，，是中点，在上，，求证： .（试用梅氏定理证明）解析 如图，设与交于，则，由梅氏定理，，得，又，故∽，故.ABDCE F14.1.2★设是锐角三角形的边上的一点，，是边上的一点，，与相交于点，求. 解析 由梅涅劳斯定理，，得，，故，. 所以.AEFBDC14.1.3★证明：锐角三角形一条高线的垂足在另两边及另两条高线的身影在同一直线上.AF P DCS E H R Q解析 设的三条高线为、、，在、、、上的身影分别为、、、，欲证、、、共线，先证、、共线.由梅氏逆定理，知该结论为真，即221FR HQ BP AD HD BD AD HDRH QB PF HD BD CD CD BD⋅⋅=⋅⋅=⋅=，最后一步是由于∽.同理，、、共线，故、、、四点共线.14.1.4★已知是的高，在内，且，，作与垂直，与垂直，、分别是垂足，连结并延长，交延长线于，求.解析 如图，设，则由梅氏定理AEBDC GF.又由身影定理，，，于是，得.14.1.5★★如图，已知锐角三角形，是高，在、上的垂足分别是、，延长后交延长线于，若，求.ANBDCEM解析 由图知，，故.11cot cot AD AD CAD BAD CD BD CD BD∠-∠=-=-. 由梅氏定理及身影定理，有，，，故，即， 移项并因式分解，得111110CD BD CD BD ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，于是，即是所求答案.14.1.6★证明，两内角、平分线分别交对边于、，而的外角平分线交直线于，求证：、、共线. 解析 如图，既然的外角平分线直线相交，说明，不防设，则在延长线上.AFBCDE由角平分线性质知1BD CE AF AB BC ACDC EA FB AC AB BC ⋅⋅=⋅⋅=， 故由梅氏逆定理知、、共线. 14.1.7★★已知不等边三角形，、、的平分线分别交对边于、、，的中垂线与直线交于，同理得到、，证明：、、共线.A B A'C A''P解析 如图，不妨设的中垂线与延长线相交，连结，则，于是CAA A AA A AC AA A BAA B ''''''''''∠=∠-∠=∠-∠=∠，因此∽，于是. 同理，，于是，由梅氏逆定理，知、、共线. 14.1.8★★已知：是的边上一点，是上一点，、分别在、上，与交于，与交于.求证：若，则. 解析 如图，由梅氏定理，A GF EMNBD1AD GM BF AD GN CEDG BM FA DG NC EA ⋅⋅==⋅⋅.于是 .由于，故，于是，故.14.1.9★已知的面积为，点、在上，且∶∶∶∶，点在上，且∶∶，、分别与交于点、，求四边形的面积.AGHFB D E C解析 这类题目基本且典型，显然有，而，于是下求. 由梅氏定理，有，代入已知数值得，于是，从而. 又由，即，得，从而，于是，故116351251102DEHF S ⎛⎫=-=⎪⎝⎭四边形. 14.1.10★★★已知不等边锐角三角形，、是高，且位置如图所示，与中位线交于点，点、分别是的外心与垂心，求证：.A P M EN OHBDCFQ解析 一个熟知事实是，.延长交直线于点，则有 ，延长交于点，于是只需证明∽，即只需证 .由于，问题归结为，下面计算与. 由梅氏定理知，于是cos 2cos DF AB A CD AB ENA EF AC EQ AC EQ=⋅=⋅. 因，由正弦定理有，故上式为.证毕.14.1.11★★★如图，已知、是圆的两条切线，为圆的一条割线，交于，在上，，交于，求证：.PQ ABE SFR解析 易知、、、为调和点列，于是 .（见题12.3.13） 由梅氏定理，1RA FE QS FE PR QS EF AF EQ SR EQ PQ SR EQ=⋅⋅=⋅⋅=，因此 .14.1.12★★★ 已知为的直径，弦，弦与交于，，求证：平分.解析 如图，无非要证明，或证明CN CD NB BD NB BC ⋅=⋅=⋅，或证明. 设与交于，与交于.由梅氏定理，，得，故 ，即，得，证毕.C N BMKAO JD14.1.13★★★证明牛顿定理：设中，、分别在、上，、交于，则、、的中点在一条直线上（牛顿线）.ADBR CY E X Q PFZ解析 设、、的中点分别为、、，则易由中位线知、、共线，、、共线，、、共线.且 1YR ZP XQ EB CA DF RZ PX QY BF AE CD⋅⋅=⋅⋅= （后者是截所得）.故由梅氏逆定理，知、、共线. 评注 此题亦可由面积证.14.1.14★★★★设等腰直线三角形中，，是三角形内一点，，连结并延长至，使，是中点，直线分别与、交于、，求证：是的中点. 解析 如图，延长、，分别交直线于、，设，，，则由梅氏定理，有，而，故，即，或 ，或.A M E Pa Bb QcCDN G又由梅氏定理，，此即，所以，于是. 14.1.15★★★★设的边的中点，，是射线上一点，满足，是射线上一点，且与在边的同侧，满足，与交于，与交于，求.QA CDTBN P E解析 设边长分别为、、，由梅氏定理，，由于，，，故 ， .接下去处理.延长与交于，则，故，，，又由梅氏定理，，得，故平分，.故答案为. 14.1.16★★★在中，，为的中点，以为直径的圆交、于另一点、.分别过点、作圆的切线和.证明：、和直线共点.解析 如图设交直线于点，与直线交于点.由条件，及圆以为直径，可知，于是 . ①为证、与直线共点，只需证明与重合.我们下证：.利用，可知∽，故，于是.同理可证.于是222BEC EDC S BG BH BC EB BI DG HD CD ED S ID ⎛⎫⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭△△，其中为与的交点.对考虑割线，运用梅涅劳斯定理，可知，结合，可知，从而. 再由①可知，综合上式，得.命题获证.§14.2 塞瓦定理14.2.1★已知，向外外作长方形、、，又设直线与直线交于，直线与直线交于，直线与直线交于，则、、共点.解析 如图，设延长后交于，同理定义、（图中未画出）.P E GAD QKHR C F B A'连结、，则， 同理，，故，、、共点或平行，由于、、均在内，故平行不可能.14.2.2★已知内有一点，今过点作一直线与关于的角平分线对称，同样，过点、分别作直线、，求证：、、交于一点.解析 如图，设与直线交于，则22sin sin AA B CAPAA C PABS S BA AB BAA AB CA S AC PAB AC S ''''∠===⋅'∠△△△△，同理，AB A'CP于是，由塞瓦逆定理，即知、、共点.这个公共点，称为的等角共轭点. 14.2.3★已知，向外作相似的等腰三角形、及，其中、、是顶角.求证：、、交于一点. 解析 如图，不妨设与交于，同理定义、.设FAB FBA ACE θ∠=∠==∠=，则AFEBC D A'B'C'sin()sin()sin()1sin()sin()sin()ABD BCE AFC ACD ABE BFC S S S CB AC AB B BC C AC A B A C B S S S AC C AB A BC B θθθθθθ''+++⋅=⋅⋅=⋅⋅=''+++△△△△△△，由塞瓦逆定理，便得结论.14.2.4★★★已知：中，、、是角平分线，则当且仅当.K AGHFBD C E解析 当，延长至任一点，则，于是至距离等于至距离；又平分，故至距离等于至距离，因此可知平分，同理平分，故.反之，若，过作，与、延长线分别交于、，则由塞瓦定理知 ，于是，故，即平分，于是过作、、的垂线，不难得出平分，于是. 14.2.5★★已知中，、分别在、上，，、交于，延长后交于，与交于，与交于，、延长后分别交于、，求∶ ∶.P S MBHF GED A解析 由塞瓦定理易知，又由梅氏定理， ，两式相除，注意，，得.易得，同理，故 ∶∶∶∶.14.2.6★★如图，是锐角的角平分线，于点，于点，与交于点，求证：.AD EGF HBMS P C解析 作，易知∽，∽，故而有，，于是. 又由，故由塞瓦逆定理知、、共点.于是. 14.2.7★★锐角，向外作和， 使得，，，若、交于点，求证：.AEB DCFN P M解析 为证明结论，我们干脆作的高，设法证明、与共点. 由及知 .设与交于点，与交于点，则有cos sin(90)cos sin(90)AB B BC C CFAC C BC B BE⋅⋅︒+⋅=⋅⋅⋅︒+⋅ .于是由塞瓦逆定理，结论成立，最后一步用到的仍是∽. 14.2.8★中，、、分别在边、、上，且、、共点于.也在上，且与的中点重合，同理定义、.求证：、、也共点.解析 由塞瓦定理和逆定理，注意到等，立得结果. 评注 新共点与点互为等边共轭点. 14.2.9★★★设的边、、上分别有点、、，且、、共点，又的边、、上分别有点、、，、、也共点，求证：、、共点.解析 如图，又设延长后与交于（为简洁起见，图中未图出），同理定义、.于是AFXAXBAXCAEX ABS S BX AB AE FX AF ACX C S AC AF EX S AE'===⋅⋅'△△△△，同理，，由条件及塞瓦定理，得，于是、、共点.AF XEYZ BDC14.2.10★★★一个三角形的一边上的高、第二边上的中线与第三边上的角平分线交于一点，这个三角形一定是正三角形吗？ 解析 不一定.不妨设中，、、分别为高、中线与角平分线，于是，若三线交于一点，则由塞瓦定理（此处设，，），知有. 而由，222222BD CD AB AC c b -=-=-，知，于是有， .例如令，，则.14.2.11★★★ 如图，、是两条切线，与是任意两条割线，求证：、与交于一点.AB CQNMP解析 本题无疑是要运用塞瓦逆定理，比如在中，知只需证 .由圆内接四边形对角互补知，上式等价于1BP PC PQ QN QC MCBQ QC PC CN PQ PM ⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，化简，得.由∽、∽及∽，得，，，于是. 14.2.14★★设的内切圆分别与、、切于点、、，于点，与交于点，与交于点，求证：、与共点.AF M EPQBDC解析 易知sin sin sin sin BF FM AFE CD MD MDC FMBD MD MDB CE ME AEF ME⋅⋅∠⋅⋅∠=⋅=⋅⋅∠⋅⋅∠，由塞瓦逆定理，知三线共点. 评注 此处这个条件多余，但可用来证明平分.证明如下：设中内角为、、，于是易知，，故sin2sin 2CFD FM BF B ME CEED ==，又由 ，故∽，于是命题得证.14.2.13★★★已知凸四边形，，是上任一点，延长、，分别交、于、，求证：. 解析 如图，分别作，，且、、共线，、、共线，设与交于.BARMJ PCQND由塞瓦定理及角平分线性质定理，有.但，，于是.又180180ACM BAC DAC ACN ∠=︒-∠=︒-∠=∠，，故≌，于是.14.2.14★★设、分别是的边和上的点，、分别是与、与的交点.证明：若，点、、、共圆，则. 解析 如图，延长交于，为证，只需证明.而、、、共圆，故，，于是只需证明为的平分线.ABCDB 1A 1E F对的割线及其内一点分别利用梅涅劳斯定理和塞瓦定理，得 ， .所以， . ①在射线上取一点，使得，则由，可知为的外角平分线，于是，利用内、外角平分线定理，可知 .从而， .对比式①得，故与重合，因此，为的角平分线. 14.2.15★★★给定，点为内一点，使得，；为内一点，使得，；为内一点，使得，.证明：、和三线共点，且该公共点在的外接圆上.A MA 1解析 延长交于点，则11BMA MAB MBA MAC MCA CMA BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=∠，即为的平分线，于是，.而由条件，易知∽，故（这里、、为的三边长），从而，故 .同理可证：，，其中为与的交点，为与的交点（图中、未画出）.从而 .于是，由塞瓦定理的逆定理可知、、三线共点. 设上述公共点为，为的外心，则，故、、、四点共圆.于是设交这个圆于另一点，则为的中点.结合，可知为、、、所共圆的直径.因此，，类似可证，，.所以，、、在以为直径的圆上.§14.3 其他问题 14.3.1★求证：已知，点是上一点，则有sin sin sin BAP CAP BACAC AB AP∠∠∠+=；反之，若上式成立，且（即不是“反方向”的），则点、、共线. 解析 如图，由，得111sin sin sin 222AB AP BAP AC AP PAC AB AC BAC ⋅∠+⋅∠=⋅∠，两边同时除以，即得结论.AB P为证三点共线，只需将上述过程反过来，得，于是点、、共线.14.3.2★★已知及直线，在上的身影为，在上的身影为，类似地定义，和、，求证：、和共点. 解析 如图，只需证明2222220A B A C B C B A C A C B ''''''''''''-+-+-=（、未画出）.AB CB'A'C'lA''由于22222222A B A C A B A C A B B B A C C C ''''''''''''-=-=+--，同理2222B C B A B C C C '''''''-=+- ，222222C A C B C A A A C B B B ''''''''''-=+--，于是三式相加，便知结论成立. 14.3.3.★★★锐角三角形中，，、是两条高，为的垂心，、分别是、的中点.证明：、和共点，这里为的外心.解析 如图，由条件，可知和都是等腰直角三角形，而为、的中垂线上的点，故，，于是，，从而四边形为平行四边形.故与的交点为的中点.B另一方面，、为、的中点，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知，.即四边形为菱形，所以与的交点亦是的中点. 从而命题获证.14.3.4★★四边形与都是正方形，且点、、共线，点、、共线，连结、，点在上的射影是点，点在上的射影是点，求证：点、、共线.MNAS P TFE解析 设与交于点，又设，.于是由，有 tan cot ASB ATB S SP AS BSP T S AT BTαβ'⋅===⋅'⋅△△ ，即点与点重合.14.3.5★★在矩形的边、、、上分别取异于顶点的、、、，已知.证明与的交点在矩形的对角线上.D M C NOLA K B解析 连结、.因为，与相交于，所以∽，可得，. 又因，所以，则；因此∽. 综上，，，所以∽，可得，即、、共线.14.3.6★★证明：如果一个梯形内的（）个点到梯形四边距离之和相等，那么这个点共线. 解析 如图，延长梯形的腰、交于点.设为这个点中的一个点，过作一直线，交、于点、，使得为等腰三角形（）.设是这个点中的另一个点，我们证明在直线上.由条件到、的距离和等于到、的距离和.若在四边形内，则 ，从而(,)(,)(,)(,)EG d Q EG EH d Q EH EG d P EG EH P EH ⨯+⨯<⨯+⨯，这里表示点到直线的距离.结合，可得()(,)(,)d Q EG d Q EH d P EG +<∥，矛盾.类似地，若在四边形内，则(,)(,)(,)(,d Q EG d Q EH d P EG d P +>+，亦矛盾.故在线段上.14.3.7★★★设四边形仅有一个内角是直角，且两对角线相等，则对边中垂线交点与直角顶点共线. 解析 如图，设四边形中，，作矩形，则，又设的中垂线与之中垂线交于，则易知，于是、均在中垂线上.同理、中垂线之交点也在中垂线上，故而结论成立.AFDEPB G C14.3.8★★等腰梯形中.将绕点旋转一个角度，得一个新的.证明：线段、和的中点共线. 解析 如图，设、、的中点分别为、、，为的中点.并设，， 则，，且111222ZW A B AB CD WX ''====，即为等腰三角形，并且等于减去与所成的角. CZ B'Y BW A'DXA注意到，(180)2180γβαββα=-︒--=-︒+，所以，，从而1(180)9022XZW XWZ αβ∠=︒-∠=+-︒.于是902CZX XZW αβ∠=-∠=︒-.另一方面，，而1(180)9022CB B αα'∠=︒-=︒-，故.综上，.故、、共线.14.3.9★★直角三角形中，是斜边，为斜边上的高，以为圆心、为半径作.过作的割线，交于点和，交于点（在与之间）.在上取一点，使得，且与不在的同一侧.证明：、、三点共线.G 'AHBDF C E解析 延长交于点，我们证明与重合，即证.由知为的切线，故.再在中，为高，从而由身影定理可知，所以，故、、、共圆，因此. 注意到，故（这里再次用到、、、共圆），结合前面的结果，可知. 由圆的对称性，即得.14.3.10★★设锐角三角形，、、为高，是垂心，、分别在、上，且，求证：、的中垂线之交点在上. 解析 如图，若设、中垂线分别交于、（、在图中未画出），只要证明，即知结论成立.AF M BDCE NH由于，，而2cos 2cos 22BF CE BC BCBC B C +=+=，故只需证明 或即可.由条件知∽，故sin cos sin cos MF FH AH BAD BNE HE AH CAD C∠===∠.结论证毕. 14.3.11★★★的内切圆切边、于点、，直线与该内切圆切于劣弧内一点，分别交、于点、.为与的交点.证明：在线段上. C Q XP lMN TAYB解析 设交于点，的内切圆切与于点、.交于点，先证：与重合. 由正弦定理，可知 ， ，结合，180180AMN CMN CNM ∠=-∠=-∠，可知.同理可证：.所以，由及，可知，即与重合.这表明过与的交点.类似可知，与与的交点.所以，与的交点在线段上.14.3.12★★★在中，，.、、分别为边、、上的点，使得四边形为正方形.设为过所作的外接圆的切线.证明：、和三线共点.CE AD FB G解析 设交直线于点，连延长交于点.只需证明与重合. 记的三边长分别为、、，而正方形的边长为.则由，可知，故.由为外接圆的切线，得，而为公共角，故∽，从而，于是222GB BG AG AG c GC AG GC CA b ⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭，即，从而，结合，可知，故22222ac ac abcGD b c b c b c=+=-+-，.所以 ，即.而2bc b CE b x b b c b c=-=-=++.所以，故与重合，命题获证. 14.3.13★★★、均为圆的切线，是该圆的一条能弦，与圆交于点、，已知，点为中点，求证：点、、共线，这里为与的交点.A MBC QPDR解析 连结、、，易知题目无非是要证明 . 易知，，，，于是问题转变为求证 .由切线性质知，于是根据三角形面积公式，有 ACR ABC ACD ACDBDR DBC ABD CBD S S S S AR CR AC S DR BR S S BD S ⋅==⋅=⋅⋅△△△△△△△△， 于是待证式又变为求证 .事实上， ACPACD ACP CBDPBD PBD CDS S S DP DP ACCP CD S CP S CP BD S DP⋅==⋅=⋅⋅△△△△△△， 这是由于，且.26439 6747 杇+>37601 92E1 鋡24653 604D 恍Dp| 21696 54C0 哀Kj。
初中数学列表法练习
将所有可能出现的情况列表如下： （红，红） （黄，红） （蓝，红） （绿，红） （红，黄） （黄，黄） （蓝，黄） （绿，黄） （红，蓝） （黄，蓝） （蓝，蓝） （绿，蓝） （红，绿） （黄，绿） （蓝，绿） （绿，绿）
红1
（红1，白） （红1，红1）（红1，红2）
红2
（红2，白） （红2，红1）（红2，红2）
P(2次摸出红球)= 4 9
变式：一只不透明的袋子中装有1个白球和 2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后 从中任意摸出一个球，记录下颜色后不再 放回袋中，再从中任意摸出一个球，两次 都摸出红球的概率是多少？
红2
（红2，白） （红2，红1）
P（红，红） 1 16
例2： 一只不透明的袋子中装有1个白球和 2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀 后从中任意摸出一个球，记录下颜色后放 回袋中并搅匀，再从中任意摸出一个球， 两次都摸出红球的概率是多少？
解：利用表格列出所有可能的结果：
结果 第二次 第一次
白
红1
红2
白
（白，白） （白，红1） （白，红2）
变式：一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这 些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记 录下颜色后不再放回袋中，再从中任意摸出一个球，两 次都摸出红球的概率是多少？
解：利用表格列出所有可能的结果：
结果 第二次 第一次
白
白
红1
红2
（白，红1） （白，红2）
红1
（红1，白）
（红1，红2）
初中数学列表法练习【经典教学课件】
6:00
2021/10/10
18:00 15
2.2 时差：地方时
由图可知：
• 昼弧的中点上，地方时为________？ • 夜弧的中点上，地方时为
12:00 ？
• 晨线与昏线的分界处，若是极昼则该点地方时0为:00__或__2_4_:_0_0__？若是极夜，则该点地方时为 __________？
2021/10/10
5
变式：一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记 录下颜色后不再放回袋中，再从中任意摸出一个球，两次都摸出红球的概率是多少？
解：利用表格列出所有可能的结果：
结果
第二次
白
第一次
白
红1
（红1，白）
红2
（红2，白）
红1 （白，红1）
2021/10/10
22
2.2 时差：日界线
172.5°E 东12区
180° 西12区
172.5°W
人
为
日
界
线
9月25日
9月24日
2021/10/10
23
2.2 时差：日界线
3月2日（新1天） 90˚E
自然日界线
+1
0：00
+1 -1
人为日界线
180˚ -1
0˚
90˚W
3月1日（旧1天）
2021/10/10
8
2.地球自转的地理意义
2021/10/10
• 昼夜交替
• 时差
• 地转偏向力
9
2.1 昼夜交替
地球上为什么有昼夜现象？ 地球既不发光也不透明
初中列表法解题过程
初中列表法解题过程
初中列表法解题过程是一种解题方法，能够帮助学生解决学习中遇到的困难问题。
它的核心要点就是，当我们遇到一个解一道题的难题时，可以使用一个列表，将所有可以考虑的可能性列出来，并且把这些可能性之间的联系也列出来。
列表法解题过程的步骤如下：
1. 首先，认真阅读题目，确定求解目标及必要条件。
2. 然后，把全部可能性列出来，涵盖所有结果及满足问题必要条件的情况。
3. 接着，逐一对可能性进行取舍，筛选出符合条件的解。
4. 最后，根据可能性结果确定题目答案，根据上下文给出解释甚至证明。
此外，在使用列表法解题过程的时候，还可以做针对性的记录，把不同的情况下所得到的结果做出条列细节，以帮助解题。
同时，对于较复杂的问题，可以采取小规模的实验，确定列表中蕴含的可能性和有效参数。
总而言之，列表法解题过程可以有效地帮助学生解决一些解题中遇到的困难，并获得最优解。
初中数学竞赛《计数方法》练习题及答案 (63)
初中数学竞赛《计数方法》练习题
1.有16枚铁钉，按如图所示的图案钉在一块木板上，那么，以钉子为端点，你能用橡皮筋
围成多少个正方形？答：20个．
【分析】根据已知分别得出边长为1、边长为2、边长为3、边长为、边长为的正方形个数，从而得出正方形总个数即可．
【解答】解：在平面上图形，可以看出：设最小的正方形边长为1．
那么，边长为1的：9个．
边长为2的：4个．
边长为3的：1个．
边长为的：4个．
边长为的：2个．
答：20个．
故答案为：20．
【点评】此题主要考查了计数方法的应用，是找规律型的题，根据已知分别得出不同正方形的个数是解题关键．。
2021年中考数学热点专题复习：利用列表法解“每每”问题
2021年中考数学热点专题复习：利用列表法解“每每”问题在我们的生活中，经常看到商店、超市、专卖店等关于商品处理的信息，这种信息中有一些蕴含“每增加（或降低），就降低（或增加）”类问题，我们姑且称之谓“每每”问题，这是一种源于生活实际的问题，常常成为中考命题的素材之一，对于这类问题可借助表格来分析，它能帮助我们很快理清问题中的数量关系．例1 小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元，请问她购买了多少件这种服装？分析设小丽一次性购买了x件这种服装，根据题意列出表格：由一次性购买不超过10件总付款额800元< 1200元，可知购买的件数多于10件，根据“数量×单价＝总付款额”建立方程解答．解∵10×80＝800元<1200元，∴小丽购买的件数多于10件，设小丽购买了x件这种服装(x≥10)，根据题意，得x[80－2（x－10）]＝1200．解得x1＝20，x2＝30．当x＝20时，80－2(20－10)＝60>50，符合题意；当x＝30时，80－2(30－10)＝40< 50，不合题意，舍去．答：小丽购买了20件这种服装．点评 本题是“每增加…，就降低…”的问题，由每增加1件，服装的单价降低2元，且小丽购买了x 件这种服装，可知增加的服装是（x －10）件，而不是x 件，这样服装的单价就降低了（x －10）元，此时服装的单价为[80－2(x －10)]元，例2山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克．若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：(1)每千克核桃应降价多少元？(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？分析 (1)设每千克核桃应降价x 元，根据题意列出表格：根据“销售量×（售价－进价）＝总利润，即销售量×每件利润＝总利润”建立方程即可．(2)根据(1)问的结果判断下降的费用，再求出此时的销售单价即可确定几折， 解 (1)设每千克核桃应降价x 元．根据题意，得（60－x －40）（100＋2x ×20） ＝2240．整理得x 2－10x ＋24＝0，解得x 1－4，x 2＝6．故每千克核桃应降价4元或6元；(2)由(1)可知每千克核桃可降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元，此时，售价为：60－6＝54(元)，54100%＝90%．60所以该店应按原售价的九折出售．点评本题是“每降低…，就增加…”类问题，由单价每降低2元，平均每天的销售可增加20千克，即（单价每降低1元，平均每天的销售可增加10千克），可知降低x元，销售量增加10x，此时的销售量为(100＋10x)．例3 某公司投资新建了一商场，共有商铺30间，据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出，每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元，(1)当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？(2)当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）为275万元？分析(1)直接根据题意，先求出增加的租金是6个5000，从而计算出租出多少间．(2)设每间商铺的年租金增加x万元，根据题意列出表格：再根据“租金－各种费用＝收益”列出方程求解即可，解(1)∵(130000－100000)÷5000＝6．∴能租出30－6＝24(间)；(2)设每间商铺的年租金增加x万元，由题意，得()30103010.50.50.50.5x x x x ⎛⎫⎛⎫-⨯+--⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ＝275，即2x 2－11x ＋5＝0，解之得x 1＝5，x 2＝0.5．∴5＋10＝15万元，0.5＋10＝10.5万元，所以每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元．点评 本题也是“每增加…，就降低…”类问题，由每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间，即(每间的年租金每增加1万元，将少租出商铺10.5间），可知每间商铺的年租金增加x 万元，将少租出0.5x 间，实际租出（30－0.5x ）间，此题要注意单位统一，否则会出现错解．例4 某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元．第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x 元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？分析 题中的关系如下表：根据“第一周利润＋第二周利润＋两周后利润＝总利润”建立方程即可，解 由题意，得200×(10－6)＋(10－x －6)(200＋50x)＋(4－6) [600－200－(200＋50x)]＝1250．整理得x2－2x＋1＝0，解得：x1＝x2＝1，∴10－1＝9．所以第二周的销售价格为9元．点评本题中的数量关系较复杂，通过表格分析，既能避免错误，又能化繁为简，大大地提高了我们的解题速度．。
初中数学培优辅导资料(1-10)讲
初中数学竟赛辅导资料(1)数的整除（一）内容提要：如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.能被7整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。
如 1001 100－2＝98（能被7整除） 又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除）能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除如 1001 100－1＝99（能11整除） 又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。
求x,y解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=3例2己知五位数x 1234能被12整除， 求X 解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，当1＋2＋3＋4＋X 能被3整除时，x=2，5，8 当末两位X 4能被4整除时，X ＝0，4，8 ∴X ＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数 解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可， ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
练习１．分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296987能被3整除，那么a=_______________2．若四位数a12X能被11整除，那么X＝__________-3．若五位数3435m能被25整除4．当m=_________时，59610能被7整除5．当n=__________时，n6．能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7．能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________ 8．8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________,8__________,9_________,11__________9．从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除但不是5的倍数的共______个。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
- 1 -
初中数学竞赛专题选讲(初三.12)
列表法
一、内容提要
只要有可能，依题意画个图或列个表给问题以直观的描述，对解题大有好处.因为图表
常能把数据的题设和结论之间的相互关系，有条不紊地形象表达出来，特别是纵横关系较多
的问题，利用图表，不仅便于思考答题方案，还可以作为答题的步骤.
图解已在枚举法，交集法等处介绍过，本讲主要介绍表解.
使用表解的关键是合理地设计纵横栏目.其前提是正确地理解题意，明确各条件之间的
从属、并列、交叉关系.数学逻辑推理有一个最基本的定律，就是排中律，即“不是真，必
为假”，“不是假，便是真”，列表推理就是把诸多数据按题目条件，逐一填入表中，当发现
与题设矛盾时就排除，在排除淘汰的基础上，推出满足所有条件的结论.
二、例题
例1. n为正整数，试证2 n+7 n+2能被5整除.
解： n分别取1，2，3，4时，观察2 n+7 n+2的个位数字情况如下：
n 1 2 3 4
2n的个位数 2 4 8 6
7n+2的个位数 3 1 7 9
2n+7n+2的个位数 5 5 5 5
并且∵2 4k+n与2 n； 74k+(n+2) 与7n+2 (k为整数)的个位数字相同.
∴n 不论取什么自然数值，2n+7n+2均能被5整除..
例2. 小张步行每小时走10里，骑车每小时走30里，他从甲地到乙地步行和骑车走了同
样长的路程；然后沿着同一条路从乙地返回甲地，这次步行和骑车走了同样多的时间，结果
返回时比去时少用了40分钟.求甲、乙两地的距离及从乙到甲所用的时间.
解：设甲乙两地的距离为x里，从乙到甲所用的时间是y 小时. 列表如下：
- 2 -
根据题意，得 xyyyxx23021032302102
解这个方程组，得240yx
答：甲乙两地的距离为40里，从乙返甲用了2小时.
例3. 从1到10这十个自然数中，每次取两个，要使它们的和大于10，共有几种取法？
试列表统计.
解：有两种列表法：由大数取小数或以小数取大数
较大数 较 小 数 取法种
数
10 1，2，3，4，5，6，7，8，9， 9
9 2，3，4，5，6，7，8， 7
8 3，4，5，6，7， 5
7 4，5，6， 3
6 5， 1
∴共有9+7+5+3+1=25种取法.
从甲到乙 从乙到甲
S x21里 x21里 x里
V
V步=10时里 V车=30时里 V步=10时里 V甲=30时里
T
y+32(时) 时2y 时2y
- 3 -
较小数 较 大 数 取法种
数
1 10, 1
2 10，9, 2
3 10，9，8 , 3
4 10，9，8，7, 4
5 10，9，8，7，6， 5
6 10，9，8，7， 4
7 10，9，8， 3
8 10，9， 2
9 10, 1
共有1+2+3+4+5+4+3+2+1=25种取法.
例4. A，B，C，D，E五个人，每人头上戴一顶帽子，只有红或白两种颜色中的一种.
他们看见别人所戴的帽子颜色，分别说了以下的话：
A说：我看到的是3白1红； B说：我看到的是4红；
C说：我看到的是1白3红； E说：我看到的是4白.
已知戴白帽子的人说真话，而戴红帽子的人说假话.试判断A，B，C，D，E各戴什么颜
色的帽子.
解：先由易到难，用否定判断法：
若E说了真话，则共有5白，即大家都说了真话，这与其他人所说内容相矛盾，所以E
必是戴红帽；
若A说了真话，则共有4白1红，那么 除A、E以外，还有2人说真话，就是B、C也
说真话，这也不可能，所以A也 戴红帽；
在确定A、E之后，我们把B、C说真话或假话的情况列表来判断：
A B C D E
设B说真话 红 白 红
设C说真话 红 红 白 白 红
若B说真话，则C、D都为红(∵B看到的是4红)，那么C应是说假话，但C说1白3
红却是真的，所以矛盾，B没有说真话，应是戴红帽.
- 4 -
最后，C确实说了真话(看到1白3红).这时可知D是戴白帽.
∴A，B，C，D，E所戴帽子的颜色分别是：红，红，白，白，红.
三、练习
1. 用列表法,求不等式(2x+1)(x－2)(x－3)<0的解集
当x取值为 x<－21 －21
2x+1的符号 － ＋
x－2的符号
x－3的符号
(2x+1)(x－2)(x－3) 的符号
∴不等式(2x+10(x－2)(x－3)<0的解集是_____________或____________
2. n为自然数,3n与7n的和或差必有一个能被10整除.试证之，并说明n取什么值时，其和
能被10整除.
3. 若自然数a不是2和3的倍数，试证a2+23能被24整除.
4. 原计划在一定时间内插秧152亩，实际工作时，每天比原计划多插2亩，结果比原计划
提前3天并超额完成8亩.问原计划每天插秧几亩？
5. 甲，乙两人接受同样的任务，开始时乙比甲每天少做4件，做到两人都剩下624件时，
乙比甲多用了2天.此后乙改进技术，每天比原来多做6件，这样两人在同一时间内定成任
务.求甲、乙两人的工作效率.
6. A，B，C，D，E，F六个球队，进行单循环比赛（每队都要与其他各队各比赛一场），
经过一段时间询问了A，B，C，D，E五个队，结果是他们都参加了比赛，并且比赛的场数
各不相同，问未查询的F队比赛了几场？
7. 甲，乙，丙三人参加高考后，甲说：我一定考上重点大学.乙说：重点大学我考不上.丙
说：我考上大学是没有问题的.发榜后，这三人中有一人考上重点天学，一人考上一般大学，
一人落选.对他们的预言，只有一人正确.试判断甲，乙，丙的录取情况.
8. 甲，乙，丙三同学，来自初三①，② ③班各一人，参加语、数、英兴趣小组各一项.
已知甲不是①班的，乙不在②班，在①班的不参加数学组，在②班的参加英语组，乙不参加
语文组.问丙是哪个班？参加什么组？
- 5 -
9. 甲，乙，丙，丁四人参加数学竞赛，得了前四名，三位同学在议论名次.A说：甲第一，
乙第二；B说：甲第二，丁第四；C说：丙第二，丁第三.结果他们各对了一半.问甲，乙，
丙，丁的正确名次是多少？
10. 一次校运会，小王，小林，小江三人包揽了五个项目的前三名，小王共得22分，
小林，小江各得9分，每项目的一，二，三名得分，分别是5，2，1分，并知小江得铅球第
一名.试问他们各得几个第一名，第二名，第三名？
11. 四位外国朋友，他们都会说英、法、日、汉四种语言中的2种，有一种语言三个人
会说，但没有一种大家都会说的语言.还知道：
① A会讲日语，D却不会，但他们用同一种语言交谈；
② B不会讲英语，当A、C交谈时，他当翻译；
③ B、C、D三人谈时，没有一种共同的语言；
④ 四人中没有一人既会讲日语，又会讲法语.
试问A，B，C，D四人各会讲何种语言.
参考答案
2. 列表 n=1,2,3,4(仿例1
3. 已知可表示为6k±1
4. 8亩
5. 24，20
6. 3场（仿例3）
7. 甲落选，乙重点，丙一般
8.丙是（1）班学生，参加语文组
9.甲，乙，丙，丁分别是1，3，2，4.
10. 王（4个一，1个二）；江（1个一，4个三）；林（4个二，1个三）.
11. 用1表示会说，0表示不会说
该种语言，答案列表如右：
项 目 A B C D
英 语 0 0 1 1
法 语 0 1 1 0
日 语 1 0 0 0
汉 语 1 1 0 1