函数的单调性与曲线的凹凸性
第3章§3.4 函数的单调性与曲线的
凹凸性
燕列雅权豫西王兰芳李琪
1. 函数单调性的判定法
若定理1 设函数)(x f 0
)(>'x f 则在I 内单调递增)(x f ,)0)((<'x f (递减) .
证无妨设,,0)(I x x f ∈>'任取)
(,2121x x I x x <∈由拉格朗日中值定理得
))(()()(1212x x f x f x f -'=-ξ),(21x x ∈ξI
?0
>故.)()(21x f x f <这说明在I 内单调递增.
)(x f 在开区间I 内可导,证毕
三、函数的单调性与凹凸性
y
x
o 说明:
2) 导数不存在的点也可能是函数单调区间的分界点. 例如,),(,3
2
∞+-∞∈=
x x y 3
32
x
y ='∞='=0x y 3
2
x
y =1) 驻点是函数单调区间可能的分界点.例如,2
,(,)
y x x =∈-∞+∞2,
y x '=0
0='=x y y
o
x
3
x
y =)
,(,3
∞+-∞∈=x x y 23x
y ='00='=x y 2
x
y =y
o
x
x =0是函数单调区间的分界点.
而
x =0不是函数单调区间的分界点.
例1 确定函数31292)(2
3-+-=x x x x f 的单调区间.解
12186)(2
+-='x x x f )
2)(1(6--=x x 令,0)(='x f 得2
,1==x x x )(x f ')
(x f )1,(-∞2001)
2,1(),2(∞++
-
+
2
1
故)(x f 的单调增区间为(,1],-∞[2,);+∞)(x f 的单调减区间为[1,2].
1
2x
o
y
12
注意:3x 1x 4
x 2x 5x x
a b
o y
41,x x 为极大点52,x x 为极小点
3x 不是极值点
1) 函数的极值是函数的局部性质.
3) 函数的最值是函数的全局性质.
2) 对常见函数, 极值可能出现在驻点或导数不存在的点.
2. 函数极值的判定法
由费马引理可知可导函数的极值点一定是驻点.
定理1(取得极值的充分条件)
,)(0的某邻域内连续在设函数x x f 且在空心邻域
内有导数,,
0时由小到大通过当x x (1) )(x f '“左正右负”,;
)(0取极小值在则x x f (2) )(x f '“左负右正”,.)(0取极大值在则x x f (证明略)
例如,2
,(,)y x x =∈-∞+∞3
,(,)y x x =∈-∞+∞而容易验证x =0是的极小
值点.
x =0不是的极值点.
例3 求函数3
2)1()(x x x f -=的极值.解1) 求导数23()f x x '=+132(1)3x x --?32
553x x
-=?
2) 求极值可疑点
令,0)(='x f 得12
;5
x =令,)(∞='x f 得0
2=x 3) 列表判别
x )
(x f ')
(x f ∞0
52
0+-
+
33
.0-)
0,(-∞),0(52)
,(52∞+0=∴x 是极大值点，极大值为0
)0(=f 是极小值点，极小值为5
2=x 33
.0)(52-=f
定义3. 曲线的凹凸与拐点
PQ PQ 称曲线弧是凹凸弧的分界点都有切线，且切点这时也称曲线弧为凹弧称为拐点．
定理2 (凹凸判定法)
)(x f (1) 在I 内,0)(>''x f 则在I 内图形是凹的;)(x f (2) 在I 内,0)(<''x f 则在I 内图形是凸的.
)(x f +
-
设函数在区间I 上有
O
y
x
P
Q
的,若其上每一点附近曲线总在切线的上方相应的函数称为凹二阶导数, 则
（或凸）（或下方）．（或凸弧）,
函数.（或凸）连续曲线上凹弧与
例4 判断曲线4
x y =的凹凸性.
解,43x y ='2
12x
y =''时，当0≠x ;0>''y ,0时=x ,
0=''y 故曲线4
x y =在),(∞+-∞上是凹的.说明:
1) 若在某点二阶导数为0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法若曲线)(x f y =,0连续在点x 0)(0=''x f 或不存在,但)(x f ''在两侧异号,0x 则点))(,(00x f x 是曲线
)(x f y =的一个拐点.
号, 则曲线的凹凸性不变.
在其两侧二阶导数不变x
y
o
如下:
例5 求曲线3x
y=的拐点.
解,32
3
1
-
='x
y3
5
9
2
-
-
=''x
y
x
y''
y
)0,
(-∞)
,0(∞
+
不存在
+-因此点( 0 , 0 )为曲线3x
y=的拐点.
凹凸
x
x y 24362
-='')
(3632-=x x 例6 求曲线1433
4
+-=x x y 的凹凸区间及拐点.解1) 求y '
',121223x x y -='2) 求拐点可疑点坐标
令0=''y 得,,03221==x x 对应3) 列表判别
27
1121,1==y y )0,(-∞),
0(32)
,(32∞+y '
'x y 0
32+00
127
11-
+
故该曲线在(,0]-∞2
3
[,)+∞及上是凹的,是凸的,点( 0 , 1 )及
)
,(271132均为拐点.
23
0[,]在上
凹
凹
凸
内容小结
1. 可导函数单调性判别
I x x f ∈>',0)
()(x f 在I 上单调递增I
x x f ∈<',0)
()(x f 在I 上单调递减
3. 曲线凹凸与拐点的判别
I
x x f ∈>'',0)
(上向上凹在曲线I x f y )
(=I
x x f ∈<'',0)
(+
–
上向上凸
在曲线I x f y )(=拐点—连续曲线上有切线的凹凸分界点
2. 连续函数的极值导数为0 或不存在的点是可能的极值点取得极值的充分条件
)(x f '过0x 由正变
负
)(0x f 为极大值)(x f '过0x 由负变
正)(0x f 为极小值
思考与练习
]1,0[上,0)(>''x f 则,)1(,)0(f f '')0()1(f f -或
)1()0(f f -的大小顺序是( ))0()1()0()1()(f f f f A ->'>')0()0()1()1()(f f f f B '>->')0()1()0()1()(f f f f C '>'>-)
0()1()0()1()
(f f f f D '>->'提示:利用)(x f '单调增加,)
10()()0()1(<<'=-ξξf f f 及
B
设在