上海备战中考数学—二次函数的综合压轴题专题复习

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．（10分）（2015?佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．

（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；

（2）小球的落点是A，求点A的坐标；

（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；

（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．

【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）；（4）（，）．

【解析】

试题分析：（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P的坐标；

（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；

（3）作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入数值计算即可求解；

（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA的面积等于△POA的面积．设直

线PM的解析式为y=x+b，将P（2，4）代入，求出直线PM的解析式为y=x+3．再与抛

物线的解析式联立，得到方程组，解方程组即可求出点M的坐标．

试题解析：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，

故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；

（2）联立两解析式可得：，解得：，或．

故可得点A的坐标为（，）；

（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．

S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA

=×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××

=4+﹣

=；

（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．

设直线PM的解析式为y=x+b，

∵P的坐标为（2，4），

∴4=×2+b，解得b=3，

∴直线PM的解析式为y=x+3．

由，解得，，

∴点M的坐标为（，）．

考点：二次函数的综合题

2．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.

(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？

(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？

【答案】（1）足球飞行的时间是8

5

s时，足球离地面最高，最大高度是4.5m；（2）能.

【解析】

试题分析：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，当t=时，y最大=4.5；

（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．

解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），

∴，

解得：，

∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，

∴当t=时，y最大=4.5；

（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，

∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，

∴他能将球直接射入球门．

考点：二次函数的应用．

3．如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点

的直线y=﹣1

2

x﹣1交于点C．

（1）求抛物线解析式及对称轴；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使四边形ACPO 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）点M 为y 轴右侧抛物线上一点，过点M 作直线AC 的垂线，垂足为N ．问：是否存在这样的点N ，使以点M 、N 、C 为顶点的三角形与△AOC 相似，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为：y=211

184

x x --，抛物线对称轴为直线x=1；（2）存在P 点坐标为（1，﹣1

2

）；（3）N 点坐标为（4，﹣3）或（2，﹣1） 【解析】

分析：（1）由待定系数法求解即可；

（2）将四边形周长最小转化为PC+PO 最小即可；

（3）利用相似三角形对应点进行分类讨论，构造图形．设出点N 坐标，表示点M 坐标代入抛物线解析式即可．

详解：（1）把A （-2，0），B （4，0）代入抛物线y=ax 2+bx-1，得

0421

01641a b a b --??

+-?

＝＝ 解得18

14a b ?

???

?-??

＝＝ ∴抛物线解析式为：y=

18x 2?1

4

x?1 ∴抛物线对称轴为直线x=-1

41228

b

a -

=-?

＝1 （2）存在

使四边形ACPO 的周长最小，只需PC+PO 最小

∴取点C （0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O 与直线x=1的交点即为P 点．

设过点C′、O直线解析式为：y=kx

∴k=-1 2

∴y=-1 2 x

则P点坐标为（1，-1

2

）

（3）当△AOC∽△MNC时，

如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E

∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°

∴∠CDN=∠CAO

由相似，∠CAO=∠CMN

∴∠CDN=∠CMN

∵MN⊥AC

∴M、D关于AN对称，则N为DM中点

设点N坐标为（a，-1

2

a-1）

由△EDN∽△OAC ∴ED=2a

∴点D坐标为（0，-5

2

a?1）

∵N为DM中点

∴点M坐标为（2a，3

2

a?1）

把M代入y=1

8

x2?

1

4

x?1，解得

a=4

则N点坐标为（4，-3）

当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM

∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N

由（2）N（2，-1）

∴N点坐标为（4，-3）或（2，-1）

点睛：本题为代数几何综合题，考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三角形相似．解答时，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．

4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；

（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；

（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；

（3）符合条件的点P的坐标为（7

3

，

20

9

）或（

10

3

，﹣

13

9

），

【解析】

分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；

（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为

负倒数设直线PC的解析式为y=-1

3

x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为

y=-1

3

x+3，再解方程组

223

1

3

3

y x x

y x

?-++

?

?

-+

??

＝

＝

得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物

线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），

即y=ax2﹣2ax﹣3a，

∴﹣2a=2，解得a=﹣1，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；

当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，

把A（﹣1，0），C（0，3）代入得

3

p q

q

-+=

?

?

=

?

，解得

3

3

p

q

=

?

?

=

?

，

∴直线AC的解析式为y=3x+3；

（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴顶点D的坐标为（1，4），

作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），

∵MB=MB′，

∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，

而BD的值不变，

∴此时△BDM的周长最小，

易得直线DB′的解析式为y=x+3，

当x=0时，y=x+3=3，

∴点M的坐标为（0，3）；

（3）存在．

过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，

∵直线AC的解析式为y=3x+3，

∴直线PC的解析式可设为y=﹣1

3

x+b，

把C（0，3）代入得b=3，

∴直线PC的解析式为y=﹣1

3

x+3，

解方程组

223

1

3

3

y x x

y x

?-++

?

?

-+

??

＝

＝

，解得

3

x

y

=

?

?

=

?

或

7

3

20

9

x

y

?

=

??

?

?=

??

，则此时P点坐标为（

7

3

，

20

9

）；

过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，

把A（﹣1，0）代入得1

3

+b=0，解得b=﹣

1

3

，

∴直线PC的解析式为y=﹣1

3x﹣

1

3

，

解方程组

223

11

33

y x x

y x

?-++

?

?

--

??

＝

＝

，解得

1

x

y

=-

?

?

=

?

或

10

3

13

9

x

y

?

=

??

?

?=-

??

，则此时P点坐标为（

10

3

，﹣

13

9

）.

综上所述，符合条件的点P的坐标为（7

3

，

20

9

）或（

10

3

，﹣

13

9

）.

点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

5．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（-2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）；

（1）求二次函数的解析式；

（2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由．

（3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．

（4）若P为抛物线上一点，过P作PQ⊥BC于Q，在y轴左侧的抛物线是否存在点P使△CPQ∽△BCO（点C与点B对应），若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．

【答案】（1）二次函数的解析式为：y=-x2-x+2；；（2）最大值为1，此时N（-1，2）；

（3）M的坐标为（-1，0）或（50）或（-3

2

，0）；（4）点P的坐标为：（-1，

2）或（-7

3

，-

10

9

）．

【解析】

【分析】

（1）利用交点式求二次函数的解析式；

（2）求直线AC的解析式，作辅助线ND，根据抛物线的解析式表示N的坐标，根据直线AC的解析式表示D的坐标，表示ND的长，利用铅直高度与水平宽度的积求三角形ANC的面积，根据二次函数的最值可得面积的最大值，并计算此时N的坐标；

（3）分三种情况：当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，分别以三边为腰，画图形，求M的坐标即可；

（4）存在两种情况：①如图4，点P1与点C关于抛物线的对称轴对称时符合条件；

②如图5，图3中的M（-3

2

，0）时，MB=MC，设CM与抛物线交于点P2，则

△CP2Q∽△BCO，P2为直线CM的抛物线的交点．

【详解】

（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（-2，0），B（1，0），设二次函数的解析式为：y=a（x+2）（x-1），

把C（0，2）代入得：2=a（0+2）（0-1），

a=-1，

∴y=-（x+2）（x-1）=-x2-x+2，

∴二次函数的解析式为：y=-x2-x+2；

（2）如图1，过N作ND∥y轴，交AC于D，设N（n，-n2-n+2），

设直线AC的解析式为：y=kx+b，

把A（-2，0）、C（0，2）代入得：

20

2

k b

b

-+

?

?

?

＝

＝

，

解得：

1

2 k

b

?

?

?

＝

＝

，

∴直线AC的解析式为：y=x+2，

∴D（n，n+2），

∴ND=（-n2-n+2）-（n+2）=-n2-2n，

∴S△ANC

=

1

2

×2×[-n2-2n]=-n2-2n=-（n+1）2+1，

∴当n=-1时，△ANC的面积有最大值为1，此时N（-1，2），

（3）存在，分三种情况：

①如图2，当BC=CM1时，M1（-1，0）；

②如图2，由勾股定理得：22

25

1=

+，

以B为圆心，以BC为半径画圆，交x轴于M2、M3，则BC=BM2=BM35此时，M2（50），M3（50）；

③如图3，作BC的中垂线，交x轴于M4，连接CM4，则CM4=BM4，

设OM4=x，则CM4=BM4=x+1，由勾股定理得：22+x2=（1+x）2，

解得：x=3

2

，

∵M4在x轴的负半轴上，

∴M4（-3

2

，0），

综上所述，当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，M的坐标为（-1，0）或

（1±5，0）或（-3

2

，0）；

（4）存在两种情况：

①如图4，过C作x轴的平行线交抛物线于P1，过P1作P1Q⊥BC，

此时，△CP1Q∽△BCO，

∴点P1与点C关于抛物线的对称轴对称，

∴P1（-1，2），

②如图5，由（3）知：当M（-3

2

，0）时，MB=MC，设CM与抛物线交于点P2，

过P2作P2Q⊥BC，此时，△CP2Q∽△BCO，

易得直线CM的解析式为：y=4

3

x+2，

则

2

4

2

3

2

y x

y x x

?

=+

?

?

?=--+

?

，

解得：P2（-

7

3

，-

10

9

），

综上所述，点P的坐标为：（-1，2）或（-

7

3

，-

10

9

）．

【点睛】

本题是二次函数的综合题，计算量大，考查了利用待定系数法求函数的解析式、利用函数解析式求其交点坐标、三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，是一个不错的二次函数与几何图形的综合题，采用了分类讨论的思想，第三问和第四问要考虑周全，不要丢解．

6．如图，在平面直角坐标系中，直线

4

8

3

y x

=-+与x轴，y轴分别交于点A、B，抛物线24

y ax ax c

=-+经过点A和点B，与x轴的另一个交点为C，动点D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向O点运动，同时动点E从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向A点运动，设运动的时间为t秒，0﹤t﹤5.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当t为何值时，以A、D、E为顶点的三角形与△AOB相似；

（3）当△ADE 为等腰三角形时，求t 的值；

（4）抛物线上是否存在一点F ，使得以A 、B 、D 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出F 点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）抛物线的解析式为228

833

y x x =-++； （2）t 的值为3011或50

13

； （3）t 的值为

103或6017或258

； （4）符合条件的点F 存在，共有两个1F （4，8

），2(2F +，-8）. 【解析】

（1）由B 、C 两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）利用

△ADE ∽△AOB 和△AED ∽△AOB 即可求出t 的值；（3）过E 作EH ⊥x 轴于点H ，过D 作DM ⊥AB 于点M 即可求出t 的值；（4）分当AD 为边时，当AD 为对角线时符合条件的点F 的坐标.

解：(1)A （6,0），B （0,8），依题意知36240{8

a a c c -+==，解得2

{

38

a c =-

=， ∴228

833

y x x =-

++. (2)∵ A （6,0），B （0,8），∴OA=6，OB=8，AB=10，∴AD=t ，AE=10-2t ， ①当△ADE ∽△AOB 时，AD AE AO AB =，∴102610t t -=，∴30

11t =； ②当△AED ∽△AOB 时，AE AD AO AB =，∴102610t t -=，∴50

13

t =； 综上所述，t 的值为

3011或

5013

. (3) ①当AD=AE 时，t=10-2t ，∴103

t =

； ②当AE=DE 时，过E 作EH ⊥x 轴于点H ，则AD=2AH ，由△AEH ∽△ABO 得，AH=

()31025

t -，∴()61025

t t -=

，∴6017

t =

； ③当AD=DE 时，过D 作DM ⊥AB 于点M ，则AE=2AM ，由△AMD ∽△AOB 得，AM=35

t ，∴61025t t -=

，∴258

t =； 综上所述，t 的值为

103或6017或

25

8

. (4) ①当AD 为边时，则BF ∥x 轴，∴8F B y y ==，求得x=4，∴F （4，8）；

②当AD 为对角线时，则8F B y y =-=-，∴228

8833

x x -++=-，解得227x =±，∵x ﹥0，∴227x =+，∴()

227,8+-.

综上所述，符合条件的点F 存在，共有两个1F （4，8），2(227F +，-8）.

“点睛”本题考查二次函数综合题、相似三角形等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论，用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．

7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经 过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封

闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，

），点M 是抛物线C 2：

2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．

（1）求A 、B 两点的坐标；

（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值． 【答案】（1）A （

，0）、B （3，0）．

（2）存在．S △PBC 最大值为27

16

（3）2

m 2

=-或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【解析】 【分析】

（1）在2

y mx 2mx 3m =--中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标．

（2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．

（3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值． 【详解】

解：（1）令y=0，则2mx 2mx 3m 0--=，

∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=． ∴A （

，0）、B （3，0）．

（2）存在．理由如下：

∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠）， 把C （0，3

2-

）代入可得，12

a =． ∴Ｃ1的表达式为：()()1y x 1x 32=+-，即213

y x x 22

=--． 设P （p ，

213

p p 22

--）， ∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =2

3

327p 4

2

16

--+（）． ∵3a 4=-

<0，∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716

． （3）由C 2可知： B （3，0），D （0，3m -），M （1，4m -）， ∴BD 2=29m 9+，BM 2=216m 4+，DM 2=2m 1+． ∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：

当∠BMD=90°时，BM 2+ DM 2= BD 2，即216m 4+＋2m 1+=29m 9+， 解得：12m 2=-

,22

m 2

=(舍去)． 当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2，即29m 9+＋2m 1+=216m 4+， 解得：1m 1=-，2m 1=(舍去) ． 综上所述，2

m =或1m =-时，△BDM 为直角三角形．

8．如图，已知抛物线经过点A （﹣1，0），B （4，0），C （0，2）三点，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 做x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ，交直线BD 于点M ． （1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式； （2）已知点F （0，1

2

），当点P 在x 轴上运动时，试求m 为何值时，四边形DMQF 是平行四边形？

（3）点P 在线段AB 运动过程中，是否存在点Q ，使得以点B 、Q 、M 为顶点的三角形与△BOD 相似？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=﹣

12

x 2+3

2x+2；（2）m=﹣1或m=3时，四边形DMQF 是平行四边形；

（3）点Q 的坐标为（3，2）或（﹣1，0）时，以点B 、Q 、M 为顶点的三角形与△BOD 相似． 【解析】

分析：（1）待定系数法求解可得；

（2）先利用待定系数法求出直线BD 解析式为y=12x-2，则Q （m ，-12

m 2+3

2m+2）、M

（m ，

1

2

m-2），由QM ∥DF 且四边形DMQF 是平行四边形知QM=DF ，据此列出关于m 的方程，解之可得；

（3）易知∠ODB=∠QMB ，故分①∠DOB=∠MBQ=90°，利用△DOB ∽△MBQ 得

12DO MB OB BQ ==，再证△MBQ ∽△BPQ 得BM BP BQ PQ

=，即214 132222

m

m m -=

-++，解之

即可得此时m 的值；②∠BQM=90°，此时点Q 与点A 重合，△BOD ∽△BQM′，易得点Q 坐标．

详解：（1）由抛物线过点A （-1，0）、B （4，0）可设解析式为y=a （x+1）（x-4）， 将点C （0，2）代入，得：-4a=2， 解得：a=-

1

2

， 则抛物线解析式为y=-

12（x+1）（x-4）=-12

x 2+3

2x+2；

（2）由题意知点D 坐标为（0，-2）， 设直线BD 解析式为y=kx+b ，

将B （4，0）、D （0，-2）代入，得：

402k b b +??

-?＝＝，解得：122

k b ?

???-?＝

＝，

∴直线BD解析式为y=1

2

x-2，

∵QM⊥x轴，P（m，0），

∴Q（m，--1

2

m2+

3

2

m+2）、M（m，

1

2

m-2），

则QM=-1

2

m2+

3

2

m+2-（

1

2

m-2）=-

1

2

m2+m+4，

∵F（0，1

2

）、D（0，-2），

∴DF=5

2

，

∵QM∥DF，

∴当-1

2

m2+m+4=

5

2

时，四边形DMQF是平行四边形，

解得：m=-1（舍）或m=3，

即m=3时，四边形DMQF是平行四边形；（3）如图所示：

∵QM∥DF，

∴∠ODB=∠QMB，

分以下两种情况：

①当∠DOB=∠MBQ=90°时，△DOB∽△MBQ，

则

21

=

42 DO MB

OB BQ

==，

∵∠MBQ=90°，

∴∠MBP+∠PBQ=90°，∵∠MPB=∠BPQ=90°，∴∠MBP+∠BMP=90°，∴∠BMP=∠PBQ，

∴△MBQ∽△BPQ，

∴BM BP BQ PQ

=

，即2

14

13

22

22

m

m m

-

=

-++，

解得：m1=3、m2=4，

当m=4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，

∴m=3，点Q的坐标为（3，2）；

②当∠BQM=90°时，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，

此时m=-1，点Q的坐标为（-1，0）；

综上，点Q的坐标为（3，2）或（-1，0）时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．

点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用．

9．如图，已知抛物线2(0)

y ax bx a

=+≠过点A(3,-3) 和B(33,0)，过点A作直线

AC//x轴，交y轴与点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D，连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；

（3）抛物线上是否存在点Q，使得

1

3

AOC AOQ

S S

??

=?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）2

133

2

y x x

=-；（2）P点坐标为（3

83

,-

4

3

）；（3）Q 点坐标（30）或（315）

【解析】

【分析】

（1）把A与B坐标代入抛物线解析式求出a与b的值，即可确定出解析式；

（2）设P坐标为2

133

,

22

x x x

??

-

?

?

??

，表示出AD与PD，由相似分两种情况得比例求出x 的值，即可确定出P坐标；

（3）存在，求出已知三角形AOC 边OA 上的高h ，过O 作OM ⊥OA ，截取OM=h,与y 轴交于点N ，分别确定出M 与N 坐标，利用待定系数法求出直线MN 解析式，与抛物线解析式联立求出Q 坐标即可． 【详解】

（1

）把A 3)-

和点B 0)

代入抛物线得：33

270

a a ?+=-??+=??，

解得：12a =

，b =，

则抛物线解析式为2122

y x x =

-； （2）当P 在直线AD 上方时，

设P

坐标为21,22

x x x ??- ? ???

，则有AD x =

2132PD x x =+， 当OCA ADP ??∽时，OC CA AD DP =

=

，

整理得：23186x -+=-

，即23240x -+=，

解得：6x =

，即3

x =

或x =

此时P 4)3-；

当OCA PDA ??∽时，OC CA PD AD =

=

，

296x x -+=-

2120x -+=，

解得：2

x =

，即x =

此时P 6)；

当点()0,0P 时，也满足OCA PDA ??∽； 当P 在直线AD 下方时，同理可得：P

的坐标为10)3-，

综上，P

的坐标为，4)3-

或6)

或10)3-或()0,0；

（3）在Rt AOC ?中，3OC =

，AC =

根据勾股定理得：OA =

11

··

22

OC AC OA h

=，

3

2

h

∴=，

133

3

AOC AOQ

S S

??

==，

AOQ

∴?边OA上的高为

9

2

，

过O作OM OA

⊥，截取

9

2

OM=，过M作//

MN OA，交y轴于点N，如图所示：在Rt OMN

?中，29

ON OM

==，即()

0,9

N，

过M作MH x

⊥轴，

在Rt OMH

?中，

19

24

MH OM

==，393

24

OH OM

==，即

3

(

4

M，

9

)

4

，

设直线MN解析式为9

y kx

=+，

把M坐标代入得：

993

9

4

=+，即3

k=39

y x

=+，

联立得：

2

39

133

2

y x

y x x

?=-+

?

?

=-

?

?

，

解得：

33

x

y

?=

?

?

=

??

3

15

x

y

?=-

?

?

=

??

(33

Q0)或(23

-，15)，

则抛物线上存在点Q，使得

1

3

AOC AOQ

S S

??

=，此时点Q的坐标为(330)或(23

-15)．

【点睛】

二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，