线性规划(01qh)
线性规划知识点
线性规划
1．线性规划：
（1）二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。
确定步骤：(1)直线定界，(2)特殊点定域；若C≠0，由原点定域；
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；
（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；
（3）求：通过解方程组求出最优解；
（4）答：作出答案。
注意点：（1）线性目标函数最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得。
（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函
数所表示的几何意义
——在y轴上的截距或其相反数。
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线性规划最值问题
线性规划最值问题什么是线性规划线性规划是一种数学优化方法，用于解决一类最值问题。
在线性规划中，我们试图找到一组变量的值，使得目标函数取得最大（或最小）值，同时满足一组线性等式或不等式约束条件。
线性规划问题的一般形式线性规划问题可以用下列一般形式来表示：$$\max (或 \min) c^T x$$$$s.t.\quad Ax \leq b$$其中，$x$是变量向量，$c$是目标函数系数向量，$A$是约束条件系数矩阵，$b$是约束条件右侧常数向量。
求解线性规划最值问题的步骤求解线性规划最值问题的一般步骤如下：1. 确定目标函数：根据问题要求确定目标函数的系数向量$c$和优化目标（最大化或最小化）。
2. 设置约束条件：根据问题要求确定约束条件的系数矩阵$A$和右侧常数向量$b$。
3. 求解最值：应用线性规划算法，求解线性规划问题，找到使目标函数取得最大（或最小）值的变量向量$x$。
4. 解释结果：将最值代入目标函数，得到最终的最值结果，并解释其含义。
线性规划最值问题的应用线性规划最值问题在实际应用中具有广泛的应用，例如：- 产品混合问题：决定不同产品的生产数量，以最大化收益或最小化成本。
- 运输问题：确定不同货物在不同运输路线上的分配方案，以最小化运输成本。
- 资源分配问题：决定资源的最优分配，以最大化效益或实现平衡。
总结线性规划最值问题是一种在实际应用中常见的问题求解方法。
通过确定目标函数和约束条件，并应用线性规划算法，我们可以找到使目标函数取得最大（或最小）值的变量向量。
该方法可以应用于多个领域，帮助优化决策和资源分配。
线性规划经典总结
线性规划一、 线性规划的有关概念1、 线性约束条件：由关于x ，y 的二元一次不等式组成的不等式组对自变量x 、y 进行约束，叫线性约束条件。
2、 线性目标函数：关于x 、y 的二元一次解析式z=f （x ，y ）叫线性目标函数。
3、 线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题。
4、 可行解：满足线性约束条件的解（x ，y ）。
5、 可行域：所有可行解组成的集合。
6、 最优解：使得线性目标函数取得最大值或最小值的解（x ，y ）。
二、 图解法求线性规划问题最优解的一般步骤 1：由线性约束条件画出可行域；2：令z=0，再利用平移法找到最优解所对应的点;3：求出最优解所对应的点的坐标，代入目标函数，求出最大值或最小值； 4：通过检验是否符合题意，得出问题的答案。
三、 激活思维例1.已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y 则z=2x+y 的最大值为 。
沙场演练：1.若⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-≥+0,0221352y x y x y x 则z=x —5y 的最大值为 。
2.已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-0,005302>>y x y x y x ，则z=y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2141的最小值为 。
四、解析几何中常见的几何意义例2.已知x ，y 满足()()14322=-+-y x ，则（1）xy 的最值为 ； （2）()()2211+++y x 的最值为 ；（3）y x +的最值为 。
沙场演练：1已知变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≤+-07102y x x y x ，则x y 的取值范围是 。
2.在平面直角坐标系中，点p （x ，y ）在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≤-≥12121x y x y ，所表示的平面区域内，则目标函数()()2212-++=y x z 的最小值为 。
3已知点P （x ，y ）的坐标满足条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则点P 到直线4x+3y+1=0的距离的最大值是________.4已知实数,x y 满足112213y x y x ⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤-+⎪⎩，则214z x y =+的最大值为 ． 5已知x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-+≥040522y x y x y ,则521-+=y x z 的最小值是______ 6设实数,x y 满足2025020x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪-⎩≤，≥，≤， 则y x u x y =-的取值范围是_________． 7动点(,)P a b 在不等式组2000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域内部及其边界上运动，则31a b a ω+-=-的取值范围是 ．五、目标函数中有参数例3.设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数()0,0>>b a by ax z +=的最大值为12，则ba 32+的最小值为 。
求解线性规划的方法
求解线性规划的方法
求解线性规划问题的常用方法有以下几种：
1. 单纯形法（Simplex Method）：单纯形法是解线性规划问题的经典方法，通过逐步迭代找到目标函数的最优解。
它适用于小到中等规模的问题。
2. 内点法（Interior Point Method）：内点法通过在可行域内的可行点中搜索目标函数最小化的点来解决线性规划问题。
相对于单纯形法，内点法在大规模问题上的计算效率更高。
3. 梯度法（Gradient Method）：梯度法是基于目标函数的梯度信息进行搜索的一种方法。
它适用于凸优化问题，其中线性规划问题是一种特殊的凸优化问题。
4. 对偶法（Duality Method）：对偶法通过构建原问题和对偶问题之间的关系来求解线性规划问题。
通过求解对偶问题，可以得到原问题的最优解。
5. 分支定界法（Branch and Bound Method）：分支定界法通过将原问题划分为更小的子问题，并逐步确定可行域的界限，来搜索目标函数的最优解。
需要根据具体的问题规模、约束条件和问题特点选择合适的方法进行求解。
线性规划及其基本理论
生产计划问题 企业生产A、B两种电器产品，两种产品的市场需求状况可以 确定，按当前的定价可确保所有产品均能销售出去。 企业可提供的两种原材料和劳动时间的数量是有限的。产品A 与产品B各应生产多少，可使企业总利润最大?
4
线性规划问题提出
m in Z 340 x1 260 x2 180 x3 230 x4 190 x5
0.25 x1 0.4 x2 0.2 x4 0.08 x5 0.28
0
.
1
x1
0.15 x3
0.2 x4
0.05 x5
0.15
0 0
. .
1 2
x1 5 x1
一些常见的带有Spreadsheet的软件，如：Excel、 Lotus1-2-3等，均有内置的线性规划求解功能。
最优化问题求解软件，如：Lindo、Lingo、Matlab等。
3
线性规划问题提出
在生产管理和经营活动中经常会提出这样一类问题：如何利 用有限的人力、物力、财力等资源，取得最好的效果。例如： 配载问题 一交通工具，运输几种不同体积、重量的物资，如何装配， 所运的物资最多？
线性规划问题
在最优化问题中，如果约束条件与目标函数均是线性的， 我们就称之为线性规划问题。
6
线性规划问题的三个要素
决策变量
决策问题待定的量值称为决策变量。 决策变量的取值有时要求非负。
约束条件
任何问题都是限定在一定的条件下求解，把各种限制条件 表示为一组等式或不等式，称之为约束条件。
x
j
线性规划与线性规划问题求解
线性规划与线性规划问题求解线性规划（Linear Programming，LP）是一种数学优化方法，用于求解线性规划问题。
线性规划问题是指在一定的约束条件下，最大化或最小化一个线性函数的问题。
线性规划广泛应用于工程、经济、管理、决策等领域。
线性规划的基本形式是这样的：给定一组线性约束条件和一个线性目标函数，求使目标函数达到最大（或最小）值的变量取值。
线性规划问题可以用数学模型来表示，通常用矩阵和向量的形式表示。
线性规划的解可以是一个点，也可以是一条线或一个平面。
线性规划问题的求解可以通过图形法、单纯形法、内点法等方法。
其中，单纯形法是最常用的线性规划求解方法之一。
单纯形法通过不断迭代改进当前解，直到找到最优解。
它基于线性规划问题的几何特性，通过在可行域内移动，逐步接近最优解。
线性规划问题的求解过程可以分为以下几个步骤：1. 建立数学模型：将实际问题转化为数学模型，确定变量、约束条件和目标函数。
2. 确定可行域：根据约束条件，确定可行解的取值范围，即可行域。
3. 寻找初始基可行解：选择一个初始基可行解，即满足约束条件的解。
4. 迭代改进：根据单纯形法的原理，通过迭代改进当前解，逐步接近最优解。
5. 检验最优性：判断当前解是否为最优解，如果不是，则返回第4步进行迭代。
6. 输出最优解：当找到最优解时，输出最优解及最优值。
线性规划问题求解的关键在于如何选择初始基可行解和迭代改进的策略。
初始基可行解的选择对算法的收敛速度和最终结果有重要影响。
迭代改进的策略包括选择进入基的变量和选择离开基的变量。
这些选择通常基于单纯形法的原则和规则。
线性规划问题的求解过程中，还需要考虑问题的特殊性和规模大小。
对于特殊结构的线性规划问题，可以采用特定的算法进行求解，以提高求解效率。
对于大规模线性规划问题，可以采用分布式计算和并行算法来加速求解过程。
线性规划问题求解的应用领域广泛。
在工程领域，线性规划可以用于资源分配、生产计划、物流优化等问题。
高一线性规划问题知识点
高一线性规划问题知识点在高中数学课程中，线性规划是一个非常重要的概念。
线性规划是运筹学的一个分支，旨在通过确定一组变量的取值，使得一个线性目标函数在一系列线性约束条件下达到最大或最小值。
它在实际生活中有很多应用，比如生产计划、资源分配等。
一、线性规划的基本概念线性规划的目标是找到使得目标函数取得最大或最小值的一组变量取值。
目标函数通常是一个线性函数，即它的各项之间不存在乘法关系。
约束条件也是一组线性不等式或等式，它们定义了变量取值的限制条件。
二、线性规划的解法方法解决线性规划问题的方法有很多，但其中最常用的是单纯形法。
单纯形法是通过逐步改进当前解，逐渐接近最优解的过程。
具体来说，单纯形法的基本思想是找到一个基础可行解，然后在基础可行解的基础上不断寻找更优解。
这个过程通过计算目标函数在可行解的基础上的变化量来完成。
三、线性规划的矩阵表示在线性规划中，我们可以用矩阵来表示目标函数和约束条件。
设目标函数为 f(x)，约束条件为 AX=b，其中 x 是一个 m 维列向量，A 是一个 m × n 的矩阵，b 是一个 m 维列向量。
这样，线性规划问题可以表示为：min/max f(x)subject to AX=bx≥0四、线性规划问题的求解步骤解决线性规划问题的一般步骤如下：1. 确定目标函数和约束条件；2. 将目标函数和约束条件转化为矩阵表示；3. 通过单纯形法求解线性规划问题；4. 分析最优解。
五、线性规划问题的实际应用线性规划问题在实际生活中有着广泛的应用。
比如，在生产计划中，我们可以通过线性规划来确定产量和资源的最优配置，从而实现生产成本的最小化或产品质量的最大化。
在运输领域，线性规划可以帮助我们确定货物的最优配送方案，以减少运输成本。
此外，线性规划还可以应用于金融、市场营销、决策分析等领域。
六、线性规划问题的拓展线性规划问题的应用不仅限于线性目标函数和约束条件。
有时候，目标函数和约束条件可能是非线性的。
[理学]1线性规划
2019年2月18日
经济管理学院
-4-
---第 1 章 线性规划---
1.1
一般线性规划问题及数学模型（3）
1.1.1 问题的提出 例：某企业计划生产甲、乙两种产品，该两种产品均需经A、B、C、D四 种不同设备上加工，按工艺资料规定，在各种不同设备上的加工时间及设 备加工能力、单位产品利润如表中所示。问:如何安排产品的生产计划,才能 使企业获利最大?
2 x1+2 x2 12 x1+2 x2 8 4 x1 16 4 x2 12 x10， x2 0
经济管理学院
-6-
2019年2月18日
---第 1 章 线性规划---
1.1.2 线性规划问题的一般数学模型
1.相关概念
（1）决策变量：指模型中要求解的未知量，简称变 量。
（2）目标函数：指模型中要达到的目标的数学表达 式。
2019年2月18日
3 7.4
0
1 7.3
0.1
2 7.2
0.2
经济管理学院
3 6.6
0.8
-21-
模型:
---第 1 章 线性规划---
设 xj 为第j种方案用料的数量,则 Min z=0x1+0.1x2+0.2x3+0.3x4+0.8x5 st. x1+2x2 + x4 =100 2x3+2x4+ x5=100 3x1+ x2+2x3 +3x5=100 xj0, (j=1,2,---,5)
2019年2月18日
经济管理学院
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---第 1 章 线性规划---
模型：
设 第j 种硫酸需购买 xj 吨，则 Min z=400x1+700x2+1400x3+1900x4+2500x5 st. x1+x2+x3+x4+x5=100 30x1+45x2+73x3+85 x4+92x5=10080 x10, x20, x30, x40, x50
算法大全 参考文献第01章 线性规划
min
∑∑ c x
i =1 j =1
m
n
ij ij
s.t.
⎧n ⎪∑ xij = ai , i = 1, L , m ⎪ j =1 ⎪m ⎨∑ xij = b j , j = 1,2, L , n ⎪ i =1 ⎪ xij ≥ 0 ⎪ ⎩
m ⎛ n ⎞ n ⎛ m ⎞ m ⎜ ⎟ = b x = x ∑ ∑ j ⎜ ∑ ij ⎟ ∑ ⎜ ∑ ij ⎟ = ∑ ai j =1 i =1 ⎝ j =1 ⎠ j =1 ⎝ i =1 ⎠ i =1 n
max z = 2 x1 + 3x2 − 5 x3 s.t. x1 + x2 + x3 = 7 2 x1 − 5 x2 + x3 ≥ 10 x1 + 3 x2 + x3 ≤ 12 x1 , x2 , x3 ≥ 0
-3-
解 （i）编写 M 文件 c=[2;3;-5]; a=[-2,5,-1;1,3,1]; b=[-10;12]; aeq=[1,1,1]; beq=7; x=linprog(-c,a,b,aeq,beq,zeros(3,1)) value=c'*x （ii）将M文件存盘，并命名为example1.m。 （iii）在Matlab指令窗运行example1即可得所求结 | x2 | + L + | x n | s. t. Ax ≤ b T 其中 x = [ x1 L x n ] ， A 和 b 为相应维数的矩阵和向量。
要把上面的问题变换成线性规划问题，只要注意到事实：对任意的 xi ，存在
ui , vi > 0 满足 xi = ui − vi ， | xi |= ui + vi | x | − xi x + | xi | 事实上，我们只要取 ui = i ， vi = i 就可以满足上面的条件。 2 2 T T 这样，记 u = [u1 L un ] ， v = [v1 L v n ] ，从而我们可以把上面的问题
线性规划详细解析
产品名称
甲
乙
可供利用的原料 数量（T/日） 6 8
A B
产品售价 （千元/T）
1 2 3
2 1 2
根据市场调查，有如下资料： 1.乙产品的需求量至多 2 T/日; 2.乙产品的需求量比甲产品的需求量至多大 1 T/日。 求该厂产值最大的生产方案。
提出三个问题大家考虑： 1.问题的未知数是什么？ 2.以什么准则进行决策？ 设未知数 目标函数
2万m3 1.4万m3
3 3 3 3 3 3
2万m3 1.4万m3
设 x1、x2 分别为第一、第二化工厂每天处理的工业污水量。 约束条件： 第一化工厂到第二化工厂之间的污水含量要不大于 0.2% (2 - x1) / 500 2 / 1000 流经第二化工厂后，河流中的污水含量仍不大于 0.2% [0.8(2 - x1) + (1.4- x2)] / 700 2 / 1000 污水处理量限制 x1 2，x2 1.4，x1 0，x2 0 目标函数： 要求两厂用于处理工业污水的费用最小 min z = 1000 x1+800 x2
线性规划问题及单纯形法
线性规划问题及其数学模型
图解法
单纯形法原理
单纯形法计算步骤
Matlab计算线性规划问题
一、
线性规划问题及其数学模型
线性规划在经营管理中，常常用来解决 有限资源（人、财、物）的合理分配问题。 在经营管理中，几乎一切问题都与有限资源 的合理分配利用有关。线性规划为解决有限 资源的合理分配利用提供了一个有效的数学 工具。
3.约束条件是什么？
约束方程
这里生产方案指的是如何安排甲、乙产品的产量。显然，产量是未 知数。 ① 设：甲产品的产量为 x1 T/日 乙产品的产量为 x2 T/日