高中数学2_2_1双曲线的定义与标准方程同步精练湘教版
湘教版高中数学选修1-1文科课件 2.2.1 双曲线的定义与标准方程课件
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2．平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于常数(小于|F 1F2|)的点的轨迹是不是双曲线？
提示 不是，是双曲线的某一支．
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预习测评
1．已知平面上定点F1、F2及动点M，命题甲：||MF1|－| MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：M点的轨迹是以F1、F2为焦点 的双曲线，则甲是乙的( )．
(3)常见的题型：一是判断含有参数的方程的曲线类型；二是 已知方程的曲线类型，求方程中参数的取值范围．
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3．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值 分别指出方程所表示的曲线类型．
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解 ①当 k＝0 时，y＝±2，表示两条与 x 轴平行的直线． ②当 k＝1 时，方程为 x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为 2
的圆． ③当 k<0 时，方程为y42－－x24＝1，表示焦点在 y 轴上的双曲线． k ④当 0<k<1 时，方程为x42＋y42＝1，表示焦点在 x 轴上的椭圆． k ⑤当 k>1 时，方程为x42＋y42＝1，表示焦点在 y 轴上的椭圆． k
2．2 双曲线 2．2.1 双曲线的定义与标准方程
1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2．掌握双曲线的标准方程．
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自学导引
1．双曲线的有关概念 (1)双曲线的定义 平面上到两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值为定值 (小于 |F1F2| 且大于零)的点的轨迹叫做双曲线． 平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于|F1F2|时的 点的轨迹为 以 F1、F2 为端点的两条射线 ． 平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值大于|F1F2|时的 点的轨迹 不存在 ．
高中数学(湘教版)选修1-1同步练习：2.2.2 双曲线的简单几何性质 含答案
1．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝( )． A ．－错误! B ．－4 C ．4 D ．错误!2．已知双曲线错误!－错误!＝1(a ＞错误!)的两条渐近线的夹角为错误!，则双曲线的离心率为（ )．A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．错误!3．已知双曲线错误!－错误!＝1的右焦点为F ,若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此直线的斜率的取值范围是（ )．A ．(－错误!,错误!）B ．(－错误!，错误!）C ．D ．4．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的错误!倍，且一个顶点的坐标为（0，2），则双曲线的标准方程为( ）．A ．错误!－错误!＝1B ．错误!－错误!＝1C ．错误!－错误!＝1D ．错误!－错误!＝15．设双曲线错误!－错误!＝1（a ＞0,b ＞0）的虚轴长为2，焦距为2错误!，则双曲线的渐近线方程为（ )．A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±错误!xD ．y ＝±错误!x6．若点P 在双曲线x 2－y 29＝1上，则点P 到双曲线的渐近线的距离的取值范围是__________．7．设双曲线错误!－错误!＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．8．双曲线与圆x2＋y2＝17有公共点A(4,－1)，圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行，则双曲线的标准方程是__________．9．已知双曲线C:x22－y2＝1。
（1)求双曲线C的渐近线方程；(2)已知点M的坐标(0，1)，P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点，记λ＝MP·MQ，求λ的取值范围．参考答案1．A ∵曲线mx2＋y2＝1是双曲线，∴m＜0，排除选项C，D；将m＝－错误!代入已知方程，变为y2－错误!＝1，虚轴长为4，而实轴长为2，满足题意,故选A.2．B ∵a＞错误!,∴错误!＜1.∴渐近线y＝错误!x的倾斜角小于45°。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 双曲线的简单
2.2.2 双曲线的简单几何性质1．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝( )．A ．－14B ．－4C ．4D ．14 2．已知双曲线x 2a 2－y 22＝1(a ＞2)的两条渐近线的夹角为π3，则双曲线的离心率为( )．A ．33B ．233C ．433D ．353．已知双曲线x π212－y 24＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是( )．A ．(－33，33)B ．(－3，3)C ．[－33，33] D ．[－3，3] 4．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )．A ．x 24－y 24＝1B ．y 24－x 24＝1C ．y 24－x 28＝1D ．x 28－y 24＝1 5．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )．A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22x D ．y ＝±12x 6．若点P 在双曲线x 2－y 29＝1上，则点P 到双曲线的渐近线的距离的取值范围是__________．7．设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．8．双曲线与圆x 2＋y 2＝17有公共点A (4，－1)，圆在A 点的切线与双曲线的渐近线平行，则双曲线的标准方程是__________．9．已知双曲线C ：x 22－y 2＝1. (1)求双曲线C 的渐近线方程；(2)已知点M 的坐标(0,1)，P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点，记λ＝MP ·MQ ，求λ的取值范围．参考答案1．A ∵曲线mx 2＋y 2＝1是双曲线，∴m ＜0，排除选项C ，D ；将m ＝－14代入已知方程，变为y 2－x 24＝1，虚轴长为4，而实轴长为2，满足题意，故选A. 2．B ∵a ＞2，∴2a ＜1. ∴渐近线y ＝2a x 的倾斜角小于45°. ∴2a ＝tan π6＝33. ∴a ＝6，∴c ＝a 2＋b 2＝2 2.∴e ＝c a ＝226＝233. 3．C 由题意知，焦点F (4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±33x .当过F 点的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选C.4．B 由方程组⎩⎨⎧ a ＝2，2a ＋2b ＝2·2c ，a 2＋b 2＝c 2，得a ＝2，b ＝2. 又∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的标准方程为y 24－x 24＝1. 5．C 由题意知：2b ＝2,2c ＝23，则可求得a ＝2，则双曲线方程为x 22－y 2＝1，故其渐近线方程为y ＝±22x . 6．(0，31010] 双曲线的一条渐近线方程是3x －y ＝0，由渐近线的性质，知当P 点是双曲线的一个顶点时，P 点到渐近线的距离最大，双曲线的顶点坐标是(±1,0)，则P 点到渐近线的距离的最大值为|3－0|10＝31010. 7．3215 ∵双曲线的渐近线为y ＝±43x ，且A (3,0)，F (5,0)，∴直线BF 的方程为y ＝43(x －5) (由于两条渐近线关于x 轴对称，因此设与任何一渐近线平行的直线均可)．代入双曲线方程，得x 29－116×169(x 2－10x ＋25)＝1. 解得x ＝175，∴y ＝－3215. 又∵|AF |＝c －a ＝2，∴S △AFB ＝12|AF |·|y |＝12×2×3215＝3215. 8．x 225516－y 2255＝1 ∵点A 与圆心O 的连线的斜率为－14， ∴过点A 的圆的切线的斜率为4.∴双曲线的渐近线方程为y ＝±4x .设双曲线方程为x 2－y 216＝λ(λ≠0)． ∵点A (4，－1)在双曲线上，∴16－116＝λ，∴λ＝25516. ∴双曲线的标准方程为x 225516－y 2255＝1. 9．解：(1)由x 22－y 2＝0，得所求渐近线方程为y －22x ＝0，y ＋22x ＝0. (2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则点Q 的坐标为(－x 0，－y 0)．所以λ＝MP ·MQ ＝(x 0，y 0－1)·(－x 0，－y 0－1)＝－x 20－y 20＋1＝－32x 20＋2. ∵|x 0|≥2，∴λ的取值范围是(－∞，－1]．。
高中数学新湘教版精品学案《双曲线的定义与标准方程》
【学习目标】
1．通过教学，熟记双曲线的定义及其标准方程，理解双曲线的定义，双曲线的标准方程的探索推导过程。
2．在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，培养合情猜想，进一步提高分析、归纳、推理的能力。
【学习重点】
双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程是本课的重点。
【学习难点】
“差的绝对值”，a与c的关系的理解。
A．6 B．7 C．8 D．9
2．双曲线 的左焦点为F1，顶点为A1，A2，P是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两圆一定（）
A．相交B．内切C．外切D．相离
【学习过程】
（一）知识点
1．对比椭圆的定义和性质，填写下表（以焦点在轴为例）
椭圆
双曲线
定义
与两个定点的距离和等于常数
标准方程
图形
顶点坐标
（±a，0）பைடு நூலகம்（0，±b）
对称轴
轴，长轴长2a
轴，短轴长2b
焦点坐标
（± ，0）
离心率
准线
渐近线
焦半径
（二）例题学习
例1．已知定点 ，在下列条件的平面上动点 、N分别是圆 和 ＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（）
高中数学第2章圆锥曲线与方程221双曲线的定义与标准方程课件湘教版选修2
求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)方法一： ①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值； ④利用公式 SPF1F2＝12×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2 求得面积． (2)方法二：利用公式 SPF1F2＝12×|F1F2|×|yP|(yP 为 P 点的纵坐标) 求得面积．
1．遇到动点到两定点距离之差问题，要联想应用双曲线定义解 题，点 P 在双曲线上，有||PF1|－|PF2||＝2a，充分利用这一隐 含条件，是解决问题的重要技巧． 2．求双曲线的标准方程主要有：一是没有给出坐标系，必须建 立坐标系，根据双曲线的定义确定出方程；二是给出标准形式， 要先判断出焦点的位置，如果焦点不确定要分类讨论，采用待 定系数法求方程或用形如 mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式求解． 3．应用双曲线的定义解题，要分清是双曲线的哪一支，是否两 支都符合要求，结合已知条件进行判断．
1．若动点 P 到 F1(－5，0)与 F2(5，0)的距离的差为±8，则 P
点的轨迹方程是( )
A.2x52＋1y62 ＝1
B.2x52－1y62 ＝1
C.1x62 ＋y92＝1
D.1x62 －y92＝1
解析：选 D.由题知 P 点的轨迹是双曲线，因为 c＝5，a＝4，
所以 b2＝c2－a2＝25－16＝9.因为双曲线的焦点在 x 轴上，所以 P 点的轨迹方程为1x62－y92＝1.
2．已知方程1＋x2k－1－y2 k＝1 表示双曲线，则 k 的取值范围是
() A．－1＜k＜1
B．k＞0
湘教版高中数学选修1-1：2.2.1《双曲线的定义和标准方程》(3)
(4 2)2
a2
32 b2
1
25
a2
(9)2 4
b2
1
解得：a2=16,b2=9.故所求双曲线的标准方程
为：
y 2 x2 1.
16 9
例5 一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声 的时间比在B处晚2 s.
（1）爆炸点应在什么样的曲线上？ （2）已知A、B两地相距800 m，并且此时 声速为340 m/s，求曲线的方程.
上述方程表示焦点在y轴的双曲线时，求m
的范围和焦点坐标。
分析:
m 1 0 2 m 0 m 2
c2 (m 1) (m 2) 2m 1
焦点（ 0为， (0,2m 23m) 1)
课后思考题： ---(1) ( x c)2 y2 ( x c)2 y2 2a.
1 x2 y2 1
42
2 x2 y2 1
22
3 x2 y2 1
42
4 nx2 my2 mn(m 0, n 0)
答案：
1 a 2, b 2, c 6
( 6, 0).( 6, 0);
2 a 2, b 2, c 2 (2, 0).(2, 0); 3 a 2, b 2, c 6 (0, 6).(0, 6) ; 4 a m , b n, c m n ( m n, 0).( m n, 0);
Ex3.双曲线 x2 y2 1的焦点坐标 _(___5__, 0_)_ .
32
Ex4.双曲线8kx2 ky2 8的一个焦点为(0, 3)
则实数k _k______1_
Ex5.已知曲线ax2 ay2 b,实数a, b异号,
高中数学 2_2_2 双曲线的简单几何性质同步精练 湘教版选修2-11
高中数学 2.2.2 双曲线的简单几何性质同步精练 湘教版选修2-1 1双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝( )．A ．－14B ．－4C ．4D ．14 2已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为( )． A ．53 B ．43 C ． 54 D ．323已知双曲线x 212－y 24＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )．A ．(－33，33)B ．(－3，3)C ．－33，33]D ．－3，3] 4双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )．A ．x 24－y 24＝1B ．y 24－x 24＝1C ．y 24－x 28＝1D ．x 28－y 24＝1 5设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )． A ．y ＝±2x B ．y ＝±2x C ．y ＝±22x D ．y ＝±12x 6若点P 在双曲线x 2－y 29＝1上，则点P 到双曲线的渐近线的距离的取值范围是__________． 7设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．8双曲线与圆x 2＋y 2＝17有公共点A (4，－1)，圆在点A 的切线与双曲线的渐近线平行，则双曲线的标准方程是__________．9已知双曲线C ：x 22－y 2＝1. (1)求双曲线C 的渐近线方程；(2)已知点M 的坐标(0,1)，P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点，记λ＝MP ·MQ ，求λ的取值范围；参考答案1. 解析：∵曲线mx 2＋y 2＝1是双曲线，∴m ＜0，排除选项C ，D ；将m ＝－14代入已知方程，得y 2－x 24＝1，虚轴长为4，而实轴长为2，满足题意，故选A ．答案：A 2. 解析：由b a ＝43得b ＝43a ， ∴c ＝a 2＋b 2＝a 2＋(43a )2＝53a . ∴e ＝c a ＝53，选A ． 答案：A3. 解析：由题意知，F (4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±33x .当过点F 的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选C ．答案：C4. 解析：由方程组⎩⎨⎧ a ＝2，2a ＋2b ＝2·2c ，a 2＋b 2＝c 2，得a ＝2，b ＝2.∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的标准方程为y 24－x 24＝1. 答案：B5. 解析：由题意知：2b ＝2,2c ＝23，则可求得a ＝2，则双曲线方程为：x 22－y 2＝1，故其渐近线方程为y ＝±22x . 答案：C6. 解析：双曲线的一条渐近线方程是3x －y ＝0，由渐近线的性质，知当点P 是双曲线的一个顶点时，点P 到渐近线的距离最大，双曲线的顶点坐标是(±1,0)，∴点P 到渐近线的距离的最大值为|3－0|10＝31010. 答案：(0，31010]7. 解析：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，A (3,0)，F (5,0)， ∴直线BF 的方程为y ＝43(x －5)(由于两渐近线关于x 轴对称，因此设与任何一渐近线平行的直线均可)．代入双曲线方程，得x 29－116×169(x 2－10x ＋25)＝1. 解得x ＝175，∴y ＝－3215. 又∵|AF |＝c －a ＝2，∴S △AFB ＝12|AF |·|y |＝12×2×3215＝3215. 答案：32158. 解析：∵点A 与圆心O 的连线的斜率为－14， ∴过点A 的圆的切线的斜率为4.∴双曲线的渐近线方程为y ＝±4x .设双曲线方程为x 2－y 216＝λ. ∵点A (4，－1)在双曲线上，∴16－116＝λ，λ＝25516. ∴双曲线的标准方程为x 225516－y 2255＝1. 答案：x 225516－y 2255＝1 9. 解：(1)所求渐近线方程为y －22x ＝0，y ＋22x ＝0. (2)设P 的坐标为(x 0，y 0)，则Q 的坐标为(－x 0，－y 0)． λ＝MP ·MQ ＝(x 0，y 0－1)·(－x 0，－y 0－1)＝－x 20－y 20＋1＝－32x 20＋2. ∵|x 0|≥2，∴λ的取值范围是(－∞，－1]． 欢迎您的下载，资料仅供参考！。
湘教版高中数学选修2-1课件2.2.2双曲线的简单几何性质(2)
y2
x2
1 (a 0,b 0 )
a2
b2
y a 或 y a，x R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 离心率 渐进线
A1（- a，0），A2（a，0）
c
e
(e 1)
a
y b x a
A1（0，-a），A2（0，a）
c
e
(e 1)
最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径
为25m,高55m.选择适当的坐标系，求出此
双曲线的方程(精确到1m).
C′
A′
y
13 C
12
0
Ax
B′
25 B
直线与双曲线问题：
例2、如图，过双曲线
x2 y2 36
1 的右焦点 F2 ,
倾斜角为 30 的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|。
分析:求弦长问题有两种方法: 法一:如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公 式代入求弦长; 法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达 定理来处理.
0)有共同焦点的双曲线方程表
示为
x2
a2
y2
b2
1(b2
a2 ). 或 x2
m2
y2
m2 c2
1,
（2）与双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0)有共同焦点的双曲线方
程表示为
x2
a2
y2
b2
1(b2
a2
2
4
2
4
焦点三角形
例3、由双曲线
x2 y2 94
高中数学3-2双曲线3-2-1双曲线的标准方程湘教版选择性必修第一册
【易错警示】
出错原因 由双曲线定义求得错解|PF2|＝1 或13，原因忽略了|PF2|min＝c－a ＝2.
纠错心得
利用双曲线定义求|PF1|(或|PF2|)时， 若有两解，一定要检验解是否满
足|PF|≥c－a.
题型探究•课堂解透
题型1 双曲线定义的应用 例1 (1)[2022·湖南怀化测试]已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外 切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为( ) A．x22 − 1y62＝1(x≤－ 2) B．x22 − 1y42＝1(x≥ 2) C．x22 − 1y62＝1 D．x22 − 1y42＝1
16
−
y2 b2
＝1(b>0)，把点A的坐标代
入
，得
b2
＝－16
15
×
160 9
<0
，
不符
合
பைடு நூலகம்题意
；
当焦
点
在
y
轴
上时
，
设所
求
标
准方
程
为
y2 16
−
x2 b2
＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为1y62
−
x2 9
＝1.
(2)与双曲线1x62 − y42＝1有相同的焦点，且经过点(3 2，2)；
例2
(1)(
多
选
)
设
θ∈(
－
π 4
，
0)
∪
(34π
，
π)
，
则
关
于x
，
y
的
方
程
x2 sin θ
高中数学2.5曲线与方程同步精练湘教版选修2-1
y＝2x，斜
边长是 5 3，则此抛物线方程是 __________ ． 8 如图，已知抛物线 y2＝ 2px( p＞ 0) 的焦点为 F， A 是抛物线上横坐标为
4，且位于 x 轴上方的
点， A 到抛物线准线的距离等于 5，过 A 作 AB垂直于 y 轴，垂足为 B，OB的中点为 M.
(1) 求抛物线方程；
a2 b2
A，△ AOF的
面积为 3b2( O为原点 ) ，则双曲线两条渐近线的夹角为 (
)．
2
A．30° B ．45° C ．60° D ．90°
x2 y2 3 设双曲线 a2－ b2＝ 1 的一条渐近线与抛物线
y＝ x2＋1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为
( )．
5
5
A． 4 B ． 5
C
．2 D ． 5
答案： D 4. 解析： 由 | MA| － | MB| ＝2＝ | AB| ，知点 M的轨迹是一条射线，即 y＝ 0( x≤－ 1) ．
答案： C a2
5. 解析： ∵ AM⊥ l 于 M，且 A(0 ， b) ，l ： x＝ c ，
a2 ∴ M( c ， b) ．
c5 由 e＝ a＝ 5 得 a＝ 5c.
(2) 过 M作 MN⊥ FA，垂足为 N，求点 N的坐标；
(3) 以点 M为圆心， MB为半径作圆 M，当 K( m,0) 是 x 轴上一动点时，讨论直线 AK 与圆 M的位
置关系．
1/5
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参考答案 1. 解析： 椭圆准线平行于 x 轴，即其焦点在 y 轴上，
(m－ 1)2>m2， m≠0， ∴ m－1≠0， m－1≠± m，
(3) 由题意得，圆 M的圆心是点 (0,2) ，半径为 2，
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高中数学 2.2.1 双曲线的定义与标准方程同步精练 湘教版选修2-1
1到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是( )．
A．椭圆 B．线段
C．双曲线 D．两条射线
2双曲线x210－y22＝1的焦距为( )．
A．32 B．43 C．33 D．42
3已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹为双曲线的是( )．
A．|PF1|－|PF2|＝±3
B．|PF1|－|PF2|＝±4
C．|PF1|－|PF2|＝±5
D．|PF1|2－|PF2|2＝±4
4已知方程x2k－5－y2|k|－2＝1的图形是双曲线，那么k的取值范围是( )．
A．k＞5
B．k＞5，或－2＜k＜2
C．k＞2，或k＜－2
D．－2＜k＜2
5设P为双曲线x2－y212＝1上一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△
PF1F
2
的面积为( )．
A．63 B．12 C．123 D．24
6如图，从双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F引圆x2＋y2＝a2的切线，切点为T，延长
FT
交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|与b－a的大小关系为
__________．
7在△ABC中，B(4,0)，C(－4,0)，点A运动时满足sin B－sin C＝12sin A，则点A的轨迹方
程是__________．
8经过P(3，154)和Q(163，5)两点的双曲线的标准方程是__________．
9某单位需挖一个横断面为半圆的柱形坑，挖出的土只能沿着道路AP，BP运到P处．如图，|PA|
＝100米，|PB|＝150米，∠APB＝60°，试说明，怎样运土才能最省工．
参考答案
1. 解析：∵||MF1|－|MF2||＝6，而F1(－3,0)，F2(3,0)之间距离为6，即|F1F2|＝6，
故||MF1|－|MF2||＝|F1F2|.
∴M点的轨迹为分别以F1，F2为端点的射线．
答案：D
2. 解析：由c2＝a2＋b2＝10＋2＝12，得2c＝43.
答案：B
3. 解析：由题意知|F1F2|＝4，由双曲线定义知||PF1|－|PF2||＜|F1F2|，观察选项，只有A项符
合．
答案：A
4. 解析：∵方程的图形是双曲线，∴(k－5)(|k|－2)＞0.
即 k－5>0，|k|－2>0，或 k－5<0，|k|－2<0.
解得k＞5，或－2＜k＜2.故选B．
答案：B
5. 解析：由已知得 ||PF1|－|PF2||＝2，|PF1|∶|PF2|＝3∶2，解得 |PF1|＝6，|PF2|＝4，
∵|F1F2|＝2c＝213，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2.
∴12PFFS＝12|PF1|·|PF2|＝12.
答案：B
6. 解析：设双曲线的右焦点为F′，连PF′，OT.
在Rt△OTF中，|FO|＝c，|OT|＝a，
∴|TF|＝b.由三角形中位线定理及双曲线定义，知
|MO|－|MT|＝12|PF′|－(12|PF|－b)＝b－12(|PF|－|PF′|)＝b－a.
答案：相等
7. 解析：∵sin B－sin C＝12sin A，
∴由正弦定理得b－c＝12a，
即|AC|－|AB|＝12|BC|，
∴|AC|－|AB|＝4.
∴点A的轨迹是以C，B为焦点的双曲线的右支(除去点(2,0))，其方程为x24－y212＝1(x＞2)．
答案：x24－y212＝1(x＞2)．
8. 解析：设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．
∵点P，Q在双曲线上，
∴ 9m＋15216n＝1，1629m＋25n＝1.
解得 m＝－116，n＝19.
∴所求双曲线的标准方程为y29－x216＝1.
答案：y29－x216＝1
9. 解：如题图，以直线AB所在直线为x轴，以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系，设
Q
是界线上的任意一点，
根据题意，有|QA|＋|PA|＝|QB|＋|PB|，
∴|QA|－|QB|＝|PB|－|PA|.
∵|PB|＝150，|PA|＝100，
∴|QA|－|QB|＝50.
根据双曲线的定义，得第三类点(即沿AP，BP一样远近的点)在以A，B为焦点的双曲线的右支
上．
在△APB中，由余弦定理，知|AB|2＝|PA|2＋|PB|2－2|PA||PB|cos 60°，
∴|AB|2＝17 500.
根据求双曲线的标准方程的方法，求的界线为双曲线的右支，即
x2625－y
2
3 750
＝1(x≥25)．
答：运土时，将此双曲线弧左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工．