初三数学知识点专题讲解与训练30---运动与变化 函数思想(培优版)
九年级数学下册2023年中考专题培优训练 二次函数
九年级数学下册2023年中考专题培优训练 二次函数一、单选题（共 8 小题）1、对于题目“抛物线1l ：()()21414y x x =---<≤与直线2l ：y m =只有一个交点，则整数m 的值有几个”；你认为m 的值有（ ）A ．3个B ．5个C ．6个D ．7个 2、如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()3,0，对称轴为直线1x =．结合图象分析下列结论： ①0abc <；②420a b c ++>；③20a c +<；④一元二次方程20cx bx a ++=的两根分别为113x =，21x =-； ⑤若(),m n m n <为方程()()1320a x x +-+=的两个根，则1m <-且3n >．其中正确的结论有（ ）个．A ．2B ．3C ．4D ．53、如果将抛物线y ＝x 2+2先向左平移1个单位，再向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ）A ．y ＝（x ﹣1）2+2B ．y ＝（x +1）2+1C ．y ＝x 2+1D ．y ＝（x +1）2﹣1 4、如图，一段抛物线()()303y x x x =--≤≤，记为1C ，它与x 轴交于点O ，1A ；将1C 绕点1A 旋转180°得2C ，交x 轴于点2A ；将2C 绕点2A 旋转180°得3C ，交x 轴于点3A ；…，如此进行下去，直至得5C ，若()14,P m 在第5段抛物线5C 上，则m 值为（ ）A ．2B ．1.5C ．2-D ． 2.25-5、下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．等边三角形B ．双曲线C ．抛物线D ．平行四边形6、在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2﹣4x 向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（ ）A ．y ＝（x +1）2+1B ．y ＝（x +1）2﹣9C ．y ＝（x ﹣5）2+1D ．y ＝（x ﹣5）2﹣97、二次函数2(21)2y x =--的顶点坐标是（ ）A ．(1,2)-B ．1(,2)2- C ．(1,2)- D ．1(,2)28、抛物线()212y x =++的顶点坐标是（ ）A ．（1，2）B ．（1，2-）C ．（1-，2）D ．（1-，2-） 二、填空题（共 7 小题）1、已知某函数的图象过 A （2，1），B （-1，-2）两点，下面有四个推断：①若此函数的图象为直线，则此函数的图象和直线y =4x 平行②若此函数的图象为双曲线，则此函数的图象分布在第一、三象限③若此函数的图象为抛物线，且开口向下，则此函数图象一定与y 轴的负半轴相交④若此函数的图象为抛物线，且开口向上，则此函数图象对称轴在直线x =1左侧，所有合理推断的序号是_________2、抛物线2y x bx c =-++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表： x… 2- 1- 0 1 2 … y … 0 46 6 4 … 从上表可知，抛物线与x 轴的另一个交点坐标为__________．3、二次函数21y x x =---的图像有最______点．（填“高”或“低”）4、二次函数y ＝2(1)3k k x -+的图象开口向上，则k ＝___．5、写出一个开口向下，且对称轴在y 轴左侧的抛物线的表达式：_______．6、在一个边长为2的正方形中挖去一个小正方形，使小正方形四周剩下部分的宽度均为x ，若剩下阴影部分的面积为y ，那么y 关于x 的函数解析式是______．7、二次函数26y x x c =++（c 为常数）与x 轴的一个交点为（－1，0），则另一个交点为___________．三、解答题（共 5 小题）1、已知关于x 的二次函数24y x x m =-+． （1）如果二次函数24y x x m =-+的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），且AB =2，求m 的值；（2）若对于每一个x 值，它所对应的函数值都不小于1，求m 的取值范围．2、某数学兴趣小组根据学习函数的经验，对分段函数()()231112x bx x y k x x ⎧---≥⎪=⎨+<⎪-⎩的图象与性质进了探究，请补充完整以下的探索过程． x … 2-1- 01 2 3 4 … y … 34 23 12 0 1 0 3- …（1）填空：b =______，k =______．（2）①根据上述表格补全函数图象；②写出一条该函数图象的性质：______．=+与该函数图象有三个交点，直接写出t的取值范围．（3）若直线y x t3、某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利w（元）．（1）求y 与x 之间的函数关系式．（2）求w 与x 之间的函数关系式．（3）该商场规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于36元，当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？4、在平面直角坐标系xOy 中 ，抛物线241y x x =--与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B ，一次函数()0y kx b k =+≠的图象经过点A ，B ．（1）求一次函数的表达式；（2）当3x >-时，对于x 的每一个值，函数()0y nx n =≠的值大于一次函数y kx b =+的值，直接写出n 的取值范围．5、已知：抛物线1l ：2y x 2x 3=-++交x 轴于点AB （点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，抛物线2l 经过点A ，与x 轴的另一个交点为()6,0E ，交y 轴于点()0,3D -．（1）求抛物线2l 的函数表达式；（2）如图，N 为抛物线1l 上一动点，过点N 作直线MN y ∥轴，交抛物线2l 于点M ，点N 自点A 运动至点B 的过程中，求线段MN 长度的最大值．（3）P 为抛物线1l 的对称轴上一动点Q 为抛物线2l 上一动点，是否存在P 、Q 两点，使得B 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出P 、Q 的坐标，若不存在，请说明理由．。
初三数学知识点专题讲解与训练29---方程思想(培优版)
bc
ca
ab 4
以 a ， b ， c 为三边长可构成一个直角三角形．
（全国初中数学联赛试题）
.18 一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶 5000km 后报废；若把它安装在后轮，则 自行车行驶 3000km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎，如果交换前、后轮胎，要使一辆自 行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶多少 ?km
（江苏省竞赛试题）
解题思路：本例内容新颖，构思巧妙，解题思路宽广，或用特殊值代入试算、或从变形已知等式入
手. 仔细观察已知两个等式特点，a ，b 可看作是方程(x＋c)(x＋d)＝1 的两根，利用方程思想揭示题
设条件与结论的内在规律．
1 / 11
【例 2】化简 3 + 5 − 3 − 5 的结果是( )
①用根的定义构造； ②用韦达定理的逆定理构造； ③对于含有多个字母的变元等式问题，把等式整理为关于某个字母的一元二次方程.
例题与求解
【例 1】 已知：a ，b ，c ，d 是四个不同的有理数，且（a＋c）(a＋d)＝1，(b＋c)(b＋d)＝1，
那么(a 十 c) (b＋c)的值是___ ____________．
=
2 x2
−
y2
+6
=
7．
例 4Q xy = 2, xz = 3, yz = 4 ， ∴ 1 + 1 = 1 ①， 1 + 1 = 1 ② 1 + 1 = 1 ③． ①+②－③得
x+ y x+z y+z
xy2
xz3 yz4
2 = 1 + 1 − 1 ，解得 x= 24 ;①+③－②得 2 = 1 + 1 − 1 ，解得 y = 24 ；②+③－①得 2 = 1 + 1 − 1 ，
2023年中考数学热点专题复习课件5 运动变化型
[变式2](黑龙江中考)如图所示,在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60°,将△ABD沿射线BD方向平移,
得到△EGF,连结EC,GC.则EC+GC的最小值为
.
相关的数学知识谨慎求解.
渗透的思想:分类讨论思想、转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等.
类型一 点动变化类
[典例1](2022绍兴)如图所示,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,动点E从点A出发,沿边AD,DC向点C运动,A,
D关于直线BE的对称点分别为M,N,连结MN.
(1)当E在边AD上且DE=2时,求∠AEM的度数.
②
(3)当直线MN恰好经过点C时,求DE的长.
思路导引:(3)当点 E 在边 AD 上时,利用证明△BCM≌△CED,得 DE=MC;当点 E 在边 CD 上时,利用△BMC
∽△CNE,得
=
,从而解决问题.
解:(3)如图③所示,当点 E 在边 AD 上时,连结 BM,则∠BMC=90°,
时,两个动点同时停止运动.设点P的运动时间为t(单位:s),下列结论正确的是(
D )
A.当t=4时,四边形ABMP为矩形
B.当t=5时,四边形CDPM为平行四边形
C.当CD=PM时,t=4
D.当CD=PM时,t=4或6
思路导引:根据题意,表示出DP,BM的长,当四边形ABMP为矩形时,根据AP=BM,列方程求解即可;当
专题五
运动变化型
运动变化型问题一般有以下类型:
(1)点动变化类;
(2)形动变化类.
解决运动变化型问题的关键点:
(1)将运动的几何元素当作静止的几何元素来加以解答,即“化动为静”的思路;并能从相对静止的
(完整版)中考数学动点问题专题讲解
中, 有长度保持不变的线段，这条线段是
2 21
GH= NH= OP=2.
B
3 32
(2) 在 Rt △ POH 中 ,
OH
2
2
OP PH
2
36 x ,
∴
MH
1 OH
1 36
x2 .
2
2
O
在 Rt △ MPH中 ,
MP
PH 2 MH 2
x 2 9 1 x2 1 36 3x 2 .
4
2
P
Ny x
G
MHA 图1
∴ y =GP=2 MP=1 36 3x2 (0< x <6). 33
(3) △ PGH是等腰三角形有三种可能情况 :
① GP=PH时, 1 36 3x 2 3
x , 解得 x
6 . 经检验 , x
② GP=GH时, 1 36 3x 2 2 , 解得 x 0 . 经检验 , x 3
③ PH=GH时, x 2 .
段 , 并求出相应的长度 .
(2) 设 PH x ,GP y , 求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域
( 即自变量 x 的取值范围 ).
(3) 如果△ PGH是等腰三角形 , 试求出线段 PH的长 .
解:(1) 当点 P 在弧 AB 上运动时 ,OP 保持不变 , 于是线段 GO、GP、 GH
又∠ DAB+∠ADB=∠ ABC=75° ,
∴∠ CAE=∠ADB,
∴△ ADB∽△ EAC, ∴ AB BD , CE AC
D
E
B
C
图2
∴1
x , ∴y
1
.
y1
x
九年级中考数学复习课件第二部分 函数思想
(4)得出结论 若能生产出面积为 4 的矩形模具，则周长 m 的取值范围为_m__≥_8___.
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解：(1)x，y 都是边长，因此，都是正数， 故点(x，y)在第一象限，答案为：一； (2)图象如下图所示：
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(3)①把点(2,2)代入 y＝－x＋m2 得： 2＝－2＋m2 ，解得：m＝8， 即：0 个交点时，m＜8；1 个交点时，m＝8; 2 个交点时，m＞8； ②在直线平移过程中，交点个数有：0 个、1 个、2 个三种情况， 联立 y＝4x和 y＝－x＋m2 并整理得：x2－12mx＋4＝0，△＝14m2－4×4≥0 时，两个函 数有交点， 解得：m≥8； (4)由(3)得：m≥8.
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【针对训练】 (2019·河南)模具厂计划生产面积为 4，周长为 m 的矩形模具．对于 m 的取值范围， 小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如 下： (1)建立函数模型 设矩形相邻两边的长分别为 x，y，由矩形的面积为 4，得 xy＝4，即 y＝4x；由周长 为 m，得 2(x＋y)＝m，即 y＝－x＋m2 .满足要求的(x，y)应是两个函数图象在第________ 象限内交点的坐标．
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(2)画出函数图象 函数 y＝4x(x＞0)的图象如图所示，而函数 y＝－x＋m2 的图象可由直线 y＝－x 平移得 到．请在同一直角坐标系中直接画出直线 y＝－x. (3)平移直线 y＝－x，观察函数图象 ①当直线平移到与函数 y＝4x(x＞0)的图象有唯一交点(2,2)时，周长 m 的值为_8__； ②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长 m 的 取值范围．
赢在 中考
讲 练通
一次函数的性质与应用问题(真题5道+模拟30道)-中考数学重难题型押题培优导练案【原卷版】
专题11一次函数的性质与应用问题（北京真题5道+模拟30道）【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢考点考查年份考查频率一次函数的性质与应用问题（大题）2016.2019.2020.2021.2022 5年4考1.一次函数综合题（1）一次函数与方程、不等式之间的关系：利用待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数与x轴和y 轴交点、不等式的解集、一次函数的平移、参数的确定等、（2）一次函数与几何图形的面积问题:首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．（3）一次函数的优化问题:通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．（4）用函数图象解决实际问题:从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．2.一次函数的应用（1）分段函数问题：分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．（2）函数的多变量问题：解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．（3）常见题型：行程问题、表格问题、图象问题、最大利润问题、方案问题常用的解题思路：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．【典例剖析】典例精讲，方法提炼，精准提分【例1】（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(4,3)，(−2,0)，且与y轴交于点A．(1)求该函数的解析式及点A的坐标；(2)当x>0时，对于x的每一个值，函数y=x+n的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值，直接写出n的取值范围．x 【例2】（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=12的图象向下平移1个单位长度得到．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x>−2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m 的取值范围．【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心1．（2016·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A(−6,0)的直线l1与直线l2:y=2x相交于点B(m,4)．（1）求直线l1的表达式；（2）过动点P(n,0)且垂直于x轴的直线与l1，l2的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，写出n的取值范围．2．（2019·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx+1(k≠0)与直线x=k，直线y=−k分别交于点A，B，直线x=k与直线y=−k交于点C．（1）求直线l与y轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．①当k=2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；①若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．3.（2020·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象平移得到，且经过点(1，2)．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x>1时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．【模拟精练】押题必刷，巅峰冲刺，提分培优一、解答题1．（2022·北京房山·二模）已知，在平面直角坐标系xOy中，直线l:y=ax+b(a≠0)经过点A（1，2），与x轴交于点B（3，0）．(1)求该直线的解析式；(2)过动点P(0，n)且垂直于y轴的直线与直线l交于点C，若PC≥AB，直接写出n的取值范围．2．（2022·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=2x的图象平移得到，且经过点（2，2）．(1)求这个一次函数的表达式；(2)当x<2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．(k≠0)经过点A(2,−1)，直线l：3．（2022·北京东城·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=kxy=−2x+b经过点B(2,−2)．(1)求k,b的值；(k≠0)交于点C，与直线l交于点D．(2)过点P(n,0)(n>0)作垂直于x轴的直线，与双曲线y=kx①当n=2时，判断CD与CP的数量关系；①当CD≤CP时，结合图象，直接写出n的取值范围．4．（2022·北京北京·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=−x的图象平移得到，且经过点(1,1)．(1)求这个一次函数的表达式；(2)当x>−1时，对于x的每一个值，函数y=mx−1(m≠0)的值小于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．5．（2022·北京丰台·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象向下平移4个单位长度得到．(1)求这个一次函数的解析式；(2)一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点为A，函数y=mx(m<0)的图象与一次函数y=kx+b的图象的交点为B，记线段OA，AB，BO围成的区域（不含边界）为W，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，若区域W内恰有2个整点，直接写出m的取值范围．6．（2022·北京密云·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(0,−3)和点B(5,2)．(1)求这个一次函数的表达式；(2)当x≥2时，对于x的每一个值，函数y=mx+2(m≠0)的值小于一次函数y=kx+b的值，直接写出m 的取值范围．7．（2022·北京西城·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=−x+b的图象与x轴交于点(4,0)，且与的图象在第四象限的交点为(n,−1)．反比例函数y=mx(1)求b，m的值；<y p<4，连接OP，结合函数图象，直(2)点P(x p,y p)是一次函数y=−x+b图象上的一个动点，且满足m xp接写出OP长的取值范围．x平移8．（2022·北京平谷·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=12得到，且过点(0,−1)．(1)求这个一次函数y=kx+b(k≠0)的表达式；(2)当x>−2时，对于x的每一个值，函数y=mx+1的值大于一次函数y=kx+b(k≠0)的值，求m的取值范围．9．（2022·北京东城·一模）对于平面直角坐标系xOy中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A，B两点，使得△ABC为等腰直角三角形，且∠ABC=90°，则称点C为图形G的“友好点”．(1)已知点O(0,0)，M(4,0)，在点C1(0,4)，C2(1,4)，C3(2,−1)中，线段OM的“友好点”是_______；(2)直线y=−x+b分别交x轴、y轴于P，Q两点，若点C(2,1)为线段PQ的“友好点”，求b的取值范围；(3)已知直线y=x+d(d>0)分别交x轴、y轴于E，F两点，若线段EF上的所有点都是半径为2的⊙O的“友好点”，直接写出d的取值范围．10．（2022·北京昌平·二模）在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b(k≠0)与直线y=x平行，且过点(2,1)．(1)求这个一次函数的解析式；(2)直线y=kx+b(k≠0)分别交x，y轴于点A，点B，若点C为x轴上一点，且S△ABC=2，直接写出点C的坐标．x，11．（2022·北京顺义·一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象平行于直线y=12且经过点A(2,2)．(1)求这个一次函数的表达式；(2)当x<2时，对于x的每一个值，一次函数y=kx+b(k≠0)的值大于一次函数y=mx−1(m≠0)的值，直接写出m的取值范围．x+b与直线l2:y=2x交于点A(m,n)．12．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l1:y=12(1)当m=2时，求n，b的值；(2)过动点P(t,0)且垂直于x轴的直线与l1，l2的交点分别是C，D．当t≤1时，点C位于点D上方，直接写出b的取值范围．13．（2022·北京市十一学校二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点P(1,2)，Q(−2,2)，函数y=mx．(1)当函数y=mx的图象经过点Q时，求m的值并画出直线y=－x－m．(2)若P，Q两点中恰有一个点的坐标（x，y）满足不等式组{y>mxy<−x−m（m<0），求m的取值范围．14．（2022·北京丰台·一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝2x的图象平移得到，且经过点（2，1）．(1)求这个一次函数的解析式；(2)当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．15．（2022·北京·东直门中学模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(1,4)，B(3,m)．(1)如果点A，B均在反比例函数y1=k的图象上，求m的值；x(2)如果点A，B均在一次函数y2=ax+b的图象上，①当m=2时，求该一次函数的表达式；①当x≥3时，如果不等式mx−1>ax+b始终成立，结合函数图象，直接写出m的取值范围．(k≠0)的两个交点分别为16．（2022·北京一七一中一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l与双曲线y=kxA(−3,−1)，B(1,m).(1)求k和m的值；(2)求直线l的解析式；(k≠0)于点Q.当点Q位于点P的左侧时，(3)点P为直线l上的动点，过点P作平行于x轴的直线，交双曲线y=kx求点P的纵坐标n的取值范围.17．（2022·北京市燕山教研中心一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数x的图象向上平移3个单位长度得到．y=12(1)求这个一次函数的解析式；(2)当x>2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．18．（2022·北京平谷·一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣1，0），（0，2）．(1)求这个一次函数的表达式；(2)当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值小于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．19．（2022·北京门头沟·一模）我们规定：在平面直角坐标系xOy中，如果点P到原点O的距离为a，点M到点P的距离是a的整数倍，那么点M就是点P的k倍关联点．(1)当点P1的坐标为(−1.5,0)时，①如果点P1的2倍关联点M在x轴上，那么点M的坐标是；①如果点M(x，y)是点P1的k倍关联点，且满足x=−1.5，−3≤y≤5．那么k的最大值为________；(2)如果点P2的坐标为(1,0)，且在函数y=−x+b的图象上存在P2的2倍关联点，求b的取值范围．20．（2022·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l:y≡kx+b，给出如下定义：若直线l与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l关于该圆的“圆截距”．(1)如图1，⊙O的半径为1，当k=1,b=1时，直接写出直线l关于⊙O的“圆截距”；(2)点M的坐标为(1,0)，√5，求k的取值范围；①如图2，若⊙M的半径为1，当b=1时，直线l关于⊙M的“圆截距”小于45①如图3，若⊙M的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线l关于⊙M的“圆截距”的最小值为2，直接写出b的值．21．（2022·北京房山·一模）如图1，一次函数y=kx+4k（k≠0）的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且经过点C（2，m）．(1)当m=9时，求一次函数的解析式并求出点A的坐标；2(2)当x>-1时，对于x的每一个值，函数y=x的值大于一次函数y=kx+4k（k≠0）的值，求k的取值范围．22．（2022·北京房山·一模）如图1，①I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交①I于P，Q两点（Q在P，H之间）．我们把点P称为①I关于直线a的“远点”，把PQ·PH的值称为①I关于直线a的“特征数”．(1)如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4），半径为1的①O与两坐标轴交于点A，B，C，D．①过点E作垂直于y轴的直线m﹐则①O关于直线m的“远点”是点__________________（填“A”，“B”，“C”或“D”），①O关于直线m的“特征数”为_____________；①若直线n的函数表达式为y=√3x+4，求①O关于直线n的“特征数”；(2)在平面直角坐标系xOy、中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，√3为半径作①F．若①F与直线l相离，点N（–1，0）是①F关于直线l的“远点”，且①F关于直线l的“特征数”是6√6，直接写出直线l的函数解析式．23．（2022·北京·中国人民大学附属中学分校一模）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)的“非常距离”，给出如下定义：若|x1−x2|⩾|y1−y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1−x2|；若|x1−x2|<|y1−y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1−y2|．,0)，B为y轴上的一个动点，(1)已知点A(−12①若点A与点B的“非常距离”为4，直接写出点B的坐标：；①求点A与点B的“非常距离”的最小值；x+2上的一个动点，(2)已知C是直线y=12①若点D的坐标是(0，1)，求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；①若点E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标．24．（2022·北京市第一六一中学分校一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝﹣2x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象过A，B两点，且与x轴的另一交点为点C，BC＝2；(1)求点C的坐标；(2)对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2＞2时，总有y1＞y2．①求二次函数的表达式；①设点A在抛物线上的对称点为点D，记抛物线在C，D之间的部分为图象G（包含C，D两点）．若一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象与图象G有公共点，结合函数图象，求k的取值范围．(k>0)的图象交于A，B 25．（2022·北京通州·一模）已知一次函数y1=2x+m的图象与反比例函数y2=kx两点．(1)当点A的坐标为(2,1)时．①求m，k的值；①当x>2时，y1______y2（填“>”“=”或“<”）．(2)将一次函数y1=2x+m的图象沿y轴向下平移4个单位长度后，使得点A，B关于原点对称，求m的值26．（2022·北京西城·一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l1:y=kx+b与坐标轴分别交于A(2,0)，B(0,4)两点．将直线l1在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余的部分保持不变，得到一个新的图形，这个图形与直线l2:y=m(x−4)(m≠0)分别交于点C，D．(1)求k，b的值；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AC，CD，DA围成的区域（不含边界）为W．①当m=1时，区域W内有______个整点；①若区域W内恰有3个整点，直接写出m的取值范围．27．（2022·北京海淀·一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2−2ax(a≠0)的图象经过点A(−1,3)．(1)求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；(2)一次函数y=2x+b的图象经过点A，点(m,y1)在一次函数y=2x+b的图象上，点(m+4,y2)在二次函数y=ax2−2ax的图象上．若y1>y2，求m的取值范围．28．（2022·北京十一学校一分校一模）在平面直角坐标系xOy中，函数y=k的图象与直线y＝mx交于点Ax（2，2）．(1)求k，m的值；(2)点P的横坐标为n，且在直线y＝mx上，过点P作平行于x轴的直线，交y轴于点M，交函数y=k（xx＞0）的图象于点N．①n=1时，用等式表示线段PM与PN的数量关系，并说明理由；①若0<PN≤3PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．29．（2022·北京·东直门中学模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x1,y1)，给出如下定义：当点Q(x2,y2)满足x1+x2=y1+y2时，称点Q是点P的等和点．已知点P(2,0)．(1)在Q1(0,2)，Q2(−2,−1)，Q3(1,3)中，点P的等和点有______；(2)点A在直线y=−x+4上，若点P的等和点也是点A的等和点，求点A的坐标；(3)已知点B(b,0)和线段MN，对于所有满足BC=1的点C，线段MN上总存在线段PC上每个点的等和点．若MN的最小值为5，直接写出b的取值范围．30．（2022·北京市第五中学分校模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝ax（a≠0）过点A（﹣2，1），直线l2：y＝mx+n过点B（﹣1，3）．(1)求直线l的解析式；(2)用含m的代数式表示n；(3)当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝ax的值小于函数y＝mx+n的值，求m的取值范围．。
2021年中考数学复习专题3 方程、函数思想 - 副本(教学课件)
精讲释疑
重重点点题题型型
题组训练
题 型 一 用方程思想解决实际问题
例1.欣欣服装店某天用相同的价格a(a＞0)卖出了两件服装，其中 一件盈利20%，另一件亏损20%，那么该服装店卖出这两件服 装的盈利情况是( B )
A．盈利
B．亏损
C．不盈不亏
D．与售价a有关
重重点点题题型型
题组训练
【解析】列一元一次方程求出两件衣服的进价，进而求出总盈 亏．设第一件衣服的进价为x元，依题意得：x(1＋20%)＝a，设 第二件衣服的进价为y元，依题意得：y(1－20%)＝a，得出x(1 ＋20%)＝y(1－20%)，整理得：3x＝2y，该服装店卖出这两件 服装的盈利情况为：0.2x－0.2y＝0.2x－0.3x＝－0.1x，即赔了 0.1x元．
重重点点题题型型
题组训练
例2.(2020·黑龙江)某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大 力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值 ，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜 进价每千克n元，售价每千克18元． (1)该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购 进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m，n的值．
重重点点题题型型
题组训练
解：(1)根据题意，得y与x的解析式为：y＝22＋2(x－1)＝2x＋ 20(1≤x≤12)； (2)设当天的销售利润为w元，则当1≤x≤6时，w＝(1200－800)(2x ＋20)＝800x＋8000，∵800＞0，∴w随x的增大而增大，∴当x ＝6时，w最大值＝800×6＋8000＝12800.
重点题型
题题组组训训练练
5．(2020·南京改编)小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地 ．设小丽出发第x min时，小丽、小明离B地的距离分别为y1 m ，y2 m．y1与x之间的函数表达式是y1＝－180x＋2250，y2与x 之间的函数表达式是y2＝－10x2－100x＋2000. (1)小丽出发时，小明离A地的距离为_2_5_0_m； (2)小丽出发至小明到达B地这段时间内，最近距离是_9_0__m.
2023年九年级中考数学专题培优训练： 一次函数
2023年九年级中考数学专题培优训练：一次函数一、选择题（本大题共10道小题）1. (2020•泰州)点P(a,b)在函数y＝3x+2的图象上,则代数式6a﹣2b+1的值等于( )A.5B.3C.﹣3D.﹣12. (2020天门)对于一次函数y＝x＋2,下列说法不正确的是( )A.图象经过点(1,3)B.图象与x轴交于点(－2,0)C.图象不经过第四象限D.当x＞2时,y＜43. (2020泰州)点P(a,b)在函数y＝3x＋2的图象上,则代数式6a－2b＋1的值等于( )A.5B.3C.－3D.－14. (2021•营口)已知一次函数y＝kx-k过点(-1,4),则下列结论正确的是( )A.y随x增大而增大B.k＝2C.直线过点(1,0)D.与坐标轴围成的三角形面积为25. (2020秋•陈仓区)已知点(-4,y1),(2,y2)都在直线y＝-12x+2上,则y1与y2的大小关系是( )A.y1＞y2B.y1＝y2C.y1＜y2D.不能比较6. (2020春•河南)在同一直角坐标系中,若直线y＝kx+b与直线y＝-2x+3平行,则( )A.k＝-2,b≠3B.k＝-2,b＝3C.k≠-2,b≠3D.k≠-2,b＝37. (2021·陕西中考)在平面直角坐标系中,若将一次函数y＝2x＋m－1的图象向左平移3个单位后,得到一个正比例函数的图象,则m的值为( )A.－5B.5C.－6D.68. (2021·湖南邵阳市)在平面直角坐标系中,若直线y=-x+m不经过第一象限,则关于x的方程mx2+x+1=0的实数根的个数为( )A.0个B.1个C.2个D.1或2个9. (2020•济南)若m＜-2,则一次函数y＝(m+1)x+1-m的图象可能是( )10. (2020秋•会宁县)已知关于x的一次函数y＝(k2+1)x-2图象经过点A(3,m)、B(-1,n),则m,n的大小关系为( )A.m≥nB.m＞nC.m≤nD.m＜n二、填空题（本大题共6道小题）11. (2020•天津)将直线y＝﹣2x向上平移1个单位长度,平移后直线的解析式为 .12. (2021•成都)在正比例函数y＝kx中,y的值随着x值的增大而增大,则点P(3,k) 象限13. (2021•贺州)如图,一次函数y＝x+4与坐标轴分别交于A,B两点,C分别是线段AB,OB上的点,PC＝PO,则点P的坐标为 .14. (2020枣庄模拟)如图,直线y=2x+4与x,y轴分别交于A,B两点,以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC,将点C向左平移,使其对应点C′恰好落在直线AB上,则点C′的坐标为 .15. (2021·贵州毕节·中考真题)如图,在平面直角坐标系中,点N1(1,1)在直线l:y=x上,过点N1作N1M1⊥l,交x轴于点M1;过点M1作M1N2⊥x轴,交直线l于点N2;过点N2作M2N2⊥l,交x轴于点M2;过点M2作M2N3⊥x轴,交直线L于点N3;…;按此作法进行下去,则点M2021的坐标为_____________.16. (2021•广安)如图,在平面直角坐标系中,AB⊥y轴,将△ABO绕点A逆时针旋转到△3AB1O1的位置,使点B的对应点B1落在直线y＝-x上,再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△43A1B1O2的位置,使点O1的对应点O2也落在直线y＝-x上,以此进行下去…若点B的坐标为4(0,3)21的纵坐标为 .三、解答题（本大题共6道小题）17. (2020秋•烈山区)已知一次函数y＝(2-k)x-k2+4.(1)k为何值时,y随x的增大而减小?(2)k为何值时,它的图象经过原点?18. (2020春•岳麓区)已知函数y＝(2-m)x+m-1,若函数图象过原点,求此函数的解析式19. (2020秋•莲湖区)如图,在平面直角坐标系中,一条直线y＝kx+3经过A(1,1)和C(-2,m)两点.(1)求m的值;(2)设这条直线与y轴相交于点B,求△OBC的面积.20. (2020秋•兰州)如图,直线l1:y＝-x+4分别与x轴,y轴交于点D,点A,直线l2:y x+1与x轴交于点C,两直线l1,l2相交于点B,连AC.(1)求点B的坐标和直线AC的解析式;(2)求△ABC的面积.21. (2021•黑龙江)如图,矩形ABOC在平面直角坐标系中,点A在第二象限内,点C在y轴正半轴上,OA2-9x+20＝0的两个根.解答下列问题:(1)求点A的坐标;(2)若直线MN分别与x轴,AB,AO,y轴交于点D,M,F,N,E,S△AMN＝2,tan∠AMN＝1,求直线MN 的解析式;(3)在(2)的条件下,点P在第二象限内,使以E,F,P,Q为顶点的四边形是正方形？若存在;若不存在,请说明理由.22. (2021•自贡)函数图象是研究函数的重要工具.探究函数性质时,我们经历了列表、描点、连线画出函数图象,然后观察分析图象特征,画出函数y ＝-的图象,列表如下:4x x 82+(1)直接写出表中a 、b 的值,并在平面直角坐标系中画出该函数的图象;(2)观察函数y ＝-的图象,判断下列关于该函数性质的命题:4x x 82+①当-2≤x≤2时,函数图象关于直线y ＝x 对称;②x＝2时,函数有最小值,最小值为-2;③-1＜x ＜1时,函数y 的值随x 的增大而减小.其中正确的是 .(请写出所有正确命题的番号)(3)结合图象,x 的解集 .。
中考数学专题六 运动变化问题 (共72张PPT)
设直线 CD′的解析式为 y＝ kx＋ b，∵ 直线 CD′过点 C(－ 3， 2)， 4 k＝－ ， － 3k＋ b＝ 2， 3 ∴直线 CD′的解析式 D′(0，－ 2)，∴ 解得 b＝－ 2， b＝－ 2， 4 4 3 为 y＝－ x－ 2.令 y＝－ x－ 2 中 y＝ 0，得 x＝－ ，∴点 P 的坐标 3 3 2 3 为 － 2， 0 .故选 C． 【答案】 C
∵点 E 与点 B 关于对称轴 x＝2 对称， ∴点 B 的坐标为(4－m ， 0)． 2 2 8 ∵ EC＝ EB，∴－ 3m －3m ＝ 4－ m－ m， 即 m － 7m＋ 6＝ 0，解得 m1＝ 1， m2＝ 6. ∵点 C 在 x 轴下方的抛物线上， ∴ m＝ 1(舍去 m＝ 6)，∴点 B 的坐标为 (3， 0)， ∴将直线 y＝ x 向右平移 3 个单位长度得直线 l′， ∴ l′的解析式为 y＝ x－ 3；
(3)在 (2)的条件下，l′与 y 轴交于点 N，把△ BON 绕点 O 逆时 针旋转 135° 得到△ B′ON′.P 为 l′上的动点，当 △ PB′N′为等腰三角 形时，求符合条件的点 P 的坐标．
【点拨】(1)根据点 O，A 的坐标以及顶点 M 的纵坐标，建立 三元一次方程组求解；(2)直线 l 是第一、三象限的角平分线，由 此可知四边形 BECE′是正方形．设点 E 的横坐标为 m，根据对称 性用 m 表示点 B 的横坐标， 根据点 C 在抛物线上， 用 m 表示点 C 的纵坐标．根据 EC＝ EB 建立关于 m 的方程并求解，由此可知直 线 l 平移的距离．再利用平移的规律(或待定系数法)求出 l′的解析 式；(3)易知 △ OB′N′是等腰直角三角形．分以下三种情形① PN′＝ PB′，② N′P＝ N′B′，③ B′P＝ N′B′讨论点 P 的存在性．第 ①情形直 接用对称性求解；第② 种情形通过比较 N′B′与点 N′到直线 l′的大 小，推断出此种情形不存在，第 ③种情形根据两腰相等建立方程 求解．
中考数学专题复习专题三5大数学思想方法第四节方程思想与函数思想训练
专题三 5大数学思想方法第四节 方程思想与函数思想类型十五 方程思想在实际生活中的应用(2018·台湾中考)某商店将巧克力包装成方形、圆形礼盒出售，且每盒方形礼盒的价钱相同，每盒圆形礼盒的价钱相同．阿郁原先想购买3盒方形礼盒和7盒圆形礼盒，但他身上的钱会不足240元，如果改成购买7盒方形礼盒和3盒圆形礼盒，他身上的钱会剩下240元．若阿郁最后购买10盒方形礼盒，则他身上的钱会剩下多少元？( ) A ．360 B ．480 C ．600D ．720【分析】设每盒方形礼盒x 元，每盒圆形礼盒y 元，根据阿郁身上的钱数不变列出方程，再根据阿郁最后购买10盒方形礼盒求解即可． 【自主解答】17．(2018·新疆中考)某商店第一次用600元购进2B 铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的54倍，购进数量比第一次少了30支．则该商店第一次购进的铅笔，每支的进价是______元．类型十六 方程思想在几何中的应用(2018·湖南湘潭中考)如图，AB 是以O 为圆心的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M 是AB ︵上的动点，且不与点A ，C ，B 重合，直线AM 交直线OC 于点D ，连结OM 与CM. (1)若半圆的半径为10.①当∠AOM＝60°时，求DM 的长； ②当AM ＝12时，求DM 的长．(2)探究：在点M 运动的过程中，∠DMC 的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【分析】(1)①当∠AOM＝60°时，△AMO是等边三角形，从而可知∠MOD＝30°，∠D＝30°，所以DM＝OM ＝10；②过点M作MF⊥OA于点F，设AF＝x，OF＝10－x，利用勾股定理即可求出x的值．易证明△AMF∽△ADO，从而可知AD的长度，进而可求出MD的长度．(2)根据点M的位置分类讨论，然后利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可求出答案．【自主解答】数与形的组合历来都是公认的求解数学问题的理想方法，它会使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化，几何方面的计算题便是求某些未知数的值，都可以用方程来解决．要根据两边相等、勾股定理、相似三角形中的比例线段、题目中本身具有的等量关系等建立方程，从而达到解决问题的目的．18．(2018·山东潍坊中考)如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连结AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM 于点F，连结BE.(1)求证：AE＝BF；(2)已知AF＝2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值．类型十七方程思想在函数中的应用(2018·广西桂林中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋6(a≠0)与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C.(1)求抛物线y的函数表达式及点C的坐标；(2)点M为坐标平面内一点，若MA＝MB＝MC，求点M的坐标；(3)在抛物线上是否存在点E，使4tan∠ABE＝11tan∠ACB？若存在，求出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)根据待定系数法，可得函数表达式；(2)根据线段垂直平分线的性质，可得M在线段AB和线段AC的垂直平分线上，根据勾股定理，可得答案；(3)根据相似三角形的判定与性质，可得F点坐标，根据解方程组，可得D点坐标，根据正切值，可得tan∠ABE＝2，①根据待定系数法，可得BM，根据解方程组，可得E点坐标；②根据正切值，可得关于m 的方程，根据解方程，可得答案．【自主解答】方程与函数本身就有必然的联系，函数本身就可以看成一个方程，因此方程与函数有着相同的思路和解题方法．此类问题常见的形式有用待定系数法确定函数关系式，求两个函数图象的交点等．19．(2018·湖南湘潭中考)如图，点M 在函数y ＝3x (x ＞0)的图象上，过点M 分别作x 轴和y 轴的平行线交函数y ＝1x (x ＞0)的图象于点B ，C.(1)若点M 的坐标为(1，3)． ①求B ，C 两点的坐标； ②求直线BC 的表达式； (2)求△BMC 的面积．类型十八函数思想在实际生活中的应用(2018·浙江舟山中考)小红帮弟弟荡秋千(如图1)，秋千离地面的高度h(m)与摆动时间t(s)之间的关系如图2所示．(1)根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？(2)结合图象回答：①当t＝0.7 s时，h的值是多少？并说明它的实际意义；②秋千摆动第一个来回需多少时间？【分析】(1)根据函数的定义判断即可；(2)通过观察图象求解即可．【自主解答】数学源于生活，又用于生活，生活中我们常把实际问题转化为数学问题来解决，往往需要找出其中的等量关系来建立函数关系，求出问题的答案，如用一次函数、反比例函数、二次函数等知识来解决生活中遇到的问题．20．(2016·浙江衢州中考)某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两道墙隔开(如图)．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为__________m2.类型十九函数思想在数与式中的应用(2018·山东临沂中考)一列自然数0，1，2，3，…，100.依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是( )A．原数与对应新数的差不可能等于零B．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大C．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30D．当原数取50时，原数与对应新数的差最大【分析】设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．【自主解答】借助函数的知识解决有关方程、不等式及其他数与式的问题，往往需要我们先构造函数，再利用函数的图象和性质进行求解，常能够使得问题更加简单、直观．21．(2018·贵州毕节中考)已知关于x的一元二次方程x2－x＋m－1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是________．22．(2018·江苏连云港中考)已知A(－4，y1)，B(－1，y2)是反比例函数y＝－4x图象上的两个点，则y1与y2的大小关系为__________．类型二十函数思想在几何中的应用(2018·湖北黄冈中考)如图，在直角坐标系xOy中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，点B，C 在第一象限，∠C＝120°，边长OA＝8.点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动，点N从A出发沿边AB－BC－CO以每秒2个单位长的速度作匀速运动，过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB于P，交对角线OB于Q，点M和点N同时出发，分别沿各自路线运动，点N运动到原点O时，M和N两点同时停止运动．(1)当t＝2时，求线段PQ的长；(2)求t为何值时，点P与N重合；(3)设△APN的面积为S，求S与t的函数关系式及t的取值范围．【分析】(1)解直角三角形求出PM，QM即可解决问题；(2)根据点P，N的路程之和＝24，构建方程即可解决问题；(3)分四种情形考虑问题即可解决问题；【自主解答】函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态的研究，从变量的运动变化，联系和发展的角度拓宽解题思路．23．(2018·四川绵阳中考)如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A(3，0)，B(0，4)，C(－3，0)．动点M，N同时从A点出发，M沿A→C，N沿折线A→B→C，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动的时间记为t秒．连结MN.(1)求直线BC的表达式；(2)移动过程中，将△AMN沿直线MN翻折，点A恰好落在BC边上点D处，求此时t值及点D的坐标；(3)当点M，N移动时，记△ABC在直线MN右侧部分的面积为S，求S关于时间t的函数关系式．参考答案类型十五【例15】 设每盒方形礼盒x 元，每盒圆形礼盒y 元，则阿郁身上的钱有(3x ＋7y －240)元或(7x ＋3y ＋240)元．由题意可得3x ＋7y －240＝7x ＋3y ＋240， 化简整理得y －x ＝120.若阿郁最后购买10盒方形礼盒，则他身上的钱会剩下：(7x ＋3y ＋240)－10x ＝3(y －x)＋240＝3×120＋240＝600(元)．故选C. 变式训练 17．4 类型十六【例16】 (1)①当∠AOM＝60°时， ∵OM＝OA ，∴△AMO 是等边三角形，∴∠A＝∠MOA＝60°，∴∠MOD＝30°，∠D＝30°， ∴DM＝OM ＝10.②如图，过点M 作MF⊥OA 于点F. 设AF ＝x ，∴OF＝10－x. ∵AM＝12，OA ＝OM ＝10，由勾股定理可知122－x 2＝102－(10－x)2， ∴x＝365，∴AF＝365.∵MF∥OD，∴△AMF∽△ADO，∴AM AD ＝AF OA ，∴12AD ＝36510， ∴AD＝503，∴MD＝AD －AM ＝143.(2)如图，当点M 位于AC ︵之间时，连结BC. ∵C 是AB ︵的中点，∴∠B＝45°. ∵四边形AMCB 是圆内接四边形， 此时∠CMD＝∠B＝45°.如图，当点M 位于BC ︵之间时，连结BC.由圆周角定理可知∠CMD＝∠B＝45°. 综上所述，∠CMD＝45°. 变式训练18．(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴BA＝AD ，∠BAD＝90°. ∵DE⊥AM 于点E ，BF⊥AM 于点F ， ∴∠AFB＝90°，∠DEA＝90°. ∵∠ABF＋∠BAF＝90°， ∠EAD＋∠BAF＝90°， ∴∠ABF＝∠EAD. 在△ABF 和△DAE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BFA＝∠AED，∠ABF＝∠DAE，AB ＝DA ，∴△ABF≌△DAE(AAS)， ∴BF＝AE.(2)解：设AE ＝x ，则BF ＝x ，DE ＝AF ＝2. ∵四边形ABED 的面积为24， ∴12·x·x＋12·x·2＝24， 解得x 1＝6，x 2＝－8(舍去)， ∴EF＝x －2＝4.在Rt△BEF 中，BE ＝42＋62＝213， ∴sin∠EBF＝EF BE ＝4213＝21313.类型十七【例17】 (1)将A ，B 的坐标代入函数表达式得⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋6＝0，a ＋b ＋6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－4， ∴抛物线y 的函数表达式y ＝－2x 2－4x ＋6. 当x ＝0时，y ＝6，即C(0，6)．(2)由MA ＝MB ＝MC 得M 点在AB 的垂直平分线上，M 在AC 的垂直平分线上， 设M(－1，x)，由MA ＝MC 得(－1＋2)2＋x 2＝(x －6)2＋(－1－0)2， 解得x ＝114，∴若MA ＝MB ＝MC ，点M 的坐标为(－1，114)．(3)①如图，过点A 作DA⊥AC 交y 轴于点F ，交CB 的延长线于点D ，过点A 作AM⊥x 轴，连结BM 交抛物线于点E.∵∠ACO＋∠CAO＝90°，∠DAO＋∠CAO＝90°，∠ACO＋∠AFO＝90°，∴∠DAO＝∠ACO，∠CAO ＝∠AFO， ∴△AOF∽△COA， ∴AO OF ＝CO AO，∴AO 2＝OC×OF. ∵OA＝3，OC ＝6，∴OF＝326＝32，∴F(0，－32)．∵A(－3，0)，F(0，－32)，∴直线AF 的表达式为y ＝－12x －32.∵B(1，0)，C(0，6)，∴直线BC 的表达式为y ＝－6x ＋6. ∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x －32，y ＝－6x ＋6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1511，y ＝－2411，∴D(1511，－2411)，∴AD＝24115，AC ＝35，∴tan∠ACB＝2451135＝811.∵4tan∠ABE＝11tan∠ACB， ∴tan∠ABE＝2. ∵AB＝4，tan∠ABE＝2， ∴AM＝8，∴M(－3，8)． ∵B(1，0)，(－3，8)，∴直线BM 的表达式为y ＝－2x ＋2. 联立BM 与抛物线得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2，y ＝－2x 2－4x ＋6， 解得x ＝－2或x ＝1(舍去)， ∴y＝6，∴E(－2，6)．②如图，当点E 在x 轴下方时，过点E 作EG⊥AB，连结BE.设点E(m ，－2m 2－4m ＋6)， ∴tan∠ABE＝CE BG ＝2m 2＋4m －6－m ＋1＝2，∴m＝－4或m ＝1(舍去)， 可得E(－4，－10)．综上所述，E 点坐标为(－2，6)，(－4，－10)． 变式训练19．解：(1)①∵点M 的坐标为(1，3)，且B ，C 在函数y ＝1x (x ＞0)的图象上，∴点C 横坐标为1，纵坐标为1，点B 纵坐标为3，横坐标为13，∴点C 坐标为(1，1)，点B 坐标为(13，3)．②设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋b′，把B ，C 点坐标代入得 ⎩⎪⎨⎪⎧1＝k ＋b′，3＝13k ＋b′，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，b′＝4， ∴直线BC 的表达式为y ＝－3x ＋4. (2)设点M 坐标为(a ，b)．∵点M 在函数y ＝3x (x ＞0)的图象上，∴ab＝3.由(1)得点C 坐标为(a ，1a )，B 点坐标为(1b ，b)，∴BM＝a －1b ＝ab －1b ，MC ＝b －1a ＝ab －1a，∴S △BMC ＝12·ab －1b ·ab －1a ＝12×（ab －1）2ab ＝23.类型十八【例18】 (1)由图象可知，对于每一个摆动时间t ，h 都有唯一确定的值与其对应， ∴变量h 是关于t 的函数． (2)①由函数图象可知，当t ＝0.7 s 时，h ＝0.5 m ，它的实际意义是秋千摆动0.7 s 时，离地面的高度是0.5 m. ②由图象可知，秋千摆动第一个来回需2.8 s. 变式训练 20．144 类型十九【例19】 设原数为a ，则新数为1100a 2，设新数与原数的差为y ，则y ＝a －1100a 2＝－1100a 2＋a.易得当a ＝0时，y ＝0，则A 错误． ∵－1100＜0，∴当a ＝－b 2a ＝－12×（－1100）时，y 有最大值．B 错误，D 正确．当y ＝21时，－1100a 2＋a ＝21，解得a 1＝30，a 2＝70，则C 错误．故选D. 变式训练21．m ＜54 22.y 1＜y 2类型二十【例20】 (1)当t ＝2时，OM ＝2. 在Rt△OPM 中，∠POM＝60°， ∴PM＝OM·tan 60°＝2 3. 在Rt△OMQ 中，∠QOM＝30°， ∴QM＝OM·tan 30°＝233，∴PQ＝CN －QM ＝23－233＝433. (2)由题意，8＋(t －4)＋2t ＝24， 解得t ＝203.(3)①当0＜t ＜4时，S ＝12·2t·43＝43t.②当4≤t＜203时，S ＝12×[8－(t －4)－(2t －8)]×43＝403－63t.③当203≤t＜8时，S ＝12×[(t－4)＋(2t －8)－8]×43＝63t －40 3.④当8≤t≤12时，S ＝S 菱形ABCO －S △AON －S △ABP －S △PNC ＝323－12·(24－2t)·43－12·[8－(t －4)]·43－12·(t－4)·32·(2t－16)＝－32t 2＋123t －56 3. 变式训练23．解：(1)设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，－3k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝43，b ＝4，∴直线BC 的表达式为y ＝43x ＋4.(2)如图1中，连结AD 交MN 于点O′.由题意四边形AMDN 是菱形，M(3－t ，0)，N(3－35t ，45t)，∴O′(3－45t ，25t)，D(3－85t ，45t)．∵点D 在BC 上，∴45t ＝43×(3－85t)＋4，解得t ＝3011，∴t＝3011 s 时，点A 恰好落在BC 边上点D 处，此时D(－1511，2411)．(3)如图2中，当0＜t≤5时，△ABC 在直线MN 右侧部分是△AM N ，S ＝12·t·45t ＝25t 2.如图3中，当5＜t≤6时，△ABC 在直线MN 右侧部分是四边形ABNM.S ＝12×6×4－12×(6－t)·[4－45(t －5)]＝－25t 2＋325t －12.。