流体力学 第2章 流体静力学

流体平衡微分方程式
在静止流体中取一边长分别为x、y、z的微小立方体，中心点为a （x,y,z），该点的密度为，静压强为p。
y
p p x x 2 p x x 2
p
y
b
a x
fx c z x
z
作用在立方体上的力在x方向的平衡方程为:
p x p x p y z p y z f x x y z 0 x 2 x 2
pa
p pa 2 gh2 1 gh1
pv pa p 2 gh2 1gh1
p
1
1 2
h1 h2
2
§2.3
U形管压差计
重力场中流体的平衡
A
B h2 h1 1
1
1
h
2
由于1、2两点在同一等 压面上，故有：
pA 1 gh1 pB 1 gh2 2 gh
计示压强（相对压强）
真空 当流体的绝对压强低于大气压强时，该区域处于真空。 真空度 计示压强为负值时，负计示压强用真空度表示，即： pv=- pe= pa-p p p>pa pe pa p pv p<pa p p=0
§2.3
6. 液柱式测压计 测压管
重力场中流体的平衡
测压管是一种最简单的液柱式测压计。为了减少毛细现象所 造成的误差，采用一根内径为10mm左右的直玻璃管。测量时， 将测压管的下端与装有液体的容器连接，上端开口与大气相 通。
积分上式得：
p ay gz C
根据边界条件：x=0，y=0，z=0时p=p0，代入上式得积分常数C=p0，故有：
p p0 ay gz
水平等加速直线运动容器 中液体静压强的分布规律
§2.4
等压面方程
液体的相对平衡
将质量力代入等压面方程得：
ady gdz 0
z 1 p1
p0 2 p2 z2 y
代入压力差公式得：
dp gdz 积分得： p gz C
方程两边同除以g，得：
z1 o x
p z C g
如图所示，上式可写成：
流体静力学基本方程式， 适用于重力作用下静止 的不可压缩流体。
p1 p2 z1 z2 g g
z+ p/(g)——静水头
A
完全真空
静水头线
A
p2 g pe1 g pa g
计示静水头线
pa
A’
p0 p2 2 1 p1
A’
pe 2 g
p1 g
p0 p2 2 1 p1
z2 z1
z2
z1
§2.3
重力场中流体的平衡
p0 h z0 z x o y
4. 重力作用下静止液体内的静压力分布 在重力场中，单位质量力只有重力，即：
pa p0 h p p pa
p pa gh
h

pv gh

p p a gh
pe p pa gh
§2.3
U形管测压计
重力场中流体的平衡
被测液体 的压强高 于大气压 强
这种测压计是一个装在刻度板上两端开口的U形玻璃 管。测量时，管的一端与被测容器相接，另一端与大 气相通，U形管内装有密度ρ2大于被测流体密度ρ1的 液体工作介质，如酒精、水、四氯化碳和水银等。一 定要注意，工作介质不能与被测流体相互掺混。
静止或平衡状态： 流体相对于地球没有运动 相对静止或相对平衡平衡状态： 流体相对于非惯性坐标系没有运动
§2.1
流体静压强及其特性
1. 流体静压强
当流体处于静止或相对静止状态时，作用在流体上的 力只有法向应力，没有切向应力。此时的法向应力就 是演作用面内法线方向的静压强。用符号p表示，单 位为Pa。
dFn pnn pn dA
2. 流体静压强的特性 特性一：流体静压强的方向沿作用面的内法线方向
§2.1
流体静压强及其特性
特性二：静止流体中任一点流体静压强的大小与作用面在空间的方位 无关，是点的坐标的连续可微函数 如图所示，在静止流体中的点A取一 微元四面体，与坐标轴相重合的边长分别 y 为x、y、z，三角形BCD的面积设为S， px A z 各微小平面中心点上的压强分别为px、py、 pz，单位质量力在三个坐标轴方向上的投 z B 影分别为fx、fy、fz。 py 由于流体静止，则作用在四面体上的力平衡，即：
例题2
重力场中流体的平衡
两圆筒用管子连接，内充水银。第一个圆筒直径d1=45cm，活塞上受力 F1=3197N，密封气体的计示压强pe=9810Pa；第二圆筒直径d2=30cm， 活塞上受力F2=4945.5N，开口通大气。若不计活塞质量，求平衡状态时 两活塞的高度差h。（已知水银密度=13600kg/m3)。
第2章 流体静力学
§2.1 流体静压强及其特性
§2.2
§2.3 §2.4 §2.5
流体平衡微分方程式
重力场中流体的平衡 液体的相对平衡 液体对壁面的作用力
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流体静力学
研究的是流体平衡的规律 研究流体平衡的条件及压强分布规律 研究流体与固体间的相互作用及其工程应用 在研究流体平衡时，通常将 地球选作惯性坐标系
§2.2
流体平衡微分方程式
以微小立方体的质量xyz除以上式，得a点在x方向的平衡方程：
1 p 0 x 1 p fy 0 y 1 p fz 0 z fx
该方程对不可压缩流体 和可压缩流体的静止和 相对静止状态都适用， 是流体力学的基本方程。
y D
pz
x pn C x
Fx 0 F y 0 Fz 0
§2.1
流体静压强及其特性
以x坐标轴方向为例，作用在四面体上的力在x方向上的平衡方程为： 1 1 px y z f x x y z pn S cos n, i 0 2 6 1 因为： S cos n, i yz 2 故上式简化为： px f x
h
p2 pe p1 0.3003 m g
§2.4
液体的相对平衡
1. 水平等加速直线运动容器中液体的相对平衡 流体静压强的分布规律 单位质量液体上的质量力沿坐标轴的分量为：
p0
z o x -a f
f x 0， f y a， f z g
代入压强差公式得：

g
y
a
dp ady gdz
如图所示，玻璃管上端抽真空，对于a点和b点，流体力学基本方程式为：
z p p z hp hp g g
即a点与真空的压强差对单位 重量流体做的功变成了单位重 量流体的位置势能。
§2.3
重力场中流体的平衡
3. 流体静力学基本方程式的几何意义 水头 单位重量流体的势能具有长度的单位，可以用液柱高度来表示。 z——位置水头 p/(g)——压强水头
A、B两点的压强差为：
2
p pA pB 2 gh 1gh2 1gh1 2 1 gh
若被测流体为气体，由于气体的密度很小，1gh可以忽略不计。
§2.3
倾斜式微压计
重力场中流体的平衡
用于测量气体的压强，测量精度较高，可测较微小的 压强和压强差。
A1 p 0 0 h pa
f x dx f y dy f z dz
即：
p p p dx dy dz x y z
压强差公式，表明 流体静压强的增量 取决于单位质量力 和坐标增量。
dp f x dx f y dy f z dz
在流场中压强相等的点组成 的面，dp=0，p(x,y,z)=const。
在重力作用下静止有自由表面的不可压缩流体中，静压强由两部分组成：
自由表面上的压强p0
淹没深度为h、密度为的流体柱产生的压强gh
§2.3
重力场中流体的平衡
5. 绝对压强、计示压强、真空和真空度 绝对压强 以完全真空为基准计量的压强，如 p=pa+gh 中的p。 以当地大气压强为基准计量的压强，如 pe=p-pa=gh 中的pe。
联立求解得： pB pA 1gh 1 3 gh 2 2 gh 3 3 gh 4 g h5 h4 A、B两点的压强差为： pA pB 1g h5 h4 h1 3 g h2 h4 2 gh3 67864Pa
§2.3
解：在F1、F2作用下，活塞底面产生 的压强分别为：
p1 4 F1 4 F2 20101 Pa ， p 69964Pa 2 2 2 d1 d 2
a F1 d1
pe
h
F2 d2
a
图中a-a为等压面，第一圆筒上部 是计示压强，第二圆筒上部的大气压 强不必计入，故有： pe p1 gh p2
§2.3
ห้องสมุดไป่ตู้
重力场中流体的平衡
2. 流体静力学基本方程式的物理意义 z ——单位重量流体的位置势能
z b p0 hp p a
p/(g) ——单位重量流体的压强势能
z+p/(g) ——单位重量流体的总势能 方程的物理意义是：在重力作用 下，静止的不可压缩流体中单位重量 流体的总势能保持不变。
h
o
z
x
积分上式得：
等压面方程，不同的积分常数C1代 表不同的等压面。
ay gz C1
等压面与水平面之间的夹角为：
a arctan g
以（xs，ys，zs）表示自由液面上点的坐标，由于在自由液面上的任 意一点都有p=p0，所以由静压强的分布规律可得自由液面的方程为：
pa
由于1和2点在同一流体的等压面上，故：
p1 p2