圆的方程与专题复习(直线与圆圆与圆的位置关系轨迹问题)知识梳理
直线与圆、圆与圆的位置关系知识点及题型归纳
直线与圆、圆与圆的位置关系知识点及题型归纳(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--直线与圆、圆与圆的位置关系知识点及题型归纳知识点精讲一、 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交二、 直线与圆的位置关系判断1. 几何法（圆心到直线的距离和半径关系）圆心(,)a b 到直线0Ax By C ++=的距离，则d =则d r <⇔直线与圆相交，交于两点,P Q ，||PQ =d r =⇔直线与圆相切； d r >⇔直线与圆相离2. 代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）由2220()()Ax By C x a y b r++=⎧⎨-+-=⎩ ，消元得到一元二次方程20px qx t ++=，20px qx t ++=判别式为∆，则：则0∆>⇔直线与圆相交； 0∆=⇔直线与圆相切； 0∆<⇔直线与圆相离.三、 两圆位置关系的判断是用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：设两圆12,O O 的半径分别是,R r ，（不妨设R r >），且两圆的圆心距为d ，则： 则d R r <+⇔两圆相交； d R r =+⇔两圆外切； R r d R r -<<+⇔两圆相离 d R r =-⇔两圆内切；0d R r ≤<-⇔两圆内含（0d =时两圆为同心圆）四、 关于圆的切线的几个重要结论（1） 过圆222x y r +=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程为200x x y y r +=. （2） 过圆222()()x a y b r -+-=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=（3） 过圆220x y Dx Ey F ++++=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程为0000022x x y y x x y y D E F ++++⋅+⋅+= （4） 求过圆222x y r +=外一点00(,)P x y 的圆的切线方程时，应注意理解：①所求切线一定有两条；②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论.设切线方程为00()y y k x x -=-，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于k 的方程，求出k 值.若求出的k 值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的k 值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意.题型讲解题型1 直线与圆的相交关系 思路提示研究直线与圆的相交问题，应牢牢记住三长关系，即半径长2l、弦心距d 和半径r 之间形成的数量关系222()2l d r +=.例 已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1(0)2x y πθθθ+=<<，设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k =___________.分析 先求出圆心到直线的距离，在进行判断解析 因为圆心(0,0)到直线l 的距离为1，又因为圆O 4个点符合条件. 评注 若圆O 上到直线l 的距离等于2的点的个数为k ，则2k =；若3k =，则圆O 上到直线l 的距离等1-变式1已知圆O ：224x y +=，直线l ：1x ya b+=，设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数有两个，则2211a b +的取值范围___________. 例 已知圆C ：228120x y y +-+=，直线l ：20ax y a ++=，（1） 当直线l 与圆C 相交时，求实数a 的取值范围;（2） 当直线l 与圆C 相交于,A B 两点，且AB =l 的方程.分析 根据点到直线距离等于半径来度量直线与圆相切问题；根据三长关系解决直线与圆相交问题. 解析 （1）圆C ：22(4)4x y +-=，故圆心为(0,4)C ，因为直线l 与圆C 相交，所以圆心为(0,4)C 到直线l 的距离2d =<，解得34a <-，故实数a 的取值范围是3(,)4-∞-（2）由题意，直线l 与圆C 相交于,A B 两点，且AB =224+=，化简可得2870a a ++=，即1a =-或7a =-，故所求直线的方程为20x y -+=或7140x y -+=.评注 在处理直线与圆的相交问题时经常用到三长关系，即半弦长，弦心距，半径长构成直角三角形的三边.变式1 对任意的实数k ，直线1y kx =+与圆222x y +=的位置关系一定是（ ） A ．相离 B. 相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心变式2 过点(1,2)--的直线l 被圆222210x y x y +--+=，则直线l 的斜率为__________.变式3 已知直线l 经过点(1,3)P -且与圆224x y +=相交，截得弦长为l 的方程.例 过点(1,1)P 的直线l 与圆22:(2)(3)9C x y -+-=相交于,A B 两点，则||AB 的最小值为（ ）A.解析 设圆心(2,3)C 到直线l 的距离d ，由弦长公式||AB ==可知当距离最大d时，弦长||AB 最小.又||d CP ≤==l CP ⊥时取等号，故max d .所以max ||4AB ===.故选B评注 过圆内一定点的所有弦中，过此点的直径为最长弦，过此点且垂直于该直径的弦为最短弦. 变式1 过点(11,2)A 做圆22241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有（ ） A. 16 条 B. 17条 C. 32条 D. 34条例 已知圆的方程为22680x y x y +--=.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A. C. 解析 22680x y x y +--=可化为22(3)(4)25x y -+-=，故圆心坐标(3,4)，半径为5，点(3,5)在圆内，因为AC 最长，所以AC 为直径，即||10AC =，BD 最短，且BD 过点(3,5)，所以||BD ==，所以1||||2S AC BD ==B变式1 如图所示，已知AC ,BD 为圆O ：224x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为M ，则四边形ABCD 的面积的最大值为__________.例 （2012北京海淀高三期末理13改编）已知圆22:(1)2C x y -+=，过点(1,0)M -的直线l 交圆C 于,A B 两点，若0CA CB ⋅=（C 为圆心），则直线l 的方程为__________.解析 设直线:(1)l y k x =+，即:l 0kx y k -+= 则圆心到直线l 的距离为d =又0CA CB ⋅=，故CA CB ⊥，即△ABC 是等腰三角形，2C π∠=.所以sin142d r π====即k =±，故直线l ：10x +=或10x += 变式1 已知O 为平面直角坐标系的原点，过点(2,0)M -的直线l 与圆221x y +=交于,P Q 两点.若12OP OQ ⋅=-，求直线l 的方程.变式2 已知圆C ：22(1)(6)25x y ++-=上的两点,P Q 关于直线l :8y kx =+对称，且0OP OQ ⋅=（O 为坐标原点），求直线PQ 的方程题型2 直线与圆的相切关系 思路提示若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，切线的几何性质为：圆心和切点的连线垂直于切线.例 求经过点(1,7)-与圆2225x y +=相切的直线方程.分析 将点(1,7)-代入圆方程得221(7)5025+-=>，知点(1,7)-是圆外一点，故只需求切线的斜率或再求切线上另一点坐标.解析 解法一：依题意，直线的斜率存在，设所求切线斜率为k ，则所求直线方程为7(1)y k x +=-，整理成一般式为70kx y k ---=.5=，化简得3127120k k --=，解得43k =或34k =-. 故所求切线方程为：43250x y --=或34250x y ++=.解法二：依题意，直线的斜率存在，设所求切线方程为0025x x y y +=（00(,)x y 是切点），将坐标(1,7)-代入后得00725x y -=，由00002272525x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得0043x y =⎧⎨=-⎩或0034x y =-⎧⎨=-⎩. 故所求切线方程为：43250x y --=或34250x y ++=.评注 已知圆外一点，求圆的切线方程一般有三种方法：①设切点，用切线公式法；②设切线斜率，用判别式法：③设切线斜率，用圆心到切线距离等于圆半径.一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况.变式1 已知圆22:(1)(2)4C x y -+-=，求过点(1,5)P -的圆的切线方程.变式2 直线l (2)2y k x =-+与圆22:220C x y x y +--=相切，则的一个方向向量为（ ） A. (2,2)- B. (1,1) C. (3,2)- D. 1(1,)2例 自点(3,3)A -发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆224470x y x y +--+=相切，求入射光线l 所在直线的方程.分析 利用对称性解决此类反射问题.根据光学特征，对称性的使用既可以使用点的对称，也可以使用圆的对称.解析 已知圆22(2)(2)1x y -+-=关于x 轴的对称圆'C 的方程为22(2)(2)1x y -++=，可设光线所在直线方程为3(3)y k x -=+，所以直线l 与圆'C 相切，圆心'(2,2)C -到直线l的距离1d ==，解得43k =-或34k =-.所以光线所在的直线l 方程为4330x y ++=或3430x y +-=.变式1 自点(3,3)A -发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线'l 所在直线与圆224470x y x y +--+=相切，求反射光线'l 所在直线的方程.题型3 直线与圆的相离关系思路提示关于直线与圆的相离问题的题目大多是最值问题，即直线上的点与圆上的点的最近或最远距离问题，这样的题目往往要转化为直线上的点与圆心距离的最近和最远距离再加减半径长的问题. 例 （1）直线:1l y x =-的点到圆22:4240C x y x y ++-+=上的点的距离最小值是____________. （2）由直线1y x =+上的点向圆22(3)(2)1x y -++=引切线，则切线长的最小值为（ ）分析 过直线1y x =+上任意一点向圆22(3)(2)1x y -++=引切线PQ ，即可得到1||PQ O Q PQ ⊥==，那么，当切线长PQ 取最小值时，即1O P 取最小值.解析 （1）圆C 可化为22(2)(1)1x y ++-=，故圆心(2,1)C -到直线1y x =-的距离d ==1d r -=（3） 过1O 作1O H 垂直于直线1y x =+于点H ，过H 作HR 相切圆1O 与R ，连接1O R ，则切线长的最小值为||HR ，圆心(3,2)-到直线10x y -+=的距离d ==||HR =，故选A.变式1 已知点P 是直线40(0)kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两切线，,A B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为（ ）C. D. 2 变式2 已知圆22:1O x y +=和定点(2,1)A ，由圆O 外一点(,)P a b 向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足||||PQ PA =.（1）求实数,a b 间满足的等量关系； （2）求线段PQ 长的最小值.题型4 圆与圆的位置关系 思路提示已知两圆半径分别为12,r r ，两圆的圆心距为d ，则：（1） 两圆外离12r r d ⇔+<；（2）两圆外切12r r d ⇔+=； （3）两圆相交1212||r r d r r ⇔-<<+； （4）两圆内切12||r r d ⇔-=；（5）两圆内含12||r r d ⇔->；两圆外切和内切较为重要，这两种位置关系常与椭圆和双曲线的定义综合考查.例 圆221:20O x y +-=和圆222:40O x y y +-=的位置关系是（ ）A. 外离B. 相交C. 外切D. 内切 分析 判断圆心距与两圆半径的关系解析 由圆221:20O x y +-=得1(0,0)O ，1r =圆222:40O x y y +-=得2(0,2)O ，22r =，121212||||2r r O O r r -<=<+，两圆相交，故选B.变式1 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是_________.变式2 在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线l ：24y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，（1） 若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程； （2） 使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是_________.例 已知两圆222610x y x y +---=和2210120x y x y m ++-+= （1）m 取何值时两圆外切.（2）m 取何值时两圆外切，此时公切线方程是什么（3）求45m =时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长度.分析 把两圆的一般方程化为标准方程，求两圆的圆心距d ，判断d 与R r +，R r -的关系，再用圆的几何性质分别解决（2）（3）问.解析 两圆的标准方程分别为22(1)(3)11x y -+-=，22(5)(6)61,(61)x y m m -+-=-<，圆心分别为(1,3),(5,6)M N（1） =25m =+（2） 小于两圆圆心距55=，解得，两圆方程222610x y x y +---=与2210120x y x y m ++-+=，相减得861250x y +--+=代入，得43130x y +-+=.（3） 两圆的公共弦所在直线方程为2222(261)(101245)0x y x y x y x y +----+--+=，即43230x y +-=，所以公共弦长为=评注 应注意两圆位置关系由圆心距和两圆半径的和与差的大小关系来确定.变式1 若圆224x y +=与圆22260(0)x y ay a ++-=>，公共弦的长为a =___________.变式2 设两圆12,C C 都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆的圆心距离12||C C =（ ）A. 4B. 有效训练题1. 已知点(,)P a b 在圆C ：224x y +=内（异于圆心），则直线10ax by ++=与圆C 的位置关系是（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定 2.已知a b ≠，且2sin cos 04a a πθθ+-=，2sin cos 04b b πθθ+-=，则连接2(,)a a ，2(,)b b 两点的直线与单位圆的位置关系是（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定3.设,m n R ∈，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是（ ）A. 1⎡⎣B. (),11⎡-∞⋃++∞⎣C. 2⎡-+⎣D. (),22⎡-∞-⋃++∞⎣4.若直线1x ya b+=经过点(cos ,sin )M αα，则（ ） A. 221a b +≤ B. 221a b +≥ C.22111a b +≤ D. 22111a b +≥5.过点(1,1)P 的直线，将圆形区域22{(,)|4}x y x y +≤分两部分，使得这两部分的面积之差最大，该直线的方程为（ ）A. 20x y +-=B. 10y -=C. 0x y -=D. 340x y +-=6.若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点，则实数a 取值范围是（ ）A. []3,1--B. []1,3-C. []3,1-D. (][),31,-∞-⋃+∞7. 设,m n R ∈，若直线10mx ny +-=与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于B ，且l 与圆224x y +=相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△ABC 面积的最小值为___________8.过点(4,0)-作直线l 与圆2224200x y x y ++--=交于,A B 两点，如果||8AB =，则l 的方程为__________.9.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则的最大值是_______. 10.已知点(3,1)M ，直线40ax y -+=及圆22(1)(2)4x y -+-=. （1）求过点M 的圆的切线方程；（2）若直线40ax y -+=与圆相切，求a 的值（3）若直线40ax y -+=与圆相交于,A B 两点，且AB 弦的长为a 的值11.已知圆M 的方程为22(2)1x y +-=（M 为圆心），直线的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，，过点P 作圆M 的切线,PA PB ，切点为,A B . （1）若060APB ∠=，试求点的坐标；（2）若点P 的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于,C D 两点，当CD =CD 的方程；（3）求证：经过,,A P M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.1112. 已知圆C 过点(1,1)P ，且与圆222:(2)(2)(0)M x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称.（1）求圆C 的方程；（2）设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ MQ ⋅的最小值.（M 为圆M 的圆心）；（3）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于,A B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行请说明理由.。
第三节 直线与圆、圆与圆的位置关系(一)(知识梳理)
第三节直线与圆、圆与圆的位置关系(一)复习目标学法指导1.直线与圆相切.2.直线与圆相交.3.利用相切、相交的条件求参数的范围.4.利用相切、相交求切线长或弦长.1.处理直线与圆相切、相交问题通常有两种方法:(1)代数法由直线与圆的方程组成的方程组消去一个未知数后,所得到的一元二次方程的判别式为Δ,当Δ=0时,直线与圆相切,当Δ>0时,直线与圆相交.(2)几何法设圆心(a,b)到直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的距离为d,则当d=r时,直线与圆相切,当d<r时,直线与圆相交.2.熟练运用“数形结合”,能有效解决本节问题.一、直线与圆的位置关系把直线的方程与圆的方程组成的方程组转化为一元二次方程,其判别式为Δ,设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r.位置关系列表如表:相离相切相交图形量代数观点Δ<0 Δ=0 Δ>0化 几何观点 d>r d=r d<r二、直线被圆截得弦长的求法1.几何法:圆的弦长的计算常用弦心距d 、弦长一半12l 及圆的半径r所构成的直角三角形来解,即2l =22r d -.2.代数法:即利用根与系数的关系及弦长公式. |AB|=21k +|x A -x B |=()()2214AB A B k x x x x ⎡⎤++-⎣⎦.说明:圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.1.概念理解判断直线与圆的位置关系时,若两方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法,若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达式较繁琐,则用代数法,能用几何法,尽量不用代数法. 2.相关结论 (1)圆中弦长的求法 ①用弦长公式21k +1-x 2()22121214k x x x x ++-211k +·|y 1-y 2|;②用垂径定理和勾股定理,在半径、半弦长、弦心距组成的直角三角形中有||2AB 22r d -(2)圆的切线的求法①点P(x 0,y 0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上时,设出切线(分k 存在与否),利用圆心到切线的距离等于半径列出方程;②点P(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=r 2上时,切线方程为x ·x 0+y ·y 0=r 2.(3)圆的直径式方程:以线段AB(A(x 1,y 1),B(x 2,y 2))为直径的圆的方程为(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0.1.圆(x-2)2+y 2=1与直线3x+4y+2=0的位置关系是( C ) (A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)以上三种情况解析:圆(x-2)2+y 2=1的圆心坐标是(2,0),半径是r=1,因为圆心(2,0)到直线3x+4y+2=0的距离d=2325⨯+=85,满足d>r,所以圆(x-2)2+y 2=1与直线3x+4y+2=0的位置关系是相离, 故选C. 2.“3l:y=k(x+2)与圆x 2+y 2=1相切”的( A )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 解析:因为直线l:y=k(x+2)与圆x 2+y 2=1相切, 221k k +所以k=3所以“3l:y=k(x+2)与圆x 2+y 2=1相切”的充分不必要条件. 故选A.3.圆(x+2)2+(y-3)2=9上到直线x+y=0的距离等于2的点有( A ) (A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个 解析:圆的圆心为(-2,3),半径为3, 圆心到直线的距离232-+2,可知2-2<3,2+2<3,由图可知,圆上到直线距离等于2的点共有4个. 故选A.4.已知圆C 的圆心在x 轴上,5且与直线x-2y=0相切,那么圆C 的方程是 . 解析:设圆心C(a,0), 因为圆心在x 轴上,5的圆C 与直线x-2y=0相切,所以圆心到直线x-2y=05a 5所以a=±5,所以圆C 的方程为(x-5)2+y 2=5或(x+5)2+y 2=5 答案:(x-5)2+y 2=5或(x+5)2+y 2=55.点P(x,y)在圆x 2+y 2=1上运动,若a 为常数,且|x+3y+a|+|x+3y-4|的值是与点P 的位置无关的常数,则实数a 的取值范围是 .解析:由题设有对圆上的任意的点P(x,y),总有(x+3y+a)(x+3y-4)≤0,而圆x 2+y 2=1始终在直线x+3y-4=0的下方,所以x+3y-4<0,也就是x+3y+a ≥0,故圆x 2+y 2=1应该在直线x+3y-a=0的上方(可以相切),故1,100,aa ≥>⎩解得a 10.答案10,+∞)考点一 直线与圆的位置关系[例1] (1)在平面直角坐标系xOy 中,直线3x+4y-5=0与圆x 2+y 2=4相交于A,B 两点,则弦AB 的长等于( ) 333 (D)1(2)已知直线l:xcos α+ysin α=1(α∈R)与圆C:x 2+y 2=r 2(r>0)相交,则r 的取值范围是( ) (A)0<r ≤1 (B)0<r<1 (C)r ≥1 (D)r>1(3)一束光线从点A(-1,1)出发经x 轴反射,到达圆C:(x-3)2+(y-2)2=1上一点的最短路程是 ;(4)圆 x 2+y 2=4上的点到直线4x+3y-12=0的最小距离是 .解析:(1)由题意可得,圆心(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离2234+=1,则由圆的性质可得,(||2AB )2=r 2-d 2=3, 即3故选C.(2)圆心到直线的距离为22cos sin αα+=1,故r>1,故选D.(3)根据反射角等于入射角原理,可以得到所求最短路程是点A 关于x 轴的对称点到圆心的距离减去半径,点A 关于x 轴的对称点为(-1,-1),()()223121+++=5,所以所求最短路程为5-1=4.解析:(4)易知该直线与圆相离,圆心到直线的距离为2234+=125,所以圆上的点到直线的最小距离是125-2=25.答案:(1)C (2)D (3)4 答案:(4)25[例2] 设A(1,0),B(0,1),直线l:y=ax,圆C:(x-a)2+y 2=1.若圆C 与线段AB 和直线l 都有公共点,则实数a 的取值范围是 .解析:首先圆C:(x-a)2+y 2=1与线段x+y=1(0≤x ≤1)有公共点,往右最多移至过(1,0),此时a=2,往左最多移至与x+y=1(0≤x ≤1)相切,此时由2=1得a=1-2,所以a 首先要满足1-2≤a ≤2.其次,圆C:(x-a)2+y 2=1与直线l:y=ax 有公共点,所以221a+≤1,得-152+≤a ≤152+.综上,实数a 的取值范围是[1-2,152+].答案:[1-2,152+]判断直线与圆的位置关系时,若两方程已知或圆心到直线的距离易表示,则用几何法,利用d 与r 的关系;若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表示较繁琐,则用代数法,联立方程后利用Δ判断.当正实数m 变化时,斜率不为0的定直线l 始终与圆(x-2m)2+(y+m)2=m 2相切,则直线的方程为 . 解析:l:y=kx+b,21k +=m,即(3k 2+4k)m 2+2b(2k+1)m+b 2=0, 因为该等式对任意m>0成立, 故3k 2+4k=0,2b(2k+1)=0,b 2=0,即k=-43,b=0,则直线的方程为y=-43x.答案:y=-43x考点二直线与圆相交的弦长问题[例3] 已知点P(0,5)及圆C:x2+y2+4x-12y+24=0.(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为43,求l的方程;(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.解:(1)法一圆C的标准方程为(x+2)2+(y-6)2=16,圆心C(-2,6),半径r=4.如图所示3,|AC|=4,设D是线段AB的中点,则CD⊥3,在Rt△ACD中,可得|CD|=2.当直线l的斜率存在时,设所求直线l的斜率为k,则直线l的方程为y-5=kx,即kx-y+5=0,21k+=2,得k=34,此时直线l 的方程为3x-4y+20=0. 又直线l 的斜率不存在时,也满足题意, 此时方程为x=0.所以所求直线l 的方程为3x-4y+20=0或x=0. 法二 当直线l 的斜率存在时, 设斜率为k,则直线l 的方程为y-5=kx, 即y=kx+5.由225,412240,y kx x y x y =+⎧⎪⎨++-+=⎪⎩消去y 得(1+k 2)x 2+(4-2k)x-11=0.(*) 设方程(*)的两根为x 1,x 2,则12212224,111.1k x x k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩,解得k=34,此时直线方程为3x-4y+20=0. 又斜率不存在时也满足题意, 此时直线方程为x=0.所以所求直线的方程为x=0或3x-4y+20=0. 解:(2)设过P 点的圆C 的弦的中点为E(x,y), 则CE ⊥PE, 所以CE u u u r·PE u u u r=0,即(x+2,y-6)·(x,y-5)=0,化简得所求轨迹方程为x 2+y 2+2x-11y+30=0.当直线与圆相交时,讨论直线被圆截得的弦长问题是高考中常见的题型,此时要充分考虑与圆相关的平面几何知识的运用:(1)垂直于弦的直径平分这条弦;(2)圆心与弦的中点连线垂直于这条弦;(3)d 2+(2l )2=r 2.要综合考虑这些几何知识,这样既简单又不容易出错.已知直线l:mx+y+3m-3=0与圆x 2+y 2=12交于A,B 两点,过A,B 分别作l 的垂线与x 轴交于C,D 两点,若|AB|=23,则|CD|=.解析:设AB 的中点为M, 由题意知,圆的半径33所以|OM|=3,由2|33|1m m -+=3,解得3所以直线3由22360,12,x x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得33),则AC 的直线方程为33BD 的直线方程为33x,令y=0,解得C(-2,0),D(2,0),所以|CD|=4. 答案:4考点三 直线与圆相切问题[例4] 一条光线从点(-2,-3)射出,经y 轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,求反射光线所在直线方程.解:由光的反射原理知,反射光线的反向延长线必过点(2,-3), 设反射光线所在直线的斜率为k, 则反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2), 即kx-y-2k-3=0.又因为光线与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切, 所以232231k k k ----+=1,整理得12k 2+25k+12=0,解得k=-43,或k=-34. 从而所求直线方程为y+3=-43(x-2)或y+3=-34(x-2). 如果所求切线过某已知点,务必弄清该点在圆上还是圆外.(1)若点在圆上,那么圆心和该点的连线和切线垂直,从而求得切线的斜率.(2)若点在圆外,过该点的切线有2条,但在设斜率解题时可能只求出一条,这是因为有一条切线斜率不存在.由直线y=x+2上的点向圆(x-4)2+(y+2)2=1引切线,则切线长的最小值为 .解析:根据直线y=x+2上的点到圆的切线长、到圆心的距离、圆的半径三个量的关系知,当直线上的点到圆心的距离最短时,切线长最短.又半径为1,所以最短的切线长为易知圆心到直线的距离为.答案考点四圆中的对称问题[例5] (1)若圆(x+1)2+(y-3)2=9上的相异两点P,Q关于直线kx+2y-4=0对称,则k的值为;(2)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴,过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|等于.解析:(1)圆是轴对称图形,过圆心的直线都是它的对称轴.已知圆的圆心为(-1,3),由题设知,直线kx+2y-4=0过圆心,则k×(-1)+2×3-4=0,解得k=2.解析:(2)由于直线x+ay-1=0是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴,所以圆心C(2,1)在直线x+ay-1=0上,所以2+a-1=0,所以a=-1,所以A(-4,-1).所以|AC|2=36+4=40.又r=2,所以|AB|2=40-4=36.所以|AB|=6.答案:(1)2 (2)6对称圆的半径不变,圆的对称问题实际上是点的对称问题,求解过程中最重要的就是确定圆心.1.已知圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2-6x+6y+14=0关于直线l 对称,则直线l 的方程是( D )(A)x-2y+1=0 (B)2x-y-1=0(C)x-y+3=0 (D)x-y-3=0解析:两圆的圆心分别为(0,0),(3,-3),圆心连线的中点(32,-32),过两圆圆心的直线的斜率为3030---=-1,所以直线l 的斜率为1,所以直线l的方程为y+32=1×(x-32),即x-y-3=0,故选D. 2.已知点P(1,4)在圆C:x 2+y 2+2ax-4y+b=0上,点P 关于直线x+y-3=0的对称点也在圆C 上,则a= ,b= .解析:P(1,4)在圆C 上,所以2a+b+1=0,又点P 关于直线x+y-3=0的对称点也在圆C 上,所以圆心(-a,2)在x+y-3=0上,得a=-1,所以b=1. 答案:-1 1考点五 易错辨析[例6] 对于任意实数m,直线l:y=m(x-1)+b 恒与圆O:x 2+y 2=a 2(a>0)有两个交点,则a,b 满足的条件是 .解析:由题意知,直线l 经过定点M(1,b).又直线l 恒与圆O:x 2+y 2=a 2(a>0)有两个交点,所以点M 在圆O 的内部,所以12+b 2<a 2,即a 2-b 2>1.对直线方程理解不够,不能从方程中发现直线恒过定点;不能很好地使用点M在圆的内部这个条件,而仍然利用圆心到直线的距离小于半径,或结合方程组,利用判别式大于0求解,将会使运算复杂,甚至解不出.1.已知集合A={(x,y)|x,y为实数,且x2+y2=1}, B={(x,y)|x,y为实数,且x+y=1},则A∩B的元素个数为( C )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析:法一(直接法)集合A表示圆,集合B表示一条直线,又圆心(0,0)到直线x+y=1的距离d=2=2<1=r,所以直线与圆相交,故选C. 法二(数形结合法)画图可知选项C正确.2.已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B两点,且AC⊥BC,则实数a的值为.解析:由x2+y2+2x-4y-4=0得(x+1)2+(y-2)2=9,所以圆C的圆心坐标为C(-1,2),半径为3,由AC⊥BC,可知△ABC是直角边长为3的等腰直角三角形,故可得圆心C到直线x-y+a=0的距离为32,122a--+32, 解得a=0或a=6.。
高考数学复习考点题型与知识专题讲解6---直线和圆、圆和圆的位置关系
＝ 3，则―O→A ·―O→B 的值是( )
1
1
A．－2
B.2
4 C．－3
D．0
[玩转跟踪]
3/7
1．已知圆 C：(x－1)2＋(y－2)2＝2 截 y 轴所得线段与截直线 y＝2x＋b 所得线段的长度 相等，则 b＝________. 2．若点 P(1,1)为圆 x2＋y2－6x＝0 中弦 AB 的中点，则弦 AB 所在直线的方程为________， |AB|＝________.
[玩转典例]
题型一 直线与圆的位置关系的判断 例 1 (1)(一题多解)直线 l：mx－y＋1－m＝0 与圆 C：x2＋(y－1)2＝5 的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
(2)(2020·杭州模拟)若无论实数 a 取何值时，直线 ax＋y＋a＋1＝0 与圆 x2＋y2－2x－2y
32 3，
3
3
B．( 3，3) D.1，2 3 3
题型二 圆的弦长问题
例 2 (1)(2020·太原模拟)若 3a2＋3b2－4c2＝0，则直线 ax＋by＋c＝0 被圆 O：x2＋y2＝
1 所截得的弦长为( ) 2
A.3
B．1
1
3
C.2
D.4
(2)(2020·成都模拟)已知直线 ax＋by＋c＝0 与圆 O：x2＋y2＝1 相交于 A，B 两点，且|AB|
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(3)过圆 x2＋y2＝r2 外一点 M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 x0x＋y0y ＝r2. 2．圆系方程 (1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中 a，b 是定值，r 是参数； (2)过直线 Ax＋By＋C＝0 与圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋ Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； (3)过圆 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 和圆 C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 交点的圆系 方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆 C2， 解题时，注意检验圆 C2 是否满足题意，以防漏解)．
圆及直线与圆的位置关系
（x+
D ）2+（y+
2
E 2
）2= D2
E2 4
4F
.
O
rM C
（把1方）程圆x的2 一y般2 方D程x 体 E现y 了F圆方0(程D的2 代E数2 特4点F ：0x)2、y2 项系数相
等且（不其为2中）零当，. 半没D2径有+E是x2－yr 项4F.=D0
2时，E2方2 程4（F *，）圆表心示坐点标（是－
则 d r 相离 0 ;
d r 相切 0 ;
d r 相交 0 .
9
二、考点透视 11.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2，O1O2 d
0 d r1 r2 内含 无公切线
O1
O2
O1
O2
d r1 r2 内切 1条公切线
②圆心在点 C(a，b) ，半径为 r 的圆的参数方程是：
x a r cos
y
b
r
sin
(是参数)
在①中消去θα 得 x2+y2=r2，在②中消去θ得
（x－a）2+（y－b）2=r2，
把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程.
4
二、考点透视 5.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示 圆的充要条件: ①A=C≠0，②B=0，③D2+E2－4AF＞0. 6. 线段AB为直径的圆的方程：
( D , E ) 圆心, r D 2 E 2 4F .
22
2
8
二、考点透视 10.研究圆与直线的位置关系最常用的方法 ①判别式法； ②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系.
2021人教A版高考数学总复习《直线与圆、圆与圆的位置关系》
故圆心 C(0，0)到直线 l：ax＋by＋c＝0 的距离 d＝ a2|c＋| b2＝1＝r，故圆 C：x2 ＋y2＝1 与直线 l：ax＋by＋c＝0 相切，故选 A. 答案 A
规律方法 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系. (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断. (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.
答案 B
6.(多填题)(2019·浙江卷)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0 与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________. 解析 根据题意画出图形，可知 A(－2，－1)，C(0，m)，B(0，3)，
则|AB|＝ （－2－0）2＋（－1－3）2＝2 5，
位置关系 外离
外切
相交
内切
内含
图形
量的关系 __d_＞__R_＋__r_ _d_＝__R_＋__r_ _R_－__r_＜__d_＜__R_＋__r_ _d_＝__R_－__r_ _d_＜__R__－__r_
公切线条数
4
3
2
1
0
[常用结论与微点提醒] 1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋ (y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程 为x0x＋y0y＝r2.
考点一 直线与圆的位置关系
高考数学复习：直线与圆、圆与圆的位置关系
当直线y=x+b过点(0,3)时,b=3;
当直线y=x+b与y=3- 4x x2相切时,由点到直线的距离 公式,得2= 2 3 b ， 所以|b-1|=2 2 .结合图形知
2
b=1-2 2 . 所以1-2 2 ≤b≤3.
【状元笔记】 求直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何法:用圆的几何性质求解,运用弦心距、半径及 弦的一半表示的线段构成的直角三角形, 计算弦长|AB|=2 r2 d2 .
2.已知点P(2,2),点Q是曲线C:(x2+y2-1)(x2+y2-2)=0上 一动点,则|PQ|的最小值是________.
【解析】曲线C由两部分组成,圆M:x2+y2=1与圆 N:x2+y2=2,如图,
要使|PQ|最小,需点Q在圆N上且在直线OP上, 此时,|PQ|=|OP|- 2 = 2 , 所以|PQ|的最小值是 2 . 答案: 2
【解析】(1)选A.直线l:mx-y+1-m=0过定点(1,1),因为 点(1,1)在圆x2+(y-1)2=5的内部,所以直线l与圆相交.
【一题多解微课】 本例题(1)还可以采用以下方法求解: (几何法)选A.由题意知,圆心(0,1)到直线l的距离 d= m 1 5, 故直线l与圆相交.
m2 1
A.[1-2 2 ,1+2 2 ] C.[-1,1+2 2 ]
B.[1- 2 ,3] D.[1-2 2 ,3]
【解析】选D.因为y=3- 4x x2 ,所以1≤y≤3, 所以(x-2)2+(y-3)2=4(1≤y≤3),即曲线y=3- 4x x2 表示以(2,3)为圆心,2为半径的下半圆.直线y=x+b与 曲线y=3- 4x x2 有公共点,表示两曲线至少有一个公共 点.符合条件的直线应是夹在过点(0,3)和与下半圆相切 的两直线之间.
高考数学复习讲义：圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系
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[方法技巧]
求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程 2 方法
几 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)， 何 即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即 法 可求出k的值，进而写出切线方程 代 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)， 数 即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一 法 元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出
d＝|－11＋＋k32k|＝1，|－1＋ 3k|＝ 1＋k2，解得 k＝0 或 k＝ 3，
故选 D. 答案：D
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弦长问题
[典例] 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：x2＋y2－4x＝0 及点 A(－1,0)，B(1，2)．
2．(2019·黑龙江伊春三校联考)已知圆 C1：(x＋1)2＋(y－1)2 返回
＝1，圆 C2 与圆 C1 关于直线 x－y－1＝0 对称，则圆 C2
的方程为
()
A．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1
C 到直线 x＋y＋2＝0 的距离为|2＋22|＝2 2，可得 dmax＝2 2＋
r＝3 2，dmin＝2 2－r＝ 2.由已知条件可得|AB|＝2 2，所以 △ABP 面积的最大值为12|AB|·dmax＝6，△ABP 面积的最小值
为12|AB|·dmin＝2.综上，△ABP 面积的取值范围是[2,6]． 答案：A
(2)求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程．
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[解] 由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2)，
所以 AB 的垂直平分线方程为 y－2＝－(x－3)，
直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程知识点总结一、直线的方程1.直线的定义：直线是由一切与它上面两点P、Q相应的全体点构成的集合。
在坐标平面中，直线可以由一般式方程、对称式方程、斜截式方程、截距式方程等多种形式表示。
2.一般式方程：Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数，A和B不同时为0。
一般式方程表示直线的一种常用形式，它能够直观地反映直线的方向和位置。
3.对称式方程：(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)，其中(x1,y1)和(x2,y2)为直线上的两个点。
对称式方程通过给出直线上两个点的坐标，从而确定直线的方程。
4. 斜截式方程：y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
斜截式方程将直线的方程转化为了y和x的关系，便于直观地理解直线的特征。
5.截距式方程：x/a+y/b=1，其中a和b为直线与x轴和y轴的截距。
截距式方程能够直观地表达直线与坐标轴的交点，并通过截距反映直线的位置和倾斜情况。
二、圆的方程1.圆的定义：圆是平面上所有到定点的距离等于定长的点的轨迹。
在坐标平面中，圆可以由一般式方程、截距式方程、标准方程等多种形式表示。
2.一般式方程：(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径的长度。
一般式方程为圆的一种常用形式，能够直观地描述圆的位置和形状。
3.截距式方程：(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径的长度。
截距式方程通过圆的截距反映了圆的位置和形状。
4.标准方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F为常数。
通过圆的标准方程，可以直观地反映圆的位置、形状以及与坐标轴的交点等信息。
5. 圆的三角方程：由半径与直径、半径与斜边等关系来定义圆的方程，例如sinθ = r/l，其中θ为圆心角的弧度，l为圆弧的长度。
圆的三角方程常用于解决涉及圆的三角学问题。
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圆的方程与专题复习（直线与圆、圆与圆的位置关系、轨迹问题）
知识梳理
浙江省诸暨市学勉中学（311811）郭天平
圆的标准方程、一般方程与参数方程的推导与运用是这节内容的重点；涉及直线与圆、圆与圆的位置关系的讨论及有关性质的研究是这节的难点。
一、有关圆的基础知识要点归纳
1． 圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.定点即为圆心，定长为半径.
2． 圆的标准方程
① 圆的标准方程：由圆的定义及求轨迹的方法，得()()()022
2>=-+-r r b y a x ，其中圆心坐标为()b a ,，半径为r ；当0,0==b a 时，即圆心在原点时圆的标准方程为222r y x =+；
② 圆的标准方程的特点：是能够直接由方程看出圆心与半径，即突出了它的几何意义。
3． 圆的一般方程
①圆的一般方程：展开圆的标准方程，整理得，022=++++F Ey Dx y x ()0422>-+F E D ；
② 圆的一般方程的特点：（1）22,y x 项系数相等且不为0；（2）没有xy 这样的二次项
③ 二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的必要条件是0≠=C A 且0=B ；
二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是0≠=C A 且0=B 且042
2>-+AF E D
4． 圆的参数方程
圆的参数方程是由中间变量θ将变量y x ,联系起来的一个方程. ① 圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程是：θθ
θ(sin cos ⎩⎨⎧==r y r x 为参数）
；
② 圆心在()b a ,，半径为r 的圆的参数方程是：θθθ(sin cos ⎩
⎨⎧+=+=r b y r a x 为参数）； 5． 圆方程之间的互化
022=++++F Ey Dx y x ()0422>-+F E D
配方⇔4422222
2F E D E x D x -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+即圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--22E ，D ，半径F E D r 42122-+=⇔利用()()222sin cos r r r =+θθ得θθ
θ(sin cos ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x 为参数） 6． 确定圆方程的条件
圆的标准方程、圆的一般方程及参数方程都有三个参数，因此要确定圆方程需要三个独立的条件，而确定圆的方程我们常用待定系数法，根据题目不同的已知条件，我们可适当地选择不同的圆方程形式，使问题简单化。
如已知条件中涉及圆心与半径有关等条件，一般设圆的标准方程，即列出r b a ,,的方程组，求出r b a ,,的值，也可根据圆的特点直接求出圆心()b a ,，半径r 。
当圆心位置不能确定时，往往选择圆的一般方程形式，由已知条件列出F E D ,,的三个方程，显然前者解的是三元二次方程组，后者解的是三元一次方程组，在运算上显然设一般式比标准式要简单。
7． 点与圆的位置关系
设圆()()22
2:r b y a x C =-+-，点()00,y x M 到圆心的距离为d ，则有： (1)r d >⇔点M 在圆外； (2)r d = ⇔点M 在圆上； (3)r d < ⇔点M 在圆内．
8． 直线与圆的位置关系
设圆()()22
2:r b y a x C =-+-，直线l 的方程为0=++C By Ax （B A ,不全为0），圆心()b a ,，判别式为△，则有：
(1) 几何特征（数形结合）：由圆心到直线的距离d 与半径r 的大小来判断
① r d < ⇔直线与圆相交；
② r d = ⇔直线与圆相切；
③ r d >⇔直线与圆相离；
(2) 代数特征：由直线方程与圆方程联立方程组，研究其解的个数来判断位置关系 ① △＞0⇔有两组不同的实数解⇔ 直线与圆相交；
② △=0⇔有两组相同的实数解⇔ 直线与圆相切；
③ △＜0⇔无实数解⇔ 直线与圆相离.
(3) 直线与圆相交的弦长问题
①直线与圆相切时，要考虑过切点与切线垂直的半径；
②求弦长时，要用半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形，即设弦长为l ，弦心距
为d ，半径为r ，则有222
2r d l =+⎪⎭
⎫ ⎝⎛. ③弦长公式：设直线交圆于()()2211,,,y x B y x A ，则B A AB x x k AB -⋅+=21 或B A y y k
AB -⋅+=211. (4) 圆的切线方程： ① 设切点公式法：已知圆2
221:r y x O =+；()()2222:r b y a x O =-+-； 0:223=++++F Ey Dx y x O ，则以()00,y x M 为切点的圆1O 切线方程为：200r y y x x =+；圆2O 切线方程为：()()()()200r b y b y a x a x =--+--；圆3O 切线方程为：()()02
20000=++++++F y y E x x D yy xx . ②设切线斜率用判别式法：用点斜式写出直线方程并与圆方程联立方程组，消x （y ），再用判别式0=∆解出切线斜率k ；若点在圆上，切线一条，点在圆内无切线，点在圆外，有两条切线；对切线斜率不存在的情况，可单独考虑。
③设切线斜率用圆心到切线距离等于圆的半径法
④若()00,y x M 在圆1O 外，到圆1O 有两条切线，则切点弦方程：200r y y x x =+.
9．圆与圆的位置关系
设圆()()2221:r b y a x C =-+-，()()22
22:R n y m x C =-+-且设两圆圆心距为d .
(1) 几何特征（数形结合）：由圆心距与半径r 、R 的大小来判断
① r R d +=⇔两圆外切；
② r R d -= ⇔两圆内切且两圆的连心线过切点；
③ r R d +>⇔两圆外离；
④ r R d -<⇔ 两圆内含；
⑤ r R d r R +<<-⇔两圆相交．
(2) 代数特征：由两圆方程联立方程组，研究其解的个数来判断位置关系
① △＞0⇔有两组不同的实数解⇔ 两圆相交；
② △=0⇔有两组相同的实数解⇔ 两圆相切；
③ △＜0⇔无实数解⇔ 两圆相离.
10．两圆的公切线
① 两圆相离时，四条公切线； ② 两圆相外切时，有三条公切线；
③ 两圆相交时，有两条公切线； ④两圆相内切时，有一条公切线；
⑤ 两圆内含时，无公切线。
11．圆系方程
① 设两相交圆0:111221=++++F y E x D y x C
0:222221=++++F y E x D y x C
则λ+++++111223:F y E x D y x C 0
)(11122=++++F y E x D y x ()1-≠λ表示过
两圆交点的圆(不包括2C )；
当1-=λ时()()0212121=-+-+-F F y E E x D D 表示两圆的公共弦所在的直线方程.
②()022=+++++++c by ax F Ey Dx y x λ表示过圆022=++++F Ey Dx y x 与直线0=++c by ax 交点的圆.
③ ()()222k b y a x =-+-k (为变数）表示以()b a ,为圆心的同心圆系。
④ 端点圆方程：一个圆的直径的端点是()()2211,,,y x B y x A ，则
()()()()02121=--+--y y y y x x x x 为端点圆方程。
12．与直线和圆有关的轨迹问题
① 几何法：由于圆的几何性质特别明显和突出，因此在关于直线与圆有关的轨迹问题中，巧用几何性质，抓住动点的限制关系，这种方法同众多方法中最简单的；
② 交轨法：求两条直线、直线与曲线的交点的轨迹，首先选用的是交轨法，交轨法必须选定一个参数，选怎么样的一个参数最合理？具体问题具体对待. 用交轨法求轨迹方程简单、明了、直观，容易下手. 但真正的难处在于如何消去参数获得轨迹的一般方程，最一般的技巧就是怎么巧妙地借用已知曲线的方程来消去参数。
③ 转移法（代入法）：轨迹上的动点（被动点）受到另一动点（主动点）所制约，如果主动点的轨迹已知或可求得，而且主动点与被动点的关系也可以求出，简而言之是一种“点随点动型”，即将所求动点转移到已知曲线（或可求曲线）上，得所求动点的轨迹，称为转移（代入）法.
二、有关圆问题的注意事项
1．在用待定系数法求圆方程时，一定要注意分析已知条件中圆的特点及规律，并能运用数形结合的思想，即利用平面知识充分挖掘其几何特征，联立待定系数的方程组，使问题简单化。
2．在讨论直线与圆，圆与圆的位置问题时，一般不用0,0,0<∆=∆>∆，而用圆心到直线距离d 与半径r ，和圆心距与半径的大小关系，分别确定相交，相切，相离的位置关系。
3．涉及跟圆上的点有关的一些求取值范围、最值等问题，可利用圆的参数方程，转化为三角函数问题，可使问题简捷化。
4．要重视基本思想、方法、规律：如数形结合的思想、化归的思想、分类讨论的思想、函数与不等式的思想、待定系数法等.。