蒲丰投针实验样本空间的度量
蒲丰投针――MonteCarlo算法
蒲丰投针 ―― Monte Carlo 算法背景：蒙特卡罗方法（Monte Carlo ），也称统计模拟方法，是在二次世界大战期间随着科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为基础的一类非常重要的数值计算方法。
蒙特卡罗方法在应用物理、原子能、固体物理、化学、生态学、社会学以及经济行为等领域中得到广泛利用。
蒙特卡罗方法的名字来源于世界著名的赌城 —— 摩纳哥的蒙特卡罗。
其历史起源可追溯到1777年法国科学家蒲丰提出的一种计算圆周的方法 —— 随机投针法，即著名的蒲丰投针问题。
问题：设在平面上有一组平行线，间距为d ，把一根长L 的针随机投上去，则这根针和平行线相交的概率是多少？(其中 L < d )分析：由于 L < d ，所以这根针至多只能与一条平行线相交。
设针的中点与最近的平行线之间的距离为 y ，针与平行线的夹角为 θ (0 ≤ θ ≤ π)。
相交情形 不相交情形易知针与平行线相交的充要条件是：sin 2Ly x θ≤=由于1[0,], [0, ]2y d θπ∈∈，且它们的取值均满足平均分布。
建立直角坐标系，则针与平行线的相交条件在坐标系下就是曲线所围成的曲边梯形区域（见右图）。
所以有几何概率可知针与平行线相交的概率是sin d 2212LL p d d πθθππ==⎰Monte Carlo 方法：随机产生满足平均分布的 y 和 θ，其中1[0,], [0, ]2y d θπ∈∈，判断 y 是否在曲边梯形内。
重复上述试验，并统计 y 在曲边梯形内的次数 m ，其与试验次数 n 的比值即为针与平行线相交的概率的近似值。
clear;n = 100000; L = 1; d = 2; m = 0;for k = 1 : ntheta = rand(1)*pi; y = rand(1)*d/2;if y < sin(theta)*L/2m = m + 1; end endfprintf('针与平行线相交的概率大约为 %f\n', m/n)计算π的近似值利用该方法可以计算 π 的近似值：sin d 22 22 1n LL m p d m d L d n πθθπππ⇒≈==≈⎰下面是一些通过蒲丰投针实验计算出来的 π 的近似值：蒲丰投针问题的重要性并非是为了求得比其它方法更精确的π值，而是在于它是第一个用几何形式表达概率问题的例子。
几何概型与蒲丰投针问题
新教师教学课例研究在蒲丰提出投针问题之前，传统随机概型的事件个数是有限的。
蒲丰投针问题将随机事件的个数由有限拓展到无限，并据此提出了几何概型。
传统蒲丰投针问题的结果可以由微积分等多种方法解得，由于该结果包含无理数π，数学家们也用蒲丰投针过程来模拟估计π的值。
通过对蒲丰投针及其推广问题的解答过程的研究，可以进一步理解几何概型的含义，同时，通过研究数学家们对投针问题结果的应用，可以更好地理解不同领域之间的相互交叉和共同发展。
一、蒲丰投针问题的突破性提出与概率论发展史（一）概率论的起源概率论起源于赌博问题。
18世纪，雅各布.伯努利的《猜度术》和亚伯拉罕•棣莫弗的《机遇论》的诞生使得概率论具有了数学基础，这两本书中也给出了一系列计算复杂概率问题的方法。
伯努利证明了一系列基础的大数定理，这些定理表明在大量的随机试验中，平均结果很可能趋近于均值。
在很长的一段时间里，概率论的研究对象都是有限个离散的随机事件，直到蒲丰投针问题提出，数学家们的研究对象才从古典概型扩展到了几何概型。
（二）蒲丰投针的突破性提出及其意义古典概型是指包含有限个等可能随机事件的概率模型，在很长一段时间内是数学家们的研究主题。
1777年法国科学家蒲丰提出了著名的蒲丰投针问题，将随机事件的个数从有限拓展到无限，并据此提出了几何概型。
后来数学家们将投针问题扩展到投小圆片等，这一类问题都被称之为“蒲丰问题”。
这些问题都具有无限个等可能的随机事件。
因为蒲丰投针问题的结果恰好和π相关，而当时人们普遍关注π的近似计算，因此蒲丰投针问题获得了很大进展。
曾经有数学家自己进行数千次投针实验，利用频率近似等于概率的思想得到无理数π的近似值。
在蒲丰提出投针问题的时候，数学家们并没有预料到这个突破性地引出了几何概型的经典问题，在未来会被如此之多地应用到无理数π的近似求解中。
二、蒲丰投针问题及其推广（一）经典蒲丰投针问题及其解答经典的蒲丰投针问题是：在平面上有一组间距为a 的平行线，将一根长度为l 的针（l a ）随机地投掷到平面上，求针和平行线相交的概率。
概率论与数理统计课件：1-4 概率论的基本概念 补充内容 几何概型
几何概型的例子
例1 蒲丰（Buffon）投针问题
平面上画有间隔为d 的等距平行线，
向平面任意投掷一枚长为l (l<d) 一条平行线的
距离，又以表示针与此直线间的交角.
易知样本空间S满足：
0 x d/2; 0 . S形成x-平面上的一个矩形，其面积为：
几何概率的计算公式
随机事件 A 包含的样本点测度 P (A ) = ———————————————
样本空间 S 包含的样本点测度
关于“测度”( measure )的理解 1. “测度” 是一个数学概念，它是我们现实生活中的
“度量” 概念的数学抽象 ( 一种集合函数 ) 。 2. 几何概率里的测度一般取为长度、面积、体积等等。 3. 古典概型中的 “样本点个数” 也是一种测度。
C
D
圆面积的1/4，故所求概率等于
1/4(见图)。
同一问题有三种不同的答案，细究其原因，发现是在
4. 前面课程中对 “概率” 的定义就是一种测度定义。
几何概率的基本性质
从几何概型的概率研究中，我们发现概率有下面三个基 本性质：
⑴对于任何事件A,P(A)≥0； ⑵P(S)=1； ⑶若A1 ，A2 ，… 两两互不相容，则
P An P( An ) n1 n1
第一个性质称为概率的非负性，第二个性质称为概率 的规范性，第三个性质称为概率的可列可加性。前两个性质 与古典概率相同，后一个性质则要求对可列个两两互不相容 的事件成立。
B A
N
[解法二] 弦长只跟它与圆心的距离有
关，而与方向无关，因此可以假定它
A
C 1/2 B
垂直于某一直径。当且仅当它与圆心
1/2
的距离小于1/2时，才满足要求，因
投针试验--北师大版
——毕达哥拉斯
义务教育课程标准实验教科书 九年级 上 册
6.2
投 针 试 验
温二十中
你闻到了吗？
相信自己，勇 敢的表达自己 的想法！
课外冲浪
蒲丰投针法国自然哲学家蒲丰先生经 常搞点有趣的试验给朋友们解闷。 1777年的一天，蒲丰先生又在家里 为宾客们做一次有趣的试验，他先在 一张白纸上画满了一条条距离相等的 平行线。然后，他抓出一大把小针， 每根小针的长度都是平行线之间距离 的一半。蒲丰说：“请诸位把这些小 针一根一根地往纸上随便扔吧。”客 人们好奇地把小针一根一根地往纸上 乱扔。
π的试验值
3.159 6 3.155 4 3.137 3.159 5 3.141 592 9 3.17 5
课外冲浪
用计算机实现统计模拟或抽 样，以获得问题的近似解，称为 蒙特卡罗(Monte Carlo)方法， 又称统计模拟法或统计试验法。 它是以概率和统计的理论为基础 的一种计算方法，他将所求解的 问题与一定的概率模型相联系。
准确、美观、独特、创新…的制作表1
Just do it!
分工合作：统计全班的试验数据 实验次数 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1700
相交频数 相交频率
请每组同学利用全班的试验数据制作折线统计图； 通过本次试验、统计的过程，你什么发现和感想吗？
投针试验的历史资料
我的课堂，我做主
小组讨论： 用几句话归纳这节课的几个环节 完成了这节课的学习，对我影响最深的学 习体验是什么？
这节课还存在的疑惑是什么？又将如何去解决？
课外冲浪
最后蒲丰宣布结果：大家共投针2212次， 其中与直线相交的就有704次。用704去除2212， 得数为3.142。他笑了笑说：“这就是圆周率π 的近似值。”这时，众宾客哗然：“圆周率π? 这根本和圆沾不上边呀?”蒲丰先生却好像看透 了众人的心思，斩钉截铁地说：“诸位不用怀 疑，这的确就是圆周率π的近似值。你们看，连 圆规也不要，就可以求出π的值来。只要你有耐 心，投掷的次数越多，求出的圆周率就越精 确。”这就是数学史上有名的“投针试验”。
蒲丰
爵封.
一位古稀老人喜惊满座的故事—投针实验 1777年的一天,法国数学家蒲丰忽发奇想, 邀请了许多亲朋好友来到他家里.他要做一个 实验.蒲丰事先准备好一张白纸铺在桌上,纸 上画满了一条条距离相等的平行线.他又拿出 许许多多的小针,小针的长度刚好等于相邻两 条平行直线之间距离的一半. 实验开始了,蒲丰让客人把小针一根一根随 手往纸面上投去,这些针有的落在白纸上的两 条平行直线之间,不与直线相交,有的orge-Louis Leclerc de Buffon）
蒲丰是法国数学家、自然科学家.1707年 9月7日生于蒙巴尔；1788年4月16日卒 于巴黎.蒲丰10岁时在第戎耶稣会学院读
书，16岁主修法学，21岁到昂热转修数
学，并开始研究自然科学，特别是植物
学.1733年当选为法国科学院院士，1739
蒲丰关心的是针与直线相交的情况.他在一 旁数着投针的次数和相交的次数.结果,共投 针2212次,与直线相交的有704次,蒲丰做了一 个简单的除法：2212÷704≈3.142.他宣布这就 是π 的近似值,众人惊讶不已. 这就是著名的蒲丰投针问题.后来他把这个 试验写进了他的论文《或然性算术尝试》中.
x
a
l x= 2 sin
G
x
o g
蒲丰于1740年翻译了牛顿的《流数法》，并 探讨了牛顿和莱布尼茨发现微积分的历史. 蒲丰还以研究自然博物史著称，他集多年研 究成果编成巨著《自然史》（44卷，蒲丰生 前出版了36卷，后8卷由他的学生完成.）他 是第一个对地质史划分时期的科学家，他还 首次提出太阳与彗星碰撞产生行星的理论. “蒲丰于1777年给出了第一个几何概率的例子.” ──伊夫斯
蒲丰投针问题概率求法
蒲丰投针问题概率求法
蒲丰投针问题是一个经典的几何概率问题，可以通过以下步骤求解：
1.取一张白纸，在上面画上许多条间距为a的平行线。
2.取一根长度为l（l≤a）的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n
次，观察针与直线相交的次数，记为m。
计算针与直线相交的概率。
根据蒲丰投针问题的原理，这个概率可以表示为：P = m/n * (l/a)。
其中，P是针与直线相交的概率，m是针与直线相交的次数，n是投针的总次数，l是针的长度，a是平行线的间距。
通过这个公式，我们可以求出蒲丰投针问题的概率。
需要注意的是，这个方法只适用于长度较短的针，并且平行线的间距要远远大于针的长度。
如果平行线的间距小于针的长度，那么这个方法就不再适用。
蒲丰投针概率推导过程
蒲丰投针概率推导过程蒲丰投针是一个经典的概率问题，它的推导过程非常有趣。
本文将从一个人的视角进行叙述，以增加读者的情感共鸣。
我要向大家介绍一下蒲丰投针的背景和问题。
蒲丰投针是由法国数学家蒲丰在18世纪提出的，他提出了一个问题：如果有一根长度为L的针，将其随机地投在一块有平行线的地板上，那么这根针与平行线相交的概率是多少？现在，让我们来推导一下这个概率。
首先，我们需要假设一些条件。
假设针的长度L小于等于平行线的间距D，且针的中点与平行线之间的距离为x（0<=x<=D/2）。
这样，我们可以将针的位置分为两种情况：一种是针与平行线相交，另一种是针与平行线不相交。
让我们来计算针与平行线不相交的情况。
在这种情况下，针的中点到最近的平行线的距离大于针的半径。
针的半径可以用L/2来表示，所以针的中点到最近的平行线的距离大于L/2。
我们可以将这个问题转化为一个几何问题，即计算一个长度为L/2的线段与两条平行线之间不相交的概率。
假设针的中点到最近的平行线的距离为y（L/2<=y<=D/2），那么不相交的情况可以表示为y >= L/2。
由于y的取值范围是L/2到D/2，所以不相交的概率可以表示为 (D/2 - L/2)/(D/2)。
接下来，让我们来计算针与平行线相交的情况。
在这种情况下，针的中点到最近的平行线的距离小于等于针的半径。
也就是说，针的中点到最近的平行线的距离小于等于L/2。
我们可以将这个问题转化为一个几何问题，即计算一个长度为L/2的线段与两条平行线之间相交的概率。
假设针的中点到最近的平行线的距离为y（0<=y<=L/2），那么相交的情况可以表示为y <= L/2。
由于y的取值范围是0到L/2，所以相交的概率可以表示为 (L/2)/L/2。
现在，我们可以将不相交的概率和相交的概率相加，得到针与平行线相交的概率。
即 P = (D/2 - L/2)/(D/2) + (L/2)/L/2。
拓展资料-蒲丰投针及蒙特卡罗模拟
概率模型的随机模拟与蒲丰投针实验第1章模拟** 模拟的概念每一个现实系统外部环境之间都存在着一定的数学的或者逻辑的关系，这些关系在系统内部的各个组成部分之间也存在。
对数学、逻辑关系并不复杂的模型，人们一般都可用解析论证和数值计算求解。
但是，许多现实系统的这种数学、逻辑模型十分复杂，例如大多数具有随机因素的复杂系统。
这些系统中的随机性因素很多，一些因素很难甚至不可以用准确的数学公式表述，从而无法对整个系统采用数学解析法求解。
这类实际问题往往可以用模拟的方法解决。
模拟主要针对随机系统进行。
当然，也可以用于确定性系统。
本文讨论的重点是其中的随机模拟。
采用模拟技术求解随机模型，往往需要处理大批量的数据。
因此，为了加速模拟过程，减少模拟误差，通常借助于计算机进行模拟，因此又称为计算机模拟。
计算机模拟就是在已经建立起的数学、逻辑模型的基础之上，通过计算机试验，对一个系统按照一定的决策原则或作业规则，由一个状态变换为另一个状态的行为进行描述和分析。
** 模拟的步骤整个模拟过程可以划分为一定的阶段，分步骤进行。
(1)明确问题，建立模型。
在进行模拟之前，首先必须正确地描述待研究的问题，明确规定模拟的目的和任务。
确定衡量系统性能或模拟输出结果的目标函数，然后根据系统的结构及作业规则，分析系统各状态变量之间的关系，以此为基础建立所研究的系统模型。
为了能够正确反映实际问题的本质，可先以影响系统状态发生变化的主要因素建立较为简单的模型，以后再逐步补充和完善。
(2)收集和整理数据资料。
模拟技术的正确运用，往往要大量的输入数据。
在随机模拟中，随机数据仅靠一些观察值是不够的。
应当对具体收集到的随机性数据资料进行认真分析。
确定系统中随机性因素的概率分布特性，以此为依据产生模拟过程所必需的抽样数据。
(3)编制程序，模拟运行。
选择适当的计算机语言。
按照系统的数学、逻辑模型编写计算机程序。
然后可以进行调试性模拟，分析模拟结果是否能够正确地反映现实系统的本质。
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蒲丰投针实验样本空间的度量
蒲丰投针实验是一种用于估计圆周率的经典实验。
在这个实验中，我们将一根长度为L的针随机地投掷到一块平面上，该平面上有一系列平行线，这些线之间的距离为d（d大于等于L）。
实验的目标是通过统计针与线相交的次数来估计圆周率π的值。
样本空间是指所有可能结果组成的集合。
在蒲丰投针实验中，样本空间可以定义为所有可能的针与线相交或不相交情况的集合。
为了更好地理解样本空间及其度量，在下面我们将对蒲丰投针实验样本空间进行详细讨论。
1. 针与线是否相交：
- 相交：当针与至少一条线相交时，记为事件A。
- 不相交：当针没有与任何线相交时，记为事件B。
2. 针与线相交的方式：
- 完全横过：当针完全横过一条线时，记为事件C。
- 仅部分横过：当针只横过部分线时，记为事件D。
3. 针与线相交位置：
- 针中心距离最近线段较远端点小于L/2：记为事件E。
- 针中心距离最近线段较远端点大于等于L/2：记为事件F。
通过对样本空间的划分，我们可以得到以下事件的关系：
- 事件A = 事件C + 事件D
- 事件D = 事件E + 事件F
在蒲丰投针实验中，我们通常关注的是针与线相交的次数。
通过统计
相交次数和总投掷次数之比，可以得到圆周率π的估计值。
这个估计
值可以用以下公式表示：
π ≈ (2L)/(d * P(A))
其中，P(A)是事件A发生的概率，即针与线相交的概率。
P(A)可以通
过实验中统计相交次数和总投掷次数之比来估计。
在进行蒲丰投针实验时，我们需要选择合适的样本空间度量来确保结
果的准确性。
常见的度量方式包括：
1. 针长L：针长是一个重要的度量因素，它决定了针能否完全横过一
条线。
选择合适的针长对于结果准确性至关重要。
2. 线间距d：线间距也是一个重要因素，它决定了针与线相交的概率。
选择合适的线间距可以使实验结果更加稳定和准确。
3. 投掷次数：进行足够多的投掷次数可以增加统计结果的可靠性。
通常，我们会进行大量的投掷以获得更准确的圆周率估计值。
4. 实验环境：保持实验环境的一致性也是非常重要的。
保持平面表面
光滑、针材质均匀等。
在实际进行蒲丰投针实验时，我们需要注意以下几点：
1. 随机性：投掷针的位置应该是随机的，以确保样本空间中所有可能
情况都被覆盖到。
2. 统计：需要记录每次投掷中针与线相交的次数，并最终计算出圆周
率π的估计值。
3. 重复性：为了提高结果的准确性，需要进行多次实验，并取平均值
作为最终结果。
总结起来，蒲丰投针实验样本空间的度量主要包括针长、线间距、投
掷次数和实验环境等因素。
通过选择合适的度量方式并进行统计分析，我们可以得到对圆周率π的估计值。
这个实验不仅有助于理解概率和
统计的基本概念，还能帮助我们探索数学与实验的结合。