高中数学-立体几何-空间中的平行和垂直关系
平行关系、垂直关系
有关垂直关系的证明方法：
2、线面垂直
（1）利用线面垂直的判定定理
（2）利用面面垂直的性质定理
（3）利用向量法
有关垂直关系的证明方法：
3、面面垂直 （1）利用面面垂直的定义
（2）利用面面垂直的判定定理
1、空间四面体ABCD中，若AB=BC， AD=CD，E为AC的中点，则有( 4 ）
A E D B C
空间两条直线的位置关系有三种：
位置关系 相交直线 平行直线 共面情况 在同一平面内 在同一平面内 公共点个数 有且只有一个 没 有 没 有
异面直线 不同在任何一平面内
证明三点共线通常采用以下方法： (1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面 的公共点，根据基本性质2，这些点都在交线上． (2)由其中任意两点确定一条直线，再证另一点在这条直 线上．
D F G
A
B
C
E
练习
1.已知：ABCD为正方形，SD⊥平面AC，
问：图中所示的7个平面中，共有多少个平面互相垂直？
1.平面SAD⊥平面ABCD S
2.平面SBD⊥平面ABCD
3.平面SCD⊥平面ABCD 4.平面SAD⊥平面SCD 5.平面SBC⊥平面SCD 6.平面SAB⊥平面SAD
D A O
AD ⊥面BCD
AD ⊥BC DE
④
线面垂直
② ③
线线垂直
例 2、已知在正方体ABCD—A ′B ′C ′D ′中，E 为CC′中点，F为AC和BD的交点，
求证：A′F
⊥平面BED
D′ B′ D F A B P C′ E
（方法一）转化为平面几何 （方法二）三垂线定理
一. 平行直线 1. 平行直线的定义：同一平面内不相交的 两条直线叫做平行线. 2. 平行性质：过直线外一点有且只有一条 直线和这条直线平行. 3. 公理4：平行于同一直线的两条直线互相 平行，此性质又叫做空间平行线的传递性.
高三数学立体几何复习：空间中的垂直关系 知识精讲 人教实验版(B)
高三数学立体几何复习：空间中的垂直关系知识精讲人教实验版（B）【本讲教育信息】一. 教学内容：立体几何复习：空间中的垂直关系二. 教学目的掌握空间中的垂直关系及其应用三. 知识分析【知识梳理】【空间中的垂直关系】1、空间任意直线互相垂直的一般定义如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为90°，则称这两条直线互相垂直．2、直线与平面垂直（1）空间直线与平面垂直的定义：如果一条直线（AB）和一个平面（α）相交于点O，并且和这个平面内过交点（O）⊥，直线AB叫做的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作ABα平面的垂线，平面α叫做直线的垂面，交点叫做垂足．垂线上任一点到垂足间的线段，叫做这点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这点到平面的距离．（2）直线与平面垂直的判定定理：定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面．（3）直线与平面垂直的性质定理：定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．另外，一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的所有直线都垂直．3、平面与平面的垂直（1）定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．平面α、β互相垂直，记作αβ⊥．（2）平面与平面垂直的判定定理：定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．（3）平面与平面垂直的性质定理定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．★★几点说明★★1、直线和平面垂直、平面和平面垂直是直线与平面、平面与平面相交的特殊情况，对这种特殊位置关系的认识，既可以从直线和平面、平面和平面的交角为90°的角度讨论，又可以从已有的线线垂直、线面垂直关系出发进行推理和论证，还可以利用向量把几何推理和论证过程转化为代数运算过程．2、无论是线面垂直还是面面垂直，都源自于线与线的垂直，这种转化为“低维”垂直的思想方法，在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的垂直关系，从而架起已知与未知之间的“桥梁”。
立体几何平行垂直的证明方法
立体几何平行垂直的证明方法在立体几何中，平行和垂直是两个重要的概念。
平行指的是两条直线或两个平面在平面内没有交点，而垂直则表示两条直线或两个平面之间存在90度的夹角。
在解决立体几何问题时，我们常常需要证明两条线段或两个平面是否平行或垂直。
本文将介绍几种常用的证明方法，帮助读者更好地理解立体几何中平行和垂直的性质。
一、平行线的证明方法1. 共面法：若两条直线在同一个平面内且没有交点，则它们是平行线。
要证明两条直线平行，我们可以找到一个共同的平面，使得这两条直线在该平面内且没有交点。
通过构建图形或使用法向量等方法，可以证明两条直线共面且没有交点，从而得出它们是平行线的结论。
2. 平行线定理：若两条直线与第三条直线分别平行，则这两条直线也是平行线。
这一方法常用于证明平行线的性质，通过构建平行线与其他直线的交点关系，可以得出所求结论。
3. 平行线的性质：在平面几何中，平行线具有很多性质。
常见的平行线定理包括等角定理、同位角定理、内错角定理等。
通过运用这些性质，可以证明两条直线平行。
二、垂直关系的证明方法1. 垂直定理：若两条直线互相垂直，则构成的四个角中有两个互为相应角。
根据这一定理，我们可以通过证明两个角互为相应角，从而得出两条直线互相垂直的结论。
2. 垂线定理：若两条直线互相垂直，则它们的斜率之积等于-1。
这一方法常用于证明两条直线垂直的情况。
通过计算两条直线的斜率，如果它们的斜率之积等于-1，则可以得出它们垂直的结论。
3. 垂直角的性质：在平面几何中，垂直角的性质是我们常用的性质之一。
两条直线垂直时，其错角是互相垂直的。
通过构建直线的错角，可以证明所求的两条直线垂直关系。
三、平面的平行和垂直关系的证明方法1. 共面定理：在空间几何中，三条或三条以上的直线如果在同一个平面内，则它们是共面的。
通过在空间中构建直线和平面的关系，可以证明所求直线是否共面。
2. 平行平面定理：若两个平面各与第三个平面平行，则这两个平面也是平行的。
立体几何中的向量方法——平行与垂直关系
3.2立体几何中的向量方法导学案第1课时(平行与垂直关系）【学习目标】1.直线的方向向量与平面的法向量的概念及求法；2.用向量研究平行、垂直关系.【重点难点】1.求直线的方向向量与平面的法向量；用向量研究平行、垂直关系；用向量研 究平行、垂直关系.1.直线的方向向量： 图示：注：直线的方向向量不唯一，但它们都是 向量.2.平面的法向量： 图示：注：平面的法向量不唯一，但它们都是 向量. 3.空间平行与垂直关系： （1）直线与直线平行：设直线m l ,的方向向量分别为111222(,,),(,,)a a b c b a b c ==r r，则⇔m l // ⇔ ⇔ .（2）直线与平面平行：设直线l 的方向向量为111(,,)a a b c =r ，平面α的法向量为111(,,)u x y z =r，则 ⇔α//l ⇔ ⇔（3）平面与平面平行：设平面βα,的法向量分别为111222(,,),(,,)u x y z v x y z ==r r则⇔βα// ⇔ ⇔ .（4）直线与直线垂直：设直线m l ,的方向向量分别为111222(,,),(,,)a a b c b a b c ==r r，则⇔⊥m l ⇔ ⇔ .（5）直线与平面垂直：设直线l 的方向向量为111(,,)a a b c =r ，平面α的法向量为111(,,)u x y z =r，则 ⇔⊥αl ⇔ ⇔ .（6）平面与平面垂直：设平面βα,的法向量分别为111222(,,),(,,)u x y z v x y z ==r r则⇔⊥βα ⇔ ⇔ .同步强化练习：(1)设a r ，b r分别是直线l 1，l 2的方向向量，根据下列条件判断l 1与l 2的位置关系：①a r ＝(2，3，－1)， b r ＝(－6，－9，3)； （ ） ②a r ＝(5，0，2)， b r ＝(0，4，0)； （ ） ③a r＝(－2，1，4)， b r＝(6，3，3)．（）(2)设u r 是平面α的法向量，a r是直线l 的方向向量，根据下列条件判断α和l 的位置关系：①u r ＝(2，2，－1)， a r＝(－3，4，2)；（ ）②u r ＝(0，2，－3)， a r＝(0，－8，12)； （ ） ③u r ＝(4，1，5)， a r＝(2，－1，0)． （ ） (3)设u r ，v r分别是平面α，β的法向量，根据下列条件判断α，β的位置关系：①u r ＝(1，－1,2)， v r ＝(3，2，－12)；（ ） ②u r＝(0，3，0)， v r＝(0，－5，0)； （ ） ③u r＝(2，－3，4)，v r＝(4，－2，1)．（）探究1：求平面的法向量 例1 在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求平面ACD 1的一个法向量n r.变式训练1：在如图所示的坐标系中，ABCD-A 1B 1C 1D 1为正方体,给出下列结论：其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4探究2：向量法证明平行、垂直问题例2 如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为AB 、B 1C 的中点． （1）证明平面A 1BD ∥平面B 1CD 1；（2）证明MN ⊥面A 1BD ．变式训练2-1：如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，E ，F 分别是AB ，PD 的中点，若6,3===CD AD PA .（1）求证：AF ∥平面PCE （2）求证：平面PCE ⊥平面PCD变式训练2-2：如图,在正方体AC 1中,O 为底面ABCD 的中心,P 是DD 1的中点.设Q 是CC 1上的 点.当点Q 在什么位置时,平面D 1BQ ∥平面PAO?。
易错点12 立体几何中的平行与垂直(解析版)
易错点12 立体几何中的垂直与平行在立体几何中，点、线、面之间的位置关系，特别是线面、面面的平行和垂直关系，是高中立体几何的理论基础，是高考命题的热点与重点之一，一般考查形式为小题(位置关系基本定理判定)或解答题(平行、垂直位置关系的证明)，难度不大。
立体几何中平行与垂直的易错点易错点1：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大。
易错点2：有关线面平行的证明问题中，对定理的理解不够准确，往往忽视",//,"a a b b αα⊄⊂三个条件中的某一个。
易错点3：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大；题组一：基本性质定理 1．（2021年浙江卷）已知正方形1111ABCD A B C D -，,M N 分别是11,A D D B 的中点，则（ ）. A ．直线1A D 与直线1D B 垂直，直线//MN 平面ABCD B ．直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD B C ．直线1A D 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCDD ．直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD B【答案】A【解析】如图，连结1AD ，//,MN AB ∴//MN 平面ABCD ，1,AB A D ⊥11A D AD ⊥，1A D ∴⊥平面1AD B ，11A D D B ∴⊥2．（2021新高考1卷多选题）在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则A ．当1λ=时，1AB P △的周长为定值 B ．当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值 C ．当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥ D ．当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P【答案】BD【解析】由点P 满足1BP BC BB λμ=+，可知点P 在正方形11BCC B 内．A 选项，当1λ=时，可知点P 在线段1CC （包括端点）上运动．1AB P △中，1AB =AP =1B P =1L AB AP B P =++不为定值，所以选项A 错误；B 选项，当1μ=时，可知点P 在线段11BC （包括端点）上运动．由图可知，线段11B C //平面1A BC ，即点P 到平面1A BC 的距离处处相等，1A BC △的面积是定值，所以三棱锥1P A BC -的体积为定值，所以选项B 正确；BCC 1B 1PABC A 1B 1C 1PABCA 1B 1C 1PC 选项，当12λ=时，分别取线段BC ，11B C 中点为D ，1D ，可知点P 在线段1DD （包括端点）上运动．很显然若点P 与D 或1D 重合时，均满足题意，所以选项C 错误．D 选项，当12μ=时，分别取线段1BB ，1CC 中点为M ，N ，可知点P 在线段MN （包括端点）上运动．此时，有且只有点P 与N 点重合时，满足题意. 所以选项D 正确．因此，答案为BD.3.（2019全国Ⅲ理8）如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则（ ）A ．BM =EN ，且直线BM 、EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM 、EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 【答案】B【解析】 如图所示，联结，.因为点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，所以平面，平面，因为是中边上的中线，是中边上的中线，直线，是相交直线，设，则，ABCA 1B 1C 1D D 1PAB C A 1B 1C 1MNP A BCA 1B 1C 1MN(P)BE BD N ABCD ECD △ECD ⊥ABCD M ED BM ⊂BDE EN ⊂BDE BM BDE △DE EN BDE △BD BM EN DE a =2BD a =， 所以，， 所以．故选B ．4.（2019全国Ⅱ理7）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 【解析】 对于A ，内有无数条直线与平行，则与相交或，排除； 对于B ，内有两条相交直线与平行，则；对于C ，，平行于同一条直线，则与相交或，排除； 对于D ，，垂直于同一平面，则与相交或，排除．故选B ．题组二：线面平行5. （2021天津卷）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点．（1）求证：1//D F 平面11A EC ；【解析】（1）以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系， 则()0,0,0A ,()10,0,2A ,()2,0,0B ,()2,2,0C ,()0,2,0D ,()12,2,2C ,()10,2,2D ， 因为E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点，所以()2,1,0E ，()1,2,0F ， 所以()11,0,2D F =-,()112,2,0A C =,()12,1,2A E =-, 设平面11A EC 的一个法向量为()111,,m x y z =，则11111111222020m x y m AC E x y A z ⎧⋅+=⎪⎨⋅+-=⎪==⎩，令12x =，则()2,2,1m =-， 因为1220m D F ⋅-==，所以1D F m ⊥， 因为1D F ⊄平面11A EC ，所以1//D F 平面11A EC ；6．（2017新课标Ⅱ）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面三角形ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=，E 是PD 的中点． (1) 证明：直线CE ∥平面PAB ；BE ==BM=EN a ==BM EN ≠αβαββα∥αββα∥αβαββα∥αβαββα∥【解析】（1）取PA的中点F，连结EF，BF．因为E是PD的中点，所以EF AD∥，12EF AD=．由90BAD ABC∠=∠=得BC AD∥，又12BC AD=，所以EF BC∥，四边形BCEF是平行四边形，CE BF∥，又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，故CE∥平面PAB．7.（2019全国Ⅰ理18）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；【解析】（1）连结B1C，ME．因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME=B1C．又因为N为A1D的中点，所以ND=A1D．由题设知A1B1DC，可得B1C A1D，故ME ND，因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．又MN平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．题组三线线垂直8.（2021全国甲卷理）已知直三棱柱111CBAABC-中，侧面BBAA11为正方形，FEBCAB，，2==分别为AC和1CC的中点，D为棱11BA上的点，11BABF⊥．（1）证明：DEBF⊥；【解析】（1）因为E F，是直三棱柱111ABC A B C-中AC和1CC的中点，且2AB BC==，所以15CF BF==，，连结AF，由11BF A B⊥且11//AB A B，则BF AB⊥，于是3AF=，所以，22AC=，由222AB BC AC+=，则BA BC⊥，故如图右图所示，建立空间直角B xyz-坐标系：EMDCBAP1212===⊄于是(2,0,0)(0,0,0)(0,2,2)(1,1,0)(0,2,1)A B C E F ，，，，， 设1B D m =，则(,0,2)D m ．于是，(0,2,1)BF =，(1,1,2)DE m =-- 由BF⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0可得BF ⊥DE ；9.（2021全国甲卷理）已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧面AA 1B 1B 为正方形．AB ＝BC ＝2，E ，F 分别为AC 和CC 1的中点，BF ⊥A 1B 1． (1)略(2)已知D 为棱A 1B 1上的点，证明：BF ⊥DE ． 【解析】(2)取BC 中点M ，连接EM ，1MB ，1EA ， 因为,E F 分别为1AC CC ，的中点，所以//EM AB ，因为11//A B AB ，所以11//EM A B ，所以11,,,E M B A 四点共面， 因为侧面11AA B B 为正方形，所以1BB AB =，又AB BC =，所以1BB BC =，所以侧面11BB C C 为正方形， 又F 为1CC 中点，M 为BC 中点，由平面几何知识可知1BF B M ⊥， 又11A B BF ⊥，1111B MA B B =，所以BF ⊥平面11EMB A ，而DE ⊆平面11EMB A ，所以BF DE ⊥.10．（2021新高考1卷）如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点．（1）证明：OA CD ⊥；【解析】（1）因为在ABD △中，AB AD =，O 为BD 中点，所以AO BD ⊥， 因为平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD 平面=BCD BD ，AO ⊂平面ABD ，AO BD ⊥，所以AO ⊥平面BCD ，又因为CD ⊂面BCD ，所以AO CD ⊥．11．(2021浙江卷)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120ABC ∠=︒，1AB =，4BC =，PA =M ，N 分别为BC ，PC 的中点，PD DC ⊥，PM MD ⊥．（1）证明：AB PM ⊥；（2）求直线AN 与平面PDM 所成角的正弦值．【解析】（1）因为ABCD 是平行四边形，∠ABC =120°，AB =1，所以60DCB ∠=︒，AB ∥DC ，DC =AB =1．因为M 为BC 中点，BC =4，所以CM =2．在DCM △中，由余弦定理得22212cos601422132DM DC CM DC CM =+-⋅⋅︒=+-⨯⨯⨯=所以DM =90CDM ∠=︒，所以DM DC ⊥，因为PD DC PDMD D PD PDM MD PDM ⊥=⊂⊂，，面，面，所以DC PDM ⊥面，所以DC PM ⊥．因为PM MD ⊥，DC MD D DC ABCD MD ABCD =⊂⊂，面，面，所以PM ABCD ⊥面，所以AB PM ⊥．题组四：线面垂直 12．（2016全国II ）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5AB =，6AC =，点E ，F 分别在AD ，CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H ．将ΔDEF 沿EF折到ΔD EF '的位置，OD '=（I ）证明：D H '⊥平面ABCD ；【解析】（I ）证明：∵54AE CF ==，∴AE CF AD CD =，∴EF AC ∥． ∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，∴EF BD ⊥， ∴EF DH ⊥，∴EF D H '⊥．∵6AC =，∴3AO =；又5AB =，AO OB ⊥，∴4OB =，∴1AEOH OD AO =⋅=，∴3DH D H '==， ∴222'OD OH D H '=+，∴'D H OH ⊥．又∵OHEF H =，∴'D H ⊥面ABCD ．13．(2018全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥-P ABC中，==AB BC PA PB PC ===4AC =，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；【解析】(1)因为4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥，且OP =连结OB．因为AB BC AC ==，所以ABC △为等腰直角三角形， 且OB AC ⊥，122OB AC ==．由222OP OB PB +=知PO OB ⊥． 由⊥OP OB ，⊥OP AC 知PO ⊥平面ABC ．14.（2019全国Ⅱ理17）如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；【解析】 （1）由已知得，平面，平面，O MPCBA11B C ⊥11ABB A BE ⊂11ABB A故．又，所以平面．题组五：面面垂直15.（2021新高考2卷）在四棱锥Q ABCD-中，底面ABCD是正方形，若2AD=，QD QA==，3QC=，（1）证明：平面QAD⊥平面ABCD；【解析】（1）证明：取AD的中点M，连接,QM CM，QD QA=，∴QM AD⊥2QM==，CM3QC=，222QC QM CM∴=+，∴QM CM⊥又,AD CM⊂平面ABCD，AD CM M⋂=所以QM⊥平面ABCD，又QM⊂平面QAD，所以平面QAD⊥平面ABCD.16（2019全国Ⅲ理19）图1是由矩形ADEB、R t△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；11B C⊥BE1BE EC⊥BE⊥11EB CAB CDQMHAB CDQ【解析】 （1）由已知得AD BE ，CG BE ，所以AD CG ，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面．由已知得AB BE ，AB BC ，故AB 平面BCGE ． 又因为AB 平面ABC ，所以平面ABC 平面BCGE ． 17．（2018全国卷Ⅰ）如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥． (1)证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；【解析】(1)由已知可得，BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，所以BF ⊥平面PEF ．又BF ⊂平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD ．18．（2018全国卷Ⅲ）如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；【解析】(1)由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ．因为BC ⊥CD ，BC 平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM ．因为M 为CD 上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以 DM ⊥CM ． 又BC CM =C ，所以DM ⊥平面BMC ．而DM 平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC ．1．已知平面α，直线m ，n 满足m α⊄，n α⊂，则“m ∥n ”是“m ∥α”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】若m α⊄，n α⊂，m ∥n ，由线面平行的判定定理知m ∥α．若m ∥α，m α⊄，n α⊂，不一定推出m ∥n ，直线m 与n 可能异面，故“m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件．故选A ．⊥⊥⊥⊂⊥PFE D CBAMD CBA⊂⊂2．若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α ，则“l m ⊥ ”是“l ∥α”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】由“m α⊥且l m ⊥”推出“l α⊂或l α∥”，但由“m α⊥且l α∥”可推出“l m ⊥”，所以“l m ⊥”是“l α∥”的必要而不充分条件，故选B ．3．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．证明：PB ∥平面AEC ；【解析】连接BD 交AC 于点O ，连结EO ．因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB ．EO ⊂平面AEC ,PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC ．4．如图，直三棱柱中，分别是的中点， （Ⅰ）证明：//平面；【解析】（Ⅰ）连结，交于点O ，连结DO ，则O 为的中点，因为D 为AB 的中点，所以OD ∥，又因为OD 平面，平面，所以 //平面；5．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．证明：PB ∥平面AEC ；【解析】（Ⅰ）连接BD 交AC 于点O ，连结EO ．因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB ．EO ⊂平面AEC,PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC ．6．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD BC ，111ABC A B C -,D E 1,ABBB 1AA AC CB AB ===1BC 1A CDA 11AC 1A C 1AC 1BC⊂1A CD 1BC ⊄1A CD 1BC 1A CD=3AB AD AC ==，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =， N 为PC 的中点．证明MN 平面PAB ；【解析】由已知得232==AD AM ，取BP 的中点T ，连接TN AT ,． 由N 为PC 中点知BC TN //，221==BC TN ． 又BC AD //，故TN 平行且等于AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是AT MN //． 因为⊂AT 平面PAB ，⊄MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB ．7．如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB AA =，1BAA ∠=60°．证明1AB A C ⊥；【解析】取AB 中点E ，连结CE ，，，∵AB =，=，∴是正三角形，∴⊥AB ， ∵CA =CB ， ∴CE ⊥AB ，∵=E ，∴AB ⊥面， ∴AB ⊥；8．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ∥CD ，且90BAP CDP ∠=∠=． 证明：平面PAB ⊥平面PAD ；B D1A B 1A E 1AA 1BAA ∠0601BAA ∆1A E 1CE A E ⋂1CEA 1A C D CB A P【解析】由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD ．由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面PAD ．又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ．9．如图，四面体ABCD 中，ABC ∆是正三角形，ACD ∆是直角三角形，ABD CBD ∠=∠，AB BD =．证明：平面ACD ⊥平面ABC ；【解析】由题设可得，ABD CBD ∆≅∆，从而AD DC =．又ACD ∆是直角三角形，所以0=90ACD ∠取AC 的中点O ，连接DO ，BO ，则DO AC ⊥，DO AO =．又由于ABC ∆是正三角形，故BO AC ⊥．所以DOB ∠为二面角D AC B --的平面角．在Rt AOB ∆中，222BO AO AB +=．又AB BD =，所以222222BO DO BO AO AB BD +=+==，故90DOB ∠=．所以平面ACD ⊥平面ABC ．10.如图，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=，,E F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE =2DF ，AE ⊥EC ．证明：平面AEC ⊥平面AFC ；【解析】连接BD ，设BD AC G ，连接,,EG FG EF ． 在菱形ABCD 中，不妨设1GB ，由120∠=ABC ，可得3AGGC ， 由⊥BE 平面ABCD ，AB BC 可知，AE EC ，又∵⊥AE EC ，∴3EG，⊥EG AC ， 在Rt EBG ∆中，可得2BE ，故22DF．在Rt FDG ∆中，可得62FG ． 在直角梯形BDFE 中，由2BD ，2BE ，22DF ，可得322EF ， ∴222EG FG EF +=，∴EG ⊥FG ，∵AC ∩FG =G ，∴EG ⊥平面AFC ，∵EG ⊂面AEC ，∴平面AFC ⊥平面AEC ．ABC DE。
立体几何复习专题及答案-高中数学
立体几何复习专题姓名： 班级：考点一、空间中的平行关系1．如图，在三棱锥P ABC -中，02,3,90PA PB AB BC ABC ====∠=,平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 的中点． (1)求证：DE //平面PBC ； (2)求证：AB PE ⊥；(3)求三棱锥B PEC -的体积．2． 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD △为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =，（Ⅰ）设G H ，分别为PB AC ，的中点，求证：GH ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：PA ⊥平面PCD ；3．如图，七面体ABCDEF 的底面是凸四边形ABCD ，其中2AB AD ==，120BAD ∠=︒，AC ，BD 垂直相交于点O ，2OC OA =，棱AE ，CF 均垂直于底面ABCD .（1）证明：直线DE 与平面BCF 不．平行；4.（2014新课标Ⅱ）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D AE C --为60°，AP =1，AD =3，求三棱锥E ACD -的体积．考点二、空间中的垂直关系5．如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是线段AD ，BD 的中点，90ABD BCD ∠=∠=，2EC =，2AB BD ==，直线EC 与平面ABC 所成的角等于30．（1）证明：平面EFC ⊥平面BCD ；6．已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．（1）求证：BN ⊥平面11C B N ；（2）设M 为AB 中点，在C B 边上求一点P ，使//MP 平面1C NB ，求CBPP 的值．7．（2016全国I ）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，2AF FD =，90AFD ∠=，且二面角D AF E --与二面角C BE F --都是60．（I ）证明：平面ABEF⊥平面EFDC ；（II ）求二面角E BC A --的余弦值．考点三、折叠问题和探究性问题中的位置关系8．如图 1，在直角梯形ABCD 中， //,AB CD AB AD ⊥，且112AB AD CD ===．现以AD 为一边向外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使ADEF 平面与平面ABCD 垂直， M 为ED 的中点，如图 2．（1）求证： //AM 平面BEC ；（2）求证： BC ⊥平面BDE ； .9．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E,F 分别是AB,BC 的中点，点M 在AD 上，且14AM AD =，将AED,DCF 分别沿DE,DF 折叠，使A,C 点重合于点P ，如图所示2.()1试判断PB 与平面MEF的位置关系，并给出证明；()2求二面角M EF D --的余弦值.10．如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，3CF =，平面EDCF ⊥平面ABCD ． (1)求证：DF //平面ABE ；(2)求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值． (3)在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 所成角的正弦值为34，若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由．11．如图1，在边长为4的正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD的中点，现-.将三角形DEF沿EF翻折成如图2所示的五棱锥P ABCFE（1）求证：AC//平面PEF；（2）若平面PEF⊥平面ABCFE，求直线PB与平面PAE所成角的正弦值.12．（2011•浙江）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（1）证明：AP⊥BC；（2）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A﹣MC﹣β为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．13．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等边三角形，122CC AC ==.（Ⅰ）求三棱锥11C CB A -的体积；（Ⅱ）在线段1BB 上寻找一点F ，使得1CF AC ⊥，请说明作法和理由.考点四、知空间角求空间角问题14．（2014天津）如图四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，2BA BD ==2AD =,5PA PD ==E ,F 分别是棱AD ,PC 的中点．（Ⅰ）证明: EF ∥平面PAB ； （Ⅱ）若二面角P AD B --为60°， （ⅰ）证明：平面PBC ⊥平面ABCD（ⅱ）求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值． PCDBF15．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ABCD ⊥平面，E 为PD 的中点．(1)证明：//E PB A C 平面；(2)设13AP AD ==，，三棱锥P ABD -的体积34V =，求二面角D -AE -C 的大小16．如图，四棱锥P ABCD -中， PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，90ADC ∠=︒， //AD BC ， AB AC ⊥， 2AB AC ==，点E 在AD 上，且2AE ED =．（Ⅰ）已知点F 在BC 上，且2=CF FB ，求证：平面PEF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）当二面角--A PB E 的余弦值为多少时，直线PC 与平面PAB 所成的角为45︒？立体几何专题参考答案1． (1)证明：∵在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC . ∵DE ⊄平面PBC 且BC ⊂平面PBC ，∴DE ∥平面PBC . (2)证明：连接PD .∵PA ＝PB ，D 为AB 的中点，∴PD ⊥AB .∵DE ∥BC ，BC ⊥AB ，∴DE ⊥AB .又∵PD 、DE 是平面PDE 内的相交直线， ∴AB ⊥平面PDE .∵PE ⊂平面PDE ，∴AB ⊥PE .(3)解：∵PD ⊥AB ，平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ∩平面ABC ＝AB ，∴PD ⊥平面ABC ，可得PD 是三棱锥P －BEC 的高． 又∵33,2BECPD S==，1332B PEC P BEC BEC V V S PD --∆∴==⨯=. 2．（I ）见解析；（II ）见解析；（III ）33. （I ）证明：连接BD ，易知AC BD H ⋂=，BH DH =，又由BG PG =，故GHPD ，又因为GH ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， 所以GH ∥平面PAD .（II ）证明：取棱PC 的中点N ，连接DN ，依题意，得DN PC ⊥， 又因为平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC平面PCD PC =，所以DN ⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，故DN PA ⊥， 又已知PA CD ⊥，CD DN D =，所以PA ⊥平面PCD . 3．（1）见解析；（2）23535本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
立体几何中的向量方法——证明平行及垂直
立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直1．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .(4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1 ∥u 2.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u .(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的．( )(2)平面的单位法向量是唯一确定的．( )(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( )(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( )(5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．( )(6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( )1．下列各组向量中不平行的是( )A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0)C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16,24,40)2．已知平面α有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点P 中，在平面α的是( )A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)3．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为______________．4．若A (0,2，198)，B (1，－1，58)，C (－2,1，58)是平面α的三点，设平面α的法向量n ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________.题型一 证明平行问题例1 (2013·改编)如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC .证明：PQ ∥平面BCD .如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．题型二证明垂直问题例2如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC ＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角．(1)求证：CM∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.题型三解决探索性问题例3 如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．如图所示，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．利用向量法解决立体几何问题典例：如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E－ACD的体积．A 组 专项基础训练1．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α相交2．若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．在平面D ．平行或在平面3．已知A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则平行四边形ABCD 的顶点D 的坐标是( )A ．(2,4，－1)B ．(2,3,1)C ．(－3,1,5)D ．(5,13，－3)4．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627B.637C.607D.6575．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 所成的角为( )A ．60°B ．45°C ．90°D ．以上都不正确6．已知平面α的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．7．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1，4)确定的平面上，则a ＝________.8．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________． 9．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ .10．如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：EF ∥平面PAB ；(2)求证：平面PAD ⊥平面PDC .B 组 专项能力提升11．如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为( )A ．(1,1,1)B ．(23，23，1)C ．(22，22，1) D ．(24，24，1) 12．设u ＝(－2,2，t )，v ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则t 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．613．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN →的实数λ有________个．14．如图所示，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC的中点．求证：(1)DE ∥平面ABC ；(2)B 1F ⊥平面AEF .15．在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．(1)求证：EF⊥CD；(2)在平面PAD求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．。
3.2立体几何中的向量方法2(平行与垂直)
所以D1 F //n
练习
正方体 ABCD A1 B1C1 D1 ,E是AA1中点， 求证：平面EBD 平面C1BD.
证明： 设正方体棱长为2, 建立如图所示坐标系
E(0,0,1) B(2,0,0) D(0,2,0)
Z
E
EB (2,0, 1) ED (0, 2, 1)
设平面EBD的一个法向量是
1 ：在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中， P 在 例 A1B1上，Q在BC上，且A1P=QB，M、N分别 为AB1、PQ的中点。求证：MN//平面 A B C D 。 D
1
C1
A1
P
B1
M D
N
Q B C
A
证明：建立如图所 示的空间直角坐标 系o-xyz
z
D1
C1
B1 P 设正方形边长为2， 又设A1P=BQ=2x 则P(2，2x，2)、 N M Q(2-2x，2，0) o C D 故N(2-x, 1+x, Q 1),而M(2, 1, 1) A B x 所以向量 MN (-x, x, 0)，又平面 AC 的法 向量为 n (0, 0, 1)，∴ MN n 0 ∴MN n
PB (2,0,2), FE (0,1,0), FG (1,1,1),
设 PB s FE t FG,
即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1)，
t 2, t s 0,解得s t 2. t 2, PB 2 FE 2 FG, 又 FE与FG不共线, PB 、 FE与FG共面. PB 平面EFG, PB // 平面EFG.
若a (a1, b1, c1 ), u (a2 , b2 , c2 ),则 l a // u a ku a1 ka2 , b1 kb2 , c1 kc2 .
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高中数学总复习-第七章立体几何-空间中的平行和垂直关系【知识结构图】第3课空间中的平行关系【考点导读】1 •掌握直线和平面平行、两个平面平行的判定定理和性质定理。
2 •明确定义与定理的不同，定义是可逆的，既是判定也是性质，而判定定理与性质定理多是不可逆的。
3. 要能灵活的对“线线平行”、“线面平行”和“面面平行”进行转化。
【基础练习】1. 若a、b为异面直线，直线c // a,则c与b的位置关系是异面或相交2 •给出下列四个命题①垂直于同一直线的两条直线互相平行•②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线1(2与同一平面所成的角相等，则1」2互相平行.④若直线1(2是异面直线，则与1(2都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是_4 _______ 个。
3•对于任意的直线I与平面a,在平面a内必有直线m使m与I 垂直。
:4. 已知a、b、c是三条不重合的直线，a、B、r是三个不重合的平面，下面六个命题：①a// c, b// c a// b；②a // r, b II r a // b；③a// c, B // c a// B ;④a// r, B // r a// B ;⑤a// c,a// c a//a；⑥a // r ,a// r a //a.其中正确的命题是①④________【范例导析】例1.如图，在四面体ABCD中，截面EFGH是平行四边形.求证：AB//平面EFG证明：•面EFGH是截面.•••点E, F, G, H分别在BC, BD, DA AC上.••• EH 面ABC GF 面ABD由已知,EH// GF. • EH// 面ABD又T EH，—面BAC 面AB6面ABD=AB•EH// AB.•AB// 面EFG例2. 如图，在正方体ABC—A1B1C1D中，点N在BD上，点M在BC上，并且CM=DN. DC求证:MN//平面AABB.分析：“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”是可以互相转化的。
本题可以采 用任何一种转化方式。
简证：法1:把证“线面平行”转化为证“线线平行”。
即在平面ABBA i 内找一条直线与MN 平行，如图所示作平行线即可法2:把证“线面平行”转化为证“线线平行”。
连CN 并延长交直线BA 于点P , 连B i P ,就是所找直线，然后再设法证明 MN B i P.法3:把证“线面平行”转化为证“面面平行”。
过M 作MQ//BB 交BC 于B i ,连NQ 则平面MNQ与平面ABBA i 平行，从而证得MN/平面ABBA.点评：证明线面或面面平行的时候一定要注意相互的转化，非常灵活。
【反馈演练】 i •对于平面 和共面的直线m 、n,下列命题中真命题是(3)。
(i)若 m ,m n,则 n// (2)若 m// ,n // ,则 m//n (3)若m ,n// ,则m// n (4)若m 、n 与 所成的角相等，则m// n2. 设a 、b 是两条异面直线，那么下列四个命题中的假命题是 (2) 0 (1) 经过直线a 有且只有一个平面平行于直线 b(2) 经过直线a 有且只有一个平面垂直于直线 b(3) 存在分别经过直线a 和b 的两个互相平行的平面(4) 存在分别经过直线a 和b 的两个互相垂直的平面3. 关于直线a 、b 、I 及平面M N.下列命题中正确的是(4)。
(i) 若 a // M, b // M,则 a // b C iC(2) 若 a II M b ±a ,则 b ± M(3) 若a^M 瞎M 且I 丄a , l 丄b ,贝U l 丄M(4) 若 a 丄 M a I N,则 Ml N4•“任意的a ,均有all ”是“任意b ,均有b// ”的 充要条件 5. 在正方体AG 中,过A i C 且平行于 AB 的截面是面AB i CD . 6. 在长方体ABC —AB 1CD 中,经过其对角线BD 的平面分别与棱AA,CG 相交于 E,F 两点，则四边形EBFD 勺形状为 _______________ 。
7. 已知P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点,M 为PE 的中点, 求证：PD//平面MAC.证明连AC 交BD 于O,连MO,则MO 为APED 的中位线，• ••PD//MO,tPD•••PD// 平面 MAC. 8 •如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点+ (1)求证：MN //平面PAD ; (2) 若MN BC 4 , PA 4.3 ,求异面直线PA 与MN 所成的角的大小+ 略证：(1)取PD 的中点H,连接AH,1 NH//DC,NH DC 2NH // AM , NH AM AMNH 为平行四边形MN //AH ,MN PAD , AH PAD MN // PAD (2):连接AC 并取其中点为O,连接OM ON 则OM 平行且等于BC 的一半， ON 平行且等于PA 的一半，所以 ONM 就是异面直线PA 与MN 所成的角，由 MN BC 4 , PA 4.3 得，OM=2 ON=2・ 3所以 ONM 30°,即异面直线PA 与MN 成30°的角.9•两个全等的正方形 ABC 併口 ABEF 所在平面相交于 AB, M€ AC , N€ FB,且AMtFN, 求证：MN/平面BCE平面MAC,M O 平面MAC,P H ND C证法一：作MPL BC NQL BE P、Q为垂足，贝U MP/ AB, NQ/ AB••• MP// NQ 又AM=NF, AC=BF,••• MCNB / MC=Z NBQ45°••• Rt △ MC 匡Rt △ NBQ••• MP=NQ故四边形MPQ为平行四边形••• MN/ PQ••• PQ平面BCE MN在平面BCE外 ,••• MN/ 平面BCE证法二：如图过M作MH L AB于H ,则MH/ BC,.AM AH_…AC AB连结NH由BF=AC FN=AM得卫！少 BF AB••• NH//AF//BE由MH//BC, NH//BE 得：平面MNH/平面BCEF E••• MN/ 平面BCE第4课空间中的垂直关系【考点导读】1. 掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并能用它们证明和解决有关冋题。
2. 线面垂直是线线垂直与面面垂直的枢纽，要理清楚它们之间的关系，学会互相转化，善于利用转化思想。
【基础练习】1 .“直线I垂直于平面内的无数条直线”是“ I丄”的必要条件。
2. 如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的位置关系是平行或相交。
3. 在正方体中，与正方体的一条对角线垂直的面对角线的条数是6 ________ 。
4. 两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则这条直线和另一个平面的位置关系是平行、相交或在另一个平面内。
5. 在正方体ABCD A1B1C1D1中，写出过顶点A的一个平面ABD _______ ，使该平面与正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等(注：填上你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况)。
【范例导析】例1 .如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD丄底面ABCDPD=DCE是PC的中点,作EF丄PB交PB于点F.(1) 证明PA/平面EDB (2)证明PB丄平面EFD解析：本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.证明：(1)连结ACAC交BD于Q连结E0E •••底面ABCD是正方形，.••点Q是AC的中点在PAC中,EQ是中位线，二PA// EQ而EQ 平面EDB且PA 平面EDB所以,PA// 平面EDB(2) v PDL底面ABCD且DC 底面ABCD 二PD DC••• PD=DC可知PDC是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线, ••• DE PC. ①同样由PDL底面ABCD W PDL BC•••底面ABCD是正方形,有DC L BC ••• BCL平面PDC而DE 平面PDC：BC DE. ②由①和②推得DE 平面PBC 而PB 平面PBC •DE PB例2 •如图，△ ABC为正三角形，EC丄平面ABC , BD又EF PB且DE EF E ,所以PB丄平面EFD// CE , CE = CA = 2 BD ,M是EA的中点，求证：(1) DE = DA ； (2)平面BDM丄平面ECA ；(3) 平面DEA丄平面ECA分析：(1)证明DE = DA，可以通过图形分割，证明△ DEF DBA (2)证明面面垂直的关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面。
由( 1)知DM丄EA，取AC中点N，连结MN、NB，易得四边形MNBD是矩形。
从而证明DM丄平面ECA证明：(1)如图，取EC中点F，连结DF••• EC 丄平面ABC，BD // CE，得DB 丄平面ABC。
DB 丄AB，EC 丄BC1BD // CE，BD = - CE = FC，2则四边形FCBD是矩形，DF丄EC又BA = BC = DF，• Rt△ DEF 望Rt△ ABD，所以DE = DA(2)取AC中点N，连结MN、NB，••• M是EA的中点，• M也-EC2由B^1EC，且BD丄平面ABC，可得四边形MNBD是矩形，于是DM丄2MNDE = DA , M 是EA 的中点，二DM 丄EA .又EA MN = M ,DM丄平面ECA，而DM 平面BDM,则平面ECA丄平面BDM(3)v DM 丄平面ECA , DM 平面DEA ,••• 平面DEA丄平面ECA点评：面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决例3.如图，直三棱柱ABC-ABC中，AC = BC = 1,/ ACB = 90°, AA = 2，D 是AB i 中点.(1)求证CD丄平面AB ; (2)当点F在BB上什么位置时，会使得AB丄平面CDF ?并证明你的结论。
分析：(1)由于C i D所在平面ABC垂直平面AB，只要证明CD垂直交线A i B i , 由直线与平面垂直判定定理可得CD丄平面AB。
(2)由(1)得CD丄AB，只要过D作AB的垂线，它与BB的交点即为所求的F点位置。
证明：(1)如图ABC-ABC是直三棱柱，••• AQ = BC = 1,且/ A1C1B1 = 90°。
又D 是AB 的中点，CD _LAB . AA丄平面AB1C , C1D 平面A1B1C ,AA _L CiD , • CD 丄平面AABB。
(2)解：作DE丄AB交AB于E ,延长DE交BB于F ,连结GF ,则AB丄平面GDF，点F即为所求。