函数的对称性与周期性例题习题(供参考)
函数的对称性与周期性
【知识梳理】
1. 周期的概念:设函数(),y f x x D =∈,如果存在非零常数T ,使得对任意x D ∈都有 ,则函数()y f x =为周期函数,T 为()y f x =的一个周期;
2. 周期函数的其它形式
()()f x a f x b +=+? ;()()f x a f x +=-? ;()()
1
f x a f x +=
? ; ()()1
f x a f x +=-
? ;)
(1)(1)(x f x f a x f +-=+? ,)
(1)
(1)(x f x f a x f -+=
+?
)()()2(x f a x f a x f -+=+? 1
)(1
)(+-
=+x f a x f ? ,
3. 函数图像的对称性
1).若()()f x f x =-,则()y f x =的图像关于直线 对称; 2).若()()0f x f x +-=,则()y f x =的图像关于点 对称; 3)若()()f a x f a x +=-,则()y f x =的图像关于直线 对称; 4)若()()2f x f a x =-,则()y f x =的图像关于直线 对称; 5)若()()2f a x f a x b ++-=,则()y f x =的图像关于点 对称; 6)若()()22f x f a x b +-=,则()y f x =的图像关于点 对称; 4. 常见函数的对称性
1)函数()()0ax b
f x c cx d
+=≠+的图像关于点 对称;
2)函数()()0f x ax b a =-≠的图像关于直线 对称; 3)函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像关于直线 对称; 【例题选讲】
题型一 根据解析式判断函数图像的对称性 1. 函数()23
31
x f x x +=
-的图像关于 对称; 2. 函数()f x 的定义域为R ,且()()1f x f x -=,则()f x 的图像关于 对称; 3. 函数()23f x x =-的图像关于 对称;
4. 函数()3sin 23f x x π?
?=- ???的图像关于直线 对称;关于点 对称;
题型二 平移变换后,函数图像的对称性
1.已知函数()y f x =是偶函数,()2f x -在[]0,2递减,则( )
()()(). 012A f f f <-< ()()(). 102B f f f -<< ()()(). 120C f f f -<< ()()(). 210D f f f <-<
2.已知()2y f x =-是偶函数,则()y f x =的图像关于 对称;
3.已知()y f x =是奇函数,则()12y f x =+-的图像关于 对称;
题型三 函数图像的对称性求函数解析式
1.已知()f x 的图像关于直线2x =对称,且(]0,1x ∈时,()21
2f x x x
=+,求[)3,4x ∈时,()f x 的解析式; 2.已知()f x 的图像关于点()2,0-对称,且(]0,1x ∈时,()21
2f x x x
=+,求[)5,4x ∈--时,()f x 的解析式; 3.已知()f x 的图像关于点()1,2-对称,且(]0,1x ∈时,()21
2f x x x
=+,求[)1,2x ∈时,()f x 的解析式; 题型四 函数周期性和图像对称的应用
1.若函数()()2,22
x x a b
f x a b R ?+=∈+的图像关于点()1,0对称,求,a b 满足的关系;
2.已知函数()f x 的定义域为R ,且对任意x R ∈,都有()()22f x f x +=-(1)若()0f x =有50个根,求所有这些根的和;(2)若()0f x =有51个根,求所有这些根的和;
3.若()f x 有两条对称轴x a =和()x b a b =≠,求证:()f x 是以2T a b =-为周期的周期函数;
4.设()f x 是定义在R 上的偶函数,它的图像关于直线2x =对称,当[]2,2x ∈-时,()21f x x =-+,求
[]6,2x ∈--时,()f x 的解析式;
5.已知定义域为R 的函数()f x 满足()()()
121f x f x f x ++=-,求证函数()f x 是周期函数;
题型五 综合应用
1.设()f x 是定义在区间(),-∞+∞上以2为周期的函数,对于k Z ∈,用k I 表示区间(]21,21k k -+,已知当0x I ∈时,2()f x x =(1)求()f x 在k I 上的解析式;(2)对自然数k ,求集合{|k M a =使方程f x ax =()在k I 上有两个不等实根}。
2.已知定义在2ππ??
-????
,上的函数y f x =()的图象关于直线4x π=对称,当时4x π≥,函数sin f x x =()。
(1)求24f f ππ????
-- ? ?????
,的值;(2)求y f x =()的函数表达式;(3)如果关于x 的方程f x a =()有解,那么将方
程在a 取某一确定值时所求得所有解的和记为a M ,求a M 的所有可能取值及相对应的a 的取值范围。
3.已知函数x
f x x R ∈()(1)求证:函数f x ()的图像关于点1122P ??
???,对称; (2)计算:99
1
100i i f =??
???
∑的值。
函数的对称性与周期性课后练习
1.定义在R 上的函数()()(4),2,()f x f x f x x f x -=-+>满足当时单调递增,如果1212124,(2)(2)0,()()x x x x f x f x +<--<+且则的值
A .恒小于0
B .恒大于0
C .可能为0
D .可正可负
2.已知函数()y f x =满足:①(1)y f x =+是偶函数;②在[1,)+∞上为增函数. 若12120,0,2,x x x x <>+<-且则1()f x -与2()f x -的大小关系是
A .1()f x ->2()f x -
B .1()f x -<2()f x -
C .1()f x -=2()f x -
D .1()f x -与2()f x -的大小关系不能确定 3.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且(1)(3)f x f x -=--,当02x ≤≤时,()2
x
f x =,那使1()2
f x =成立的x 的集合为
A .{|2,}x x n n =∈Z
B .{|21,}x x n n =-∈Z
C .{|41,}x x n n =-∈Z
D .{|41,}x x n n =+∈Z
4.已知函数f (x )满足:f (1)=1
4,4f (x )f (y )=f (x +y )+f (x -y )(x ,y ∈R),则f (2 010)=________.
5..若1x 满足2x+2x =5, 2x 满足2x+22log (x -1)=5, 1x +2x =( ) A.52
B.3
C.
7
2
D.4 6.设指数函数x y a =与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象分别为C 1、C 2,点M 在曲线C 1上,线段OM (O 为坐标原点)交曲线C 1于另一点N .若曲线C 2上存在一点P ,使点P 的横坐标与点M 的纵坐标相等,点P 的纵坐标是点N 的横坐标的2倍,则点P 的坐标是
A.(4,4a )
B.(2,log 2)a
C.4(,4)a
D.(4,log 4)a
7.(1)(2)(4)f x f x -=+,则函数()y f x =图像关于 对称; (2)(2)(4)f x f x -=-+,则函数()y f x =图像关于 对称;
(3)若(1)(4)3f x f x -++=,则函数()y f x =图像关于 对称. 8.(1)函数(4)y f x =+是奇函数,则函数()y f x =图像关于 对称; (2)函数(4)2y f x =++是奇函数,则函数()y f x =图像关于 对称.
9.定义在[0,1]上的函数()f x 满足(0)0f =,()(1)2f x f x +-=,1
()()52
x f f x =,且当1201x x ≤<≤时,12()()f x f x ≤,
则1
()2010
f =______.
函数的定义域与值域单调性与奇偶性三角函数典型例题
函数的定义域与值域、单调性与奇偶性 一、知识归纳: 1. 求函数的解析式 (1)求函数解析式的常用方法: ①换元法( 注意新元的取值范围) ②待定系数法(已知函数类型如:一次、二次函数、反比例函数等) ③整体代换(配凑法) ④构造方程组(如自变量互为倒数、已知f (x )为奇函数且g (x )为偶函数等) (2)求函数的解析式应指明函数的定义域,函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围,同时也要注意变量的实际意义。 (3)理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。 2. 求函数的定义域 求用解析式y =f (x )表示的函数的定义域时,常有以下几种情况: ①若f (x )是整式,则函数的定义域是实数集R ; ②若f (x )是分式,则函数的定义域是使分母不等于0的实数集; ③若f (x )是二次根式,则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合; ④若f (x )是由几个部分的数学式子构成的,则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合; ⑤若f (x )是由实际问题抽象出来的函数,则函数的定义域应符合实际问题. 3. 求函数值域(最值)的一般方法: (1)利用基本初等函数的值域; (2)配方法(二次函数或可转化为二次函数的函数); (3)不等式法(利用基本不等式,尤其注意形如)0(>+=k x k x y 型的函数) (4)函数的单调性:特别关注)0(>+ =k x k x y 的图象及性质 (5)部分分式法、判别式法(分式函数) (6)换元法(无理函数) (7)导数法(高次函数) (8)反函数法 (9)数形结合法 4. 求函数的单调性 (1)定义法: (2)导数法: (3)利用复合函数的单调性: (4)关于函数单调性还有以下一些常见结论: ①两个增(减)函数的和为_____;一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是______; ②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性;偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性; ③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性; (5)求函数单调区间的常用方法:定义法、图象法、复合函数法、导数法等 (6)应用:比较大小,证明不等式,解不等式。 5. 函数的奇偶性 奇偶性:定义:注意区间是否关于原点对称,比较f (x ) 与f (-x )的关系。f (x ) -
函数的单调性·典型例题精析
2.3.1 函数的单调性·例题解析【例1】求下列函数的增区间与减区间 (1)y=|x2+2x-3| (2)y (3)y = = x x x x x 2 2 2 11 23 - -- --+ || 解(1)令f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4. 先作出f(x)的图像,保留其在x轴及x轴上方部分,把它在x轴下方的图像翻到x轴就得到y=|x2+2x-3|的图像,如图2.3-1所示. 由图像易得: 递增区间是[-3,-1],[1,+∞) 递减区间是(-∞,-3],[-1,1] (2)分析:先去掉绝对值号,把函数式化简后再考虑求单调区间. 解当x-1≥0且x-1≠1时,得x≥1且x≠2,则函数y=-x. 当x-1<0且x-1≠-1时,得x<1且x≠0时,则函数y=x-2. ∴增区间是(-∞,0)和(0,1) 减区间是[1,2)和(2,+∞) (3)解:由-x2-2x+3≥0,得-3≤x≤1. 令u==g(x)=-x2-2x+3=-(x+1)2+4.在x∈[-3,-1] 上是在x∈[-1,1] 上是. 而=在≥上是增函数. y u0 u ∴函数y的增区间是[-3,-1],减区间是[-1,1]. 【例2】函数f(x)=ax2-(3a-1)x+a2在[-1,+∞]上是增函数,求实数a的取值范
围. 解 当a =0时,f(x)=x 在区间[1,+∞)上是增函数. 当≠时,对称轴= , 若>时,由>≤,得<≤. a 0x a 0a 0 3a 10a 131212a a a --??? ?? 若a <0时,无解. ∴a 的取值范围是0≤a ≤1. 【例3】已知二次函数y =f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为x =3的抛物线,试比较大小: (1)f(6)与f(4) (2)f(2)f(15)与 解 (1)∵y =f(x)的图像开口向下,且对称轴是x =3,∴x ≥3时,f(x)为减函数,又6>4>3,∴f(6)<f(4) (2)x 3f(2)f(4)34f(x)x 3∵对称轴=,∴=,而< <,函数在≥15 时为减函数. ∴>,即>.f(15)f(4)f(15)f(2) 【例4】判断函数= ≠在区间-,上的单调性.f(x)(a 0)(11)ax x 2 1 - 解 任取两个值x 1、x 2∈(-1,1),且x 1<x 2. ∵-= ∵-<<<,+>,->,-<,-<.∴ >f(x )f(x )1x x 1x x 10x x 0x 10x 100 12121221a x x x x x x x x x x x x ()()()() ()()()() 122112 22 12 12 122112 22 111111+---+--- 当a >0时,f(x)在(-1,1)上是减函数. 当a <0时,f(x)在(-1,1)上是增函数. 【例5】利用函数单调性定义证明函数f(x)=-x 3+1在(-∞,+∞)上是减函数. 证 取任意两个值x 1,x 2∈(-∞,+∞)且x 1<x 2. ∵-=-++这里有三种证法:当<时,++=+->当≥时,++>f(x )f(x )(x x )(x x x x )()x x 0x x x x (x x )x x 0x x 0x x x x 0 2112221212 1212 1222 122 121212 1222证法一
《函数的单调性和奇偶性》经典例题
经典例题透析 类型一、函数的单调性的证明 1.证明函数上的单调性. 证明:在(0,+∞)上任取x1、x2(x1≠x2),令△x=x2-x1>0 则 ∵x1>0,x2>0,∴∴上式<0,∴△y=f(x2)-f(x1)<0 ∴上递减. 总结升华: [1]证明函数单调性要求使用定义; [2]如何比较两个量的大小?(作差) [3]如何判断一个式子的符号?(对差适当变形) 举一反三: 【变式1】用定义证明函数上是减函数. 思路点拨:本题考查对单调性定义的理解,在现阶段,定义是证明单调性的唯一途径. 证明:设x1,x2是区间上的任意实数,且x1
类型二、求函数的单调区间 2. 判断下列函数的单调区间; (1)y=x2-3|x|+2;(2) 解:(1)由图象对称性,画出草图 ∴f(x)在上递减,在上递减,在上递增. (2) ∴图象为 ∴f(x)在上递增. 举一反三: 【变式1】求下列函数的单调区间: (1)y=|x+1|;(2)(3). 解:(1)画出函数图象, ∴函数的减区间为,函数的增区间为(-1,+∞); (2)定义域为,其中u=2x-1为增函数,
在(-∞,0)与(0,+∞)为减函数,则上为减函数; (3)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),单调增区间为:(-∞,0),单调减区间为(0,+∞). 总结升华: [1]数形结合利用图象判断函数单调区间; [2]关于二次函数单调区间问题,单调性变化的点与对称轴相关. [3]复合函数的单调性分析:先求函数的定义域;再将复合函数分解为内、外层函数;利用已知函数的单调性解决.关注:内外层函数同向变化→复合函数为增函数;内外层函数反向变化→复合函数为减函数. 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小,求函数值域,求函数的最大值或最小值) 3. 已知函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,比较f(a2-a+1)与的大小. 解:又f(x)在(0,+∞)上是减函数,则. 4. 求下列函数值域: (1);1)x∈[5,10];2)x∈(-3,-2)∪(-2,1); (2)y=x2-2x+3;1)x∈[-1,1];2)x∈[-2,2]. 思路点拨:(1)可应用函数的单调性;(2)数形结合. 解:(1)2个单位,再上移2个单位得到,如图 1)f(x)在[5,10]上单增,;
函数的单调性知识点总结与经典题型归纳
函数的单调性 知识梳理 1. 单调性概念 一般地,设函数()f x 的定义域为I : (1)如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ,当12x x <时,都有12()()f x f x <,那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数; (2)如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ,当12x x <时,都有12()()f x f x >,那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数. 2. 单调性的判定方法 (1)图像法:从左往右,图像上升即为增函数,从左往右,图像下降即为减函数。 (2)定义法步骤; ①取值:设12,x x 是给定区间内的两个任意值,且12x x < (或12x x >); ②作差:作差12()()f x f x -,并将此差式变形(注意变形到能判断整个差式符号为止); ③定号:判断12()()f x f x -的正负(要注意说理的充分性),必要时要讨论; ④下结论:根据定义得出其单调性. (3)复合函数的单调性: 当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数;当内外层函数的单调性相反时则复合函数为减函数。也就是说:同增异减(类似于“负负得正”) 3. 单调区间的定义 如果函数()y f x =,在区间D 上是增函数或减函数,那么就说函数在这个区间上具有单调性,区间D 叫做()y f x =的单调区间. 例题精讲 【例1】下图为某地区24小时内的气温变化图. (1)从左向右看,图形是如何变化的 (2)在哪些区间上升哪些区间下降 解:(1)从左向右看,图形先下降,后上升,再下降;
(2)在区间[0,4]和[14,24]下降,在区间[4,14]下降。 【例2】画出下列函数的图象,观察其变化规律: (1)f (x )=x ; ①从左至右图象上升还是下降 ②在区间(-∞,+∞)上,随着x 的增大,f (x )的值随着怎么变化 (2)f (x )=x 2. ①在区间(-∞,0)上,随着x 的增大,f (x )的值随着怎么变化 ②在区间[0 ,+∞)上,随着x 的增大,f (x )的值随着怎么变化 解:(1)①从左至右图象是上升的; ②在区间(-∞,+∞)上,随着x 的增大,f (x )的值随着增大. (2)①在区间(-∞,0)上,随着x 的增大,f (x )的值随着减小; ②在区间[0 ,+∞)上,随着x 的增大,f (x )的值随着增大. 【例3】函数()y f x =在定义域的某区间D 上存在12,x x ,满足12x x <且12()()f x f x <,那么函 数()y f x =在该区间上一定是增函数吗 解:不一定,例如下图: 【例4】下图是定义在闭区间[5,5]-上的函数()y f x =的图象,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数. 解:函数()y f x =的单调区间有[5,2),[2,1),[1,3),[3,5)---; 其中在区间[5,2),[1,3)--上是减函数,在区间[2,1),[3,5)-上是增函数. 【例5】证明函数()32f x x =+在R 上是增函数. 证明:设12,x x 是R 上的任意两个实数,且12x x < (取值) 则1212()()(32)(32)f x f x x x -=+-+ (作差)
函数的单调性和奇偶性典型例题
函数的单调性和奇偶性 例1(1)画出函数y=-x2+2|x|+3的图像,并指出函数的单调区间. 解:函数图像如下图所示,当x≥0时,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4;当x<0时,y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4.在(-∞,-1]和[0,1]上,函数是增函数:在[-1,0]和[1,+∞)上,函数是减函数. 评析函数单调性是对某个区间而言的,对于单独一个点没有增减变化,所以对于区间端点只要函数有意义,都可以带上. (2)已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,求实数a的取值范围. 分析要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征. 解:f(x)=x2+2(a-1)x+2=[x+(a-1)]2-(a-1)2+2,此二次函数的对称轴是x =1-a.因为在区间(-∞,1-a]上f(x)是单调递减的,若使f(x)在(-∞,4]上单调递减,对称轴x=1-a必须在x=4的右侧或与其重合,即1-a≥4,a≤-3. 评析这是涉及逆向思维的问题,即已知函数的单调性,求字母参数范围,要注意利用数形结合. 例2判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=- (2)f(x)=(x-1). 解:(1)f(x)的定义域为R.因为 f(-x)=|-x+1|-|-x-1| =|x-1|-|x+1|=-f(x). 所以f(x)为奇函数.
(2)f(x)的定义域为{x|-1≤x<1},不关于原点对称.所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. 评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下: (1)求函数的定义域,并考查定义域是否关于原点对称. (2)计算f(-x),并与f(x)比较,判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)之一是否成立.f(-x)与-f(x)的关系并不明确时,可考查f(-x)±f(x)=0是否成立,从而判断函数的奇偶性. 例3已知函数f(x)=. (1)判断f(x)的奇偶性. (2)确定f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数?在区间(0,+∞)上呢?证明你的结论. 解:因为f(x)的定义域为R,又 f(-x)===f(x), 所以f(x)为偶函数. (2)f(x)在(-∞,0)上是增函数,由于f(x)为偶函数,所以f(x)在(0,+∞)上为减函数. 其证明:取x1<x2<0, f(x1)-f(x2)=- ==. 因为x1<x2<0,所以 x2-x1>0,x1+x2<0, x21+1>0,x22+1>0, 得f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). 所以f(x)在(-∞,0)上为增函数. 评析奇函数在(a,b)上的单调性与在(-b,-a)上的单调性相同,偶函数在(a,b)与(-b,-a)的单调性相反. 例4已知y=f(x)是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数,且f(x)<0,试问F(x)=在(-∞,0)上是增函数还是减函数?证明你的结论.
1.3.1函数的单调性例题
1.3.1函数的单调性 题型一、利用函数的图象确定函数的单调区间 例1.作出下列函数的图象,并写出函数的单调区间 (1)12-=x y ; (2)322++-=x x y ; (3)2 )2(1-++=x x y ; (4)969622++++-=x x x x y 相应作业1:课本P32第3题. 题型二、用定义法证明函数的单调性 用定义法证明函数的单调性步骤:取值 作差变形 定号 下结论 ?取值,即_____________________________; ?作差变形,作差____________,变形手段有__________、_____、_____、_______等; ?定号,即____________________________________________________________; ④下结论,即______________________________________________________。 例2.用定义法证明下列函数的单调性 (1)证明:1)(3 +-=x x f 在()+∞∞-,上是减函数.
▲定义法证明单调性的等价形式: 设[]b a x x ,21∈、,21x x ≠,那么 [])(0) ()(0)()()(2 1212121x f x x x f x f x f x f x x ?>--? >--在[]b a ,上是增函数; [])(0) ()(0)()()(2 1212121x f x x x f x f x f x f x x ?<--? <--在[]b a ,上是减函数. (2)证明:x x x f -+=1)(2在其定义域内是减函数; (3)证明:21 )(x x f = 在()0,∞-上是增函数; 法一: 作差 法二:作商
奇偶性与单调性与典型例题
奇偶性与单调性及典型例题 函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一,考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义,掌握判定方法,正确认识单调函数与奇偶函数的图象. 难点磁场 (★★★★)设a>0,f(x)=是R上的偶函数,(1)求a的值;(2)证明: f(x)在(0,+∞)上是增函数. 案例探究 [例1]已知函数f(x)在(-1,1)上有定义,f()=-1,当且仅当0 § 1.2.1 函数的概念 ¤知识要点: 1. 设 A 、B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x ,在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应,那么就称 f :A →B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 y = f (x) , x A .其中, x 叫自变量, x 的取值范 围 A 叫作定义域,与 x 的值对应的 y 值叫函数值,函数值的集合 { f ( x) | x A} 叫值域 . 2. 设 a 、b 是两个实数,且 a 函数的基本性质(考点加经典例题分析)(word完整版)高中函数典型例题.doc
函数的基本性质(考点加经典例题分析)