(3)对数函数典型例题例析之单调性

对数函数典型例题例析

在解决与对数函数有关的问题时，应遵循：一要“定义域优先”的原则，即优先考虑其定义域；二要重视底数、真数应满足的条件，以及不同条件下，性质和图象的差异．只有完全掌握了这些，才能处理好对数函数单调性涉及的综合问题．下面举例说明．

例1 已知y = log a (2－a x )在区间[0，1]上是x 的减函数，求实数a 的取值范围．

解法一：由y = log a (2－a x )在区间[0，1]上是x 的减函数，当0＜x ≤1时，2－a ＞0，即 a ＜

x

2恒成立，所以a ＜(

x

2)min = 2．

又知a ＞0，u = 2－a x 为减函数，因此对数函数的底a ＞1． 综合得1＜a ＜2．

解法二：根据y = log a (2－a x )，则a ＞0且a ≠1，2－a x ＞0，所以x ＜a

2，即函数定义域

为(－∞，

a

2)．

∵函数在区间[0，1]上是减函数，∴1＜a

2，即a ＜2． ①

又∵u = 2－a x 为减函数，∴y = log a u 是增函数，则a ＞1． ② 综合①、②得1＜a ＜2．

例2 求关于x 的函数y = lg[x 2－(a + 2)x + 1] (其中a 为实数)，在其定义域内单调区间，并指出其单调性．

解：要使函数有意义，必须x 2－(a + 2)x + 1＞0．

设g(x) = x 2－(a + 2)x + 1，其判别式?= (a + 2)2－4 = a (a + 4)，

⑴当－4＜a ＜0时，?＜0，恒有g(x)＞0，函数y 的定义域为R ，又y 与g(x)单调性一致．所以在(－∞，

2

2+a ]上，y 单调递减；在[

2

2+a ，+∞)上，y 单调递增；

⑵当a =－4时，?= 0，y = lg(x + 1)2，其定义域为{x | x ≠－1，x ∈R}， ∴在(－∞，－1)上y 单调递减；在(－1，+∞)上，y 单调递增； ⑶当a = 0时，?= 0，y = lg(x －1)2，其定义域为{x | x ≠1，x ∈R}， ∴在(－∞，1)上y 单调递减；在(1，+∞)上，y 单调递增； ⑷当a ＜－4或a ＞0时，?＞0，函数的定义域为：

(－∞，

2

)4(2+-+a a a )∪(

2

)4(2+++a a a ，+∞)．

∴在(－∞，2

)4(2+-+a a a )上，y 单调递减；在(

2

)4(2++

+a a a ，+∞)上，y 单调递

增．

例3 已知函数f (x) = lg

x

x +-11+

2

1+x ，x ∈(－1，1 )，问y =f (x) 的图象上是否存在两个不同的

点A 、B ，使A B ⊥y 轴，若存在，求A 、B 的坐标，若不存在，说明理由． 解：先证明f (x)是单调函数．设－1＜x 1＜x 2＜1，则

f ( x

1

)－f ( x

2

) = lg 1

111x x +-+2

11+x －lg

2

211x x +-－

2

12+x = lg

)

1)(1()1)(1(1221x x x x +-+-+

)

2)(2(211

2++-x x x x ，

∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴ x 2－x 1＞0， 1－x 1＞1－x 2＞0，1 + x 2＞1 + x 1＞0， ∴)

1)(1()1)(1(1221x x x x +-+-＞1，

)

2)(2(211

2++-x x x x ＞0，即f ( x 1)－f ( x 2)＞0，

∴函数f (x)是单调递减函数．

假设函数f (x)的图象上存在不同的两点A (x 1， y 1)，B(x 2， y 2)使直线A B ⊥y 轴，则x 1≠x 2，y 1= y 2，这与函数是减函数矛盾．

∴y =f (x)的图象上不存在两个不同的点A 、B ，使A B ⊥y 轴．

评析：直线A B ⊥y 轴或A B ∥x 轴 ? x A ≠x B ? y A ≠y B ，从函数的单调性上可以找到解题的突破口．