十年(2010-2019年)高考数学真题分类汇编：专题08 数列 (含答案解析)

十年(2010-2019年)高考数学真题分类汇编

专题08 数列

一、选择题

1.(2019·全国1·理T9)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4=0,a 5=5,则( ) A.a n =2n-5 B.a n =3n-10

C.S n =2n 2

-8n D.S n =12

n 2

-2n

【答案】A

【解析】由题意可知,{

S 4=4a 1+

4×3

2

·d =0,

a 5=a 1+4d =5,

解得{a 1=-3,d =2.

故a n =2n-5,S n =n 2

-4n,故选A.

2.(2019·浙江·T10)设a,b ∈R,数列{a n }满足a 1=a,a n+1=a n 2

+b,n ∈N *

,则( )

A.当b=1

2时,a 10>10 B.当b=1

4时,a 10>10 C.当b=-2时,a 10>10 D.当b=-4时,a 10>10

【答案】A

【解析】当b=12时,a 2=a 12+12≥12,a 3=a 22+12≥34,a 4=a 32+12≥1716≥1,当n≥4时,a n+1=a n 2+1

2≥a n 2≥1,则

lo g 1716

a n+1>2lo g 1716

a n ?lo g 1716

a n+1>2n-1

,则

a n+1≥（17

16 ）

2n -1

(n≥4),则a 10≥（17

16） 26

=（1+116）64

=1+64

16+

64×632×1

162

+…>1+4+7>10,故选A. 3.(2018·全国1·理T4)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( ) A.-12 B.-10 C.10 D.12

【答案】B

【解析】因为3S 3=S 2+S 4,所以3S 3=(S 3-a 3)+(S 3+a 4),即S 3=a 4-a 3.设公差为d,则3a 1+3d=d,又由a 1=2,得d=-3,所以a 5=a 1+4d=-10.

4.(2018·浙江·T10)已知a 1,a 2,a 3,a 4成等比数列,且a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3).若a 1>1,则( ) A.a 1a 3,a 2a 4 D.a 1>a 3,a 2>a 4 【答案】B

【解析】设等比数列的公比为q,则 a 1+a 2+a 3+a 4=

a 1(1-q 4)1-q ,a 1+a 2+a 3=a 1(1-q 3)

1-q

.

∵a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3),

∴a 1+a 2+a 3=e a 1+a 2+a 3+a 4,即a 1(1+q+q 2

)=e a 1(1+q+q

2+q 3)

.

又a 1>1,∴q<0.

假设1+q+q 2

>1,即q+q 2

>0,解得q<-1(q>0舍去). 由a 1>1,可知a 1(1+q+q 2

)>1, ∴a 1(1+q+q 2

+q 3

)>0,即1+q+q 2

+q 3

>0,

即(1+q)+q 2

(1+q)>0,即(1+q)(1+q 2

)>0,这与q<-1相矛盾. ∴1+q+q 2

<1,即-1a 3,a 2

5.(2018·北京·理T4文T 5)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212

.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( ) A.√23

f B.√223

f

C.√2512

f

D.√2712

f

【答案】D

【解析】设第n 个单音的频率为a n ,由题意,a n

a n -1

=√212

(n≥2),所以{a n }为等比数列,因为a 1=f,所以

a 8=a 1×(√212)7

=√2712

f,故选D.

6.(2017·全国1·理T12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20

,接下来的两项是20

,21

,再接下来的三项是20

,21

,22

,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )

A.440

B.330

C.220

D.110 【答案】A

【解析】设数列的首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推,设第n 组的项数为n,则前n

组的项数和为n (1+n )

2

.第

n 组的和为1-2n 1-2=2n -1,前n 组总共的和为2(1-2n )1-2

-n=2n+1

-2-n.

由题意,N>100,令n (1+n )

2

>100,得n≥14且n ∈N *

,即N 出现在第13组之后.若要使最小整数N 满足:N>100且

前N 项和为2的整数幂,则S N -S n (1+n )2

应与-2-n 互为相反数,即2k

-1=2+n(k ∈N *

,n≥14),所以k=log 2(n+3),解

得n=29,k=5.

所以N=

29×(1+29)

2

+5=440,故选A. 7.(2017·全国3·理T9)等差数列{a n }的首项为1,公差不为0.若a 2,a 3,a 6成等比数列,则{a n }前6项的和为( ) A.-24 B.-3 C.3 D.8

【答案】A

【解析】设等差数列的公差为d,则d≠0,a 32=a 2·a 6, 即(1+2d)2

=(1+d)(1+5d), 解得d=-2,

所以S 6=6×1+6×5

2×(-2)=-24,故选A.

8.(2016·全国1·理T3)已知等差数列{a n }前9项的和为27,a 10=8,则a 100=( ) A.100 B.99 C.98 D.97

【答案】C 【解析】因为S 9=

(a 1+a 9)×9

=27,a 1+a 9=2a 5, 所以a 5=3.又因为a 10=8,所以d=a 10-a 5

10-5

=1. 故a 100=a 10+(100-10)×1=98.

9.(2015·浙江·理T13)已知{a n }是等差数列,公差d 不为零,前n 项和是S n ,若a 3,a 4,a 8成等比数列,则( ) A.a 1d>0,dS 4>0 B.a 1d<0,dS 4<0 C.a 1d>0,dS 4<0 D.a 1d<0,dS 4>0

【答案】B

【解析】设{a n }的首项为a 1,公差为d,则a 3=a 1+2d,a 4=a 1+3d,a 8=a 1+7d. ∵a 3,a 4,a 8成等比数列,

∴(a 1+3d)2

=(a 1+2d)(a 1+7d),即3a 1d+5d 2

=0. ∵d≠0,∴a 1d=-5

3d 2

<0,且a 1=-5

3d. ∵dS 4=

4d (a 1+a 4)2=2d(2a 1+3d)=-23

d 2

<0. 10.(2015·全国2·文T5)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1+a 3+a 5=3,则S 5=( ) A.5 B.7 C.9 D.11 【答案】A

【解析】由a 1+a 3+a 5=3及等差中项,得3a 3=3,解得a 3=1.故

S 5=

5(a 1+a 5)

2

=5a 3=5. 11.(2015·全国1·文T7)已知{a n }是公差为1的等差数列,S n 为{a n }的前n 项和.若S 8=4S 4,则a 10= ( ) A.172

B.192

C.10

D.12

【答案】B

【解析】∵公差d=1,S 8=4S 4, ∴

8(a 1+a 8)

2=

4×4(a 1+a 4)

2

, 即2a 1+7d=4a 1+6d,解得a 1=1

2. ∴a 10=a 1+9d=1+9=19.

12.(2015·全国2·理T4)已知等比数列{a n }满足a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则a 3+a 5+a 7=( ) A.21

B.42

C.63

D.84

【答案】B 【解析】由题意知

a 1+a 3+a 5a 1

=1+q 2+q 4=21

3=7,解得q 2=2(负值舍去).∴a 3+a 5+a 7=(a 1+a 3+a 5)q 2

=21×2=42.

13.(2015·全国2·文T9)已知等比数列{a n }满足a 1=1

4,a 3a 5=4(a 4-1),则a 2=( ) A.2 B.1

C.1

2

D.1

8

【答案】C

【解析】∵a 3a 5=4(a 4-1),∴a 42

=4(a 4-1),解得a 4=2.

又a 4=a 1q 3

,且a 1=14,∴q=2.∴a 2=a 1q=1

2.

14.(2014·大纲全国·文T8)设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=3,S 4=15,则S 6=( ) A.31 B.32 C.63 D.64

【答案】C

【解析】由等比数列前n 项和的性质,得S 2,S 4-S 2,S 6-S 4成等比数列,所以(S 4-S 2)2

=S 2(S 6-S 4),即(15-3)2

=3(S 6-15),解得S 6=63,故选C.

15.(2014·全国2·文T5)等差数列{a n }的公差为2,若a 2,a 4,a 8成等比数列,则{a n }的前n 项和S n =( ) A.n(n+1) B.n(n-1)

C.

n (n+1)

2

D.

n (n -1)

2

【答案】A

【解析】∵a 2,a 4,a 8成等比数列, ∴ =a 2·a 8,即(a 1+6)2

=(a 1+2)(a 1+14), 解得a 1=2. ∴S n =na 1+

n (n -1)2

d=2n+n 2-n=n 2

+n=n(n+1). 16.(2013·全国2·理T3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3=a 2+10a 1,a 5=9,则a 1=( ) A.1

3 B.-1

3

C.1

9

D.-1

9

【答案】C

【解析】由S 3=a 2+10a 1,得a 1+a 2+a 3=a 2+10a 1,整理得a 3=9a 1,所以q 2

=a 3a 1

=9.由a 5=9,得a 1=a 5

q 4=

99

2

=1

9.

17.(2013·全国1·文T6)设首项为1,公比为2的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则( ) A.S n =2a n -1 B.S n =3a n -2 C.S n =4-3a n D.S n =3-2a n 【答案】D

【解析】S n =a 1(1-q n )1-q

=

a 1-a n q 1-q

=

1-2

3a n 1-2

3=3-2a n .

18.(2013·全国1·理T12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ,△A n B n C n 的面积为S n ,n=1,2,3,….若 b 1>c 1,b 1+c 1=2a 1,a n+1=a n ,b n+1=c n +a n ,c n+1=b n +a

n ,则( ) A.{S n }为递减数列 B.{S n }为递增数列

C.{S 2n-1}为递增数列,{S 2n }为递减数列

D.{S 2n-1}为递减数列,{S 2n }为递增数列 【答案】B

【解析】因为b 1>c 1,不妨设b 1=4a 13,c 1=2a 13,p=12(a 1+b 1+c 1)=3

2

a 1,则S 1=√

3a 12·a 12·a 16·5a

16

=

√1512a 1

2

; a 2=a 1,b 2=

2

3a 1+a 1

2

=

5

6a 1,c 2=4

3a 1+a 12

=7

6

a 1,

S 2=√3a

12·a

12·2a

13·a

1

3=√6

6a 12;显然S 2>S 1.

同理,a 3=a 1,b 3=7

6a 1+a 1

2

=13

12a 1,

c 3=

5

6a 1+a 1

2

=11

12a 1,S 3=√3a

12·a

1

2·5

12a 1·7

12a 1=√105

24a 12,显然S 3>S 2.

19.(2013·全国1·理T7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,则m= ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C

【解析】∵S m-1=-2,S m =0,S m+1=3, ∴a m =S m -S m-1=2,a m+1=S m+1-S m =3. ∴d=a m+1-a m =3-2=1. ∵S m =

m (a 1+a m )

2

=

m (a 1+2)

2

=0, ∴a 1=-2,a m =-2+(m-1)×1=2.∴m=5.

20.(2012·全国·理T5)已知{a n }为等比数列,a 4+a 7=2,a 5a 6=-8,则a 1+a 10=( ) A.7 B.5 C.-5 D.-7

【答案】D

【解析】∵{a n }为等比数列,∴a 5a 6=a 4a 7=-8. 联立{a 4+a 7=2,a 4a 7=-8可解得{a 4=4,a 7=-2或{a 4=-2,

a 7=4,

当{a 4=4,a 7=-2

时,q 3

=-12, 故a 1+a 10=a

4

q 3+a 7q 3

=-7;

当{a 4=-2,a 7=4

时,q 3=-2,同理,有a 1+a 10=-7. 21.(2012·全国·文T12)数列{a n }满足a n+1+(-1)n

a n =2n-1,则{a n }的前60项和为( ) A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 830

【答案】D

【解析】∵a n+1+(-1)n

a n =2n-1, ∴

a 2=1+a 1,a 3=2-a 1,a 4=7-a 1,a 5=a 1,a 6=9+a 1,a 7=2-a 1,a 8=15-a 1,a 9=a 1,a 10=17+a 1,a 11=2-a 1,a 12=23-a 1,…,a 57=a 1,a 58=113+a 1,a 59=2-a 1,a 60=119-a 1,

∴a 1+a 2+…+a 60=(a 1+a 2+a 3+a 4)+(a 5+a 6+a 7+a 8)+…+(a 57+a 58+a 59+a 60) =10+26+42+…+234=15×(10+234)

2

=1 830. 二、填空题

1.(2019·全国3·文T14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 3=5,a 7=13,则S 10= . 【答案】100

【解析】设等差数列{a n }的公差为d,

则{a 3=a 1+2d =5,a 7=a 1+6d =13,解得{a 1=1,d =2. 故S 10=10a 1+

10×92d=10×1+10×9

2

×2=100. 2.(2019·全国3·理T14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1≠0,a 2=3a 1,则S

10S 5

= .

【答案】4

【解析】设等差数列{a n }的公差为d. ∵a 1≠0,a 2=3a 1, ∴a 1+d=3a 1,即d=2a 1.

∴S

10

S 5

=

10a 1+10×9

2d

5a 1+5×42d

=

100a 1

25a 1

=4. 3.(2019·江苏·T8)已知数列{a n }(n ∈N *

)是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 2a 5+a 8=0,S 9=27,则S 8的值是 . 【答案】16

【解析】∵{a n }为等差数列,设公差为d,a 2a 5+a 8=0,S 9=27,∴

{(a 1+d )(a 1+4d )+a 1+7d =0,①9a 1+9×82

d =27,②

整理②得a 1+4d=3,即a 1=3-4d,③ 把③代入①解得d=2,∴a 1=-5. ∴S 8=8a 1+28d=16.

4.(2019·北京·理T10)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2=-3,S 5=-10,则a 5= ,S n 的最小值为 . 【答案】0 -10

【解析】等差数列{a n }中,由S 5=5a 3=-10,得a 3=-2,又a 2=-3,公差d=a 3-a 2=1,a 5=a 3+2d=0,由等差数列{a n }的性质得当n ≤5时,a n ≤0,当n ≥6时,a n 大于0,所以S n 的最小值为S 4或S 5,即为-10.

5.(2019·全国1·文T14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=1,S 3=3

4

,则S 4= . 【答案】5

8

【解析】设等比数列{a n }的公比为q. S 3=a 1+a 1q+a 1q 2

=1+q+q 2

=3

4, 即q 2

+q+14=0.解得q=-1

2.

故S 4=

a 1

(1-q 4)=

1-(-12)4

1+12

=5.

6.(2019·全国1·理T14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=13

,a 42

=a 6,则S 5=________.

【答案】121

3

【解析】设等比数列{a n }的公比为q, 则a 4=a 1q 3

=1

3

q 3,a 6=a 1q 5

=13

q 5

.

∵a 42=a 6,∴19q 6

=1

3q 5

.∵q≠0,∴q=3.

∴S 5=a 1

(1-q 5)1-q

=

13(1-35)

1-3

=

121

3

. 7.(2018·全国1·理T14)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n =2a n +1,则S 6= . 【答案】-63

【解析】∵S n =2a n +1,① ∴S n-1=2a n-1+1(n ≥2).②

①-②,得a n =2a n -2a n-1,即a n =2a n-1(n ≥2).

又S 1=2a 1+1,∴a 1=-1.∴{a n }是以-1为首项,2为公比的等比数列,则

S 6=-1(1-26)

1-2=-63.

8.(2018·北京·理T9)设{a n }是等差数列,且a 1=3,a 2+a 5=36,则{a n }的通项公式为 . 【答案】a n =6n-3

【解析】∵{a n }为等差数列,设公差为d, ∴a 2+a 5=2a 1+5d=36.

∵a 1=3,∴d=6.∴a n =3+(n-1)×6=6n-3.

9.(2018·上海·T10)设等比数列{a n }的通项公式为a n =q n-1

(n ∈N *

),前n 项和为S n ,若lim n →∞S n

a n+1

=1

2

,则

q= . 【答案】3

【解析】由a n =q n-1

,得a n+1=q n

.当q=1时,不满足题意;当q≠1时,S n =a 1(1-q n )

1-q

=

1-q n

1-q

. 若0<|q|<1,则lim n →∞

1-q n

(1-q )q n 不存在;若|q|>1,

则lim n →∞S

n a n+1=lim n →∞1-q n

(1-q )q n =lim n →∞

1

(1-q )·(1

q n -1)=-1

1-q =1

2,解得q=3.

10.(2018·江苏·T 14)已知集合A={x|x=2n-1,n ∈N *},B={x|x=2n ,n ∈N *

}.将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }.记S n 为数列{a n }的前n 项和,则使得S n >12a n+1成立的n 的最小值为 . 【答案】27

【解析】①若a n+1=2k

(k ∈N *

),则S n =21

+22

+…+2k-1

+1+3+ (2)

-1=2k

-2+(2k-1)2

?(2k-1)2

+2k

-2>12·2k

. 令2k

=t ?1

4

t 2

+t-2>12t ?t(t-44)>8.

∴t ≥64?k ≥6.此时,n=k-1+2k-1

=37. ②若a n+1=2k+1(k ∈N *

),

则S n =21

+22

+ (2)

+1+3+…+2k-1(2t

<2k+1,t ∈N *

), ∴S n =2t+1

-2+k 2

>12(2k+1)?2t+1

>-k 2

+24k+14. ∴-k 2

+24k+14<2t+1

<4k+2?k(k-20)>12.

取k=21,此时77

2<2t <43(舍),取k=22,29<2t

<45,t=5,n=5+22=27. 由①②,得n min =27.

11.(2017·全国2·理T15)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=3,S 4=10,则∑k=1n

1

S k

=____________.

【答案】2n

n+1

【解析】设等差数列的首项为a 1,公差为d,由题意可知{

a 1+2d =3,

4a 1+4×3

2d

=10,解得{a 1=1,d =1.

所以S n =na 1+

n (n -1)2d=n (1+n )

2. 所以1

S n =2

n (n+1)=2(1

n -1

n+1).

所以∑

k=1n

1S k

=2[(1-12)+(12-13)+…+(1n -1n+1)]=2(1-1n+1)=

2n

n+1

. 12.(2017·全国3·理T14)设等比数列{a n }满足a 1+a 2=-1,a 1-a 3=-3,则a 4= . 【答案】-8

【解析】设{a n }的公比为q,则由题意, 得{a 1(1+q )=-1,a 1(1-q 2)=-3,

解得{a 1=1,q =-2,故a 4=a 1q 3=-8. 13.(2017·江苏·理T9文T9)等比数列{a n }的各项均为实数,其前n 项和为S n .已知S 3=7

4,S 6=63

4,则a 8= . 【答案】32

【解析】设该等比数列的公比为q,则S 6-S 3=63

4?7

4=14,即a 4+a 5+a 6=14.①

∵S 3=7

4,∴a 1+a 2+a 3=7

4. 由①得(a 1+a 2+a 3)q 3

=14,∴q 3

=1474

=8,即q=2.

∴a 1+2a 1+4a 1=7,a 1=1

. ∴a 8=a 1·q 7

=14

×27

=32.

14.(2016·浙江·理T13文T13)设数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2=4,a n+1=2S n +1,n ∈N *

,则a 1= ,S 5= . 【答案】1 121

【解析】由题意,可得a 1+a 2=4,a 2=2a 1+1, 所以a 1=1,a 2=3.

再由a n+1=2S n +1,a n =2S n-1+1(n ≥2), 两式相减得a n+1-a n =2a n ,即a n+1=3a n (n ≥2).

又因为a 2=3a 1,所以数列{a n }是以1为首项,3为公比的等比数列.所以

S 5=1-351-3

=121. 15.(2016·北京·理T12)已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和.若a 1=6,a 3+a 5=0,则S 6= . 【答案】6

【解析】∵{a n }是等差数列,∴a 3+a 5=2a 4=0.∴a 4=0. ∴a 4-a 1=3d=-6.∴d=-2. ∴S 6=6a 1+15d=6×6+15×(-2)=6.

16.(2016·全国1·理T15)设等比数列{a n }满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2…a n 的最大值为 . 【答案】64

【解析】由已知a 1+a 3=10,a 2+a 4=a 1q+a 3q=5,

两式相除得a 1+a 3

q (a 1+a 3)

=105=2,解得q=1

2,a 1=8, 所以a 1a 2…a n =8

n

·(1)

1+2+…+(n -1)

=2

-12

n 2+

7n

2,函数

f(n)=-1n 2+7

n

的对称轴为n=-

72

2×(-1

2)

=3.5,

又n ∈N *

,所以当n=3或4时,a 1a 2…a n 取最大值为2

-12

×32+

7×3

2=26

=64.

17.(2015·全国1·文T13)在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和.若S n =126,则n= . 【答案】6

【解析】∵a n+1=2a n ,即a

n+1

a n

=2,

∴{a n }是以2为公比的等比数列.

又

a 1=2,∴S n =2(1-2n )1-2=126.∴2n

=64,∴n=6.

18.(2015·湖南·理T14)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,且3S 1,2S 2,S 3成等差数列,则a n = . 【答案】3n-1

【解析】设等比数列{a n }的公比为q,则a n =a 1q n-1

=q n-1

.

因为3S 1,2S 2,S 3成等差数列,所以2×(2S 2)=3S 1+S 3,即4S 2=3+S 3,即4(a 1+a 2)=3+(a 1+a 2+a 3), 也就是4(1+q)=3+(1+q+q 2

),

整理得q 2

-3q=0,解得q=3或q=0(舍去).

所以等比数列{a n }的首项为a 1=1,公比为q=3,故a n =3n-1

.

19.(2015·福建·文T16)若a,b 是函数f(x)=x 2

-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q 的值等于 . 【答案】9

【解析】由题意,得{a +b =p >0,ab =q >0,∴{a >0,

b >0.

不妨设a

q =4.∴p+q=9.

20.(2015·江苏·理T11)设数列{a n }满足a 1=1,且a n+1- a n =n+1(n ∈N *

).则数列{1a n

}前10项的和为____________. 【答案】20

11

【解析】a 2-a 1=2,a 3-a 2=3,a 4-a 3=4,…,a n -a n-1=n, 以上(n-1)个式子相加,得a n -a 1=2+3+4+…+n. ∵a 1=1,∴a n =1+2+3+…+n=n (n+1)

2

. ∴

1

a n

=

2n (n+1)=2(1n -1

n+1

). ∴S 10=2[(1-1

2)+(1

2-1

3)+(1

3-1

4)+…+ (1

9-1

10)+(1

10-1

11)]=2(1-1

11)=20

11.

21.(2015·全国2·理T16)设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n = . 【答案】?1

n

【解析】由a n+1=S n+1-S n =S n S n+1,两边同除以S n S n+1得1

S n ?1

S n+1=1,即1

S n+1

?1

S n =-1,则{1

S n }为等差数列,首项为

1

S 1

=-1,公差为d=-1,∴1S n

=-n.∴S n =-1

n .

22.(2015·广东·理T10)在等差数列{a n}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8= .

【答案】10

【解析】根据等差数列的性质,得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,解得a5=5.又a2+a8=2a5,所以a2+a8=10.

23.(2015·陕西·文T13)中位数为 1 010的一组数构成等差数列,其末项为 2 015,则该数列的首项为.

【答案】5

【解析】由等差数列的性质,得a1+a n

2

=1 010,

又∵a n=2 015,∴a1=5.

24.(2014·江苏·理T7)在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是.

【答案】4

【解析】设公比为q,则由a8=a6+2a4,得a1q7=a1q5+2a1q3,q4-q2-2=0,解得q2=2(q2=-1舍去),所以a6=a2q4=4. 25.(2014·广东·文T13)等比数列{a n}的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5= .

【答案】5

【解析】由等比数列性质知a1a5=a2a4=a32=4.

∵a n>0,∴a3=2.

∴a1a2a3a4a5=(a1a5)·(a2·a4)·a3=25.

∴log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5

=log2(a1a2a3a4a5)=log225=5.

26.(2014·安徽·理T12)数列{a n}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q= . 【答案】1

【解析】设数列{a n}的公差为d,则a1=a3-2d,a5=a3+2d,

由题意得,(a1+1)(a5+5)=(a3+3)2,即(a3-2d+1)(a3+2d+5)=(a3+3)2,整理,得(d+1)2=0,

∴d=-1,则a1+1=a3+3,

故q=1.

27.(2014·全国2·文T16)数列{a n}满足a n+1=1

1-a n

,a8=2,则a1=____________.

【答案】1

2

【解析】将a8=2代入a n+1=1

1-a n ,可求得a7=1

2

;

将a 7=1

2代入a n+1=1

1-a n

,可求得a 6=-1;

将a 6=-1代入a n+1=

1

1-a n

,可求得a 5=2. 由此可知数列{a n }是一个周期数列,且周期为3,所以a 1=a 7=1

.

28.(2014·北京·理T12)若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 10<0,则当n= 时,{a n }的前n 项和最大. 【答案】8

【解析】由等差数列的性质可得a 7+a 8+a 9=3a 8>0,即a 8>0;而a 7+a 10=a 8+a 9<0,故a 9<0.所以数列{a n }的前8项和最大.

29.(2014·天津·理T11)设{a n }是首项为a 1,公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和.若S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1的值为 . 【答案】-12

【解析】由已知得S 1=a 1,S 2=a 1+a 2=2a 1-1,S 4=4a 1+4×32

×(-1)=4a 1-6,而S 1,S 2,S 4成等比数列,所以

(2a 1-1)2

=a 1(4a 1-6),整理得2a 1+1=0,解得a 1=-12

.

30.(2013·全国2·理T16)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 10=0,S 15=25,则nS n 的最小值为 . 【答案】-49

【解析】设数列{a n }的首项为a 1,公差为d,则S 10=10a 1+10×9

2

d=10a 1+45d=0, ① S 15=15a 1+15×14

2d=15a 1+105d=25. ② 联立①②,得a 1=-3,d=2

3,所以S n =-3n+

n (n -1)2

×2

3=1

3n 2

-10

3n.

令f(n)=nS n ,则f(n)=13

n 3

-103

n 2

,f'(n)=n 2

-203

n. 令f'(n)=0,得n=0或n=203

.

当n>203时,f'(n)>0,0

时,f(n)取最小值,而n ∈N +,则f(6)=-48,f(7)=-49,所以当n=7时,f(n)取最小值-49.

31.(2013·辽宁·理T14)已知等比数列{a n }是递增数列,S n 是{a n }的前n 项和.若a 1,a 3是方程x 2

-5x+4=0的两个根,则S 6= . 【答案】63

【解析】因为x 2

-5x+4=0的两根为1和4, 又数列{a n }是递增数列,

所以a 1=1,a 3=4,所以q=2. 所以

S 6=1×(1-26)

1-2=63.

32.(2013·全国1·理T14)若数列{a n }的前n 项和S n =23

a n +13

,则{a n }的通项公式是a n = . 【答案】(-2)n-1

【解析】∵S n =23a n +13

, ① ∴当n≥2时,S n-1=2a n-1+1

. ② ①-②,得a n =23

a n -23

a n-1,即

a n

a n -1

=-2. ∵a 1=S 1=2

3a 1+13,∴a 1=1.∴数列{a n }是以1为首项,-2为公比的等比数列,a n =(-2)n-1

. 33.(2012·全国·文T14)等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3+3S 2=0,则公比q= . 【答案】-2

【解析】由S 3=-3S 2,可得a 1+a 2+a 3=-3(a 1+a 2), 即a 1(1+q+q 2

)=-3a 1(1+q), 化简整理得q 2+4q+4=0,解得q=-2. 三、计算题

1.(2019·全国2·文T18)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1=2,a 3=2a 2+16. (1)求{a n }的通项公式;

(2)设b n =log 2a n .求数列{b n }的前n 项和.

【解析】(1)设{a n }的公比为q,由题设得2q 2

=4q+16,即q 2

-2q-8=0,解得q=-2(舍去)或q=4. 因此{a n }的通项公式为a n =2×4n-1

=2

2n-1

.

(2)由(1)得b n =(2n-1)log 22=2n-1,因此数列{b n }的前n 项和为1+3+…+2n-1=n 2

.

2.(2019·全国2·理T19)已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1,b 1=0,4a n+1=3a n -b n +4,4b n+1=3b n -a n -4. (1)证明:{a n +b n }是等比数列,{a n -b n }是等差数列; (2)求{a n }和{b n }的通项公式.

【解析】(1)证明由题设得4(a n+1+b n+1)=2(a n +b n ),即a n+1+b n+1=1

2(a n +b n ). 又因为a 1+b 1=1,所以{a n +b n }是首项为1,公比为1

2的等比数列. 由题设得4(a n+1-b n+1)=4(a n -b n )+8,即a n+1-b n+1=a n -b n +2. 又因为a 1-b 1=1,所以{a n -b n }是首项为1,公差为2的等差数列.

(2)解由(1)知,a n +b n =

1

2

n -1,a n -b n =2n-1.

所以a n =12

[(a n +b n )+(a n -b n )]=12n +n-12

, b n =1

[(a n +b n )-(a n -b n )]=1n -n+1

.

3.(2019·天津·文T18)设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,公比大于0.已知a 1=b 1=3,b 2=a 3,b 3=4a 2+3. (1)求{a n }和{b n }的通项公式; (2)设数列{c n }满足c n ={

1,n 为奇数,

b n 2

,n 为偶数,

求a 1c 1+a 2c 2+…+a 2n c 2n (n ∈N *

).

【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d,等比数列{b n }的公比为q.依题意, 得{3q =3+2d ,3q 2=15+4d .解得{d =3,q =3,

故a n =3+3(n-1)=3n,b n =3×3n-1

=3n

.

所以,{a n }的通项公式为a n =3n,{b n }的通项公式为b n =3n

.

(2)a 1c 1+a 2c 2+…+a 2n c 2n =(a 1+a 3+a 5+…+a 2n-1)+(a 2b 1+a 4b 2+a 6b 3+…+a 2n b n )

=[n×3+n (n -1

)2

×6]+(6×31+12×32+18×33+…+6n×3n )

=3n 2+6(1×31+2×32+…+n×3n

). 记T n =1×31

+2×32

+…+n×3n

,

①

则3T n =1×32

+2×33

+…+n×3n+1

, ② ②-①得,2T n =-3-32

-33

- (3)

+n×3

n+1

=-3(1-3n )1-3+n×3n+1=(2n -1)3n+1

+32

. 所以,a 1c 1+a 2c 2+…+a 2n c 2n =3n 2

+6T n =3n

2

+3×(2n -1)3n+1+32

=

(2n -1)3n+2+6n 2+92

(n ∈N *

). 4.(2019·天津·理T19)设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列.已知a 1=4,b 1=6,b 2=2a 2-2,b 3=2a 3+4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;

(2)设数列{c n }满足c 1=1,c n ={1,2k

.

①求数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式; ②求∑i=12n

a i c i (n ∈N *

).

【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d,等比数列{b n }的公比为q.依题意得{6q =6+2d ,6q 2=12+4d ,解得{d =3,

q =2,故

a n =4+(n-1)×3=3n+1,

b n =6×2n-1

=3×2n

.

所以,{a n }的通项公式为a n =3n+1,{b n }的通项公式为b n =3×2n

.

(2)①a 2n (c 2n -1)=a 2n (b n -1) =(3×2n

+1)(3×2n

-1)=9×4n

-1.

所以,数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式为a 2n (c 2n -1)=9×4n

-1. ②∑i=1

2n

a i c i =∑i=1

2n

[a i +a i (c i -1)]

=∑i=1

2n

a i +∑i=1

n

a 2i (c 2i -1)

=[2

n

×4+2n (2n -1)2×3]+∑i=1

n

(9×4i

-1)

=(3×22n-1

+5×2

n-1

)+9×4(1-4n )

1-4

-n

=27×2

2n-1

+5×2n-1

-n-12(n ∈N *

).

5.(2019·浙江·T 20)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=4,a 4=S 3.数列{b n }满足:对每个n ∈N *

,S n +b n ,S n+1+b n ,S n+2+b n 成等比数列. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)记c n =√

a n 2

b n

,n ∈N *,证明:c 1+c 2+…+c n <2√n ,n ∈N *

. 【解析】(1)设数列{a n }的公差为d,由题意得a 1+2d=4,a 1+3d=3a 1+3d, 解得a 1=0,d=2. 从而a n =2n-2,n ∈N *

. 所以S n =n 2

-n,n ∈N *.

由S n +b n ,S n+1+b n ,S n+2+b n 成等比数列得(S n+1+b n )2

=(S n +b n )(S n+2+b n ).

解得b n =1

d (S n+12

-S n S n+2).

所以b n =n 2+n,n ∈N *

. (2)c n =√

a n

2b n

=√

2n -22n (n+1)

=√

n -1n (n+1)

,n ∈N *

. 我们用数学归纳法证明. ①当n=1时,c 1=0<2,不等式成立;

②假设n=k(k ∈N *

)时不等式成立,即c 1+c 2+…+c k <2√k .

那么,当n=k+1时,c 1+c 2+…+c k +c k+1<2√k +√k (k+1)(k+2)<2√k +√1<2√k √k+1+√k

√k +2(√k +1?

√k )=2√k +1,

即当n=k+1时不等式也成立.

根据①和②,不等式c 1+c 2+…+c n <2√n 对任意n ∈N *

成立.

6.(2019·江苏·T 20)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M - 数列”. (1)已知等比数列{a n }(n ∈N *

)满足:a 2a 4=a 5,a 3-4a 2+4a 1=0,求证:数列{a n }为“M - 数列”; (2)已知数列{b n }(n ∈N *

)满足:b 1=1,1

n

=

2n

?

2n+1

,其中S n 为数列{b n }的前n 项和.

①求数列{b n }的通项公式;

②设m 为正整数.若存在“M - 数列”{c n }(n ∈N *

),对任意正整数k,当k ≤m 时,都有c k ≤b k ≤c k+1成立,求m 的最大值.

【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q, 所以a 1≠0,q ≠0.

由{a 2a 4=a 5,a 3-4a 2+4a 1=0,得{a 12q 4=a 1q 4,

a 1q 2-4a 1q +4a 1=0,

解得{a 1=1,q =2.

因此数列{a n }为“M - 数列”. (2)①因为

1S n

=

2b n ?

2b n+1,所以b n ≠0.

由b 1=1,S 1=b 1,得1

=2

?2

2

,则b 2=2.

由1S n =2b n ?2b n+1,得S n =b n b

n+12(b n+1-b n ), 当n≥2时,由b n =S n -S n-1,得b n =b n b n+12(b n+1-b n )?b n -1b

n 2(b n -b n -1)

,

整理得b n+1+b n-1=2b n .

所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此,数列{b n }的通项公式为b n =n(n ∈N *

). ②由①知,b k =k,k ∈N *

. 因为数列{c n }为“M - 数列”, 设公比为q,所以c 1=1,q>0. 因为c k ≤b k ≤c k+1,

所以q k-1

≤k ≤q k

,其中k=1,2,3,…,m. 当k=1时,有q ≥1;

当k=2,3,…,m 时,有lnk

≤ln q≤lnk

. 设f(x)=lnx

x (x>1),则f'(x)=1-lnx

x 2. 令f'(x)=0,得x=e.

列表如下:

因为

ln22

=

ln86

<

ln96

=

ln33

, 所以f(k)max =f(3)=ln3

3. 取q=√33

,当k=1,2,3,4,5时,

lnk

k

≤ln q, 即k ≤q k

,经检验知q k-1

≤k 也成立. 因此所求m 的最大值不小于5.

若m ≥6,分别取k=3,6,得3≤q 3

,且q 5

≤6,从而q 15

≥243,且q 15

≤216, 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上,所求m 的最大值为5.

7.(2018·北京·文T15)设{a n }是等差数列,且a 1=ln 2,a 2+a 3=5ln 2. (1)求{a n }的通项公式; (2)求e a 1+e a 2+…+e a n .

【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d, ∵a 2+a 3=5ln 2.∴2a 1+3d=5ln 2,

又a 1=ln 2,∴d=ln 2.∴a n =a 1+(n-1)d=nln 2. (2)由(1)知a n =nln 2. ∵e a n =e

nln 2

=e ln2n

=2n

,

∴{e a n }是以2为首项,2为公比的等比数列. ∴e a 1+e a 2+…+e a n =2+22

+ (2)

=2n+1

-2.

∴e a 1+e a 2+…+e a n =2n+1

-2.

8.(2018·上海·T 21)给定无穷数列{a n },若无穷数列{b n }满足:对任意x ∈N *

,都有|b n -a n |≤1,则称{b n }与{a n }“接近”.

(1)设{a n }是首项为1,公比为1

2的等比数列,b n =a n+1+1,n ∈N *

,判断数列{b n }是否与{a n }接近,并说明理由; (2)设数列{a n }的前四项为a 1=1,a 2=2,a 3=4,a 4=8,{b n }是一个与{a n }接近的数列,记集合M={x|x=b i ,i=1,2,3,4},求M 中元素的个数m:

(3)已知{a n}是公差为d的等差数列.若存在数列{b n}满足:{b n}与{a n}接近,且在b2-b1,b3-b2,…,b201-b200中至少有100个为正数,求d的取值范围.

【解析】(1)数列{b n}与{a n}接近.

理由:由{a n}是首项为1,公比为1

2

的等比数列,

可得a n=1

2n-1,b n=a n+1+1=1

2n

+1,

则|b n-a n|=|1

2n +1-1

2n-1

|=|1-1

2n

|<1,n∈N*,

故数列{b n}与{a n}接近;

(2)由{b n}是一个与{a n}接近的数列,可得a n-1≤b n≤a n+1,

由数列{a n}的前四项为a1=1,a2=2,a3=4,a4=8,

可得b1∈[0,2],b2∈[1,3],b3∈[3,5],b4∈[7,9].

b1与b2可能相等,b2与b3可能相等,但b1与b3不相等,b4与b3不相等,

集合M={x|x=b i,i=1,2,3,4},

M中元素的个数m=3或m=4.

(3)由{a n}是公差为d的等差数列,若存在数列{b n}满足:{b n}与{a n}接近,可得a n=a1+(n-1)d.

①若d>0,取b n=a n,可得b n+1-b n=a n+1-a n=d>0,

则b2-b1,b3-b2,…,b201-b200中有200个正数,符合题意;

②若d=0,取b n=a1-1

n

,

则|b n-a n|=|a1-1

n -a1|=1

n

<1,n∈N*,

可得b n+1-b n=1

n ?1

n+1

>0,

则b2-b1,b3-b2,…,b201-b200中有200个正数,符合题意;

③若-20, 则b2-b1,b3-b2,…,b201-b200中恰有100个正数,符合题意;

④若d≤-2,假设存在数列{b n}满足:{b n}与{a n}接近,

则为a n-1≤b n≤a n+1,a n+1-1≤b n+1≤a n+1+1,

可得b n+1-b n≤a n+1+1-(a n-1)=2+d≤0,

b2-b1,b3-b2,…,b201-b200中没有正数,与已知矛盾.

故d≤-2不符合题意.

综上可得,d的取值范围是(-2,+∞).

9.(2018·江苏·T 20)设{a n }是首项为a 1,公差为d 的等差数列,{b n }是首项为b 1,公比为q 的等比数列. (1)设a 1=0,b 1=1,q=2,若|a n -b n |≤b 1对n=1,2,3,4均成立,求d 的取值范围;

(2)若a 1=b 1>0,m ∈N *

,q ∈(1, √2m

],证明:存在d ∈R,使得|a n -b n |≤b 1对n=2,3,…,m+1均成立,并求d 的取值范围(用b 1,m,q 表示).

【解析】(1)由条件知,a n =(n-1)d,b n =2n-1

. 因为|a n -b n |≤b 1对n=1,2,3,4均成立, 即|(n-1)d-2n-1

|≤1对n=1,2,3,4均成立, 即1≤1,1≤d≤3,3≤2d≤5,7≤3d≤9,得73≤d≤5

2. 因此,d 的取值范围为[7,5]. (2)由条件知,a n =b 1+(n-1)d,b n =b 1q n-1

.

若存在d,使得|a n -b n |≤b 1(n=2,3,…,m+1)成立,即|b 1+(n-1)d-b 1q n-1

|≤b 1(n=2,3,…,m+1), 即当n=2,3,…,m+1时,d 满足q n -1-2n -1b 1≤d≤q n -1

n -1b 1.因为q ∈(1,√2m

],则1

≤2, 从而q n -1-2b 1≤0,q n -1

b 1>0,对n=2,3,…,m+1均成立. 因此,取d=0时,|a n -b n |≤b 1对n=2,3,…,m+1均成立.

下面讨论数列{q n -1-2n -1}的最大值和数列{q n -1

n -1}的最小值(n=2,3,…,m+1). ①当2≤n≤m 时,

q n -2n ?q n -1-2

n -1

=

nq n -q n -nq n -1+2

n (n -1)

=

n (q n -q n -1)-q n +2

n (n -1)

,

当1

m 时,有q n

≤q m

≤2,从而n(q n

-q n-1

)-q n

+2>0. 因此,当2≤n≤m+1时,数列{q n -1-2

n -1}单调递增,

故数列{q n -1-2n -1}的最大值为q m -2

m

.

②设f(x)=2x (1-x),当x>0时,f'(x)=(ln 2-1-xln 2)2x

<0, 所以f(x)单调递减,从而f(x)

时,q n

n q n

-1n -1

=

q (n -1)n

≤

21n

(1-1n )=f (1

n )<1,

因此,当

2≤n≤m+1时,数列{q n -1

n -1}单调递减,

故数列{q n -1

n -1}的最小值为q m

m . 因此,d 的取值范围为[

b 1(q m -2)m

,b 1q m

m ].