十年(2010-2019年)高考数学真题分类汇编：专题08 数列 (含答案解析)

十年(2010-2019年)高考数学真题分类汇编
专题08 数列
一、选择题
1.(2019·全国1·理T9)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则( )
A.an=2n-5 B.an=3n-10
C.Sn=2n2-8n D.Sn=12n2-2n
【答案】A

【解析】由题意可知,{S4=4a1+4×32·d=0,a5=a1+4d=5,
解得{a1=-3,d=2.故an=2n-5,Sn=n2-4n,故选A.
2.(2019·浙江·T10)设a,b∈R,数列{an}满足a1=a,an+1=𝑎𝑛2+b,n∈N*,则( )
A.当b=12时,a10>10 B.当b=14时,a10>10
C.当b=-2时,a10>10 D.当b=-4时,a10>10
【答案】A
【解析】当b=12时,a2=𝑎12+12≥12,a3=𝑎22+12≥34,a4=𝑎32+12≥1716≥1,当n≥4时,an+1=𝑎𝑛2+12≥𝑎𝑛2≥1,则
lo𝑔1716an+1>2lo𝑔1716an⇒lo𝑔1716an+1>2n-1,则an+1≥（1716 ）2𝑛-1(n≥4),则a10≥（1716） 26=（1+116）64=1+
64
16
+

64×632×1
16
2
+…>1+4+7>10,故选A.

3.(2018·全国1·理T4)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=( )
A.-12 B.-10 C.10 D.12
【答案】B
【解析】因为3S3=S2+S4,所以3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.设公差为d,则3a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所
以a5=a1+4d=-10.
4.(2018·浙江·T10)已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,则( )
A.a1a3,a2a4 D.a1>a3,a2>a4
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为q,则
a1+a2+a3+a4=𝑎1(1-𝑞4)1-𝑞,a1+a2+a3=𝑎1(1-𝑞3)1-𝑞.
∵a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3),
∴a1+a2+a3=𝑒𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑎4,即a1(1+q+q2)=𝑒𝑎1(1+𝑞+𝑞2+𝑞3).
又a1>1,∴q<0.
假设1+q+q2>1,即q+q2>0,解得q<-1(q>0舍去).
由a1>1,可知a1(1+q+q2)>1,
∴a1(1+q+q2+q3)>0,即1+q+q2+q3>0,
即(1+q)+q2(1+q)>0,即(1+q)(1+q2)>0,这与q<-1相矛盾.
∴1+q+q2<1,即-1a3,a25.(2018·北京·理T4文T5)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比
例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从
第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212.若第一个单音的频率为f,则第
八个单音的频率为( )
A.√23f B.√223f C.√2512f D.√2712f
【答案】D
【解析】设第n个单音的频率为an,由题意,𝑎𝑛𝑎𝑛-1=√212(n≥2),所以{an}为等比数列,因为a1=f,所以
a8=a1×(√212)7=√2712f,故选D.
6.(2017·全国1·理T12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴
趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列
1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,
依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码
是( )
A.440 B.330 C.220 D.110
【答案】A
【解析】设数列的首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推,设第n组的项数

为n,则前n组的项数和为𝑛(1+𝑛)2.第n组的和为1-2𝑛1-2=2n-1,前n组总共的和为2(1-2𝑛)1-2-n=2n+1-2-n.
由题意,N>100,令𝑛(1+𝑛)2>100,得n≥14且n∈N*,即N出现在第13组之后.若要使最小整数N满足:N>100且
前N项和为2的整数幂,则SN-𝑆𝑛(1+𝑛)2应与-2-n互为相反数,即2k-1=2+n(k∈N*,n≥14),所以k=log2(n+3),解
得n=29,k=5.
所以N=29×(1+29)2+5=440,故选A.
7.(2017·全国3·理T9)等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为
( )
A.-24 B.-3 C.3 D.8
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为d,则d≠0,a32=a2·a6,
即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),
解得d=-2,
所以S6=6×1+6×52×(-2)=-24,故选A.
8.(2016·全国1·理T3)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=( )
A.100 B.99 C.98 D.97
【答案】C

【解析】因为S9=(a1+a9)×92=27,a1+a9=2a5,
所以a5=3.又因为a10=8,所以d=a10-a510-5=1.
故a100=a10+(100-10)×1=98.
9.(2015·浙江·理T13)已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则( )
A.a1d>0,dS4>0 B.a1d<0,dS4<0
C.a1d>0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>0
【答案】B
【解析】设{an}的首项为a1,公差为d,则a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d.
∵a3,a4,a8成等比数列,
∴(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),即3a1d+5d2=0.
∵d≠0,∴a1d=-53d2<0,且a1=-53d.
∵dS4=4d(a1+a4)2=2d(2a1+3d)=-23d2<0.
10.(2015·全国2·文T5)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=( )
A.5 B.7 C.9 D.11
【答案】A
【解析】由a1+a3+a5=3及等差中项,得3a3=3,解得a3=1.故
S5=5(a1+a5)2=5a3=5.
11.(2015·全国1·文T7)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和.若S8=4S4,则a10= ( )
A.172 B.192 C.10 D.12
【答案】B
【解析】∵公差d=1,S8=4S4,

∴8(a1+a8)2=4×4(a1+a4)2,
即2a1+7d=4a1+6d,解得a1=12.
∴a10=a1+9d=12+9=192.
12.(2015·全国2·理T4)已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( )
A.21 B.42 C.63 D.84
【答案】B
【解析】由题意知𝑎1+𝑎3+𝑎5𝑎1=1+q2+q4=213=7,解得q2=2(负值舍去).∴a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2=21×2=42.

13.(2015·全国2·文T9)已知等比数列{an}满足a1=14,a3a5=4(a4-1),则a2=( )
A.2 B.1 C.12 D.18
【答案】C
【解析】∵a3a5=4(a4-1),∴𝑎42=4(a4-1),解得a4=2.
又a4=a1q3,且a1=14,∴q=2.∴a2=a1q=12.
14.(2014·大纲全国·文T8)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=( )
A.31 B.32 C.63 D.64
【答案】C
【解析】由等比数列前n项和的性质,得S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,所以(S4-S2)2=S2(S6-S4),即
(15-3)2=3(S6-15),解得S6=63,故选C.
15.(2014·全国2·文T5)等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=( )
A.n(n+1) B.n(n-1)

C.𝑛(𝑛+1)2 D.𝑛(𝑛-1)2
【答案】A
【解析】∵a2,a4,a8成等比数列,
∴ =a2·a8,即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),
解得a1=2.

∴Sn=na1+𝑛(𝑛-1)2d=2n+n2-n=n2+n=n(n+1).
16.(2013·全国2·理T3)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( )
A.13 B.-13 C.19 D.-19
【答案】C
【解析】由S3=a2+10a1,得a1+a2+a3=a2+10a1,整理得a3=9a1,所以q2=𝑎3𝑎1=9.由a5=9,得a1=𝑎5𝑞4=992=19.
17.(2013·全国1·文T6)设首项为1,公比为23的等比数列{an}的前n项和为Sn,则( )
A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2
C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an
【答案】D

【解析】Sn=𝑎1(1-𝑞𝑛)1-𝑞=𝑎1-𝑎𝑛𝑞1-𝑞=1-23𝑎𝑛1-23=3-2an.
18.(2013·全国1·理T12)设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn,△AnBnCn的面积为Sn,n=1,2,3,….若
b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=cn+an2,cn+1=bn+an2,则( )
A.{Sn}为递减数列
B.{Sn}为递增数列
C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列
D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列
【答案】B

【解析】因为b1>c1,不妨设b1=4a13,c1=2a13,p=12(a1+b1+c1)=32a1,则S1=√3a12·a12·a16·5a16=√1512a12;
a2=a1,b2=23a1+a12=56a1,c2=43a1+a12=76a1,
S2=√3a12·a12·2a13·a13=√66a12;显然S2>S1.
同理,a3=a1,b3=76a1+a12=1312a1,
c3=56a1+a12=1112a1,S3=√3a12·a12·512a1·712a1=√10524a12,显然S3>S2.