构造性方法在数学解题中的应用举例
构造法在解题中的应用
构造法在解题中的应用作者：李玟慧来源：《卷宗》2018年第01期摘要：构造法是一种具有创造性的化归手段。
运用构造法解决问题关键就在于怎么根据题目中给出的条件构造出新的对象或者是数学模型。
总的来看，构造法具有简洁、明了和新颖等特点。
所以，研究如何应用构造法去解题是具有意义的。
本文在概述构造法涵义和模式的基础上，通过具体的例子分析了构造法在解题中的应用，以期加强对构造法的认识和利用。
关键词：构造；解题；应用1 构造法的概述1.1 构造法的涵义构造法指的是根据题目中给出的条件，并结合结论中的性质和特征，运用新的角度和观点来分析条件和结论中的内在联系，将问题与熟知的概念、公式和定理等进行结合，构造出新的对象或者是数学模型，从而借助该数学对象或者是模型解决数学问题的方法。
1.2 构造法的模式构造法的内容是十分丰富的，它需要不断地分析、对比和归纳，进而找出新的思路。
那如何运用构造法实现解题过程的转化呢？如图1所示，构造法的大概模式是：首先先对题设条件进行逻辑处理；其次通过创新思维对问题进行分析与综合；最后是将相关知识点融入题意中构造出新的函数、关系式、图像或者是方程实现对结论的推演，达到解题的目的。
2 构造法在解题中的应用构造法是一种重要的数学解题方法，通过构造使题目由难变易，由繁变简，从而实现问题的解决。
接下来通过具体的实例来讨论下构造法在解题中的应用。
2.1 构造函数函数是数学知识中的核心内容。
利用函数的图像和性质，尤其是函数的奇偶性、单调性、对称性和周期性，将数学问题转化成函数问题，是一种直接、有效的解题方法。
2.2 构造方程方程是数学解题中的重要工具。
在解题过程中，善于观察和分析问题的结构特征及问题中的数量关系，构造出与结论相关的辅助方程，使已知和未知有了联系，再通过对辅助方程的性质，比如求根公式、根与系数的关系等进行研究就可以解决原来的问题，使解答过程变得既简洁又合理。
2.3 构造向量平面向量作为一种重要的教学与解题工具，不仅反映数量间的关系，而且反映位置的关系。
构造法在数学解题中的应用
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构造法在数学解题中的应用
作者：林友通
来源：《中学教学参考·理科版》2013年第04期
解题是学习数学的必经过程，它是对已有知识、方法，采取调动、重组、变换、类比、限定、推广等手段进行再创造的过程.其中，构造性的思想方法就是这种创造性活动的一个组成
部分.笔者从几年来的解题实践经验中体会到：构造性的思想方法首先要明确所求结论，即为
什么结论而构造；其次再弄清楚已知条件的主要特征；然后根据这些主要特征，决定应对策略，实施对应的构造方法.以下是中学数学中几种常见的构造性的思想方法，即构造法.
方法一构造程序
所谓构造程序，主要是指能设计出一种可用的作图步骤或计算算式，以有限次的运作内能实现所构造的目标，并证明目标存在性的方法.它是通过设计一种作图步骤或计算算式来实现
解题的巧妙的构造性思想方法.
构造程序的解题模式：。
构造性思维,开辟解题新路
数学教学 通讯 （ 师版 ） 教
试题研究＇ 技巧 解题
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摘 要
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构造性证明法在高等数学中的应用
构造性证明法在高等数学中的应用数学是人类探索自然世界和人类思维的一种工具，具有极高的抽象性和普适性。
在高等数学中，证明是重要的一项工作，它不仅检验了数学结论的正确性，还具有一定的教育意义。
而在证明过程中，构造性证明法是一种很有用的方法，可以有效地解决很多问题，为数学研究提供了有力的工具。
一、构造性证明法的基本思想构造性证明法的基本思想是通过构造一种满足所要证明结论的对象来证明结论的正确性。
与传统的反证法、归纳法等证明方法不同，构造性证明法更注重实际上的具体表现。
构造性证明法的基本步骤是：（1）明确构造的对象和要证明的结论；（2）确定构造对象的性质和规律，并加以分析；（3）构造符合要求的实例，并证明其满足要证明的结论；（4）推广、扩展或综合构造对象及其性质，进一步验证要证明的结论。
通过这种思路，构造性证明法可极大地提高证明的直观性和实用性，使结论更具备可行性和实际意义。
二、（一）初等数学在初等数学中，构造性证明法经常用来证明各种数学结论。
例如，证明有理数的和、差、积和商仍为有理数，可以用构造方法，如通过通分、分子分母同乘等方式，构造出所求的有理数。
此外，在初等数学中，地道的构造性证明法常常与其他证明方法相结合，共同实现证明目的。
（二）线性代数线性代数中，构造性证明法被广泛应用于矩阵和向量空间的性质证明以及线性方程组的解法。
例如，证明非零向量的线性无关性可以采用构造性证明法，构造出满足性质要求的向量并证明其线性无关性。
此外，在线性代数中，构造性证明法与纯数学方法的结合也很常见，如利用特殊构造的矩阵来证明定理或性质。
（三）实变函数实变函数中的极限定理、连续性、一致连续性等，往往需要通过构造性证明法来证明。
例如，证明一致连续性可以采用构造性证明法，构造符合性质要求的函数，并证明其一致连续。
此外，在实变函数中，构造性证明法也可与形式化证明方法相结合，通常需要更加细致和精确的推导和研究过程。
（四）微积分微积分中，一些重要的定理、概念和结论需要通过构造性证明法来证明，例如微积分基本定理中的积分中值定理。
构造证明法
构造证明法构造证明法（Constructionism Proof）是一种在数学和计算机科学领域中常用的证明方法。
它通过构造一个满足特定条件的对象来证明一个命题的正确性。
本文将详细介绍构造证明法的基本原理和应用，并以几个具体的例子来说明。
一、构造证明法的基本原理构造证明法的基本原理是通过构造一个实例来证明一个命题的成立。
它与直接证明法和归纳法不同，直接证明法是通过逻辑推理来证明一个命题的成立，而归纳法则是通过对一个命题的一系列特定情况进行推理来证明其成立。
相比之下，构造证明法更加直观和具体，因为我们可以通过具体的例子来展示一个命题的成立。
二、构造证明法的应用1. 构造全排列构造全排列是构造证明法的常见应用之一。
全排列是指给定一组元素，通过重新排列它们以产生所有可能的排列。
以{1, 2, 3}为例，我们可以通过构造具体的排列来证明全排列的存在。
通过不断交换元素的位置，我们可以构造出6个不同的排列：{1, 2, 3}, {1, 3, 2}, {2, 1, 3}, {2, 3, 1}, {3, 2, 1}, {3, 1, 2}。
通过这个例子，我们可以得出结论：对于任意给定的集合，它的全排列一定存在。
2. 构造无穷多素数构造证明法还可应用于数论领域。
以证明存在无穷多素数为例，我们可以通过构造一个无穷递增的素数序列来证明这个命题。
我们从最小的素数2开始，不断找出比当前素数更大的下一个素数加入序列中。
例如，我们可以以{2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}的形式构造一个无穷递增的素数序列。
由于素数是无穷多的，因此我们可以构造出无穷多个素数，从而证明了存在无穷多素数的命题。
三、构造证明法的优点和局限性构造证明法的优点在于它直观、具体且易于理解。
通过构造具体的例子，我们可以更好地理解一个命题的含义和成立条件。
此外，构造证明法可以为算法设计和问题求解提供实际的思路和方法。
然而，构造证明法也有一定的局限性。
构造法在数学解题中的应用
构造法在数学解题中的应用作者：林友通来源：《中学教学参考·中旬》 2013年第4期福建泉州市泉港区山腰中学（362801）林友通解题是学习数学的必经过程，它是对已有知识、方法，采取调动、重组、变换、类比、限定、推广等手段进行再创造的过程.其中，构造性的思想方法就是这种创造性活动的一个组成部分.笔者从几年来的解题实践经验中体会到：构造性的思想方法首先要明确所求结论，即为什么结论而构造；其次再弄清楚已知条件的主要特征；然后根据这些主要特征，决定应对策略，实施对应的构造方法.以下是中学数学中几种常见的构造性的思想方法，即构造法.方法一构造程序所谓构造程序，主要是指能设计出一种可用的作图步骤或计算算式，以有限次的运作内能实现所构造的目标，并证明目标存在性的方法.它是通过设计一种作图步骤或计算算式来实现解题的巧妙的构造性思想方法.构造程序的解题模式：【例1】证明存在两个无理数x，y,使z=xy是有理数.【例2】证明：能够找到1985个连续的自然数，它们中恰好只有一个质数.分析：直接寻找适合于已知条件的1985个自然数很难.但只要求设计一种方法，按照这个方法实施一定能找到一组1985个适合于条件的自然数.联想到“质数无限多”的欧几里得证法中曾构造N=n!+1.这样N+1,N+2,…,N+k（其中k＜n）,即为k个连续的合数.于是启发我们构造如下的程序.解：设N=1985!+1，因为质数无限多，取大于N的最小质数p.这时，由N+1,N+2,…,N+1984均为合数，可得p＞N+1984，即p≥N+1985.这保证了在N与p之间至少有1984个合数，所以p-1,p-2,p-3,…,p-1983,p-1984恰为1984个连续的合数.而p是质数，所以p-1984,p-1983,…,p-2,p-1,p即为满足已知条件的1985个连续自然数.方法二构造图形所谓构造图形，指的是已知条件的数量关系有显著的几何意义，能与几何图形建立对应关系，于是通过作图来构造图形，将已知条件及其数量关系直接体现在图形中，在所构造的图形中来寻求所要证的结论.构造图形是一种突出体现在由已知条件特点分析向构造图形转变的创造性思想方法.构造图形的解题模式：方法三构造函数所谓构造函数，是根据已知条件的数量关系的特点，设计一种新的函数或方程或多项式等具体关系，使问题在新的关系下实现转化，从而获得解决的数学思想方法.构造函数是依已知条件而设计符合题意且能解决问题的构造性思想方法.构造函数的解题模式：因为P(x)必须是整系数，所求的Q(x)各系数必须是10的倍数，而且满足③式.所以自然而然地想到构造函数Q(x)=(10x-1)n+1(其中n为奇数).将10x-1将与①式联系，由二项式定理知，当n为奇数时，(10x-1)n+1各系数均为10的倍数，要Q(x)满足③，即|(10x-1)n|＜0.001.根据①，必须选择n，使得(0.2)n＜0.001，或5n＞103，显然取n=5即可.于是我们构造出多项式P(x)=110［(10x-1)5+1］满足条件.方法四构造模型所谓构造模型，是指根据已知条件及其数量关系的特点，构造一个模型，通过这个模型得到一种解释，从而使问题得到解决.我们可把问题当做集合A,找一个集合B，使A与B之间存在一种一一映射的对应关系，且A中的数量关系与B中相应的数量关系也一一对应，于是集合A 中的问题转化为集合B中相应的问题加以研究解决.构造模型是根据问题条件，建立与问题之间成一一映射的一种特殊关系，从而达到解决问题的一种创造性的数学思想方法.构造模型的解题模式：【例7】方程x1+x2+x3+x4=7有多少组非负整数解？分析：设计以下的模型，将7个不能分辨的球放在四个盒子中.如图2所示易得知，球的方法对应着方程的一组解（3，1，1，2）.反之，方程任一组非负整数解对应着球在盒中的一种放法.所以，计算7个球在四个盒子中放法的总数C710=C310=120，即方程非负整数解共120组.【例8】已知：空间中有六条直线，其中任何三条不平行，任何三条不交于一点，也不共面.求证：在这六条直线中总可选出三条，其中任两条异面.分析：根据已知条件，任三条已知直线中，必有两条异面直线.将这六条直线与空间六点A、B、C、D、E、F建立一一对应关系，两条直线异面，则其对应两点间用红色线段相连，否则以蓝色线段相连.这样建立了一个模型，原问题归结为：已知六个点，其中任意两点用红色线段或蓝色线段连接，且任何一个以这些点为顶点的三角形都有一边是红色的.求证.存在一个三角形，其三边都是红色的.由于只涂两种颜色，所以P1P2,P1P3,P1P4,P1P5,P1P6中至少有三条涂同一种颜色.不妨设P1P2,P1P3,P1P4颜色相同.（1）若这三条均涂蓝色，则△P2P3P4三边将都是红色.（2）若这三条均涂红色，根据题意，△P2P3P4中有一边也涂红色，设P2P3为红色，则△P1P2P3三边皆为红色.综合(1)(2)，问题得证.方法五构造反例所谓构造反例，是指要证明一个命题是假命题，可以选择一个符合已知条件，但结论不能成立的特殊例子.通常选择特殊值、极端情形是构造反例的关键.构造反例的解题模式：【例9】试说明命题“若x2=y2,则x=y”不能成立.分析：构造反例，令x=1,y=-1,显然有x2=y2,但x≠y.【例10】“设A、B是坐标平面上的两个点集，Cr={(x,y)|x2+y2≤r2}，若对于任何r，都有Cr∪A�Cr∪B，则必有A�B”.试判定命题是否正确，如不正确，构造一个反例.分析：（0,0）是特殊点，我们构造反例，取A={(x,y)|x2+y2≤1}，B为去掉A中（0,0）点的集合.容易看到Cr∪A�Cr∪B，但A不包含于B中.从上面可以看到，构造反例的思想方法有时起着“四两拨千斤”的作用.前面所列举的五种构造性思想方法，是用构造法解题中常见的五种类型，但并不是所有构造性思想方法.上述对数学解题中构造性思想方法的研究与探讨，只是非常初级的、浅显的，还有待通过未来的再实践进一步总结，使之更系统、更完善.(责任编辑黄春香）。
构造性方法在高中数学解题中的应用
构造性方法在高中数学解题中的应用作者：李斌来源：《教育界·中旬》2015年第07期【摘要】构造法是一种富有创造性的解题方法，对培养学生的创造性思维有着重要意义。
新一轮的课程改革增加了向量、概率、算法、微积分等知识，并强调数学知识点的相互融合，这使构造法的应用更加广泛。
综合相关文献资料发现，广大教育工作者已经对构造法解题的基本类型、构造法的功能及构造法对思维能力的培养有了广泛的研究，但针对新教材中的新内容却很少涉及。
文章通过对向量、概率、算法、微积分等七块知识点的举例研究，初步探讨构造法在高中数学解题中的应用。
【关键词】构造法高中数学新教材解题1构造思想与构造法构造思想是一种数学思想，它用构造的策略来解决问题，反映了构造法的实质。
构造法是一种数学方法，是采用构造的方法去执行这种策略的具体手段。
其实质构造思想与构造法互为表里，在数学活动中的表现形态不具备明确的界限，故统称为构造思想方法，简称构造性方法。
构造性方法的实质就是依据某些数学问题的条件或结论所具有的典型特征，用已知条件中的元素为“元件”，用已知的数学关系为“支架”，在思维中构造出一种相关的数学对象、一种新的数学形式，从而使问题转化并解决的方法。
2怎样用构造法解题数学解题方法形式多样，种类繁多，构造性解题方法就是其中一种。
“构造”是一种重要而灵活的思维方式，它没有固定的模式。
要用好这一方法，需要有敏锐的观察、丰富的联想、灵活的构思、创造性的思维等能力。
构造性解题方法很好地体现了数形结合、类比、转化等数学思想，也渗透了猜想、换元、归纳概括、特殊化等重要的数学方法。
应用构造法解题的关键有以下几点：（1）要有扎实的数学基础知识。
使用构造法解题是对已有知识和方法采取分解、组合、变换、类比、限定、推广等手段进行思维的再创造，构成新的式子或图形来帮助解题。
因此已有的知识和方法必须丰富、扎实。
（2）要有明确的方向，即要明确为了解决什么问题而建立一个相关的构造。
最新构造法在数学解题中的应用
构造法在数学解题中的应用摘要: 构造法是数学解题中常用的一种方法，尤其在解决繁难的数学问题时，如能根据具体问题恰当运用构造法，那么就会化难为易、化繁为简，使问题迎刃而解。
数学构造法是一种重要的创造性思维方法。
文章从构造命题、函数、方程、恒等式、数列、几何模型及实物模型等九个方面展示了构造法在数学解题中的应用。
关键词:应用 解题 构造法 引言:数学的学习过程，离不开解题，美国数学家哈尔莫斯也曾说过“数学真正的组成部分应该是问题和解，问题才是数学的心脏”。
在数学教育中，解题活动可以说是最基本的活动形式。
一个好的问题的解决方式往往有多种。
用构造法解题是一个既古老又年轻的科学方法，如欧拉“七桥问题”的解决，历史上许多数学家都曾用构造发解决过数学中的难题。
构造法是数学上的一种基本方法，在解题中通过对条件和结论的充分剖析，联想出一个适当的数学模型，使问题巧妙的得到解决，从而避免繁杂的运算或复杂的证明。
构造法有十分优越的特点：它在于使已知与未知，条件与结论，建立联系。
使本来模糊不清的关系豁然开朗，层次分明。
它起到化简、转化和“桥梁”的作用。
如果我们能掌握构造法并能运用于解决数学问题,那么不但可以提高我们的解题能力,而且可以培养我们良好的数学思维品质。
1、构造函数构造函数法解题的方法就是根据题目变量间的关系构造一个辅助函数，使各变量有机结合起来，从而使解题思路明朗。
它的应用非常广泛，常见的有应用于不等式的证明、等式证明、求值计算、分解因式、求极限、解方程组等。
构造函数法解题要注意构造的函数需满足：（1）与命题的形式或几何解释密切相关（2）能够使推理计算变的简捷（3）函数的基本特性（定义域、值域、单调性、有界性、奇偶性、周期性等）与命题相符合（4）所构造的函数与题设条件有着直接或间接的联系。
函数是初等数学教育的核心，是解决初等数学问题的基本出发点，利用函数的性质，将数学问题归结为函数问题来解是一种常见、有效、通用的做法。
构造法在现代数学中的应用
2013年02月下半月刊193现代教育管理一．引言 构造法是数学中一种十分重要和基础的方法，它是指利用已知条件和已掌握的知识，通过观察、联想构造出满足条件的数学对象，或构造出一种新的问题形式，使问题的结论得以肯定或否定，或使问题转化，从而使问题得到有效的解决。
本文在前人研究的基础上，引入构造性数学的新领域。
二．构造法的应用解数学题都有一定的规律，也有一些固定的方法。
归纳、递推、构造都是我们经常遇到的，其中构造法是运用数学的基本思想经过认真的观察，深入的思考构造出解题的数学模型从而使问题得以解决。
常见的构造法主要有构造函数、构造方程、构造几何图形、构造数列、构造向量、构造平面、构造极端、构造对偶式、构造特例以及构造情景模型等。
构造法除应用于对经典数学的概念、定理寻找构造性解释之外，随着近代科学技术的飞速发展，构造法也愈来愈广泛地应用于开发构造性数学的新领域。
（一）构造法在数值分析中的运用数值分析主要介绍现代科学计算中常用的数值计算方法及其基本原理，研究并解决数值问题的近似解，是数学理论与计算机和实际问题的有机结合。
随着科学技术的迅速发展，运用数学方法解决科学研究和工程技术领域中的实际问题，已经得到普遍重视。
例如，人口普查统计是一个时段的人口增长量，通过这个时段人口数量变化规律建立离散模型来预测未来人口。
另一方面，对常见的微分方程、积分方程为了求解，往往需要将连续模型转化成离散模型。
将连续模型转化成离散模型，最常用的方法就是建立差分方程。
以非负整数k 表示时间，记k x 为变量x 在时刻k 的取值，则称k k k x x x −=∆+1为k x 的一阶差分，称kk k k k x x x x x +−=∆∆=∆++1222)(为k x 的二阶差分。
类似的求出k x 的n 阶差分k nx ∆。
由k ，k x ，及k x 的差分给出的方程称为差分方程。
例如在研究节食与运动模型时，发现人们往往采取节食与运动方式消耗体内存储的脂肪，引起体重下降，达到减肥目的。
基于“构造法”的高中数学解题思路分析
2021年第31期总第524期数理化解题研究基于“构造法”的高中数学解题思路分析何晨良(江苏省无锡市第一中学214041)摘 要:在高中数学解题中，一些问题无法直接使用结论或者相关条件解决，如果选择构造明确的数学模型和数学对象，不仅能提升解题准确率，还能使得高中数学解题过程变得简单•构造法对学生的创造能力和联想能力要求较高，但是通过科学训练也能提升学生这方面的能力.关键词：高中数学；构造法；思路中图分类号：G632 文献标识码:A 文章编号：1008 -0333(2021)31 -0063 -02数学研究中，存在非构造性数学和构造性数学,主要讨论存在和构造的问题•利用构造法能简化许多题目的 解题步骤，教师帮助学生掌握解题基本方法和巧妙思路， 设置有探究性、开放性、情境性、应用性的数学题,切实提升学生的解题能力.一、把握本质,解决变式题目所谓变式题目,指的是从一个题目出发,经过改造和 转变产生不同的题目.学生在解题中会碰到较多变式题 目，只有有效分析变式问题的形式、内容和结论,分析问 题的本质属性，才能有效解决问题•学生在解决变式问题的过程中，也能逐渐突破题目形式的干扰.对于变式问 题，应认清本质、灵活分析.例1如果把所有正整数排成一个|三角形阵列，那么如图1,第n 行从左向 2 3 右查,第三个数字是 (n M3) • 7；[爲分析根据图式发现，第一行有1 图]个数字，第二行有2个数字,第n - 1行、一共有n - 1个数字，所以第n - 1行最末尾的数字正好是 等差数列中的第n -1项.1+2 + - + (n -1) — n ⑴；1),所以第n 行从左向右查，第三个数字是^n 2_1) - n 一； +6这个题目主要考查学 生使用数列的能力,如果能发现题目中数字的排列特点,就 能有效解题•以这个题目为基础,还有其它变式题目.例2在如图2中的杨辉三角里面,Z 斜线的上方有一个锯齿形数列，这个数列是：1,3,3,4,6,5,…，如果第n项是-n ，那么-19的数值是多少？分析这个题目引入了杨辉三角的知识,从一个新颖的角度进行考查，在解题中根据这 种三角的特征，使用构造法组成组合数:c 2,c ；,c ?,c 4,…,分析其中的规 律，可以得出-]9对应的项为C ]0,数值 是 55 •例3有一个n 行n 列的矩阵A ,是n 2(n e N * ,同时n M4)个正数组成的，这个矩阵A 如下:11 12-21 -22 …-2n 6n 1 -n 2…-nn-,代表的是第i 行和第j 列的数字.如果这个矩阵每 一列的数字都是等比数列，每一行的数字都是等差数列, 等比数列的公比是q ,且满足-24 — 1 , -43 — 3 , -42 — 1 ,第16 84列的通项公式是｛ -k 4l,第4行的通项公式是｛ -4k 丨，那么-,的通项公式是什么？如果矩阵对角线上的元素-nn 和是 S nn ，那么S nn 的数值是多少？分析 这个变式题目是在前面题目基础上引入了矩阵，而且包含等比数列和等差数列•此题看似结构比较复 杂，而且内容比较长,但是如果能捋顺思路、仔细分析,可以有效解决问题.第4行是等差数列，同时-43 —3,-42 — 1 ,因为公差是16 8]]，同时首项-4]-]]，所以-4k — 16 +(k -1)]：二 Q ，-4 二]•第4列是等比数列,-24 — 1 , -44 —],得出公比是2, 首项是2,所以-k 4 —2( ] )k -]•收稿日期：2021 -08 -05作者简介:何晨良(1982. 2 -)，男，江苏省江阴人，本科，中学一级教师，从事中学数学教学研究.—63—数理化解题研究2021年第31期总第524期学生没有碰到过求矩阵a“通项公式的问题,但是首先求出第i行、第1列的数值，而后求出第i行、第4列的数值,就能最终得出a,的通项公式，通过构造第i行的两项,使用等差数列来解决问题.因为a,-(1)i+(j-1)•(；)i-J(1)i，所以S”n-1+2(1)2+3(2)；+…+ n(1)n，使用错位相减法能进行求解.二、一题多解，多角度分析问题一些高中数学问题有多种解法，可以从不同侧面看待问题和分析问题，通过发掘题目中已知和未知的关系，尝试使用不同方法和思路解题是培养学生发散思维和拓展解题思路的重要途径.例4a,0,y都是正实数，同时a<0,试证明:护卩+Y >(a+0)•分析1斜率公式的构造•的,通过构造斜率公式能进行证明.因为0<a<0,所以在第一象限中,P(a,0)必然在y -%这条直线的下方•分析几何图形，得出k pQ>—0P，也就是说错>卡.使用构造图形的方式，分析具体问题,采用图形辅助对象解决问题.分析2辅助函数的构造•对比题干中两边的不等式,可以发现左边比右边只是多出一个Y，所以采用构造辅助函数的方式解决问题:/(%)-諾(%M0)，得出/(%)-1-孟，分析可以得出代%)是单调增函数，如果Y>0,那么/(y)〉/(0)，得分析3现实模型的构造•如果a,0,y都是正实数，同时a<0,那么可以假设0是溶液,a是溶质，号体现的是溶液的浓度,兽可以理00+Y解为融入Y量的溶质之后,得到的溶液浓度•分析题意可以得知溶液溶剂是不发生变化的,所以分析整体浓度可知，浓度-溶质/(溶质+溶剂)，溶液的浓度增加,所以护>号是成立的•在解题过程中引入这种现实模式的0+Y Q—64—解题方式通俗易懂,对于学生解决问题有着较大的帮助•三、构造复数，巧妙解决数学问题构造复数是常用的方法，学生通过推断、猜测、比较和分析探索构造思路，进而巧妙解决问题.例5已知sin a+sin b-y,cos a+cos b-%,同时%；+y；H0,求解tan(a+b)是多少?分析这个题目可以使用sin；b+cos；b-1,sin；a+ cos；a-1来求解,但是具体求解过程比较复杂,利用构造复数的方法能简化问题•首先观察题目中的已知条件，而后联想到函数相关的知识,用构造复数方式巧妙解决问题•复数有三角、几何、代数等表达方式,和高中数学的知识紧密联系，使用复数模型的运算法则和性质解题•设z；-isin b+cos b,可-isin a+cos a，那么z；丨-^1-1.同时,z；+z1-i(sin a+sin b)+(cos a+cos b)-y i+%.同时,z1z2-isin(a+b)+cos(a+b)•因为z；-z1-1,所以z；+z1-z1z；(z1+z；)•因为a；+b；H0,所以a，-不都是零.得出z1z；-2；%y；i.所以tan(a+b)-?%y；.a+b%-y乍一看这个题目，一些学生可能被唬住,但是构造复数能完美解决问题，复数有三角、几何、代数等多种形式,有着明确的运算法则和性质.对于一些难以解决的代数问题,使用构造复数的方式，能创造性解决问题，解题过程比较简单.使用构造法能简化许多题目,但是需要注意,这种方法不是万能的•在高中数学解题过程中，如果刻意寻求和模仿,只会让解题过程更加繁琐.要明确构造法的局限性，把握数学问题的本质,采用合理解题步骤.在解题训练中,可以兼用常规方法和构造法•构造法虽然使解题步骤更少、更简单，但是挑战性更强,可以节约较多时间，让快速解决高中数学问题成为可能•参考文献：[1]徐珊威.高中数学最值问题的解题研究[D].昆明：云南师范大学,2020.[2]严婷.语言视角下高中数学解题能力的培养研究[D].南昌：江西师范大学,2020.[3]杨静雅.高中数学解题过程中培养学生的反思能力的研究[J].中外企业家,2020(15)：229.[4]赵宏霞.数与形的关系在高中数学解题中的应用[D].重庆：西南大学,2020.[5]吴桂香.核心素养视角下的高中数学解题教学研究[D].重庆：西南大学,2020.[责任编辑:李璟]。