高中数学第一章空间几何体1.1空间几何体的结构1.1.2圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征课件
高中数学第一章空间几何体1.1空间几何体的结构课件新人教A版必修2
具有相同的特点:组成它们的面不全是平面图形.
想一想?
我们应该给上述两大类几何 体取个什么名字才好呢?
1.由若干个平面多边形围成的几何体 叫做多面体。围成多面体的各个多 边形叫做多面体的面,相邻两个面的 公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公 共点叫做多面体的顶点。
2.由一个平面图形绕它所在的平 面内的一条定直线旋转所形成 的封闭几何体,叫做旋转体,这条 定直线叫做旋转体的轴。
底面为 正方形
直平行六面体
侧棱与底面 边长相等
长方体
正四棱柱
正方体
长方体的性质：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，
对角线长为l ，则l 2 = a 2 + b 2 + c 2
请仔细视察下列几何体,说说它们的共同特点.
定义:有一个面是多边形,其余各面都是 有一个公共顶点的三角形,由这些面 所围成的几何体叫做棱锥。
请视察下图中的物体
我要问
这些图片中的物体具有什么样的几何 结构特征?你能对它们进行分类吗?
我来答
上图中的物体大体可分为两大类.
其中(2),(5),(7),(9),(13),(14),(15),(16)
具有相同的特点:组成几何体的每个面都是平面图
形,并且都是平面多边形；
(1),(3),(4),(6),(8),(10),(11),(12)
由简单几何体组合而成的几何体叫简单组 合体。
简单组合体的结构特征
简单组合体构成的两种基本情势：
A.由简单几何体拼接而成 B.由简单几何体截去或挖
去一部分而成
练一练：将一个直角梯形绕其较短的底所在
的直线旋转一周得到一个几何体，关于该几何 体的以下描画中，正确的是( D )
A、是一个圆台 B、是一个圆柱 C、是一个圆柱和一个圆锥的简单组合体 D、是一个圆柱被挖去一个圆锥后所剩的几何体
高中数学必修2知识点总结：第一章-空间几何体
高中数学必修2知识点总结第一章 空间几何体1.1柱、锥、台、球的结构特征 1.2空间几何体的三视图和直观图1 三视图：正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 2 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3直观图：斜二测画法 4斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变； （3）.画法要写好。
5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和2 圆柱的表面积3 圆锥的表面积2r rl S ππ+= 4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积24R S π=（二）空间几何体的体积1柱体的体积 h S V ⨯=底 2锥体的体积 h S V ⨯=底313台体的体积 h S S S S V ⨯++=)31下下上上（ 4球体的体积 334R V π=222r rl S ππ+=第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构一、选择题1、下列各组几何体中是多面体的一组是（）A 三棱柱四棱台球圆锥B 三棱柱四棱台正方体圆台C 三棱柱四棱台正方体六棱锥D 圆锥圆台球半球2、下列说法正确的是（）A 有一个面是多边形，其余各面是三角形的多面体是棱锥B 有两个面互相平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台C 有两个面互相平行，其余各面均为平行四边形的多面体是棱柱D 棱柱的两个底面互相平行，侧面均为平行四边形3、下面多面体是五面体的是（）A 三棱锥B 三棱柱C 四棱柱D 五棱锥4、下列说法错误的是（）A 一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成B 一个圆台可以由两个圆台拼合而成C 一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成D 一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成5、下面多面体中有12条棱的是（）A 四棱柱B 四棱锥C 五棱锥D 五棱柱6、在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可有几个（）A 1 个B 2 个C 3个D 4个二、填空题7、一个棱柱至少有————————个面，面数最少的棱柱有————————个顶点，有—————————个棱。
圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体的结构特征
一个有 30° 角的直角三角尺绕其各条
边所在直线旋转所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高 所在的直线为轴旋转 180° 得到什么几何体？旋转 360° 又得 到什么几何体？
解
如图(1)和(2)所示，绕其直角边所在直线旋转一周
围成的几何体是圆锥；如图(3)所示，绕其斜边所在直线旋 转一周围成的几何体是两个同底相对的圆锥．如图(4)所示， 绕其斜边上的高所在直线旋转 180° 围成的几何体是两个半 圆锥，旋转 360° 围成的几何体是一个圆锥．
解析 根据圆柱、圆锥、圆台的概念不难做出判断． (1)以直角三角形的一条直角边为轴旋转才可以得到圆 锥；(2)以直角梯形垂直于底边的一腰为轴旋转才可以得到 圆台；(3)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；(4)用平行于 圆锥底面的平面截圆锥， 才可得到一个圆锥和一个圆台． 故 4 个均不正确．
[ 条件探究 ]
3．圆锥的母线有( A．1 条 B．2 条
) C．3 条 D．无数条
课堂互动探究
探究 1 例1 圆锥；
旋转体的概念 下列命题：
(1)以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是 (2)以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆 台； (3)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； (4)用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确命题的个数为( A．0 B．1 C． 2 ) D．3
(3)用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注 意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中 的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的 相似比，构设相关几何变量的方程组而得解．
解
图(1)是由一个圆柱中挖去一个圆台形成的．图 (2)
是由一个球、一个四棱柱和一个四棱台组合而成的．
人教版高中数学必修2第一章1.1空间几何体的结构《1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征》教学PPT
1）.直棱柱 画法
侧棱垂直于底面的棱
E′
柱叫做直棱柱
F′
那么怎样的棱柱叫做
A′
性质 正棱柱呢？
D′ C′
B′
侧 面
（1）两底面互相平行．
（2）侧面都是矩形，且都垂
E
直于底面.
侧棱 F
（3）侧棱平行且相等，都
A
D C
B
顶点
垂直于底面.
底面
2）. 斜棱柱
侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱
棱柱的底面(上底) 棱柱的侧面 棱柱的侧棱 棱柱的顶点
积为24cm2，求圆柱的母线长. 3. 正四棱锥的底面积为12 cm2，侧面面积
为3cm2，求正四棱锥的体积.
作业
4.圆锥底面半径为2cm，高为 2cm其中有一个 内接正方体，求这个内接正方体的棱长.
5.一个圆台的轴截面是一个上底为4下底 为10，高为4的梯形.
（1）求截得这个圆台的的锥体的体积； （2）求截得这个圆台的的锥体的内切球
5. 棱台的上、下底面积分别是4和49， 高为4，求截得这棱台的原棱锥的高.
能完成第5题吗？ 若不能，在题首加上“正四”吧！
课堂小结
1. 柱、锥、台、球的定义、表示； 2. 柱、锥、台、球的性质； 3. 柱、锥、台、球的分类.
作业 1. 已知圆锥的轴截面等腰三角形的腰长为
5cm, 面积为12cm2,求圆锥的底面半径. 2. 已知圆柱的底面半径为3cm，轴截面面
想想：棱柱、棱锥分别具有一些什么几何
性质？有什么共同的性质？
两底面是对应边平行的全等多边形；
棱 侧面、对角面都是平行四边形； 侧棱平行且相等；
柱 平行于底面的截面是与底面全等的
多边形. 侧面、对角面都是三角形； 棱 平行于底面的截面与底面相似，其
高中数学必修2复习资料
必修2数学复习资料第一章 空间几何体1.1柱、锥、台、球的结构特征 1.2空间几何体的三视图和直观图1、 三视图： 正视图：从前往后； 侧视图：从左往右； 俯视图：从上往下。
2、 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等3、直观图：斜二测画法4、斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变； （3）.画法要写好。
5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积 1、棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和2、圆柱的表面积3、圆锥的表面积2r rl S ππ+=4、圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++=5、球的表面积24R S π=（二）空间几何体的体积 1、柱体的体积 h S V ⨯=底2、锥体的体积 h S V ⨯=底313、台体的体积h S S S S V ⨯++=)31下下上上（4、球体的体积 334R V π=第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.11、平面含义：平面是无限延展的2、平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母γβα、、等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
3、三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为ααα⊂⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∈∈∈∈L L B L A B A 公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，222r rl S ππ+= D CBAαC · B· A·LA· α使.,,ααα∈∈∈C B A公理2作用：确定一个平面的依据。
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目录第一章：空间几何体 (1)第二章直线与平面的位置关系 (10)第三章直线与方程 (28)第四章圆与方程 (50)第一章：空间几何体1.1.1柱、锥、台、球的结构特征一、教学目标1．知识与技能（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。
（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。
（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。
2．过程与方法（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。
（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3．情感态度与价值观（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。
难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。
三、教学用具（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。
（2）实物模型、投影仪四、教学思路（一）创设情景，揭示课题1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。
教师对学生的活动及时给予评价。
2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。
根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。
（二）、研探新知1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。
2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。
在此基础上得出棱柱的主要结构特征。
（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。
高中数学必修2(人教A版)第一章几何空间体1.1知识点总结含同步练习及答案
描述：例题：描述：高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第一章 空间几何体 1.1 空间几何体的结构一、学习任务认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构．二、知识清单典型空间几何体空间几何体的结构特征 组合体展开图 截面分析三、知识讲解1.典型空间几何体空间几何体的概念只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．2.空间几何体的结构特征多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点；连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线．按多面体的面数可把多面体分为四面体、五面体、六面体．其中，四个面均为全等的正三角形的四面体叫做正四面体．旋转体由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴．棱柱的结构特征一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱（prism）．棱柱中，两个互相平行的面叫做底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是______，另一个是______．解：棱锥；棱台．⋯⋯余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱，可以用表示底面各顶点的字母或一条对角线端点的字母表示棱柱，如下图的六棱柱可以表示为棱柱或棱柱 ．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱；底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体．棱锥的结构特征一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥（pyramid）．这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．底面是三角形、四边形、五边形的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥其中三棱锥又叫四面体．棱锥也用表示顶点和底面各顶点的字母或者用表示顶点和底面一条对角线端点的字母来表示，如下图的四棱锥表示为棱锥 或者棱锥 ．棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，这个棱锥叫做正棱锥．正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高．⋯⋯⋯⋯ABCDEF−A′B′C′D′E′F′DA′⋯⋯⋯⋯S−ABCD S−AC棱台的结构特征用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台（frustum of a pyramid）．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其他各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；两底面的距离叫做棱台的高．由正棱锥截得的棱台叫做正棱台，正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．圆柱的结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱（circular cylinder）．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥（circular cone）．圆台的结构特征例题：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台（frustum of a cone）．棱台与圆台统称为台体．球的结构特征以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球（solid sphere）．半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径．球常用表示球心的字母 表示．O下列命题中，正确的是（ ）A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱长相等，侧面是平行四边形解：D如图(1)，满足 A 选项条件，但不是棱柱；对于 B 选项，如图(2)，构造四棱柱，令四边形 是梯形，可知 ，但这两个面不能作为棱柱的底面；C选项中，若棱柱是平行六面体，则它的底面是平行四边形．ABCD−A1B1C1D1ABCD面AB∥面DCB1A1C1D1若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（ ）A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥解：D如下图，正六边形 中，，那么正六棱锥中，，即侧棱长大于底面边长．ABCDEF OA=OB=⋯=AB S−ABCDEF SA>OA=AB描述：3.组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．如图所示的几何体中，是台体的是（ ）A．①② B．①③ C．③ D．②③解：C利用棱台的定义求解．①中各侧棱的延长线不能交于一点；②中的截面不平行于底面；③中各侧棱的延长线能交于一点且截面与底面平行．有下列四种说法：①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②以直角三角形的一直角边为旋转轴，旋转所得几何体是圆锥；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．其中错误的有（ ）A．个 B． 个 C． 个 D． 个解：D圆柱是矩形绕其一条边所在直线旋转形成的几何体，故①错；以直角三角形的一条直角边所在直线为轴，旋转一周，才能构成圆锥，②错；圆台是由圆锥截得，故其任意两条母线延长后一定交于一点，③错；半圆绕其直径所在直线旋转一周形成的是球面，故④错误．1234例题：描述：4.展开图空间形体的表面在平面上摊平后得到的图形，是画法几何研究的一项内容．描述图中几何体的结构特征．解：图（1）所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图（2）所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图（3）所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体．下图中的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（ ）解：D）不在同一平面内的有______对．3内．解：C描述：例题：5.截面分析截面用平面截立体图形所得的封闭平面几何图形称为截面．平行截面、中截面与立体图形底面平行的截面称为平行截面，等分立体图形的高的平行截面称为中截面．轴截面包含立体图形的轴线的截面称为轴截面．球截面球的截面称为球截面．球的任意截面都是圆，其中通过球心的截面称为球的大圆，不过球心的截面称为球的小圆．球心与球的截面的圆心连线垂直于截面，并且有 ，其中 为球的半径， 为截面圆的半径， 为球心到截面的距离．+=r 2d 2R 2R r d 下面几何体的截面一定是圆面的是（ ）A．圆台 B．球 C．圆柱 D．棱柱解：B如图所示，是一个三棱台 ，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．解：如图，过 ，， 三点作一个平面，再过 ，， 作一个平面，就把三棱台分成三部分，形成的三个三棱锥分别是 ，，．ABC −A ′B ′C ′A ′B C A ′B C ′ABC −A ′B ′C ′−ABC A ′−B B ′A ′C ′−BC A ′C ′如图，正方体 中，，， 分别是 ，， 的中点，那么正方体中过点 ，， 的截面形状是（ ）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形ABCD −A 1B 1C 1D 1P Q R AB AD B 1C 1P QR作截面图如图所示，可知是六边形．ii）若两平行截面在球心的两侧，如图(2)所示，则 解：四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）答案：1.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是 ．A ．B ．C ．D ．C ()=2,AB =3,=3,BC =4A 1B 1B 1C 1=1,AB =2,=1.5,BC =3,=2,AC =3A 1B 1B 1C 1A 1C 1=1,AB =2,=1.5,BC =3,=2,AC =4A 1B 1B 1C 1A 1C 1AB =,BC =,CA =A 1B 1B 1C 1C 1A 1答案：2. 纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标" "的面的方位是 ．A ．南B ．北C ．西D ．下B △()3. 向高为 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量 与水深 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是．A ．H V h ()高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
1.1.2圆柱圆锥圆台及球简单几何体(学案)
§1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球及简单组合体的结构特征【学习目标】（1）理解圆柱、圆锥、圆台和球及其有关概念的形成过程，了解简单几何体（2）知道圆柱、圆锥、圆台和球的截面图形（3）通过对圆柱、圆锥、圆台和球的研究培养空间想象力及知识的自我生成和发展能力【探究任务一】1、通过你的认真预习，你发现了圆柱、圆锥、圆台以及球在生成规律上有什么区别于棱柱、棱锥、棱台的特点？、2、能否从圆柱、圆锥、圆台以及球的生成规律上，找出它们的共同特点，分别给他下一个定义呢？3、对照图形说出圆柱、圆锥、圆台以及球的基本元素。
4、由棱锥截去一个小棱锥可以得到棱台，由圆锥经过怎样的变化可得到圆台，圆台能否补成圆锥？【练习】判断下列几何体是否是圆柱、圆锥、圆台【探究任务二】 1．用垂直于圆柱的轴的一个平面去截一个圆柱，得到的截面是______,圆锥和圆台呢？2．在用任意的平面截圆柱所得的截面中，哪一类包含了圆柱的高、母线、底面圆的直径等特征元素？画出这一截面图形并指明各条边代表了圆柱的哪些元素。
3简单几何体有哪两种基本形式？【练习】用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1：4，截去的圆锥的母线长是3cm ，求圆台的母线长。
预习自测1.下列说法中正确的是（ ）A. 圆台是直角梯形绕其一边旋转而成的B. 圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成的C. 圆柱不是旋转体D. 圆台可以看作是平行底面的平面截一个圆锥而得到的（1）2.以下几何体分别是由那些简单几何体构成的?3.给出下列命题：（1）圆柱的底面是圆；（2）经过圆柱任何两条母线的截面是一个矩形；（3）连接圆柱上下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；（4）圆柱的任意两条母线互相平行。
其中正确命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【典型例题】：例1．判断题：（1）在圆柱的上下底面上各取一点，这两点的连线是圆柱的母线．（）（2）圆台所有的轴截面是全等的等腰梯形．（）例2．已知圆台的轴与母线所在直线的夹角为45°，若上底面的半径为1，高为1，则圆台的下底面半径为。
同步解析与测评 数学 必修2答案
数学㊀２必修参考答案第一章㊀空间几何体第一节㊀空间几何体的结构第１课时㊀棱柱㊁棱锥㊁棱台的结构特征ʌ课前导引ɔ知识点１㊀空间几何体的有关概念(１)平面多边形㊀多边形㊀面㊀旋转体㊀旋转体的轴(２)平行㊀四边形㊀四边形㊀顶点㊀高(３)多边形㊀三角形㊀顶点㊀侧棱㊀高(４)底面㊀截面㊀顶点㊀高知识点２㊀空间几何体的分类n棱柱㊀n棱锥㊀n棱台ʌ课堂精讲ɔ变式训练１．①侧面都是三角形;②平行于底面的截面是与底面相似的多边形;③过不相邻的两条侧棱的截面是三角形．２．根据棱柱的定义,几何体AᶄBᶄCᶄDᶄ－A B C D是棱柱．３．三棱柱;它的棱有９条．ʌ课后测评ɔ一㊁基础测评１．B㊀２．B㊀３．B㊀４．C㊀５．D㊀６．A㊀７．D８．不一定是９．平行四边㊀三角㊀梯二㊁能力测评１０．D㊀１１．A１２．①④⑤１３．截面的线在展开图中的位置如答图１中的A－C－Q－P－A,标出顶点的字母如答图１所示．答图１１４．三棱锥．SәD C F＝SәA D E＝１４a２;SәE B F＝１８a２;SәD E F＝３８a２．三㊁高考链接１５．D第２课时㊀圆柱㊁圆锥㊁圆台㊁球及简单组合体的结构特征ʌ课前导引ɔ知识点１㊀圆柱㊁圆锥㊁圆台㊁球的概念圆柱㊀直角三角形㊀旋转轴㊀直径㊀球体㊀球心知识点２㊀简单空间组合体简单几何体㊀拼接㊀截去或挖去ʌ课堂精讲ɔ变式训练１．属于简单组合体,是旋转体．２．圆台的上底面的半径长为a,下底面的半径长为２a,两底面的面积之和为５πa２．ʌ课后测评ɔ一㊁基础测评１．D㊀２．C㊀３．B㊀４．A㊀５．C㊀６．D７．２４c m二㊁能力测评８．D㊀９．B㊀１０．２３R１１．(１)扇形的面积为３π．(２)圆锥的母线长A B与底面圆的半径长O B之比为π．１２＋－＝２．(３)正确．三㊁高考链接１３．C㊀１４．C第二节㊀空间几何体的三视图和直观图第１课时㊀空间几何体的投影与三视图ʌ课前导引ɔ知识点１㊀平行投影和中心投影点㊀散射㊀平行㊀正投影㊀斜投影知识点２㊀三视图的概念前面向后面㊀左面向右面㊀上面向下面㊀三视图ʌ课堂精讲ɔ变式训练１．D２．如答图１所示．答图１３．(１)该楼有３层,从前往后最多要经过３个房间．(２)最高一层的房间在三楼左侧后面,此楼大致形状如答图２所示．答图２ʌ课后测评ɔ一㊁基础测评１．C ㊀２．A㊀３．B ㊀４．A㊀５．D㊀６．C ㊀７．C ８．１２９．下面是长方体,上底面靠右侧放一个球１０．几何体的三视图如答图３所示．答图３二㊁能力测评１１．D㊀１２．B １３．③１４．E ,D ,F１５．正视图是一个长方形的上方有一个等腰梯形的缺口;侧视图是一个长方形,中间的棱实际存在,从左面看不到,应画成虚线;俯视图应看到一个长方形内有２条实线和２条虚线(下面的２条棱看不到)．三视图如答图４所示:答图４１６．(１)５个,６个,７个,８个,９个,１０个,１１个,共有７种．(２)最少时俯视图(答图５)与最多时俯视图(答图６)如下:答图５㊀㊀答图６三㊁高考链接１７．A㊀１８．B第２课时㊀空间几何体的直观图ʌ课前导引ɔ知识点１㊀斜二测画法平行㊀４５ʎ㊀１３５ʎ㊀平行于㊀不变㊀平行于㊀正等侧画法知识点２㊀空间几何体的直观图平面㊀立体感㊀平面图形㊀顶点(或其他具有代表性的点)ʌ课堂精讲ɔ变式训练１．(１)画轴．如答图７所示,建立直角坐标系x O y ,再建立坐标系x ᶄO ᶄy ᶄ,使øx ᶄO ᶄyᶄ＝４５ʎ．(２)描点．在x ᶄ轴上截取O ᶄA ᶄ＝O A ,O ᶄB ᶄ＝O B ,在y 轴上截取O ᶄD ᶄ＝１２O D ,过D ᶄ作D ᶄC ᶄʊx ᶄ轴,且D ᶄC ᶄ＝D C ．(３)连线．连接B ᶄC ᶄ,A ᶄD ᶄ．(４)成图．四边形A ᶄB ᶄC ᶄD ᶄ即为一个锐角为４５ʎ的平行四边形A B C D 的直观图．答图２．(１)画轴．画x 轴,y 轴,z 轴,三轴相交于点O ,使øx O y ＝４５ʎ,øx O z ＝９０ʎ．(２)画下底面．以O 为中点,在x 轴上取线段A B ,使A B ＝２c m ,在y 轴上取线段O C ,使O C ＝３２c m ,连接B C ,C A ,则әA B C 为正三棱台的下底面．(３)画上底面．在z 轴上取线段O O ᶄ,使O O ᶄ＝２c m ．过点O ᶄ作O ᶄx ᶄʊO x ,O ᶄy ᶄʊO y ,建立坐标系x ᶄO ᶄyᶄ,在x ᶄO ᶄyᶄ中,重复(２)的步骤得上底面A ᶄB ᶄC ᶄ．(４)连线成图．连接A A ᶄ,B B ᶄ,C C ᶄ,并加以整理(去掉辅助线),则三棱台A B C －A ᶄB ᶄC ᶄ为要画的三棱台的直观图,如答图８所示．答图８３．６a ２ʌ课后测评ɔ一㊁基础测评１．A㊀２．A㊀３．B ㊀４．C ㊀５．B ㊀６．B ㊀７．C ８．６２㊀９．２２二㊁能力测评１０．B ㊀１１．C ㊀１２．４㊀０．５㊀２㊀１．６１３．直观图如答图９所示,这个几何体是三棱锥．答图９１４．如答图１０所示．答图１０三㊁高考链接１５．D㊀１６．B第三节㊀空间几何体的表面积与体积第１课时㊀柱体㊁锥体㊁台体的表面积ʌ课前导引ɔ知识点１㊀柱体㊁锥体㊁台体的表面积侧面面积㊀底面面积知识点２㊀直棱柱的侧面积公式S 侧＝C h知识点３㊀圆柱㊁圆锥㊁圆台的侧面展开图及其侧面积公式矩形㊀扇形㊀扇环㊀２πr l ㊀πr l ㊀π(r ＋r ᶄ)l ʌ课堂精讲ɔ变式训练１．１６０２．此几何体是由一个长为３,宽为２,高为１的长方体与底面直径为２,高为３的圆锥组合而成的几何体．所以S 表面积＝２２＋(１０－１)π．３．９３ʌ课后测评ɔ一㊁基础测评１．B ㊀２．B ㊀３．D㊀４．C ㊀５．B ㊀６．A㊀７．A ８．４π９．２ʒ３１０．每个零件的表面积约为１５７９．４５mm ２,因此电镀１００００个这种零件需要锌约１．７４k g ．二㊁能力测评１１．A㊀１２．１９１３．(１)如答图１所示．(２)几何体的表面积为７２c m ２．答图１１４．(１)S 表面积＝(５＋２)πa ２．(２)点P 到点Q 的最短路径的长为a １＋π２．三㊁高考链接１５．C第２课时㊀球的表面积与柱体㊁锥体㊁台体㊁球的体积ʌ课前导引ɔ知识点１㊀柱体的体积公式积㊀V 柱体＝S h ㊀V 圆柱＝πr ２h知识点２㊀锥体的体积公式V 锥体＝１３S h ㊀V 圆锥＝１３πr ２h ㊀三分之一知识点３㊀台体的体积公式V 台体＝１３(S ＋S S ᶄ＋S ᶄ)h ㊀V 圆台＝１３π(r ２＋r R ＋R ２)h知识点４㊀球的表面积和体积公式S 球＝４πR ２㊀V 球＝４３πR ３ʌ课堂精讲ɔ变式训练１．表面积为８４５πc m ２,体积为１４４１５πc m ３．２．如答图２,作圆台的轴截面等腰梯形A B C D ,球的大圆O 内切于梯形A B C D ．设球的半径为R ,圆台的上㊁下底面半径分别为r １,r ２．由平面几何知识知,圆台的高为２R ,母线长为r １＋r ２．因为øA O B ＝９０ʎ,O E ʅA B (E 为切点),所以R ２＝O E ２＝A E B E ＝r １ r ２．由已知,S 球ʒS 圆台侧＝４R ２ʒ(r １＋r ２)２＝３ʒ４,得(r １＋r ２)２＝１６３R ２．V 球ʒV 圆台＝４３πR ３１３π(r ２１＋r １r ２＋r ２２) ２R ＝２R ２(r １＋r ２)２－r １r ２＝２R ２１６３R ２－R ２＝６１３．答图２３．由三视图知该几何体为三棱锥．由俯视图与侧视图知:三棱锥的底面三角形一边长为４,且该边上的高为２３;由正视图与侧视图知:三棱锥的高为２３．所以V ＝１３ˑ１２ˑ４ˑ２３ˑ２３＝８．ʌ课后测评ɔ一㊁基础测评１．D㊀２．A㊀３．D㊀４．C ㊀５．A㊀６．B二㊁能力测评７．A㊀８．C ㊀９．１２πc m ２㊀４３πc m ３１０．水槽的容积为V 水槽＝８０ˑ６０ˑ５５＝２６４０００(c m ３),水槽中水的体积与木球在水中部分的体积之和为２０００００＋１２５０００π９＜２６４０００(c m ３),故水不会从水槽中流出．１１．(１)侧视图如答图３,该几何体是六棱锥．答图３(２)３３２(５＋１)a ２．(３)３２a ３．三㊁高考链接１２．C第二章㊀点㊁直线㊁平面之间的位置关系第一节㊀空间点㊁直线㊁平面之间的位置关系第１课时㊀平面ʌ课前导引ɔ知识点１㊀平面的画法(１)无限㊀平行四边形(２)４５ʎ㊀２倍(３)虚线㊀不画知识点２㊀平面的基本性质两㊀在此平面内㊀l ㊀l ㊀α㊀α㊀l ㊀一条直线㊀有且只有㊀不共线㊀有且只有㊀公共点㊀有且只有㊀该点αɘβ㊀αɘβ㊀Pʌ课堂精讲ɔ变式训练１．文字语言:平面α内两条直线m 和n 相交于点A ．符号语言:m ⊂α,n ⊂α,且m ɘn ＝A ．２．直线a ʊb ⇒a ,b 确定平面αl ɘa ＝A ⇒A ɪa l ɘb ＝B ⇒B ɪb}⇒A B ⊂αìîíïïïüþýïïï⇒直线a ,b ,l 共面．３．在梯形A B B ᶄA ᶄ中,因为A ᶄB ᶄʊA B ,所以A A ᶄ,B B ᶄ在同一平面A B B ᶄA ᶄ内．设直线A A ᶄ,B B ᶄ相交于点P ,同理B B ᶄ,C C ᶄ同在平面B C C ᶄB ᶄ内;C C ᶄ,A A ᶄ同在平面A C C ᶄA ᶄ内．因为P ɪA A ᶄ,A A ᶄ⊂平面A C C ᶄA ᶄ,所以P ɪ平面A C C ᶄA ᶄ．同理P ɪ平面B C C ᶄB ᶄ．根据公理３,点P 在平面A C C ᶄA ᶄ与平面B C C ᶄB ᶄ的交线上,而平面A C C ᶄA ᶄɘ平面B C C ᶄB ᶄ＝C C ᶄ,故点P ɪC C ᶄ,即三直线A A ᶄ,B B ᶄ,C C ᶄ相交于一点．ʌ课后测评ɔ一㊁基础测评１．B ㊀２．C ㊀３．D ４．③５．１或２或３６．如答图１所示．答图１二㊁能力测评７．(１)如答图２,分别连接E F ,A １B ,D １C ．答图２因为E ,F 分别是A B ,A A １的中点,所以E F１２A １B ．又A １D １ B １C １ B C ,所以四边形A １D １C B 为平行四边形．所以A １B ʊC D １,所以EF ʊC D １．所以E F 与C D １确定一个平面,所以E ,F ,D １,C 四点共面．(２)由(１)可得E F １２C D １,所以直线D １F 和C E 必相交,设D １F ɘC E ＝P ．因为D １F ⊂平面A A １D １D ,P ɪD １F ,所以P ɪ平面A A １D １D ．又C E ⊂平面A B C D ,P ɪE C ,所以P ɪ平面A B C D ．所以P 是平面A B C D 与平面A A １D １D 的公共点．又平面A B C D ɘ平面A A １D １D ＝A D ,所以P ɪA D ．所以C E ,D １F ,D A 三线共点．８．点S 是平面S B D 和平面S A C 的一个公共点,即点S 在交线上．由于A B ＞C D ,则分别延长A C 和B D 交于点E ,如答图３所示．答图３因为E ɪA C ,A C ⊂平面S A C ,所以E ɪ平面S A C ．同理可证E ɪ平面S B D ．所以点E 在平面S B D 和平面S A C 的交线上,连接S E ,则直线S E 是平面S B D 和平面S A C 的交线．第２课时㊀空间中直线与直线之间的位置关系ʌ课前导引ɔ知识点１㊀直线与直线的位置关系相交㊀平行㊀异面知识点２㊀平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行㊀传递性㊀证明或判断空间两条直线平行知识点３㊀等角定理相等或互补知识点４㊀异面直线所成的角直线a ᶄʊa ,b ᶄʊb ㊀０,π２æèçùûúʌ课堂精讲ɔ变式训练１．C２．因为O A O A １＝O B O B １,所以A １B １ʊA B ;因为O B O B １＝O CO C １,所以B １C １ʊB C ．结合图形,由等角定理可得øA １B １C １＝øA B C ．同理可证øB １A １C １＝øB A C ,所以әA B C ʐәA １B １C １．３．如答图４,取B D 的中点M ,连接E M ,F M ．因为E ,F 分别是A B ,C D 的中点,所以E M １２A D ,F M １２B C ,则øE M F 或其补角就是异面直线A D 与B C所成的角．因为A D ＝B C ＝２,所以E M ＝M F ＝１．在等腰三角形M E F 中,过点M 作MH ʅE F 于H ．在R t әMH E 中,E M ＝１,E H ＝１２E F ＝３２,则s i n øE MH ＝３２,于是øE MH ＝６０ʎ,则øE M F ＝２øE MH ＝１２０ʎ．所以异面直线A D 与B C 所成的角为øE M F 的补角,即异面直线A D 与B C 所成的角为６０ʎ．答图４ʌ课后测评ɔ一㊁基础测评１．D㊀２．D㊀３．D㊀４．A５．(１)øD １B １C １(２)øB １D １A １６．６０ʎ二㊁能力测评７．因为E ,F 分别为矩形B C C １B １和A D D １A １的中心,所以F ɪA １D ,E ɪB １C ．又因为A １B １ʊC D ,所以A １B １,C D 可以确定一个平面A １B １C D ．所以B １F ⊂平面A １B １C D ．又因为E ɪ平面A １B １C D ,且E ∉B １F ,A B ʊA １B １,所以A ∉平面A １B １C D ,所以A E ⊄平面A １B １C D ,所以A E 与B １F 是异面直线．三㊁高考链接８．A㊀９．C１０．因为C 为半圆弧A B ︵的中点,所以øA O C ＝９０ʎ．又因为P O ＝２,O A ＝O C ＝１,所以三棱锥P ＧA O C 的体积V ＝１３S әA O C O P ＝１３ˑ１２ˑO A ˑO C ˑP O ＝１３ˑ１２ˑ１ˑ１ˑ２＝１３．因为E 为劣弧C B ︵的中点,所以O E ʊA C ,所以异面直线P A 与O E 所成的角就是P A 与A C 的夹角．在әA C P 中,A C ＝２,A P ＝C P ＝５,过点P 作PH ʅA C (图略),则AH ＝２２．在R t әAHP 中,c o s øP AH ＝AH A P ＝１０１０,所以异面直线P A 与O E 所成角的余弦值为１０１０．第３课时㊀空间中直线与平面㊁平面与平面之间的位置关系ʌ课前导引ɔ知识点１㊀空间中直线与平面的位置关系直线在平面外ʌ课堂精讲ɔ变式训练１．C２．如答图５所示的直线A F ．答图５ʌ课后测评ɔ一㊁基础测评１．A㊀２．C ㊀３．B ㊀４．D５．平行㊀６．０㊀１二㊁能力测评７．a ʊb ,a ʊβ．证明如下:由αɘγ＝a 知a ⊂α,且a ⊂γ,由βɘγ＝b 知b ⊂β,且b ⊂γ．因为αʊβ,a ⊂α,b ⊂β,所以a ,b 无公共点．又因为a ⊂γ,且b ⊂γ,所以a ʊb ．因为αʊβ,所以α与β无公共点,又a ⊂α,所以a 与β无公共点,所以a ʊβ．８．在正方体A B C D －A １B １C １D １中,E 为B １C １的中点,所以E C 与B １B 不平行,则延长C E 与B B １必相交于一点,设此点为H ．所以H ɪE C ,H ɪB １B ,又知B １B ⊂平面A B B １A １,C E ⊂平面C D F E ,所以H ɪ平面A B B １A １,H ɪ平面C D F E ,故平面A B B １A １与平面C D F E 相交．第二节㊀直线㊁平面平行的判定及其性质第１课时㊀直线与平面㊁平面与平面平行的判定ʌ课前导引ɔ知识点１㊀直线与平面平行的判定(１)此平面内㊀平行(２)a ⊄α,b ⊂α,且a ʊb ㊀a ʊα(３)判断或证明直线与平面平行知识点２㊀平面与平面平行的判定定理(１)相交㊀平行㊀平行(２)a ⊂β,b ⊂β,a ɘb ＝P ,a ʊα,b ʊα㊀αʊβ(３)判断或证明平面与平面平行ʌ课堂精讲ɔ变式训练１．设A C 与B D 交于点G ,连接E G ．因为E F ʊA C ,且E F ＝１,A G ＝１２A C ＝１,所以四边形A G E F 是平行四边形,所以A F ʊE G ．因为E G ⊂平面B D E ,A F ⊄平面B D E ,所以A F ʊ平面B D E ．２．平面E A G ʊ平面F B D ．证明如下:连接A C ,交B D 于O ,连接O F ．根据题意,O F 是әA C E 的中位线,所以O F ʊA E ．因为O F ⊂平面F B D ,A E ⊄平面F B D ,所以A E ʊ平面F B D ．在әP B F 中,P E ＝E F ,P G ＝G B ,所以E G ʊB F ．因为B F ⊂平面F B D ,E G ⊄平面F B D ,所以E G ʊ平面F B D ．又E G ɘA E ＝E ,所以平面E A G ʊ平面F B D ．３．过N 作N Q ʊA D 交P A 于点Q ,连接Q M ,如答图１．答图１因为AM M B ＝D N N P ＝A QQ P ,所以Q M ʊP B ．又N Q ʊA D ʊB C ,所以平面M Q N ʊ平面P B C ．因为直线MN ⊂平面M Q N ,所以直线MN ʊ平面P B C ．ʌ课后测评ɔ一㊁基础测评１．D㊀２．A㊀３．B ㊀４．C ５．M ɪ线段F H ㊀６．①④二㊁能力测评７．在正方体A B C D －A １B １C １D １中,连接B D ．因为D D １ʊB １B ,D D １＝B １B ,所以四边形D D １B １B 是平行四边形,所以D １B １ʊD B ．因为E ,F 分别为B C ,C D 的中点,所以E F ʊB D ,所以E F ʊD １B １．因为E F ⊂平面E F G ,D １B １⊄平面E F G ,所以D １B １ʊ平面E F G ．同理A B １ʊ平面E F G ．因为D １B １ɘA B １＝B １,所以平面A B １D １ʊ平面E F G ．８．(１)如答图２,连接P G １,P G ２,P G ３并延长分别交A B ,B C ,A C 于点D ,E ,F ．答图２连接D E ,E F ,F D ．因为G １,G ２,G ３分别是侧面әP A B ,әP C B ,әP A C的重心,所以P G １P D ＝P G ２P E ＝２３,所以G １G ２ʊD E ．又G １G ２⊄平面A B C ,D E ⊂平面A B C ,所以G １G ２ʊ平面A B C ,同理G ３G ２ʊ平面A B C ．又因为G １G ２ɘG ３G ２＝G ２,所以平面G １G ２G ３ʊ平面A B C ．(２)由(１)知:P G １P D ＝P G ２P E ＝２３,所以G １G ２＝２３D E ,又D E ＝１２A C ,所以G １G ２＝１３A C ．同理G ３G ２＝１３A B ,G １G ３＝１３B C ．所以әG ２G ３G １ʐәA B C ,且相似比为１３,所以S әG １G ２G ３ʒS әA B C ＝１ʒ９．９．(１)如答图３,连接A C ,则A C 过点P ;连接A １C １,交B １D １于点O ,连接A O ．答图３因为A A １ C C １,所以四边形A １A C C １为平行四边形．所以A １C １ A C ．又因为C １O ＝１２A １C １,A P ＝１２A C ,所以C １O A P ．所以四边形C １O A P 为平行四边形．所以C １P A O ．因为A O ⊂平面A B １D １,C １P ⊄平面A B １D １,所以C １P ʊ平面A B １D １．(２)C １Q ʊ平面A B １D １．连接D C １．易证平面D B C １ʊ平面A B １D １,而C １Q ⊂平面D B C １,所以C １Q ʊ平面A B １D １．三㊁高考链接１０．C１１．因为O ,M 分别为A B ,V A 的中点,所以O M ʊV B ．又因为O M ⊂平面M O C ,V B ⊄平面M O C ,所以V B ʊ平面M O C ．１２．连接A B ᶄ,A C ᶄ,由已知,øB A C ＝９０ʎ,A B ＝A C ,三棱柱A B C －A ᶄB ᶄC ᶄ为直三棱柱,所以M 为A B ᶄ的中点,所以MN ʊA C ᶄ．又MN ⊄平面A ᶄA C C ᶄ,A C ᶄ⊂平面A ᶄA C C ᶄ,因此MN ʊ平面A ᶄA C C ᶄ．第２课时㊀直线与平面平行的性质ʌ课前导引ɔ知识点㊀直线与平面平行的性质定理(１)过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(２)a ʊα,a ⊂β,αɘβ＝b ㊀a ʊb (３)证明或判断线线平行ʌ课堂精讲ɔ变式训练１．三条直线l ,m ,n 相互平行．证明如下:如答图４,因为l ʊm ,m ⊂γ,l ⊄γ,所以l ʊγ．又l ⊂α,αɘγ＝n ,所以l ʊn ．又因为l ʊm ,所以m ʊn ,即直线l ,m ,n 相互平行．答图４２．如答图５,连接B D ,A C ,取N ɪB D ,且D N ʒN B ＝１ʒ２,连接MN ．则D N ʒN B ＝B １M ʒM B ,则MN ʊB １D ．答图５在平面A B C D 内,过N 作E F ʊA C ,交C D 于E ,交D A于F ．由已知易算得D N ＝２,D E ＝D F ＝２．延长F E 交B C 的延长线于P ,则C E ＝C P ＝１,E P ＝２．可以证明,若在平面P B １B 内连接M P 交C １C 于H ,则C H ＝０ ５．同理延长E F 交B A 的延长线于Q ,连接M Q 交A A １于G 点,且A G ＝０ ５．则在木料表面上的锯痕是以MN 为对称轴的共面五边形MH E F G ．由作图易知N E ＝E P ＝２,MN ＝２３,HP ＝E H ＝５２,且MN ʅE F ,于是S 截面MH E F G ＝２(S R t әP MN －S 等腰әP H E )＝２１２P N MN －éëê１２E P PH ２－E P ２æèçöø÷２ùûúú＝７６２．故所求截面的面积等于７６２．３．因为四边形E F G H 为平行四边形,所以E F ʊG H ．又G H ⊂平面B C D ,E F ⊄平面B C D ,所以E F ʊ平面B C D ．又平面A C D ɘ平面B C D ＝C D ,E F ⊂平面A C D ,所以E F ʊC D ．又E F ⊂平面E F G H ,C D ⊄平面E F G H ,所以C D ʊ平面E F G H ．ʌ课后测评ɔ一㊁基础测评１．C ㊀２．B ㊀３．A㊀４．C ５．平行６．①②③⇒④(不唯一)７．因为四边形A B C D 为矩形,所以B C ʊA D ,因为A D ⊂平面P A D ,B C ⊄平面P A D ,所以B C ʊ平面P A D ．因为平面B C F E ɘ平面P A D ＝E F ,所以B C ʊE F ．因为A D ＝B C ,A D ʂE F ,所以B C ʂE F ,所以四边形B C F E 是梯形．二㊁能力测评８．作P M ʊA B 交B E 于点M ,作Q N ʊA B 交B C 于点N ,连接MN ,如答图６．因为正方形A B C D 和正方形A B E F 有公共边A B ,所以A E ＝B D ．因为A P ＝D Q ,所以P E ＝B Q ．因为P M ʊA B ʊQ N ,A B ＝C D ,所以P M A B ＝P E A E ＝B Q B D ＝Q ND C,所以P M ＝Q N ．即P M Q N ,所以四边形P MNQ 为平行四边形,所以P Q ʊMN ．因为P Q ⊄平面B C E ,且MN ⊂平面B C E ,所以P Q ʊ平面B C E ．答图６９．(１)因为B C ʊA D ,B C ⊄平面P A D ,A D ⊂平面P A D ,所以B C ʊ平面P A D ．又因为平面P B C ɘ平面P A D ＝l ,所以B C ʊl ．(２)如答图７,取P D 的中点E ,连接A E ,N E ,答图７则N E ʊC D ,且N E ＝１２C D ．又AM ʊC D ,且AM ＝１２C D ,所以N E ʊAM ,且N E ＝AM ,所以四边形AMN E 是平行四边形．所以MN ʊA E ．又因为A E ⊂平面P A D ,MN ⊄平面P A D ,所以MN ʊ平面P A D ．１０．在P C 上取点E ,使C E P E ＝１２,则B E ʊ平面P A D ．证明如下:延长D A 和C B 交于点F ,连接P F ．如答图８．答图８在梯形A B C D 中,A B ʊC D ,A B ＝２３C D ．所以A B C D ＝B F F C ＝２３,所以B C B F ＝１２．又C E P E ＝１２,所以在әP F C 中,C E P E ＝B CB F,所以B E ʊP F ,而B E ⊄平面P A D ,P F ⊂平面P A D ．所以B E ʊ平面P A D ．三㊁高考链接１１．B第３课时㊀平面与平面平行的性质ʌ课前导引ɔ知识点１㊀平面与平面平行的定义性质(１)平行(２)αʊβ,a ⊂α㊀a ʊβ(３)证明或判断线面平行知识点２㊀平面与平面平行的性质定理(１)平行(２)αʊβ,αɘγ＝a ,βɘγ＝b ㊀a ʊb (３)证明或判断线线平行ʌ课堂精讲ɔ变式训练１．A２．如题图,因为P B ɘP C ＝P ,所以P B ,P C 确定平面γ,γɘα＝A C ,γɘβ＝B D ,αʊβ．所以A C ʊB D ．所以әP A C ʐәP B D ．所以P A P B ＝P C P D ,即P A A B －P A ＝P CP D ．所以４５－４＝３P D ,所以P D ＝３４c m ．所以C D ＝P C ＋P D ＝３＋３４＝１５４c m ．３．如答图９,连接A F 交β于点G ,连接B G ,G E ,AD ,C F ．答图９因为αʊβʊγ,所以B G ʊC F ,G E ʊA D ．所以A BB C＝A G G F ＝D E E F ＝１３,所以A B A B ＋B C ＝１４,即A B A C ＝１４．因为A C ＝１５c m ,所以A B ＝１５４c m ．因为D E ＝５c m ,所以E F ＝３D E ＝１５c m ．所以B C ＝３A B ＝４５４c m ．ʌ课后测评ɔ一㊁基础测评１．D㊀２．A㊀３．C ㊀４．C ５．１ʒ９二㊁能力测评６．设相交直线A B ,C D 确定的平面为γ,则αɘγ＝A C ,βɘγ＝B D ．由αʊβ,得A C ʊB D ．点S 在两平面同侧时,如答图１０①．答图１０因为B D ʊA C ,所以S B S A ＝S DS C ,即９１８＝S C －３４S C,解得S C ＝６８．点S 在两平面之间时,如答图１０②．因为B D ʊA C ,所以S A S B ＝S C S D ＝S CC D －S C,即１８９＝S C３４－S C ,解得S C ＝６８３．综上可知,S C 的长度为６８或６８３．７．因为F 为A B 的中点,C D ＝２,A B ＝４,A B ʊC D ,所以C D A F ,因此四边形A F C D 为平行四边形,所以A D ʊF C ．又C C １ʊD D １,F C ɘC C １＝C ,F C ⊂平面F C C １,C C １⊂平面F C C １;A D ɘD D １＝D ,A D ⊂平面A D D １A １,D D １⊂平面A D D １A １．所以平面A D D １A １ʊ平面F C C １．又E E １⊂平面A D D １A １,E E １⊄平面F C C １,所以E E １ʊ平面F C C １．８．S G ʊ平面D E F ．证明如下:连接C G 交D E 于H ,连接F H ,因为D E 是әA B C 的中位线,所以D E ʊA B ．在әA C G 中,D 是A C 的中点,且DH ʊA G ,所以H 为C G 的中点,所以F H 为әS C G 的中位线,所以F H ʊS G ．又S G ⊄平面D E F ,F H ⊂平面D E F ,所以S G ʊ平面D E F ．第三节㊀直线㊁平面垂直的判定及其性质第１课时㊀直线与平面、平面与平面垂直的判定ʌ课前导引ɔ知识点１㊀直线与平面垂直的定义(１)任意一条直线㊀互相垂直㊀垂线㊀垂面㊀垂足(２)判断直线与平面垂直知识点２㊀直线与平面垂直的判定(１)两条相交直线(２)证明直线与平面垂直知识点３㊀直线与平面所成的角１．(１)垂直㊀斜线㊀斜足(２)斜足㊀垂足２．(１)射影㊀锐角(２)０,π２éëêùûú㊀０ʎ的角㊀直角知识点４㊀二面角１．一条直线㊀图形㊀直线㊀面㊀αＧA B Ｇβ[０,π]２．(１)棱㊀垂直于棱㊀角(２)棱㊀两个半平面内㊀垂直３．平面角㊀平面角㊀直角ʌ课堂精讲ɔ变式训练１．因为P A ＝P C ,P D ＝P B ,且O 是A C 和B D 的中点,所以P O ʅA C ,P O ʅB D ．又A C ɘB D ＝O ,所以P O ʅ平面A B C D ．２．D３．由A １B １ʅ平面B C C １B １,B M ⊂B C C １B １,得A １B １ʅB M ．又B １M ＝B １C ２１＋C １M ２＝１＋１＝２,B M ＝B C ２＋M C ２＝１＋１＝２,B １B ＝２,所以B １M ２＋B M ２＝B １B ２,从而B M ʅB １M ．又A １B １ɘB １M ＝B １,所以B M ʅ平面A １B １M ．而B M ⊂平面A B M ,因此平面A B M ʅ平面A １B １M ．４．(１)因为A E ＝E C ,A F ＝F D ,所以E F ʊC D ．因为A B ʅ平面B C D ,所以A B ʅC D ．又øB C D ＝９０ʎ,所以B C ʅC D ．因为A B ɘB C ＝B ,所以C D ʅ平面A B C ,所以E F ʅ平面A B C ．因为E F ⊂平面B E F ,所以平面B E F ʅ平面A B C ．(２)过E 作E H ʊA B 交B C 于H 点,过F 作F G ʊA B 交B D 于点G ．由已知易得F G ʅ平面B C D ,E H ʅ平面B C D ,所以әB E F 在平面B C D 的投影为әB H G ．设平面B E F 和平面B C D 所成角为θ,则c o s θ＝S әB H G S әB E F ＝１２ B H H G １２ E F B E ＝１４B C ２１４B C A C ＝１５５．ʌ课后测评ɔ一㊁基础测评１．D㊀２．B ㊀３．C ㊀４．D ５．①６．２１３１３二㊁能力测评７．因为A B C D －A １B １C １D １为长方体,所以B C ʅ平面D C C １D １,所以B C ʅD E ．又因为A A １＝A D ＝a ,A B ＝２a ,所以D D １＝a ,C D ＝２a ．又E 为C １D １的中点,所以D E ＝C E ＝２a ,所以D E ２＋E C ２＝C D ２,所以D E ʅE C ．又因为B C ɘE C ＝C ,所以D E ʅ平面B C E ．８．由条件可知四边形P D A Q为直角梯形．因为Q Aʅ平面A B C D,所以平面P D A Qʅ平面A BＧC D,交线为A D．又四边形A B C D为正方形,D CʅA D,所以D Cʅ平面P D A Q,可得P QʅD C．在直角梯形P D A Q中可得D Q＝P Q＝２２P D,则P QʅQ D．因为D CɘQ D＝D,所以P Qʅ平面D C Q．９．(１)因为P AʅA C,P AʅA B,A CɘA B＝A,所以P Aʅ底面A B C,所以P AʅB C．又øB C A＝９０ʎ,所以A CʅB C,又P AɘA C＝A,所以B Cʅ平面P A C．(２)因为D为P B的中点,D EʊB C,所以D E＝１２B C．又由(１)知,B Cʅ平面P A C,所以D Eʅ平面P A C,垂足为点E．所以øD A E是A D与平面P A C所成的角．因为P Aʅ底面A B C,所以P AʅA B,又P A＝A B,所以әA B P为等腰直角三角形,所以A D＝１２A B．因为在R tәA B C中,øA B C＝６０ʎ,所以B C＝１２A B．所以在R tәA D E中,s i nøD A E＝D E A D＝B C２A D＝２４．(３)存在．因为D EʊB C,又由(１)知,B Cʅ平面P A C,所以D Eʅ平面P A C．又因为A E⊂平面P A C,P E⊂平面P A C,所以D EʅA E,D EʅP E,所以øA E P为二面角A－D E－P的平面角．因为P Aʅ底面A B C,所以P AʅA C,所以øP A C＝９０ʎ．所以在棱P C上存在一点E,使得A EʅP C,这时øA E P＝９０ʎ．故存在点E使得二面角A－D E－P是直二面角．三㊁高考链接１０．D㊀１１．D㊀１２．３４１３．(１)如答图１,设E为B C的中点,连接A１E, D E,A E．由题意,得A１Eʅ平面A B C,所以A１EʅA E．因为A B＝A C,所以A EʅB C．故A Eʅ平面A１B C．由D,E分别为B１C１,B C的中点,得D EʊB B１,且D E＝B B１,所以D EʊA A１,且D E＝A A１．所以A A１D E是平行四边形,所以A１DʊA E．又因为A Eʅ平面A１B C,所以A１Dʅ平面A１B C．答图(２)如答图１,作A１FʅD E,垂足为F,连接B F．因为A１Eʅ平面A B C,所以B CʅA１E．因为B CʅA E,A EɘA１E＝E,所以B Cʅ平面A A１D E．所以B CʅA１F．又因为D EɘB C＝E,所以A１Fʅ平面B B１C１C．所以øA１B F为直线A１B与平面B B１C１C所成的角．由A B＝A C＝２,øB A C＝９０ʎ,得E A＝E B＝２．由A１Eʅ平面A B C,得A１A＝A１B＝４,A１E＝１４．由D E＝B B１＝４,D A１＝E A＝２,øD A１E＝９０ʎ,得A１F＝７２．所以s i nøA１B F＝A１F A１B＝７８．第２课时㊀直线与平面垂直的性质ʌ课前导引ɔ知识点１㊀线面垂直的定义性质(１)垂直㊀任意一条(２)lʅα,a⊂α㊀lʅa(３)证明线线垂直知识点２㊀线面垂直的性质定理(１)垂直㊀平行(２)aʅα,bʅα㊀aʊb(３)证明线线平行ʌ课堂精讲ɔ变式训练１．①②③２．(１)不一定成立．如例题解析,在长方体A B C D－A１B１C１D１中,B D与A C不一定垂直,故B D１与平面A B１C不一定垂直,所以E FʊB D１不一定成立．(２)连接B D１,在әB D D１中,O是D B的中点,G是D D１的中点,所以G OʊB D１．又由例２的解析可知,B D１ʅ平面A C B１,所以G Oʅ平面A C B１．３．(１)因为A D D１A１是正方形,所以A D１ʅA１D．又因为C Dʅ平面A D D１A１,所以C DʅA D１．因为A１DɘC D＝D,所以A D１ʅ平面A１D C．又因为MNʅ平面A１D C,所以MNʊA D１．(２)连接O N,在әA１D C中,A１O＝O D,A１N＝N C,所以O N１２C D １２A B ,所以O N ʊAM ．又因为MN ʊO A ,所以四边形AMN O 为平行四边形,所以O N ＝AM ．因为O N ＝１２A B ,所以AM ＝１２A B ,所以M 是A B的中点．ʌ课后测评ɔ一㊁基础测评１．B ㊀２．C ㊀３．D㊀４．D ５．６㊀６．４二㊁能力测评７．因为P A ʅ平面A B C D ,C D ⊂平面A B C D ,所以P A ʅC D ．又C D ʅA D ,P A ɘA D ＝A ,P A ⊂平面P A D ,A D ⊂平面P A D ,所以C D ʅ平面P A D ．又A E ⊂平面P A D ,所以A E ʅD C ．又A E ʅP D ,P D ɘC D ＝D ,P D ⊂平面P C D ,C D ⊂平面P C D ,所以A E ʅ平面P C D ．又l ʅ平面P C D ,所以A E ʊl ．８．(１)如答图２,取C D 的中点E ,连接E M ,E N ,则C D ʅE M ,且E N ʊP D．答图２因为P A ʅ平面A B C D ,所以P A ʅC D ．又A D ʅD C ,P A ɘA D ＝A ,所以C D ʅ平面P A D ,所以C D ʅP D ,从而C D ʅE N ．又E M ɘE N ＝E ,所以C D ʅ平面MN E ．因此MN ʅC D ,而C D ʊA B ,故MN ʅA B ．(２)在R t әP A D 中有P A ＝A D ,取P D 的中点K ,连接A K ,KN ,则KN １２D C AM ,且A K ʅP D ．所以四边形AMNK 为平行四边形,从而MN ʊA K ．因此MN ʅP D ．由(１)知MN ʅD C ,又P D ɘD C ＝D ,所以MN ʅ平面P C D ．第３课时㊀平面与平面垂直的性质ʌ课前导引ɔ知识点１㊀面面垂直的定义性质(１)直二面角(２)证明线线垂直或者二面角为直角知识点２㊀面面垂直的性质定理(１)一个平面内㊀交线(２)αʅβ,αɘβ＝l ,A B ʅl ,A B ⊂α㊀A B ʅβ(３)证明线面垂直ʌ课堂精讲ɔ变式训练１．在әA B D 中,由于A D ＝２,B D ＝４,A B ＝２５,所以A D ２＋B D ２＝A B ２,所以A D ʅB D ．又平面P A D ʅ平面A B C D ,平面P A D ɘ平面A B C D ＝A D ,B D ⊂平面A BCD ,所以B D ʅ平面P A D ．２．连接A ᶄB 和A B ᶄ,则øB ᶄA B 为A B 与α所成的角,所以øB ᶄA B ＝４５ʎ,同理可得øA ᶄB A ＝３０ʎ．在R t әA ᶄB A 中,A A ᶄ＝A B s i n øA ᶄB A ＝１２ s i n ３０ʎ＝６;在R t әA B B ᶄ中,A B ᶄ＝A B c o s ４５ʎ＝６２．在R t әA A ᶄB ᶄ中,A ᶄB ᶄ＝A B ᶄ２－A A ᶄ２＝６,所以A ᶄB ᶄ的长为６．ʌ课后测评ɔ一㊁基础测评１．B ㊀２．B ㊀３．D㊀４．C５．A B ,B C ,C D ,D A ,A １B １,B １C １,C １D １,D １A １㊀平面A B C D ,平面A １B １C １D １６．a ３６二㊁能力测评７．(１)如答图３,设D C 的中点为G ,连接F G ,E G ．答图３因为F 是P C 的中点,所以F G 是әP D C 的中位线,所以F G ʊP D ,同理E G ʊB C ．又A D ʊB C ,所以E G ʊA D ．又F G ɘG E ＝G ,A D ɘP D ＝D ,所以平面P A D ʊ平面E F G ,又E F ⊂平面E F G ,所以E F ʊ平面P A D ．(２)因为A B C D 是正方形,所以C D ʅA D ．又平面P A D ɘ平面A B C D ＝A D ．平面P A D ʅ平面A B C D ,所以C D ʅ平面P A D ．因为C D ⊂平面P D C ,所以平面P D C ʅ平面P A D ．８．(１)因为E ,F 分别是A P ,A D 的中点,所以E F ʊP D ．又因为P D ⊂平面P C D ,E F ⊄平面P C D ．所以直线E F ʊ平面P C D ．(２)连接B D ,因为A B ＝A D ,øB A D ＝６０ʎ,所以әA B D 为正三角形．又因为F 是A D 的中点,所以B F ʅA D ．又平面P A D ʅ平面A B C D ,平面P A D ɘ平面A B C D ＝A D ,所以B F ʅ平面P A D ．又B F ⊂平面B E F ,所以平面B E F ʅ平面P A D ．９．(１)在әA B D 中,因为A D ＝４,B D ＝８,A B ＝４５,所以A D ２＋B D ２＝A B ２,所以A D ʅB D ．(２)过P 作P O ʅA D ,垂足为O ．因为平面P A D ʅ平面A B C D ,所以P O ʅ平面A B C D ,即P O 为四棱锥P －A B C D 的底面A B C D 上的高．又әP A D 是边长为４的正三角形,所以P O ＝２３．在底面四边形A B C D 中,A B ʊD C ,A B ＝２D C ,所以四边形A B C D 为梯形．在R t әA D B 中,斜边A B 边上的高为４ˑ８４５＝８５５,即为梯形的高．所以S 四边形A B C D ＝２５＋４５２ˑ８５５＝２４．所以V P ＧA B C D ＝１３ˑ２４ˑ２３＝１６３．三㊁高考链接１０．D㊀１１．B ㊀１２．C第三章㊀直线与方程第一节㊀直线的倾斜角与斜率第１课时㊀倾斜角与斜率ʌ课前导引ɔ知识点１㊀直线的倾斜角x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α知识点２㊀倾斜角的范围０ʎɤα＜１８０ʎ知识点３㊀直线的斜率一条直线的倾斜角α的正切值㊀k ＝t a n α知识点４㊀直线的斜率公式k ＝y ２－y １x ２－x １ʌ课堂精讲ɔ变式训练１．C ㊀２．A３．(１)k ＝０;(２)k 不存在;(３)k ＝t a n３０ʎ＝３３．４．如答图１,由题意可知,k P A ＝４－０－３－１＝－１,k P B ＝２－０３－１＝１．答图１(１)要使直线l 与线段A B 有公共点,则直线l 的斜率k 的取值范围是k ɤ－１或k ȡ１．(２)由题意可知,直线l 的倾斜角介于直线P B 与P A的倾斜角之间,又P B 的倾斜角是４５ʎ,P A 的倾斜角是１３５ʎ,所以α的取值范围是４５ʎɤαɤ１３５ʎ．ʌ课后测评ɔ一㊁基础测评１．A㊀２．B３．３㊀４．１７㊀５．－２４７６．k A B ＝３－０－５－(－２)＝－１,即t a n α＝－１．又因为０ʎɤα＜１８０ʎ,所以α＝１３５ʎ．所以该直线的斜率是－１,倾斜角是１３５ʎ．７．k ＝t －１t æèçöø÷２－t ＋１t æèçöø÷２２－(－２)＝－１,所以该直线的斜率为－１,倾斜角为１３５ʎ．二㊁能力测评８．２㊀９．－４３㊀１０．０,π３éëêöø÷ɣ３π４,πæèçöø÷１１．０,π２éëêöø÷ɣ３π４,πéëêöø÷１２．C 三㊁高考链接１３．D㊀１４．－２第２课时㊀两条直线平行与垂直的判定ʌ课前导引ɔ知识点１㊀两条直线平行的判定(１)k １＝k ２⇔l １ʊl ２(２)l １ʊl ２或l １与l ２重合(３)l １ʊl ２知识点２㊀两条直线垂直的判定(１)－１㊀l １ʅl ２⇔k １k ２＝－１(２)０ʌ课堂精讲ɔ变式训练１．(１)平行或重合(２)０２．(１,０)或(２,０)３．由已知,k A B ＝(２－２２)－(２＋２２)０－２＝２２,k C B ＝(２－２２)－２０－４＝２２,k A C ＝２－(２＋２２)４－２＝－２．因为k C B k A C ＝－１,所以C B ʅA C ．所以әA B C 是直角三角形．ʌ课后测评ɔ一㊁基础测评１．B ㊀２．A㊀３．D㊀４．B５．设点P 的坐标为(x ,０),则k P M ＝－２x －２,k P N ＝２x －５．因为øM P N 为直角,所以P M ʅP N ,k P M k P N ＝－１．所以－２x －２ˑ２x －５＝－１．解得x ＝１或x ＝６．所以点P 的坐标为(１,０)或(６,０)．６．若øA 为直角,则A C ʅA B ,所以k A C k A B ＝－１,即m ＋１２－５ １＋１１－５＝－１,得m ＝－７;若øB 为直角,则A B ʅB C ,所以k A B k B C ＝－１,即１＋１１－５ m －１２－１＝－１,得m ＝３;若øC 为直角,则A C ʅB C ,所以k A C k B C ＝－１,即m ＋１２－５ m －１２－１＝－１,得m ＝ʃ２．综上所述,m ＝－７或m ＝３或m ＝ʃ２．二㊁能力测评７．设D (x ,y ),则k C D ＝yx －３,k A B ＝３,k C B ＝－２,k A D ＝y ＋１x －１．因为k C D k A B ＝－１,k C B ＝k A D ,所以y x －３ˑ３＝－１,－２＝y ＋１x －１,ìîíïïïï所以x ＝０,y ＝１．{即D (０,１)．８．由题意得MN 边所在直线的斜率k MN ＝－１,P Q 边所在直线的斜率k P Q ＝－１,N P 边所在直线的斜率k N P ＝１,Q M 边所在直线的斜率k Q M ＝１,得k MN ＝k P Q ,k N P ＝k Q M ．则四边形MN P Q 为平行四边形．又有k MN k N P ＝１ˑ(－１)＝－１,所以MN ʅN P ．所以平行四边形MN P Q 为矩形．９．设所求点D 的坐标为(x ,y ),如答图２所示．答图２由于k A B ＝３,k B C ＝０,所以k A B k B C ＝０ʂ－１,即A B 与B C 不垂直,故A B ,B C 都不可作为直角梯形的直角边．①若C D 是直角梯形的直角边,则B C ʅC D ,A D ʊBC ．因为k B C ＝０,所以C D 的斜率不存在,从而有x ＝３．又k A D ＝k B C ,所以y －３x＝０,即y ＝３,此时A B 与C D不平行,故所求点D 的坐标为(３,３)．②若A D 是直角梯形的直角边,则A D ʅA B ,A B ʊC D ．因为k A D ＝y －３x ,k C D ＝yx －３,k A B ＝３,所以y －３x ˑ３＝－１,y x －３＝３,解得x ＝１８５,y ＝９５．所以点D 的坐标为１８５,９５æèçöø÷．综上所述,点D 的坐标为(３,３)或１８５,９５æèçöø÷．第二节㊀直线的方程第１课时㊀直线的点斜式、斜截式方程ʌ课前导引ɔ知识点２㊀直线l 在坐标轴上的截距(１)纵坐标b (２)横坐标a 知识点４㊀两条直线的位置关系(１)k １＝k ２,且b １ʂb ２(２)k １＝k ２,且b １＝b ２(３)k １ʂk ２(４)k １ k ２＝－１ʌ课堂精讲ɔ变式训练１．(１)x ＋y －１＝０(２)x ＋４y －６＝０㊀２．(１)y ＝－２x ＋１．(２)y ＝－２x ＋６．３．３２,＋ɕéëêöø÷ʌ课后测评ɔ一㊁基础测评１．B ㊀２．B ㊀３．C ㊀４．B ㊀５．C ６．y －３＝３(x －１)７．x ＝－１或y －２＝(x ＋１)t a n α８．２９．y ＝２x －８１０．直线l 的方程可化为y ＝３２x －７２．(１)与直线l 平行的方程可设为y ＝３２x ＋b ,由直线过点P (－４,２),得２＝３２ˑ(－４)＋b ,解得b ＝８．故所求直线的方程为y ＝３２x ＋８．(２)与直线l 垂直的方程可设为y ＝－２３x ＋b ,由直线过点P (－４,２),得２＝－２３ˑ(－４)＋b ,解得b ＝－２３．故所求直线的方程为y ＝－２３x －２３．二㊁能力测评１１．设直线l ２的倾斜角为α,则t a n α＝３４,于是t a n α２＝１－c o s αs i n α＝１－４５３５＝１３,t a n２α＝２t a n α１－t a n ２α＝２ˑ３４１－３４æèçöø÷２＝２４７．故所求直线l １的方程为y －６＝１３(x －８),即x －３y ＋１０＝０;l ３的方程为y －６＝２４７(x －８),即２４x －７y －１５０＝０．１２．设l 与A C 交于点D ．因为C D C A æèçöø÷２＝１２,所以C D C A＝１２,所以λ＝A DңD Cң＝２－１．故可得x D ＝１＋(２－１) ４１＋(２－１)＝８－３２２,y D ＝１＋(２－１) ５１＋(２－１)＝５－２２．又k l ＝k A B ＝１２,所以l 的方程为y －(５－２２)＝１２x －８－３２２æèçöø÷,即x －２y ＋６－５２２＝０．第２课时㊀直线的两点式、截距式方程ʌ课前导引ɔ知识点３㊀线段的中点坐标公式x １＋x ２２㊀y １＋y ２２ʌ课堂精讲ɔ变式训练１．A C 边所在直线的方程为x －y －３＝０;B C 边所在直线的方程为x ＋２y －６＝０;A B 边所在直线的方程为x ＝２．２．所求直线l 的方程为y ＝２５x 或x ＋２y －９＝０．ʌ课后测评ɔ一㊁基础测评１．B ㊀２．D㊀３．A㊀４．A㊀５．D㊀６．A㊀７．B８．x ＋４y －８＝０．９．３条,分别为y ＝２x ,x ＋y －３＝０,x －y ＋１＝０．二㊁能力测评１０．C１１．４x －y ＋１６＝０,或x ＋３y －９＝０１２．因为A B ＝４,所以O A ＝O B ＝４２＝２２．因此可得A ,B ,C ,D 的坐标分别为(２２,０),(０,２２),(－２２,０),(０,－２２)．所以A B 所在直线的方程是x ２２＋y ２２＝１,即x ＋y －２２＝０．B C 所在直线的方程是x －２２＋y２２＝１,即x －y ＋２２＝０．C D 所在直线的方程是x－２２＋y－２２＝１,即x ＋y ＋２２＝０．D A 所在直线的方程是x２２＋y －２２＝１,即x －y －２２＝０．对称轴的方程分别为x ʃy ＝０,x ＝０,y ＝０．１３．２x －５y －１０＝０,８x －５y ＋２０＝０．三㊁高考链接１４．C １５．(１)(０,３);(２)x ＋５y －１５＝０．第３课时㊀直线的一般式方程ʌ课前导引ɔ知识点A x ＋B y ＋C ＝０ʌ课堂精讲ɔ变式训练１．(１)y －２＝０;(２)x ＋３y －１＝０．２．(１)１或－３(２)－３或２㊀３．(１)(－２,２)(２)[１,＋ɕ)ʌ课后测评ɔ一㊁基础测评１．D㊀２．D㊀３．B ㊀４．C ㊀５．A ６．x ＋y －５＝０７．(１)m ＝－１;(２)m ʂ－１,且m ʂ３;(３)m ＝１２．８．(１)３x ＋４y －９＝０．(２)４x －３y ＋１３＝０．二㊁能力测评９．C１０．３２,＋ɕéëêöø÷１１．[－１,１]１２．(１)m ＝１;(２)m ＝４３;(３)m ＝５３或m ＝－２．三㊁高考链接１３．B１４．l １ʅl ２⇒m２＋２ (－４m ２)＝０⇒m ＝０或m ＝１４,所以直线l １的方程为２y ＋１＝０或x ＋８y ＋４＝０．第三节㊀直线的交点坐标与距离公式第１课时㊀两条直线的交点坐标ʌ课前导引ɔ知识点１㊀两条直线的交点(１)l １与l ２相交(２)l １与l ２平行(３)l １与l ２重合知识点２㊀直线系方程(１)A １x ＋B １y ＋C １＋λ(A ２x ＋B ２y ＋C ２)＝０㊀A ２x ＋B ２y ＋C ２＝０(２)A x ＋B y ＋λ＝０(３)B x －A y ＋λ＝０ʌ课堂精讲ɔ变式训练１．(１)重合;(２)垂直;(３)相交,交点为(２,－１)．２．(１)x －４y ＋１０＝０;(２)２７＜k ＜１;(３)３x ＋y ＋３＝０．３．恒过定点(－３,３)．ʌ课后测评ɔ一㊁基础测评１．C ㊀２．C ㊀３．B ㊀４．D ５．３５６．－３２,２æèçöø÷二㊁能力测评７．C８．１２,１２æèçöø÷９．４x －３y ＋９＝０．１０．１５x ＋５y ＋１６＝０．三㊁高考链接１１．(－１,－１)１２．(１)３x －４y ＋８＝０;(２)４x ＋３y －６＝０．第２课时㊀两点间的距离ʌ课堂精讲ɔ变式训练１．点P 的坐标是－３２,５２æèçöø÷．２．x ＝８或x ＝－１６．３．略．４．如答图１,作点A 关于直线l 的对称点A ᶄ,连接A ᶄB交l 于点P ．点P 即为所求．答图１设A ᶄ(a ,b ),则A A ᶄ的中点在l 上,且A A ᶄʅl ,即a ＋１２＋２ˑb ＋２２－１０＝０,b －２a －１ －１２æèçöø÷＝－１,ìîíïïïï解得a ＝３,b ＝６,{即A ᶄ(３,６)．所以直线A ᶄB 的方程为６x ＋y －２４＝０．解方程组６x ＋y －２４＝０,x ＋２y －１０＝０,{得x ＝３８１１,y ＝３６１１．ìîíïïïï所以点P 的坐标为３８１１,３６１１æèçöø÷．故供水站应建在点P ３８１１,３６１１æèçöø÷处,此时P A ＋P B ＝A ᶄB ＝(３－４)２＋(６－０)２＝３７．ʌ课后测评ɔ一㊁基础测评１．B ㊀２．C ㊀３．C ㊀４．B ５．２５㊀６．３㊀７．－１或８５８．等腰直角三角形９．如答图２,以A B 边所在的直线为x 轴,A C 边所在的直线为y 轴,建立直角坐标系,设B (b ,０),C (０,c )．答图２由中点坐标公式可得M b ２,c ２æèçöø÷,所以AM ＝O M ＝b ２４＋c ２４＝１２b ２＋c ２．又B C ＝b ２＋c２,故AM ＝１２B C ．二㊁能力测评１０．C ㊀１１．D㊀１２．１１３．３７,－１７æèçöø÷三㊁高考链接１４．D㊀１５．B第３课时㊀点到直线的距离、两条平行直线间的距离ʌ课前导引ɔ知识点１㊀点到直线的距离公式d ＝|A x ０＋B y ０＋C |A ２＋B ２知识点２㊀两条平行线之间的距离(１)公垂线段(２)点到直线的距离(３)d ＝|C １－C ２|A ２＋B２ʌ课堂精讲ɔ变式训练１．(１)５ʃ２(２)３x ＋４y －１０＝０(３)－２＋３２７,０æèçöø÷或－２－３２７,０æèçöø÷２．x ＝１或４x －３y ＋２＝０．３．D㊀４．Bʌ课后测评ɔ一㊁基础测评１．D㊀２．C３．１２或－６４．[０,１０]５．x ＋y －５＝０．６．设P (x ,y )是所求直线上任一点,则３x ＋４y －１０３２＋４２＝３x ＋４y －１２３２＋４２,化简得３x ＋４y －１１＝０为所求直线的方程．７．当直线的斜率不存在时,即x ＝１,显然符合题意;当直线的斜率存在时,设所求直线的斜率为k ,则直线的方程为y －２＝k (x －１),由条件得２k －３－k ＋２k ２＋１＝５－k ＋２k ２＋１,解得k ＝４．故所求直线的方程为x ＝１或４x －y －２＝０．二㊁能力测评８．C ㊀９．C ㊀１０．A １１．m ２＋n ２１２．x ＋y ʃ４＝０,或x －y ʃ４＝０１３．０＜d ɤ３４１４．A C ＝(４－１)２＋(２－１)２＝１０,直线A C 的方程为y －１２－１＝x －１４－１,即x －３y ＋２＝０．因为点B (m ,m )到直线A C 的距离d ＝m －３m ＋２１２＋(－３)２,所以әA B C 的面积S ＝１２A Cd ＝１２m －３m ＋２＝１２m －３２æèçöø÷２－１４．因为１＜m ＜４,所以１＜m ＜２,所以０＜m －３２æèçöø÷２－１４ɤ１４,０＜S ɤ１８．所以当m ＝３２,即m ＝９４时,әA B C 的面积S 最大．三㊁高考链接１５．D㊀１６．D。
高中数学《圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体的结构特征 》导学案
1．1.2圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体的结构特征课前自主预习知识点一圆柱、圆锥和圆台的结构特征1．圆柱的定义、图形及表示2．圆锥的定义、图形及表示3．圆台的定义、图形及表示知识点二球的结构特征知识点三组合体1．概念：由□1简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的．2．基本形式：一种是由简单几何体□2拼接而成的简单组合体；另一种是由简单几何体□3截去或□4挖去一部分而成的简单组合体．1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．2．处理台体问题常采用还台为锥的补体思想．3．处理组合体问题常采用分割思想．4．重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会并运用空间几何平面化的思想．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)到定点的距离等于定长的点的集合是球．()(2)用平面去截圆锥、圆柱和圆台，得到的截面都是圆．()(3)(教材改编，P9，T2)用平面截球，无论怎么截，截面都是圆面．()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)图①中的几何体叫做________，O叫它的________，OA叫它的________，AB叫它的________．(2)(教材改编，P9，T3)图②的组合体是由________和________构成．(3)图③中的几何体有________个面．答案(1)球球心半径直径(2)圆柱圆锥(3)三3．圆锥的母线有()A．1条B．2条C．3条D．无数条答案D课堂互动探究探究1旋转体的概念例1下列命题：(1)以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；(2)以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；(3)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；(4)用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3解析根据圆柱、圆锥、圆台的概念不难做出判断．(1)以直角三角形的一条直角边为轴旋转才可以得到圆锥；(2)以直角梯形垂直于底边的一腰为轴旋转才可以得到圆台；(3)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；(4)用平行于圆锥底面的平面截圆锥，才可得到一个圆锥和一个圆台．故4个均不正确．答案A[条件探究]若本例中(2)改为以直角梯形的各边为轴旋转，得到的几何体是由哪些简单几何体组成的？解①以垂直于底边的腰为轴旋转得到圆台；②以较长的底为轴旋转得到的几何体为一圆柱加上一个圆锥；③以较短的底为轴旋转得到的几何体为一圆柱挖去一个同底圆锥；④以斜腰为轴旋转得到的几何体为圆锥加上一个圆台挖去一个小圆锥．拓展提升平面图形旋转形成的几何体的结构特征圆柱、圆锥、圆台和球都是由平面图形绕着某条轴旋转而成的，平面图形不同，得到的旋转体也不同，即使是同一平面图形，所选轴不同，得到的旋转体也不一样．判断旋转体，要抓住定义，分清哪条线是轴，什么图形，怎样旋转，旋转后生成什么样的几何体．【跟踪训练1】一个有30°角的直角三角尺绕其各条边所在直线旋转所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么几何体？旋转360°又得到什么几何体？解如图(1)和(2)所示，绕其直角边所在直线旋转一周围成的几何体是圆锥；如图(3)所示，绕其斜边所在直线旋转一周围成的几何体是两个同底相对的圆锥．如图(4)所示，绕其斜边上的高所在直线旋转180°围成的几何体是两个半圆锥，旋转360°围成的几何体是一个圆锥．探究2简单组合体的结构特征例2描述下图几何体的结构特征．解图(1)中的几何体是由一个四棱柱和一个四棱锥拼接而成的组合体．图(2)中的几何体是在一个圆台中挖去一个圆锥后得到的组合体．图(3)中的几何体是在一个圆柱中挖去一个三棱柱后得到的组合体．图(4)中的几何体是由两个同底的四棱锥拼接而成的简单组合体．拓展提升简单组合体的两种构成方法(1)简单组合体的构成一般有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．(2)识别或运用几何体的结构特征，要从几何体的概念入手，掌握画图或识图的方法，并善于运用身边的特殊几何体进行判断、比较、分析．【跟踪训练2】观察下列几何体，并分析它们是由哪些基本几何体组成的．解 图(1)是由一个圆柱中挖去一个圆台形成的．图(2)是由一个球、一个四棱柱和一个四棱台组合而成的．探究3 旋转体的计算问题例3 一个圆台的母线长为12 cm ，两底面面积分别为4π cm 2和25π cm 2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．解 (1)如图，圆台的轴截面是等腰梯形ABCD ，由已知可得上底面半径O 1A ＝2 cm ，下底面半径OB ＝5 cm ，又腰长AB ＝12 cm ，所以圆台的高为AM ＝122－(5－2)2＝315(cm)．(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，则由△SAO 1∽△SBO 可得l －12l ＝25，所以l ＝20(cm)．故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.拓展提升旋转体中的计算问题及截面性质(1)圆柱、圆锥和圆台中的计算问题，一要结合它们的形成过程，分辨清轴、母线及底面半径与旋转前平面图形量的关系；二要切实体现轴截面的作用．解题时，可把轴截面从旋转体中分离出来，以平面图形的计算解决立体问题．(2)球中的计算应注意一个重要的直角三角形，设球的半径为R，截面圆的半径为r，球心到截面的距离为d，则R2＝d2＋r2.(3)用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解．【跟踪训练3】圆台的两底面面积分别为1,49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比．解将圆台还原为圆锥，如图所示．O2，O1，O分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，V是圆锥的顶点，令VO2＝h，O2O1＝h1，O1O＝h2，设上底面的面积为S1，半径为r1，则S1＝πr21＝1，下底面的面积为S2，半径为r2，则S2＝πr22＝49，截面的面积为S ＝S1＋S 22＝25，半径为r 3，则S ＝πr 23.由三角形相似得⎩⎪⎨⎪⎧ h ＋h 1h ＝49＋121，h ＋h 1＋h 2h ＝491，所以⎩⎨⎧ h 1＝4h ，h 2＝2h ，即h 1∶h 2＝2∶1.探究4 圆柱、圆锥、圆台侧面展开图的应用例4 如图所示，已知圆柱的高为 80 cm ，底面半径为10 cm ，轴截面上有P ，Q 两点，且P A ＝40 cm ，B 1Q ＝30 cm ，若一只蚂蚁沿着侧面从P 点爬到Q 点，问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？解 将圆柱侧面沿母线AA 1展开，得如图所示矩形．则＝12·2πr ＝πr ＝10π(cm)．过点Q 作QS ⊥AA 1于点S ，在Rt △PQS 中，PS ＝80－40－30＝10(cm)，QS ＝A 1B 1＝10π(cm)．∴PQ ＝PS 2＋QS 2＝10π2＋1(cm)．即蚂蚁爬过的最短路径长是10π2＋1 cm.拓展提升求圆柱、圆锥、圆台侧面上两点间最短距离都要转化到侧面展开图中，“化曲为直”是求几何体表面上两点间最短距离的好方法．【跟踪训练4】 国庆节期间，要在一圆锥形建筑物上挂一宣传标语，经测量得圆锥的母线长为3米，高为22米，如图所示．为了美观需要，在底面圆周上找一点M 拴系彩绸的一端，沿圆锥的侧面绕一周挂彩绸，彩绸的另一端仍回到原处M ，则彩绸最短要多少米？解 把圆锥的侧面沿过点M 的母线剪开，并铺平得扇形MOM 1，如图所示．这样把空间问题转化为平面问题，易知彩绸的最短长度即为线段MM1的长度，由母线长为3米，高为22米，得底面半径为1米，所以扇形的圆心角为120°，所以MM1＝33米，即彩绸最短要33米．1.透析圆柱的结构特征(1)圆柱有两个互相平行的面且这两个面是等圆；(2)有无数条母线，长度相等且都与轴平行；(3)圆柱上底面圆周上一点和下底面圆周上一点的连线不一定是圆柱的母线，只有这两点连线平行于轴时才是母线．2.透析圆锥的结构特征(1)底面是圆面；(2)侧面是由无数条母线组成的，且母线长均相等．3.透析圆台的结构特征(1)圆台上、下底面是相似的圆；(2)有无数条母线且等长，各母线的延长线交于一点．圆台可以由直角梯形以垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，旋转而形成．4.透析球的概念球也是旋转体，球的表面是旋转形成的曲面，球是由球面及其内部空间组成的几何体．根据球的定义，铅球是一个球，而足球、乒乓球、篮球、排球等，虽然它们的名字中有“球”字，但它们是空心的，不符合球的定义，都不是真正的球．5.柱体、锥体、台体之间的关系课堂达标自测1．下列几何体中不是旋转体的是()答案D解析正方体不可能是旋转体．2．一个等腰三角形绕它的底边所在直线旋转360°形成的曲面所围成的几何体是()A．球体B．圆柱C．圆台D．两个共底面的圆锥的组合体答案D解析过等腰三角形的顶点向底边作垂线，得到两个有一条公共边的全等直角三角形，而直角三角形以一条直角边为轴旋转得到的几何体是圆锥，故选D.3．下列几何体中是旋转体的是()①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A．①和⑤B．①C．③和④D．①和④答案D解析根据旋转体的概念知①④正确．4．指出如图(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的．解分割图形，使它的每一部分都是简单几何体．图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．5．圆台的两底面圆的半径分别为2,5，母线长是310，求其轴截面的面积．解如图，在轴截面内过点A作AB⊥O1A1，垂足为B.由已知OA＝2，O1A1＝5，AA1＝310，∴A1B＝3.∴AB ＝AA 21－A 1B 2＝90－9＝9.∴S 轴截面＝12(2OA ＋2O 1A 1)·AB ＝12×(4＋10)×9＝63(cm 2)．故圆台轴截面的面积为63 cm 2.课后课时精练A 级：基础巩固练一、选择题1．下列几何体是简单组合体的是( )答案 D解析 A 项中的几何体是圆锥，B 项中的几何体是圆柱，C 项中的几何体是球，D 项中的几何体是一个圆台中挖去一个圆锥，是简单组合体．2．给出下列命题：①圆柱的底面是圆；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形；③连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；④圆柱的任意两条母线互相平行．其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 本题的判断依据是圆柱的定义及结构特征．①中圆柱的底面是圆面，而不是圆，故①错；②和④中，圆柱有无数条母线，它们平行且相等，并且母线都与底面垂直，②和④正确；③中连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段不一定与圆柱的轴平行，故③错．故选B.3．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )A ．一个球体B ．一个球体中间挖去一个圆柱C ．一个圆柱D ．一个球体中间挖去一个长方体答案 B解析 圆面旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，所以选B.4．若用长为4，宽为2的矩形作侧面围成一个圆柱，则此圆柱轴截面的面积为( )A ．8 B.8π C.4π D.2π答案 B 解析 若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为4π，其轴截面的面积为8π；若底面周长为2，则圆柱高为4，此时圆柱的底面直径为2π，其轴截面的面积也为8π.5．两平行平面截半径为5的球，若截面的面积分别为9π和16π，则这两个平面间的距离是( )A ．1B ．7C ．3或4D ．1或7答案D解析如图(1)所示，若两个平行平面在球心同侧，则CD＝52－32－52－42＝1.如图(2)所示，若两个平行平面在球心两侧，则CD＝52－32＋52－42＝7.故选D.二、填空题6．已知圆锥的底面半径为1 cm，高为 2 cm，其内部有一个内接正方体，则这个内接正方体的棱长为________．答案22cm解析过圆锥的顶点S和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF，正方体对角面CDD1C1，如图所示．设正方体棱长为x cm，则CC1＝x cm，C1D1＝2x cm，作SO⊥EF于O，则SO＝ 2 cm，OE＝1 cm，∵△ECC 1∽△ESO ，∴CC 1SO ＝EC 1EO ，即x 2＝1－22x 1， ∴x ＝22，即内接正方体棱长为22 cm.7．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的截面，则截面的面积与球的一个大圆面积之比为________．答案 3∶4解析 令球的半径为2r ，则截面的半径为3r ，截面的面积为3πr 2，大圆的面积为4πr 2，所以它们的面积之比为3∶4.8．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面的可能图形有________．答案 ①②③解析 当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体的对角线时得②，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①，但无论如何都不能截出④.三、解答题9．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长为10 cm.求圆锥的母线长．解 设圆锥的母线长为l ，圆台上、下底面的半径分别为r ，R . ∵l －10l ＝r R ，∴l －10l ＝14，∴l ＝403(cm)．故圆锥的母线长为403 cm.B 级：能力提升练10．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm 2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面的半径．解 圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面的半径分别为x cm,3x cm ，延长AA 1交OO 1的延长线于S ，在Rt △SOA 中，∠ASO ＝45°，则∠SAO ＝45°，所以SO ＝AO ＝3x ，SO 1＝A 1O 1＝x ，所以OO 1＝2x .又S轴截面＝12(6x＋2x)·2x＝392，所以x＝7.所以圆台的高OO1＝14(cm)，母线长l＝2OO1＝142(cm)，两底面的半径分别为7 cm,21 cm.。
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归纳升华 1．判断简单旋转体的关键是准确掌握圆柱、圆锥、 圆台和球的生成过程及其特征性质． 2．解题时要注意两个明确：(1)明确由哪个平面图形 旋转而成；(2)明确旋转轴是哪条直线．
[变式训练] 下列命题： ①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这 两点的连线是圆柱的母线； ②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥 的母线； ③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两 点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线相互平行．
4．下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周(如图所 示)，能形成圆台的是________(填序号)．
解析： 圆台可由直角梯形绕垂直于底的腰旋转一周得 到，所以图①满足． 答案：①
5.如图所示，已知圆锥 SO 的母线长为 5，底面直径 为 8，则圆锥 SO 的高 h＝____________． 解析：在 Rt△OSA 中，OA＝4， 所以 h＝ SA2－OA2＝ 52－42＝3. 答案：3
类型 1 旋转体的结构特点(自主研析) [典例 1] (1)下列说法不正确的是( A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 )
C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的面围成 的几何体是圆锥 D．圆台平行于底面的截面是圆面
(2)下列说法中正确的是(
)
①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆； ②球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的 直径； ③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线 垂直于截面； ④球是与定点的距离等于定长的所有点的集合．
2．圆柱、圆锥、圆台的概念
旋转体
结构特征 以矩形的一边所在 直线为旋转轴， 其余
图形
表示 我们用表示 圆柱轴的字 母表示圆 柱，左图可 表示为圆柱 OO′
圆柱
三边旋转形成的面 所围成的旋转体叫 做圆柱． 旋转轴叫做 圆柱的轴
以直角三角形的一条 直角边所在直线为旋 圆锥 转轴，其余两边旋转 形成的面所围成的旋 转体叫做圆锥
2．下列结论正确的个数是( 叫做球；
)
①以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转形成的曲面 ②空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的 曲面是球面； ③以圆的直径所在直线为旋转轴，圆面旋转形成的 几何体是球； ④经过球面上不同的两点只能作一个大圆． A．1 B．2 C．3 D．4
解析：球面和球是两个不同的概念，以半圆的直径 所在直线为旋转轴旋转形成的曲面叫做球面，球面围成 的几何体叫做球，①错误；②正确；③正确；若球面上 不同的两点恰为球的某条直径的两个端点，则过此两点 的大圆有无数个，④错误． 答案：B
3．给出下列命题： ①圆柱的底面是圆面； ②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形； ③连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的 母线； ④圆柱的任意两条母线互相平行． 其中正确命题的序号为________．
解析：①正确；圆柱有无数条母线，它们平行且相 等，并且母线都与底面垂直，②和④正确；连接圆柱上、 下底面圆周上两点的线段不一定与底面垂直，故③错． 答案：①②④
我们用表示圆 锥轴的字母表 示圆锥，左图 可表示为圆锥 SO
用平行于圆锥底面 圆台 的平面去截圆锥， 底 面与截面之间的部 分叫做圆台
我们用表示圆 台轴的字母表 示圆台，左图 可表示为圆台 O′O
温馨提示 (1)以直角三角形斜边所在的直线为旋转 轴，其余两边旋转成的曲面围成的旋转体不是圆锥． (2) 圆台有无数条母线，且它们相等，延长后相交于一点．
解：图①是由圆柱中挖去圆台形成的，图②是由球、 棱柱、棱台组合而成的．
归纳升华 1．组合体是由简单几何体拼接、截去或挖去一部分 而成的，因此，要仔细观察组合体的组成，结合柱、锥、 台、球的几何结构特征，对原组合体进行分割． 2．用分割法识别简单组合体，则需要根据几何体的 结构特征恰当地作出辅助线(或面)，进而培养学生的空间
3．球的有关概念 (1)定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面 旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球． (2)有关概念 ①球心：半圆的圆心；②半径：半圆的半径；③直 径：半圆的直径．
温馨提示 球是指球面所围成的空间几何体， 而球面 只是球的表面部分．
4．简单组合体 (1)概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单 组合体．常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、 球等几何结构特征的物体组成的． (2)基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一 种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．
A．①②③ C．②③
B．②③④ D．②④
解析：(1)根据圆柱、圆锥、圆台的生成和几何特征， 知 A、B、D 正确． 当直角三角形绕它的一条直角边旋转一周形成的面 围成的几何体才是圆锥，绕斜边旋转形不成圆锥，因此 C 不正确． (2)根据球的几何特征，①错，②③正确．
又与定点的距离等于定长的点的集合是球面不是球． 所以④不正确，只有②③说法正确． 答案：(1)C (2)C
第一章
空间几何体
1.1 空间几何体的结构 1．1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单 组合体的结构特征
[学习目标] 1.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特 征． 2.会用柱、锥、台、球的结构特征描述简单组合体 的结构特征． 3.了解柱、锥、台的关系．
1．旋转体 定义： 由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线 旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体， 这条定直线叫做旋 转体的轴．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面．( )
(2) 用 平 面 去 截 圆 锥 ， 会 得 到 一 个 圆 锥 和 一 个 圆 台．( ) )
(3)用平面截球，无论怎么截，截面都是圆面．( (4)过圆台的轴截面是全等的等腰梯形．( )
解析：由圆柱、圆锥、圆台、球的定义与几何特征知 (1)、(3)、(4)正确，(2)不正确． 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√
其中正确的是(
)
A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 解析：①所取的两点与圆柱的轴 OO′的连线所构成 的四边形不一定是矩形，若不是矩形，则与圆柱母线定 义不符；③所取两点连线的延长线不一定与轴交于一点， 不符合圆台母线的定义；②④符合圆锥、圆柱母线的定 义及性质． 答案：D
类型 2 简单的组合体 [典例 2] 观察下列几何体，分析它们是由哪些基本 几何体组成的．