求复合函数的定义域、值域、解析式(集锦)
求复合的定义域、值域、解析式(集锦)
一、 基本类型:
1、 求下列函数的定义域。
(1)12
)(-+=x x x f (2)x
x x x f -+=0)1()(
(3) 1
11--=
x y (4)()f x =
二、复合函数的定义域
1、 若函数y =f (x )的定义域是[-2, 4], 求函数g (x )=f (x )+f (1-x )的定义域
2(江西卷3)若函数()y f x =的定义域是[0,2],求函数(2)
()1
f x
g x x =
-的定义域 2、 函数y =f (2x +1)的定义域是(1, 3],求函数y =f (x )的定义域 3、 函数f (2x -1)的定义域是[0, 1),求函数f (1-3x )的定义域是 求函数的值域 一、二次函数法
(1)求二次函数2
32y x x =-+的值域 (2)求函数2
25,[1,2]y x x x =-+∈-的值域. 二、换元法:
(1) 求函数y x =+
分分式法 求2
1
+-=
x x y 的值域。 解:(反解x 法) 五:有界性法:
(1)求函数
1e 1
e y x
x +-=的值域 六、数形结合法---扩展到n 个相加
(1)|1||4|y x x =-++(中间为减号的情况?) 求解析式 换元法
已知23,f x =- 求 f (x ). 解方程组法
设函数f (x )满足f (x )+2 f (
x
1
)= x (x ≠0),求f (x )函数解析式. 一变:若()f x 是定义在R 上的函数,(0)1f =,并且对于任意实数,x y ,总有
2
()()(21),f x f x y x y y
+=+++求()f x 。
令x=0,y=2x 待定系数法
设 f (2x )+f (3x +1)=13x 2
+6x -1, 求 f (x ). 课堂练习: 1.函数1
21
1)(2
2+-+
++=
x x x x x f 的定义域为
2.函数()f x =
的定义域为
3.已知
)2(x f 的定义域为[0,8],则(3)f x 的定义域为 4.求函数542
+-=x x y ,]4,1(∈x 的值域
5.求函数)(x f =
x
x
213+-(x ≥0)的值域 6.求函数3
22
322-++-=x x x x y 的值域
7已知f (x +1)= x+2x ,求f (x )的解析式. 8已知 2f (x )+f (-x )=10x
, 求 f (x ).
9已知
f {f [f (x )]}=27x +13, 且 f (x ) 是一次式, 求 f (x ). 三、课后训练:
1.求函数y =(
)
2
2x x
-+ 要求:选择题要在旁边写出具体过程。
2.下列函数中,与函数y x =相同的函数是
( C )
()A 2
x y x
= ()
B 2y = ()
C lg10x y =
()D 2log 2x y =
3.若函数)23(x f -的定义域为[-1,2],则函数)(x f 的定义域是( C )
A .]1,2
5
[--
B .[-1,2]
C .[-1,5]
D .]2,2
1[
4,设函数???<≥-=)1(1
)
1(1)(x x x x f ,则)))2(((f f f =( B )
A .0
B .1
C .2
D .2
5.下面各组函数中为相同函数的是( D ) A .1)(,)1()(2-=-=x x g x x f B .11)(,1)(2-+=-=x x x g x x f
C .
22)1()(,)1()(-=-=x x g x x f
D .
2
1
)(,2
1
)(22+-=+-=
x x x g x x x f
6.若函数)(},4|{}0|{1
1
3)(x f y y y y x x x f 则的值域是≥?≤--=
的定义域是( B ) A .]3,3
1[ B .]3,1()1,3
1[? C .),3[]3
1,(+∞-∞或 D .[3,+∞)
7.若函数3
41
2
++-=mx mx mx y 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是( C ) A .]4
3,0(
B .)43
,0( ]43,0[
D .)4
3,0[ 8、已知函数322
+-=x x y 在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m 的取值范围是( D )
A 、[ 1,+∞)
B 、[0,2]
C 、(-∞,2]
D 、[1,2]
9.已知函数的值域12
79,432
2
+--=-+=x x x y x x y 分别是集合P 、Q ,则( C )
A .p ?Q
B .P=Q
C .P ?Q
D .以上答案都不对
10.求下列函数的值域: ①)1(3
55
3>-+=
x x x y ②y=|x+5|+|x-6|
③242
++--=x x y
④x x y 21-+= ⑤4
22
+-=
x x x
y 11、已知函数)0(1
2)(2
2<+++=b x c
bx x x f 的值域为]3,1[,求实数c b ,的值。 12.已知f (x
x 1
+)= x x x 1122++,求f (x )的解析式. 13.若 3f (x -1)+2f (1-x )=2x , 求 f (x ).
14.设是定义在R 上的函数,且满足f (0)=1,并且对任意的实数x ,y , 有f (x -y )= f (x )- y (2x -y+1),求f (x )函数解析式.
课后训练答案:
1.4
(,)(0,2)(2,)3
-∞-+∞ 2.—9:C,C,B,D,B,D,C
10. 3{|}5y y ≠,[11,)+∞,5[,4]2,[1,)+∞,11[,]62
- 11.c=2,b=-1
12. 2
()1f x x x =-+ 13. 17()55
f x x =+
14. 2()1f x x x =++
【练习】
1求函数定义域 2已知函数f
的定义
域为[ 0,3 ],求f (x )的定义域
3已知函数f (x )定义域为[ 0 , 4], 求f ()
2x 的定义域
4求函数的值域(注意先求函数的定义域)
① 31y x =+ , x ∈{1,2 ,3,4,5 } ( 观察法 ) ②2
46y x x =-+ ,x ∈[)1,5( 配
方法 :形如2
y ax bx c =++ )
③2y x =换元法:形如y ax b =+) ④1
x
y x =
+ ( 分离常数法:形如cx d
y ax b
+=
+ )
5求下列函数的解析式
①已知f (x )= 22x x -,求f (1x -)的解析式 ②已知f (x+1)= 223x x ++,求f (x )的解析式
③已知f (x )是二次函数,且()()2
11244f x f x x x ++-=-+,求f (x )
④已知2 f (x )- f (-x )= x+1 ,求函数f (x )的解析式
一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域:
⑴33y x =
+- ⑵y = ⑶
01(21)111
y x x =+-++
-
2、设函数f x ()的定义域为[]01,,则函数f x ()2
的定义域为_ _ _;函数f x ()
-2的定义域为________;
3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23,,则函数(21)f x -的定义域是 ;函数
1
(2)f x
+的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-,且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在,
求实数m 的取值范围。
二、求函数的值域
5、求下列函数的值域:
⑴2
23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2
23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶31
1
x y x -=
+ ⑷31
1
x y x -=
+ (5)x ≥
⑸
y = ⑹ 22
594
1x x y x +=-+ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =-
⑼
y =⑽
4y =
⑾y x =
6、已知函数222()1
x ax b
f x x ++=+的值域为[1,3],求,a b 的值。
三、求函数的解析式
1、 已知函数2
(1)4f x x x -=-,求函数()f x ,(21)f x +的解析式。
2、 已知()f x 是二次函数,且2
(1)(1)24f x f x x x ++-=-,求()f x 的解析式。
3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+,则()f x = 。
4、设()f x 是R 上的奇函数,且当[0,)x ∈+∞时, ()(1f x x =,则当(,0)x ∈-∞时
()f x =____ _
()f x 在R 上的解析式为
5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且,()f x 是偶函数,()g x 是奇函数,且1
()()1
f x
g x x +=
-,求()f x 与()g x 的解析表达式
四、求函数的单调区间
6、求下列函数的单调区间:
⑴ 2
23y x x =++ ⑵y = ⑶ 261y x x =--
7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数,则2
(1)f x -的单调递增区间是
8、函数236
x
y x -=
+的递减区间是 ;函数y =的递减区间
是
五、综合题
9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 ( ) ⑴3
)
5)(3(1+-+=
x x x y , 52-=x y ; ⑵111-+=x x y , )1)(1(2-+=x x y ;
⑶x x f =)(, 2)(x x g =
; ⑷x x f =)(, ()g x =; ⑸21)52()(-=x x f ,
52)(2-=x x f 。
A 、⑴、⑵
B 、 ⑵、⑶
C 、 ⑷
D 、 ⑶、⑸ 10、若函数()f x = 3
44
2
++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 ( )
A 、(-∞,+∞)
B 、(0,43]
C 、(43,+∞)
D 、[0, 4
3
)
11
、若函数()f x =
的定义域为R ,则实数m 的取值范围是( )
(A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 12、对于11a -≤≤,不等式2
(2)10x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是( ) (A) 02x << (B) 0x <或2x > (C) 1x <或3x > (D) 11x -<<
13
、函数()f x = )
A 、[2,2]-
B 、(2,2)-
C 、(,2)(2,)-∞-+∞
D 、{2,2}-
14、函数1
()(0)f x x x x
=+
≠是( ) A 、奇函数,且在(0,1)上是增函数 B 、奇函数,且在(0,1)上是减函数 C 、偶函数,且在(0,1)上是增函数 D 、偶函数,且在(0,1)上是减函数
15、函数22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-??
=-<?≥?
,若()3f x =,则x =
16、已知函数f x ()的定义域是(]01,,则g x f x a f x a a ()()()()=+?--<≤1
2
0的定义域为 。
17、已知函数2
1mx n
y x +=+的最大值为4,最小值为 —1 ,则m = ,n = 18、把函数1
1
y x =+的图象沿x 轴向左平移一个单位后,得到图象C ,则C 关于原点对称的
图象的解析式为
19、求函数12)(2
--=ax x x f 在区间[ 0 , 2 ]上的最值
20、若函数2
()22,[,1]f x x x x t t =-+∈+当时的最小值为()g t ,求函数()g t 当∈t [-3,-2]
时的最值。
21、已知a R ∈,讨论关于x 的方程2
680x x a -+-=的根的情况。 22、已知
1
13
a ≤≤,若2()21f x ax x =-+在区间[1,3]上的最大值为()M a ,最小值为()N a ,令()()()g a M a N a =-。(1)求函数()g a 的表达式;(2)判断函数()g a 的单调性,并求()g a 的最小值。
23、定义在R 上的函数(),(0)0y f x f =≠且,当0x >时,()1f x >,且对任意,a b R ∈,
()()()f a b f a f b +=。 ⑴求(0)f ; ⑵求证:对任意,()0x R f x ∈>有;⑶求证:()f x 在R 上是增函数; ⑷若2()(2)1f x f x x ->,求x 的取值范围。
函 数 练 习 题 答 案
一、函数定义域:
1、(1){|536}x x x x ≥≤-≠-或或 (2){|0}x x ≥ (3)
1
{|220,,1}2
x x x x x -≤≤≠≠≠且
2、[1,1]-; [4,9]
3、5[0,];2 11(,][,)32
-∞-+∞ 4、
11m -≤≤
二、函数值域:
5、(1){|4}y y ≥- (2)[0,5]y ∈ (3){|3}y y ≠ (4)7
[,3)3
y ∈ (5)[3,2)y ∈- (6)1{|5}2
y y y ≠≠且 (7){|4}y y ≥ (8)y R ∈ (9)[0,3]y ∈ (10)[1,4]y ∈ (11)1{|}2
y y ≤ 6、2,2a b =±= 三、函数解析式:
1、2
()23f x x x =-- ; 2
(21)44f x x +=- 2、2
()21f x x x =-- 3、
4
()33
f x x =+
4
、()(1f x x =
;(10)
()(10)
x x f x x x ?≥?=?? 5、21()1f x x =-
2
()1
x
g x x =- 四、单调区间:
6、(1)增区间:[1,)-+∞ 减区间:(,1]-∞- (2)增区间:[1,1]- 减区间:[1,3]
(3)增区间:[3,0],[3,)-+∞ 减区间:[0,3],(,3]-∞- 7、[0,1] 8、(,2),(2,)-∞--+∞ (2,2]- 五、综合题:
C D B B D B
14
、(,1]a a -+ 16、4m =± 3n = 17、12
y x =- 18、解:对称轴为x a =
(1)0a ≤时,min ()(0)1f x f ==- , max ()(2)34f x f a ==- (2)01a <≤时,2
min ()()1f x f a a ==-- ,max ()(2)34f x f a ==- (3)12a <≤时,2min ()()1f x f a a ==-- ,max ()(0)1f x f ==- (4)2a >时 ,min ()(2)34f x f a ==- ,max ()(0)1f x f ==-
19、解:221(0)()1(01)22(1)t t g t t t t t ?+≤?=<?-+≥?
(,0]t ∈-∞时,2
()1g t t =+为减函数
∴ 在[3,2]--上,2
()1g t t =+也为减函数
∴
min ()(2)5g t g =-=, max ()(3)10g t g =-=
20、21、22、(略) 一. 解析式的求法 1. 代入法
例1、()21f x x =+,求(1)f x +
2. 待定系数法
例2、二次函数()f x 满足(3)(1)f x f x +=-,且()0f x =的两实根平方和为
10,图像
过点(0,3),求()f x 解析式
3. 换元法 例3、
21
34(31)x x
f x +-+=
,求()f x 解析式
4. 配凑法 例4、
2(31)965f x x x +=-+,求()f x 解析式
5. 消元法(构造方程组法) 例5、
()()1f x f x x +-=-,求()f x 解析式
6. 利用函数的性质求解析式 例6、已知函数
()y f x =是定义在区间33,22[]-上的偶函数,且32
[0,]x ∈时,
25()x f x x -+=-
(1)求()f x 解析式 (2)若矩形
ABCD 顶点,A B 在函数()y f x =图像上,顶点,C D 在
x 轴上,求矩形
ABCD 面积的最大值
例7、已知函数
()
y f x =是定义在R 上的周期函数,周期
5
T =,函数
()y f x =(11)x -≤≤是奇函数,又知()y f x =在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二
次函数,且在2x =时函数取得最小值,最小值为-5 (1)证明:
(1)(4)0f f +=
(2)试求()y f x =,[1,4]x ∈的解析式 (3)试求()y f x =
在[4,9]x ∈上的解析式
二、复合函数的性质 .
例8、 求下列函数的单调区间: y=log 4(x 2
-4x+3)
例9、求复合函数2
13
log (2)y x x =-的单调区间
例10、求y=2
x 6x 7--的单调区间和最值。
例11、 求y=1
2x x 221--??
? ??的单调区间。
作业:
1、若函数(1)f x -定义域为(3,4],则函数f 的定义域为
2、已知函数2()3
f x ax ax =
+-定义域为R ,则实数a 的取值范围是
3、已知2
2
11
()f x x x x -=+
,则(1)f x += 4、已知2
(1)34f x x x +=++,则()f x = 5、已知函数()f x 的图像与函数1
()2h x x x
=++的图像关于点A(0,1)对称 (1)求函数()f x 的解析式 (2)若()()a
g x f x x
=+,且()g x 在区间(0,2]上的值不小于6,求实数a 的取值范围
6、设()f x 是定义在R 上的函数,且()f x 满足(2)()f x f x +=-,当[0,2]x ∈时,
2()2f x x x =-,求[2,0]x ∈-时()f x 的解析式
7、()f x =的定义域为R,则求m 的取值范围
8、已知函数2
11()log 1x
f x x x
+=
--,求函数的定义域,并讨论它的奇偶性单调性。
9、求函数)5,0[,)3
1(42
∈=-x y x
x 的值域。
10、求函数11()()142
x x y =-+在[]3,2x ∈-上的值域。
定 义 域: 例1、 若函数a
ax ax y 1
2+
-=
的定义域是R ,求实数a 的取值范围 例2、设f(x)的定义域为[0,2],求函数f(x+a)+f(x-a)(a >0)的定义域.
练习:若函数)(x f y =的定义域为[-1,1],求函数)41(+=x f y )4
1(-?x f 的定义域
1、函数x
x x f -=
13)(2的定义域是( )
A.),1(+∞
B. )1,0(
C. )1,(-∞
D. ]1,(--∞ 2、函数x
x x x f -+=
0)1()(的定义域是( )
A.{}0| B. {}0|>x x C. {}10|-≠ D. {}10|-≠≠x x x 且 3、x x x f -+ += 21 1)(的定义域是( ) A.),1[+∞- B. ),2[+∞ C. )2,1(- D. {}21|≠-≥x x x 且 4、238 4)(3 -+= x x x f 的定义域是( ) A.),32[+∞ B. ???? ?? ≠32|x x C. ),2[+∞ D. ]1,(--∞ 5、若函数()f x 的定义域[0,2],则函数1 ) 2()(-=x x f x g 的定义域是( ) A [0,1] B [)1,0 C [)(]4,11,0? D ()1,0 6、已知函数)(x f 的定义域为[a ,b],其中b a b a ><<,0,则函数 ()()x f x f x g -+=)(的定义域是( ) A ],(b b - B ],(b a - C ],[b b - D ],[a a - 7、已知函数)1(+=x f y 的定义域为[-2,3],则()12-=x f y 的定义域是 _________ 8.已知(1)f x +的定义域为[2,3]-,则(21)f x -定义域是: A.5[0,]2 B.[1,4]- C.[5,5]- D.[3,7]- 9.已知函数()f x 的定义域为[0,1],函数2 ()f x 的定义域为:___________ 函数的值域 1. 直接观察法:对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。 例1 求函数 x 1 y = 的值域。例2求函数x 3y -=的值域。 2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-=的值域。 3. 判别式法: 例4求函数 22x 1x x 1y +++= 的值域。 例5求函数)x 2(x x y -+=的值域。 4. 反函数法:直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例6求函数6x 54 x 3++值域。 5. 函数有界性法例7求函数 1e 1e y x x +-=的值域。例8求函数3x sin x cos y -= 的值域。 6. 函数单调性法:例9. 求函数)10x 2(1x log 2 y 35 x ≤≤-+=-的值域。 例10. 求函数1x 1x y --+=的值域。 7. 换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。 例11求函数1x x y -+=的值域。 8. 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。例12 求函数 2 2)8x ()2x (y ++-=的值域。 1、1 122 +-=x x y 2、2 131++-+= x x y 3、3422 +-=x x y 4、 322+--=x x y 5、5622 -+-=x x y (1)]1,1[-∈x (2)]4,1[∈x (3)]8,4[∈x 6、 3652-+-= x x y 7、132222+-+-=x x x x y 8、1 1 2 ++-=x x x y 9、1-+=x x y 10、 53-++=x x y 函 数 值: 1、设函数x x x f 32)(2 +-=,则=)2 1 (f _________2、设函数1)(2 +=x x f ,则 =-)]1([f f _________ 3、已知函数c bx ax x f ++=2 )(,若0)3(,0)1(==f f ,则=-)1(f _______ 4、???>-≤+=)0.........(2)0.......(1)(2x x x x x f ,若10)(=a f ,则a =__?????>-+≤-=) 1.....( 2.) 1..(..........1)(22 x x x x x x f , 则=]) 2(1[f f __ 5、函数()f x 对于任意实数x 满足条件()() 1 2f x f x += ,若()15,f =-则()()5f f =__________ 解 析 式: 1、已知函数()f x 是一次函数,且49)]([+=x x f f ,求()f x 表达式. 2、已知x x x f 2)( +=,求()f x 表达式,已知x x x f 2)1(+=+求 ()f x 表达式. 3、已知56)23(+=+x x f ,求()f x 表达式. 1、已知 ,则函数 的解析式为 ( ) A 、 B 、 C 、 D 、 2、 函数的定义域是 ( ) A. B. C. D. 3、函数的定义域是 、函数 5 、函数33 y x =+-的定义域为 6、函数y = 的定义域为 7、函数 22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-?? =-<?≥? ,若()3f x =,则x = 、已知 的定义域为 ,则9、.若函数(1)f x +的定义域为[]-23,,则函数(21)f x -的定义域是 10、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+,则()f x = 11、已知a ,b 为常数,若则 . 12、若函数满足关系式,则的表达式为__________. 13、设()f x 是R 上的奇函数,且当[0,)x ∈+∞时,)1()(3 x x x f += ,则当(,0)x ∈-∞时 ()f x = ,()f x 在R 上的解析式为 14、设二次函数y=f (x)的最小值为4,且f (0)=f (2)=6,求f(x)的解析式。 15、已知函数2 (1)4f x x x -=-,求函数()f x ,(21)f x +的解析式。 16、已知二次函数的二次项系数为,且不等式的解集为。 若方程有两个相等的根,求的解析式。 复合函数定义域和值域练习题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域: ⑴y = (2 )01(21)111 y x x = +-+- 2、设函数f x ()的定义域为[]01,,则函数f x ()2 的定义域为_ _ _;函数f x ()-2的定义域为 ________; 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23,,则函数(21)f x -的定义域是 ;函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-,且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在,求实数m 的取 值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域: ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = 三、求函数的解析式 1、 已知函数2(1)4f x x x -=-,求函数()f x ,(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数,且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-,求()f x 的解析式。 3、 已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+,则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数,且当[0,)x ∈+∞时, ()(1f x x =,则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且,()f x 是偶函数,()g x 是奇函数,且 1 ()()1 f x g x x += -,求()f x 与()g x 的解析表达式 函数的定义域和解析式 一. 知识点 1常见函数的定义域:①分母不为零;②被开偶次方的数大于等于零;③0x 中x 不等于0 ④log a x 中0,1a a >≠,0x >;⑤x a 中0,1a a >≠⑥tan x 中,2x k k Z ππ≠+ ∈ 2.抽象函数的定义域:①定义域是指自变量x 的范围;②()f 中,()内的取值范围相同。 3.同一函数的判断:两个函数有相同的定义域和解析式。 二. 常考题 1. 函数()lg 43 x y x -=-的定义域是___________ 2. 已知函数()3f x +的定义域是[]4,5-,则函数()23f x -的定义域是___________ 3. 设()2lg 2x f x x +=-,则22x f f x ????+ ? ????? 的 定义域是___________ 4. 已知函数()2lg 2194y mx m x m ??=++++??的定义域是R,则m 的取值范围是 ___________。 5. .若函数()253 x f x x -=-的值域为[)4,+∞,()f x 的定义域是. _________。 6. 已知函数()21f x x =-,()2,01,0x x g x x ?≥=?- ,求()f g x ????,()g f x ????的解析式。 7. 已知()212f x x x +=+,则()f x = __________ 8. 已知2211f x x x x ? ?+=+ ???,则()f x = __________ 9. 已知()f x 是一次函数,且满足()()3121217f x f x x +--=+,则()f x = __________ 10. 已知函数()f x 的定义域是一切非零实数,且满足()1324f x f x x ??+= ??? ,则()f x = __________ 三. 课堂练习 1. 函数12y x =-的定义域是___________ 2. 函数[]223,5,0y x x x =--+∈-的值域是___________ 解:求函数的定义域的常用方法 函数的定义域是高考的必考内容,高考对函数的定义域常常是通过函数性质或函数的应用来考查的,具有隐蔽性,所以在研究函数问题时必须树立“函数的定义域优先”的观念。因此掌握函数的定义域的基本求解方法是十分重要的。下面通过例题来谈谈函数的定义域的常见题型和常用方法。 一,已知函数解析式求函数的定义域 如果只给出函数解析式(不注明定义域),其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围(称为自然定义域),这时常通过解不等式或不等式组求得函数的定义域。主要依据是:(1)分式的分母不为零,(2)偶次根式的被开方数为非负数,(3)零次幂的底数不为零,(4)对数的真数大于零,(5)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1,(6)三角函数中的正切函数y=tanx ,{x ︱x ∈R 且 x ≠2 k π π+ , k ∈z }和余切函数y=cotx ,{x ︱x ∈R 且 x ≠k π,k ∈z }等。 例题一 求下列函数的定义域: (1) y=2)0+㏒(x —2)x 2 (2) 解:(1)欲使函数有意义,须满足 2≠0 x —1≥0 x —2>0 解得:x >2 且 x ≠3 ,x ≠5 x —2≠1 ∴ 函数的定义域为(2,3)∪(3,5)∪(5,+∞) x ≠0 (2) 由已知须满足 tanx ﹥0 解得: k π ﹤x ﹤2 k π π+ (k ∈z ) x ≠2 k π π+ -4﹤x ﹤4 16—x 2 ﹥0 ∴ 函数的定义域为(-π,2 π - )∪(0, 2 π )∪(π,4) 二,复合函数求定义域 求复合函数定义域应按从外向内逐层求解的方法。最外层的函数的定义域为次外层函数的值域,依次求,直到最内层函数定义域为止。多个复合函数的求和问题,是将每个复合函数定义域求出后取其交集。 例题二(1)已知函数f (x )的定义域为〔-2,2〕,求函数y=f (x 2-1)的定义域。 (2)已知函数y=f (2x+4)的定义域为〔0,1〕,求函数f (x )的定义域。 (3)已知函数f (x )的定义域为〔-1,2〕,求函数y=f (x+1)—f (x 2-1)的定义域。 (4)已知函数y=f (tan2x )的定义域为〔0, 8 π 〕,求函数f (x )的定义域。 分析:(1)是已知f (x )的定义域,求f 〔g (x )〕的定义域。其解法是:已知f 函数的定义域及函数的解析式 因为函数是现实世界对应关系的抽象或者说是对应关系的数学模型,它重要而且基本,不仅是数学研究的重要对象,也是数学中常用的一种数学思想,所以全面正确深刻理解函数概念则是我们教学的关键.其中函数的定义域是研究函数及应用函数解决问题的基础,即处理函数问题必须树立“定义域优先”这种数学意识.熟练准确地写出函数表达式是对函数概念理 解充分体现.下面,针对函数的定义域及函数解析式做进一步探讨. 一、函数的定义域 [例1]求下列函数的定义域 (1)y=-22 1x +1 (2)y=4 22--x x (3)x x y +=1 (4)y=241+-+-x x (5)y=3 142-+-x x (6)y=)13(1 13-+--x x x (7)y= x 1 11 11++ (8)y=3-ax (a为常数) 分析:当函数是用解析法给出,并且没有指出定义域,则使函数解析式有意义的自变量的全体所组成的集合就是函数的定义域. 解:(1)x∈R (2)要使函数有意义,必须使x2-4≠0得原函数定义域为{x|x≠2且x≠-2} (3)要使函数有意义,必须使x+|x|≠0得原函数定义域为{x|x>0} (4)要使函数有意义,必须使? ??≥-≥-0401x x 得原函数的定义域为{x|1≤x≤4} (5)要使函数有意义,必须使?????≠-≥-0 3042x x 得原函数定义域为{x|-2≤x≤2} (6)要使函数有意义,必须使???≠-≠-0 1301x x 得原函数的定义域为{x|x≠31且x≠1} (7)要使函数有意义,必须使??????? ????????≥++≠++≠+≠01111011110110x x x x 得 原函数的定义域为{x|x<-1或x>0或- 2 1<x<0} (8)要使函数有意义,必须使ax-3≥0得当a>0时,原函数定义域为 {x|x≥a 3} 当a<0时,原函数定义域为{x|x≤a 3} 当a=0时,ax-3≥0的解集为?,故原函数定义域为? 评述:(1)求函数定义域就是求使函数解析式有意义的自变量取值的集合,一般可通过解不等式或不等式组完成. (2)对于含参数的函数定义域常常受参数变化范围的制约,受制约时应对参数进行分类讨论.例1中的(8)小题含有参数a,须对它分类讨论. [例2](1)已知函数f(x)的定义域为(0,1),求f(x2)的定义域. (2)已知函数f(2x+1)的定义域为(0,1),求f(x)的定义域. (3)已知函数f(x+1)的定义域为[-2,3],求f(2x2-2)的定义域. 分析:(1)求函数定义域就是求自变量x的取值范围,求f(x2)的定义域就是求x的范围,而不是求x2的范围,这里x与x2的地位相同,所满足的条件一样. (2)应由0<x<1确定出2x+1的范围,即为函数f(x)的定义域. (3)应由-2≤x≤3确定出x+1的范围,求出函数f(x)的定义域进而再求 f(2x2-2)的定义域.它是(1)与(2)的综合应用. 解:(1)∵f(x)的定义域为(0,1) ∴要使f(x2)有意义,须使0<x2x<0或0<x 复合函数的定义域 讲解内容: 复合函数的定义域求法 讲解步骤: 第一步:函数概念及其定义域 函数的概念:设是,A B 非空数集,如果按某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么就称:f A B →为集合A 到集合B 的函数,记作:(),y f x x A =∈。其中x 叫自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 的值叫做函数值. 第二步:复合函数的定义 一般地:若)(u f y =,又)(x g u =,且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空,则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数,其中)(u f y =叫外层函数,)(x g u =叫内层函数,简言之:复合函数就是:把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数. 例如: 2()35,()1f x x g x x =+=+; 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ,22 (())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+ 问:函数()f x 和函数(5)f x +所表示的定义域是否相同?为什么?(不相同;原因:定义域是 求x 的取值范围,这里x 和5x +所属范围相同,导致它们定义域的范围就不同了。) 第三步:介绍复合函数的定义域求法 例1. 已知()f x 的定义域为](3,5-,求函数(32)f x -的定义域; 解:由题意得 35x -<≤ 3325x ∴-<-≤ 137x -<≤ 1 7 33x ∴-<≤ 所以函数(32)f x -的定义域为17,33? ?- ??? . 练1.已知)(x f 的定义域为]30(,,求)2(2x x f +定义域。 解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中,即 ???≤≤->-?????≤+>+?≤+<13023202320222 x x x x x x x x x ,或 6 函数的解析式和定义域 一、基础训练 1.函数的定义域是. 2.已知函数的定义域为,则的定义域为. 3.在一定范围内,某种产品的购买量吨与单价元之间满足一次函数关系.如果购买1000吨,每吨800元;购买2000吨,每吨700元.那么客户购买400吨,单价应该是元. 4.已知,则. 5.若函数的定义域为,则实数的取值范围是. 6.若函数,那么. 7.(2011江西卷)若函数,则函数的定义域是. 8.若函数的定义域为实数集,则实数的取值范围是.二、例题精讲 例1.求下列函数的定义域. (1);(2); (3). 例2.已知函数的定义域为,求下列函数的定义域. (1);(2). 例3.(1)设二次函数的最大值为13,且,求的解析式;(2)已知,求的解析式和定义域. 例4.已知函数,其中. (1)求函数的定义域; (2)若对任意,恒有,求的取值范围. 三、巩固练习 1.已知,则. 2.函数的定义域是. 3.若(),则, . 4.设函数的定义域为,函数的定义域为,若,则实数的取值范围是. 四、要点回顾 1.函数的解析式是函数的一种表示方法,求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是求出函数的定义域.求函数表达式的主要方法有:待定系数法、换元 法等.如果一直函数解析类型,可以用待定系数法.已知复合函数的表达式时,可用换元法,这时要注意“元”的取值范围. 2.函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围. (1)定义域经常作为基本条件(或工具)出现在高考题中,通过函数性质或函数应用来考察,具有隐蔽性,所以在解决函数问题时,必须树立起“定义域优先”的观点. (2)确定定义域的原则是: 1当函数用表格给出时,函数的定义域是指表格中实数的集合. 2当函数用图像给出时,函数的定义域是指图像在轴上投影所覆盖的实数的集合. 3当函数用解析式给出时,函数的定义域就是指使解析式有意义的自变量取值的集合. 4当函数用实际问题给出时,函数的定义域由实际问题的意义确定. 函数的解析式和定义域作业 高一数学必修1 编号:SX--01--06 《求函数的定义域及解析式专题》导学案 撰稿:张娜 审核: 涂珎 时间:2010.9.5 姓名: 班级: 组别: 组名:____________ 【学习目标】 1、熟练掌握求具体函数和抽象函数的定义域的一般方法; 2、熟练运用换元法、待定系数法、解方程组等方法求函数的解析式. 【重点难点】 重点:求函数的定义域及解析式 难点:求函数的定义域及解析式 【知识链接】 函数的三要素:定义域、解析式、值域 【学习过程】 知识点一:求具体函数的解析式 例1求下列函数的定义域: (1)x y 213- =; (2)x x y ---= 11; (3)30 +=x x y ; (4)11+?-=x x y . 点拨:求具体函数的定义域,其实质是求使解析式各部分有意义的未知数的取值范围. 知识点二 求抽象函数的定义域 抽象函数是没有明确给出具体解析式的函数,求抽象函数的定义域问题主要有四种题型: 题型一:已知的定义域的定义域,求 ))(()(x g f x f 解法:若b x g a x g f b x a x f ≤≤≤≤)())(()(中,则的定义域为,从中解得x 的取值范围即 为))((x g f 的定义域 例2、已知函数的定义域求的定义域为)5(],5,1[)(--x f x f . 题型二:已知的定义域的定义域,求)())((x f x g f 解法:若)()(,))((x g u x g n x m n x m x g f =≤≤≤≤的范围,设确定则由的定义域为, 则的定义域的范围即为是同一函数,所以与又)()()()(),())((x f x g x f u f u f x g f = 例3、已知函数的定义域,求函数的定义域是)(]3,0[)1(x f x f -. 题型三:已知的定义域的定义域,求))(())((x h f x g f 解法:先由的的定义域求得的定义域,再由定义域求得))(()()())((x h f x f x f x g f 定义域 例4、若函数的定义域求的定义域为)1(],2,2 1[)1(--+x f x f . 题型四:求运算型的抽象函数(由有限个抽象函数经四则运算得到的函数)的定义域 解法:先求出各个函数的定义域,再求交集 例5、若的定义域,求的定义域为 )()()(]5,3[)(x f x f x x f +-=-?. 复合函数定义域和值域练习题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域: ⑴y = ⑵y = ⑶01(21)111 y x x = +-+- 2、设函数f x ()的定义域为[]01,,则函数f x ()2 的定义域为_ _ _;函数f x ()-2的定义 域为________; 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23,,则函数(21)f x -的定义域是 ;函数1 (2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-,且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在,求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域: ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 22 5941x x y x +=-+ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y = ⑽ 4y = ⑾y x =- 6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1,3],求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-,求函数()f x ,(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数,且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-,求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+,则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数,且当[0,)x ∈+∞时, ()(1f x x =+ ,则当(,0)x ∈-∞时 ()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 《复合函数及其定义域》专题 2014年( )月( )日 班级 姓名 成大事不在于力量多少,而在能坚持多久。 【例】 已知y 与x -3成正比例,当x =4时,y =3. (1)写出y 与x 之间的函数关系式; (2)y 与x 之间是什么函数关系; 已知y 与x 2成正比例,并且当x =-1时,y =-3. 求: y 与x 的函数关系式; 【复合函数的定义】对于两个函数()y f u =和()u g x =,通过中间变量u ,y 可以表示成_____的函数,那么称它为函数()y f u =和()u g x =的_______,记作_______ 简言之:复合函数就是:把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数. 例:f ( x + 1 ) = (x + 1)2 可以拆成y = f ( u ) = u 2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即可以看成f ( u ) = u 2 与g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。 【类型一】 1.已知函数f ( x) =)3)(1(x x -+,求f ( x + 1 )的值 2.求函数f ( x) =)3)(1(x x -+的定义域,求f ( x + 1 )的定义域 3.已知f ( x) 的定义域为[-1,3],求f ( x + 1 )的定义域 【练习一】 1.已知函数()f x 的定义域为[]15-,,求(35)f x -的定义域. 2. 若函数)(x f y =的定义域[-1,2],求)1(2-=x f y 的定义域。 3. 设函数的定义域为,则 (1)函数的定义域为________。 (2)函数 的定义域为__________。 【归纳一】已知)(x f 的定义域,求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知,要构成复合函数,则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中,因此可得其方法为:若)(x f 的定义域为()b a x ,∈,求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围,即为)]([x g f 的定义域。 【类型二】 1.已知f ( x + 1 )的定义域为[-2,2],求,f (x)的定义域 请仔细对比【类型一】第3题 先介绍几个名词:(能理解最好,如果感觉这些名词有点晕,你可以跳过) 【定义域】:就是初中我们所学的,函数y=f(x)的自变量x的取值范围;【值域】:函数y=f(x)的因变量y的取值范围; 【显函数】:俗称常见函数,函数解析式是明确的,例如:y=f(x)=2x2+3x-5; 【隐函数】:俗称抽象函数,函数解析式是不明确的,就用y=f(x)表示,具体f(x)是什么内容是隐藏的; 【复合函数】:如果说y=f(x)是一个简单的抽象函数,那么把自变量x 用一个函数g(x)来代替,就称y=f(g(x))为复合的抽象函数,习惯上称y=f(t)是外函数,t=g(x)为内函数。 讲解之前提醒很关键的一句:凡是函数的定义域,永远是指自变量x 的取值范围。 【题型一】已知抽象函数y=f(x)的定义域[m,n],如何求复合抽象函数y=f(g(x))的定义域? 思路分析:本题型是已知y=f(x)的自变量x的范围,求y=f(g(x))的自变量x的范围,其中的关键是,后者的g(x)相当于前者的x。 解决策略:求不等式m≤g(x)≤n的解集,即为y=f(g(x))的定义域【例题1】已知函数y=f(x)的定义域[0,3],求函数y=f(3+2x)的定义域. 解:令t=3+2x,∵y=f(x)的定义域[0,3],∴y=f(t)的定义域也为[0,3], 即t=3+2x∈[0,3], 关于抽象复合函数定义域的求法 说明:内函数g(x)=3+2x,通过令t=3+2x做了一个换元,此处换元不能写为令x=3+2x。原因是y=f(x)中的x与 y=f(3+2x)的x虽然长得一样,但是意义不同,如果令x=3+2x,则等号两边的x就是一模一样了,x只能为-3了。 【题型二】已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n],如何求抽象函数y=f(x)的的定义域? 思路分析:本题型是已知y=f(g(x))的自变量x的范围,求y=f(x)的自变量x的范围,其中的关键是,前者的 g(x)相当于后者的x。 解决策略:求内函数t=g(x)在区间[m,n]的值域(t的取值范围),即为y=f(x)的定义域 【例题2】已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3],求函数y=f(x)的定义域. 解:∵y=f(2x-1)的定义域[0,3],∴0≤x≤3,令t=2x-1,∴t=2x-1∈[-1,5] 故,函数y=f(t)的定义域为t∈[-1,5], 故,函数y=f(x)的定义域为x∈[-1,5] 说明:函数y=f(x)与y=f(t)是同一个函数,与单个自变量是x还是t 无关。另外,题型二是题型一的逆向题目。 求函数的定义域与值域 的常用方法 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 求函数的定义域与值域的常用方法 引入: 自变量x 的取值范围为 定义域 因变量y 的取值范围为 值域 求函数的解析式、求函数的定义域、求函数的值域、求函数的最值? 一、求函数的解析式 (一)解析式的表达形式 (解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。) 1、一般式 (是大部分函数的表达形式) 例:一次函数:b kx y +=)0(≠k 二次函数:c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数:x k y = )0(≠k 正比例函数:kx y = )0(≠k 2、复合式 若y 是u 的函数,u 又是x 的函数,即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==,那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例1、已知3)(,12)(2+=+=x x g x x f ,则[]=)(x g f , []=)(x f g 。 解:[]721)3(21)(2)(22+=++=+=x x x g x g f (二)解析式的求法 (根据已知条件求函数的解析式,常用配凑法、换元法、待定系数法、赋值(式)法、方程法等。) 1. 配凑法 例1.已知 :23)1(2+-=+x x x f ,求f(x); 解:因为15)1(23)1(22+-+=+-=+x x x x x f 例2、已知:221)1(x x x x f +=+,求)(x f 。 解: 2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f ∴ )22(2)(2-≤≥-=x x x x f 或 注意:使用配凑法也要注意自变量的范围限制。 2.换元法 例1.已知:x x x f 2)1(+=+,求f(x); 解:令2)1(,1,1-=≥=+t x t t x 即则 则1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 所以)1(1)(2≥-=x x x f 例2、已知:11)11(2-=+x x f ,求)(x f 。 1、分段函数已知???>-≤+=) 0(2)0(1)(2x x x x x f 则 (1)若=)(x f 10,则x= ;(2))(x f 的值域为 _____. 2、画出下列函数的图象(请使用直尺) (1) Z x x y ∈-=,22且 2≤x (2) x x y -=2 3、动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A , 试写出线段AP 的长度y 与P 点的行路程x 之间的函数关系式。 4、根据下列条件分别求出函数)(x f 的解析式 观察法(1)221)1(x x x x f +=+ 方程组法x x f x f 3)1(2)()2(=+ D P C P A P B 换元法(3)13)2(2++=-x x x f 待定系数法 (4)已知()x f 是一次函数,且满足()()1721213+=--+x x f x f ,求()x f 。 (复合函数的解析式)---代入法 (5)已知1)(2-=x x f ,1)(+=x x g ,求)]([x g f ]和)]([x f g 的解析式。 5、抽象函数的定义域的求解 1、若函数)(x f 的定义域为]2,1[-,则函数)1(-x f 的定义域为 。 2、若函数)1(2-x f 的定义域为]2,1[-,则函数)1(+x f 的定义域为 。 练习:1、若x x x f 2)1(+=+,求)(x f 。 2、函数)(x f 满足条件10)()(+-=x xf x f ,求)(x f 的解析式。 3、已知)(x f 是二次函数,且满足()10=f ,()()x x f x f 21=-+,求()x f 的表达式。 4、若()32+=x x f ,)()2(x f x g =+,求函数)(x g 的解析式 5、已知二次函数()h x 与x 轴的两交点为(2,0)-,(3,0),且(0)3h =-,求()h x ; 配凑法就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式,再直接把)(x g 换成x 而得)(x f 。 f(x -1x )=x 2+1x 2,函数f(x)的解析式 换元法就是先设t x g =)(,从中解出x (即用t 表示x ),再把x (关于t 的式子)直接代入)]([x g f 中消去x 得到)(t f ,最后把)(t f 中的t 直接换成x 即得)(x f ,这种代换遵循了同一函数的原则。 f(x +1)=x 2 +x,函数f(x)的解析式: 复合函数的定义域 复合函数的定义 一般地:若)(u f y =,又)(x g u =,且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空,则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数,其中)(u f y =叫外层函数,)(x g u =叫内层函数,简言之:复合函数就是:把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数. 例如: 2()35,()1f x x g x x =+=+; 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x , 22(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+ 问:函数()f x 和函数(5)f x +所表示的定义域是否相同?为什么?(不相同;原因:定义域是 求x 的取值范围,这里x 和5x +所属范围相同,导致它们定义域的范围就不同了。)说明: ⑴复合函数的定义域,就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。 ⑵x 称为直接变量,u 称为中间变量,u 的取值范围即为()g x 的值域。 ⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。 设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ,求))(()),((x f g x g f 复合函数的定义域求法 .已知)(x f 的定义域,求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知,要构成复合函数,则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中,因此可得其方法为:若)(x f 的定义域为()b a x ,∈,求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围,即为)]([x g f 的定义域。 函数的解析式以及定义域的求法 一:学生情况及其分析:上海高一学生,不等式学完了,国庆没有上课,这节课给她巩固求解析式的方法,思维灵活,自己动手能力挺好,所以有些例题有留给她一定的思考空间。 二:教学目的: 1.学习函数的表示方法中的解析式的求法, 2.会求解简单函数以及复合函数的定义域 三:教学设计: 1,教学回顾:函数的概念是什么?函数的三要素是什么?函数的表示方法有哪些? 2,教学过程: 一、解析式的求解 (一)换元法: 已知f (g(x)),求f(x)的解析式,一般的可用换元法,具体为:令t=g(x),再求出f(t)可得f (x )的解析式。换元后要确定新元t 的取值范围。 例1.若x x x f -=1)1(,求)(x f . 分析:怎么能由)1(x f 的解析式得到)(x f 的解析式,他们的联系是什么? 练习1.已知x x x f 2)1(+=+,求)1(+x f 练习2.已知) 123f x =+,求()f x 的表达式。 思考:已知2 21)1 (x x x x f +=+,求()f x 的表达式。 分析:题型好像和上面一样,是不是能用同样的方法做出来? (二)配凑法: 把形如f(g(x))内的g(x)当做整体,在解析式的右端整理成只含有g(x)的形式,再把g(x)用x 代替。 一般的利用完全平方公式 例2.若x x x f 2)1(+=+,求)(x f . 分析:观察怎么才能得到f(x)? 练习1.已知) 123f x =+,求()f x 的表达式。 (三)待定系数法: 已知函数模型(如:一次函数,二次函数,指数函数等)求解析式,首先设出函数解析式,根据已知条件代入求系数 例3. 设)(x f 是一次函数,且34)]([+=x x f f ,求)(x f 分析:对于一次函数的解析式,我们是不是很熟悉,那能不能先设出他的一般形式呢? 练习1.已知f (x )是二次函数,且满足f (x +1)+f (x -1)=2x 2-4x ,求f (x ). 练习2.已知一次函数()f x ,()()1223f x f x x -+=+,求函数()f x 的解析式。 (四)解方程组法: 求抽象函数的解析式,往往通过变换变量构造一个方程,组成方程组,利用消元法求f (x )的解析式 例4. 设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f 分析:我们用1/x 去代替x 试试看有什么惊人的效果! 练习1.若x x x f x f +=-+1)1()(,求)(x f . (五)特殊值法; 一般的,已知一个关于x,y 的抽象函数,利用特殊值去掉一个未知数y ,得出关于x 的解析式。 例5:已知:1)0(=f ,对于任意实数x 、y ,等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立, 求)(x f 分析:题干中信息太少?就用你能看得见的条件呗,那令谁等于0呢? 练习1.函数f(x)对一切实数x,y 均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x 成立,且f(1)=0.求f(x)的解析式。 练习2.已知(0)1,()()(21),f f a b f a b a b =-=--+求()f x 。 (六)代入法: 求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法。 例6.已知:函数)(2 x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称,求)(x g 的解析式 分析:两点关于某点对称时有什么特征? 复合函数定义域的常见求法 一、复合函数的概念 假如y 是u 的函数,而u 是x 的函数,即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y 关于x 的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与 g 的复合函数,u 叫做中间变量。 注意:复合函数并不是一类新的函数,它只是反映某些函数在结构方面的某种特点,因此,依照复合函数结构,将它折成几个简单的函数时,应从外到里一层一层地拆,注意不要漏层。 另外,在研究有关复合函数的咨询题时,要注意复合函数的存在条件,即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交集非空时,它们的复合函数才有意义,否那么如此的复合函数不存在。 例:f ( x + 1 ) = (x + 1)2 能够拆成y = f ( u ) = u 2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即能够看成f ( u ) = u 2 与g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。 二、求复合函数的定义域: 〔1〕假设f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,那么f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ,从中解得x 的范畴,即为f [g ( x )]的定义域。 例1、y = f ( x ) 的定义域为[ 0 , 1 ],求f ( 2x + 1 )的定义域。 答案: [-1/2 ,0 ] 例2、f ( x )的定义域为〔0,1〕,求f ( x 2)的定义域。 答案: [-1 ,1] 〔2〕假设f [ g ( x ) ]的定义域为〔m , n 〕那么由m < x < n 确定出g ( x )的范畴即为f ( x )的定义域。 例3、函数f ( 2x + 1 )的定义域为〔0,1〕,求f ( x ) 的定义域。 答案: [ 1 ,3] 〔3〕由f [ g ( x ) ] 的定义域,求得f ( x )的定义域后,再求f [ h ( x ) ]的定义域。 例4、f ( x + 1 )的定义域为[-2 ,3],求f ( 2x 2 – 2 ) 的定义域。 答案:[-√3/2 ,-√3]∪[√3/2 ,√3] 三、求复合函数的解析式。 关于复合函数的解析式的求法,尽管种类专门多,在那个地点重点介绍配凑法和换元法,详细内容请参阅?教学周刊?第6期。 〔1〕配凑法 假设f [ g ( x ) ] = F ( x )是关于x 的函数,能够把F ( x )表示g ( x )的复合函数形式,然后用x 替换g ( x ),即可得到f ( x )的解析式。 例5、f (x x x x x 21)122++=+,求f ( x )的解析式。 答案:f(x)= x 2 例6、f ( x + 331)1x x x +=,求f ( x )的解析式。 答案:f(x)= x 3-2x-1 〔2〕换元法 假设f [ g ( x ) ]的表达式,能够令g ( x ) = t ,从中解出x 再将x 代入f [ g ( x ) ]的表达式中,如此 函数的解析式、定义域和值域 一、知识梳理 1.函数的概念 设集合A 是一个非空的数集,对A 中的任意数x ,按照确定的法则f ,都有唯一确定的数y 与它对应,则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数.记作 )(x f y =,A x ∈. 函数的本质含义是定义域内任一x 值,必须有且仅有惟一的y 值与之对应. 函数的定义域与值域:函数的定义中,自变量x 取值的范围叫做这个函数的定义域;所有函数值构成的集合 {}A x x f y y ∈=),(叫做这个函数的值域. 确定一个函数的两个要素:定义域,对应法则. 函数好比数的加工厂,定义域是加工范围,值域是产品系列,f 是加工手段. 2.函数的表示法:列表法,图象法,解析法. 图象法和解析法是考查的重点. 3.映射的概念 设A ,B 是两个非空的集合,如果按照某种对应法则f ,对A 中的任意一个元素x ,在B 中有一个且仅有一个元素y 与x 对应,则称f 是集合A 到集合B 的映射. 这时,称y 是x 在映射f 作用下的象,记作)(x f ,于是y =)(x f ,x 称作 y 的原象. 映射f 也可记为 B A f →: )(x f x → 其中A 叫做映射f 的定义域,由所有象)(x f 构成的集合叫做映射f 的值域. 二、方法归纳 求函数的解析式的一般方法:配凑法、换元法、待定系数法、特殊值法等等. 求函数的定义域的一般原则:分母不为零,偶次根下的式子不负,零的零次幂没意义,零和负数无对数,等等. 求函数的值域的常见方法:直接法、配方法、换元法、判别式法、数形结合法、反函数法、单调性法等等. 判断某“对应法则”是否为A→B 的映射,主要表现为“一对一”及“多对一”的两种特殊对应;应特别注意:①A 中任一元素在B 中应有象,且象唯一;②B 中可以有空闲元素,即B 中可以有元素没有原象. 三、典型例题精讲 函数的定义域值域及解 析式 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8- 函数的定义域、值域及解析式【教学目标】 1.通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。 2.了解对应关系在刻画函数概念中的作用。 3.了解构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域和值域 【教学重难点】函数定义域、值域以及解析式的求法。 【教学内容】 1.定义 高中函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A →B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.如:f(x)=x2 f(x)=2x+2等 (1)其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域; (2)与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意:如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 函数解析式定义域值域 一次函数y=ax+b(a≠0) 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 反比例函数 (k为常数, k≠0) 注意: 1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数) 2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备) 例. 判断下列函数f (x )与g (x )是否表示同一个函数,说明理由? (1)f ( x ) = (x -1) 0;g ( x ) = 1 (2)f ( x ) = x ; g ( x ) = (√x )2 (3)f ( x ) = x 2;g ( x ) = (x + 1) 2 (4)f ( x )=x 2-2x+2, g ( x )=t 2-2t+2 3.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间;“∞”读作“无穷大”,“-∞”读作“负无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”。 注意:对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ,而后者必须 a b <. 练习、请用区间表示 (1){|12}x x <<=____________, {|01}x x ≤≤=____________, {|10}x x -≤<=____________, {|23}x x <≤=____________, (2){|}x x a ≥=____________, {|}x x a >=____________, 函数的概念、定义域及解析式 函数的概念、定义域及解析式 一.课题:函数的概念及解析式 二.教学目标:了解映射的概念,在此基础上加深对函数概念的理解;能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数;理解分段函数的意义.三.教学重点:函数是一种特殊的映射,而映射是一种特殊的对应;函数的三要素中对应法则是核心,定义域是灵魂. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.对应、映射、像和原像、一一映射的定义; 映射----设A、B是两个非空集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A 中的任意一个元素X,在集合B中都有唯一确定的元素Y与之对应,那么这样的对应关系叫做从集合A到集合B的映射。记作f:A→B. 其中X叫做Y的原象,Y叫做X的象。映射是特殊的对应,只能一对一或多对一,不能一对多。 一一映射-----在集合A到集合B的映射中,若集合B中的任意一个元素在集合A中都有唯一的元素与之对应,那么就说这样的映射叫做从集合A到集合B的一一映射。 2.函数的概念 函数的传统定义和近代定义; 传统定义-------如果在某变化过程中有两个变量X、Y,对于X在某个范围内的每一个确定的值,按照某个对应法则f,Y都江堰市有唯一的值和它对应,那么Y就是X的函数。记为Y=f(X) 近代定义-----函数是由一个非空数集另一个非空数集的映射。(或如果A、B 都是非空的数集,那么从A到B的映射f:A→B叫做A到B的函数。原象的集合A叫做函数的定义域,象的集合C叫做函数的值域)。函数是特殊的映射,只能是从非空数集到非空数集的映射。 3.函数的三要素及表示法. 函数的三要素-----定义域、值域、对应法则。(是判断两个是否为同一函数的依据)由于值域可由定义域和对应法则唯一确定,故也可说函数只有两要素,即判两个函数是否为同一函数可用定义域和对应法则来判断。 函数的表示法通常有:解析法、列表法、图象法。 4,函数的解析式:函数的解析式是指用运算符号和等号把数和表示数的字母连结而成的式子。 对应法则是函数的:“核心”它是自变量与因变量沟通的桥梁,它给出了当已知一个自变量的值时,得出对应的函数值的一种算法。求函数的解析式,本质上就是要弄清函数的对应法则。 分段函数的概念:有些函数在它的定义域中,对于自变量X的不同取值范围,对应法则不同,这样的函数通常称为分段函数。注意分段函数是一个函数而不是几个函数。故分段函数的定义域是指“各段”对应的X的范围的并集;其值域也是“各段”对应的Y值的范围的并集。 5.函数的定义域----是指使函数有意义的自变量的取值范围。 函数的定义域基本上分为两类:(1)限定定义域(2)自然定义域函数定义域、值域经典习题及答案
第一讲 函数的定义域和解析式
求函数的定义域和值域的方法
函数的定义域及函数的解析式解读
高一必修一数学-复合函数定义域
高中数学-函数的解析式和定义域
求函数的定义域及解析式
复合函数定义域与值域经典习题及答案
《复合函数及其定义域》专题
复合函数定义域三种形式解法
求函数的定义域与值域的常用方法完整版
高中数学函数的解析式和抽象函数定义域练习题
(完整版)几种复合函数定义域的求法
函数的解析式以及定义域的求法讲义
复合函数定义域的常见求法
高一数学 函数的解析式、定义域和值域
函数的定义域值域及解析式
函数的概念、定义域及解析式