2020年高考数学 14 复数、推理与证明试题解析教师版文

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2023年统考版《师说》高考数学复习(文科)课件第12章复数、推理与证明、算法

(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2
＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
二、必明3个常用结论
1+i
1−i
2
1．(1±i) ＝±2i；＝i；＝－i；
1−i
1+i
2．－b＋ai＝i(a＋bi)；
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋
第一节数系的扩充与复数的引入
必备知识—基础落实
关键能力—考点突破
·最新考纲·
1．理解复数的基本概念．
2．理解复数相等的充要条件．
3．了解复数的代数表示及其几何意义．
4．能进行复数代数形式的四则运算．
5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
·考向预测·
考情分析：复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的
4a = 4
所以，ቊ
，解得a＝b＝1，因此，z＝1＋i.
6b = 6
)
(3)[2021·全国甲卷]已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝(
3
3
A．－1－ i B．－1＋ i
2
3
C．－＋i
2
3
D．－－i
2
2
答案： (3)B
3+2i
解析： (3)(1－i)2z＝－2iz＝3＋2i，z＝ −2i ＝
3+2i ·i −2+3i
3
＝
＝－1＋
i.
−2i·i
2
2
)
反思感悟复数代数形式运算问题的解题策略
复数的

2020年名师讲解高考数学提分宝典复数、算法、推理与证明之第1讲数系的扩充与复数的引入

[基础题组练]1．(2019·长春监测)设i 为虚数单位，则(－1＋i)(1＋i)＝( ) A ．2i B ．－2i C ．2D ．－2解析：选D.(－1＋i)(1＋i)＝－1－i ＋i ＋i 2＝－1－1＝－2.故选D.2．(2019·高考全国卷Ⅱ)设z ＝－3＋2i ，则在复平面内z －对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选 C.由题意，得z －＝－3－2i ，其在复平面内对应的点为(－3，－2)，位于第三象限，故选C.3．(2019·福州模拟)若复数z ＝a1＋i＋1为纯虚数，则实数a ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选A.因为复数z ＝a 1＋i ＋1＝a （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＋1＝a 2＋1－a 2i 为纯虚数，所以a2＋1＝0且－a2≠0，解得a ＝－2.故选A.4．(2019·南昌模拟)已知复数z 满足(1＋i)z ＝2，则复数z 的虚部为( ) A ．1 B ．－1 C ．iD ．－i解析：选B.法一：因为(1＋i)z ＝2，所以z ＝21＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－i ，则复数z 的虚部为－1.故选B.法二：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1＋i)(a ＋b i)＝a －b ＋(a ＋b )i ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，a ＋b ＝0，解得a＝1，b ＝－1，所以复数z 的虚部为－1.故选B.5．(2019·石家庄质量检测)若复数z 满足z 1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则共轭复数z －＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1－iD ．－1＋i解析：选B.由题意，得z ＝i(1－i)＝1＋i ，所以z －＝1－i ，故选B.6．已知⎝⎛⎭⎫1＋2i 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝( ) A ．－7 B ．7 C ．－4D ．4解析：选A.因为⎝⎛⎭⎫1＋2i 2＝1＋4i ＋4i 2＝－3－4i ，所以－3－4i ＝a ＋b i ，则a ＝－3，b ＝－4，所以a ＋b ＝－7，故选A.7．(2019·合肥质量检测)已知i 为虚数单位，则（2＋i ）（3－4i ）2－i ＝( )A ．5B ．5iC ．－75－125iD ．－75＋125i解析：选A.法一：（2＋i ）（3－4i ）2－i ＝10－5i2－i＝5，故选A.法二：（2＋i ）（3－4i ）2－i ＝（2＋i ）2（3－4i ）（2＋i ）（2－i ）＝（3＋4i ）（3－4i ）5＝5，故选A.8．(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)若复数z 满足z (1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，则|z |＝( )A ．1B ．2 C. 2D. 3解析：选C.因为z ＝2i1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1＋i ，所以|z |＝ 2.故选C.9．已知a ∈R ，i 是虚数单位．若z ＝a ＋3i ，z ·z －＝4，则a ＝( ) A ．1或－1 B.7或－7 C ．－ 3D. 3解析：选A.法一：由题意可知z －＝a －3i ，所以z ·z －＝(a ＋3i)(a －3i)＝a 2＋3＝4，故a ＝1或－1.法二：z ·z －＝|z |2＝a 2＋3＝4，故a ＝1或－1. 10．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则z 2－2z ＝( )A ．1＋3iB ．1－3iC ．－1＋3iD ．－1－3i解析：选C.因为z ＝1＋i ，所以z 2＝(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，2z ＝21＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2（1－i ）1－i2＝2（1－i ）2＝1－i ，则z 2－2z ＝2i －(1－i)＝－1＋3i.故选C. 11．若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45C ．4D.45解析：选D.因为|4＋3i|＝42＋32＝5，所以z ＝53－4i ＝5（3＋4i ）（3－4i ）（3＋4i ）＝3＋4i 5＝35＋45i ，所以z 的虚部为45. 12．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( )A ．1＋i B.35＋45i C ．1＋45iD ．1＋43i解析：选B.因为复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，所以z 2＝2－i ，所以z 1z 2＝2＋i 2－i ＝（2＋i ）25＝35＋45i ，故选B.13．设复数z 满足z －＝|1－i|＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝________．解析：复数z 满足z －＝|1－i|＋i ＝2＋i ，则复数z ＝2－i. 答案：2－i14．设z ＝11＋i＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝________．解析：因为z ＝11＋i ＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，所以|z |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＝22. 答案：2215．已知复数z ＝4＋2i（1＋i ）2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m ＝0上，则m ＝________．解析：z ＝4＋2i （1＋i ）2＝4＋2i 2i ＝（4＋2i ）i2i 2＝1－2i ，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x －2y ＋m ＝0，得m ＝－5.答案：－516．当复数z ＝(m ＋3)＋(m －1)i(m ∈R )的模最小时，4iz ＝________．解析：|z |＝（m ＋3）2＋（m －1）2 ＝2m 2＋4m ＋10＝2（m ＋1）2＋8，所以当m ＝－1时，|z |min ＝22，所以4i z ＝4i2－2i ＝4i （2＋2i ）8＝－1＋i.答案：－1＋i[综合题组练]1．(综合型)若实数a ，b ，c 满足a 2＋a ＋b i<2＋c i(其中i 2＝－1)，集合A ＝{x |x ＝a }，B ＝{x |x ＝b ＋c }，则A ∩∁R B 为( )A ．∅B ．{0}C ．{x |－2<x <1}D ．{x |－2<x <0或0<x <1}解析：选 D.由于只有实数之间才能比较大小，故a 2＋a ＋b i<2＋c i ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a <2，b ＝c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <1，b ＝c ＝0，因此A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{0}，故A ∩∁R B ＝{x |－2<x <1}∩{x |x ∈R ，x ≠0}＝{x |－2<x <0或0<x <1}．2．(综合型)若虚数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，则yx 的最大值是( )A.32B.33C.12D. 3解析：选D.因为(x －2)＋y i 是虚数，所以y ≠0，又因为|(x －2)＋y i|＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3.因为yx 是复数x ＋y i 对应点与原点连线的斜率，所以⎝⎛⎭⎫y x max＝tan ∠AOB ＝3，所以yx的最大值为 3.3．－3＋2i 是方程2x 2＋px ＋q ＝0的一个根，且p ，q ∈R ，则p ＋q ＝________．解析：由题意得2(－3＋2i)2＋p (－3＋2i)＋q ＝0，即2(5－12i)－3p ＋2p i ＋q ＝0，即(10－3p ＋q )＋(－24＋2p )i ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧10－3p ＋q ＝0，－24＋2p ＝0.所以p ＝12，q ＝26，所以p ＋q ＝38.答案：384．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0181＋i ，则复数z 在复平面内对应点的坐标为________．解析：因为i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＋i 4n ＋4＝i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，而2 018＝4×504＋2，所以z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0181＋i ＝i ＋i 21＋i ＝－1＋i1＋i＝（－1＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2i2＝i ，对应的点为(0，1)．答案：(0，1)5．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a ＋(2a －5)i ，若z －1＋z 2是实数，求实数a 的值．解：z －1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a ＋(2a －5)i＝⎝⎛⎭⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13（a ＋5）（a －1）＋(a 2＋2a －15)i.因为z －1＋z 2是实数，所以a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3. 因为a ＋5≠0，所以a ≠－5，故a ＝3.6．若虚数z 同时满足下列两个条件： ①z ＋5z是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由．解：这样的虚数存在，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i. 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)， z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i＝a ＋b i ＋5（a －b i ）a 2＋b 2＝⎝⎛⎭⎫a ＋5a a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫b －5ba 2＋b 2i.因为z ＋5z 是实数，所以b －5ba 2＋b2＝0.又因为b ≠0，所以a 2＋b 2＝5.① 又z ＋3＝(a ＋3)＋b i 的实部与虚部互为相反数，所以a ＋3＋b ＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋3＝0，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，故存在虚数z ，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.。

2020届高考数学(文)总复习专题综合练：专题十算法、复数、推理与证明

专题十算法、复数、推理与证明
1、用反证法证明命题 “三角形的内角至多有一个钝角 ”时，假设的内容应为（
）
A. 假设至少有一个钝角B. 假设至少有源自个钝角C.假设没有一个钝角
D. 假设没有一个钝角或至少有两个钝角
2、甲、乙、丙、丁四人关于买彩票的中奖情况有下列对话
:
甲说 : “如果我中奖了 , 那么乙也中奖了 . ”
A. an 3n 1( n N* ) C. an 3n 2n(n N* ) 4、执行如图所示的程序框图，输出的
B. an 3n( n N * ) D. an 3n 1 2n 3(n N * ) k 的值为（）
1
A.4
B.5
C.6
D.7
5、某程序框图如图所示，若输出的 S 26 ,则判断框内应填（
乙说 : “如果我中奖了 , 那么丙也中奖了 . ”
丙说 : “如果我中奖了 , 那么丁也中奖了 . ”
结果三人都没有说错 , 但是只有两人中奖 , 那么这两人是 (
)
A. 甲、乙
B. 乙、丙
C. 丙、丁
D. 甲、丁
3、下图所示四个图形中 ,着色三角形的个数依次构成一个数列的前项公式为 ( )
4 项 ,则这个数列的一个通
）
A. k 3？
B. k 4？
C. k 5？
D. k 6？
6、若 i 为虚数单位 ,复数 z 满足 z(1 i) 1 i i, 则 z 的虚部为 ( )
A. 2 1 2
B. 2 1
C. 2 1i 2
D. 1 2 2
7、若复数 z 满足 2 zi 2 2i (i 为虚数单位 ), 则 | z | （）
A.2
B. 2

2020版高考数学大一轮复习第十二章复数、算法、推理与证明第4讲直接证明与间接证明分层演练理(含解析)

第4讲直接证明与间接证明1．用反证法证明命题：“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根解析：选A.依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根的反面是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根，故应选A. 2．分析法又称执果索因法，已知x >0，用分析法证明1＋x <1＋x2时，索的因是( )A ．x 2>2B ．x 2>4 C ．x 2>0D ．x 2>1解析：选C.因为x >0，所以要证1＋x <1＋x2，只需证(1＋x )2<⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 22，即证0<x 24，即证x 2>0，因为x >0，所以x 2>0成立，故原不等式成立．3．若a ，b ∈R ，则下面四个式子中恒成立的是( ) A ．lg(1＋a 2)>0 B ．a 2＋b 2≥2(a －b －1) C ．a 2＋3ab >2b 2D.a b <a ＋1b ＋1解析：选B.在B 中，因为a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a 2－2a ＋1)＋(b 2＋2b ＋1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，所以a 2＋b 2≥2(a －b －1)恒成立．4．在△ABC 中，sin A sin C ＜cos A cos C ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不确定解析：选C.由sin A sin C ＜cos A cos C 得 cos A cos C －sin A sin C ＞0，即cos(A ＋C )＞0，所以A ＋C 是锐角，从而B ＞π2，故△ABC 必是钝角三角形．5．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为负值B ．恒等于零C ．恒为正值D ．无法确定正负解析：选A.由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0. 6．用反证法证明命题“若x 2－(a ＋b )x ＋ab ≠0，则x ≠a 且x ≠b ”时，应假设为________．解析：“x ≠a 且x ≠b ”的否定是“x ＝a 或x ＝b ”，因此应假设为x ＝a 或x ＝b . 答案：x ＝a 或x ＝b7．(2019·福州模拟)如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则a ，b 应满足的条件是__________．解析：a a ＋b b ＞a b ＋b a ，即(a －b )2(a ＋b )＞0，需满足a ≥0，b ≥0且a ≠b . 答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b8．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图象上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________．解析：由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n，所以c n 随n 的增大而减小，所以c n ＋1<c n . 答案：c n ＋1<c n9．已知a ≥b >0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b . 证明：2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b )＝2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2) ＝(a 2－b 2)(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )．因为a ≥b >0，所以a －b ≥0，a ＋b >0，2a ＋b >0，从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0，即2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .10．已知函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝a ＋bx －12x 2＋13x 3，函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象在交点(0，0)处有公共切线． (1)求a ，b 的值； (2)证明：f (x )≤g (x )．解：(1)f ′(x )＝11＋x ，g ′(x )＝b －x ＋x 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧g （0）＝f （0），f ′（0）＝g ′（0），解得a ＝0，b ＝1.(2)证明：令h (x )＝f (x )－g (x ) ＝ln(x ＋1)－13x 3＋12x 2－x (x >－1)．h ′(x )＝1x ＋1－x 2＋x －1＝－x 3x ＋1.h (x )在(－1，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数． h (x )max ＝h (0)＝0，所以h (x )≤h (0)＝0，即f (x )≤g (x )．1．已知a ，b ，c ∈R ，若b a ·ca >1且b a ＋c a≥－2，则下列结论成立的是( ) A ．a ，b ，c 同号B ．b ，c 同号，a 与它们异号C ．a ，c 同号，b 与它们异号D ．b ，c 同号，a 与b ，c 的符号关系不确定解析：选A.由b a ·c a >1知b a 与c a同号，若b a >0且c a >0，不等式b a ＋c a≥－2显然成立，若b a<0且c a<0，则－b a >0，－c a>0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－c a ≥2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－c a >2，即b a ＋c a <－2，这与b a ＋c a≥－2矛盾，故b a>0且c a>0，即a ，b ，c 同号． 2．在等比数列{a n }中，a 1<a 2<a 3是数列{a n }递增的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.当a 1<a 2<a 3时，设公比为q ，由a 1<a 1q <a 1q 2得若a 1>0，则1<q <q 2，即q >1，此时，显然数列{a n }是递增数列，若a 1<0，则1>q >q 2，即0<q <1，此时，数列{a n }也是递增数列，反之，当数列{a n }是递增数列时，显然a 1<a 2<a 3. 故a 1<a 2<a 3是等比数列{a n }递增的充要条件．3．sin α与sin β分别是sin θ与cos θ的等差中项与等比中项，则cos 4β－4cos 4α＝________．解析：由题意得2sin α＝sin θ＋cos θ， sin 2β＝sin θcos θ，所以cos 4β－4cos 4α ＝2cos 22β－1－4(2cos 22α－1) ＝2(1－2sin 2β)2－8(1－2sin 2α)2＋3＝2(1－2sin θcos θ)2－8⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋cos θ222＋3＝2(sin θ－cos θ)4－2(sin θ－cos θ)4＋3＝3. 答案：34．设a ，b 是两个实数，给出下列条件： ①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2； ④a 2＋b 2＞2；⑤ab ＞1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号) 解析：若a ＝12，b ＝23，则a ＋b ＞1，但a ＜1，b ＜1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2＞2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab ＞1，故⑤推不出；对于③，即a ＋b ＞2，则a ，b 中至少有一个大于1，反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b ＞2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1. 答案：③5．已知等差数列{a n }中，首项a 1>0，公差d >0.(1)若a 1＝1，d ＝2，且1a 21，1a 24，1a 2m成等比数列，求整数m 的值；(2)求证：对任意正整数n ，1a 2n ，1a 2n ＋1，1a 2n ＋2都不成等差数列．解：(1)由题意，得1a 21·1a 2m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 242，(a 24)2＝(a 1a m )2，因为a 1＝1，d ＝2，所以a 24＝a 1a m ，49＝1＋(m －1)·2，解得m ＝25. (2)证明：假设1a 2n ，1a 2n ＋1，1a 2n ＋2成等差数列，则1a 2n ＋1a 2n ＋2＝2a 2n ＋1，即1a 2n ＋2－1a 2n ＋1＝1a 2n ＋1－1a 2n，（a n ＋2＋a n ＋1）（－d ）a 2n ＋2a 2n ＋1＝（a n ＋1＋a n ）（－d ）a 2n ＋1a 2n，所以a 2n (a n ＋1＋a n ＋2)＝a 2n ＋2(a n ＋a n ＋1)，a 2n (2a n ＋3d )＝(a n ＋2d )2(2a n ＋d )，即2d (3a 2n ＋6a n d ＋2d 2)＝0，① 因为a 1>0，d >0，所以a n ＝a 1＋(n －1)d >0，故2d (3a 2n ＋6a n d ＋2d 2)>0这与①式矛盾，所以假设不成立．即对任意正整数n ，1a 2n ，1a 2n ＋1，1a 2n ＋2都不成等差数列．6．若f (x )的定义域为[a ，b ]，值域为[a ，b ](a ＜b )，则称函数f (x )是[a ，b ]上的“四维光军”函数．(1)设g (x )＝12x 2－x ＋32是[1，b ]上的“四维光军”函数，求常数b 的值；(2)是否存在常数a ，b (a ＞－2)，使函数h (x )＝1x ＋2是区间[a ，b ]上的“四维光军”函数？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由已知得g (x )＝12(x －1)2＋1，其图象的对称轴为x ＝1，所以函数在区间[1，b ]上单调递增，由“四维光军”函数的定义可知，g (1)＝1，g (b )＝b ，即12b 2－b ＋32＝b ，解得b ＝1或b ＝3. 因为b ＞1，所以b ＝3. (2)假设函数h (x )＝1x ＋2在区间[a ，b ](a ＞－2)上是“四维光军”函数，因为h (x )＝1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减，所以有⎩⎪⎨⎪⎧h （a ）＝b ，h （b ）＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋2＝b ，1b ＋2＝a解得a ＝b ，这与已知矛盾．故不存在．。

高考数学试题分类大汇编14复数与推理证明试题

各地2021年高考数学最新联考试题分类大汇编〔14〕复数与推理证明一、选择题： 2. (2021年东北三四教研协作体第二次调研测试文科)i 为虚数单位，复数131i i+-的实部和虚部之和为A.0B.1 2.B 13(13)(1)24121(1)(1)2i i i i i i i i +++-+===-+--+，实部与虚部之和为121-+=. 应选B.1．(普通高中2021届高三下学期期中教学质量检测理科)复数211+i+在复平面上对应的点的坐标是( D )A ．(2,1)B ．(2,1)-C ．(2,1)--D ．(2,1)-2．(普通高中2021届高三下学期期末教学质量检测文科)假设复数R )(i 2i )1(3∈-=-+b a b a ，，那么复数i b a z +=对应的点位于( B )〔A 〕第一象限〔B 〕第二象限〔C 〕第三象限〔D 〕第四象限1．(2021年2月高三教学质量检测理科)设11z i =+，21z i =-〔i 是虚数单位〕，那么1221z z z z += 〔 C 〕 A ．i - B ．i C ．0 D ．12. (实验中学2021届高三第六次模拟理科)复数213⎪⎭⎫ ⎝⎛+-i i 〔其中，i 为虚数单位〕的虚部为〔 B 〕 A ．i 4- B ． 4- C ．i 3- D ．3-二、填空题：13．(东北四校2021届高三第一次高考模拟文理科)i 为虚数单位，那么复数133i i-+的虚部是 -1 。

15．(东北四校2021届高三第一次高考模拟文理科)给出以下不等式：11111311111,1,122323722315++>++++>++++>，1115123312++++>，…，那么按此规律可猜测第n 个不等式为。

21121312111+>-+++++n n 三、解答题：21．(东北四校2021届高三第一次高考模拟理科)〔本小题满分是12分〕函数2()ax f x x b=+在1x =处获得极值为2，设函数()y f x =图象上任意一点00(,())x f x 处的切线斜率为k 。

2020版高考数学(文)新探究大一轮分层演练：第十二章复数算法推理与证明第4讲含解析

1．用反证法证明某命题时，对结论“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设是( ) A ．自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．自然数a ，b ，c 都是奇数D ．自然数a ，b ，c 都是偶数解析：选B .“恰有一个偶数”反面应是“至少有两个偶数或都是奇数”．故选B .2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b >0 B.a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0解析：选C .b 2－ac <3a ⇔b 2－ac <3a 2 ⇔(a ＋c )2－ac <3a 2 ⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0 ⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0⇔2a 2－ac －c 2>0 ⇔(a －c )(2a ＋c )>0⇔(a －c )(a －b )>0.故选C .3．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a 、b 、c 的大小顺序是( ) A ．a ＞b ＞c B.b ＞c ＞a C ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b解析：选A .因为a ＝3－2＝13＋2，b ＝6－5＝16＋5，c ＝7－6＝17＋6，且7＋6＞6＋5＞3＋2＞0，所以a ＞b ＞c .4．设x ，y ，z >0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋xy ( )A ．都大于2B.至少有一个大于2 C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2解析：选C .假设三个数都小于2，则y x ＋y z ＋z x ＋z y ＋x z ＋xy<6，由于y x ＋y z ＋z x ＋z y ＋x z ＋x y ＝⎝⎛⎭⎫y x ＋x y ＋⎝⎛⎭⎫z x ＋x z ＋⎝⎛⎭⎫y z ＋z y ≥2＋2＋2＝6，所以假设不成立，所以y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋xy中至少有一个不小于2.故选C .5．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，a ，b 是正实数，A ＝f⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B.A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A解析：选A .因为a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b ，又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上是减函数，所以f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝⎛⎭⎫2aba ＋b .6．设a >b >0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m ，n 的大小关系是________．解析：法一：取a ＝2，b ＝1，得m <n .法二：a －b <a －b ⇐b ＋a －b >a ⇐a <b ＋2b ·a －b ＋a －b ⇐2b ·a －b >0，显然成立，故m <n . 答案：m <n7．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )的函数y ＝x 图象上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________．解析：由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n，所以c n 随n 的增大而减小，所以c n ＋1<c n . 答案：c n ＋1<c n8．关于x 的方程ax ＋a －1＝0在区间(0，1)内有实根，则实数a 的取值范围是________．解析：①当a ＝0时，方程无解．②当a ≠0时，令f (x )＝ax ＋a －1，则f (x )在区间(0，1)上是单调函数，依题意，得f (0)f (1)<0，所以(a －1)(2a －1)<0，所以12<a <1.答案：⎝⎛⎭⎫12，19．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c . 证明：要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，也就是证c a ＋b ＋a b ＋c ＝1，只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，即证c 2＋a 2＝ac ＋b 2.又△ABC 三内角A ，B ，C 成等差数列，故B ＝60°，由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2ac cos 60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．于是原等式成立．10.如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB ＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中点．(1)求证：EC∥平面P AD；(2)求证：平面EAC⊥平面PBC.证明：(1)取线段AB的中点F，连接EF，CF(图略)，则AF＝CD，AF∥CD，所以四边形ADCF是平行四边形，则CF∥AD.又EF∥AP，且CF∩EF＝F，AD∩AP＝A，所以平面CFE∥平面P AD.又EC⊂平面CEF，所以EC∥平面P AD.(2)因为PC⊥底面ABCD，所以PC⊥AC.因为四边形ABCD是直角梯形，且AB＝2AD＝2CD＝2，所以AC＝2，BC＝2.所以AB2＝AC2＋BC2，所以AC⊥BC，因为PC∩BC＝C，所以AC⊥平面PBC，因为AC⊂平面EAC，所以平面EAC⊥平面PBC.1．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值()A．恒为负值 B.恒等于零C．恒为正值D．无法确定正负解析：选A.由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0.2．设函数f (x )＝e x ＋x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．若存在b ∈[0，1]使f (f (b ))＝b 成立，则a 的取值范围是( )A ．[1，e] B.[1，1＋e] C ．[e ，1＋e]D ．[0，1]解析：选A .易知f (x )＝e x ＋x －a 在定义域内是增函数，由f (f (b ))＝b ，猜想f (b )＝b . 反证法：若f (b )>b ，则f (f (b ))>f (b )>b ，与题意不符，若f (b )<b ，则f (f (b ))<f (b )<b ，与题意也不符，故f (b )＝b ，即f (x )＝x 在[0，1]上有解．所以e x ＋x －a ＝x ，a ＝e x －x 2＋x ，令g (x )＝e x －x 2＋x ，g ′(x )＝e x －2x ＋1＝(e x ＋1)－2x ，当x ∈[0，1]时，e x ＋1≥2，2x ≤2，所以g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上是增函数，所以g (0)≤g (x )≤g (1)⇒1≤g (x )≤e ，即1≤a ≤e ，故选A .3．对于任意的两个实数对(a ，b )和(c ，d )，规定：(a ，b )＝(c ，d )，当且仅当a ＝c ，b ＝d ；运算“⊗”为：(a ，b )⊗(c ，d )＝(ac －bd ，bc ＋ad )；运算“⊕”为：(a ，b )⊕(c ，d )＝(a ＋c ，b ＋d )，设p ，q ∈R ，若(1，2)⊗(p ，q )＝(5，0)，则(1，2)⊕(p ，q )＝( )A ．(4，0) B.(2，0) C ．(0，2)D ．(0，－4)解析：选B .由(1，2)⊗(p ，q )＝(5，0)得⎩⎪⎨⎪⎧p －2q ＝5，2p ＋q ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝－2，所以(1，2)⊕(p ，q )＝(1，2)⊕(1，－2)＝(2，0)．4．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，在区间[－1，1]内至少存在一点c ，使f (c )＞0，则实数p 的取值范围是________．解析：法一：(补集法)令⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝－2p 2＋p ＋1≤0，f （1）＝－2p 2－3p ＋9≤0，解得p ≤－3或p ≥32，故满足条件的p 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－3，32. 法二：(直接法)依题意有f (－1)＞0或f (1)＞0，即2p 2－p －1＜0或2p 2＋3p －9＜0，得－12＜p ＜1或－3＜p ＜32，故满足条件的p 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－3，32. 答案：⎝⎛⎭⎫－3，32 5．已知数列{a n }满足a 1＝12，且a n ＋1＝a n3a n ＋1(n ∈N *)．(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n a n ＋1(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和记为T n ，证明：T n <16.解：(1)由已知可得，当n ∈N *时，a n ＋1＝a n 3a n ＋1，两边取倒数得，1a n ＋1＝3a n ＋1a n ＝1a n ＋3，即1a n ＋1－1a n ＝3，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝2，公差为3的等差数列，其通项公式为1a n ＝2＋(n －1)×3＝3n －1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝13n －1.(2)证明：由(1)知a n ＝13n －1，故b n ＝a n a n ＋1＝1（3n －1）（3n ＋2）＝13⎝⎛⎭⎫13n －1－13n ＋2，故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13×⎝⎛⎭⎫12－15＋13×⎝⎛⎭⎫15－18＋…＋13×⎝⎛⎭⎫13n －1－13n ＋2＝13⎝⎛⎭⎫12－13n ＋2＝16－13·13n ＋2. 因为13n ＋2>0，所以T n <16.6．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a 是f (x )＝0的一个根；(2)试比较1a 与c 的大小；(3)证明：－2<b <－1.解：(1)证明：因为f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点，所以f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，因为f (c )＝0，所以x 1＝c 是f (x )＝0的根，又x 1x 2＝ca ，所以x 2＝1a ⎝⎛⎭⎫1a ≠c ，所以1a 是f (x )＝0的一个根．(2)假设1a <c ，又1a >0，由0<x <c 时，f (x )>0，知f ⎝⎛⎭⎫1a >0与f ⎝⎛⎭⎫1a ＝0矛盾，所以1a ≥c ，又因为1a ≠c ，所以1a >c .(3)证明：由f (c )＝0，得ac ＋b ＋1＝0，所以b ＝－1－ac . 又a >0，c >0，所以b <－1. 二次函数f (x )的图象的对称轴方程为 x ＝－b 2a ＝x 1＋x 22<x 2＋x 22＝x 2＝1a ，即－b 2a <1a.又a >0，所以b >－2，所以－2<b <－1.。

2020新高考数学(文)二轮专题增分方案专题过关检测：(四) 复数、算法、推理与证明 Word版含解析

专题过关检测（四）复数、算法、推理与证明1．(2018·全国卷Ⅱ)1＋2i1－2i ＝( )A ．－45－35iB ．－45＋35iC ．－35－45iD ．－35＋45i解析：选D 1＋2i 1－2i ＝(1＋2i )2(1－2i )(1＋2i )＝－3＋4i 5＝－35＋45i.2．(2019·武汉调研)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．2 B. 3 C. 2D ．1解析：选C 由(1＋i)x ＝1＋y i ，可得x ＋x i ＝1＋y i ，则x ＝1，y ＝x ＝1，故|x ＋y i|＝|1＋i|＝2，选C.3．给出下面四个类比结论：①实数a ，b ，若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0；类比复数z 1，z 2，若z 1z 2＝0，则z 1＝0或z 2＝0.②实数a ，b ，若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0；类比向量a ，b ，若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0.③实数a ，b ，有a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0；类比复数z 1，z 2，有z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0.④实数a ，b ，有a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0；类比向量a ，b ，若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0.其中类比结论正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C 对于①，显然是正确的；对于②，若向量a ，b 互相垂直，则a ·b ＝0，所以②错误；对于③，取z 1＝1，z 2＝i ，则z 21＋z 22＝0，所以③错误；对于④，若a 2＋b 2＝0，则|a |＝|b |＝0，所以a ＝b ＝0，故④是正确的．综上，类比结论正确的个数是2.4．图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z 所表示的复数z 满足(z 1－i)·z ＝1，则复数z 1＝( )A ．－25＋45iB.25＋45iC.25－45i D ．－25－45i解析：选B 由图得z ＝2＋i ，则(z 1－i)(2＋i)＝1，所以z 1＝i ＋12＋i ＝25＋45i.5．(2019·南昌一模)如图所示程序框图，当输入的x 为1时，输出的结果为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 执行程序框图，i ＝0，输入的x 为1时，y ＝1＋1＝2，i ＝1，y ＝2<20，则x ＝2；y ＝4，i ＝2，y ＝4<20，则x ＝4；y ＝8，i ＝3，y ＝8≤20，则x ＝8；y ＝16，i ＝4，y ＝16<20，则x ＝16；y ＝32，i ＝5，y ＝32>20，退出循环体．故输出的结果为5，选C.6．(2019·长沙统考)在复平面内，复数m ＋i m －i 对应的点位于第一象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，0)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选D 因为复数m ＋i m －i ＝(m ＋i )2(m －i )(m ＋i )＝m 2－1m 2＋1＋2mm 2＋1i 对应的点位于第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1m 2＋1>0，2mm 2＋1>0，解得m >1，故选D.7．(2019·洛阳尖子生第二次联考)执行如图所示的程序框图，如果输出的数是13，那么输入的正整数n的值是()A．5 B．6C．7 D．8解析：选C由题意，可得A＝1，B＝1，k＝3，满足条件k≤n；C＝2，A＝1，B＝2，k＝4，满足条件k≤n；C＝3，A＝2，B＝3，k＝5，满足条件k≤n；C＝5，A＝3，B＝5，k＝6，满足条件k≤n；C＝8，A＝5，B＝8，k＝7，满足条件k≤n；C＝13，A＝8，B＝13，k＝8，此时应该不满足条件k≤n，退出循环，输出的C的值为13.可得8>n≥7，所以输入的正整数n的值是7.故选C.8．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝1 953 125，…，则52 019的末四位数字为()A．3 125 B．5 625C．0 625 D．8 125解析：选D55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，…，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m＋4k与5m(k∈N*，m＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 019＝4×503＋7，所以52 019与57的后四位数字相同，为8 125，故选D.9．沈括是我国北宋著名的科学家，宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成了堆垛．沈括在其代表作《梦溪笔谈》中提出了计算堆垛中酒缸的总数的公式．图①是长方垛：每一层都是长方形，底层长方形的长边放置了a个酒缸，短边放置了b个酒缸，共放置了n层．某同学根据图①，绘制了计算该长方垛中酒缸总数的程序框图，如图②，那么在和两个空白框中，可以分别填入()A ．i <n ？和S ＝S ＋a ·bB ．i ≤n ？和S ＝S ＋a ·bC ．i ≤n ？和S ＝a ·bD ．i <n ？和S ＝a ·b解析：选B 观察题图①可知，最下面一层酒缸的个数为a ·b ，每上升一层长方形的长边和短边放置的酒缸个数分别减少1，累加即可，故执行框中应填S ＝S ＋a ·b ；计算到第n 层时，循环n 次，此时i ＝n ，故判断框中应填i ≤n ？，故选B.10．(2020届高三·河北九校第二次联考)执行如图所示的程序框图，如果输入的a ，b ，k 分别为1,2,4，输出的M ＝158，那么判断框中应填入的条件为( )A ．n <kB ．n ≥kC ．n <k ＋1D ．n ≥k ＋1解析：选A 由于输入的a ＝1，b ＝2，k ＝4，所以当n ＝1时，M ＝1＋12＝32，此时a＝2，b ＝32；当n ＝2时，M ＝2＋23＝83，此时a ＝32，b ＝83；当n ＝3时，M ＝32＋38＝158，与输出的M 值一致，故循环需终止．此时n ＝4，而输入的k ＝4，故结合选项知，判断框中应填入n <k .故选A.11．已知复数z 1＝1＋a i ，z 2＝3＋2i ，a ∈R ，i 是虚数单位，若z 1·z 2是实数，则a ＝( ) A ．－23B ．－13C.13D.23解析：选A ∵z 1＝1＋a i ，z 2＝3＋2i ， ∴z 1·z 2＝(1＋a i)(3＋2i)＝(3－2a )＋(2＋3a )i. 若z 1·z 2是实数，则2＋3a ＝0，解得a ＝－23.12．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角．以下数表的构造思路就来源于杨辉三角．从第二行起，每一行中的数均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a ，则a 的值为( )A ．2 018×21 008B ．2 018×21 009C ．2 020×21 008D ．2 020×21 009解析：选C 当第一行有2个数时，最后一行为4＝2×21，当第一行有3个数时，最后一行为12＝3×22，当第一行有4个数时，最后一行为32＝4×23，当第一行有5个数时，最后一行为80＝5×24，依次类推，当第一行有1 010个数时，最后一行为a ＝1 010×21 009＝2 020×21 008，故选C.13．已知复数z ＝1＋3i2＋i，则|z |＝________. 解析：法一：因为z ＝1＋3i 2＋i ＝(1＋3i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝5＋5i5＝1＋i ，所以|z |＝|1＋i|＝ 2.法二：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋3i 2＋i ＝|1＋3i||2＋i|＝105＝ 2.答案： 214．(2019·豫南名校第二次联考)学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四项参赛作品只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下，甲说：“是C 或D 作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是________．解析：若获得一等奖的是A，则甲、乙、丙、丁四位同学说的话都错；若获得一等奖的是B，则乙、丙两位同学说的话对，符合题意；若获得一等奖的是C，则甲、丙、丁三位同学说的话都对；若获得一等奖的是D，则只有甲同学说的话对．故获得一等奖的作品是B.答案：B15．“克拉茨猜想”又称“3n＋1猜想”，是德国数学家洛萨·克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n为奇数就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.已知正整数m经过6次运算后得到1，则m的值为________．解析：如果正整数m按照上述规则经过6次运算得到1，则经过5次运算后得到的一定是2；经过4次运算后得到的一定是4；经过3次运算后得到的为8或1(不合题意)；经过2次运算后得到的是16；经过1次运算后得到的是5或32；所以开始时的数为10或64.所以正整数m的值为10或64.答案：10或6416．我国古代十部著名的数学著作《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》、《缉古算经》被称为《算经十书》．某校数学兴趣小组甲、乙、丙、丁四名同学对古代著名的数学著作产生浓厚的兴趣．一天，他们根据最近对这十部书的阅读本数情况说了这些话，甲：“乙比丁少”；乙：甲比丙多”；丙：“我比丁多”；丁：“丙比乙多”，有趣的是，他们说的这些话中，只有一个人说的是真实的，而这个人正是他们四个人中读书本数最少的一个(他们四个人对这十部书阅读的本数各不相同)．甲、乙、丙、丁按各人读书本数由少到多的排列是__________________．解析：由题意可列表如下：丁；若乙说的是真实的，则乙读书本数最少，与丁<乙，丙<乙矛盾，不符合题意；若丙说的是真实的，则丙读书本数最少，与丙>丁，甲<丙矛盾，不符合题意；若丁说的是真实的，则丁读书本数最少，与丙<丁矛盾，不符合题意．综上，甲说的是真的，甲、乙、丙、丁按各人读书本数由少到多的排列是甲丙乙丁．答案：甲丙乙丁。

2020版高三新课标大二轮数学(文)高考真题体验：2-2 复数、算法、推理与证明 Word版含解析

1．(2019·全国卷Ⅰ)设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝1B ．(x －1)2＋y 2＝1C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．x 2＋(y ＋1)2＝1[解析] 设复数z 与i 分别表示复平面内的点Z 与点P ，则P (0,1)，且|z －i|表示复平面内点Z 与点P 之间的距离，所以点Z (x ，y )到点P (0,1)的距离为定值1，所以Z 的轨迹是以(0,1)为圆心，1为半径的圆，故选C.[答案] C2．(2019·全国卷Ⅱ)设z ＝－3＋2i ，则在复平面内z －对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] ∵z ＝－3＋2i ，∴z －＝－3－2i ，∴在复平面内，z －对应的点为(－3，－2)，此点在第三象限． [答案] C3．(2019·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值等于( )A ．2－124B ．2－125C ．2－126D ．2－127[解析] 该程序框图的功能是求和，即s ＝1＋12＋122＋…＋12n －1，由于x ＝126>0.01，x ＝127<0.01，故当x ＝127时，结束循环，输出s ＝1＋12＋…＋126＝1－1271－12＝2×⎝⎛⎭⎪⎫1－127＝2－126，故选C.[答案] C4．(2019·天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为( )A ．5B ．8C ．24D ．29[解析] i ＝1，S ＝0，i ＝1不是偶数，S ＝1； i ＝2，i <4，i ＝2是偶数，j ＝22＝1，S ＝1＋2×21＝5；i ＝3，i <4，i ＝3不是偶数，S ＝5＋3＝8； i ＝4，i ≥4，输出S ＝8.故选B.[答案] B5．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩[解析] 由题意可知，“甲看乙、丙的成绩，不知道自己的成绩”说明乙、丙两人是一个优秀一个良好，则乙看了丙的成绩，可以知道自己的成绩；丁看了甲的成绩，也可以知道自己的成绩．故选D.[答案] D1.高考对复数的考查重点是其代数形式的四则运算(特别是乘、除法)，也涉及复数的概念及几何意义等知识，题目多出现在第1～3题的位置，难度较低，纯属送分题目．2．高考对算法的考查，每年平均有一道小题，一般出现在第6～9题的位置上，难度中等偏下，均考查程序框图，热点是循环结构和条件结构，有时综合性较强，其背景涉及数列、函数、数学文化等知识．3．在全国课标卷中很少直接考查“推理与证明”，特别是合情推理，而演绎推理，则主要体现在对问题的证明上．。

2020年高考数学试题分项版解析专题14 复数、推理与证明(学生版) 理

2020年高考试题分项版解析数学（理科）专题14 复数、推理与证明（学生版）一、选择题:1.(2020年高考广东卷理科1)设i 为虚数单位，则复数56ii-=（） A 6+5i B 6-5i C -6+5i D -6-5i2．(2020年高考北京卷理科3)设a ，b ∈R,“a=0”是“复数a+bi 是纯虚数”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3．(2020年高考浙江卷理科2)已知i 是虚数单位，则3+i1i-＝（） A ．1－2i B ．2－i C ．2＋i D ．1＋2i 4 . (2020年高考山东卷理科1)若复数x 满足z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位)，则z 为（） A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i 5.(2020年高考福建卷理科1)若复数z 满足i zi -=1，则z 等于（）A ．i --1B ．i -1C ．i +-1D ．i +1 6.(2020年高考辽宁卷理科2)复数22ii-=+（） (A)3455i - (B)3455i + (C) 415i - (D) 315i +8.(2020年高考天津卷理科1)i 是虚数单位，复数7=3iz i-+=（）（A ）2i + （Ｂ）2i - （Ｃ）2i -+ （Ｄ）2i -- 9．(2020年高考江西卷理科6)观察下列各式：221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=L 则1010a b +=（）A ．28B ．76C ．123D ．19910.(2020年高考安徽卷理科1)复数z 满足：()(2)5z i i --=；则z =（）()A 22i -- ()B 22i -+()C i 2-2 ()D i 2+211. (2020年高考湖北卷理科1)方程 2x +6x +13 =0的一个根是( ) A -3+2i B 3+2i C -2 + 3i D 2 + 3i 12．(2020年高考上海卷理科15)若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（）A ．3,2==c bB ．3,2=-=c bC ．1,2-=-=c bD ．1,2-==c b14. (2020年高考陕西卷理科3)设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数b a i+为纯虚数”的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件15. (2020年高考四川卷理科2)复数2(1)2i i-=（） A 、1 B 、1- C 、i D 、i - 16.(2020年高考全国卷理科1)复数131ii-+=+（） A ．2i + B ．2i - C ．12i + D ．12i -二、填空题:1. （2012年高考江苏卷3）设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为．2.(2020年高考上海卷理科1)计算：3-i=1+i（i 为虚数单位）.4. (2020年高考福建卷理科14)数列}{n a 的通项公式12cos +=πn n a n ，前n 项和为n S ，则=2012S ___________。

2020年高考数学(文科)复习第十一单元推理与证明、算法、复数作业答案

课时作业(五十一)1.B[解析]由S1,S2,S3猜想出S n的表达式,是从特殊到一般的推理,是归纳推理,故选B.2.C[解析]因为大前提“正弦函数是奇函数”正确,但小前提“f(x)=sin(x2+1)是正弦函数”不正确,所以结论“f(x)=sin(x2+1)是奇函数”不正确,故选C.3.C[解析]平面上关于正三角形的内切圆的性质可类比为空间中关于正四面体的内切球的性质,可以推断,在空间几何中有“正四面体的内切球与各面相切,切点是各面的中心”,即各面内某条高的三等分点.4.123[解析]观察可得各式等号右边的值构成数列1,3,4,7,11,…,其规律为从第三项起,每项等于其前面相邻两项的和,继续写出此数列为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,….由题意得所求值为数列中的第十项,则a10+b10=123.5.A[解析]类比平面几何的射影定理,可以推理出:在三棱锥A-BCD中,AD⊥平面ABC,AO⊥平面BCD,O 为垂足,则(S△ABC)2=S△BOC·S△BDC.故选A.6.D[解析]易知大前提是②,小前提是③,结论是①.故排列的次序应为②→③→①.7.D[解析]若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符;若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符;若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符;若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意,故选D.8.C[解析]∵m2=1+3+5+…×6=36,∴m=6.∵23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,∴53=21+23+25+27+29.+11=1+112∵p3的分解式中最小的正整数是21,∴p3=53,p=5,∴m+p=6+5=11,故选C.9.①②③[解析]∵所有纺织工都是工会成员,所有工会成员都投了健康保险,∴所有纺织工都投了健康保险,故①正确;∵所有纺织工都是工会成员,所有工会成员都投了健康保险,部分纺织工是女工,∴有些女工投了健康保险,故②正确;∵部分梳毛工是女工,没有一个梳毛工投了健康保险,∴有些女工没有投健康保险,故③正确;∵所有工会成员都投了健康保险,∴工会的部分成员没有投健康保险是错误的,故④错误. 故答案为①②③.10.①③④ [解析] 由已知条件可得如下符合规律的等式:4=1+3,9=3+6,16=6+10,25=10+15,36=15+21,49=21+28,64=28+36,81=36+45,…, 故答案为①③④. 11.144√3143[解析] 根据题意可知a∶b∶c=2√3∶3∶2,故可设a=2√3x ,b=3x ,c=2x ,其中x>0,由S=√14[a 2×c 2-(a2+c 2-b 22) 2]=12ah a =12bh b =12ch c ,可得x=12√143.由余弦定理可得cos A=112,所以sin A=√14312,所以由正弦定理得三角形外接圆半径为a 2sinA =2√3x 2sinA =144√3143. 课时作业(五十二)1.B [解析] 综合法的基本思路是“由因导果”,即从已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后得到待证结论.故本题证明的过程应用了综合法.2.A [解析] 根据反证法的定义,可知“若a ∈R ,则函数y=x 3+ax+b 至少有一个零点”的反设应为“若a ∈R ,则函数y=x 3+ax+b 没有零点”,故选A .3.C [解析] 因为a>b>c ,且a+b+c=0,所以b=-a-c ,c<0,要证√b 2-ac <√3a ,只需证b 2-ac<3a 2,只需证(-a-c )2-ac<3a 2,即证a 2-ac+a 2-c 2>0,即证a (a-c )+(a+c )(a-c )>0,即证(a-b )(a-c )>0.4.√3 [解析] 不妨设a=sin α,b=cos α,x=√3sin β,y=√3cos β,则ax+by=√3sin αsin β+√3cos αcos β=√3(sin αsin β+cos αcos β)=√3cos (α-β)≤√3,故ax+by 的最大值是√3.5.①③④ [解析] 要使b a +a b ≥2成立,需b a >0且a b >0成立,即a ,b 都不为0且同号,故①③④能使b a +a b≥2成立.6.A [解析] 用分析法证明的本质是证明结论成立的充分条件成立,∴②是①的充分条件.故选A .7.A [解析] ∵a+b 2≥√ab ≥2aba+b,当且仅当a=b 时取等号,且f (x )=12x在R 上是减函数,∴fa+b 2≤f (√ab )≤f2ab a+b,即A ≤B ≤C.8.C [解析] 用反证法证明时,其假设应否定命题的结论. 证明①:“已知p 3+q 3=2,求证:p+q ≤2”时,可假设“p+q>2”;证明②:“若x 2=4,则x=-2或x=2”时,可假设“x ≠-2且x ≠2”.故选C .9.C [解析] 要证(ac+bd )2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2),只要证a 2c 2+2abcd+b 2d 2≤a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2,即证2abcd ≤a 2d 2+b 2c 2,即证(ad-bc )2≥0,该式显然成立.10.② [解析] 正确的假设为“假设1+x y ≥2,1+yx≥2”. 11.> [解析] 猜想√8-√5>√10-√7.要证√8-√5>√10-√7,只要证√8+√7>√10+√5,即证(√8+√7)2>(√10+√5)2,即证15+2√56>15+2√50,即证√56>√50, 即证56>50,显然成立, 故√8-√5>√10-√7,猜想正确.12.C [解析] 若a=12,b=23,则a+b>1, 但a<1,b<1,故①推不出; 若a=b=1,则a+b=2,故②推不出;若a=-2,b=-3,则a 2+b 2>2,但a<1,b<1,故④推不出;若a=-2,b=-3,则ab>1,但a<1,b<1,故⑤推不出. 对于③,若a+b>2,则a ,b 中至少有一个大于1. 用反证法证明如下:假设a ≤1且b ≤1, 则a+b ≤2,与a+b>2矛盾,因此假设不成立,故a ,b 中至少有一个大于1.13.3√32[解析] ∵f (x )=sin x 在区间(0,π)上是凸函数,且A ,B ,C ∈(0,π),∴f(A)+f(B)+f(C)3≤f A+B+C3=fπ3,即sin A+sin B+sin C ≤3sin π3=3√32,∴sin A+sin B+sin C 的最大值为3√32. 课时作业(五十三)1.B [解析] 由算法的概念可知,求解某一类问题的算法必须在有限步内完成. 对于A ,S=1+2+3+4,可四步完成; 对于B ,S=1+2+3+…,不知其多少步完成; 对于C ,S=1+12+13+…+1100,可100步完成;对于D ,S=12+22+32+…+1002,可100步完成. 故选B .2.A [解析] 根据程序框图可知,其功能为计算分段函数y={x +3,x <0,0,x =0,x -5,x >0的函数值,因为x=3,所以y=3-5=-2.故选A .3.D [解析] 模拟程序的运行,可得该程序的作用是交换两个变量A 和B 的值,并输出交换后的值.故选D .4.C [解析] 当x=1时,执行y=9-1=8.则输出y 的值为8,故选C .5.57 [解析] 第一次循环后k=2,S=4; 第二次循环后k=3,S=11; 第三次循环后k=4,S=26; 第四次循环后k=5,S=57. 此时,终止循环,输出S=57.6.C [解析] 依次运行程序框图,可得:①T=1,S=1,k=2,不满足k>4,继续执行循环体; ②T=12,S=1+12,k=3,不满足k>4,继续执行循环体; ③T=12×3,S=1+12+12×3,k=4,不满足k>4,继续执行循环体;④T=12×3×4,S=1+12+12×3+12×3×4,k=5,满足k>4,退出循环.则输出的S=1+12+12×3+12×3×4. 故选C .7.B [解析] 由程序框图知,输出的S=0-1+2-3+4-…+2016-2017+2018=0+(-1+2)+(-3+4)+…+(-2017+2018)=1009.8.D [解析] 第一次循环后S=2,k=3; 第二次循环后S=6,k=4; 第三次循环后S=24,k=5; 第四次循环后S=120,k=6; 第五次循环后S=720,k=7; 第六次循环后S=5040,k=8.此时满足题意,退出循环,输出S=5040. 故判断框中应填入“k>7?”.9.A [解析] 因为输出的k=3,所以循环体执行了3次.第1次执行循环体后S=2×0+3=3,第2次执行循环体后S=2×3+3=9,第3次执行循环体后S=2×9+3=21.因此符合题意的实数a 的取值范围是9≤a<21,故选A .10.17 [解析] 初始值a=255,b=68. 第1次执行循环体后c=51,a=68,b=51; 第2次执行循环体后c=17,a=51,b=17; 第3次执行循环体后c=0,a=17,b=0;满足条件b=0,退出循环,故输出a 的值为17.课时作业(五十四)1.A [解析] 对于①,若两个复数都是实数,则可以比较大小,故①中说法错误;对于②,复数z=i -1在复平面内对应的点的坐标为(-1,1),位于第二象限,故②中说法错误; 对于③,若(x 2-1)+(x 2+3x+2)i 是纯虚数,则{x 2-1=0,x 2+3x +2≠0,解得x=1,故③中说法错误;对于④,若z 1-z 2=i ,z 2-z 3=1,则(z 1-z 2)2+(z 2-z 3)2=0,故④中说法错误.∴正确说法的个数是0.故选A . 2.C [解析] ∵z 1=2-i ,z 2=a+2i ,∴z 1z 2=(2-i )(a+2i )=2a+2+(4-a )i , 又z 1z 2∈R ,∴4-a=0,即a=4. 故选C .3.D [解析] 由z (2+i )=3-i , 得z=3-i 2+i =(3-i)(2-i)(2+i)(2-i)=5-5i 5=1-i , 则复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,-1),位于第四象限. 故选D .4.D [解析] z=(a+i )(1-i )=a+1+(1-a )i ,∴|z|=2=√(a +1)2+(1-a)2, 解得a=±1. 故选D . 5.i [解析]3+2i 2-3i =(3+2i)(2+3i)(2-3i)(2+3i)=13i13=i . 6.C [解析] z=4+bi 1-i =(4+bi)(1+i)(1-i)(1+i)=(4-b)+(4+b)i 2,所以其实部为4-b 2,由题意得4-b2=-1,则b=6,因此复数z=-1+5i .则z -b=(-1-5i )-6=-7-5i ,z -b 在复平面内对应的点的坐标为(-7,-5),位于第三象限.7.C[解析] i 20191+i =i 4×504+31+i =i 31+i =-i 1+i =-i(1-i)(1+i)(1-i)=-1-i2.8.B [解析] 因为复数z 1,z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称,z 1=3+i , 所以z 2=-3+i ,所以z 1z 2=(3+i )(-3+i )=-9-1=-10,故选B . 9.A [解析] 由题意可得z=-1+2i , 则z 2=(-1+2i )2=-3-4i ,其共轭复数为-3+4i .故选A .10.D[解析]∵z·i=|12-√32i|=√(12)2+(-√32)2=1,∴z·i·(-i)=-i,即z=-i.则复数z在复平面内对应的点的坐标为(0,-1).11.C[解析]2i1+i 2=4i2(1+i)2=-42i=2i,故选C.12.A[解析]因为m+(m2-4)i>0,所以{m>0,m2-4=0,可得m=2,故m+2i2-2i=2(1+i)2(1-i)=i.13.2[解析]∵(1+i)(1-b i)=a,即1+b+(1-b)i=a,∴{1+b=a,1-b=0,解得{b=1,a=2,∴ab=2.14.-2+4i[解析]由图可知z1=-1+2i,又z2z1=2,∴z2=2z1=2(-1+2i)=-2+4i.15.C[解析]设z=a+b i(a,b∈R),则z=a-b i,∵复数z满足|z|=√2,z+z=2,∴{a2+b2=2,2a=2,得{a=1,b=±1,∴z=1+i或z=1-i.16.√5-2[解析]由|z-1-2i|=2,得|z-(1+2i)|=2,则z在复平面内对应的点在以(1,2)为圆心,以2为半径的圆上,如图所示.则|z|的最小值为|OP|-2=√5-2.。

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2020年高考试题解析数学（文科）分项版之专题14 复数、推理与证明--教师版一、选择题: 1. （2020年高考新课标全国卷文科2）复数z＝－3+i2+i的共轭复数是（A）2+i （B）2－i （C）－1+i （D）－1－i

2.（2020年高考山东卷文科1）若复数z满足(2)117i(izi为虚数单位)，则z为 (A)3+5i (B)3－5i (C)－3+5i (D)－3－5i 【答案】A

【解析】iiiiiiiiz5352515)2)(2()2)(711(2711.故选A.

3.（2020年高考辽宁卷文科3）复数11i (A) 1122i (B)1122i (C) 1i (D) 1i

4.(2020年高考广东卷文科1)设i为虚数单位，则复数34ii= A -4-3i B -4+3i C 4+3i D 4-3i 【答案】D

【解析】因为34ii=(34)()1ii43i,故选D. 【考点定位】本题考查复数的四则运算,属容易题. 5.(2020年高考天津卷文科1)i是虚数单位，复数534ii= （A）1-i （B）-1+I （C）1+I （D）-1-i 【答案】C

【解析】复数iiiiiiii1171717)4)(4()4)(35(435，选C. 6．(2020年高考北京卷文科2)在复平面内，复数103ii对应的点的坐标为 A． (1 ,3) B．(3,1) C．(-1,3) D．(3 ,-1) 【答案】A 【解析】本题考查的是复数除法的化简运算以及复平面，实部虚部的概念。

iiiiiiiiiii3110301091030)3)(3()3(1031022，实部为1，虚部为3，对应复平面上

的点为(1,3)，故选A． 7.（2020年高考安徽卷文科1）复数z 满足()2ziii，则z（）（A）1i （B）1i （C）13i （D）12i

8. (2020年高考湖南卷文科2)复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数是 A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i

9. (2020年高考浙江卷文科2) 已知i是虚数单位，则31ii= A 1-2i B 2-i C 2+i D 1+2i 【答案】D

【解析】31ii(3)(1)2412(1)(1)2iiiiii. 【命题意图】本题主要考查了复数的四则运算法则，通过利用分母实数化运算求解。 10. (2020年高考福建卷文科1)复数（2+i）2等于 A.3+4i B.5+4i C.3+2i D.5+2i

11.(2020年高考全国卷文科12)正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，13AEBF。动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（A）8 （B）6 （C）4 （D）3 【答案】B 【解析】结合已知中的点E,F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA点时，需要碰撞6次即可.

12. (2020年高考上海卷文科15)若12i是关于x的实系数方程20xbxc的一个复数根，则（） A．2,3bc B.2,1bc C.2,1bc D.2,3bc

13. (2020年高考陕西卷文科4)设,Rab，i是虚数单位，则“0ab”是“复数i

ba

为纯虚数”的（ B ）A．充分不必要条件 B。必要不充分条件 C 。充分必要条件 D。既不充分也不必要条件

14. (2020年高考江西卷文科1)若复数z=1+i (i为虚数单位) z是z的共轭复数，则2z+z²的虚部为

A 0 B -1 C 1 D -2 【答案】A 【解析】考查复数的基本运算 15. (2020年高考江西卷文科5)观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x,y）的个数为4 ， |x|+|y|=2的不同整数解（x,y）的个数为8， |x|+|y|=3的不同整数解（x,y）的个数为12 ….则|x|+|y|=20的不同整数解（x，y）的个数为 A.76 B.80 C.86 D.92 【答案】B 【解析】本题主要为数列的应用题，观察可得不同整数解的个数可以构成一个首先为4，公差为4的等差数列，则所求为第20项，可计算得结果.

16. (2020年高考上海卷文科18)若2sinsin...sin777nnS（nN），则在

12100,,...,SSS中，正数的个数是（）

A．16 B.72 C.86 D.100

二、填空题: 17. （2020年高考江苏卷3）设abR，，117ii12iab（i为虚数单位），则ab的值为 ▲ ．

18. (2020年高考上海卷文科1)计算：31ii （i为虚数单位）【答案】 12i 【解析】31ii242i=12i. 【考点定位】本小题考查复数的四则运算,属容易题,复数是高考的热点内容之一,年年必考.

19. (2020年高考湖北卷文科12)若=a+bi（a，b为实数，i为虚数单位），则a+b=____________. 【答案】3

【解析】由题意知:3bi()(1)abii,所以由复数相等的定义知3ab且bab,

解得0,3ab,所以a+b=3. 【考点定位】本小题考查复数相等的含义.复数的运算及复数相等是复数的重点内容之一,也是高考的重点内容,年年必考,以选择或填空题的形式出现. 20. (2020年高考湖北卷文科17)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。他们研究过如图所示的三角形数：

将三角形数1,3， 6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：（Ⅰ）b2020是数列{an}中的第______项；（Ⅱ）b2k-1=______。（用k表示）

21. (2020年高考福建卷文科16)某地图规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小。例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10.

现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为____________。 22. (2020年高考陕西卷文科12)观察下列不等式 213122

231151233，

222111512343

……照此规律，第五个．．．不等式为 1+212+213+214+215+216<116

三、解答题: 23.(2020年高考北京卷文科20)（本小题共13分）设A是如下形式的2行3列的数表， a b c d e f 满足性质P：a，b，c，d，e，f∈[-1,1],且a+b+c+d+e+f=0. 记ri（A）为A的第i行各数之和（i=1,2），Cj（A）为第j列各数之和（j=1，2，3）；记k（A）为|r1(A)|, |r2(A)|, |c1(A)|，|c2(A)|，|c3(A)|中的最小值。对如下数表A，求k（A）的值

设数表A形如其中-1≤d≤0，求k（A）的最大值；（Ⅲ）对所有满足性质P的2行3列的数表A ，求k(A)的最大值。

24. (2020年高考福建卷文科20)（本小题满分13分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17° （2）sin215°+cos215°-sin15°cos15° （3）sin218°+cos212°-sin18°cos12° （4）sin2（-18°）+cos248°- sin（-18°）cos48° （5）sin2（-25°）+cos255°- sin（-25°）cos55° Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数 Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。、 25. (2020年高考上海卷文科23)（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分

对于项数为m的有穷数列na，记12max,,...,kkbaaa（1,2,...,km），即kb为

12,,...,kaaa中的最大值，并称数列nb是na的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列

是1，3，3，5，5. （1）若各项均为正整数的数列na的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的na；

（2）设nb是na的控制数列，满足1kmkabC（C为常数，1,2,...,km），求证：kkba（1,2,...,km）；

（3）设100m，常数1,12a，若(1)22(1)nnnaann，nb是na的控制数列，求1122()()baba100100...()ba. 【解析】