初中数学 10.2 黄金分割教案同步练习(含答案)

课 题

第十章 相似三角形 10.2黄金分割 课 型 新 授

教学目标

与知识点 1、经历探索黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的过程，了解黄金分割在生活 的各个领域有价值的运用； 2、会找一条线段的黄金分割点； 3、在应用中进一步理解线段的比、成比例线段，并在实际操作、思考、交 流等过程中进一步感悟数学与生活的密切联系； 4、通过建筑、艺术等生活实例使学生体会黄金分割的文化价值，提高学生的审美意识。 教学重点、

难点分析及

教法设计

【教学重点】了解黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的意义； 【教学难点】怎样做一条线段的黄金分割点； 思考问题

一 次 备 课

三次备课 一、复习：

前面一节课我们探讨了成比例线段，以及比例的性质，什么叫成比例线段？比例有哪些性质？什么叫比例中项？

二、情境创设：

1、P85欣赏芭蕾舞演员身体各部分之间适当的比例给人以匀称、协调的美感，请量出图中线段AB 、AC 的长度，并求出线段AB 与AC 的比值；

2、上海东方明珠电视设计巧妙，整个塔体的挺拔秀丽，请量出图中线段AB 、AC 的长度，并求出线段AB 与AC 的比值；

3、观察P84“你最喜欢的矩形”的调查结果，看看多数同学选择是哪一个矩形，在此矩形中，宽与长的比值约是多少？

三、探索活动： 活动一、计算AC AB （或AB BC ）的值，引入黄金分割的概念. 把矩形ABCD 的长AB 与宽BC 画在同一条直线上，此时点B 把线段AC 分成两部分，如果AB

BC AC AB ，那么线段AC 被点B 黄金分割。（有一种通俗的说法是：较小的线段与较大的线段的比等于较大的线段与整个线段之比）

200 年 月 日 A

C B C B A A B

C ① ③ ②

④ 21 34

解：设AC ＝x ，AB ＝1，则由AC 2＝BC·AB 得：x 2＝（1—x ）·1，∴x 2 + x—1＝0，

∴x 2 + x+41＝4

5， ∴（x ＋21）2＝4

5，∴……，∴215x ±=，又∵＜1，∴x ＝215-≈0.618 BC 与AC （或AC 与AB ）的比值约为0.168，这个比值称为黄金比.

注意：（1）一条线段的黄金分割点有两个，它们关于中点中心对称；

（2）若矩形的两条邻边长度的比值约为0.618，这种矩形称为黄金矩形.

（3）若在黄金矩形中截取一个正方形，那么剩余的矩形是黄金矩形吗？

活动二、认识黄金分割在几何中的一些应用.（如黄金三角形）

1、作顶角为36°的等腰△ABC ；

2、分别量出底边BC 与腰AB 的长度；

3、作△B 的平分线，交AC 于点D ，量出△BCD 的底边CD 的长度；

最后，分别求出△ABC 与△BCD 的底边与腰的长度的比值（精确到0.001） 问：比值是多少？ 学生：大约是0.618

所以我们把顶角为36°的三角形称为黄金三角形，它具有如下的性质：

（1）618.0AB

BC ≈； （2）设BD 是△ABC 的底角的平分线，则△BCD 也是黄金三角形，且点D 是线段AC 的黄金分割点；

（3）如再作△C 的平分线，交BD 于点E ，则△CDE 也是黄金三角形，如此继续下去，可得到一串黄金三角形；

活动三、如图，五边形ABCDE 的5条边相等，5个内角也相等，

（1）找出图中的黄金三角形； （2）图中的点F 、G 、H 、M 、N 分别是那些线段的黄金分割点？你能说明理由吗？ 解：（1）△ACD 、△BDE 、△CAE 、△DAB 、△EBC 、△AGD 、△ABN 、△BCF 、 △BAH 、△CMB 、△CDG 、△DNC 、△DEH 、△EDF 、△EMA ；

（2）点F 是线段CG 、CE 、DN 、BD 的黄金分割点，……………

三、例题讲解：

例1、若线段AB ＝4cm ，点C 是线段AB 的一个黄金分割点，则AC 的长为多少？

变题：电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB 长为20米，试计算主持人应走到离A 点至少多少米处是比较得体的位置？（结果精确到0.1米）

A B H F G N M E D C A B C D A B C D E F A C B D A B C 图2

A B C 图1

C B A 解：如图1，若AC 是BC 与AB 的比例中项：则AC≈0.618×4cm=2.472 cm ；

如图2，若BC 是AC 与AB 的比例中项：则BC≈0.618×4cm=2.472 cm ；

△AC≈1.528 cm

例2、据有关实验测定，当气温处于人体正常体温（37o C ）的黄金比值时,人体感到最舒适。这个气温约为_______ o C (精确到1 o C)。 例3、如图，点C 是AB 的黄金分割点，AB ＝4，则AC 2＝________；（结果保留根号）

例4、我们知道古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple ）的正面是一个黄金矩形，若已知黄金矩形的长等于6,则这个黄金矩形的宽等于_________；

（结果保留根号）

例5、如图的五角星中，AD=BC ，且C 、D 两点都是AB 的黄金分割点，AB=1，求

CD 的长；

解：△点C 、D 是AB 的黄金分割点，

△AC=BD≈0.618·AB=0.618，

△BC≈1—0.618=0.382

△CD≈0.618—0.382=0.236

答: CD 的长约为0.236

例6、科学研究表明，当人的下肢与身高比为0.618时，看起来最美，某成年女士身高为153cm ，下肢长为92cm ，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为 cm （精确到0.1cm ）；

解：设该女士穿的高跟鞋鞋跟的高度为xcm ，

根据黄金分割的概念知：92 + x≈0.618（153 + x ），解得：x≈6.7

四、黄金分割的应用：

（1）据有关测定, 当气温处于人体正常体温的黄金比值时 , 人体感到最舒适。因此夏天使用空调时室内温度调到什么温度最适合? （人的正常体温36.2△～ 37.2△） “人体舒适指数”----36.5△×0.618≈23△，“人体舒适指数”为22△△24△；

（2）二胡的“千斤”放在琴弦的金分割点处，音色最佳；

（3）维纳斯雕像、雅典娜女神象、海姑娘---阿曼达雕塑等肚脐之下的长度与身高之比接近0.618，芭蕾舞演员的比值只有0.618，所以要踮起脚尖！

（4）植物茎的顶端向下，上下层的两片叶子间大约成137.50，这个角度对植物叶子采光、通风、光合作用最为有利，这是因为：137.5︰（360—137.5）≈0.618；

（5）自然界的花瓣数目从里到外排列为：2、3、5、8、13、21、34、55、……，相邻两个数的比值越来越接近于0.618……；

（6）你知道芭蕾舞演员跳舞时为什么要掂起脚尖吗? 芭蕾舞演员的身段是苗条的，但下半身与身高的比值也只有0.58左右，演员在表演时掂起脚尖，身高就可以增加6-8cm.这时比值就接近0.618了,给人以更为优美的艺术形象；

D C B A