初中数学 10.2 黄金分割教案同步练习(含答案)
数学第十章第2课时黄金分割课时练习(八年级下)
八年级数学(下)第十章 图形的相似第2课时 黄金分割班级：__________ 姓名：___________一、选择题1．(2009·义乌)在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm ，则它的宽约为 ( )A ．12．36 cmB ．13．6 cmC ．32．36 cmD ．7．64 cm2．一条线段的黄金分割点有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个3．如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ．如果AC BC AB AC=，那么下列说法错误的是 ( )A ．线段AB 被点C 黄金分割 B ．点C 叫做线段AB 的黄金分割点C ．AB 与AC 的比叫做黄金比D ．BC 与AC 的比叫做黄金比4．(2009·孝感)美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0．618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165 cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0．60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为 ( )A ．4 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm5．(2007·武汉)为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高2 m 的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案．小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中．如图是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕像下部的设计高度(精确到0．01 m ，参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈，5 2.236≈)是( )A ．0．62 mB ．0．76 mC ．1．24 mD ．1．62 m二、填空题6．据有关测定，当气温处于人体正常体温(37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适，则这个气温约为_________℃(结果保留整数)．7．如图，若点C是AB的黄金分割点．AB=1，则AC≈_______，BC≈______．8．在等腰△ABC中，顶角∠A=36°，底角平分线BD交AC于点D，得点D是线段AC的黄金分割点．若AC=10 cm．则AD≈_________cm．9．我们知道古希腊时期的巴台农神庙(Parthenom Temple)的正面是一个黄金矩形．若已知黄金矩形的长等于6 m，则这个黄金矩形的宽约为________m(精确到0．1 m)．三、解答题10．若线段AB=4 cm，点C是线段AB的一个黄金分割点，则AC的长为多少?11．如图，电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体如果舞台AB的长为20 m，那么主持人应走到离点A多少米处时才是比较得体的位置(精确到0．1 m)?12．如果在一个矩形ABCD(AB＜BC)中，510.6182ABBC-=≈，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFF(如图所示)，请问矩形ABFE是否是黄金矩形?请说明理由．13．以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F．使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在边AD上，如图所示．(1)求AM、DM的长．(2)试说明：AM2=AD·DM(3)根据(2)中的结论你能找出图中的黄金分割点吗?参考答案1．A 2．B 3．C 4．C 5．C6．237．0．618 0．3828．6．189．3．710．2．472 cm 或1．528 cm11．12．4 m 或7．6 m12．矩形ABFE 是黄金矩形．因为AD=BC ，DE=AB ，所以511151AE AD DE BC AB BC AB AB AB AB ---===-==-，所以矩形ABFE 是黄金矩形 13．(1)因为正方形ABCD 的边长为2，P 是AB 的中点，所以AB=AD=2，AP=1．在Rt △APD 中，225PD AP AD =+=PF=PD ，所以51AF PF AP =-=．因为四边形AMEF 是正方形，所以51AM AF ==，)25135DM AD AM =-=-=(2)由(1)得)2251625AM ==-(235625AD DM ==-所以2AM AD DM = (3)图中点M 是线段AD 的黄金分割点。
初中数学黄金分割基础训练含答案
初中数学黄金分割基础训练含答案一、选择题1．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（）A．12.36cm B．13.6cm C．32.36cm D．7.64cm2．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm3．如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C 黄金分割，AC与AB的比叫做黄金比，其比值是（）A．B．C．D．4．为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高2m的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案．小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中．如图是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕像下部的设计高度（精确到0.01m，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）是（）A．0.62m B．0.76m C．1.24m D．1.62m5．如果线段上一点P把线段分割为两条线段P A，PB，当P A2＝PB•AB，即P A≈0.618AB时，则称点P是线段AB的黄金分割点，现已知线段AB＝10，点P是线段AB的黄金分割点，如图所示，那么线段PB的长约为（）A．6.18B．0.382C．0.618D．3.82二、填空题6．如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为的三角形是黄金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB＝4，则DE＝_____．7．如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割．已知AB＝10cm，则AC的长约为_____cm（结果精确到0.1cm）．8．黄金分割比是＝＝0.61803398…，将这个分割比用四舍五入法精确到0.001的近似数是_____．9．校团委举办“五•四手抄报比赛”．手抄报规格统一设计成：长是0.8米的黄金矩形（黄金矩形的长与宽的比是1.6：1），则宽为_____米．10．如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点（即AC是AB与BC的比例中项），支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则AC＝_____cm，DC＝_____cm．11．如图，已知线段AB，点C在AB上，且有，则的数值为_____；若AB的长度与中央电视台演播厅舞台的宽度一样长，那么节目主持人应站在_____位置最好．三、解答题12．一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．如图，是一个参加空姐选拔的选手的身高情况，那么她应穿多高的鞋子才能好看？（精确到1cm）参考数据：黄金分割比为，＝2.236．13．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．14．宽与长之比为：1的矩形叫黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感，如图，如果在一个黄金矩形里画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论．15．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC＝108°，过点C作直线CD分别交直线AB和⊙O于点D、E，连接OE，DE＝AB，OD＝2．（1）求∠CDB的度数；（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金分割比．①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求弦CE的长；③在直线AB或CD上是否存在点P（点C、D除外），使△POE是黄金三角形？若存在，画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．16．若一个矩形的短边与长边的比值为（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形．（1）操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD；（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由；（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论（不需要证明）．17．如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A＝36°，∠C＝72°，∠ADB＝108°．求证：（1）AD＝BD＝BC；（2）点D是线段AC的黄金分割点．初中数学黄金分割基础训练含答案参考答案与试题解析选择题1．解：方法1：设书的宽为x，则有（20+x）：20＝20：x，解得x＝12.36cm．方法2：书的宽为20×0.618＝12.36cm．故选：A．2．解：根据已知条件得下半身长是165×0.60＝99cm，设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：，解得：y≈8cm．故选：C．3．解：设AB＝1，AC＝x，根据已知条件中的比例式得，则x2＝1﹣x，x2﹣1+x＝0，x＝（负值舍去）．则比值是．故选：A．4．解：设雷锋人体雕像下部的设计高度为xm，那么雕像上部的高度为（2﹣x）m．依题意，得，解得x1＝﹣1+≈1.24，x2＝﹣1﹣（不合题意，舍去）．经检验，x＝﹣1+是原方程的根．故选：C．5．解：根据题意得：AP≈0.618×10＝6.18，则PB＝AB﹣AP＝10﹣6.18＝3.82．故选：D．填空题6．解：根据题意可知，BC＝AB，∵△ABC顶角是36°的等腰三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠C＝72°，又∵△BDC也是黄金三角形，∴∠CBD＝36°，BC＝BD，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝36°＝∠A，∴BD＝AD，同理可证DE＝DC，∴DE＝DC＝AC﹣AD＝AB﹣BC＝AB﹣AB＝6﹣2．故答案为：6﹣2．7．解：由题意知AC：AB＝BC：AC，∴AC：AB≈0.618，∴AC＝0.618×10cm≈6.2（结果精确到0.1cm）故答案为：6.2．8．解：0.61803398在四舍五入后，精确到0.001的近似值为0.618．9．解：设宽为x米，则，解得：x＝0.5．故本题答案为：0.5．10．解：由题意得：则AC＝BD＝AB＝80×＝40﹣40；AD＝AB﹣BD＝80﹣（40﹣40）＝120﹣40；DC＝AB﹣2AD＝80﹣160．故答案为：40﹣40，80﹣160．11．解：设AC＝x，则BC＝AB﹣x，∴x：AB＝（AB﹣x）：x，解得：AC＝x＝，∴的数值为，∴点C是线段AB的黄金分割点，故主持人应站在点C位置最好．故答案为：；C．解答题12．解：设应穿xcm高的鞋子，根据题意，得．解得x＝10cm．13．证明：在正方形ABCD中，取AB＝2a，∵N为BC的中点，∴NC＝BC＝a．在Rt△DNC中，．又∵NE＝ND，∴CE＝NE﹣NC＝（﹣1）a．∴．故矩形DCEF为黄金矩形．14．解：留下的矩形CDFE是黄金矩形．证明：∵四边形ABEF是正方形，∴AB＝DC＝AF，又∵，∴，即点F是线段AD的黄金分割点，∴，即，∴矩形CDFE是黄金矩形．15．解：（1）∵AB是⊙O的直径，DE＝AB，∴OA＝OC＝OE＝DE，则∠EOD＝∠CDB，∠OCE＝∠OEC，设∠CDB＝x，则∠EOD＝x，∠OCE＝∠OEC＝2x，又∠BOC＝108°，∴∠CDB+∠OCD＝108°，∴x+2x＝108，x＝36°．∴∠CDB＝36°．（2）①有三个：△DOE，△COE，△COD．∵OE＝DE，∠CDB＝36°，∴△DOE是黄金三角形；∵OC＝OE，∠COE＝180°﹣∠OCE﹣∠OEC＝36°．∴△COE是黄金三角形；∵∠COB＝108°，∴∠COD＝72°；又∠OCD＝2x＝72°，∴∠OCD＝∠COD．∴OD＝CD，∴△COD是黄金三角形；②∵△COD是黄金三角形，∴，∵OD＝2，∴OC＝﹣1，∵CD＝OD＝2，DE＝OC＝﹣1，∴CE＝CD﹣DE＝2﹣（﹣1）＝3﹣；③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3，如图所示，ⅰ以OE为底边的黄金三角形：作OE的垂直平分线分别交直线AB、CD得到点P1、P2；ⅱ以OE为腰的黄金三角形：点P3与点A重合．16．解：（1）如图．（2）探究：四边形EBCF是矩形，而且是黄金矩形．∵四边形AEFD是正方形，∴∠AEF＝90°∴∠BEF＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°∴∠BEF＝∠B＝∠C＝90°，∴四边形EBCF是矩形．【方法1】设∴∴矩形EBCF是黄金矩形．【方法2】设，∴∴矩形EBCF是黄金矩形．（3）归纳：在黄金矩形内以短边为边作一个正方形后，所得到的另外一个四边形是矩形，而且是黄金矩形．17．证明：（1）∵∠A＝36°，∠C＝72°，∴∠ABC＝180°﹣36°﹣72°＝72°，∵∠ADB＝108°，∴∠ABD＝180°﹣36°﹣108°＝36°，∴△ADB是等腰三角形，∵∠BDC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣108°＝72°，∴△BDC是等腰三角形，∴AD＝BD＝BC．（2）∵∠DBC＝∠A＝36°，∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC，∴BC：AC＝CD：BC，∴BC2＝AC•DC，∵BC＝AD，∴AD2＝AC•DC，∴点D是线段AC的黄金分割点．。
苏科版九年级数学下册黄金分割同步练习
6.2黄金分割A组题1、点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若AB=2cm，则BC ≈cm。
（精确到0.1cm）≈2、顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，等腰△ABC中，若∠A=360，则BCAB3、研究表明：标准人体的黄金分割点是人的肚脐，请你计算身高180cm的人，如果肚脐是黄金分割点，那头顶到肚脐的长度约为cm。
（精确到1c m）4、已知点C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC)，那么AC是线段与的比例中项，若AC=10cm，则BC约为cm。
（精确到0.1cm）5、已知点C是线段的黄金分割点，且AC＞BC，则下列等式中成立的是（）A、2AB AC BCCB AC AB=•=•B、2C、2=•AC AB BCAC BC AB=•D、226、如图，点C是线段AB的黄金分割点，矩形ABFD的宽与长的比等于黄金比，则下列结论中错误的是DA（）A、四边形ACED是正方形B、矩形CBFE是黄金矩形C、EC与EF之比是黄金比D、EC与DF之比是黄金比7、下列说法中正确的是（）A、如果一条线段是另两条线段的比例中项，那么这三条线段构成黄金比；B、一条线段上的黄金分割点只有一个；；C、黄金分割比是512D、黄金分割比就是我们看上去舒服的比。
8、科学研究表明：当人的下肢长度与身高的比约为0.618时，看起来最美。
若某成年女士身高为153cm，下肢长为92cm，则该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为多少cm？（精确到0.1cm）9、如图，电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长为20米，试计算主持人应走到离A点至少多少米处是最自然得体的位置？（结果精确到0.1米）10、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，AC=BD=BC。
①求∠ABC的度数；②图中有多少个黄金三角形？把它们一一写出来。
11、如图，△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于D，交AB于E，且AE=BC。
初中数学北师大九年级上册(2023年修订) 图形的相似《黄金分割》教学设计
① ② ③
《黄金分割》教学设计表
视频课名称 黄金分割 最高荣誉称号 金牛区优秀青年教师 教师姓名 张 玲 工作单位 成都市金牛区协同外语学校 知识点来源
学科：数学 年级：九年级 教材版本：北师大版 所属章节：第四章第四节 知识点描述：认识黄金分割 设计思路 自主观察（感受美）—合作探究（探究美）—自主发展（应用美）—反思（留住美）
教学设计内容
教学目的
1．知道并理解黄金分割的定义，熟记黄金比；
2. 能对黄金分割进行简单运用；
3.理解黄金分割的现实意义，让学生认识数学与人类生活的密切联系．
教学重点难点 重点：了解黄金分割的意义并能运用． 难点：了解黄金分割的意义并能运用．
教学过程
（一）自主观察（感受美）
1．给出三张小鸟位置发生变化的图片，让学生感受哪一张最美．
设计意图：通过PPT 观察三幅不同的图片，学生能一下感觉中间那副是是最美的，然后告诉学生这里面隐藏着数学知识，学了这节课后就会明白。
意在激起学生学习的兴趣。
2.给出几个不同国家的国旗，但是里面都含有五角星图案．
设计意图：从感性上认识五角星端庄大气，庄严肃穆，从数学角度分析五角星学
生很容易得到是轴对称图形，每条边相等，每个角相等。
此时老师提出五角星背后还隐藏着一个神奇的数学秘密，激发起孩子学习的求知欲。
（二）合作探究（探究美）
1．从上图选择一个五角星图案，度量线段AB 、AC 、BC 的长度，并完成表格：
（所有数据精确到）。
(1502)黄金分割专项练习30题(有答案)
黄金分割专项练习30题(有答案)1，点C 在线段AB 上，若满足AC 2=BC?AB ，则称点C 为线段AB 的黄金分割点.如图 2, △ ABC ,/ A=36 ° BD 平分 / ABC 交 AC 于点 D .D 是线段AC 的黄金分割点；AD 的长.3. 定义：如图1，点C 在线段 如图 2, △ ABC 中，AB=AC=2 (1) 求证：点D 是线段AC 的黄金分割点;C t3--- >40cw2.如图，用长为40cm 的细铁丝围成一个矩形 ABCD (AB > AD ). 1 .定义：如图 中，AB=AC=1 (1) 求证：点 (2) 求出线段 (1) 若这个矩形的面积等于(2) 这个矩形的面积可能等于(3)若这个矩形为黄金矩形( 99cm 2,求AB 的长度； 101cm 2吗？若能，求出 AB 的长度，若不能，说明理由; AD 与AB 之比等于黄金比 伍 ~ ' 2 ),求该矩形的面积.(结果保留根号)AB 上，若满足AC 2=BC?AB ，则称点C 为线段AB 的黄金分割点. ,/A=36 ° BD 平分 / ABC 交 AC 于点 D .e(2)求出线段AD的长.4.作一个等腰三角形，使得腰与底之比为黄金比.(1)尺规作图并保留作图痕迹；(2)写出你的作法；(3)证明：腰与底之比为黄金比.5.(1)已知线段AB的长为2, P是AB的黄金分割点，求AP的长;(2)求作线段AB的黄金分割点P,要求尺规作图，且使AP >PB .』 --------------------- E6.如图，线段AB的长度为1 .(1)线段AB上的点C满足系式AC2=BC?AB，求线段AC的长度；(选做)(2)线段AC上的点D满足关系式AD2=CD?AC，求线段AD的长度;(选做)(3)线段AD上的点E满足关系式AE2=DE?AD，求线段AE的长度；上面各题的结果反映了什么规律？(提示：在每一小题中设x和I)7.如图，在△ ABC中，AB=AC , / A=36 ° / 1 = / 2,请问点D是不是线段AC的黄金分割点.请说明理由.&在^ ABC 中，AB=AC=2 , BC=｛亏-1 , / A=36 ° BD 平分/ ABC ，交于AC 于D .试说明点 D 是线段AC 的黄 金分割点.为黄金矩形ABCD •请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成. D Q10.如图，设 AB 是已知线段，在 AB 上作正方形 ABCD ;取AD 的中点E ，连接EB ;延长DA 至F ,使EF=EB ; 以线段AF 为边作正方形 AFGH •则点H 是AB 的黄金分割点.为什么说上述的方法作出的点 H 是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说.E ______ JG£'11.如图，已知△ ABC 中，D 是 AC 边上一点，/ A=36 ° / C=72 ° / ADB=108 ° 求证:(1) AD=BD=BC ;(2) 点D 是线段AC 的黄金分割点.9.在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形, 如在矩形ABCD 中，当扭」+产£C 时，称矩形ABCD15•人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段.一个身高1.70m 的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段(保留两位小数)？ 16. 如图所示，以长为 2的定线段AB 为边作正方形 ABCD ，取AB 的中点P ,连接PD ,在BA 的延长线上取点 F ， 使PF=PD ，以AF 为边作正方形 AMEF ，点M 在AD 上.(1) 求AM , DM 的长；(2) 点M 是AD 的黄金分割点吗？为什么？ F— r— D•/a匚12 .已知 AB=2 , 点C 是AB 的黄金分割线，点 D 在AB 上，且AD 2=BD?AB ，求器的值. 13.如果一个矩形AR A 斥-1 ABCD (AB < BC )中，竺 —— BC 2 -0.618,那么这个矩形称为黄金矩形， 黄金矩形给人以美感. 在 ABFE (如图)，请问矩形ABFE 是否是黄金矩形？请说明你14•五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点的长.C ,D 分别是线段 AB 的黄金分割点，AB=20cm ，求EC+CD C黄金矩形ABCD的结论的正确性. A E3 F17. 如图，点P 是线段AB 的黄金分割点，且 AP >BP ,设以AP 为边长的正方形面积为 S 1,以PB 为宽和以AB 为 长的矩形面积为S 2，试比较S 1与S 2的大小.Sr3斥一 1 18•如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为边AD 延长线上的一点，且 D 为AE 的黄金分割点，即ADJBE 交DC 于点F ,已知AB=V5 + 1,求CF 的长.2折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形 ABEF 和一个矩形 EFDC ，那么EFDC 这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图 2证明你的结论；若不是，请说明理由./A / / '團3AE ，19•图1是一张宽与长之比为徨丄：1的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形•同学们都知道按图 2所示的(ffl 2)20.(如图 1), 点P 将线段AB 分成一条较小线段 AP 和一条较大线段BP ,如果善兰?，那么称点P 为线段AB 的 br Ai? 黄金分割点，设 柱影k ，则k 就是黄金比，并且k 战618 .BPJ(ffll ) E CS '團2尸(1) 以图1中的AP 为底，BP 为腰得到等腰△ APB (如图2),等腰△APB 即为黄金三角形，黄金三角形的定义为: 满足簷諾备-0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：; (2) 如图1,设AB=1，请你说明为什么(3) 由线段的黄金分割点联想到图形的3),点P 是线段AB 的黄金分割点，那么直线 CP 是△ ABC 的黄金分割线吗？请说明理由;(4) 图3中的△ ABC 的黄金分割线有几条？21.在人体躯干(脚底到肚脐的长度)与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618，越给人 以美感.张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m ，她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美？(精确到十分位) 22. 已知线段AB ，按照如下的方法作图：以 AB 为边作正方形 ABCD ，取AD 的中点E ,连接EB ，延长DA 到F , AF 为边，作正方形 AFGH ，那么点H 是线段AB 的黄金分割点吗？请说明理由.23•如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD ，先折出BC 的中点E ,再折出线段AE ，然后通过折叠 使EB 落到线段EA 上，折出点B 的新位置B',因而EB'=EB .类似地，在 AB 上折出点B 〃使AB ''=AB 这时B " 就是AB 的黄金分割点.请你证明这个结论. k 约为 0.618; 黄金分割线”，类似地给出 黄金分割线”的定义：直线I 将一个面积为S 的 图形分成面积为S i 和面积为S 2的两部分（设S 1< S 2）,如果 ，那么称直线I 为该图形的黄金分割线.(如图24.如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为 2的正方形纸片 ABCD ，先折出BC 的中点E ,再折出线段 AE , 后通过折叠使 EB 落在线段EA 上，折出点B 的新位置F ，因而EF=EB .类似的，在AB 上折出点M 使AM=AF . M 是AB 的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由.25.如图，在 △ ABC 中，点 D 在边 AB 上，且 DB=DC=AC ，已知 / ACE=108 ° BC=2 .（1） 求/ B 的度数；（2） 我们把有一个内角等于 36°勺等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比） 等于黄金比逅二i .2① 写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；② 求AD 的长；③ 在直线AB 或BC 上是否存在点P （点A 、B 除外），使△PDC 是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P,要说明画出点P 的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由.- 126•宽与长的比是违一的矩形叫黄金矩形•心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美 感•现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）： 第一步：作一个正方形 ABCD ;第二步：分别取 AD , BC 的中点M , N ，连接MN ; 第三步：以N 为圆心，ND 长为半径画弧，交 第四步：过E 作EF 丄AD ，交AD 的延长线于请你根据以上作法，证明矩形 DCEF 为黄金矩形. BC 的延长线于E ; F .27.在△ ABC 中，AB=AC , / A=36 °把像这样的三角形叫做黄金三角形.(1)请你设计三种不同的分法，将黄金三角形 ABC 分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金 三角形(画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法， 求证明.分别画在图 1，图2，图3中) 注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法.28 •折纸与证明 —— 用纸折出黄金分割点：第一步：如图(1),先将一张正方形纸片 ABCD 对折，得到折痕 EF ;再折出矩形 BCFE 的对角线第二步：如图(2),将AB 边折到BF 上，得到折痕 BG ,试说明点G 为线段AD 的黄金分割点(AG > GD )(2)29•三角形中，顶角等于 36 °勺等腰三角形称为黄金三角形，如图 1，在△ ABC 中，已知：AB=AC ，且/ A=36 ° (1) 在图1中，用尺规作 AB 的垂直平分线交 AC 于D ，并连接BD (保留作图痕迹，不写作法);(2) △ BCD 是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；(3) 设匹二k ，试求k 的值； F E ------- 7^ ---/ ' / '■ / \ J 1■ ■ ■ ■ ■ E ■■r*t *E 不要 (2)如图4中， 与AB 之间的数量关系？只需说明结果，不用证明.答：CM 与AB 之间的数量关系是BF 平分/ ABC 交AC 于F ,取AB 的中点E ,连接EF 并延长交 BC 的延长线于M .试判断CM cA lB l =A lC l , / A l =108°且 A 1B 1=AB ,请直接写出 亠 的值.30 .如图1,点C 将线段AB 分成两部分，如果警丿習，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点.某研究小组在进行 A D AC 黄金分割线”类似地给出 黄金分割线”的定义：直线I 将一个面积为S 的图形 课题学习时，由黄金分割点联想到 分成两部分，这两部分的面积分别为 S 1, S 2,如果—=-^,那么称直线I 为该图形的黄金分割线. S S1(1) 研究小组猜想：在 △ ABC 中, 线.你认为对吗？为什么？ (2) (3) 连接 (4) 若点D 为AB 边上的黄金分割点(如图 2)，则直线CD 是^ ABC 的黄金分割 请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？研究小组在进一步探究中发现： 过点C 任作一条直线交 AB 于点E ,再过点D 作直线DF // CE ，交AC 于点F , EF (如图3),则直线EF 也是△ ABC 的黄金分割线.请你说明理由. 如图4,点E 是平行四边形 ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点 是平行四边形ABCD 的黄金分割线.请你画一条平行四边形 各边黄金分割点. E 作EF // AD ，交DC 于点F ，显然直线 EF ABCD 的黄金分割线，使它不经过平行四边形 ABCD S3黄金分割专项练习30题参考答案:1. (1)证明：•/ AB=AC=1 ,••• / ABC= / C=2 (180°- / A )=丄(180。
初中数学教案王兰 黄金分割
初中数学黄金分割万源市第三中学校王兰一教材分析《黄金分割》是8年级数学下册第四章《相似图形》第2节的内容。
学习相似图形离不开线段的比和比例线段，《黄金分割》将从一个崭新的角度加深学生对线段的比和比例线段地认识，是第一节内容的延续和拓展。
同时通过黄金分割在建筑，艺术等方面的实例让学生进一步体会由黄金分割这一数学知识在现实生活中产生的一种美得感觉，人们在自然界中的确感受到了很多美得东西，其中物体形状的比例提供了在匀称与协调上的一种美感。
所以通过本章的学习不但可以提高学生的观察、分析、归纳能力，还可以提高学生的审美能力。
知识技能目标（1）掌握黄金分割的定义，能用尺规作黄金分割点（2）掌握与黄金分割有关的简单运算。
情感态度目标（1）通过建筑，艺术上的实例，了解黄金分割，体会其中的文化价值（2）在实际操作、思考、交流等过程中，增强学生的实践意识和自信心。
教学重点：理解黄金分割的意义及应用，引导学生建立黄金分割的概念。
教学难点：做一条线段的黄金分割点二学情分析•初二的学生对事物的感性认识丰富，处于从直觉经验型思维向逻辑思维的过渡阶段。
本节课让学生在丰富的实际情景中认识黄金分割并应用黄金分割的知识解决生活中的实际问题，从而促进学生从形象思维向抽象思维的发展。
•初二的学生已具备了一定的学习能力，所以本节课为学生创造了自己读书，自己计算，自己探索，合作交流的机会，促进学生在自主合作的探索过程中学会如何学习。
三教法、学法分析教法：演示法、实验法、讨论法、练习法。
学法：采取小组合作交流的探究方式学习，让学生在实践中学习。
四评价方法分析•1 注重对学生观察能力，动手能力，合作能力的评价。
•2 评价学生应用数学知识解决生活中的实际问题的能力。
•3 注重对学生双基的评价。
•4 评价时坚持积极评价的原则，采用鼓励的方式，增强学生的自信心。
教学过程设计展示图片（的目的：通过展示图片让学生直观感知黄金分割在建筑，艺术生活领域的美学价值，促使学生关注美，探究美，创造美。
黄金分割-初中数学习题集含答案
黄金分割（北京习题集）（教师版）一．选择题（共5小题）1．（2019秋•丰台区校级月考）已知点是线段的黄金分割点，且，若，则短线段的长度是 ABCD ．2．（2017秋•丰台区期末）“黄金分割”是一条举世公认的美学定律，例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐．目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版，要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置 A ．①B ．②C ．③D ．④3．（2015秋•石景山区期末）某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台的长为，为的一个黄金分割点，则的长为（结果精确到 A ．B ．C ．D ．4．（2016秋•通州区期中）黄金矩形的宽与长的比值更接近于 A ．3.14B ．2.71C ．0.62D ．0.575．（2015秋•延庆县期末）把长的线段进行黄金分割，则较长线段的长，精确到是 A ．B ． C． D ．二．填空题（共6小题）6．（2019秋•密云区期末）我们把满足下面条件的称为“黄金三角形”：①是等腰三角形；②在三角形的某条边上存在不与顶点重合的点，使得与所在边的对角顶点连线把分成两个不全等的等腰三角形．（1）中，，，可证是“黄金三角形”，此时的度数为 ．（2）中，，为钝角．若为“黄金三角形”，则的度数为 ．7．（2019秋•，就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形，宽，则长为 ．P AB AP BP >2AB cm =()1-3()AB 20m C AB ()AC BC <AC 0.1)(m )6.7m 7.6m 10m 12.4m ()10cm 2.236≈0.01)()3.09cm 3.82cm 6.18cm 7.00cm ABC ∆ABC ∆P P P ABC ∆ABC ∆AB AC =:1:2A C ∠∠=ABC ∆A ∠ABC ∆AB AC =A ∠ABC ∆A ∠0.618)ABCD 1AD =AB8．（2019秋•大兴区期中）把长为的线段进行黄金分割（黄金比为，则较长线段的长为 （结果精确到．9．（2017春•朝阳区期末）阅读下列材料：如图1，在线段上找一点，若，则称点为线段的黄金分割点，这时比值为名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在数轴上点表示数0，点表示数2，过点作，且，连接；以为圆心，为半径作弧，交于；再以为圆心，为半径作弧，交于点，则点就是线段的黄金分割点．根据材料回答下列问题：（1）线段长为 ，点在数轴上表示的数为 ；（2）在（1）中计算线段长的依据是 ．10．（2015秋•怀柔区期末）学校组织社会大课堂活动去首都博物馆参观，明明提前上网做了功课，查到了下面的一段文字：首都博物馆建筑本身是一座融古典美和现代美于一体的建筑艺术品，既具有浓郁的民族特色，又呈现鲜明的现代感．首都博物馆建筑物（地面以上）东西长152米、南北宽66米左右，建筑高度41米．建筑内部分为三栋独立的建筑，即：矩形展馆，椭圆形专题展馆，条形的办公科研楼．椭圆形的青铜展馆斜出墙面寓意古代文物破土而出，散发着浓郁的历史气息．明明对首都博物馆建筑物产生了浓厚的兴趣，站到首都博物馆北广场，他被眼前这座建筑物震撼了．整个建筑宏大壮观，斜出的青铜展馆和北墙面交出一条抛物线，抛物线与外立面之间和谐、统一，明明走到过街天桥上照了一张照片（如图所示）．明明想了想，算了算，对旁边的文文说：“我猜想这条抛物线的顶点到地面的距离应是15.710cm 0.618)cm 0.1)AB ()C AC BC >::BC AC AC AB =C AB 0.618≈O E E EF OE ⊥12EF OE =OF F EF OF H O OH OE P P OE OP P OP米左右．”文文反问：“你猜想的理由是什么”？明明说：“我的理由是 ”．明明又说：“不过这只是我的猜想，这次准备不充分，下次来我要用学过的数学知识准确的测测这个高度，我想用学到的 知识，我要带 等测量工具”．11．（2013秋•大兴区期中）把长为的线段进行黄金分割， 则较长线段的长为 ．三．解答题（共4小题）12．（2019春•昌平区校级月考）如图，在中，，，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括（1）在图1中画1中画了1条线段，使图中有了2个等腰三角形，请直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是 度和 度；（2）若在图2中画2条线段，图中有几个等腰三角形，分别是哪几个？（3）继续按以上操作发现：在中画条线段，则图中有 个等腰三角形，其中有 个黄金等腰三角形．13．（2018•通州区三模）小明同学遇到两个数学问题：问题一，一个数加上这个数的倒数，和为1，试求这个数．问题二，一个数减去这个数的倒数，差为1，试求这个数．（1）在探索问题一时，进行了以下操作：依题意，列出方程， 化简得，于是小明认为这个数不存在，请帮小明证明这个数不存在．（2）在探索问题二时，进行了以下操作：8cm cm ABC ∆AB AC =36A ∠=︒)ABC ∆ABC ∆n x y 11x x+=210x x -+=依题意，列出方程， 变形得 于是得到形如这样的数，我们称之为连分数．如果设一条线段的长度设为1，点是这条线段的黄金分割点，设其中较短的线段的长度为，试将表示为连分数的形式．14．（2016秋•海淀区期中）如图1，在线段上找一点，把分为和两段，其中是较小的一段，如果，那么称线段被点黄金分割．为了增加美感，黄金分割经常被应用在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域．如图2，在我国古代紫禁城的中轴线上，太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割．已知太和殿到内金水桥的距离约为100丈，求太和门到太和殿之间的距离的近似值取．15．（2010秋•通州区期末）如图，在平行四边形中，为边延长线上的一点，且为的黄金分割点，即，交于点，已知，求的长．11y y -=1111111111111111111y y y y =+=+=+=+++++++⋯1111111++++⋯AB M z z AB C C AB AC CB BC 2BC AB AC =g ABC 2.2)ABCDE AD DAE AD AE =BE DCF 1AB =+CF黄金分割（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2019秋•丰台区校级月考）已知点是线段的黄金分割点，且，若，则短线段的长度是 ABCD ． 【分析】【解答】解：点是的黄金分割点，，， 则短线段故选：．【点评】2．（2017秋•丰台区期末）“黄金分割”是一条举世公认的美学定律，例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐．目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版，要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置 A ．①B ．②C ．③D ．④【分析】关键黄金分割的比值是0.618，即可判断．【解答】解：观察图象可知，，，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置②， 故选：．【点评】本题考查黄金分割的应用，解题的关键是记住黄金分割的比值是0.618．3．（2015秋•石景山区期末）某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台P AB AP BP >2AB cm =()1-3Q P AB AP BP >1AP AB ∴==-21)3BP AB AP =-=--=-D ()0.618AC AB ≈0.618DE CD ≈∴B (0.618)AB的长为，为的一个黄金分割点，则的长为（结果精确到 A ．B ．C ．D ．【分析】根据黄金比值约为0.618进行计算即可．【解答】解：为的一个黄金分割点，， ，故选：．【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中4．（2016秋•通州区期中）黄金矩形的宽与长的比值更接近于 A．3.14 B ．2.71 C ．0.62D ．0.57【分析】 【解答】黄金矩形的宽与长的比， 四选项中更接近于这一比值的是0.62，故选：．【点评】本题考查了黄金分割的知识，熟记黄金分割比是解题的关键．5．（2015秋•延庆县期末）把长的线段进行黄金分割，则较长线段的长，精确到是 A ．B ．C ．D ．【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．【解答】解：根据题意得：较长线段的长是． 故选：．【点评】此题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割的公式：较短的线段，较长的线段原线是本题的关键． 二．填空题（共6小题）6．（2019秋•密云区期末）我们把满足下面条件的称为“黄金三角形”：20m C AB ()AC BC <AC 0.1)(m )6.7m 7.6m 10m 12.4m C Q AB 12.4BC AB cm ∴=≈2012.47.6AC cm ∴=-=B ()0.618=≈C 10cm 2.236≈0.01)()3.09cm 3.82cm 6.18cm 7.00cm 10100.618 6.18cm =⨯=C ==ABC ∆①是等腰三角形；②在三角形的某条边上存在不与顶点重合的点，使得与所在边的对角顶点连线把分成两个不全等的等腰三角形．（1）中，，，可证是“黄金三角形”，此时的度数为 ．（2）中，，为钝角．若为“黄金三角形”，则的度数为 ．【分析】（1）由得到，再根据和三角形内角和得到，然后可求出的度数；（2）如图，利用黄金三角形的定义得到和都为等腰三角形，设，则可表示出，，然后利用三角形内角和得到，解方程得到，然后计算即可．【解答】解：（1），，，而，，；（2）如图，为“黄金三角形”，和都为等腰三角形，设，，，，，，解得，．故答案为，．【点评】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即ABC ∆P P P ABC ∆ABC ∆AB AC =:1:2A C ∠∠=ABC ∆A ∠36︒ABC ∆AB AC =A ∠ABC ∆A ∠AB AC =B C ∠=∠:1:2A C ∠∠=22180A A A ∠+∠+∠=︒A ∠ABD ∆ADC ∆B x ∠=C B CAD x ∠=∠=∠=2BDA BAD x ∠=∠=2180x x x x +++=︒36x =︒2x x +AB AC =Q B C ∴∠=∠:1:2A C ∠∠=Q 180A B C ∠+∠+∠=︒22180A A A ∴∠+∠+∠=︒36A ∴∠=︒ABC ∆Q ABD ∴∆ADC ∆B x ∠=AB AC =Q C B x ∴∠=∠=CAD x ∴∠=2BDA BAD x x x ∴∠=∠=+=2180x x x x ∴+++=︒36x =︒2108BAC x x ∴∠=+=︒36︒108︒AB AC ()BC AC BC >AC AB BC，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．也考查了等腰三角形．7．（2019秋•，就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形，宽，则长为 2 ．【分析】判断黄金矩形的依据是：宽与长之比为0.618，根据已知条件即可得出答案．【解答】解：矩形是黄金矩形，且，，，故答案为2．【点评】本题主要考查了黄金分割点的概念，需要熟记黄金比的值，难度适中．8．（2019秋•大兴区期中）把长为的线段进行黄金分割（黄金比为，则较长线段的长为 6.2 （结果精确到．【分析】根据黄金分割的定义：如图所示，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．即可求解．【解答】解：如图：设较长线段，则，根据黄金分割定义可知：，即，，::)AB AC AC BC =AB C AB 0.618AC AB AB =≈AB 0.618)ABCD 1AD =AB Q ABCD 1AD =-∴AD AB ==2AB ∴=10cm 0.618)cm 0.1)AB AC ()BC AC BC >AC AB BC AB C AB AC x =10BC x =-AC BC AB AC=2AC AB BC =g 210(10)x x ∴=-2101000x x +-=解得，（不符合题意，舍去）答：较长的线段的长约为．故答案为6.2．【点评】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割的定义．9．（2017春•朝阳区期末）阅读下列材料：如图1，在线段上找一点，若，则称点为线段的黄金分割点，这时比值为名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在数轴上点表示数0，点表示数2，过点作，且，连接；以为圆心，为半径作弧，交于；再以为圆心，为半径作弧，交于点，则点就是线段的黄金分割点．根据材料回答下列问题：（1）线段 ，点在数轴上表示的数为 ；（2）在（1）中计算线段长的依据是 ．【分析】（1）根据勾股定理得到，根据线段的和差即可得到结论；（2）根据勾股定理求得，再由线段的和差求得，于是得到结论．【解答】解：（1），， ，，由作法知，，，点，；11) 6.18 6.2x =-≈≈25x =--6.2cm AB ()C AC BC >::BC AC AC AB =C AB 0.618≈O E E EF OE ⊥12EF OE =OF F EF OF H O OH OE P P OE OP 1P OP OF ===OF OP 2OE =Q 112EF OE ∴==EF OE ⊥Q OF ∴===1FH EF ==1OP OH OF FH ==-=-∴P 1-1-1-（2）在（1）中计算线段长时，首先根据勾股定理求得，再由求得，故答案为：勾股定理．【点评】本题考查了黄金分割，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．10．（2015秋•怀柔区期末）学校组织社会大课堂活动去首都博物馆参观，明明提前上网做了功课，查到了下面的一段文字：首都博物馆建筑本身是一座融古典美和现代美于一体的建筑艺术品，既具有浓郁的民族特色，又呈现鲜明的现代感．首都博物馆建筑物（地面以上）东西长152米、南北宽66米左右，建筑高度41米．建筑内部分为三栋独立的建筑，即：矩形展馆，椭圆形专题展馆，条形的办公科研楼．椭圆形的青铜展馆斜出墙面寓意古代文物破土而出，散发着浓郁的历史气息．明明对首都博物馆建筑物产生了浓厚的兴趣，站到首都博物馆北广场，他被眼前这座建筑物震撼了．整个建筑宏大壮观，斜出的青铜展馆和北墙面交出一条抛物线，抛物线与外立面之间和谐、统一，明明走到过街天桥上照了一张照片（如图所示）．明明想了想，算了算，对旁边的文文说：“我猜想这条抛物线的顶点到地面的距离应是15.7米左右．”文文反问：“你猜想的理由是什么”？明明说：“我的理由是 黄金分割 ”．明明又说：“不过这只是我的猜想，这次准备不充分，下次来我要用学过的数学知识准确的测测这个高度，我想用学到的 知识，我要带 等测量工具”．【分析】利用已知结合黄金分割比例和解直角三角形的应用分别填空得出答案．【解答】解：结合：，故明明说：“我的理由是黄金分割”明明又说：“不过这只是我的猜想，这次准备不充分，下次来我要用学过的数学知识准确的测测这个高度， 我想用学到的解直角三角形（答案不唯一）知识，我要带测角仪、皮尺（答案不唯一）等测量工具”．故答案为：黄金分割；解直角三角形（答案不唯一）；测角仪、皮尺（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了黄金分割以及解直角三角形的应用等知识，正确掌握黄金比例是解题关键．11．（2013秋•大兴区期中）把长为的线段进行黄金分割， 则较长线段的长为 ．OP OF OP OH OF FH ==-OP 41(10.618)15.7()m ⨯-≈8cm 1)cm【分析】根据黄金分割的定义，． 【解答】解： 较长线段的长度． 故答案为．【点评】本题考查了黄金分割： 把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项 （即，叫做把线段黄金分割， 点叫做线段的黄金分割点，其中，并且线段的黄金分割点有两个 ． 三．解答题（共4小题）12．（2019春•昌平区校级月考）如图，在中，，，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括（1）在图1中画1中画了1条线段，使图中有了2个等腰三角形，请直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是 108 度和 度；（2）若在图2中画2条线段，图中有几个等腰三角形，分别是哪几个？（3）继续按以上操作发现：在中画条线段，则图中有 个等腰三角形，其中有 个黄金等腰三角形．【分析】（1）可以根据，的条件，并利用平行线的知识画一条与三角形一边平行的线段，就可以求出2个等腰三角形的度数；（2）根据（1）和材料分析，画1条线段是利用平行的知识来作图，那么2条线段也可以的，3条也可以的，了解其画图的方法，那么就可以画出图形，并数出等腰三角形的个数；（3）根据（2）的图形规律，可以总结线段的数量与等腰三角形的个数之间的规律【解答】解：（1）如图1所示：，，81)cm cm ==-1)AB AC ()BC AC BC >AC AB BC ::)AB AC AC BC =AB C AB 0.618AC AB AB =≈AB ABC ∆AB AC =36A ∠=︒)ABC ∆ABC ∆n AB AC =36A ∠=︒AB AC =Q 36A ∠=︒当，则，则，则这2个等腰三角形的顶角度数分别是108度和36度．故答案为：108，36（2）如图所示：（3）根据（2）可知：如图所示：当1条直线可得到2个等腰三角形；当2条直线可得到4个等腰三角形；当3条直线可得到6个等腰三角形；在中画条线段，则图中有个等腰三角形，其中个黄金等腰三角形．故答案为，【点评】该题主要考查等腰三角形、规律总结等知识；解题的思路：首先理解题意，什么是黄金等腰三角形，怎么去画等腰三角形；几何题目都需要结合图形才有利于解答，所有要画图分析；最后根据画的图分析并总结出线段的数量与等腰三角形的个数的规律．13．（2018•通州区三模）小明同学遇到两个数学问题：问题一，一个数加上这个数的倒数，和为1，试求这个数．问题二，一个数减去这个数的倒数，差为1，试求这个数．（1）在探索问题一时，进行了以下操作：∴AE BE =36A ABE ∠=∠=︒108AEB ∠=︒36EBC ∠=︒∴⋯ABC ∆n 2n n 2n n x y依题意，列出方程， 化简得，于是小明认为这个数不存在，请帮小明证明这个数不存在．（2）在探索问题二时，进行了以下操作：依题意，列出方程， 变形得 于是得到形如这样的数，我们称之为连分数．如果设一条线段的长度设为1，点是这条线段的黄金分割点，设其中较短的线段的长度为，试将表示为连分数的形式．【分析】（1）先求出根的判别式△的值，由△即可证明这个数不存在；（2）设其中较短的线段的长度为，则较长的线段的长度为，根据黄金分割的定义列出方程，再变形即可．【解答】（1）证明：△，因为这个方程无解，所以这个数不存在；（2）解：依据题意，得， 变形 得，展开，得，，两边同时除以，得， ．【点评】本题考查了黄金分割的定义：把一条线段分成两条线段，使其中较长的线段是较短线段和全线段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割．也考查了根的判别式以及学生的阅读理解能力．14．（2016秋•海淀区期中）如图1，在线段上找一点，把分为和两段，其中是较小的一段，如果，那么称线段被点黄金分割．为了增加美感，黄金分割经常被应用在绘画、雕塑、音乐、11x x+=210x x -+=11y y -=1111111111111111111y y y y =+=+=+=+++++++⋯1111111++++⋯AB M z z 0<z 1z -111z z z -=-224(1)41130b ac =-=--⨯⨯=-<111z z z -=-2(1)z z -=231z z =-0z ≠Q ∴z 13z z=-13133z ∴=---⋯AB C C AB AC CB BC 2BC AB AC =g AB C建筑等艺术领域．如图2，在我国古代紫禁城的中轴线上，太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割．已知太和殿到内金水桥的距离约为100丈，求太和门到太和殿之间的距离的近似值取．【分析】根据黄金分割的概念列出比例式，计算即可．【解答】解：设太和门到太和殿的距离为丈，由题意可得，解得，，（舍去）则，答：太和门到太和殿的距离为60丈．【点评】本题考察的是黄金分割的概念和性质，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割．15．（2010秋•通州区期末）如图，在平行四边形中，为边延长线上的一点，且为的黄金分割点，即，交于点，已知，求的长．【分析】根据平行四边形的性质得出，，从而得出，根据相似三角形比例关系即可得出答案．【解答】解：四边形为平行四边形，，，，2.2)x 2100(100)x x =-150x =-+250x =--5050 2.260x ≈-+⨯=AB AC ()BC AC BC >AC AB BC AB ABCD E AD DAE AD AE =BE DCF 1AB =+CF CBF AEB ∠=∠BCF BAE ∠=∠BCF EAB ∆∆∽Q ABCD CBF AEB ∴∠=∠BCF BAE ∠=∠BCF EAB ∴∆∆∽，即， 把，解得：．故答案为：2．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，比较综合，难度适中．∴BC AE CF BA =AD CF AE AB=AD AE =1AB ==2CF =。
北师大初中九年级数学上册《黄金分割》教案
黄金分割教学目标（一）教学知识点1.知道黄金分割的定义.2.会找一条线段的黄金分割点.3.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.4.通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力.5.理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识数学与人类生活的密切联系对人类历史发展的作用.教学重点 了解黄金分割的意义，并能运用.教学难点 找黄金分割点和画黄金矩形.教具准备 投影片一张：教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段AC 、BC 的长度，然后计算、,它们的值相等吗？ 1.黄金分割的定义一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果,那么称线段AB 被点C 黄金分割（golden section ）,点C 叫做线段AB AB AC AC BC AC BC AB AC的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.其中≈0.618.2. 计算黄金比.3.作一条线段的黄金分割点.3.想一想古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple ）.把它的正面放在一个矩形ABCD 中，以矩形ABCD 的宽AD 为边在其内部作正方形AEFD ，那么我们可以惊奇地发现，,点E 是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？Ⅲ.课时小结本节课学习了：1.黄金分割点的定义及黄金比.2.如何找一条线段的黄金分割点，以及会画黄金矩形.3.能根据定义判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.Ⅳ.课后作业 习题4.8Ⅴ.活动与探究ABAC BCAB BE BC要配制一种新农药，需要兑水稀释，兑多少才好呢？太浓太稀都不行.什么比例最合适，要通过试验来确定.如果知道稀释的倍数在1000和2000之间，那么，可以把1000和2000看作线段的两个端点，选择AB的黄金分割点C作为第一个试验点，C点的数值可以算是1000+×0.618=1618.试验的结果，如果按1618倍，水兑得过多，稀释效果不理想，可以进行第二次试验.这次的试验点应该选AC的黄金分割点D，D的位置是1000+（1618－1000）×0.618，约等于1382，如果D点还不理想，可以按黄金分割的方法继续试验下去.如果太浓，可以选DC之间的黄金分割点；如果太稀，可以选AD之间的黄金分割点，用这样的方法，可以较快地找到合适的浓度数据.这种方法叫做“黄金分割法”.用这样的方法进行科学试验，可以用最少的试验次数找到最佳的数据，既节省了时间，也节约了原材料.。
初中数学《黄金分割》教案
初中数学《黄金分割》教案第四章相似图形2．黄金分割一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在学习了基本作图之后，懂得了作图的方法。
又在学习本章第一节后，掌握了线段的比、成比例线段的概念，比例的基本性质，会比和比例尺的计算，坚实了基础。
学生的活动经验基础：学生的作图学习，强化了学生动手的能力；比的计算、比例尺的计算，感受了数学在现实生活中的作用，增强了学生学习数学的信心。
通过变换的鱼来推导成比例线段、比例性质推导、变换发展了的逻辑推理能力。
本章第一节例题的讲解，培养了学生灵活运用的能力。
二、教学任务分析学习《黄金分割》不仅实现线段比例的要求，更是体现数学的文化价值，0.618的意义，体现数学与建筑、艺术等学科必然联系的纽带。
教学中，通过国旗上的图案五角星引入黄金分割，使学生真正体会到其中的文化价值，同时，在建筑、艺术上实例欣赏，应用中进一步强化线段的比、成比例线段、黄金分割等相关内容。
为此，本节课的教学目标是：1、知道黄金分割的定义；会找一条线段的黄金分割点；会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点；2、通过找一条线段的黄金分割点，培养学生理解与动手能力。
3、理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识教学与人类生活的密切联系对人类历史发展的作用。
教学重点：了解黄金分割的意义并能运用教学难点：找出黄金分割点和黄金矩形三、教学过程分析本节课设计了七个环节：第一个环节：情境引入；第二个环节：图片欣赏；第三个环节：操作感知；第四个环节：联系实际，丰富想象；第五个环节：巩固练习；第六个环节：课堂小结；第七个环节：布置作业。
第一环节情境导入活动内容：展示课件，提出问题：问题⒈ 从国旗中找出共同的图案问题⒉ 度量点C到A、B的距离，相等吗？教师操作课件，提出问题与共同学交流、观察回答问题⒈ 五角星回答问题⒉ 相等展示课件，导入新知在线段AB上，点C把线段分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C 分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB 的比叫黄金比。
初中黄金分割点的概念教案
初中黄金分割点的概念教案课程目标：1. 了解黄金分割点的定义和性质；2. 学会如何求黄金分割点；3. 掌握黄金分割点在实际问题中的应用。
教学步骤：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾线段的比和比例线段的概念；2. 提问：线段的比和比例线段在生活中有哪些应用？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解黄金分割点的定义：将一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，这个分割点称为黄金分割点；2. 讲解黄金分割点的性质：黄金分割点的比值是一个无理数，约等于0.618；3. 讲解如何求黄金分割点：通过比例关系求解，设线段AB的长度为L，黄金分割点为C，则AC/AB = BC/AC，解得AC = (sqrt(5)-1)/2 * L，BC = L - AC；4. 讲解黄金分割点在实际问题中的应用：如建筑设计、艺术创作等。
三、例题讲解（15分钟）1. 出示例题：一条线段长度为10cm，求其黄金分割点的长度；2. 引导学生按照求解步骤进行计算；3. 讲解例题的解题思路和技巧。
四、课堂练习（10分钟）1. 出示练习题：一条线段长度为15cm，求其黄金分割点的长度；2. 学生独立进行计算，教师巡回指导；3. 讲解练习题的解题思路和技巧。
五、小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，总结黄金分割点的定义、性质和应用；2. 强调黄金分割点在实际问题中的重要性。
六、作业布置（5分钟）1. 请学生运用黄金分割点的设计原理，为自己设计一个美观的图案；2. 完成课后练习题。
教学反思：本节课通过讲解黄金分割点的定义、性质和应用，让学生了解了黄金分割点的概念，并学会了如何求解黄金分割点。
通过例题和课堂练习，培养了学生的动手操作能力和解决问题的能力。
教学中，注意引导学生发现黄金分割点在实际问题中的应用，提高了学生的学习兴趣。
但在课堂讲解中，对于黄金分割点的数学背景和历史文化内涵的讲解还不够深入，今后的教学中可以进一步加强。
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课 题
第十章 相似三角形 10.2黄金分割 课 型 新 授
教学目标
与知识点 1、经历探索黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的过程，了解黄金分割在生活 的各个领域有价值的运用； 2、会找一条线段的黄金分割点； 3、在应用中进一步理解线段的比、成比例线段，并在实际操作、思考、交 流等过程中进一步感悟数学与生活的密切联系； 4、通过建筑、艺术等生活实例使学生体会黄金分割的文化价值，提高学生的审美意识。
教学重点、
难点分析及
教法设计
【教学重点】了解黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的意义； 【教学难点】怎样做一条线段的黄金分割点； 思考问题
一 次 备 课
三次备课 一、复习：
前面一节课我们探讨了成比例线段，以及比例的性质，什么叫成比例线段？比例有哪些性质？什么叫比例中项？
二、情境创设：
1、P85欣赏芭蕾舞演员身体各部分之间适当的比例给人以匀称、协调的美感，请量出图中线段AB 、AC 的长度，并求出线段AB 与AC 的比值；
2、上海东方明珠电视设计巧妙，整个塔体的挺拔秀丽，请量出图中线段AB 、AC 的长度，并求出线段AB 与AC 的比值；
3、观察P84“你最喜欢的矩形”的调查结果，看看多数同学选择是哪一个矩形，在此矩形中，宽与长的比值约是多少？
三、探索活动： 活动一、计算AC AB （或AB BC ）的值，引入黄金分割的概念. 把矩形ABCD 的长AB 与宽BC 画在同一条直线上，此时点B 把线段AC 分成两部分，如果AB
BC AC AB ，那么线段AC 被点B 黄金分割。
（有一种通俗的说法是：较小的线段与较大的线段的比等于较大的线段与整个线段之比）
200 年 月 日 A
C B C B A A B
C ① ③ ②
④ 21 34
解：设AC ＝x ，AB ＝1，则由AC 2＝BC·AB 得：x 2＝（1—x ）·1，∴x 2 + x—1＝0，
∴x 2 + x+41＝4
5， ∴（x ＋21）2＝4
5，∴……，∴215x ±=，又∵＜1，∴x ＝215-≈0.618 BC 与AC （或AC 与AB ）的比值约为0.168，这个比值称为黄金比.
注意：（1）一条线段的黄金分割点有两个，它们关于中点中心对称；
（2）若矩形的两条邻边长度的比值约为0.618，这种矩形称为黄金矩形.
（3）若在黄金矩形中截取一个正方形，那么剩余的矩形是黄金矩形吗？
活动二、认识黄金分割在几何中的一些应用.（如黄金三角形）
1、作顶角为36°的等腰△ABC ；
2、分别量出底边BC 与腰AB 的长度；
3、作△B 的平分线，交AC 于点D ，量出△BCD 的底边CD 的长度；
最后，分别求出△ABC 与△BCD 的底边与腰的长度的比值（精确到0.001） 问：比值是多少？ 学生：大约是0.618
所以我们把顶角为36°的三角形称为黄金三角形，它具有如下的性质：
（1）618.0AB
BC ≈； （2）设BD 是△ABC 的底角的平分线，则△BCD 也是黄金三角形，且点D 是线段AC 的黄金分割点；
（3）如再作△C 的平分线，交BD 于点E ，则△CDE 也是黄金三角形，如此继续下去，可得到一串黄金三角形；
活动三、如图，五边形ABCDE 的5条边相等，5个内角也相等，
（1）找出图中的黄金三角形； （2）图中的点F 、G 、H 、M 、N 分别是那些线段的黄金分割点？你能说明理由吗？ 解：（1）△ACD 、△BDE 、△CAE 、△DAB 、△EBC 、△AGD 、△ABN 、△BCF 、 △BAH 、△CMB 、△CDG 、△DNC 、△DEH 、△EDF 、△EMA ；
（2）点F 是线段CG 、CE 、DN 、BD 的黄金分割点，……………
三、例题讲解：
例1、若线段AB ＝4cm ，点C 是线段AB 的一个黄金分割点，则AC 的长为多少？
变题：电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB 长为20米，试计算主持人应走到离A 点至少多少米处是比较得体的位置？（结果精确到0.1米）
A B H F G N M E D C A B C D A B C D E F A C B D A B C 图2
A B C 图1
C B A 解：如图1，若AC 是BC 与AB 的比例中项：则AC≈0.618×4cm=2.472 cm ；
如图2，若BC 是AC 与AB 的比例中项：则BC≈0.618×4cm=2.472 cm ；
△AC≈1.528 cm
例2、据有关实验测定，当气温处于人体正常体温（37o C ）的黄金比值时,人体感到最舒适。
这个气温约为_______ o C (精确到1 o C)。
例3、如图，点C 是AB 的黄金分割点，AB ＝4，则AC 2＝________；（结果保留根号）
例4、我们知道古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple ）的正面是一个黄金矩形，若已知黄金矩形的长等于6,则这个黄金矩形的宽等于_________；
（结果保留根号）
例5、如图的五角星中，AD=BC ，且C 、D 两点都是AB 的黄金分割点，AB=1，求
CD 的长；
解：△点C 、D 是AB 的黄金分割点，
△AC=BD≈0.618·AB=0.618，
△BC≈1—0.618=0.382
△CD≈0.618—0.382=0.236
答: CD 的长约为0.236
例6、科学研究表明，当人的下肢与身高比为0.618时，看起来最美，某成年女士身高为153cm ，下肢长为92cm ，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为 cm （精确到0.1cm ）；
解：设该女士穿的高跟鞋鞋跟的高度为xcm ，
根据黄金分割的概念知：92 + x≈0.618（153 + x ），解得：x≈6.7
四、黄金分割的应用：
（1）据有关测定, 当气温处于人体正常体温的黄金比值时 , 人体感到最舒适。
因此夏天使用空调时室内温度调到什么温度最适合? （人的正常体温36.2△～ 37.2△） “人体舒适指数”----36.5△×0.618≈23△，“人体舒适指数”为22△△24△；
（2）二胡的“千斤”放在琴弦的金分割点处，音色最佳；
（3）维纳斯雕像、雅典娜女神象、海姑娘---阿曼达雕塑等肚脐之下的长度与身高之比接近0.618，芭蕾舞演员的比值只有0.618，所以要踮起脚尖！
（4）植物茎的顶端向下，上下层的两片叶子间大约成137.50，这个角度对植物叶子采光、通风、光合作用最为有利，这是因为：137.5︰（360—137.5）≈0.618；
（5）自然界的花瓣数目从里到外排列为：2、3、5、8、13、21、34、55、……，相邻两个数的比值越来越接近于0.618……；
（6）你知道芭蕾舞演员跳舞时为什么要掂起脚尖吗? 芭蕾舞演员的身段是苗条的，但下半身与身高的比值也只有0.58左右，演员在表演时掂起脚尖，身高就可以增加6-8cm.这时比值就接近0.618了,给人以更为优美的艺术形象；
D C B A。