数学人教版九年级下册解直角三角形及其应用——方位角
初中数学九年级《解直角三角形及其应用：方位角问题》公开课教学设计
25.3解直角三角形及其应用（3）
教学目标：运用勾股定理、直角三角形边角关系和两个锐角关系解决简单的实际问题及方位角有关的实际问题
教学重点：解决和方位角有关的实际问题
教学难点：数学模型的建立和实际问题转化为解直角三角形问题的转化思想的培养.
教学过程：
一、复习引入
1、复习归纳知识点
2、复习方位角：如图,一只蚂蚁从O点出发,沿东北方向爬行2.5cm,碰到障碍物Ｂ后,折向北偏西60°方向爬行3cm到C
①画出蚂蚁的爬行路线.
②求出∠OBC的度数.
二、探究新知
1、引例：（例5变式一）：：如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？
2、课本P89 例5
3、变式二：(哈尔滨市2008年中考题)如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60 方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45 方向上的B处，求此时轮船所在B处与灯塔P的距离(结
果保留根号)．
三、巩固新知
练习：
如图：客轮在海上以30km/h的速度由B向C航行，在B处测得灯塔A的方位角为北偏东80°，测得C处的方位角为南偏东25°，航行1小时后到达C处，在C处测得A的方位角为北偏东20°，则C到A的距离是多少？
四、小结归纳
1、方位角
2、我们要善于将实际问题抽象成数学问题并转化为解直角三角形问题来解决.
3、在构造直角三角形中，高的重要作用。
五、布置作业
91页练习第1题。
人教版初中九年级数学下册第二十八章锐角三角函数利用方位角、坡度角解直角三角形课件(初三课件)
答案：点B和点C的水平
距离为 40 20 3 米.
AD 30°
B
C
当堂练习
1. 如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1 : 3 ，坝高
不会穿越保护区(参考
数据： 3 ≈1.732， 4 ≈1.414)．
200km
解：过点P作PC⊥AB，C是垂足．
则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，
AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.
∵AC＋BC＝AB，
∴PC ·tan30°＋PC ·tan45°＝200，
即 3 PC＋PC＝200， 3
则AF的长是A到BC的 D
A
最短距离. ∵BD∥CE∥AF，
60° E 30°
∴∠DBA=∠BAF=60°， B
CF 东
∠ACE=∠CAF=30°，
∴∠BAC=∠BAF－∠CAF=60°－30°=30°.
又∵∠ABC =∠DBF－∠DBA = 90°－60°=30°=∠BAC，
∴BC=AC=12海里， ∴AF=AC ·cos30°=6 3 (海里)， 6 3 ≈10.392＞8， 故渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．
l 水平面
坡度通常写成 1∶m的形式，如i=1∶6.
3. 坡度与坡角的关系
i h tan
l 即坡度等于坡角的正切值.
坡面
i= h : l
h
α
l 水平面
练一练 1. 斜坡的坡度是 1: 3 ，则坡角α =_3_0_度. 2. 斜坡的坡角是45° ，则坡比是 _1__: _1_. 3. 斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是__1_:__3__.
6
B
C
i=1:3
i=1:2.5 23 α
解直角三角形的应用举例(方位角)
交BD的延长线于点F，垂足为F， ∠AFD=90° 由题意图示可知∠DAF=30°
设DF= x , AD=2x 则在Rt△ADF中，根据勾股定理
AF AD2 DF 2 2x2 x2 3x
在Rt△ABF中，
tan ABF AF BF
解得x=6
60° B
A
DF 30°
10.4 > 8没有触礁危险
布置作业：
（一）巩固练习：课本79页拓广探索10 （二）提高、拓展练习： 1、如图，已知MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南 偏东30°，在M的南偏东60°方向上有一点A，以A为圆心，500m为半径的 圆形区域为居民区。取MN上另一点B，测得BA的方向为南偏东75°.已知 MB=400m，通过计算回答，如果不改变方向，输水线路是否会穿过居民区？
新人教版九年级数学(下册)第二十八章
§28.2 解直角三角形（2）
湖北省十堰市房县七河中学 刘成
学习目标
1
了解方位角的命名特点，能准确把握
所指的方位角是指哪一个角。
2 能利用解直角三角形的方法解决方
位角问题
情景导入
画出方向图（表示东南西北四个方向的）并依 次画表示东南方向、西北方向、北偏东65度、 南偏东34度方向的射线.
巩固练习：2、海中有一个小岛A，它的周围8n mile范围内有暗礁，渔船跟 踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12n mile到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线 继续向东航行，有没有触礁的危险？
A
60°
B 12
30°
DF
解：由点A作BD的垂线
A
＝80×cos25° ≈80×0.91
人教版数学九年级下册28.2.2 第3课时 利用方位角、坡度角解直角三角形.ppt
答案：点B和点C的水平
距离为
40
20 3
3
米.
B
AD 30°
C
当堂练习
1. 如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1 : 3 ，坝高
BC=3m，则坡面AB的长度是
( B)
A. 9m B. 6m C. 6 3m D. 3 3m
B
C
A
2. 如图，某渔船如图所示，某渔船在海面上朝正东方
向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方
Vivamus magna justo, lacinia eget consectetur sed.
2014
第三节
教学准备
输入你的文本 根据你所需的内容输入你想要的文本 点击输入本栏的具体文字，简明扼要的说明分项内容，此为概念图解，
请根据您的具体内容酌情修改。
MORE THAN TEMPLATE
北
C
43°
A
B
5. 一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是
12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，
求路基下底的宽 (精确到0.1米， 3 1.732 ，
2 1.414 ).
解：作DE⊥AB， CF⊥AB， 垂足分别为E、F． 由题意可知
D 12米
4米
45°
A
E
C
30°
F
B
DE＝CF＝4 (米)，CD＝EF＝12 (米)．
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人教版九年级下册数学：例5 航海——方位角
tan 30 3x 12 x
解得x=6
AF 6x 6 3 10.4
10.4 > 8没有触礁危险
相信你能行 2．如图所示，一渔船上的渔民在A处看见灯塔M 在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度 向正东航行，半小时至B处，在B处看见灯塔M在 北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船的距离是( )
利用解直角三角形的知识解决实际问题的 一般过程是:
1.将实际问题抽象为数学问题; (画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)
2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形;
3.得到数学问题的答案;
4.得到实际问题的答案.
相信你能行
1.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁， 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏 东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东 航行，有没有触礁的危险？
60° A P
C
30°
B
A 60° P
C
30°
解：在Rt△APC中
PC PA cos(90 60) 80 cos30 40 3
在Rt△BPC中 ∠B=30o
B
sin B PC PB
PB
PC sin B
40 3 sin 30
80
3
138 .56
答：海轮所在的B处距离塔138.56海里.
温故而知新
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，
（1）若∠A=30°，BC=3，则AC=___3___3_________
（2）若∠B=60°，AC=3，则BC=_____3__________
（3）若∠A=α，AC=3，则BC= _____3_t_a_n_a______
九年级数学下册 第二十八章 锐角三角函数 . 解直角三角形及其应用 利用方位角、坡角解直角三角形
Image
12/11/2021
第二十八页，共二十八页。
6
B
C
i=1:3 A
E
i=1:2.5 23 α
F
D
第十八页，共二十八页。
练一练
如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时
，测得坡面AB的坡度为1 : 2，走
米到20达(5dàodá)山顶A处
．这时，他发现山的另一坡面AC的最低点C的俯角是30°．
请求出点B和点C的水平距离．
答案：点B和点C的水平
向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方
向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M
在北偏东30°方向上，那么该船继续航行到达离灯
塔距离最近的位置(wèi zhi)所需的时间是
B( )
A. 10分钟 B. 15分钟 C. 20分钟 D. 25分钟
第二十一页，共二十八页。
3. 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的 北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角(shìjiǎo) ∠ACB等于 90°．
cos43°=0.73，tan43°=0.93)
第二十三页，共二十八页。
5. 一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是
12米，路基的坡面与地面的倾角分别(fēnbié)是45°和30°，
求路基下底的宽 (精确到0.1米， 3 1.，732
2 1.414).
解：作DE⊥AB，
D 12米
CF⊥AB，
九年级数学下（RJ） 教学课件
第二十八章 锐角三角函数
人教版九年级数学下册22 第3课时 利用方位角、坡度角解直角三角形教案与反思
28.2.2应用举例满招损，谦受益。
《尚书》原创不容易，【关注】，不迷路！第3课时利用方位角、坡度解直角三角形1．知道测量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度与坡角的关系；(重点) 2．能够应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题．(难点)一、情境导入在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度(的形式，如i＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i＝hl＝tanα.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．我们这节课就解决这方面的问题．二、合作探究探究点一：利用方位角解直角三角形【类型一】利用方位角求垂直距离如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：3≈1.732，2≈1.414)．解析：过点P作PC⊥AB，C是垂足．AC与BC都可以根据三角函数用PC表示出来．根据AB的长得到一个关于PC的方程，求出PC的长．从而可判断出这条高速公路会不会穿越保护区．解：过点P作PC⊥AB，C是垂足．则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.∵AC＋BC＝AB，∴PC·tan30°＋PC·tan45°＝200，即33PC＋PC＝200，解得PC≈126.8km＞100km.答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．方法总结：解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练第1题【类型二】利用方位角求水平距离“村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步伐．如图所示，C村村民欲修建一条水泥公路，将C村与区级公路相连．在公路A处测得C村在北偏东60°方向，沿区级公路前进500m，在B处测得C村在北偏东30°方向．为节约资源，要求所修公路长度最短．画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度．(结果保留整数)解析：作CD⊥AB于D在Rt△ACD中，据题意有∠CAD＝30°，求得AD.在Rt △CBD中，据题意有∠CBD＝60°，求得BD.又由AD－BD＝500，从而解得CD.解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足落在AB的延长线上，CD即为所修公路，CD 的长度即为公路长度．在Rt △ACD 中，据题意有∠CAD ＝30°，∵tan ∠CAD ＝D AD ，∴AD ＝CD tan30°＝3CD .在Rt △CBD 中，据题意有∠BD ＝60°，∵tan ∠CBD ＝CD BD ，∴BD ＝CD tan60°＝33CD .又∵AD －BD ＝500，∴3CD －33CD ＝500，解得CD ≈433()．答：所修公路长约为433m.方法总结：在解决有关方位角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方位角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题探究点二：利用坡角、坡度解直角三角形 【类型一】利用坡角、坡度解决梯形问题如图，某水库大坝的横截面为梯形ABCD ，坝顶宽BC ＝3米，坝高为2米，背水坡AB 的坡度i ＝1∶1，迎水坡CD 的坡角∠ADC 为30°.求坝底AD 的长度．解析：首先过B 、C 作BE ⊥AD 、CF ⊥AD ，可得四边形BEFC 是矩形，又由背水坡AB 的坡度i ＝1∶1，迎水坡CD 的坡角∠ADC 为30°，根据坡度的定义，即可求解．解：分别过B 、C 作BE ⊥AD 、CF ⊥AD ，垂足为E 、F ，可得BE ∥CF ，又∵BC ∥AD ，∴BC ＝EF ，BE ＝CF .由题意，得EF ＝BC ＝3，BE ＝CE ＝2.∵背水坡AB 的坡度i ＝1∶1，∴∠BAE ＝45°，∴AE ＝BEtan45°＝2，DF ＝CFtan30°＝23，∴AD ＝AE ＋EF ＋DF ＝2＋3＋23＝5＋23(m)．答：坝底AD 的长度为(5＋23)m.方法总结：解决此类问题一般要构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】利用坡角、坡度解决三角形问题如图，某地下车库的入口处有斜坡AB，它的坡度为i＝1∶2，斜坡AB 的长为65m，斜坡的高度为A，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25)．解析：(1)利用坡度为i＝1∶2，得出A；(2)∵A，∴B，∴C.在Rt△A.答：点B与点C之间的距离是12m.方法总结：本题考查了解直角三角形的应用中坡度、坡角问题，明确坡度等于坡角的正切值是解题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题三、板书设计1．方位角的意义；2．坡度、坡比的意义；3．应用方位角、坡度、坡比解决实际问题．将解直角三角形应用到实际生活中，有利于培养学生的空间想象能力，即要求学生通过对实物的观察或根据文字语言中的某些条件，画出适合他们的图形．这一方面在教学过程应由学生展开，并留给学生思考的时间，给学生充分的自主思考空间和时间，让学生积极主动地学习.【素材积累】岳飞应募参军，因战功累累不断升职，宋高宗亲手写了“精忠岳飞”四个字，制成旗后赐给他。
人教九年级下册数学-利用方位角、坡度解直角三角形教案与教学反思
28.2.2 应用举例第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形1．知道测量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度与坡角的关系；(重点)2．能够应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题．(难点)一、情境导入在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度(h )和水平长度(l )的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i ，即i ＝h l.坡度通常写成1∶m 的形式，如i ＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i ＝h l＝tan α.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．我们这节课就解决这方面的问题．二、合作探究探究点一：利用方位角解直角三角形 【类型一】 利用方位角求垂直距离如图所示，A 、B 两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB )，经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，100km 为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：3≈1.732，2≈1.414)．解析：过点P作PC⊥AB，C是垂足．AC与BC都可以根据三角函数用PC表示出来．根据AB的长得到一个关于PC的方程，求出PC的长．从而可判断出这条高速公路会不会穿越保护区．解：过点P作PC⊥AB，C是垂足．则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.∵AC＋BC＝AB，∴PC·tan30°＋PC·tan45°＝200，即33PC＋PC＝200，解得PC≈126.8km＞100km.答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．方法总结：解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】利用方位角求水平距离“村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步伐．如图所示，C村村民欲修建一条水泥公路，将C村与区级公路相连．在公路A处测得C村在北偏东60°方向，沿区级公路前进500m，在B处测得C村在北偏东30°方向．为节约资源，要求所修公路长度最短．画出符合条件的路示意图，并求出公路长度．(结果保留整数)解析：作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，据题意有∠CAD＝30°，求得AD.在Rt△CBD中，据题意有∠CBD＝60°，求得BD.又由AD－BD＝500，从而解得CD.解：如图，过点C作CD⊥AB，垂落在AB的延长线上，CD即为所修公路，CD的长度即为公路长度．在Rt△ACD中，据题意有∠CAD＝30°，∵tan CAD＝CD AD ，∴AD＝CDtan30°＝3CD.在Rt△CBD中，据题意有∠CBD＝60°，∵tan∠CBD＝CDBD，∴BD＝CDtan60°＝r(3)3CD又∵AD－BD＝500，∴3CD－33CD＝500，解得CD≈433(m)．答：所修公路长度约为433m.方法总结：在解决有关方位角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方位角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．变式训练：见《练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题探究点二：利用坡角、坡度解直角三角形【类型一】利用坡角、坡度解决梯形问题如图，某水库大坝的横截面为梯形ABCD，坝顶宽BC＝3米，坝高为2米，背水坡AB的坡度i＝1∶1，迎水坡CD的坡角∠ADC为30°.求坝底AD的长度．解析：首先过B、C作BE⊥AD、CF⊥AD，可得四边形BEFC是矩形，又由背水坡AB的坡度i＝1∶1，迎水坡CD的坡角∠ADC为30°，根据坡度的定义，即可求解．解：分别过B、C作BE⊥AD、CF⊥AD，垂足为E、F，可得BE∥CF，又∵BC ∥AD，∴BC＝EF，BE＝CF.由题意，得EF＝BC＝3，BE＝CE＝2.∵背水坡AB的坡度i＝1∶1，∴∠BAE＝45°，∴AE＝BEtan45°＝2，DF＝CFtan30°＝23，∴AD＝AE＋EF＋DF＝2＋3＋23＝5＋23(m)．答：坝底AD的长度为(5＋23)m.方法总结：解决此类问题一般要构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】利用坡角、坡度解决三角形问题如图，某地下车库的入口处有斜坡AB，它的坡度为i＝1∶2，斜坡AB 的长为65m，斜坡的高度为AH(AH⊥BC)，为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为14°(图中的∠ACB＝14°)．(1)求车库的高度AH；(2)求点B与点C之间的距离(结果精确到1m，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25)．解析：(1)利用坡度为i＝1∶2，得出AH∶BH＝1∶2，进而利用勾股定理求出AH的长；(2)利用tan14°＝6BC＋12，求出BC的长即可．解：(1)由题意可得AH∶BH＝1∶2，设AH＝x，则BH＝2x，故x2＋(2x)2＝(65)2，解得x＝6，故车库的高度AH为6m；(2)∵AH＝6m，∴BH＝2AH＝12m，∴CH＝BC＋BH＝BC＋12m.在Rt△AHC中，∠AHC＝90°，故tan∠ACB＝AHCH，又∵∠ACB＝14°，∴tan14°＝6BC＋12，即0.25＝6BC＋12，解得BC＝12m.答：点B与点C之间的距离是12m.方法总结：本题考查了解直角三角形的应用中坡度、坡角问题，明确坡度等于坡角的正切值是解题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题三、板书设计1．方位角的意义；2．坡度、坡比的意义；3．应用方位角、坡度、坡比解决实际问题．将解直角三角形应用到实际生活中，有利于培养学生的空间想象能力，即要求学生通过对实物的观察或根据文字语言中的某些条件，画出适合他们的图形．这一方面在教学过程应由学生展开，并留给学生思考的时间，给学生充分的自主思考空间和时间，让学生积极主动地学习.【素材积累】1、不求与人相比，但求超越自己，要哭旧哭出激动的泪水，要笑旧笑出成长的性格。
九年级数学下册28.2.3解直角三角形的应用—方位角与坡度教学
（2）拦水坝横断面面积（结果保留根号）
β
α
第9页
2、如图，小岛A在港口P南偏西45°
方向，距离港口81海里处，甲船从小岛
A出发，沿AP方向以9海里/时速度驶
向港口；乙船从港口P出发，沿南偏东
60°方向，以18海里/时速度驶离港
口。已知两船同时出发。 (1)出发后几小时两船与 港口P距离相等？
第3页
一、方位角定义：
指北或指南方向线与目标方向线所 成小于90°角叫做方位角。
如：北偏东30°
北
A
30°
南偏西45° 西
O
东
45°
B
南
第4页
例1 海中有一个小岛A，它周围8海
里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航
行。在B点测得小岛A在北偏东60°方向
上，航行12海里抵达点D，这时测得小
岛A在北偏东30°方向
上，假如鱼船不改变
A
航线继续向东航行，
有没有触礁危险？
B D
第5页
二、坡度
坡角：坡面与水平面夹角叫做坡角，用字母 表示。
坡度（坡比）：坡面铅直高度h和水平距离l 比叫做坡度，用字母 i 表示，如图，坡度通常写成
i h tan 形式。
l
坡度越大
h
坡角越大
坡面越陡
l
第6页
巩固练习
1、一段坡面坡角为60°，则坡度
北 P东
(2)出发后几小时乙船在
甲船正东方向？
A
第10页
解直角三角形 ----方位角和坡度
第1页
知识回顾
1、仰角和俯角
在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线夹角叫做俯角.
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解直角三角形及其应用 ——方位角和坡度问题
在前面我们学习了直角三角形及其应用关于仰角和俯角的问题，我们在解决这类实际问题的时候，首先是要画出平面图形，然后转化为解直角三角形。那我们今天继续进行解直角三角形及其应用的学习。 现在请看问题1： 问题1：一艘轮船在大海上航行，当航行到 A 处时，观测到小岛 B 的方向是北偏西 35°，那么同时从 B 处观测到轮船在什么方向？若轮船从 A 处继续往正西方向航行到 C处，此时， C 处位于小岛 B 的南偏西 40°方向，你能确定 C 的位置吗？试画图说明． 1 当航行到 A 处时，观测到小岛 B 的方向是北偏西 35°。 由这句话知谁是坐标原点？怎样建立直角坐标系？ 生：A是坐标原点。上北下南左西又东。 2 那么同时从 B 处观测到轮船在什么方向？ 由这句话你想到什么呢？谁是坐标原点？B还需满足什么条件？在同一图形中怎样建立直角坐标系？ 生：需另建立直角坐标系。以B是坐标原点。在A的北偏西 35° 3 若轮船从 A 处继续往正西方向航行到 C处，此时， C 处位于小岛 B 的南偏西 40°方向， 师： 由这句话知轮船现在的航行路线？你能确定C的方向吗？你能确定C的具体位置吗？你是怎样想到的？ 生：往正西方向航行。B是坐标原点。正西方向与小岛B的南偏西40方向的交点，就是C点的位置。
我们经过这几个步骤，就把图形画出来了，也把这个问题解决了。 我们回过头来看看，从这个问题中我们学到了什么？ 生：将实际问题抽象为数学问题：画出平面图形，转化为解直角三角形的问题。 师：解决这个问题的关键就是能画出平面图形。平面图形一经画出，所有问题就迎刃而解了。如何画出这样的平面图形呢？ 生：1 找准坐标原点。2 能准确地确定问题中提出的各个方位。 刚才同学们总结得很好，这就是今天我们要研究的第一个问题：解直角三角形的应用——方位角的问题。出示课题。 刚才同学们都表现得非常不错，那我们再来继续下一个问题，看能不能解决呢？ 问题2 一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65°方向，距离灯塔 80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34°方向上的 B 处，这时， B 处距离灯塔 P 有多远（结果取整数）？ （1）根据题意，你能画出示意图吗？ 画出图形后，你想到什么呢？（用哪个知识点解决这个问题呢？） 生：可以用解直角三角形的知识解决问题 （2）结合题目的条件，你能确定图中哪些线段和 角？求什么？怎样求？ 师：在图上标出已知条件，需要求的量. 怎样求？抽学生回答解题思路 生：AP=80n mile; ∠APC=90-65=25; ∠A=65 ; ∠B=34;AB⊥PC。要求BP,BP在Rt⊿BPC中，而Rt⊿BPC中只知道一个角，要用三角函数求解， 就必须还要知道一条边，有图形看出只能求PC.而这条边PC就只有从另一个Rt⊿APC中得出。因为∠APC==25，AP=80n mile,所以在Rt⊿APC中，PC=AP*Cos25；BP=PC/Sin34.
追问：这是由什么想到的？ 生：由解直角三角形中边与角的关系想到的。 追问：还有其他方法吗？ 生：还有，在Rt⊿BPC中，可以用正弦求出AC,再用勾股定理求出PC. 师：你刚才为什么不用这个方法呢？ 生：太复杂了。 师：那我们在解题的时候要选用适当的锐角三角函数来解决问题了。
（3）你能写出解题过程吗（要求过程完整规范）？ 解：如图在 Rt△APC 中， PC=PA·cos（90°- 65°） =80×cos 25° ≈72.505． 在 Rt△BPC 中，∠B=34°， ∵ sin B= PC/PB ， ∴ PB =PC/SinB=PC/Sin34 ≈130（n mile）． 师：PB=130n mile是我们计算出来的答案，它符合问题实际吗？ 生：符合。 师：在我们计算出结果的时候，我们要看它是否符合问题的实际情况。不符合问题实际的结果要舍去。 （4）想一想，求解本题的关键是什么？步骤是什么呢？ 关键： 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题） 步骤： 1 画—— 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题） 2 选——根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数解直角三角形。 3 算——得到数学问题的答案。 4 验—— 得到实际问题的答案。 我们常说做一题，会一类。那就这类关于方位角的问题你学会了吗？那下面我们来检验一下自己。请大家看问题3 问题3 海中有一个小岛 A，它周围 8 n mile内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在 B 点测得小岛 A 在北偏东60°方向上，航行 12 n mile到达 D 点，这时测得小岛 A 在北偏东 30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
1 如何理解“海中有一个小岛 A，它周围 8 n mile内有暗礁，”这句话？ 怎么用数学语言描述？ 生：以A为圆心，8n mile为半径的圆面积内都有触礁的危险。 2. 渔船由 B 向东航行，它行走的轨迹是什么？ 是一条直线。 师：读到这儿，请设想一下：如果现在渔船继续往前面航行，你认为会有几种情况发生？ 生：3种 师：你能画出三种情况的示意图吗？ （请一学生上黑板板演）。 师：根据图形，你能确定哪种情况会触礁吗？ 生：能 师：你是怎么想到的呢？可以用我们原来学过的哪个知识来解释呢？ 生：直线与圆的位置关系。 师：怎样判断直线与圆的位置关系呢？ 生：比较d与r的数量关系。 师：对，我们说过，由数量关系确定图形的位置关系。 师：现在请根据题意画出平面图形。这儿怎样判断渔船行走的路线与以A为圆心，8n mile为半径的圆的位置情况呢？ 生：比较A到渔船行走路线的距离与8n mile的大小。 师：怎么作图呢？ 生：过点A做直线的垂线段。 师：依据是什么呢？ 生：垂线段最短。 你能说出渔船由 B 向东航行，到什么位置离海岛 A 最近吗？
3．最近的距离怎样求？ 师：将已知条件标在图上，看已知什么，需要求什么。 解： 设AC为x n mile 在Rt△ADC中 DC=x/tan(90-30) =x/√3 = √3x/3 BC=12+ √3x/3 在Rt△ABC中 tan(90-60)=x/12+ √3x/3 解得 x=6√3 x≈10.4 10.4>8 4．
如何判断渔船有没有触礁？ 生：如果AC（C是垂足）小于等于8n mile 那就有触礁的危险。 师：其实这儿我们又综合了直线与圆的有关知识，也就是说：就是d与r比较，d ＞ r,直线与圆相离，这时渔船不经过暗礁岛屿；d ＜ r，直线与圆相交，渔船会经过暗礁岛屿，就会触礁。 刚才我们用解直角三角形的方法在解决航海问题中的应用。我们还可以用解直角三角形的方法解决在建筑工程中的应用。我们一起来看我们遇到的实际问题： 问题4 如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD，斜面坡度 i =1 ：1.5 是指坡面的铅直高度 AF 与水平宽度 BF 的比，斜面坡度i =1：3 是指DE 与CE 的比，根据图中数据， 求： （1）坡角 α 和 β 的度数；
（2）斜坡AB 的长（结果保留小数点后一位）． 师：你能将“斜面坡度 i =1 ：1.5; 斜面坡度i =1：3”转化成几何语言吗？ 生：AF/BF=1/1.5=2/3；DE/EC=1/3 师：看到这两边的比你想到了什么？ 生：可以用解直角三角形中的正切来表示 师：你是怎样想到的？ 生：他们都是αβ的对边与邻边的比。 师：你能表示出来吗？ 生：tanα=2/3；tanβ=1/3. 师：正切和i有联系吗？ 生：有。将实际问题抽象为几何问题后，他们表达的本质是相同的，都是相同的两条直角边的比； 师：对。I是在工程的图纸中常见的表示坡度的符号，具体表示为：铅直高度与水平宽度的比。而本题中的铅直高度就是αβ的对边，水平宽度就是αβ的邻边。那这个坡度问题就转化为解直角三角形的问题了。这就是我们今天学习的另一个问题——坡度问题。 师：现在能解决这个实际问题了吗？请大家书写出规范的解答过程。 生：解：（1） AF/BF=1/1.5=2/3；DE/EC=1/3 即 tanα=2/3；tanβ=1/3. 得 α= ；β= （2）sinα=AF/AB AB=AF*sinα AB=6* 那现在看看我们用前面用解直角三角形的步骤同样适用于这儿吗？ 学生思考回答 一画？这儿已经画出了平面图形，如果没有画出来，我们就只有自己画了。 二选？也需要选择适当的锐角三角函数来解决。比如刚才我们就选择了正弦。 三算？必须要经过计算的。 四验？要看我们的数学答案是否符合我们的实际问题。 师：看来前面我们用解方位角的步骤同样适用于解决坡度问题。其实这个步骤适用于解直角三角形及其应用这节内容的所有实际问题。以后我们在解这类问题的时候都可以用这个步骤来解决。
小结 师：今天我们的课程就学到这儿了，现在我们小结一下今天的我们学习的内容。 （1）回顾利用直角三角形的知识解决实际问题的过程，你认为一般步骤是什么？关键是什么？ 生：1 画——将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题） 2 选——根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数解直角三角形。 3 算——得到数学问题的答案。 4 验——得到实际问题的答案。 我们解这类问题的关键是借助图形，将实际问题转化为解直角三角形的问题，并分析问题中的数量关系，将其归结为直角三角形中元素之间的关系。 （2）有的同学说，类似于方程、函数、不等式，解直角三角形的知识也是解决实际问题的有效数学工具，对此你有什么看法？ 生：利用解直角三角型的方法解决实际问题，也是我们常用的一种解决实际问题的数学模型思想 师：在这一章的学习中，我们主要学习了什么数学思想呢？ 生：数形结合的数学思想。
作业 教科书习题 28.2 P78 第 9、10题．