数学人教版九年级下册解直角三角形及其应用——方位角
解直角三角形及其应用
——方位角和坡度问题
在前面我们学习了直角三角形及其应用关于仰角和俯角的问题，我们在解决这类实际问题的时候，首先是要画出平面图形，然后转化为解直角三角形。那我们今天继续进行解直角三角形及其应用的学习。
现在请看问题1：
问题1：一艘轮船在大海上航行，当航行到A处时，观测到小岛B的方向是北偏西35°，那么同时从B处观测到轮船在什么方向？若轮船从A处继续往正西方向航行到C处，此时，C 处位于小岛B 的南偏西40°方向，你能确定C的位置吗？试画图说明．1当航行到A处时，观测到小岛B的方向是北偏西35°。
由这句话知谁是坐标原点？怎样建立直角坐标系？
生：A是坐标原点。上北下南左西又东。
2那么同时从B处观测到轮船在什么方向？
由这句话你想到什么呢？谁是坐标原点？B还需满足什么条件？在同一图形中怎样建立直角坐标系？
生：需另建立直角坐标系。以B是坐标原点。在A的北偏西35°3若轮船从A处继续往正西方向航行到C处，此时，C 处位于小岛 B 的南偏西40°方向，
师：由这句话知轮船现在的航行路线？你能确定C的方向吗？你能确定C的具体位置吗？你是怎样想到的？
生：往正西方向航行。B是坐标原点。正西方向与小岛B的南偏西40方向的交点，就是C点的位置。
我们经过这几个步骤，就把图形画出来了，也把这个问题解决了。
我们回过头来看看，从这个问题中我们学到了什么？
生：将实际问题抽象为数学问题：画出平面图形，转化为解直角三角形的问题。
师：解决这个问题的关键就是能画出平面图形。平面图形一经画出，所有问题就迎刃而解了。如何画出这样的平面图形呢？
生：1 找准坐标原点。2 能准确地确定问题中提出的各个方位。
刚才同学们总结得很好，这就是今天我们要研究的第一个问题：解直角三角形的应用——方位角的问题。出示课题。
刚才同学们都表现得非常不错，那我们再来继续下一个问题，看能不能解决呢？
问题2 一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的 B 处，这时， B 处距离灯塔P 有多远（结果取整数）？
（1）根据题意，你能画出示意图吗？
画出图形后，你想到什么呢？（用哪个知识点解决这个问题呢？）
生：可以用解直角三角形的知识解决问题
（2）结合题目的条件，你能确定图中哪些线段和
角？求什么？怎样求？
师：在图上标出已知条件，需要求的量.
怎样求？抽学生回答解题思路
生：AP=80n mile; ∠APC=90-65=25; ∠A=65 ; ∠B=34;AB⊥PC。要求BP,BP 在Rt⊿BPC中，而Rt⊿BPC中只知道一个角，要用三角函数求解，就必须还要知道一条边，有图形看出只能求PC.而这条边PC就只有从另一个Rt⊿APC中得出。因为∠APC==25，AP=80n mile,所以在Rt⊿APC中，PC=AP*Cos25；BP=PC/Sin34.
追问：这是由什么想到的？
生：由解直角三角形中边与角的关系想到的。
追问：还有其他方法吗？
生：还有，在Rt⊿BPC中，可以用正弦求出AC,再用勾股定理求出PC.
师：你刚才为什么不用这个方法呢？
生：太复杂了。
师：那我们在解题的时候要选用适当的锐角三角函数来解决问题了。
（3）你能写出解题过程吗（要求过程完整规范）？
解：如图在Rt△APC 中，
PC=PA·cos（90°- 65°）
=80×cos 25°
≈72.505．
在Rt△BPC 中，∠B=34°，
∵sin B=PC/PB，
∴PB =PC/SinB=PC/Sin34
≈130（n mile）．
师：PB=130n mile是我们计算出来的答案，它符合问题实际吗？
生：符合。
师：在我们计算出结果的时候，我们要看它是否符合问题的实际情况。不符合问题实际的结果要舍去。
（4）想一想，求解本题的关键是什么？步骤是什么呢？
关键：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的
问题）
步骤：
1 画——将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）
2 选——根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数解直角三角形。
3 算——得到数学问题的答案。
4 验——得到实际问题的答案。
我们常说做一题，会一类。那就这类关于方位角的问题你学会了吗？那下面我们来检验一下自己。请大家看问题3
问题3 海中有一个小岛A，它周围8n mile内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12n mile到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
1如何理解“海中有一个小岛A，它周围8 n mile内有暗礁，”这句话？
怎么用数学语言描述？
生：以A为圆心，8n mile为半径的圆面积内都有触礁的危险。
2. 渔船由B 向东航行，它行走的轨迹是什么？
是一条直线。
师：读到这儿，请设想一下：如果现在渔船继续往前面航行，你认为会有几种情况发生？
生：3种
师：你能画出三种情况的示意图吗？
（请一学生上黑板板演）。
师：根据图形，你能确定哪种情况会触礁吗？
生：能
师：你是怎么想到的呢？可以用我们原来学过的哪个知识来解释呢？
生：直线与圆的位置关系。
师：怎样判断直线与圆的位置关系呢？
生：比较d与r的数量关系。
师：对，我们说过，由数量关系确定图形的位置关系。
师：现在请根据题意画出平面图形。这儿怎样判断渔船行走的路线与以A为圆心，8n mile为半径的圆的位置情况呢？
生：比较A到渔船行走路线的距离与8n mile的大小。
师：怎么作图呢？
生：过点A做直线的垂线段。
师：依据是什么呢？
生：垂线段最短。
你能说出渔船由B 向东航行，到什么位置离海岛 A 最近吗？
3．最近的距离怎样求？
师：将已知条件标在图上，看已知什么，需要求什么。
解：设AC为x n mile
在Rt△ADC中
DC=x/tan(90-30)
=x/√3
= √3x/3
BC=12+ √3x/3
在Rt△ABC中
tan(90-60)=x/12+ √3x/3
解得x=6√3
x≈10.4
10.4>8 4．
如何判断渔船有没有触礁？
生：如果AC（C是垂足）小于等于8n mile 那就有触礁的危险。
师：其实这儿我们又综合了直线与圆的有关知识，也就是说：就是d与r比较，d＞r,直线与圆相离，这时渔船不经过暗礁岛屿；d＜r，直线与圆相交，渔船会经过暗礁岛屿，就会触礁。
刚才我们用解直角三角形的方法在解决航海问题中的应用。我们还可以用解直角三角形的方法解决在建筑工程中的应用。我们一起来看我们遇到的实际问题：
问题4
如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i =1 ：1.5 是指坡面的铅直高度AF 与水平宽度BF 的比，斜面坡度i =1：3 是指DE 与CE 的比，根据图中数据，
求：
（1）坡角α和β的度数；
（2）斜坡AB 的长（结果保留小数点后一位）．
师：你能将“斜面坡度i =1 ：1.5; 斜面坡度i =1：3”转化成几何语言吗？
生：AF/BF=1/1.5=2/3；DE/EC=1/3
师：看到这两边的比你想到了什么？
生：可以用解直角三角形中的正切来表示
师：你是怎样想到的？
生：他们都是αβ的对边与邻边的比。
师：你能表示出来吗？
生：tanα=2/3；tanβ=1/3.
师：正切和i有联系吗？
生：有。将实际问题抽象为几何问题后，他们表达的本质是相同的，都是相同的两条直角边的比；
师：对。I是在工程的图纸中常见的表示坡度的符号，具体表示为：铅直高度与水平宽度的比。而本题中的铅直高度就是αβ的对边，水平宽度就是αβ的邻边。那这个坡度问题就转化为解直角三角形的问题了。这就是我们今天学习的另一个问题——坡度问题。
师：现在能解决这个实际问题了吗？请大家书写出规范的解答过程。
生：解：（1）AF/BF=1/1.5=2/3；DE/EC=1/3
即 tanα=2/3；tanβ=1/3.
得α= ；β=
（2）sinα=AF/AB
AB=AF*sinα
AB=6*
那现在看看我们用前面用解直角三角形的步骤同样适用于这儿吗？
学生思考回答
一画？这儿已经画出了平面图形，如果没有画出来，我们就只有自己画了。
二选？也需要选择适当的锐角三角函数来解决。比如刚才我们就选择了正弦。
三算？必须要经过计算的。
四验？要看我们的数学答案是否符合我们的实际问题。
师：看来前面我们用解方位角的步骤同样适用于解决坡度问题。其实这个步骤适用于解直角三角形及其应用这节内容的所有实际问题。以后我们在解这类问题的时候都可以用这个步骤来解决。
小结
师：今天我们的课程就学到这儿了，现在我们小结一下今天的我们学习的内容。
（1）回顾利用直角三角形的知识解决实际问题的过程，你认为一般步骤是什么？关键是什么？
生：1 画——将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）
2 选——根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数解直角三角形。
3 算——得到数学问题的答案。
4 验——得到实际问题的答案。
我们解这类问题的关键是借助图形，将实际问题转化为解直角三角形的问题，并分析问题中的数量关系，将其归结为直角三角形中元素之间的关系。
（2）有的同学说，类似于方程、函数、不等式，解直角三角形的知识也是解决实际问题的有效数学工具，对此你有什么看法？
生：利用解直角三角型的方法解决实际问题，也是我们常用的一种解决实际问题的数学模型思想
师：在这一章的学习中，我们主要学习了什么数学思想呢？
生：数形结合的数学思想。
作业
教科书习题28.2P78 第9、10题．
人教版 九年级下册数学解直角三角形及其应用学案
解直角三角形及其应用 一、解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． 二、解直角三角形的应用 仰角与俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 方位角与坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；①航空领域①航海领域：①工程领域等． 知识点一、解直角三角形 例1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tan B＝． （1）求AD的长； （2）求sinα的值．
例2．如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC＝．（1）求边AC的长； （2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．
【变式训练】 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（） A．10B．8C．4D．2 2．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（） A．B．C．D．
数学人教版九年级下册解直角三角形及其应用——方位角
解直角三角形及其应用 ——方位角和坡度问题 在前面我们学习了直角三角形及其应用关于仰角和俯角的问题，我们在解决这类实际问题的时候，首先是要画出平面图形，然后转化为解直角三角形。那我们今天继续进行解直角三角形及其应用的学习。 现在请看问题1： 问题1：一艘轮船在大海上航行，当航行到A处时，观测到小岛B的方向是北偏西35°，那么同时从B处观测到轮船在什么方向？若轮船从A处继续往正西方向航行到C处，此时，C 处位于小岛B 的南偏西40°方向，你能确定C的位置吗？试画图说明．1当航行到A处时，观测到小岛B的方向是北偏西35°。 由这句话知谁是坐标原点？怎样建立直角坐标系？ 生：A是坐标原点。上北下南左西又东。 2那么同时从B处观测到轮船在什么方向？ 由这句话你想到什么呢？谁是坐标原点？B还需满足什么条件？在同一图形中怎样建立直角坐标系？ 生：需另建立直角坐标系。以B是坐标原点。在A的北偏西35°3若轮船从A处继续往正西方向航行到C处，此时，C 处位于小岛 B 的南偏西40°方向， 师：由这句话知轮船现在的航行路线？你能确定C的方向吗？你能确定C的具体位置吗？你是怎样想到的？ 生：往正西方向航行。B是坐标原点。正西方向与小岛B的南偏西40方向的交点，就是C点的位置。 我们经过这几个步骤，就把图形画出来了，也把这个问题解决了。 我们回过头来看看，从这个问题中我们学到了什么？ 生：将实际问题抽象为数学问题：画出平面图形，转化为解直角三角形的问题。 师：解决这个问题的关键就是能画出平面图形。平面图形一经画出，所有问题就迎刃而解了。如何画出这样的平面图形呢？ 生：1 找准坐标原点。2 能准确地确定问题中提出的各个方位。 刚才同学们总结得很好，这就是今天我们要研究的第一个问题：解直角三角形的应用——方位角的问题。出示课题。 刚才同学们都表现得非常不错，那我们再来继续下一个问题，看能不能解决呢？ 问题2 一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的 B 处，这时， B 处距离灯塔P 有多远（结果取整数）？
人教版九年级数学下册第2课时 与方向角、坡角有关的应用问题(教案)
第2课时与方向角、坡角有关的应用问题 【知识与技能】 进一步掌握用解直角三角形的知识解决实际问题的方法，体会方位角、仰角、俯角、坡度（坡比）的含义及其所代表的实际意义，能用它们进行有关的计算. 【过程与方法】 通过实际问题的求解，总结出用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程，增强分析问题和解决问题的能力. 【情感态度】 渗透数形结合的思想方法，增强学生的数学应用意识和能力. 【教学重点】 用三角函数有关知识解决方位角问题. 【教学难点】 学会准确分析问题，并将实际问题转化为数学模型. 一、复习回顾，新知导引 1.仰角、俯角概念； 2.方位角的意义. 【教学说明】教师提出问题顾，为后继学习作好准备. 二、典例精析，掌握新知 例1 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯
塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的B 处.这时，海轮所在的B 处距离灯塔P 有多远 (结果取整数）？ 分析与解 易知P 点正东方向与AC 具有垂直关系，即图中 PC 丄AB ，若记垂足为C ，则图中出现了两个直角三角形APC 和直角三角形BPC.而在Rt △APC 中，知AP=80，∠APC=90°-65°=25°，故 可求出线段PC 的长，即由AP PC = ∠APC cos ,得PC=AP · cos25°=80·cos25°≈72.505，因此在Rt △BPC 中，由PB PC PB =∠C cos ，得，13056cos 505.7256cos ≈︒=︒=PC PB 从而可得知海轮在B 处时距离灯塔P 约130海里. 【教学说明】本例的设计较上节课所学过的应用问题不同之处在于用其中一个直角三角形中所获得的结论来作为另一个直角三角形的条件而获得问题的解答，这正是学生感到困难的地方，因而教师应作为引导，帮助学生进行观察思考. 例2 如图，拦水坝的横断面是梯形ABCD (图中i=1:3是指坡面的铅直高度DE 与水平宽度CE 的比，也称为坡度、坡比），根据图中数据求： （1）坡角α和β； （2）斜坡AB 的长（结果保留小数点后一位）.
人教版初中数学九年级下册 例 航海——方位角【全国一等奖】
教案 课题：解直角三角形的应用举例 航海——方位角 一、教学目标 1、知识与技能：能运用解直角三角形解决航行——方位角问题； 2、过程与方法：培养学生分析问题、解决问题的能力； 3、情感态度与价值观：渗透数形结合的数学思想和方法 二、教学重、难点 1、重点：能应用解直角三角形的知识解决航海——方位角的实际问题； 2、难点：能应用解直角三角形的知识解决航海——方位角的实际问题； 三、学法与教法 1、学法：学生采用分组合作、探究、归纳与总结的学习方法； 2、教法：导引学生对问题进行分析，找出问题的关键，寻求解决问题的方法； 四、课时安排 1课时 五、授课类型 新课 六、教学过程 （一）自学反馈引入新知 1、什么叫解直角三角形 2、什么叫方向角 设计意图：通过引导学生回顾所学知，加深学生对所学知识的印象，也为学习新知识打下基础，从而引入新课。 （二）合作探索 例5如图，一艘海轮位于灯塔ile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，B处距离灯塔P有多远 解：如图，在R t△APC中， PC=PA﹒cos90°-65° =80×cos25° ≈ 在R t△APC中，∠B=34°,
)(13034sin 505.72sin ,sin mile n B PC PB PB PC B ≈==∴= 因此，当海轮到达位于灯塔P 的南偏东34°方向时，它距离灯塔P 大约130海里。 设计意图：通过设计例题，引导学生去分析问题、解决问题，让学生通过例题的讲解，在解题的思路中有解直角三角形解决航海——方向角的实际问题的思维能力。 （三）中考链接 （2022贵州铜仁市，22，10分）如图，一艘轮船航行到B 处，测得小岛A 在船的北偏东60°的方向，轮船从B 处继续向正东方向航行到200海里到达C 处时，测得小岛A 在船的北偏东30°的方向，已知小岛170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险（732.13≈ ） 设计意图：让学生会学以致用，并将所学习的知识渗透到中考中，让学生对中考中本知识点有一点的了解。 （四）课堂练习 巩固提高 一艘豪华游艇位于灯塔P 的东北方向，距离灯塔60°海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东30°方向上的B 处，则游艇行驶的路AB 为多少海里 设计意图：通过本道练习题，加深学生对本节课所学知识的印象，巩固并提高学生所学知识。 （五）学习心得 谈谈在运用解直角三角形解决“航海——方向角”时注意哪些问题 （六）课后作业 加强巩固 （2022长沙市，22，14分）为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行1小时到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上． （1）求的度数； （2）已知在灯塔的周围25海里内有暗礁，问海监船 继续向正东方向航行是否安全 设计意图：通过课后作业，加强学生对解直角三角形的实际应用，同时也能检验学生学习的情况。 七、板书设计
数学人教版九年级下册 解直角三角形的应用—方位角
解直角三角形的应用——方位角 教材分析：本节课是在学习了仰角和俯角问题的基础上，继续学习用解直角三角形的知识研究方位角问题，从而总结解决这类问题的一般步骤。通过探究在航海中确定轮船与灯塔的距离这一实际问题，引导学生理解用方位角描述具体位置，并会用直角三角形的边角关系分析问题，选择适当的三角函数解决问题，在解决问题的过程中将数形结合的思想进一步渗透，体会运用数学模型解决实际问题的作用。 学情分析： 学生已经学习了锐角三角函数，学习了仰角和俯角问题，这为本节课的学习奠定了基础。但方位角问题首先需要学生搞懂方位角的定义，在解决实际问题时，要求学生能将数形准确结合，选取适当的三角函数来表示相应的边角关系，对学生来说，要完成这一过程难度较大。 学习目标： 1.使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指那一个角。 2.巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题。
3.培养学生分析问题解决问题的能力，渗透数形结合等思想和方法。 学习重难点 重点：锐角三角函数在解直角三角形中的灵活运用 难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中的元素之间的关系，从解决问题。 教学过程： 一、情境导入：为进一步落实和完成精准扶贫工作，满 足广大人民群众修路要求。某村计划在建设区B的北偏东30°方向修一条新路，小明所在的教室A在该建设区B的正北方向240m处。如果拖拉机行驶时，150m的范围内为受其噪音影响区域，问拖拉机经过该路时，教室A是否受到噪音影响？为什么？ 设计意图:通过社会热点问题的导入，激发学习的积极性和热情学生。 关系定理或公式 三边关系 三角关系
人教版九年级数学下册-28.2.2 第3课时 利用方位角、坡度角解直角三角形【数学专题教学设计】
28.2.2 应用举例 第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形 1.如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比（坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比），坝高BC=3m ，则坡面AB 的长度是（ ） A ．9m B ．6m C ．m D ． 2.在某次海上搜救工作中，A 船发现在它的南偏西30°方向有一漂浮物，同时在A 船正东10km 处的B 船发现该漂浮物在它的南偏西60°方向，此时，B 船到该漂浮物的距离是（ ） A ．km B ．km C ．10km D ．20km 3.如图，港口A 在观测站O 的正东方向，OA=4km ，某船从港口A 出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B 处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB 的长）为（ ） A ．4km B ．km C ．km D ．+1）km 第3题图 第4题图 4.如图是拦水坝的横断面,斜坡AB 的水平宽度为12米,斜面坡度为1:2,则斜坡AB 的长为（ ） A.34米 B.56米 C.512米 D.24米 5.如图，将一个Rt △ABC 形状的楔子从木桩的底端点P 沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动．已知楔子斜面的倾斜角为15°，若楔子沿水平方向前进6cm （如箭头所示），则木桩上升了_________cm.
第5题图第6题图 7.如图,在一次数学课外活动中,小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东60°方向,办公楼B位于南偏东45°方向.小明沿正东方向前进60米到达C处,此时测得教学楼A恰好位于正北方向,办公楼B正好位于正南方向.求教学楼A与办公楼B之间的距离. 9.如图,湖中的小岛上有一标志性建筑物,其底部为A,某人在岸边的B处测得A在B的北偏
解直角三角形的应用(知识讲解)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
专题28.11 解直角三角形的应用（知识讲解） 【学习目标】 1.理解用三角函数解决实际问题的有关概念； 2.理解并解决实际问题中转化为三角函数模型解决实际问题。 【要点梳理】 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是： (1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型. (2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题. (3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 拓展： 在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： (1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式. (2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. (3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.
(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA ，OB ，OC ，OD 的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°. 特别说明： 1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图. 2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解. 3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解. 【典型例题】 类型一、解直角三角形的应用——仰角和俯角问题 1． 在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C 处测得该建筑物顶端B 的仰角为60°，沿山坡向上走20m 到达D 处，测得建筑物顶端B 的仰角为30°．已知山坡坡度3:4i =，即3tan 4 θ= ，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB ．（结果精确到0.1m ，参考数据：3 1.732≈）
新人教版数学九下优秀教案：28.2.2 第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形
28.2.2 应用举例 第3课时利用方位角、坡度解直角三角形 【学习目标】 ⑴使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角 ⑵逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法． ⑶巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题． 【学习重点】 用三角函数有关知识解决方位角问题 【学习难点】 学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型 【导学过程】 一、自学提纲： 坡度与坡角 坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比）， 一般用i表示。即ｉ＝，常写成i=1：m的形式如i=1:2.5 把坡面与水平面的夹角α叫做坡角． 结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？ 这一关系在实际问题中经常用到。 二、教师点拨： 例5如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方 向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行 一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？ 例6同学 们，如果你 是修建三 峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)
四、学生展示： 完成课本77页练习 补充练习 (1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______； ______， 坡角 ______度． 2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求： ①横断面(等腰梯形)ABCD的面积； ②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数． 五、课堂小结： 六、作业设置： 课本第78页习题28．2复习巩固第5、7题 七、自我反思： 本节课我的收获:
《解直角三角形的应用—方位角》教学设计
《解直角三角形的应用—方位角》 讲学稿 备 学 （第一步） 复习旧知 衔接铺垫 1、让同学们在练习薄上画出方向图（表示东南西北四个方向的）。 2、依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东60度、南偏东45度方向的射线 （第二步） 创设情境，导入新课 实际生活中经常遇到航海类的问题，比如要判断是否有触礁危险，搜救船如何进行搜救等，这就涉及到方位角的问题 （第三步） 出示目标 明了内容 1、使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角 2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法． 3、体会用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题，提高学生的兴趣。 教学重点、难点 学习重点：用三角函数有关知识解决方位角问题 学习难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型 自 学 (第四步) 自主学习，探究新知 （学生自学课本P25页做一做并完成下面三个任务。） 任务一： 自己画P30页第6题示意图 任务二： 组内解决上面两题 任务三：如图（1），光明中学九年级（1）班开展数学实践活动，小李沿着东西方向的公路以50 m/min 的速度向正东方向行走，在A 处测得建筑物C 在北偏东60°方向上，20min 后他走到B 处，测得建筑物C 在北偏西45°方向上，求建筑物C 到公路AB 的距离．（已知3 1.732 ） 互 学 (第五步) 对组群学 展示点拨（注：展示规则不变） 如图6-32，海岛A 的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B 处测得海岛A 位于北偏东60°，航行12海里到达点C 处，又测得海岛A 位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？ 践 学 北 北 A B C 60° 45° （1）
九年级数学下册解直角三角形的简单应用第3课时利用方位角、坡度角解直角三角形课后作业新人教版
28.2.2解直角三角形的简单应用 第3课时利用方位角、坡度角解直角三角形 知识点1:利用方位角解直角三角形 1．如图，某人从O点沿北偏东30°的方向走了20米到达A点，B在O点的正东方，且在A的正南方，则此时AB间的距离是________米．(结果保留根号) 2．(百色中考)有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里到C处，测得小岛P 在正东方向上，则A、B之间的距离是( ) A．103海里 B．(102－10)海里 C．10海里 D．(103－10)海里 3．(昭通中考)小亮一家在一湖泊中游玩，湖泊中有一孤岛，妈妈在孤岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船(如图所示)．小船从P处出发，沿北偏东60°方向划行200米到A处，接着向正南方向划行一段时间到B处．在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上，这时小亮与妈妈相距多少米(精确到1米)? (参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，2≈1.41，3≈1.73)
知识点2:利用坡度(角)解直角三角形 4．(聊城中考)河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1∶3，则AB的长为( ) A．12米 B．43米 C．53米D．63米 5．如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是________米． 6．(昆明中考)如图，为了缓解交通拥堵，方便行人，在某街道计划修建一座横断面为梯形ABCD的过街天桥，若天桥斜坡AB的坡角∠BAD为35°，斜坡CD的坡度为i＝1∶1.2(垂直高度CE与水平宽度DE的比)，上底BC＝10 m，天桥高度CE＝5 m，求天桥下底AD的长度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin35°≈ 0.57，cos35°≈ 0.82，tan35°≈ 0.70) 中档题 7．(铜仁中考)如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方
解直角三角形的应用（方位角问题）
教学设计（教案）模板
AD ≈12×1.732 =20.784 > 20 答：货轮无触礁危险。 问题2：一船向东航行，上午9:00到达灯塔C 的西南60海里的点A 处，上午10:00到达灯塔C 的正南的点B 处。 （1）画出示意图； （2）求这船的航行速度。（结果保留根号） 学生独立完成，教师巡视指导。（有困难的学生在组内寻求帮助） 三、巩固提高 中考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围 的噪音。如图，点A 是我县一中考考点，在 位于A 考点南偏西15°方向距离125米的C 点处有一消防队。在听力考试期间，消防队 突然接到报警电话，告知在位于C 点北偏东 75°方向的F 点处突发火灾，消防队必须立 即赶往救火。已知消防车的警报声传播半径 为100米，若消防车的警报声对听力测试造 成影响，则消防车必须改道行驶。试问：消防车是否需要改道行驶？说明理由. 学生黑板板演解题过程，其余学生小组合作交流。 四、课堂小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？还有哪些疑惑？ 板书设计 作业或预习 必做题 1.钓鱼岛自古以来就是中国的神圣领土，为宣誓主 权，我海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进行维权活 动，如图，一艘海监船以30海里/小时的速度向正北 方向航行，海监船在A 处时，测得钓鱼岛C 在该船 的北偏东30°方向上，航行半小时后，该船到达点B C 北 A 15° 75° F 北
处，发现此时钓鱼岛C与该船距离最短。 （1）请在图中作出该船在点B处的位置； （2）求钓鱼岛C到B处距离（结果保留根号） 选作题 A、B两市相距150千米，分别从A、B处测得国家级风景区中心C 处的方位角如图所示，风景区区域是以C为圆心，45千米为半径的圆，tanα=1.627，tanβ=1.373．为了开发旅游，有关部门设计修建连接AB两市的高速公路．问连接AB高速公路是否穿过风景区，请说明理由． 自我评价 本节课教学目标明确，重难点突出，学生合作交流比较充分，教学效果良好。组长评议或同行评议（可选多人）： 唐启锋：教学目标明确，基本功扎实。 王勇：小组合作比较充分，课堂气氛活跃。 潘玲玲：教师组织合理，教学比较流畅。 评议一单位：怀远实验中学数学组姓名：日期：
人教版初中数学九年级下册 例 航海——方位角-全国一等奖
年级 九年级 课题 解直角三角形（3） 课型 新授 教学媒体 多媒体 教 学 目 标 知识 技能 1使学生了解什么是方位角，了解方位角的命名特点，能准确找到方位角是指哪一个角； 2掌握运用解直角三角形有关知识解决关于方位角的实际问题 过程 方法 经历解直角三角形的实际应用的过程，运用转化思想，把实际问题转化为数学问题来解决，进一步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数形结合的数学思想和方法 情感 态度 渗透理论联系实际的观点，培养学生用数学的意识，感受生活与数学的密不可分 教学重点 用三角函数有关知识解决方位角问题 教学难点 学会准确分析问题，并将实际问题转化成数学模型，解决问题 教 学 过 程 设 计 教学程序及教学内容 师生行为 设计意图 一、设疑导学 提出三个问题，学生思考并回答。 二、自主探究 教材76页例5： 如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34方向上的B 处这时，海轮所在的B 处距离灯塔P 有多远 分析：1回顾方位角概念： 题中“一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65方向”是什么意思 “位于灯塔P 的南偏东34方向上”呢 2尝试画出几何图形，找出已知什么,要求什么怎么求 归纳：运用解直角三角形解决实际问题的一般步骤： （1） 将实际问题转化为数学问题； （2） 选用适当的锐角三角函数求解； （3） 求出数学问题的答案； （4） 得到实际问题的答案。 2与1相反，水平宽度BC 不变，α将随铅直高度增大而增大，tan α 也随之增大，因为tan=不变时，tan 随AB 的增大而增大 三、当堂训练 1如图，C 岛在A 岛的北偏东50°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°方向，则从C 岛看A ，B 两岛的视角∠ACB 等于__________ ． ，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B 点测得 小岛A 在北偏东60°方向上，航行12海里到达D 点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁教师提出问题，引导学生思考，总结回答，教师强调补充，引出课题 教师给出问题，引导学生阅读、思考、尝试画出几何图形，结合图形分析，小组讨论，把实际问题中的已知和求解转化为数学问题中的已知和求解。之后，学生叙述解题思路，师生交流，达成一致，教师板书规范的解题过程 师生归纳将实际问题转化为数学问题的方法 学生发言说明解 题思路 为下面应用解直角三角形知打下基础，并引出课题 通过学生亲自探究实际问题，进一步领会把实际问题转化为数学问题的方法，培养学生用数学的能力， 使学生形成方法，技能，更熟练的运用解直角三角形解决实际问题 49
九年级数学下册 28.2 解直角三角形及其应用 28.2.3 用解直角三角形解方位角、坡角的应用教案
28.2.3 用解直角三角形解方位角、坡角的应用 一、教学目标 (一)知识与技能 巩固直角三角形中锐角的三角函数，学会解关于方位角、坡度角和有关角度的问题．(二)过程与方法 逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法．(三)情感态度与价值观 培养学生用数学的意识；渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点． 二、重、难点 重点：能熟练运用有关三角函数知识． 难点：解决实际问题． 三、教学过程 (一)明确目标 讲评上课节课后作业 (二)重点、难点的学习与目标完成过程 教师出示例题． 例1 如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)． 分析：1．例题中出现许多术语——株距，倾斜角，这些概念学生未接触过，比较生疏，而株距概念又是学生易记错之处，因此教师最好准备教具：用木板钉成一斜坡，再在斜坡上钉几个铁钉，利用这种直观教具更容易说明术语，符合学生的思维特点． 2．引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形(上图 (2))．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB． 3．学生运用解直角三角形知识完全可以独立解决例1．教师可请一名同学上黑板做，其余同学在练习本上做，教师巡视．
答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米． 教师引导学生评价黑板上的解题过程，做到全体学生都掌握． 例2 如图6-30，沿AC方向开山修渠，为了加快施工速度，要从小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=52cm，∠D=50°，那么开挖点E离D多远(精确到0.1m)，正好能使A、C、E成一条直线？ 这是实际施工中经常遇到的问题．应首先引导学生将实际问题转化为数学问题． 由题目的已知条件，∠D=50°，∠ABD=140°，BD=520米，求DE为多少时，A、C、E在一条直线上。 学生观察图形，不难发现，∠E=90°，这样此题就转化为解直角三角形的问题了，全班学生应该能独立准确地完成． 解：要使A、C、E在同一直线上，则∠ABD是△BDE的一个外角． ∴∠BED=∠ABD-∠D=90°． ∴DE=BD·cosD=520×0.6428=334.256≈334.3(m)． 答：开挖点E离D334.3米，正好能使A、C、E成一直线， 提到角度问题，初一教材曾提到过方位角，但应用较少．因此本节课很有必要补充一道涉及方位角的实际应用问题． 补充题：正午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？(精确到1分)． 学生虽然在初一接触过方位角，但应用很少，所以学生在解决这个问题时，可能出现不会画
人教版九年级下册数学22 利用方位角、坡度角解直角三角形教案与反思
28.2.2 应用举例 工欲善其事，必先利其器。《论语·卫灵公》 原创不容易，【关注】店铺，不迷路！ 第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形 1．知道测量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度与坡角的关系；(重点) 2．能够应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题．(难点) 一、情境导入 在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度(h )和水平长度(l )的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i ，即i ＝h l . 坡度通常写成1∶m 的形式，如i ＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i ＝h l ＝tan α.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．我们这节课就解决这方面的问题． 二、合作探究 探究点一：利用方位角解直角三角形 【类型一】 利用方位角求垂直距离 如图所示，A 、B 两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB )，经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，100km 为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：3
≈1.732，2≈1.414)． 解析：过点P作PC⊥AB，C是垂足．AC与BC都可以根据三角函数用PC表示出来．根据AB的长得到一个关于PC的方程，求出PC的长．从而可判断出这条高速公路会不会穿越保护区． 解：过点P作PC⊥AB，C是垂足．则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.∵AC＋BC＝AB，∴PC·tan30°＋PC·tan45° ＝200，即 3 3 PC＋PC＝200，解PC≈126.8km＞100km. 答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区． 方法总结：解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第1题 【类型二】利用方位角求水平距离 “村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步伐．如图所示，C村村民欲修建一条水泥公路，将C村与区级公路相连．在公路A处测得C村在北偏东60°方向，沿区级公路前进500m，在处测得C村在北偏东30°方向．为节约资源，要求所修公路长度最短．画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度．(结果保留整数)
人教版九年级数学下册教案28.2 解直角三角形及其应用 第2课时 与方向角、坡角有关的解直角三角形应用题
第2课时与方向角、坡角有关的解直角三角形应用题 1.能运用解直角三角形解决航行问题. 2.能运用解直角三角形解决斜坡问题. 3.理解坡度i=坡面的铅直高度 坡面的水平宽度 =tan坡角. 阅读教材P76，自学“例5”和“归纳”，掌握利用解直角三角形的知识解决方位角的实际问题. 自学反馈独立完成后小组内交流 ①利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是: a.将实际问题抽象为数学问题，画出图形，转化为解的问题； b.根据条件的特点，适当地选用去解直角三角形； c.得到数学问题的答案； d.最后得到问题的答案. ②已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西40°，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的方向. 活动1 小组讨论 例1如图，海中一小岛A，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？ 解:如图,过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.
在Rt△ABD中,∵tan∠BAD=BD AD , ∴BD=AD·tan55°. 在Rt△ACD中,∵tan∠CAD=CD AD , ∴CD=AD·tan25°. ∵BD=BC+CD, ∴AD·tan55°=20+AD·tan25°. ∴AD= 20 5525 tan tan ︒-︒ ≈20.79>10. ∴轮船继续向东行驶,不会遇到触礁危险. 应先求出点A距BC的最近距离，若大于10则无危险，若小于或等于10则有危险. 活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果) 如图所示，A、B两城市相距100 km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB).经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50 km为半径的圆形区域内，请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什么？(参考数据:3≈1.732,2≈1.414) 解这类题目时，首先弄清楚方位角的含义；其次是通过作垂线构造直角三角形，将问题转化为解直角三角形. 阅读教材P77练习2，自学关于坡度的问题，弄懂坡度与坡角的实际意义，理解铅垂高度与水平宽度的实际意义. 自学反馈独立完成后小组内交流 ①拦水大坝的横断面为梯形，其中坡度i是指与的比，这个值与坡角的值相等. ②坡度i一般写成1∶m的形式，坡度i的值越大，表明坡角越，即坡越陡.
九下数学8.2.3用解直角三角形解方位角、坡角的应用学习型教学案
九下数学8.2.3用解直角三角形解方位 角、坡角的应用学案 本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址28.2.3 用解直角三角形解方位角、坡角的应用学案 一、新课导入 .课题导入 情景：如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？ 问题：怎样由方向角确定三角形的内角？ 2.学习目标 （1）能根据方向角画出相应的图形，会用解直角三角形的知识解决方位问题. （2）知道坡度与坡角的含义，能利用解直角三角形的知识解决与坡度有关的实际问题. 3.学习重、难点 重点：会用解直角三角形的知识解决方向角、坡度的相关问题. 难点：将实际问题转化为数学问题（即数学建模）. 二、分层学习
第一层次学习 .自学指导 （1）自学内容：教材P76例5. （2）自学时间：10分钟. （3）自学方法：独立探索解题思路，然后同桌之间讨论，写出规范的解题过程. （4）自学参考提纲： ①如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？=80×cos25°≈72.505（nmile）. 在Rt△BPc中，∠B=34°,PB=≈130（nmile）. ②如图，海中有一个小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°的方向上，又继续航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°的方向上，如果渔船不改变航向继续向东航行，有没有触礁的危险？ 解：过A作AE⊥BD于 E.由题意知：∠ABE=30°,∠ADE=60°. ∴∠BAD=60°-30°=30°=∠ABD.∴AD=BD=12. ∴AE=AD•sin60°=12×= ＞8海里.
九年级数学-解直角三角形及其应用
第26讲 解直角三角形及其应用 知识导航 1．在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求其他所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 2．直角三角形边角之间的关系：Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有：(1)a 2 ＋b 2 ＝c 2 ；(2)∠A ＋∠B ＝90°；(3)sin A ＝cos B ＝ a c ，cos A ＝sin B ＝ b c ，tan A ＝a b ，tan B ＝b a ． 3．解直角三角形实际应用时常用的概念：(1)仰角、俯角；(2)方向角；(3)坡角、坡度． 【板块一】解直角三角形及实际应用 方法技巧 1．灵活运用边角关系求边与角； 2．若所求解的直角三角形“不可直接解”，应注意设元，借助方程来解决； 3．如果图形中没有直角时，要添加垂线将其转化为直角三角形求解． ▶题型一 可直接解直角三角形 【例1】在△ABC 中，∠C ＝90°，根据下列条件解直角三角形： (1)c ＝2，∠A ＝30°； (2)a ＝ b ＝9； (3)∠A ＝2∠B ， c －b ＝4． 【解析】(1)∵∠A ＝30°，∠B ＝60°．∴a ＝c sin ∠A ＝2× 1 2 ＝1．b ＝c cos ∠A ＝2 (2)由勾股定理得c ＝ tan ∠A ＝a b ．∴∠A ＝30°．∴∠B ＝90°－∠ A ＝60°． (3)∵∠A ＝2∠B ，∠A ＋∠B ＝90，∴∠A ＝60°，∠B ＝30°．∴c ＝20，c －b ＝4．∴b ＝4，c ＝8．∴a ＝ 【点评】在已知条件中，如有针边，用正弦或余孩，无针边时用正切，求边时，要灵活运用三角函教和勾股定理． ▶题型二 “不可直接解直角三角形”——设元、借助方程求解 【例 2】如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，∠A ＝90°，∠B ＝120°，AD AB ＝6，点E 是边AB 上一动点，且∠DEC ＝120°，求AE 的长． 【解析】过点C 作CH ⊥AB 交AB 的延长线于点H ，则CH ＝AD ∵∠ABC ＝120°，∴∠CBH ＝60°，∴BH ＝ tan CH CBH ∠＝1，BC ＝cos CH CBH ∠＝2，又AB ＝6,∴CD ＝AH ＝7．易证△BCE ∽△ED C ．∴BE EC ＝CE DC ， ∴CE 2 ＝BE ·DC ，设BE ＝x ．∴CE 2 ＝7x ．在Rt △CEH 中，CE 2 ＝EH 2 ＋CH 2 ＝(x ＋1)2 ＋ 2 ＝7x ，∴解得x ＝1或4．当x ＝1时，AE ＝5；当x ＝4时，AE ＝2．∴AE 的长为5或2． ▶题型三 “化斜为直“解斜三角形 【例3】在△ABC 中，AB ＝8，∠ABC ＝30°，AC ＝5，求BC 的长． E D C B A H A B C D E
新人教版九年级下册初中数学 课时3 方向角、坡度问题 教案(教学设计)
第二十八章锐角三角函数 28.2 解直角三角形及其应用 28.2.2 应用举例 课时3 方向角、坡度问题 【知识与技能】 1.了解方位角等有关概念,能准确把握所指的方位角是指哪一个角. 2.了解坡度、坡角的有关概念,知道坡度与坡角之间的关系. 3.经历对实际问题的探究,会利用解直角三角形的知识解决有关方位角、坡度、坡角的实际问题. 【过程与方法】 1.通过探究从实际问题中建立数学模型的过程,发展学生的抽象概括能力,提高应用数学知识解决实际问题的能力. 2.通过将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系,增强应用意识,体会数形结合思想的应用. 3.体验用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题的策略和方法,培养学生分析问题和解决问题的能力,提高学生思维能力的灵活性. 【情感态度与价值观】 1.通过根据实际问题画示意图的过程,培养学生的动手能力,激发学生对数学的好奇心和求知欲. 2.在运用三角函数知识解决问题的过程中,认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点,体会数学的应用价值. 3.通过将实际问题转化为数学问题,培养建模思想,体会数形结合思想在数学中的应用,培养学生良好的学习习惯. 用三角函数有关知识解决方位角、坡度、坡角等有关问题.
准确分析问题并将实际问题转化成数学模型. 多媒体课件. 导入一: 【复习提问】 1.在练习本上画出方向图(表示东南西北四个方向的). 2.依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方向的射线. 【师生活动】学生动手画图,小组内交流答案,教师巡视过程中发现学生易犯错误,作出点评. 导入二: 如果你是修建三峡大坝的工程师,现在有这样一个问题请你解决:如图,水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高23m,斜坡AB的坡度i=1∶3,斜坡CD的坡度i=1∶2.5,求斜坡AB的坡角α,坝底宽AD和斜坡AB的长. 【师生活动】教师课件展示实际问题,学生审题,面对学生对没学过的概念的疑惑,教师导出本节课课题. [过渡语]在这个实际问题中,什么是坡度、坡角?如何解决这个实际问题?这就是我们这节课要学习的内容. [设计意图]通过复习有关方位角的概念,为本节课探究例题做好铺垫.以有关斜坡问题的生活实例导入新课,让学生体会数学在生活中无处不在,同时激发学生的好奇心和求知欲. 一、探究一 如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯塔80nmile的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这
人教版九年级数学下册教案：28.2 解直角三角形及其应用
28．2解直角三角形及其应用 28．2.1解直角三角形 出示目标 1．了解什么叫解直角三角形． 2．掌握解直角三角形的根据． 3．能由已知条件解直角三角形． 预习导学 阅读教材P72－73，自学“探究”与“例1”，弄清楚直角三角形的元素，掌握解直角三角形的方法． 自学反馈 学生独立完成后集体订正 ①在直角三角形中，由已知元素求其余未知元素的过程叫做解直角三角形． ②直角三角形中的边角关系： 三边之间的关系a2＋b2＝c2； 两锐角之间的关系∠A＋∠B＝90°； 边与角之间的关系：sin A＝a c，cos A＝ b c，tan A＝ a b， sin B＝b c，cos B＝ a c，tan B＝ b a. ③在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知∠A与斜边c，用关系式∠A
＋∠B ＝90°求出∠B ，用关系式sin A ＝a c 求出a. 教师点拨：弄清楚直角三角形五元素之间的数量关系是解直角三角形的关键． 合作探究1 活动1 小组讨论 例1 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝0.832 8，b ＝0.295 4，解这个直角三角形． 解：∵sin B ＝b c ＝0.295 40.832 8≈0.3547，∴∠B ≈20°46′，∠A ＝90° －∠B ＝90°－20°46′＝69°14′，∵tan A ＝a b ，∴a ＝b·tan A ＝0.295 4tan 69° 14′≈0.779. 教师点拨：直角三角形除直角外的其他五个元素中，已知其中任何两个元素(必有一边)，即可求出其他三个元素． 活动2 跟踪训练(独立完成后小组内交流并展示) 1．如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，AB ＝10，∠A ＝30°，则BC 的长为 5 . 第1题图 第2题图 2．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，cos C ＝35，AC ＝5a ，则△ABC 的面积用含a 式子表示是 14a 2 .