数学变式训练
高中数学解题教学中的变式训练
浅谈高中数学解题教学中的变式训练摘要：面对紧张的高考压力，高中数学教学面临着巨大的挑战。
解题教学成为了数学课堂的主要内容，而变式训练不仅能够减轻学生负担，还能提高数学课堂的教学效率。
如何做好高中数学课堂的变式练习，值得每一位高中数学老师研究和探讨。
关键词：高中数学；解题教学；变式训练数学是人类活动的基本工具，学好数学也是社会对人才的基本要求。
因此，提高数学课堂的有效性十分必要。
变式训练时数学教学中普遍采用的教学手段，也是行之最为有效的教学手段。
高中数学课堂就可以利用变式训练来加强学生数学能力的提高，而数学解题能力是学生数学能力的重要表现方面，通过合理的变式训练，学生的解题能力能够有一个质的飞跃。
1.变式训练的意义所谓数学变式训练是指在数学教学过程中对概念、性质、定理、公式以及问题，从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景做出改变，使其条件或结论的形式（或内容）发生变化，而本质特征却不变，也就是所谓的万变不离其宗。
数学习题的变式训练可以通过一题多变、一题多解、多题归一等形式进行。
1.1.变式训练可以适当前减轻学生的学习负担。
大量的练习是培养数学解题思路和提高数学成绩的主要方式，这就造成“题海战术”的普及。
这其实是一个误区，数学学习需要练习，但这并不意味着大量的练习就能使学生很好地掌握数学知识和数学方法。
数学学习的本质是对概念的理解和方法的运用，而变式训练则能满足数学学习的要求。
变式训练中的引申题目一般都是老师根据课堂基本题目精心挑选出来的，而且两者之间存在共通之处，也存在差异之处，对学生解题思路的培养有很大帮助。
因此说，变式练习并不等同于“题海战术”，相反，它在一定程度上减少了学生的学习负担，有一种事半功倍的效果。
1.2.变式训练可以提高教师课堂教学效率。
变式训练通常是老师根据已经讲解的基础例题，引出多个同类型、同解法、同思维的变式题目来加强学生们对数学知识的掌握。
这看上去增大了课堂的容量，但事实却并非如此。
浅谈变式训练在初中数学教学中的应用
浅谈变式训练在初中数学教学中的应用
◆ 赵 淑英
（ 兰州市西固区庄浪路第一学校）
【 摘要】 在 初 中数 学教 学 中 ， 常 常会 发 现 许 多 学 生做 题 往 往 停 留于 机械 模 仿 ， 不会独立思考 ， 当 问题 的形 式 或 题 目稍 加 变 化 ， 就 束手无 策。 如 果在 数 学教 学 中运 用 变 式训 练 的 方 法 ， 引导 学 生扩 展 思路 ， 开 阔视 野 ， 既 活 跃 课 堂 气氛 ， 又 牢 固掌 握 了知 识 和 方 法 ， 使 数 学 变的 生动 有
法 求得相 同结果的思维过程． 适 当的一题 多解 ， 可 以沟 通知识 间的联系 ， 帮 助学生加深对所学知识的理解 ， 促进思维 的灵活性 ， 提 高解决 问题 的能 力， （ ２ ） 当直线 ＭＮ绕点 ｃ旋转到图 ２的位置时 ， 求证 ： Ｄ Ｅ：Ａ Ｄ—Ｂ Ｅ； 让学生 品尝到学 习成功的快乐． （ ３ ） 当直线 ＭＮ绕点 ｃ旋转到图 ３的位 置时 ， 试问Ｄ Ｅ、 Ａ Ｄ、 Ｂ Ｅ具有怎 如 图： 已知 Ａ Ｂ＝Ａ Ｃ，延长 Ａ Ｂ到 Ｄ， 使 Ｂ Ｄ＝Ａ Ｂ， Ｅ为 Ａ Ｂ的 中点 ， 求 样 的等量 关系？ 请写出这个等 量关系 ， 并加以证 明。 证： Ｃ Ｄ：２ Ｃ Ｅ ．
趣， 激发 了学生的情趣 ， 有利于培养学生的数 学能 力， 提 高 了应 变能力， 这也是 当前教 改要研 究的
培养和发展学生的数学思 维是 新课程 理念下 的重要 目标 。如 何培 养
学 生 良好 的数 学 思 维 呢 ？ 经 过 教 学 实 践 发 现 ， 合 理 利 用 变式 训 练 能 有 效 激 活学生数学思维。
所谓变式训练就是保持原 命题 的本质 不变 ， 不 断变换 原命题 的条件 、
高一数学教材习题变式训练(数列)
数学教材习题变式训练（数列）一、有关通项问题1、利用11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求通项．（北师大版第20页习题5）数列{}n a 的前n 项和21n S n =+．（1）试写出数列的前5项；（2）数列{}n a 是等差数列吗？（3）你能写出数列{}n a 的通项公式吗？ 变式题1、设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，求数列}{n a 的通项公式；解：（1）：当;2,111===S a n 时 ,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列. 变式题2、数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，113n n a S +=，n =1，2，3，……，求a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式．解：（I ）由a 1=1，113n n a S +=，n=1，2，3，……，得 211111333a S a ===，3212114()339a S a a ==+=，431231116()3327a S a a a ==++=，由1111()33n n n n n a a S S a +--=-=（n ≥2），得143n n a a +=（n ≥2），又a 2=31，所以a n =214()33n -(n ≥2),∴ 数列{a n }的通项公式为21114()233n n n a n -=⎧⎪=⎨⎪⎩≥变式题3、已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈， 证明数列{}1n a +是等比数列．解：由已知*15()n n S S n n N +=++∈可得12,24n n n S S n -≥=++两式相减得()1121n n n n S S S S +--=-+即121n n a a +=+从而()1121n n a a ++=+当1n =时21215S S =++所以21126a a a +=+又15a =所以211a =从而()21121a a +=+故总有112(1)n n a a ++=+，*n N ∈又115,10a a =+≠从而1121n n a a ++=+即数列{}1n a +是等比数列；2、解方程求通项：（北师大版第17页习题3）在等差数列{}n a 中，（1）已知812148,168,S S a d ==求和；（2）已知658810,5,a S a S ==求和；(3)已知3151740,a a S +=求.变式题1、{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于（A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670 分析：本题考查等差数列的通项公式，运用公式直接求出. 解：1(1)13(1)2005n a a n d n =+-=+-=，解得669n =，选C点评：等差等比数列的通项公式和前n 项和的公式是数列中的基础知识，必须牢固掌握.而这些公式也可视作方程，利用方程思想解决问题. 3、待定系数求通项：写出下列数列{}n a 的前5项：（1）111,41(1).2n n a a a n -==+> 变式题1、已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ 求数列{}n a 的通项公式；解：*121(),n n a a n N +=+∈ 112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列． 12.n n a ∴+=即 *21().n n a n N =-∈ 4、由前几项猜想通项：（北师大版第8页习题1）根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式.变式题1、如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推.设由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数为n a ，（1） （4） （7） （ ） （ ）则6a = ；345991111a a a a +++⋅⋅⋅+＝.解：由图可得：22(1)n a n n n n n =+-=+，所以642a =；又211111(1)1n a n n n n n n ===-+++ 所以345991111a a a a +++⋅⋅⋅+=1111111197()()()3445991003100300-+-++-=-= 变式题2、（北师大版第9页习题2）观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交，交点的个数最多是（ ），其通项公式为 . A ．40个 B ．45个 C ．50个 D ．55个解：由题意可得：设{}n a 为n 条直线的交点个数，则21a =，1(1),(3)n n a a n n -=+-≥，因为11n n a a n --=-，由累加法可求得：(1)12(1)2n n n a n -=+++-=，所以10109452a ⨯==，选B.二、有关等差、等比数列性质问题1、（北师大版第31页习题3）一个等比数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为（ ）A ．83B ．108C ．75D ．63变式题1、一个等差数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为 。
论数学教学中的变式训练
次不等式 x2 (k + 4)x + 8 > 0的解集为{x∣x
≠ 2 2 ,x∈R}?( k= 4 2 4 ) 分析 四题都是围绕同一个二次多项式,
从不等式,方程,函数三个角度进行变式,变 式 1,2 均是利用 ＜0 ,变式 3,4 均是在变式 1,2 的基础上进一步考察满足一个交点时对 应点的取值.四题形式上是等价的,从本质上 说都是考察对方程判别式求解的掌握.
常见的定义,所谓数学变式训练,即是指 在数学教学过程中对概念、性质、定理、公 式,以及问题从不同角度、不同层次、不同 情形、不同背景做出有效的变化,使其条件 或结论的形式或内容发生变化,而本质特征 却不变.也就是所谓“万变不离其宗”.此定 义重在强调“形变质不变”.而本文所说的 变式训练,从广义的角度,不仅是在形式方面, 而且包括对本质的变化,只要这些变化的目 的是使学生能更加深入数学问题的本质属 性,那么它都属于 变式 训练的范畴.因此,对 那些形式相似,而质不同的题型的训练,也属 于变式训练的一种.对变式训练的类型在此 大致分为,等价变 式, 推广变式,开放变式及 形似质变四种. 2 数学教学中不同类型的变式训练对思维 能力的培养 2.1 在等价变式中培养学生的概括能力
·1 2·
论数学教学中的变式 训练
福建师范大学数计学院 王秀桦 潘 飚
数学教学的各个环节,都是把培养和发 展学生的思维能力作为主要的目标.变式训 练是提高学生的发散思维能力,化归及迁移 等思维能力的有效方法之一.数学教学改革 专家顾泠沅创立的青浦四条经验中,其中一 条“组织好课堂层次序列,进行变式教学”, 就强调了变式训练的重要性.运用变式教学 和训练可以提高数学题目的利用率,提高教 学效率,起到综合运用知识,有效培养学生综 合思维能力,充分理解数学本质属性的作用. 这同时也符合新课程标准的基本理念.因此 变式训练这种传统的教学方式在新课改下 同样应予以加强与推广. 1 变式训练的内涵及类型
初中数学变式习题的设计
数学变式习题的设计习题是训练学生的思维材料，是教师将自己的思想、方法以及分析问题和解决问题的技能技巧施达于学生的载体。
要想不被千变万化的表象所迷惑，抓住本质的东西，变式教学是一种有效的办法。
通常可以利用习题变式训练学生的思维，使学生在多变的问题中受到磨练，举一反三，加深理解。
如将练习中的条件或结论做等价性变换，变更练习的形式或内容，形成新的练习变式，可有助于学生对问题理解的逐步深化。
下面本人结合理论学习和数学课堂教学的实践，谈谈在数学教学中如何进行变式训练培养学生的思维能力。
一、利用变式来改变题目的条件或结论，培养学生转化、推理、归纳、探索的思维能力。
（一）、一题多问，通过变式培养学生的创新意识和探究、概括能力牛顿说过：“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。
”中学生的想象力丰富，因此，可以通过例题所提供的结构特点，鼓励、引导学生大胆地猜想，以培养学生的创造性思维和发散思维。
例题1．如图（1）已知△ABC中，∠BAC的平分线与边BC和外接圆分别相交于点D和E.求证：△ABD∽△AEC此题是很简单的证明题，将图形变式，添加切线BF，则可变为：[变式训练]1. 如图（2）已知△ABC中，∠BAC的平分线与边BC和外接圆分别相交于点D和E.过B作⊙O的切线交CE延长线与F点.求证：CE:BC=BF:CF本题需证△BEF∽△CBF,若将条件进一步发展，延长AD交BF于N，则有：2. 如图（3）已知△ABC中，∠BAC的平分线与边BC和外接圆分别相交于点D和E.过B作⊙O的切线交CE延长线于F点,交AE延长线于N点.求证：BN·DE=BD·EN本题需证BE平分∠FBC和△ABD∽△CDE，并借助中间比推证，若再将F为BF、CE交点改为F是由C点作切线BN垂线的垂足，则又变为：3. 如图（4）已知△ABC中，∠BAC的平分线与边BC和外接圆分别相交于点D和E.过B作⊙O的切线交AE延长线于N点,作EF⊥BN.求证：BN·DE=BD·EN本题关键是证BE 平分∠FBC （1） （2） （3） （4）这一组变式训练将问题的条件适当发展，或增添新的条件，不断推出新的结论，能引导学生层层递进，积极探索，深化认识。
初中数学教材变式题
变式题1、原题： 计算：2)32(-．（9年级上册P5第2（4）题）变式1 填空： 94= ，412= ．变式2 当x 时，式子231-x 在实数范围内有意义？变式3 若23-n 是整数，求正整数n 的值（至少写出3个）． 变式4 是否存在正整数n ，使得231+n 是有理数？若存在，求出一个n 的值；若不存在，说明理由．2、原题： 四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点，∠AEF = 90︒，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ．求证：AE = EF ．（提示：取AB 的中点G ，连结EG ）（8年级下册P122页第15题）变式1 连结AC ，则点A 、E 、C 、F 四点在一个圆上（利用圆周角的性质，结论AE = EF 立即自明）．变式2 连结AH ，则AH = AB + CH ，∠BAE =∠EAH ．变式3 如图，设E 是边BC 上的任意一点，① AE ⊥EF ，② CF 是正方形外角的平分线，③ AE = EF ．则可得 ①② ⇒ ③，①③ ⇒ ②，②③ ⇒ ①，共三个命题，不难证明它们都是正确的．变式4 如图，E 是正方形ABCD 中BC 边上的任意一点，连结AE ，过E 作EF ⊥AE 交CD 于H ，设∠BAE = α，∠EAH = β．求tan α + tan β 的值．变式5 如图，正三角形ABC 中，E 是BC 边（不含端点B 、C ）上任意一点，D 是BC 延长线上一点，F 是∠ACD 的平分线上一点．（1）若∠AEF = 60°，求证：AE = EF ；（2）若将题中的“正三角形ABC ”改为“正多边形A n B n C n D n …X n ”，其它条件不变，请你猜想：当∠A n E n F n= °时，结论A n E n = E n F n 仍然成立？（直接写出答案，不需要证明）︒⨯-1802nn 变式6 如图，矩形ABCD 中（AB ＜BC ），E 是边BC 上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90︒，使EF 交矩形的外角平分线CF 于点F ．（1）试问边BC 上是否存在点E ，使得EF = AE ？说明理由；（2）试探究点E 在边BC 的何处时，使得1=-ABBCAE EF 成立？E α β DA B C HH C E D A B F FD BE C A AB C E FD3、原题：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边OC 在x 轴上，边OA 在y 轴上，点D 在边OC 上，将△DBC 沿BD 所在的直线翻折，使点C 落在对角线OB 上的点E 处，直线BD 交y 轴于点F ，线段OA 的长是04822=-+x x 的一个根，且53=∠ABO Sin . 请解答下列问题： （1）求点B 的坐标；（2）求直线BD 的解析式； （3）在x 轴上是否存在一点P ，使△APO 与△AOB 相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
专题31 对角互补模型-2023年中考数学总复习真题探究与变式训练(全国通用,含解析)(原卷版)
模块二常见模型专练专题31 对角互补模型例1（2021·安徽安庆·中考真题）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN 与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（ ）A．4B．3C．2D．1例2（2022·贵州遵义·统考中考真题）探究与实践“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．提出问题：如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．探究展示：如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（依据1）点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）点，在点，，所确定的上（依据2）点，，，四点在同一个圆上(1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？依据1：__________；依据2：__________．(2)图3，在四边形中，，，则的度数为__________．(3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，．①求证：，，，四点共圆；②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．例3（2020·湖南益阳·统考中考真题）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形中，是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？（2）如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，，点到直线的距离为．①求的长．②若、分别是、边上的动点，求周长的最小值．对角互补模型特指在四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。
解题变式训练 学生创新思维的摇篮——例说数学课堂中创新思维的培养
进行 变式训 练 ， 以此来强化 核心概念 ： 二次 函数 的值 域 和二 次 根式 的定 义域 ． 变式 ２ 当 ｔ ｏ ｏ＋１ 时 ， Ｙ的最小 值． ， Ｅ［ ］ 求 分析 当 ｔ ａ ０＋１ 时 ， Ｅ［ ， ］ 因为 ａ的变 化 ， 以函数 所
的是 在 数 学 课 堂 上 ， 子 的创 新 思 维 得 到 了 发 展 和 训 练 ， 孩 其
分 数（＝ ＋ ）÷ ｔ［２ １１ 析函 ｇ）（÷ 在 一 一 － ｔ ｚ ＋ ｅ ，］ ＿
是减 函数 ， 当 ｔ 一 时 ，（） 得最 小值为 ｌ 故 ＝ １ ｇ ｔ取 ， Ｙ的最小值
为１ ．
值为 ，取得最小值为 ． ÷ Ｙ 因为 一 ∈ 一 ，］所以Ｙ ÷ ［ １１ ，
可 以取 得 最 小 值．
＋＊ ） 函数 在 ｔ ， ∈（一＊ ， ］ 一１ 上是 减函数 ， ｔ ０， 在 ∈［ ＋。）
上是增 函数 ， 故在 ｔ ＝一１ ｔ ０处 Ｙ取 得最 小值为 ０ 或 ： ． 设计意 图 进行 函数的 变换 ， 使学 生感 受 到变 换可 以
知识成果 的传播再现 ， 虽不 具有首创性 ， 但可 以在再发 现过
取 最 值 ÷，此） 最 值 孚 得 小 为 因 ， 小 为 ． 的
（ ） ｔ 一２ 一１ 时 ， ３ 当 ｅ［ ， ］ 又会 怎样 呢？
程中有 效地 培养学生 的创新思 维．
数学被那么多的儿 童所 喜爱 是有 原 因的 ， 中最重要 其
２０ ０ ８年 第 １ Ｏ期
中 学教 研 （ 学 ） 数
・５ ・
解 题 变 式 训 练
— —
学 生 创 新 思 维 的 摇 篮
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数学变式训练激活学生思维松江二中（集团）初级中学刘艳杰《上海市中小学数学课程标准》中指出：“数学素养是人们通过数学教育以及自身的实践和认识活动，所获得的数学基础知识、基本技能、数学思想和观念，以及由此形成的数学思维品质和解决问题能力的总和。
数学课程及其教学，不仅要关注学生对数学知识、技能、思想方法的掌握，关注其数学能力的发展，而且要有助于学生理解数学的社会价值，领略数学文化的内涵，体验数学的思维方式和方法，形成良好的数学思维品质，促使学生的数学素养得到全面提高。
”可见，培养和发展学生的数学思维是新课程理念下的重要目标。
如何培养学生良好的数学思维呢?经过教学实践发现，合理利用变式训练能有效激活学生数学思维。
那么，什么是数学变式训练呢？所谓数学变式训练,即是指在数学教学过程中对概念、性质、定理、公式,以及问题从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景做出有效的变化,使其条件或结论的形式或内容发生变化,而本质特征却不变.也就是所谓“万变不离其宗”.变式训练是提高学生的发散思维能力,化归、迁移思维能力和思维灵活性的有效方法之一.数学教学改革专家顾泠沅创立的青浦四条经验中,其中一条“组织好课堂层次序列,进行变式教学”,就强调了变式训练的重要性.运用变式训练可以提高数学题目的利用率,提高教学有效性,起到综合运用知识,有效培养学生综合思维能力,充分理解数学本质属性的作用.这同时也符合新课程标准的基本理念.下面结合课堂教学实践谈谈在数学教学中如何运用变式训练，激活数学思维。
一、概念的变式训练数学思维能力的发展离不开数学概念的形成，尤其是对概念的内涵和外延的理解。
因而在概念形成过程中的训练主要是通过多方面呈现概念的外延和触及一些“貌似神离”的情况，以便突出概念的内涵，使学生能深刻、准确地理解掌握概念。
如在学习平方根的概念时，可以设计这样的变式训练，例题：16的平方根是。
此例题主要是让学生理解、掌握平方根的概念。
但本节课还介绍了“正的平方根，负的平方根这两个概念，学生在刚刚学习这几个概念时，往往区分不开，为了让学生加深对几个概念的理解，我在例题的基础上设置了变式1，变式1：16的正的平方根是。
16的负的平方根是。
通过这个变式1和例题的对比学生可以很清晰的理解几个概念的联系和区别，加深对概念的内化理解。
在平方根这节课的教学时，还介绍了平方根、正的平方根、负的平方根的符号表达式，但在应用时学生对符号式和文字表达理解不够深刻，往往到初三复习时还会出现理解错误，因此在变式1的基础上我又出示了变式2，变式2：16的正的平方根是。
学生在解决变式2时出错率很高，他们把此题错误的理解成“求16的正的平方根，得到的答案多数为4”，这正是学生没有理解好符号与文字表达的关系的具体体现。
在学生出错的基础上讲解，此题要经过两次运算，先算16等于4，再算4的正的平方根等于2。
学生听完讲解恍然大悟，理解了自己出错的真正原因，加深了对符号表达和概念的理解。
接下来，为了锻炼学生对概念的灵活掌握和应用，培养学生逆向思维的能力我又设置了下面的变式，变式3：已知a的平方根是5.0 ，则a= 。
通过这个变式训练学生对平方根的概念掌握更加灵活，同时也培养了数学思维能力。
二、公式、法则、定理等的变式训练数学中的公式、法则、定理是数学知识中的重要内容，它们是解决数学问题的重要理论基础，必须让学生灵活，熟练的掌握。
在教学中我们要善于利用变式训练引导学生掌握公式、法则、定理中的各要素之间的联系和本质规律，使学生能加深理解和灵活运用。
如在学习圆的切线的判定定理时，对定理“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”的讲授我就采用了变式训练，以帮助学生多方位灵活理解和掌握。
我给学生强调了定理中的关键要素：过半径外端、垂直，出示变式判断题，并给出图示说明，让学生理解正误的原因。
(1)经过半径外端的直线是圆的切线．(×)图1(2)垂直于半径的直线是圆的切线． (×)图2(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．(√)图3图1 图2 图3通过上面的变式判断，学生很轻松的掌握了切线的判定定理，避免了机械背诵、生搬硬套，又从多方位理解了定理的实质，增加了思维的灵活性。
还有如对完全平方公式“()2222b ab a b a +±=±”的新课讲授时我设置了如下的变式训练：计算：(1)()=+22y x , (2)()=-23b a , (3)()=+-22y x ,(4)()=--23b a 。
计算中的(1)、(2)是直接运用公式，熟练公式；(3)主要是让学生理解可以把“x -”看做公式中的“a ”套入和的完全平方公式或者把“y 2”看做公式中的“a ” ，“x ”看做公式中的“b ”套入差的完全平方公式；(4)可以让学生把“a 3-”看做公式中的“a ” 套入差的完全平方公式或者先变形为“22)3()3(b a b a +=--”再计算。
通过这几个计算可以让学生灵活准确的确定公式中的a 和b 并正确选择公式，正确计算。
这些训练由浅入深，实实在在的增强了学生对完全平方公式的内化理解，提高了对公式熟练应用的程度。
三、 题目形式的变式训练题目形式的变式训练就是让学生同时练习那些在知识、方法上有关联，而在形式上又不同的题目组成的题组，使学生对一些基本知识、方法及重要的数学思想加深领会，达到触类旁通的境地。
1、 多题一解，培养学生触一通类的数学思维能力。
如在确定二次函数的解析式教学时，我设置了这样一组变式题目：例题：已知二次函数的图像经过()0,3-A 、()0,1B 、()3,0-C 三点，求这个二次函数的解析式。
例题的教学采取学生议练，教师点拨、评讲相结合，着重引导学生解决如何设所求函数的解析式、怎样建立方程组。
从例题出发，组织变式训练，提高训练效率。
变式1：已知二次函数的图像经过一次函数3--=x y 的图像与x 轴、y 轴的交点A 、C ，并且经过点()0,1B ，求这个二次函数的解析式。
变式2：已知抛物线经过两点()0,1B 、()3,0-C 。
且对称轴是直线1-=x ，求这条抛物线的解析式。
变式3：已知一次函数的图像经过点()0,1，且在y 轴上的截距是-1，它与二次函数的图像相交于()m A ,1、()4,n B 两点，又知二次函数的对称轴是直线2=x ，求这两个函数的解析式。
变式题的教学，先让学生议练，教师在知识的转折点上提出一些关键性的问题进行点拨，在思路上为学生扫除障碍。
对变式1，先让学生比较它与例题的已知条件有什么不同？再思考怎样转化为例题求解，然后讨论怎样求A 、C 两点的坐标。
对变式2，引导学生抓住“对称轴是直线1-=x ”利用对称性，求点A 的坐标。
对变式3，要善于应用“化整为零、各个击破”的思想方法把一个综合题分解为几个简单问题来解决，逐步引导学生把变式3分解为三个简单问题：①求一次函数的解析式；②求m 、n 的值并画出草图分析；③求二次函数的解析式（转化为变式2）。
这组题目最终都是通过设二次函数一般式，利用三点法建立方程组来求解。
通过这组“多题一解”变式训练，既可巩固强化解题思想方法，又让学生通过多题一解，抓住本质，触一通类，培养学生的变通能力，发展智力，激活思维，收到举一反三，少而胜多的效果。
2、 一题多变，培养学生思维的深刻性。
如在平行四边行形的判定定理3的教学时，设置了这样一组变式题目：例题：如图1，在平行四边形ABCD中，E、F分别是OB、OD的中点，四边形AECF是平行四边形吗？请说明理由。
（引导学生分析，完成此例题）图1变式训练：变式1:若将例题中的已知条件E、F分别是OB、OD的中点改为点E、F三等分对角线BD，其它条件不变，问上述结论成立吗？为什么？变式2:若将例题中的已知条件E、F分别是OB、OD的中点改为BE=DF，其它条件不变，结论成立吗？为什么？变式3:若将例题中的已知条件E、F分别是OB、OD的中点改为E、F为直线BD上两点且BE=DF，结论成立吗？为什么？变式4:如图2：在平行四边形ABCD中，H、G、E、F分别为线段BO、DO、AO、CO的中点，问四边形EGFH是平行四边形吗？为什么？若结论成立，那么直线EG、FH有什么位置关系？图2 图3变式5:如图3在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个点；G、H 是对角线BD上的两点。
已知AE=CF，DG=BH，上述结论仍旧成立吗？这组题中，例题主要是利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这个判定来证明四边形AECF是平行四边形。
变式1虽然E、F位置改变但引导学生抓住实质，利用等式性质仍能证出OA=OC,OE=OF,还可以利用例题的判定方法，学生能进一步熟练此判定。
变式2把例题和变式1中点E、F所具有的特殊性规律变为一般性规律，让学生体会仍能利用例题的判定得出一样的结论，加深了学生对判定的理解，也培养了学生的由特殊到一般的归纳分析能力。
变式3在变式2的基础上进一步加深，由点E 、F 的位置在线段上变为在直线上，范围扩大，在例题图形基础上让学生自己画出满足条件的图形加以探究，发现此问题仍然可以利用例题的判定方法得出相同的结论。
通过变式3的训练可以充分培养学生的探究能力，挖掘学生思维的深度、广度，加深对判定的灵活应用。
变式4由例题中在一条对角线上的满足一定条件的两个点变为两条对角线上满足一定条件的四个点，学生有前面的例题作为铺垫，可以很容易解决此题，在解决此题中既多次巩固平行四边形的性质和判定定理又培养了学生思维的发散性。
变式5在变式4的基础上题目增强了一般性，让学生体会从特殊到一般的过程。
可见，这组变式题“变”的过程中在逐步加深，让学生深刻理解平行四边形的判定定理的应用，同时极大地锻炼了学生的思维深度、广度，提高了数学解题能力和探究能力。
四、 解题方法的变式训练解题方法的变式训练也就是我们常说的“一题多解”类训练。
在教学中老师要善于设置“一题多解”类变式训练，引导学生能从不同的角度，不同的知识，不同的思想方法来思考解决同一个问题，使学生从单一的思维模式中解放出来,达到以创新方式来解答问题，培养学生思维的开阔性、发散性和灵活性。
如对2005年上海市中考第23题讲解时，我就有意识地训练学生一题多解。
题目：已知，如图，圆o 是ABC 的外接圆，圆心o 在这个三角形的高 CD 上，F 、E 分别是边AC 和BC 的中点.求证：四边形CEDF 是菱形.本题大部分学生先用垂径定理证明出AD=BD,然后利用中垂线的性质和三角形的中位线定理证出四条边相等来判定四边形CEDF 是菱形。
此时，引导学生回忆菱形的判定还有哪些？思考这道题还可用其他判定吗？学生马上会想到这样 两种思路：先证四边形CEDF判定间的联系和区别的理解，开阔了学生的思路，激活了思维。