经济数学《线性代数》期末试卷五(含答案解析)

《线性代数》试卷五一．选择题（每题3分，共30分）1.已知多项式101111111111111x D ---=----,则D 中的一次项系数是（ ）.A.4B.1C.4-D.1-【解答】由于13x a =，故将D 按照首行展开可得：111314D A xA A =-++，即一次项系数是13x a =的代数余子式13A ，计算可知134A =-，故选C.2.设矩阵111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，212223111213311132123313a a a B a a a a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+++⎝⎭，另有矩阵12010100100, 010001101P P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则必有（ ） A.12AP P B = B.21AP P B = C.12P P A B =D.21P P A B =【解答】直接计算可知选C.事实上，本题考察了初等变换与矩阵乘法的关系：对矩阵进行初等行变换，等于在其左侧乘以相对应的初等矩阵.本题中，B 可视为由A 经过第一.三行的倍加变换，以及第一.二行的对换变换所得，故B 必等于在A 的左侧乘以相对应的初等矩阵12,P P .3.设A 为m n ⨯矩阵阵，B 为n m ⨯阶方阵,则（ ）.A. 当m n >时，必有行列式0AB ≠.B. 当m n >时，必有行列式0AB =.C. 当n m >时，必有行列式0AB ≠.D. 当n m >时，必有行列式0AB =. 【解答】显然当m n >时，由于A 与B 的秩均小于等于n ，故(),()r A r B m <，进而由“秩越乘越小”的性质，知()min{(),()}r AB r A r B m ≤<，此时必有行列式0AB =，故选B.4.设n 维列向量组12,,,r ααα与同维列向量组12,,,s βββ等价，则（ ）A.r s = B ．1212(,,,)(,,,)r s r r αααβββ=C ．两向量组有相同的线性相关性D ．矩阵[]12,,,r ααα与矩阵 []12,,,s βββ等价【解答】向量组等价则必秩相等.故选B.5.已知A 为57⨯矩阵，且()5r A =，则A 的列向量组（ ）A. 线性相关B. 线性无关C. 线性关系无法判定D. 线性关系和行向量组相同【解答】A 的行秩与列秩显然均为5，由于A 的列向量组共7个向量，故必线性相关.6.设123,,ααα是四元非齐次线性方程组Ax b =的三个解向量,且()3R A =,()()T T1121,2,3,4,0,1,2,3=+=ααα,则线性方程组Ax b =的通解为（ ）A.11213141k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.10213243k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.12233445k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.13243546k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解答】非齐次方程组Ax b =的通解必有形式：特解加上导出组基础解系的线性组合.由()3R A =可知导出组基础解系中仅含有1个向量，显然()()T 11222,3,4,5-+=ααα为导出组的非零解，故可作为基础解系.故选C.7.非齐次方程组Ax b =中未知量个数为n ,方程个数为m ,系数矩阵A 的秩为r , 则（ ） A.r m =时,方程组Ax b =有解; B.r n =时,方程组Ax b =有唯一解; C.m n =时,方程组Ax b =有唯一解; D.r n <时,Ax b =有无穷解.【解答】当r m =时，易知增广矩阵亦为m 行，一方面其秩不超过m ，另一方面其秩不小于系数矩阵A 的秩r m =，故增广矩阵秩为r ，此时方程组有解，故选A.8.若A 与B 相似，则（ ）A.E A E B λλ-=-B.A B =C.对于其相同的特征值，对应的特征向量必亦相同D.A 与B 均相似于同一对角阵【解答】选项A 的反例：0110A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1001B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭.令1111P ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则1P AP B -=，于是A 与B 相似，但显然E A E B λλ-≠-.相似矩阵的行列式必相等，故选项B 正确.9.二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x ax x x x x x x =++-+-的秩为2,则a =（ ）. A.0 B.1 C.2 D.3【解答】显然该二次型的矩阵51315333A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭秩为2，故计算可知3a =，故选D.10.二次型222123123121323(,,)44224f x x x x x x x x x x x x λ=+++-+为正定二次型,则λ的取值范围是（ ）.A.21λ-<<B.12λ<<C.32λ-<<-D.2λ>【解答】易知该二次型的矩阵为1142124A λλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，由A 为正定矩阵知，其各阶顺序主子式都大于零，即10>，21404λλλ=->，且11424(2)(1)0124λλλλ-=-+->-，进而有22λ-<<，且21λ-<<，所以21λ-<<，应选A.二．填空题（每题3分，共18分）1.方程23111112301491827x x x =的全部根是 .【解答】由()()()()()()2311111232131321231491827x x x x x x =------()()()2123x x x =---，可知方程的全部根为1, 2, 3.2.设A 为n 阶矩阵)2(≥n ，*A 为A 的伴随矩阵，则当1)(-=n A R 时，=)(*A R .【解答】关于伴随矩阵的秩，我们由如下结果：*,()()1,()10,()1n R A n R A R A n R A n ⎧=⎪==-⎨⎪<-⎩当时当时当时，于是可知答案为1.3.设12,,,s γγγ为非齐次方程组Ax b =的一组解，且1122s s c c c γ+γ++γ亦为Ax b =的解，则12s c c c +++=【解答】事实上，由()()1122112212s s s s s A c c c c A c A c A c c c b b γ+γ++γ=γ+γ++γ=+++=可知121s c c c +++=。

4.已知3阶矩阵A 有特征值1231,2,3,λλλ===则*2A 特征值是 . 【解答】易知*A 特征值为1216,3,2AAAλλλ===，故*2A 特征值为12,6,4。

5.若()2221231231223,,22f x x x x x x x x tx x =+++-是正定二次型，则t 的取值范围是_____.【解答】思路同上题，易知该二次型的矩阵为210112012t t ⎛⎫⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，显然其一、二阶顺序主子式均大于零，故只须令其行列式大于零即可。

易求得t的取值范围是t <<6.设α为三维列向量，T α是α的转置。

若T111111111αα-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，则T αα=__________【解答】令T A αα=，则显然()2TTTT TA A αααααααααα===，比较2A 与2A 即可得答案为3。

三．解答题（1-4每题10分，第5题12分，共50分） 1.设矩阵300141203A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，已知B A AB 2+=，求B 。

【解答】因为2AB A B =+，所以(2)A E B A -=，又由于1002121201A E ⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，021020210012≠==-E A ，则其可逆。

故1(2)B A E A -=-．再利用初等变换法。

此时，计算如下：由100100100100100100121010021110020111201001001201001201⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭1001000101/21/21/2001201⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭可知1100B (2)1/21/21/2201A E -⎛⎫ ⎪=-=- ⎪ ⎪-⎝⎭．2.设A 为三阶方阵，有三个不同的特征值123,,λλλ，对应的特征向量123,,ααα，令123βααα=++，求证：向量组2,,A A βββ线性无关。

【解答】由已知可得112233A βλαλαλα=++，2222112233A βλαλαλα=++，因此只需证明向量组123ααα++，112233λαλαλα++，222112233λαλαλα++线性无关。

设21230l l A l Aβββ++=，则有222112321122333112233()()()0l l l αααλαλαλαλαλαλα++++++++=，即222121311122322123332()()()0l l l l l l l l l λλαλλαλλα++++++++=而由于向量组123,,ααα线性无关，所以得方程组212131212232212333000l l l l l l l l l λλλλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩因为123,,λλλ互不相等，故得1230l l l ===，从而向量组2,,A A βββ也线性无关。

3.求n 阶行列式3003130300330013D -=-的值．【解答】计算如下：将此行列式按第一列展开，得300313030033013--21300300313031333(1)(1)0033003301313+--=+----，所求的行列式设为n D ，上式右端的第一个行列式恰为1n D -，第二个再按第一行展开后为一个上三角行列式，等于11(1)3(1)n n ---⋅-，于是有133n n D D -=+，进一步地，有133n n D D -=+，1233n n D D --=+，2333n n D D --=+，21,33D D =+，其中13D =． 将这些等式依次乘221,3,3,,3n -后相加，可得12113333n n n D D --=++++，于是113(13)3313n n n D ---=⋅+-1332n +-=.4.设方程组123123123(1)0(1)3(1)+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩k x x x x k x x x x k x k， 问k 取何值时，此方程组（1）有唯一解； （2）无解； （3）有无穷多解？并在有无穷多解时求通解.【解答】解法一：由于系数矩阵A 为方阵，故方程组有唯一解的充要条件为0=A . 由于2111111111(3)111(3)111111+=+=++=+++k A k k kk k kk，因此：（1）当0≠k 且3≠-k 时，方程组有唯一解；（2）当0=k 时，111011101113000111100000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r B ，此时()1=R A 而()2=R B ，故方程组无解。