高考数学回归课本基础知识整理

回归课本基础知识整理 第一部分 函数、导数与不等式

（一）函数

1．函数定义域的求法：①函数解析式有意义；②符合实际意义；

注意：做函数题注意定义域优先原则。忽视定义域，苦头吃不尽！！

函数解析式的求法：①待定系数法，②配方法，③换元法，④函数方程法等 函数值域的求法：①配方法 ；②利用函数单调性 ；③换元法 ；

④利用均值不等式 2

2

2

2b a b

a a

b +≤

+≤；

⑤利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）； ⑥利用函数有界性（x

a 、x sin 、x cos 等）；⑦利用导数 2．分段函数：先分段解决，再下结论。

注意：分段函数的表达式必须写成用大括号联结的形式。 3．复合函数

（1）复合函数定义域求法：

① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤g(x)≤b 解出 ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定：

①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y =；②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；

③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 注意：外函数)(u f y =的定义域是内函数)(x g u =的值域。 4．函数的奇偶性

⑴)(x f 是奇函数?0)()()()(=+-?-=-x f x f x f x f ； ⑵)(x f 是偶函数0)()()()(=--?=-?x f x f x f x f ； 注意：函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．

。 ⑶奇函数)(x f 在原点有定义，必有0)0(=f ；

⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； ⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，等价变形，再判断其奇偶性； 5．函数的单调性

⑴单调性的定义：用定义判断单调性时，必须将差值)()(21x f x f -分解因式到可以判断正负为止；

⑵判定单调性的常用方法：

①定义法；②导数法（见导数部分）；③复合函数法（见4（2）同增异减）；④图像法。 注意：①证明单调性要用定义法或导数法；②单调区间必须是定义域的子集；

③多个单调区间之间不能用“并集”符号，也不能用“或”联结；

④单调区间不能用集合或不等式表示。 6．函数的周期性

(1)周期性的定义：对定义域内的任意x ，若有)()(x f T x f =+ （其中T 为非零常数），则称函数)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。 （2）三角函数的周期

①π2:sin ==T x y ；②π2:cos ==T x y ；③π==T x y :tan ； ④|

|2:)cos(),sin(ωπ

?ω?ω=

+=+=T x A y x A y ；⑤||:tan ωπω==T x y ；

⑶函数周期的判定：①定义法（试值） ②图像法 ③公式法（利用（2）中结论）

⑷与周期有关的结论：

①已知条件中如果出现)()(x f a x f -=+、或)

(1)(x f a x f =+、或m x f a x f =+)()(（a 、m 均为非零常数，0>a ），都可以得出)(x f 的周期为a 2；

②)(x f y =的图象关于点)0,(),0,(b a 中心对称或)(x f y =的图象关于直线b x a x ==,轴

对称，均可以得到)(x f 周期2b a - 7．幂、指、对的运算法则 （1）指数运算法则：①n

m n

m

a

a a +=?，②mn

n m a

a =)(，③n

n n b a ab =)(；

（2）指数式与对数式互化：0,1,,0

log a a b R N b

a a N N

b >≠∈>=←?????

→= 对数的三个性质：0N >；log 10a =；log 1a a = 对数恒等式：log a N

a

N =；

对数运算性质：log ()log log a a a MN M N =+. log log log a

a a M

M N N

=-. log log m n

a a n

M M m

=

8．基本初等函数的图像与性质 ⑴幂函数：α

x y = （)R ∈α

① 在第一象限必有图像且过定点______，0>α时，函数在第一象限为增函数，0<α时，函数

在第一象限为减函数，

② 函数图像可能分布在一、二象限；也可能分布在一、三象限或只分布在第一象限。当图像分布

在一、二象限时，函数为偶函数，当图像分布在一、三象限时，函数为奇函数

（3）注意一个重要的函数x

p x y +

= 1．0p >时，当0x >时2p x p x +

≥；当0x <时2p

x p x

+≤-.在0]p (，、[,0)p -上是减函数；在],(p --∞、),[+∞p 上是增函数.

2．0p <时，在()0-∞，、0+∞（，）

上为增函数. （4）二次函数

㈠解析式：①一般式：c bx ax x f ++=2

)(；②顶点式：k h x a x f +-=2

)()(，),(k h 为顶点；③零点式：))(()(21x x x x a x f --= 。

㈡二次函数问题解决需考虑的因素

①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。 ㈢解决二次函数问题的常用方法：①数形结合；②分类讨论。 9．图象的变换 （1）平移变换

①函数)0)((>±=a a x f y 的图象：由)(x f y =的图象左右平移而得； ②函数)0()(>=±a x f a y 的图象：由)(x f y =的图象上下平移而得； （2）对称变换

①函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于直线x=0对称；

函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于直线y=0对称； 函数)(x f y =与函数)(x f y --=的图象关于坐标原点对称； ②)(x f y =→)(x f y =

③)(x f y =→(||)y f x =

（3）伸缩变换（主要在三角函数的图象变换中）

与函数图像的对称性有关的常用结论：

①曲线C 1:f(x,y)=0关于点（a,b ）的对称曲线C 2方程为：f(2a －x,2b －y)=0; ②曲线C 1:f(x,y)=0关于直线x=a 的对称曲线C 2方程为：f(2a －x, y)=0; ③曲线C 1：f(x,y)=0,关于y=x+a(或y=－x+a)的对称曲线C 2的方程为 f(y －a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0); ④函数y=f(x －a)与y=f(b －x)的图像关于直线x=

2

b

a +对称； 特别地：函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线0=x 对称。

⑤f(a+x)=f(b －x) （x ∈R ）?→?

y=f(x)图像关于直线x=2

b

a +对称； 特别地：f(a+x)=f(a －x) （x ∈R ）?→?

y=f(x)图像关于直线x=a 对称； ⑥如果函数)(x f y =对于一切,R x ∈都有()f a x += ()f a x -，那么)(x f y = 的图象关于直

线a x =对称；如果函数)(x f y =对于一切,R x ∈都有()()2f a x f a x b ++-=，那么

)(x f y = 的图象关于点(,)a b 对称。

10．函数零点的求法：⑴直接法（求0)(=x f 的根）；⑵图象法；⑶二分法.

（二）导数

11．导数： ⑴导数定义：f(x)在点x 0处的导数记作x

x f x x f x f y x x x ?-?+='='

→?=)()(lim

)(000

00

；

⑵常见函数的导数公式: ①'

C 0=；②1

'

)(-=n n nx

x ；③x x cos )(sin '

=；

x x sin )(cos '

-=；⑤a a a x

x ln )('

=；⑥x

x e e ='

)(；⑦a x x a ln 1)(log '

=

；⑧x

x 1)(ln '

= 。 ⑶导数的四则运算法则：//)()())()((x g x f x g x f ±='±；

/

/

)()()()())()((x g x f x g x f x g x f +='；)

()

()()()())()((2

//x g x g x f x g x f x g x f -=' ⑷（理科）复合函数的导数：;x u x u y y '?'='

⑸导数的应用：

① 利用导数求切线：))(()(00/

0x x x f x f y -=-

其中))(,(00x f x P 为切点，)(0/

x f 是切线的斜率

在具体问题中应注意：ⅰ所给点是切点吗？ⅱ所求的是“在”还是“过”该点的切线？ ② 利用导数判断函数单调性：ⅰ )(0)(x f x f ?>'是增函数；

ⅱ )(0)(x f x f ?<'为减函数； ⅲ )(0)(x f x f ?≡'为常数函数；

注：反之，成立吗？（求单调区间，先求定义域）

③利用导数求极值：ⅰ求导数)(x f '；ⅱ求方程0)(='x f 的根；ⅲ列表得极值。

④利用导数最大值与最小值：先求极值，再求区间端点的函数值，最后得最大最小值；

（三）不等式

12．均值不等式：2

2

2

2b a b

a a

b +≤

+≤ 注意：①积定和最小，和定积最大，一正二定三相等；②变形，2

)2(2

22b a b a ab +≤

+≤。 13．一元二次不等式)0(,02

>>++a c bx ax 的解法：

（1）步骤：一看开口方向（a 的符号），二看判别式 ac b 42

-=?的符号，三看方程的根写解集. （2）重要结论：2

0ax bx c ++>(0)a ≠解集为R （即02

>++c bx ax 对R x ∈恒成立），则

0,0a >?<

注意：若二次项的系数含参数且未指出不为零时，需验证为零的特殊情形！ 14．绝对值不等式

（1）转化法：)()()()()()(x g x f x g x f x g x f -<>?>或 （0)(>x g ）

)()()()()(x g x f x g x g x f <<-?< （0)(>x g ）

（2）性质：||||||||||||b a b a b a +≤±≤-

15．不等式的证明

（1）比较法①作差比较法：作差——变形（通分、因式分解等）——判别符号；

②作商比较法：作商——变形（化为幂的形式等）——与1比大小.（分母要为正的） ③综合法——由因导果（由前面结论）； ④分析法——执果索因

注意：（1）一般地常用分析法探索证题途径，然后用综合法；

（2）还可以用放缩法、换元法等综合证明不等式.

第二部分 三角函数

一、三角函数的基本概念

1．终边相同的角的表示方法（终边在x 轴上；终边在y 轴上；终边在直线y x =上；终边在第一

象限等），理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算； ⑴角度制与弧度制的互化： π弧度 180=，1801π

=

弧度，1弧度 )180

(

π

='1857 ≈

⑵弧长公式：R l θ=；扇形面积公式：Rl R S 2

1

212==θ。

2．任意角的三角函数的定义（三个三角函数）、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同

角三角函数的关系式（三个：平方关系、商数关系、倒数关系）、诱导公式（奇变．．

偶不变，符号看象限．．．．．．．．．

πα-、πα+、α-、2πα-、2()k k Z πα+∈、2

π

α-）

； ⑴三角函数定义：角α中边上任意一点P 为),(y x ，设r OP =||,cos ,sin r x r y ==ααx

y

=αtan ⑵三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦； ⑶同角三角函数的基本关系：x x

x

x x tan cos sin ;

1cos sin 22==+ 3．有用的结论

⑴半角所在的象限：

⑵sin cos αα+和sin cos αα-的符号规律：

二、两角和与差的三角函数

1．和（差）角公式

①;sin cos cos sin )sin(βαβαβα±=±

②;sin sin cos cos )cos(βαβαβα =±③β

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan( ±=±

2．二倍角公式

二倍角公式：①αααcos sin 22sin =；

②ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；③α

α

α2

tan 1tan 22tan -=

3．有用的公式

41

2

3

432

1

⑴升（降）幂公式：2

1cos 2sin

2αα-=

、2

1cos 2cos 2αα+=、1sin cos sin 22

ααα=；

⑵辅助角公式：sin cos )a b ααα?+=+（?由,a b 具体的值确定）；

⑶正切公式的变形：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-?. 4．有用的解题思路

⑴“变角找思路，范围保运算”； ⑵“降幂——辅助角公式——正弦型函数”； ⑶巧用sin cos αα±与sin cos αα?的关系；⑷巧用三角函数线——数形结合.

三、三角函数的图象与性质

1．列表综合三个三角函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象与性质，并挖掘：

⑴最值的情况；

⑵了解周期函数和最小正周期的意义．会求sin()y A x ω?=+的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况．．．．．．．．．．．．．； ⑶会从图象归纳对称轴和对称中心；

sin y x =的对称轴是2

x k π

π=+

()k Z ∈，对称中心是(,0)k π()k Z ∈；

cos y x =的对称轴是x k π=()k Z ∈，对称中心是(,0)2

k π

π+()k Z ∈

tan y x =的对称中心是(

,0)()2

k k Z π

∈ ⑷写单调区间注意0ω>.

注意：单调区间不可以用并集符号！不能说正切函数在定义域上为增函数

2．了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数

sin()y A x ω?=+的简图，并能由图象写出解析式． ⑴“五点法”作图的列表方式； ⑵求解析式sin()y A x ω?=+时处相?的确定方法：代（最高、低）点法、公式1x ?ω

=-

. 3．正弦型函数sin()y A x ω?=+的图象变换切记：sin sin()y A x y A x ?ω

ωω?=???→=+平移

注意图象变换有时用向量表达，注意两者之间的转译.

四、解三角形

Ⅰ．正、余弦定理

⑴正弦定理R C

c

B b A a 2sin sin sin ===（R 2是AB

C ?外接圆直径） 注：①C B A c b a sin :sin :sin ::=；②C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；

③C

B A c b a

C c B b A a sin sin sin sin sin sin ++++=

==。 ⑵余弦定理：A bc c b a cos 22

22-+=等三个；注：bc

a c

b A 2cos 222-+=等三个。

Ⅱ。几个公式:

⑴三角形面积公式：

))(2

1

(,))()((sin 2

1

21c b a p c p b p a p p C ab ah S ABC ++=

---===

?； ⑵内切圆半径r=

c

b a S ABC

++?2；外接圆直径2R=

;sin sin sin C

c B b A a ==

图

⑶在使用正弦定理时判断一解或二解的方法：⊿ABC 中，sin sin A B A B >?> Ⅲ．已知A b a ,,时三角形解的个数的判定：

第三部分 立体几何

1.平面的基本性质:三个公理，三个推论

2. 空间线面的位置关系

共面 平行—没有公共点

(1)直线与直线 相交—有且只有一个公共点

异面(既不平行，又不相交)

直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面 直线不在平面内 平行—没有公共点

(直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 (3)平面与平面 相交—有一条公共直线(无数个公共点)

平行—没有公共点

3.线面平行

（1）直线和平面平行的判定定理：

ααα||||l m l m l ???

?

??

??

（2）直线和平面平行的性质定理：

m l m l l ||||????

??=??βαβα

4．线面垂直

（1）直线与平面垂直的定义：αα⊥?⊥??l m l m ,

（2）直线与平面垂直的判定定理：

αα

α⊥???

??

?

????

=???⊥⊥l O b a b a b l a l

A

b

a

C h

其中h=bsinA,⑴A 为锐角时：①a

⑵A 为直角或钝角时：①a ≤ b 时，无解；②a>b 时，一解（锐角）。

图

图

图

图图

又一方法：

αα⊥??

??

⊥l m l m || （3）直线与平面垂直的性质定理：m l l m ||??

??

⊥⊥αα（见上图（2）右）

（4）过一点作已知直线的垂直平面，有且只有一个；过一点作已知平面的垂线，有且只有一条。

5．面面平行

（1）平面与平面平行的判定定理：

βαααββ

||||||???

?

??

=???O b a b a b a

（2）平面与平面平行的性质定理：

b a b a ||||???

?

??=?=?γβγαβα （3）利用定义可得 ①

)||(||||αββαβαb a b a ????

??

②为异面直线或b a b a b a ,||||??

????βαβα 6．面面垂直

（1）平面与平面垂直的定义：平面角为直角的二面角称为 直二面角，直二面角的两个半平面所在的平面互相垂直。

（2）平面与平面垂直的判定定理：

βαβα⊥??

??

?⊥l l

（3）平面与平面垂直的性质定理：αβαββα⊥???

?

?

???

⊥=??⊥l m

l m l

推论：两个平面垂直，经过其中一个平面一点作另一个平面的垂线，则垂线在第一个平面内。

7．空间平行与垂直之间的联系（尝试一下证明）

（1）直线l 在平面β外，若α平面⊥l 且αβ平面平面⊥， 则直线l ∥平面β；

（2）直线l 在平面β外，若α平面⊥l 且直线l ∥平面β， 则αβ平面平面⊥；

（3）直线m 在平面α外，直线α平面⊥l ，直线⊥l 直线m

则直线m ∥α平面；

（4）直线m 在平面α外，直线α平面⊥l ，直线m ∥α平面 则直线⊥l 直线m ；

图

图（2）

图（1）

（5）α平面∥β平面，直线⊥l α平面，则直线⊥l β平面 （6）直线⊥l β平面，直线⊥l α平面，则α平面∥β平面 注：（5）、（6）在几何证题中可以直接用

8．空间几何体的表面积与体积

⑴柱体（圆柱）：

①表面积：S=S 侧+2S 底；②侧面积：S 侧=rh π2；③体积：V=S 底h ⑵锥体（圆锥）：①表面积：S=S 侧+S 底；②侧面积：S 侧=rl π；③体积：V=3

1

S 底h ： ⑶圆台：①侧面积：S 侧=l r r )('

+π；②体积：V=

3

1

（S+''S SS +）h ； ⑷球体：①表面积：S=2

4R π；②体积：V=3

3

4R π

9．常用几何的体的结论

（1）长方体的性质

①长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,,,γβα则：

cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1；sin 2α+sin 2β+sin 2

γ=2 。

②长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,,,γβα则有cos 2

α+cos 2

β+cos 2

γ=2；sin 2

α+sin 2

β+sin

2

γ=1 。

（2）正四面体的性质：设棱长为a ，则正四面体的

①高：a h 36=

；②对棱间距离：a 22；③内切球半径：a 126；④外接球半径：a 4

6

第四部分 直线与圆

一、直线的基本量

1．两点间距离公式：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-=

特别地：x //AB 轴，则=AB ；y //AB 轴，则=AB .

2．直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角[0,)απ∈；当2

π

α≠

时，直线的斜率tan k α=.

（2）常见问题：倾斜角范围与斜率范围的互化——右图

3．直线在x 轴和y 轴上的截距 （1）截距非距离；（2）“截距相等”的含义 4．直线的方向向量

（1）若直线的斜率为k ，则直线的一个方向向量是（1，k ）；(斜率不存在时为)1,0() （2）若直线的方程为0=++C By Ax ，则直线的方向向量是（B ，－A ）

二、直线方程

1.基本形式

⑴点斜式：)( x x k y y -=- ；

⑵斜截式：b kx y += ；

图（3）

图（4）

⑶截距式：

1=

+b

y

a x ； ⑷两点式：

121121x x x x y y y y --=-- ； ⑸一般式：0=++C By Ax ，（A ，B 不全为0）

2．一般不用“两点式”；注意每一种形式的适用条件；注意两种形式之间的转换.

三、两条直线的位置关系

四、点到直线的距离

1．点00(,)P x y 到直线0=++C By Ax 的距离： 2

2

B

A C

By Ax d +++=

2．平行线间距离：若10Ax By C ++=、20Ax By C ++=，则2

2

21B

A C C d +-=

.

注意：x ，y 对应项系数应相等.

五、圆

1．确定圆需三个独立的条件

（1）标准方程：2

2

2

)()(r b y a x =-+-， 其中圆心为(,)a b ，半径为r . （2）一般方程：02

2

=++++F Ey Dx y x （)042

2

>-+F E D

其中圆心为(,)22

D E

--，半径为2

422F

E D r -+=

.

注：圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法；⑶圆系法。 2．直线0=++C By Ax 与圆2

2

2

)()(r b y a x =-+-的位置关系

（1）位置关系判断方法：半径比较法（首选）、判别式法. （2）求圆的弦长方法：垂径定理. （3）求圆的切线：“d r =”.

六、点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法） ⑴点与圆的位置关系：（d 表示点到圆心的距离）

①?=R d 点在圆上；②?R d 点在圆外。 ⑵直线与圆的位置关系：（d 表示圆心到直线的距离）

①?=R d 相切；②?R d 相离。 ⑶圆与圆的位置关系：（d 表示圆心距，r R ,表示两圆半径，且r R >）

①?+>r R d 相离；②?+=r R d 外切；③?+<<-r R d r R 相交； ④?-=r R d 内切；⑤?-<

七、直线系

八、圆系：

⑴)1(,0)(2222

211122-≠=+++++++++λλF y E x D y x F y E x D y x ；

注：当1-=λ时表示两圆公共弦所在直线方程。

⑵)1(,0)(2

2

-≠=+++++++λλC By Ax F Ey Dx y x

九、常用结论：

1、过圆222

x y r +=上的点P 00(,)x y 的切线的方程为200xx yy r +=.

过圆(x-a)2

+(y-b)2

=r 2

上的点M(x 0,y 0)的切线方程为：(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=r 2

； 2、以A(x 1，y 2)、B(x 2,y 2)为直径的圆的方程：(x －x 1)(x －x 2)+(y －y 1)(y －y 2)=0。

第五部分 圆锥曲线

一、椭圆

1．定义

（1）第一定义：若F 1，F 2是两定点，P 为动点，且21212F F a PF PF >=+ （a 为常数），

则P 点的轨迹是椭圆。

（2）焦半径：),(o o y x P 为椭圆上一点，1F 、2F 分别为左右焦点，则

0021)(ex a x c a e PF +=+=， 002

2)(ex a x c

a e PF -=-=；

2．标准方程：

（1）焦点在x 轴上：122

22=+b y a x )0(>>b a ；

焦点在y 轴上：22

221y x a b

+= )0(>>b a ；

（2）焦点的位置?标准方程形式 3．几何性质（以焦点在x 轴上为例） （1）范围： a x a -≤≤ 、b y b -≤≤；（2）对称性；

（3）离心率c e a

=，（1

±=

（4）有用的结论：122PF a PF -=，c a PF c a +≤≤-1，焦点与准线距离：c

b 2

通径（过焦点与椭圆的长轴垂直的弦）长：a

b 2

2，

（5）焦点三角形

<Ⅰ>．2

tan

2

21θ

b S F PF =?，（21PF F ∠=θ）；

<Ⅲ>．点M 是21F PF ?内心，PM 交21F F 于点N ，则

c

a

MN PM =注意：经常结合第一定义与正弦定理．．．．、余弦．．

定理．．

，建立1PF +2PF 、1PF ·2PF 等关系，解决角21PF F ∠、数量积21PF PF ?、焦点三角形面积等问题 二、双曲线

1．定义：

（1）第一定义：若F 1，F 2是两定点，（a 为常数）， 则动点P 的轨迹是双曲线。 2．标准方程

（1）焦点在x 轴上：12222=-b y a x ；焦点在y 轴上：122

22=-b

x a y

3．几何性质（以焦点在x 轴上为例）

（1）范围：x a ≥或x a ≤-、(,)y ∈-∞+∞；（2）对称性 ；

（3）离心率c e a

=，准线方程c a x 2

±=（1>e ）

（4）渐近线方程：?=-02222b y a x x a

b

y ±=.

注意与渐近线有关的结论：

①若渐近线方程为x a b

y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-22

22b y a x ；（0≠λ）

②若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22

22b y a x （0≠λ）

（0>λ，焦点在x 轴上；0<λ，焦点在y 轴上）.

（5）等轴双曲线

①b a =；②离心率2=

e ；③渐近线互相垂直，分别为y=x ±，④方程：λ=-22y x

（6）有用的结论：)2(21212a PF PF a PF PF -=+=或，a c PF -≥1

通径（过焦点与椭圆的长轴垂直的弦）长：a

b 2

2，

（7）双曲线的焦点三角形： <1>．2

tan

221θ

b S F PF =

?，（21PF F ∠=θ）；

<2>． P 是双曲线22

a x －22b

y =1(a ＞0，b ＞0)的左（右）支

上一点，则21F PF ?的内切圆的圆心横坐标为)(,a a 或-；

三、抛物线

1．定义：到定点F 与定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。 即：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比是常数e （e=1）。

2．标准方程（以焦点在x 轴的正半轴为例）： 2

2(0)y px p => （其中p 为焦点到准线的距离——焦参数）； 3．几何性质

（1）焦点：)0,2(

p ，通径p AB 2=，准线：2p x -=； 焦半径：2

0p x PF +=， 过焦点弦长p x x p

x p x CD ++=+++=21212

2（1x 、2x 分别为端点的横坐标）

（2）几何特征：焦点到顶点的距离=2

p

；焦点到准线的距离=p ；

通径长=p 2（通径是最短的焦点弦），顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

（3）抛物线px y 22

=上的动点可设为P ),2(2

y p

y 或2(2,2)P pt pt 或P (,)x y （2

2y px =）。

4．抛物线中的常用结论

①焦点弦AB 性质：<Ⅰ>． 4221p x x =；2

21p y y -=；<Ⅱ>．

p

BF AF 211=+； <Ⅲ>．以AB 为直径的圆与准线相切；<Ⅳ>．以AF （或BF ）为直径的圆与y 轴相切； ②抛物线y 2

=2px(p>0)，对称轴上一定点)0,(a A ，则

<Ⅰ>．当p a ≤<0时，顶点到点A 距离最小，最小值为a ；

<Ⅱ>．当p a >时，抛物线上有关于x 轴对称的两点到点A 距离最小，最小值为2

2p ap -

第六部分 平面向量

一、向量的基本概念

向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量.

二、加法与减法运算

1．代数运算

(1)n n n A A A A A A A A 113221=+++- ．

(2)若=（11,y x ）, =（22,y x ）则±=（2121,y y x x ±±）． 2．几何表示：平行四边形法则、三角形法则。

以向量=a 、=b 为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线的向量AC =a +b ,

=b －a ,=a －b .且有︱a ︱－︱b ︱≤︱a ±b ︱≤︱a ︱+︱b ︱．

3．运算律

向量加法有如下规律：＋=＋(交换律)；+(+ c )=(+ )+ c （结合律）； += ＋(－)=.

三、实数与向量的积

实数λ与向量a 的积是一个向量。 1．︱λa ︱=︱λ︱·︱a ︱；

(1) 当λ＞0时，λ与的方向相同；当λ＜0时，λ与的方向相反；当λ=0时，λ=． (2)若=（11,y x ），则λ·=（11,y x λλ）． 2．两个向量共线的充要条件：

(1) 向量与非零向量共线的充要条件是：有且仅有一个实数λ，使得=λ． (2) 若=（11,y x ）, =（22,y x ）则∥01221=-?y x y x ．

四、平面向量基本定理

1．若1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且 只有一对实数1λ，2λ，使得=1λ1e + 2λ2e ．

2．有用的结论：若1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，若一对实数1λ，2λ，使得

1λ1e + 2λ2e =，则1λ=2λ=0. 五、向量的数量积

1．向量的夹角：已知两个非零向量与b ，作=, = b ,则∠AOB=θ （0

1800≤≤θ）叫做向量与b 的夹角（两个向量必须有相同的起点．．．．．

）。 2．两个向量的数量积：两个非零向量与b ，它们的夹角为θ，则·b =︱︱·︱b ︱cos θ． 其中︱b ︱cos θ称为向量b 在方向上的投影．

3．向量的数量积的性质：若=（11,y x ）, b =（22,y x ）

（1）e ·=·e =︱︱cos θ (e 为单位向量)；（2）⊥b ?·b =0?02121=+y y x x ；

（3）︱a ︱2

1a a x ?=

+（4）cos θ= a b a b

??=

2

2

2

22

12

12121y x y x y y x x +?++．

4．向量的数量积的运算律：

a ·

b = b ·a ；(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )；(a ＋b )·

c =a ·c + b ·c ．

注意：①与向量),(n m a =垂直且模相等的向量为),(m n b -=或),(m n b -=；

②在AOB ∠平分线上的向量可以记为)|

|||(

OB OB

OA OA +=λ)0(≠λ ③向量a 与向量b 夹角为锐角?a ·b 0>且a 、b 不共线； ④向量a 与向量b 夹角为钝角?a ·b 0<且a 、b 不共线。

第七部分 数列

一、数列的定义和基本问题

1．通项公式：)(n f a n =（用函数的观念理解和研究数列，特别注意其定义域的特殊性）； 2．前n 项和：12n n S a a a ++?+=；

3．通项公式与前n 项和的关系（是数列的基本问题也是考试的热点）：11,

1,2

n n n S n a S S n -=?=?

-≥?

注意：已知数列的前n 项和，求通项公式时常常会出现忘记讨论1=n 的情形而致错。

二、等差数列

1．定义和等价定义：1(2){}n n n a a d n a --=≥?是等差数列；

2．通项公式：B An d n a a n +=-+=)1(1；推广：d m n a a m n )(-+=； 3．前n 项和公式：Bn An d n n na n a a S n n +=-+=?+=

2112

)

1(2；

4．重要性质举例

①a 与b 的等差中项2

a b

A +=

； ②若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；特别地：若2m n p +=，则2m n p a a a +=；

③奇数项135,,a a a ，…成等差数列，公差为2d ；偶数项246,,a a a ，…成等差数列，公差为2d . ③ 若有奇数项21n +项，则211(21)n n S n a ++=+，1+=-n a S S 偶奇，n

n S S 1

+=

偶

奇； ④ 若有偶数项n 2项，则nd S S =-奇偶，

1

+=

n n

a a S S 偶

奇； ⑤设12,n A a a a =++?+，122n n n B a a a ++=++?+，21223n n n C a a a ++=++?+， 则有C A B +=2； ⑥当10,0a d ><时，n S 有最大值；当10,0a d <>时，n S 有最小值.

⑦用一次函数理解等差数列的通项公式；用二次函数理解等差数列的前n 项和公式.

三、等比数列

1．定义：1

(2,0,0){}n n n n a

q n a q a a -=≥≠≠?成等比数列；

2．通项公式：11-=n n q a a ；推广n m

n m a a q -=；

3．前n 项和1

11(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =??

=--?=≠?--?

；

注意：必须先看一下公比是否等于1

4．重要性质举例

①a 与b 的等比中项

G 2

G ab G ?=?=（,a b 同号）；

②若m n p q +=+，则m n p q a a a a ?=?；特别地：若2m n p +=，则2

m n p a a a ?=；

③设12,n A a a a =++?+，122n n n B a a a ++=++?+，21223n n n C a a a ++=++?+， 则有2

B A

C =?； ④用指数函数理解等比数列（当10,0,1a q q >>≠时）的通项公式.

注意:解决数列问题时,注意整体代换思想,如:数列{}n a 的前n 项和为n S ,110=S ,320=S ,则

(1)当{}n a 为等差数列时,=30S ；(2)当{}n a 为等比数列时,=30S . 四、等差数列与等比数列的关系举例

1．{}n a 成等差数列?{}

n a

b 成等比数列；

2．{}n a 成等比数列

{}0

log n a b

n

a >?成等差数列.

五、数列求和的常用方法

1．等差数列与等比数列； 2．几种特殊的求和方法

（1）裂项相消法；)1

1(1))((1C

An B An B C C An B An a n +-+-=++=

（2）错位相减法：n n n c b a ?=, 其中{}n b 是等差数列， {}n c 是等比数列

记n n n n n c b c b c b c b S ++?++=--112211；则1211n n n n n qS b c b c b c -+=+??++，…

（3）通项分解法：n n n c b a ±=

六、递推数列与数列思想

1．递推数列

（1）能根据递推公式写出数列的前几项；

（2）常见题型：由(,)0n n f S a =，求,n n a S .解题思路：利用)2(,1≥-=-n S S a n n n 2．数学思想

（1）迭加累加（等差数列的通项公式的推导方法）若1(),(2)n n a a f n n --=≥，则……； （2）迭乘累乘（等比数列的通项公式的推导方法）若1

()(2)n

n a g n n a -=≥，则……； （3）逆序相加（等差数列求和公式的推导方法）； （4）错位相减（等比数列求和公式的推导方法）

第八部分 复数

1．概念：

⑴z=a+bi ∈R ?b=0 (a,b ∈R)?z=z ? z 2

≥0； ⑵z=a+bi 是虚数?b ≠0(a,b ∈R)；

⑶z=a+bi 是纯虚数?a=0且b ≠0(a,b ∈R)?z ＋z ＝0（z ≠0）?z 2

<0； ⑷a+bi=c+di ?a=c 且c=d(a,b,c,d ∈R)；

2．复数的代数形式及其运算：设z 1= a + bi , z 2 = c + di (a,b,c,d ∈R)，则：

（1） z 1± z 2 = (a + b) ± (c + d)i ；⑵ z 1.z 2 = (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd ）+ (ad+bc)i ；

⑶z 1÷z 2 =

=-+-+))(())((di c di c di c bi a i d c ad bc d c bd ac 2

222

+-+++ (z 2≠0) ; 3．几个重要的结论：

2

2

2

22

12

212

21)2();(2)1(z z z z z z z z z z ==?+=-++；⑶i i 2)

1(2

±=±；⑷

;11;11i i

i

i i i -=+-=-+ ⑸i 的性质：T=4；i i i i i i

n n n n

-=-===+++3424144,1,,1；

;0321=++++++n n n n i i i i ；;1321-=???+++n n n n i i i i

（6）1的3次方根：i 23

21±-

=ω 以3为周期，且1,,1320===ωωωω；21ωω++=0； （7）z

z z z z 1

11=?=?=。

4．运算律：（1）);,())(3(;))(2(;2121N n m z z z z z z z z z m m m

mn n m n m n m ∈=?==?+

5．共轭的性质：⑴2121)(z z z z ±=± ；⑵2121z z z z ?= ；⑶2

121)(z z

z z = ；⑷ z z =。 6．模的性质：

⑴||||||||||||212121z z z z z z +≤±≤-；

⑵||||||2121z z z z =；⑶|

|||||2121z z z z =；⑷n

n z z ||||=；

第九部分 集合与常用逻辑用语

1．理解集合中元素的意义．．．．．

是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因

变量的取值？还是曲线上的点？… ； 2．数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或维恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决，特别是在集合的交、并、补的运算之中。φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

注意:正难则反!补集思想的应用（反证法，对立事件，排除法等）

3．常见的包含关系：

（1）;B B A A B A B A =?=?? (注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况)； （2）)()()();()()(B C A C B A C B C A C B A C I I I I I I ==。 4．四种命题的关系：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。

注意：判断命题真假时常常借助其逆否命题来判断原命题真假

5．充要条件的判断：

（1）定义法----正、反方向推理；（2）利用集合间的包含关系

例如：若B A ?，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；

注意：判断A 与B 的充要关系时，常常先将A 、B 化为最简。

6．含有逻辑连接词的命题：

⑴“且命题”一假全假； ⑵“或命题”一真全真；

⑶“命题p ”与“命题?p ”有且只有一个是真命题。 7．全称量词与存在量词

⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用?表示；

全称命题p ：)(,x p M x ∈?； 全称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?。 ⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用?表示；

存在性命题p ：)(,x p M x ∈?；存在性命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?；

问题：命题“若1-≥x ，则12≥x ”的否定是什么？

第十部分 概率、统计与统计案例

一、概率

1．事件的关系：

⑴事件B 包含事件A ：事件A 发生，事件B 一定发生，记作B A ?；

⑵事件A 与事件B 相等：若A B B A ??,，则事件A 与B 相等，记作A=B ； ⑶事件A 与事件B 互斥：若B A ?为不可能事件（φ=?B A ），则事件A 与互斥； ⑷对立事件：B A ?为不可能事件，B A ?为必然事件，则A 与B 互为对立事件。 2．概率公式：

⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；

⑵古典概型：基本事件的总数

包含的基本事件的个数

A A P =

)(；

⑶几何概型：等）

区域长度（面积或体积试验的全部结果构成的积等）

的区域长度（面积或体构成事件A A P =)( ；

二、统计与统计案例

1．抽样方法

⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N ，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n 的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。 注：①每个个体被抽到的概率为

N

n ； ②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数法。

⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的

规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。

注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号l ； ④按预先制定的规则抽取样本。

⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。 注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数?N

n 2．总体特征数的估计：

⑴样本平均数∑==+???++=n

i i n x n

x x x n x 1

211)(1；

⑵样本方差])()()[(1222212x x x x x x n S n -+???+-+-=21

)(1x x n

n

i i -=∑= ；

⑶样本标准差])()()[(122221x x x x x x n S n -+???+-+-==21

)(1x x n

n

i i

-∑= ；

3．线性回归方程：??

?????

?

?

-=--=---=∑∑∑∑====x b y a

x n x y

x n y

x x x y y x x b n i i n

i i

i n

i i n

i i i ??)()())((?1

22

1

1

21,（*） ∑==n i i x n x 1

1, ∑==n i i y n y 11 相关系数（判定两个变量线性相关性）：∑∑∑===----=

n

i n

i i i

n

i i i

y y x x

y y x x

r 1

1

2

21

)()()

)((

注：⑴r >0时，变量y x ,正相关；r <0时，变量y x ,负相关；

⑵①||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②||r 接近于0时，两个变量之间几乎

不存在线性相关关系。

4．独立性检验（分类变量关系）： 随机变量2

K 越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。

第十一部分 推理与证明

一．推理：

⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。

①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。 注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。 注：类比推理是特殊到特殊的推理。

⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。 注：演绎推理是由一般到特殊的推理。 “三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提---------已知的一般结论；⑵小前提---------所研究的特殊情况；⑶结 论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。

二．证明 ⒈直接证明

⑴综合法

一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。 ⑵分析法

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。

2．间接证明------反证法

一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。

附：数学归纳法（仅限理科）

一般的证明一个与正整数n 有关的一个命题，可按以下步骤进行： ⑴证明当n 取第一个值0n 是命题成立；

⑵假设当),(0*

∈≥=N k n k k n 命题成立，证明当1+=k n 时命题也成立。

那么由⑴⑵就可以判定命题对从0n 开始所有的正整数都成立。

注：①数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行； ②0n 的取值视题目而定，可能是1，也可能是2等。

第十二部分 算法初步

1．程序框图：

①终端框（起止况）输入、输出框；⑥连接点。

③

处理框（执行框）；④ 判断框；⑤ ；

⑵程序框图分类:

注：循环结构分为：Ⅰ．当型（while Ⅱ．直到型（until 型）——先执行一次循环体，再判断条件。

2．基本算法语句：

⑴输入语句： INPUT “提示内容”；变量 ；输出语句：PRINT “提示内容”；表达式 赋值语句： 变量=表达式

⑵条件语句：① ②

IF 条件 THEN IF 条件 THEN 语句体 语句体1 END IF ELSE 语句体2 END IF

⑶循环语句：①当型：②直到型:

WHILE 条件 DO

循环体循环体

WEND LOOP UNTIL 条件3．算法案例：

⑴辗转相除法与更相减损法-----求两个正整数的最大公约数；

⑵秦九韶算法------求多项式的值；

⑶进位制----------各进制数之间的互化