高考数学基础知识训练(20)
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备考高考数学基础知识训练（20）
班级______ 姓名_________ 学号_______ 得分_______
一、填空题（每题5分，共70分）
1 ．
已知集合123A，，，使123AB，，的集合B的个数是_________．
2 ．
已知集合3|xxA，集合40|xxB，则BA=______________．
3 ．
设00sin89,tan46,ab则a与b的大小关系是＿＿＿
4 ．
已知,,与的夹角为120°,计算__________.
5 ．
已知等比数列{,384,3,}103aaan中则该数列的通项na=__________
6 ．
已知x，y满足约束条件5003xyxyx ，则2zxy的最小值为________．
7 ．
如图所示的直观图（AOB），其平面图形的面积为_______ .
8 ．
直线1·coxxyl：的倾斜角a的范围是_________________．
9 ．
如图是一个长为5，宽为2的矩形，其中阴影部分的面积约为6.5，现将一颗绿豆随机
地落入矩形内，则它恰好落在阴影范围内的概率约 。
10．
已知123,,,......nxxxx的平均数为a，则23 ..., ,23 ,2321nxxx的平均数是____
11．
如图是某一函数的求值流程图,则该函数为________（注：框图中的符号“” 为赋值符
||5a||4b
ab
ab
45
0
3
2
A
B
O
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号，也可以写成“ 或“: ）
12．
若“对2,1x，都有012axx时a的取值 范围”是“实数3a”的 条
件（填写 “充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既 不充分也不必要”）
13．
图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，
按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是
14．
设aR，若函数30axyexx存在极值，则a的取值范围是_________________。
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．
某人从A点出发向西走了10m，到达B点，然后改变方向按西偏北60走了15m到达
C
点，最后又向东走了10米到达D点．
（1）作出向量AB，BC，CD（用1cm长的线段代表10m长）
（2）求DA
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16．
如图：ABCD—A
1B1C1D1
是正方体.
求证：（１）A
1C⊥D1B1；（２）A1C⊥BC1
17．
已知2tan，求)sin()tan()23sin()2cos()sin(的值
18．
如图，在平面直角坐标系xOy中，(,0)Aa(0)a，(0,)Ba，(4,0)C，(0,4)D，设
AOB
的外接圆为⊙E．（1）若⊙E与直线CD相切，求实数a的值；
（2）问是否存在这样的⊙E，⊙E上到直线CD的距离为32的点P有且只有三个；若存
在，求出⊙E的标准方程；若不存在，请说明理由.
19．
由大于0的自然数构成的等差数列na，它的最大项为26，其所有项的和为70；
（１）求数列na的项数n； （２）求此数列。
A A1 CB
D
D1C
1
B1
A
B
C
D
E
x
y
O
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20．
已知)(xf是定义在R上的奇函数，当.)(032kxxxfx时，0k
（Ⅰ）求)(xf的解析式；
（Ⅱ）讨论函数)(xf在区间（－∞，0）上的单调性；
（Ⅲ）若31k，设)(xg是函数)(xf在区间),0[上的导函数，问是否存在实数a，
满足a>1并且使)(xg在区间],21[a上的值域为]1,1[a，若存在，求出a的值；若不存
在，请说明理由.
参考答案
填空题
1 ．
8
2 ．
)4,3[
3 ．
a4 ．
-10;
5 ．
3·2
n－3
6 ．
-3
7 ．
6．
8 ．
，，4340
9 ．
0.65
10．
3a+2。
11．
f(x)=|x+3|+4
12．
必要不充分
13．
91
14．
,3
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解答题
15．
解：（1）如图，
（2）因为CDAB，故四边形ABCD为平行四边形，所以)m(15DABC
16．（
１）连A
1C1，则A1C1⊥B1D1
，
又CC
1⊥面A1C1，由三垂线定理可知A1C⊥B1D1
，
（２）连B
1
C，仿（１）可证；
17．
原式=sin)tan()cos(cossintancos2
5
1cos,5tan1cos1
,2tan222
原式=101
18．
解：（1）由已知，直线CD方程为4yx，圆心(,)22aaE，半径22ra.
由⊙E与直线CD相切，得|4|22222aaa，解得4a.
（2）要使⊙E上到直线CD的距离为32的点P有且只有三个，只须与CD平行且与
CD
距离为32的两条直线中的一条与⊙E相切、另一条与⊙E相交；
∵圆心E到直线CD距离为22，∴圆E的半径为223252，即2522ra，
解得10a．∴存在满足条件的⊙E，其标准方程为22(5)(5)50xy．
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19．
5n
,数列为2,8,14,20,26或26,20,14,8,2
20．
解：（Ⅰ）∵)(xf是定义在R上的奇函数，当0x时，32)(kxxxf
∴当)()()(0032kxxxfxfxx，时，
∴)0()0()(3232xkxxxkxxxf
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当32)(,)0,(kxxxfx时
当0k时，xxf2)(，在区间0,上，)(0)(xfxf，是增函数。
当0k∴03202)(2)(22xkxkxxxfkxxxf或得，令
∴在区间)(0)()32,(xfxfk，上，是减函数；
在区间（－k32，0）上，)(0)(xfxf，是增函数。
（Ⅲ）∵31k，当3231)(0xxxfx时，
∴.11)1(2)()(22axxxxfxg，又
∴]21[)(axg，在区间上，当)(1xgx时取得最大值1
当min3133141,()()22443.agxgaa时，由得：
当2min2)()(23aaagxga时，，
由251251122aaaaa或解得：（舍）或a=1（舍）
∴存在满足题意的实数.25134aa或
高考数学考前回归基础复习(所有知识点)
2009年高三数学考前回归基础复习2009-5基础知识第一部分 集合1．理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ；2．数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；3．（1）含n 个元素的集合的子集数为2n ,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n －2；（2）;B B A A B A B A =⇔=⇔⊆ 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。
4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
第二部分 函数与导数1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。
2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ； ⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 2222b a b a ab +≤+≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x a 、x sin 、x cos 等）；⑨导数法3．复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法：① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b 解出 ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域。
（2）复合函数单调性的判定：①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y =； ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。
4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。
5．函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．； ⑵)(x f 是奇函数⇔f(－x)=－f(x)；)(x f 是偶函数⇔f(－x)= f(x)⑶奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ；⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； ⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；6．函数的单调性⑴单调性的定义：①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x <；②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x >；⑵单调性的判定① 定义法：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法。
高考数学基础知识专题提升训练99---对数函数的图象和性质
高考数学基础知识专题提升训练对数函数的图象和性质课程标准核心素养1.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性与特殊点．2．知道对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数(a>0，且a≠0).通过对对数函数图象和性质的学习，提升“逻辑推理”、“数学建模”及“数学运算”的核心素养.[对应学生用书P64]知识点1 对数函数的图象和性质0＜a＜1a＞1 图象定义域(0，＋∞)值域R性质过定点(1,0),即x＝1时，y＝0减函数增函数[对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？提示：底数a与1的关系决定了对数函数的升降；当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．[微体验]1．思考辨析(1)对数函数的图象一定在y轴的右侧．( )(2)对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( )(3)当a＞1时，若0＜x＜1，则log a x＜0.( )(4)函数y＝log1a x与y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称．( )答案(1)√(2)×(3)√(4)×2．函数y＝log a(x－5)＋2的图象恒过定点________．解析：无论a为何值时，log a1恒为零，故当x＝6时，y的值恒为2，故恒过定点(6,2)．答案(6,2)3．若函数f(x)＝log(a＋1)x在(0，＋∞)上单调递增，则a的取值范围为________．解析因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以a＋1>1，即a>0.答案a>0知识点2 反函数一般地，指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数.它们的定义域与值域正好互换．[对应学生用书P65]探究一 对数函数的图象(1)当a >1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x 与y ＝log a x 的图象为( )(2)已知f (x )＝log a |x |，满足f (－5)＝1，试画出函数f (x )的图象． (1) C [∵a >1，∴0<1a<1，∴y ＝a －x 是减函数，y ＝log a x 是增函数．](2)解因为f (－5)＝1，所以log a 5＝1，即a ＝5， 故f (x )＝log a |x |＝⎩⎨⎧log 5x ，x ＞0，log 5(－x )，x ＜0.所以函数y ＝log 5|x |的图象如图所示．[变式探究1] 把本例(1)的条件“a >1”去掉，函数“y ＝log a x ”改为“y ＝log a (－x )”，则函数y ＝a －x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( )C [∵在y ＝log a (－x )中，－x ＞0，∴x ＜0，∴图象只能在y 轴的左侧，故排除A ，D ；当a ＞1时，y ＝log a (－x )是减函数，y ＝a －x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 是减函数，故排除B ；当0＜a ＜1时，y ＝log a (－x )是增函数，y ＝a －x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 是增函数，∴C 满足条件. ][变式探究2] 若把本例(2)中的函数改为y ＝log 5|x ＋1|，请画出它的图象． 解 利用图象变换来解题，画出函数y ＝log 5|x |的图象，将函数y ＝log 5|x |的图象向左平移1个单位，即可得函数y ＝log 5|x ＋1|的图象，如图所示．[方法总结](1)作对数函数y ＝log a x 的图象时，应牢牢抓住三个关键点(a,1)，(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1. (2)对数函数图象与直线y ＝1的交点的横坐标越大，则对应的对数函数的底数越大． (3)对数函数图象性质的助记口诀：对数增减有思路，函数图象看底数，底数只能大于0，等于1来也不行，底数若是大于1，图象从下往上增；底数0到1之间，图象从上往下减，无论函数增和减，图象都过(1,0)点．[跟踪训练1]函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )A [f (－x )＝ln((－x )2＋1)＝ln (x 2＋1)＝f (x )，所以f (x )的图象关于y 轴对称．又x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，且过点(0,0)，所以A 图符合．]探究二 对数函数实际应用在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v (单位：m/s)和燃料的质量M (单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m (单位：kg)满足e v ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋M m 2000(e 为自然对数的底)．(1)当燃料质量M 为火箭(除燃料外)质量m 的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)； (2)当燃料质量M 为火箭(除燃料外)质量m 的多少倍时，火箭的最大速度可以达到8km/s.(结果精确到个位，数据：e≈2.718；e 4≈54.598，ln 3≈1.099)解(1)因为v ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m 2 000＝2 000 ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m ，所以v ＝2 000·ln 3≈2 000×1.099＝2 198(m/s)．所以当燃料质量M 为火箭(除燃料外)质量m 的两倍时，火箭的最大速度为2 198 m/s.(2)因为Mm＝e v2000 －1，所以Mm＝e 80002000 －1＝e 4－1≈54.598－1≈54.所以当燃料质量M 为火箭(除燃料外)质量m 的54倍时，火箭的最大速度可以达到8 km/s.[方法总结]解决对数应用题的四个步骤(1)审题：理解题意，弄清关键字词及字母表示的含义． (2)建模：根据已知条件，列出关系式． (3)解模：运用数学知识，解决此问题． (4)结论：还原实际问题，归纳得结论．[跟踪训练2]一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的一半(结果保留1个有效数字)．解 设最初的质量是1.经过x 年，剩余量是y ，则经过1年，剩余量是y ＝0.84； 经过2年，剩余量是y ＝0.842； ……经过x 年，剩余量是y ＝0.84x .依题意得0.84x＝0.5，用科学计算器计算：x＝log0.840.5＝lg 0.5lg 0.84≈3.98≈4，即约经过4年，该物质的剩余量是原来的一半．[对应学生用书P66]1．根据对数函数图象判断底数大小的方法作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．2．对数型函数图象恒过定点问题解决此类问题的根据是对任意的a>0且a≠1，都有log a1＝0.例如，解答函数y＝m ＋log a f(x)(a>0，且a≠1)的图象恒过定点问题时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点(x，m)．3．解决与对数函数的实际问题时注意用好对数的运算性质．课时作业(二十六) 对数函数的图象和性质[见课时作业(二十六)P168]1．若函数y＝f(x)是函数y＝a x(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(a，a)，则f(x)等于( )A．log12x B．log2xC．12xD．x2A[由题意知f(x)＝log a x，又f(a)＝a，所以log a a＝a，所以a＝12，所以f(x)＝log12x.]2．函数y＝2log4(1－x)的图象大致是( )C[函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A、B；又函数y＝2log4(1－x)在定义域内单调递减，排除D．]3．已知f(x)＝a－x，g(x)＝log a x，且f(2)·g(2)>0，则函数f(x)与g(x)的图象是( )D[因为f(2)·g(2)>0，所以a>1，所以f(x)＝a－x与g(x)＝log a x在其定义域上分别是减函数与增函数．]4．若函数f(x)＝2log a(2－x)＋3(a>0，且a≠1)过定点P，则点P的坐标是________．解析令2－x＝1，得x＝1，y＝3，即图象过定点(1,3)．答案(1,3)5．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝log3x，直线y＝a(a＜0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3从小到大的关系是________．解析分别作出三个函数的大致图象，如图所示．由图可知，x2＜x3＜x1.答案x2＜x3＜x16．已知f(x)＝log3x.(1)作出这个函数的图象；(2)若f(a)<f(2)，利用图象求a的取值范围.解(1)作出函数y＝log3x的图象如图所示．(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2.由图象知：当0<a<2时，恒有f(a)<f(2)．所以所求a的取值范围为0<a<2.1．若函数f(x)＝log a(x＋b)的图象如图所示：其中a，b为常数，则函数g(x)＝a x ＋b的图象大致是( )D[由f(x)的图象可知0<a<1,0<b<1，∴g(x)的图象应为D．]2．(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是( )A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)B[法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝ln x的图象上，所以y＝ln(2－x)．法二：由题意知，对称轴上的点(1,0)既在函数y＝ln x的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D．]3．若log a2＜log b2＜0，则下列结论正确的是( )A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1C．a＞b＞1 D．b＞a＞1B[∵log a2＜log b2＜0，如图所示，∴0＜b＜a＜1.]4．已知函数y ＝|log 12 x |的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12， m ，值域为[0,1]，则m 的取值范围为________．解析 作出y ＝|log 12 x |的图象(如图)，可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (2)＝1，由题意结合图象知：1≤m ≤2. 答案 [1,2]5．(拓广探索)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a ＞1)，若函数y ＝g (x )图象上任意一点P 关于原点对称的点Q 在函数f (x )的图象上．(1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0,1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围． 解 (1)设P (x ，y )为g (x )图象上任意一点， 则Q (－x ，－y )是点P 关于原点的对称点． ∵Q (－x ，－y )在f (x )的图象上， ∴－y ＝log a (－x ＋1)， 即y ＝g (x )＝－log a (1－x )． (2)f (x )＋g (x )≥m ，即log ax ＋11－x≥m . 设F (x )＝log a1＋x 1－x ＝log a ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋21－x ，x ∈[0,1)，由题意知，只要F(x)min≥m即可．∵F(x)在[0,1)上是增函数，∴F(x)min＝F(0)＝0.故m≤0即为所求．11 / 11。
高考数学基本知识百题训练(1)及答案
充分非必要条件. 充分且必要条件.
b 0 , a 0 是 函数
充分非必要条件. 充分且必要条件.
f(x) ax 2 bx c 为偶函数的
(B) 必要非充分条件. (D) 既不充分也不必要条件.
若 sin
2 , 且 cos 0 2
(0 2) 则角 的值为
9 关于 x 的方程 x 2 (1 m) x 2 0 的两个根的等差中项为 10 关于 x 的方程 x 2 2 x m 0 两根差的平方是 16. 则 m 11 已知 2 12 若 2 13
x 1
92 4 0
x
x
x= x= 成立 （B）若 a 0 则 a 2 a （D）若 a 2 a 则 a 0 必成立
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深圳市碧波中学李红权
高考数学基本知识百题训练(1)及答案.doc(一)
23
是偶函数且在区间(0 ,+∝)上是单调增函数的是
( A)y x
24
(B) y log
2
1 x
-x (C) y 1 x 2 1 (D) y 2 2
是偶函数,且在区间(-∝,0 )上是单调减函数的是
57
物线. 58 a,b 全不是零. 是 a b 0 的 充分非必要条件. 充分且必要条件. (B) 必要非充分条件. (D) 既不充分也不必要条件.
2 2
(A) (C) 59 (A) (C) 60 (A) (C) 61 62 63 64 65
是 3
sin
3 的 2
(B) 必要非充分条件. (D) 既不充分也不必要条件.
是偶函数且在 (0, ) 内为增函数的是 (B)
高考数学一轮复习知识点与练习随机事件的概率
第卜二章概率、随机变就及其概率分布§12.1随机事件的概率基础知识自主学习U知识梳理要覇讲解深层娈破1. 概率和频率(1) 在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A 为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n(A)= nA为事件A出现的频率.(2) 对于给定的随机事件A,在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A的概率，记作P(A).2. 事件的关系与运算定义付号表示包含关系如果事件A发生，则事件B 一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B? A（或A? B）相等关系若B? A且A? B A = B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A U B（或A + B）父事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A n B（或AB）互斥事件若A A B为不可能事件(A n B= ?),则称事件A与事件B互斥A nB = ?对立事件若A n B为不可能事件，A U B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件P（A）+ P（B）=13. 概率的几个基本性质(1) 概率的取值范围：0W P(A)w 1.(2) 必然事件的概率P(E) = 1.⑶不可能事件的概率P( F) = 0.(4) 概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A U B)= P(A) + P(B).(5) 对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则P(A) = 1 —P(B).【知识拓展】互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“V”或“X”)(1) 事件发生频率与概率是相同的. ()(2) 随机事件和随机试验是一回事. ()(3) 在大量重复试验中，概率是频率的稳定值. ()(4) 两个事件的和事件是指两个事件都得发生. ()(5) 对立事件- -定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件. ()(6) 两互斥事件的概率和为 1.( )考点自测伏速解普自查自纠1. 一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是________ .①至多有一次中靶②两次都中靶③只有一次中靶④两次都不中靶2. 从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5,那么该同学的身高超过175 cm的概率为_________ .3. (2015湖北改编)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为___________ 石.专注•专业•口碑•极致-2 -4. ___________________________________________ 给出下列三个命题，其中正确的命题有个.①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，3结果3次出现正面，因此正面出现的概率是7；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.5. _____________________________________ （教材改编）袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球.在上述事件中，是对立事件的为.题型分类深度剖析题型一事件关系的判断例1某城市有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C 为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订” •判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件.思维升华对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件•这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判定所给事件的关系.W' 判断下列各对事件是不是互斥事件或对立事件：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中①恰有1名男生和恰有2名男生；②至少有1名男生和至少有1名女生；③至少有1名男生和全是女生.题型二随机事件的频率与概率例2 （2015北京）某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整专注•专业•口碑•极致⑴估计顾客同时购买乙和丙的概率;(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；⑶如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?思维升华(1)概率与频率的关系：频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.(2)随机事件概率的求法：利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率.」艮打.Ul.^. 2 某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：(1) 计算表中乒乓球优等品的频率；(2) 从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)题型三互斥事件、对立事件的概率命题点1互斥事件的概率例3 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是*得到黑球或黄球的概率是—，得到黄球或绿球的概率也是—，试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多12 12少？命题点2对立事件的概率例4某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个•设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C,求：(1) P(A), P(B), P(C);(2) 1张奖券的中奖概率；(3) 1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.思维升华求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A) = 1- P( A)求解•当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法.比二"和"国家射击队的队员为在射击世锦赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7〜10环的概率如下表所示：求该射击队员射击一次：(1) 射中9环或10环的概率;(2) 命中不足8环的概率.21 •用正难则反思想求互斥事件的概率典例(14分)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示(1) 确定x, y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2) 求一位顾客一次购物的结算时间不超过..2分钟的概率.(将频率视为概率)思维点拨若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反思想求解.温馨提醒(1)要准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征含义.(2)正确判定事件间的关系，善于将A转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式. 易错提示(1)对统计表的信息不理解，错求x, y,难以用样本平均数估计总体. (2)不能正确地把事件A转化为几个互斥事件的和或对立事件，导致计算错误.——■ ■思想方法感悟提高［方法与技巧］1.对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率f n(A)来估计概率P(A).2•从集合角度理解互斥事件和对立事件从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件A的对立事件~A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集. ［失误与防范］1.正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥事件中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.2•需准确理解题意，特别留心“至多””“至少””“不少于”” 等语句的含义.练出高分A组专项基础训练(时间：45分钟)事件N: “只有一次出现反面”，1.下列命题：①将一枚硬币抛两次，设事件M : “两次出现正面”，-6 -专注•专业•口碑•极致则事件M与N互为对立事件；②若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件；③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件；④若事件A与B互为对立事件，则事件A U B为必然事件，其中，真命题是_________________ .1 122•围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为刁，都是白子的概率是35,则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是___________ •3. 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=｛抽到一等品｝，事件B=｛抽到二等品｝，事件C= ｛抽到三等品｝，且已知P（A）= 0.65, P（B）= 0.2 , P（C）= 0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为4. 从存放的号码分别为1,2,3 , , , 10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：卡片号码12345678910取到次数138576131810119则取到号码为奇数的卡片的频率是__________5•对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图•根据标准，产品长度在区间［20,25）上的为一等品，在区间［15,20）和［25,30）上的为二等品，在区间［10,15）和［30,35）上的为三等品•用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为 ________ .6. 在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品.其中________ 是必然事件；________ 是不可能事件； _________ 是随机事件.7. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为40% ,现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果•经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ____________ .&若随机事件A, B互斥，A, B发生的概率均不等于0，且P(A) = 2- a, P(B)= 4a —5，则实数a的取值范围是_______________9. (2014陕西)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1) 若额的概率；(2) 在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为 4 000元的概率.10. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量其身高，被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间，将测量结果按如下方式分组：第一组［155,160)，第二组［160,165)，…，第八组［190,195］，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为 4.(1)求第七组的频率；⑵估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180 cm以上洽180 cm)的人数；(3) 若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x, y,事件E={|x—y|w5}，事件 F = {|x—y|>15}，求P(E U F).B组专项能力提升(时间：25分钟)11. 在一次随机试验中，彼此互斥的事件A, B, C, D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是_______________ .① A + B与C是互斥事件，也是对立事件；② B + C与D是互斥事件，也是对立事件；③ A + C与B+ D是互斥事件，但不是对立事件；④A与B+ C+ D是互斥事件，也是对立事件.12. 如图所示，茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成均成绩超过乙的平均成绩的概率为__________甲乙9 £g 3 3 72 1 09■ 9绩，其中一个数字被污损，则甲的平4 113. 若A, B互为对立事件，其概率分别为P(A) = x，P(B)= y，且Q0,y>0,则X+ y的最小值为14. 如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查, 调查结果如下：选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；⑵分别求通过路径L i和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；⑶现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.15日期123456789101112131415天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨(2) 西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.。
高考数学基础知识专题提升训练101---对数函数及其性质的应用
高考数学基础知识专题提升训练对数函数及其性质的应用[微体验]1．下列不等关系中，正确的是( ) A ．1.3－0.1>1.3－0.2 B ．0.7－0.3<0.70.2 C ．2－0.5>⎝ ⎛⎭⎪⎫120.5 D ．0.21.8>0.20.8A [因为y ＝1.3x 是增函数，－0.1>－0.2, 所以1.3－0.1>1.3－0.2.] 2．函数y ＝log 12(2x ＋1)的值域为________.解析 ∵2x ＋1>1，函数y ＝log 12 x 是(0，＋∞)上的减函数，∴log 12 (2x ＋1)<log 12 1＝0，即所求函数的值域为(－∞，0)．答案 (－∞，0)3．若函数f (x )＝log 2(ax ＋1)在[0,1]上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 解析 由题意得⎩⎨⎧a >0，a ×0＋1>0，解得a >0.答案 (0，＋∞)4．函数f (x )＝log 2(1＋2x )的单调增区间是________．解析 易知函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，又因为函数y ＝log 2x 和y ＝1＋2x 都是增函数，所以f (x )的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞5．已知函数f (x )＝lg(x －1)． (1)求函数f (x )的定义域和值域； (2)证明f (x )是增函数． (1)解由x －1>0，得x >1.所以函数f (x )的定义域是(1，＋∞)，值域为R . (2)证明 设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝lg(x 1－1)－lg(x 2－1)＝lg x 1－1x 2－1. 因为1<x 1<x 2，所以0<x 1－1<x 2－1.所以0<x 1－1x 2－1<1.所以lg x 1－1x 2－1<0，从而f (x 1)<f (x 2)．所以f (x )在(1，＋∞)上是增函数．[对应学生用书P 67]探究一 利用单调性比较大小比较下列各组数的大小．(1)log1245与log1267；(2)log123与log153；(3)log a2与log a3.解(1)y＝log12x在(0，＋∞)上单调递减，又因为45＜67，所以log1245＞log1267.(2)因为在x∈(1，＋∞)上，y＝log15x的图象在y＝log12x图象的上方，所以log12 3＜log153.(3)当a＞1时，y＝log a x为增函数，所以log a2＜log a3；当0＜a＜1时，y＝log a x为减函数，所以log a2＞log a3.[方法总结]对数值比较大小的常用方法(1)如果同底，可直接利用单调性求解．(2)如果不同底，一种方法是化为同底的，另一种方法是寻找中间量．(3)如果不同底但同真数，可利用图象的高低与底数的大小关系来解决，或利用换底公式化为同底再进行比较．(4)若底数和真数都不相同，则常借助中间量1,0，－1等进行比较．(5)如果底数为字母，那么要分类讨论，进行分类讨论时，要做到不重不漏．[跟踪训练1]比较下列各组数的大小：(1)log a2.7，log a2.8；(2)log34，log65；(3)log0.37，log97.解(1)当a＞1时，由函数y＝log a x的单调性可知log a2.7＜log a2.8；当0＜a＜1时，同理可得log a2.7＞log a2.8.(2)log34＞log33＝1，log65＜log66＝1，∴log34＞log65.(3)log 0.37＜log 0.31＝0，log 97＞log 91＝0， ∴log 0.37＜log 97.探究二 利用单调性解简单的对数不等式问题(1)已知log a 12＞1，求a 的取值范围；(2)已知log 0.7(2x )＜log 0.7(x －1)，求x 的取值范围． 解(1)由log a 12＞1得log a 12＞log a a .①当a ＞1时，有a ＜12，此时无解；②当0＜a ＜1时，有12＜a ，从而12＜a ＜1.∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 1.(2)∵函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数，∴由log 0.72x ＜log 0.7(x －1)得⎩⎨⎧2x ＞0，x －1＞0，2x ＞x －1，解得x ＞1.∴x 的取值范围是(1，＋∞)． [方法总结]常见的对数不等式有三种类型(1)形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．(2)形如log a x ＞b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解．(3)形如log a x ＞log b x 的不等式，可利用图象求解． [跟踪训练2]解不等式：log a (x －4)＞log a (x －2)．解当a ＞1时，由⎩⎨⎧ x －4＞x －2，x －4＞0，x －2＞0，无解．当0＜a ＜1时，由⎩⎨⎧x －4＜x －2，x －4＞0，x －2＞0，得x ＞4.∴综上可知，当a ＞1时，不等式的解集为∅； 当0＜a ＜1时，不等式的解集为(4，＋∞)． 探究三 对数函数性质的综合应用(1)下列函数中，既是单调函数，又是奇函数的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝3|x | C ．y ＝lo g 3xD ．y ＝log 23x(2)已知f (x )＝log a (a －a x )(a >1)． ①求f (x )的定义域和值域； ②判断并证明f (x )的单调性．(1)D [y ＝x －1在定义域内不是单调函数；y ＝3|x |为偶函数；y ＝log 3x 既不是奇函数也不是偶函数，故A ，B ，C 均不正确．又∵log 23－x ＝log 2(3x )－1＝－log 23x ，log 23x 的定义域为R ，∴函数y ＝log 23x 为奇函数．令3x ＝t ，则y ＝log 2t .∵y ＝log 2t 与y ＝3x 在R 上都是增函数， ∴y ＝log 23x 在R 上为增函数．](2)解①由a >1，a －a x >0，即a >a x ，得x <1.故f(x)的定义域为(－∞，1)．由0<a－a x<a，可知log a(a－a x)<log a a＝1.故函数f(x)的值域为(－∞，1)．②f(x)在(－∞，1)上为减函数，证明如下：任取1>x1>x2，又∵a>1，∴ax1>ax2，∴a－ax1<a－ax2，∴log a(a－ax1)<log a(a－ax2)，即f(x1)<f(x2)，故f(x)在(－∞，1)上为减函数．[方法总结]解决对数函数综合问题的方法对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最值以及不等式等问题综合，求解中通常会涉及对数运算．解决此类综合问题，首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路．[跟踪训练3]已知函数f(x)＝log a(1＋x)，g(x)＝log a(1－x)，其中(a＞0，且a≠1)，设h(x)＝f(x)－g(x)．求函数h(x)的定义域，判断h(x)的奇偶性，并说明理由．解∵f(x)＝log a(1＋x)的定义域为{x|x＞－1}，g(x)＝log(1－x)的定义域为{x|x＜1}，a∴h(x)＝f(x)－g(x)的定义域为{x|x＞－1}∩{x|x＜1}＝{x|－1＜x＜1}．∵h(x)＝f(x)－g(x)＝log a(1＋x)－log a(1－x)，∴h(－x)＝log a(1－x)－log a(1＋x)＝－[log a(1＋x)－log a(1－x)]＝－h(x)，∴h(x)为奇函数．[对应学生用书P68]1．比较两个对数式大小的方法有以下几种(1)单调性法； (2)中间量法：比较不同底数对数的大小，常借助中间值0进行比较．利用口诀：“同大异小”，判断对数的符号．对于对数log a x，a和x均与1比较大小，当a和x都同大于(小于)1时，loga x大于0，否则logax小于0.(3)分类讨论：比较同底数(不是具体的数值)的对数大小，构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小．2．两类对数不等式的解法(1)形如log a f(x)＜log a g(x)的不等式．①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞g(x)＞0；②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜g(x)．(2)形如log a f(x)＜b的不等式可变形为log a f(x)＜b＝log a a b.①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞a b；②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜a b.若a>1，则y＝log a f(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相同，若0<a<1，则y＝log a f(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相反．另外应注意单调区间必须包含于原函数的定义域．3．形如y＝log a f(x)的函数的单调性首先要确保f(x)>0，当a>1时，y＝log a f(x)的单调性在f(x)>0的前提下与y＝f(x)的单调性一致．当0<a <1时，y ＝log a f (x )的单调性在f (x )>0的前提下与y ＝ f (x )的单调性相反． 4．(1)指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数(或偶函数)．(2)含对数式的奇偶性判断，一般用f (x )±f (－x )＝0来判断，运算相对简单．课时作业(二十七) 对数函数及其性质的应用[见课时作业(二十七)P 169]1．若lg(2x －4)≤1，则x 的取值范围是( ) A ．(－∞，7] B ．(2,7] C ．[7，＋∞)D ．(2，＋∞)B [ ∵lg(2x －4)≤1，∴0＜2x －4≤10，解得2＜x ≤7.] 2．函数f (x )＝|log 12 x |的单调递增区间是( )A ．⎝⎛⎦⎥⎤0，12 B ．(0,1] C ．(0，＋∞)D ．[1，＋∞)D [f (x )的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．]3．已知实数a ＝log 45，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120，c ＝log 30.4，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b ＜c ＜aB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜aD [由题知，a ＝log 45＞1，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1，c ＝log 30.4＜0，故c ＜b ＜a .]4．若log a 35<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，35B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，35∪(1，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)B [当a >1时，log a 35<0，满足题意，当0<a <1时，log a 35<1⇔log a 35<log a a ⇔0<a <35.]5．已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜aC [ ∵f (x )为偶函数，∴2|x －m |－1＝2|－x －m |－1.∴|x －m |＝|－x －m |. ∴－x －m ＝m －x .∴m ＝0.∴f (x )＝2|x |－1. ∴f (x )的图象关于y 轴对称且在[0，＋∞)上是增函数．又∵0＞log 0.53＞log 0.54＝－2，log 25＞log 24＝2,2m ＝0，∴c ＜a ＜b .]6．已知log 0.72m ＜log 0.7(m －1)，则m 的取值范围是________． 解析 ∵log 0.72m ＜log 0.7(m －1)， ∴2m ＞m －1＞0. 解得m ＞1. 答案 (1，＋∞)7．设a ＞1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________.解析 ∵a ＞1，∴f (x )＝log a x 在[a,2a ]上递增，∴log a (2a )－log a a ＝12，即log a 2＝12，∴a 12 ＝2，a ＝4.答案 48．解不等式2log a (x －4)＞log a (x －2)．解原不等式等价于⎩⎨⎧log a (x －4)2＞log a (x －2)，x －2＞0，x －4＞0.①当a ＞1时，又等价于⎩⎨⎧(x －4)2＞x －2，x －2＞0，x －4＞0，解得x ＞6.②当0＜a ＜1时，又等价于⎩⎨⎧(x －4)2＜x －2，x －2＞0，x －4＞0，解得4＜x ＜6.综上所述，当a ＞1时，原不等式的解集为(6，＋∞)； 当0＜a ＜1时，原不等式的解集为(4,6)．9．已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及y 取得最大值时的x 的值．解 由f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]， 得f (x 2)＝2＋log 3x 2，x 2∈[1,9]，得函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为[1,3]，y ＝(2＋log 3x )2＋2＋l og 3x 2，即y ＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3.令log3x＝t，则0≤t≤1，则y＝(t＋3)2－3，当t＝log3x＝1，即x＝3时，y max＝13.1．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )A．c>b>a B．b>c>aC．a>c>b D．a>b>cD[a＝log36＝log32＋1，b＝log52＋1，c＝log72＋1，在同一坐标系内分别画出y＝log3x，y＝log5x，y＝log7x的图象，当x＝2时，由图易知log32>log52>log72，∴a>b>c.]2．已知f(x)＝log3x的值域是[－1,1]，那么它的反函数的值域为________．解析∵－1≤log3x≤1，∴log313≤log3x≤log33，∴13≤x≤3.∴f(x)＝log3x的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13， 3，∴f(x)＝log3x的反函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13， 3.答案⎣⎢⎡⎦⎥⎤13， 33．已知函数f(x)＝lg(3x－3)．(1)求函数f(x)的定义域和值域；(2)设函数h(x)＝f(x)－lg(3x＋3)，若不等式h(x)>t无解，求实数t的取值范围．解(1)由3x－3>0，得x>1，所以f(x)的定义域为(1，＋∞)．因为(3x－3)∈(0，＋∞)，所以函数f(x)的值域为R.(2)因为h (x )＝lg(3x －3)－lg(3x＋3)＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －33x ＋3＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－63x ＋3的定义域为(1，＋∞)，且h (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以函数h (x )的值域为(－∞，0)．若不等式h (x )>t 无解，则t 的取值范围为t ≥0.4．(拓广探索)已知函数f (x )＝ln(ax 2＋2x ＋1)，g (x )＝log 12(x 2－4x －5)．(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)若f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围；(3)求函数g (x )的递减区间．解 (1)若f (x )的定义域为R ，则y ＝ax 2＋2x ＋1的图象恒在x 轴的上方，所以⎩⎨⎧ a ＞0，Δ＝4－4a ＜0，所以a >1.(2)若f (x )的值域为R ，则y ＝ax 2＋2x ＋1的图象一定要与x 轴有交点，所以a ＝0或⎩⎨⎧ a ＞0，Δ＝4－4a ≥0，所以0≤a ≤1.(3)函数g (x )的定义域为{x ︱x <－1或x >5}，由复合函数单调性的“同增异减”法则，可知函数g (x )的单调递减区间为(5，＋∞)．。
概率统计与期望方差分布列大题基础练-高考数学重点专题冲刺演练(解析版)
概率统计与期望方差分布列大题基础练新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023·安徽宿州·统考一模）宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市.为了统计智算中心的算力，现从全市n个大型机房和6个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为1 3 .(1)求n的值；(2)若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X，求X的分布列和数学期望.E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.则X的数学期望()012330102652．（2023秋·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末）某运动品牌旗舰店在双十一线下促销期间，统计了5个城市的专卖店销售数据如下：款式/专卖店甲乙丙丁戊男装606013080110女装120901306050(1)若分别从甲､乙两家店的销售数据记录中各抽一条进行追踪调查，求抽中的两条记录中至少有一次购买的是男装的概率；(2)现从这5家店中任选3家进行抽奖活动，用X表示其中男装销量超过女装销量的专E X.卖店个数，求随机变量X的分布列和数学期望()∴()1336 012 105105E X=⨯+⨯+⨯=.3．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占70%. (1)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表判断是否有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关？感兴趣不感兴趣合计男生12女生5合计30(2)若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X，求X的分布列与数学期望.附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.()2P K k≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82820.4082 2.0721614219K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关；（2）由题意可知X 的取值可能为0，1，2，3，则3539C 5(0)C 42P X ===，124539C C 10(1)C 21P X ===，214539C C 5(2)C 14P X ===，3439C 1(3)C 21P X ===，故X 的分布列为X 0123P5421021514121510514()0123422114213E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.4．（2023秋·江苏·高三统考期末）为深入贯彻党的教䏍方针，全面落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校从2022年起积极推进劳动课程改革，先后开发开设了具有地方特色的家政､烹饪､手工､园艺､非物质文化遗产等劳动实践类校本课程.为调研学生对新开设劳动课程的满意度并不断改进劳动教育，该校从2022年1月到10月每两个月从全校3000名学生中随机抽取150名学生进行问卷调查，统计数据如下表：月份x 246810满意人数y8095100105120(1)由表中看出，可用线性回归模型拟合满意人数y 与月份x 之间的关系，求y 关于x 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+，并预测12月份该校全体学生中对劳动课程的满意人数；(2)10月份时，该校为进一步深化劳动教育改革，了解不同性别的学生对劳动课程是否满意，经调研得如下统计表：满意不满意合计男生651075女生552075合计12030150请根据上表判断是否有95%的把握认为该校的学生性别与对劳动课程是否满意有关？参考公式：()()()1122211ˆˆˆ,nni i i ii i nn iii i x y nxyx x yy bay bx xnx x x ====---===--∑∑∑∑.()20P K k ≥0.100.050.0250.0100.005k 2.7063.8415.0246.6357.879()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得1-分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为12，甲扑到乙踢出球的概率为12，乙扑到甲踢出球的概率13，且各次踢球互不影响．(1)经过1轮踢球，记甲的得分为X，求X的分布列及数学期望；(2)求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率．()101612412E X=-⨯+⨯+⨯=.（2）经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得1-分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分，甲3轮各得1分的概率为3111464 P⎛⎫==⎪⎝⎭，甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分的概率为2223177C41264 P⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭，甲3轮中有2轮各得1分，1轮得1-分的概率为2233111C4632 P⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭，甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分的概率为21431749C412192 P⎛⎫=⨯⨯=⎪⎝⎭，所以经过三轮踢球，甲累计得分高于乙的概率1714979646432192192 P=+++=.6．（2023·浙江·校联考模拟预测）某地区2016至2022年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）如下表：年份2016201720182019202020212022年份代号x1234567生活垃圾无害化处理量y 3.9 4.3 4.6 5.4 5.8 6.2 6.9(1)求y 关于x 的线性回归方程；(2)根据（1）中的回归方程，分析过去七年该地区生活垃圾无害化处理的变化情况，并预测该地区2024年生活垃圾无害化处理量.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121ˆni ii n ii x x yy bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-.参考数据7162.4i i x y =∑7．（2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末）为积极响应“反诈”宣传教育活动的要求，某企业特举办了一次“反诈”知识竞赛，规定：满分为100分，60分及以上为合格.该企业从甲､乙两个车间中各抽取了100位职工的竞赛成绩作为样本.对甲车间100位职工的成绩进行统计后，得到了如图所示的成绩频率分布直方图.(1)估算甲车间职工此次“反诈”知识竞赛的合格率；(2)若将频率视为概率，以样本估计总体.从甲车间职工中，采用有放回的随机抽样方法抽取3次，每次抽1人，每次抽取的结果相互独立，记被抽取的3人次中成绩合格的人数为X .求随机变量X 的分布列；(3)若乙车间参加此次知识竞赛的合格率为60%，请根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为此次职工“反计”知识竞赛的成绩与其所在车间有关?2×2列联表甲车间乙车间合计合格人数不合格人数合计附参考公式：①()()()()22()n ad bc a c b d a b c d χ-=++++，其中n a b c d =+++.②独立性检验临界值表【答案】(1)80%(2)分布列见解析(3)表格见解析，有【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，可得答案；（2）根据二项分布的分布列的解题步骤，可得答案；（3）由题意，补全列联表，利用独立性检验的解题步骤，可得答案.【详解】（1）根据频率分布直方图可求得甲车间此次参加“反诈”知识竞赛的合格率0.02100.03100.02100.01100.8=⨯+⨯+⨯+⨯=，即80%.（3）根据题中统计数据可填写22⨯列联表如下，甲车间乙车间合计合格人数8060140不合格人数204060合计10010020022200(80402060)9.524 6.635,10010014060χ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有99%的把握认为“此次职工‘反计’知识竞赛的成绩与职工所在车间有关系”.8．（2023春·江苏扬州·高三统考开学考试）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.从中国信息通信研究院发布的《云计算白皮书（2022年）》可知，我国2017年至2021年云计算市场规模数据统计表如下：年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代码x12345云计算市场规模y /亿元692962133420913229经计算得：51ln i i y =∑=36.33，51(ln )i i i x y =∑=112.85.(1)根据以上数据，建立y 关于x 的回归方程ˆˆˆebxa y +=（e 为自然对数的底数）.(2)云计算为企业降低生产成本､提升产品质量提供了强大助推力.某企业未引入云计算前，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差4~(0,N mε，其中m 为单件产品的成本（单位：元），且(11)P ε-<<=0.6827；引入云计算后，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差1~(0,)N mε.若保持单件产品的成本不变，则(11)P ε-<<将会变成多少？若保持产品质量不变（即误差的概率分布不变），则单件产品的成本将会下降多少？附：对于一组数据1122(,),(,),,(,),n n x y x y x y ⋯其回归直线ˆˆˆyx βα=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为ˆβ=1221niii nii x ynx y xnx ==--∑∑，ˆˆy x αβ=-.若2~(,)XN μσ，则(||)0.6827P X μσ-<=，(|2)0.9545P X μσ-<=，(||3)0.9973.P X μσ-<=9．（2023春·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考开学考试）近年来，各平台短视频、网络直播等以其视听化自我表达、群圈化分享推送、随时随地传播、碎片化时间观看等特点深受人们喜爱，吸引了眼球赚足了流量，与此同时，也存在功能失范、网红乱象、打赏过度、违规营利、恶意营销等问题．为促使短视频、网络直播等文明、健康，有序发展，依据《网络短视频平台管理规范》、《网络短视频内容审核标准细则》等法律法规，某市网信办、税务局、市场监督管理局联合对属地内短视频制作、网络直播进行审查与监管．(1)对短视频、网络直播的整体审查包括总体规范、账户管理、内容管理等三个环节，三个环节均通过审查才能通过整体审查．设某短视频制作团队在这三个环节是否通过审查互不影响，且各环节不能通过审查的概率分别为4131,,25485．①求该团不．能通过整体审查的概率：②设该团队通过整体审查后，还要进入技术技能检测环节，若已知该团队最终通过整体审查和技术技能检测的概率为35%，求该团队在已经通过整体审查的条件下通过技术技能检测的概率；(2)某团队为提高观众点击其视频的流量，通过观众对其视频的评论分析来优化自己的创作质量，现有100条评论数据如下表：试问是否有99.9%的把握可以认为观众对该视频的满意度与该视频改拍相关程度有关联？参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d=+++()20P x χα≥=0.10.050.010.0050.001nx 2.7063.8416.6357.87910.82810．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）2023年3月的体坛属于“冰上运动”，速滑世锦赛、短道速滑世锦赛、花滑世锦赛将在荷兰、韩国、日本相继举行．中国队的“冰上飞将”们将在北京冬奥会后再度出击，向奖牌和金牌发起冲击．据了解，甲、乙、丙三支队伍将会参加2023年3月10日~12日在首尔举行的短道速滑世锦赛5000米短道速滑男子5000米接力的角逐．接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛．已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为23和34；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为34和45；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和3 2p-，其中34p<<．(1)甲、乙、丙三队中，谁进入决赛的可能性最大；(2)若甲、乙、丙三队中恰有两对进入决赛的概率为3790，求p的值；(3)在（2）的条件下，设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为ξ，求ξ的分布列・11．（2023·重庆酉阳·重庆市酉阳第一中学校校考一模）某市从2020年5月1日开始，若电子警察抓拍到机动车不礼让行人的情况后，交警部门将会对不礼让行人的驾驶员进行扣3分，罚款200元的处罚，并在媒体上曝光．但作为交通重要参与者的行人，闯红灯通行却频有发生，带来了较大的交通安全隐患和机动车通畅率降低点情况.交警部门在某十字路口根据以往的监测数据，得到行人闯红灯的概率为0.2，并从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯的情况进行统计，得到2×2列联表如下：45岁以下45岁以上合计闯红灯人数25未闯红灯数85合计200近期，为了整顿“行人闯红灯”这一不文明的违法行为，交警部门在该十字路口试行了对闯红灯的行人进行5元以上，50元以下的经济处罚．在试行经济处罚一段时间后，交警部门再次对穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯的情况进行统计，得到2×2列联表如下：45岁以下45岁以上合计闯红灯人数51520未闯红灯人9585180数合计100100200将统计数据所得频率视为概率，完成下列问题：(1)将2×2列联表填写完整（不需要写出填写过程），并根据表中数据分析，在试行对闯红灯的行人进行经济处罚前，是否有90%的把握认为闯红灯行为与年龄有关；(2)在试行对闯红灯的行人进行经济处罚后，闯红灯现象是否有明显改善，请说明理由；(3)结合调查结果，请你对“如何治理行人闯红灯现象”提出合理的建议（至少提出两条建议）．【答案】(1)列联表见解析，有(2)有明显改善，理由见解析(3)答案见解析K的值，结合附表，即可【分析】（1）根据题意，填写出2×2列联表，利用公式求得2得到结论；（2）求得试行对闯红灯的行人进行经济处罚后，行人闯红灯的概率，结合试行对闯红灯的行人进行经济处罚前的概率，可得出结论；（3）结合表格中的数据，可针对45岁以上人群开展“道路安全”宣传教育；也可进行适因为()2220015752585253.125 2.706100100401608K⨯⨯-⨯===>⨯⨯⨯，所以有90%的把握认为闯红灯行为与年龄有关．（2）在试行对闯红灯的行人进行经济处罚后，行人闯红灯的概率为20=0.1 200，而在试行对闯红灯的行人进行经济处罚前，行人闯红灯的概率为0.2，因为0.10.2<，故在试行对闯红灯的行人进行经济处罚后，闯红灯现象有明显改善．（3）①根据调查数据显示，行人闯红灯与年龄有明显关系，故可以针对45岁以上人群开展“道路安全”宣传教育；②由于经济处罚可以明显降低行人闯红灯的概率，故可以在法律允许范围内进行适当的经济处罚．12．（2023·辽宁·新民市第一高级中学校联考一模）为了了解男、女学生对航天知识的了解情况，某调查机构进行了一个随机问卷调查（总分100分），调查的结果如下表所示．若本次问卷调查的得分不低于90分，则认为该学生非常了解航天知识．男学生女学生不低于90分82低于90分2228(1)判断是否有95%的把握认为性别与是否非常了解航天知识有关；(2)现将3个航天器模型纪念品随机分配给参与本次调查且非常了解航天知识的学生，设获得纪念品的女生人数为X，求X的分布列以及数学期望．附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++．()2P k αχ=≥0.050.010.0050.001k3.8416.6357.87910.828所以()012.1515155E X =⨯+⨯+⨯=13．（2023春·辽宁朝阳·高三校联考开学考试）千百年来，人们一直在通过不同的方式传递信息．在古代，烽火狼烟、飞鸽传书、快马驿站等通信方式被人们广泛应用；第二次工业革命后，科技的进步带动了电讯事业的发展，电报电话的发明让通信领域发生了翻天覆地的变化；之后，计算机和互联网的出现则使得“千里眼”、“顺风耳”变为现实．现在，5G 的到来给人们的生活带来了颠覆性的变革．某科技创新公司基于领先技术的支持，5G 经济收入在短期内逐月攀升，该创新公司在1月份至5月份的5G 经济收入y （单位：百万元）关于月份x 的数据如表：时间（月份）12345收入（百万元）1015192328(1)根据上表中的数据，求出y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司6月份的5G 经济收入；(2)从前5个月的收入中随机抽取3个月，记月收入超过15百万元的个数为X ，求X 的分布列和数学期望．参考公式：回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ˆniii nii x ynxy bxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-．所以()123105105E X=⨯+⨯+⨯=．14．（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习）一般来说，市场上产品的宣传费用与产品的销量存在一定关系．已知产品甲的年宣传费用(x百万元)和年销量(y万箱)的统计数据如下：年宣传费用(x百万元)35610131518年销量y(万箱)1.522.533.544.5(1)求y与x的相关系数(r精确到0.01)，并判断y与x的关系是否可用线性回归方程模型拟合？(规定：0.75r≥)；(2)从年销量不少于3万箱中任取两个数据作为样本，求恰有1个数据不少于4万箱的概率．附：①相关系数ni ix y nxyr-=∑；71246i iix y==∑②，721888iix==∑，72170iiy==∑，36.28≈36.41≈15．（2023春·河北·高三统考阶段练习）某电影院对观众按照性别进行了分层抽样调查，一共调查了900名观众对A影片和B影片的喜爱度，获得了以下数据：(1)哪个影片更受学生欢迎？（不用说明理由）(2)分别估计该电影院男观众和女观众对B影片表示“非常喜爱”的概率；(3)该电影院为了进一步调查观众对B影片的看法，对样本中的女观众用分层抽样抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人参加座谈，求这两人均来自“一般喜爱”群体的概率.16．（2023秋·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期末）冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮.某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高三年级1000名学生中随机选出40名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格.若高三年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”；否则该年级体能达标为“不合格”，.现将这40名学生随机分成甲、乙两个组，其中甲组有24名学生，乙组有16名学生.经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下：甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6.（数据的最后结果都精确到整数）(1)求这40名学生测试成绩的平均分x和标准差s；(2)假设高三学生的体能达标预测成绩服从正态分布N（μ，2σ），用样本平均数x作为μ的估计值μ，用样本标准差s作为σ的估计值σ.利用估计值估计，高二学生体能达标预测是否“合格”；(3)为增强趣味性，在体能达标的跳绳测试项目中，同学们可以向体育特长班的强手发起挑战.每场挑战赛都采取七局四胜制.积分规则如下：以4:0或4:1获胜队员积4分，落败队员积0分；以4:2或4:3获胜队员积3分，落败队员积1分.假设体育生王强每局比赛获胜的概率均为23，求王强在这轮比赛中所得积分为3分的条件下，他前3局比赛都获胜的概率.附：①n 个数的方差2211()n i i s x x n ==-∑；②若随机变量Z ～N （μ，2σ），则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=，()330.9974P Z μσμσ-<<+=.17．（2023·山东淄博·统考一模）某电商平台统计了近七年小家电的年度广告费支出i x (万元)与年度销售量i y (万台)的数据，如表所示:年份2016201720182019202020212022广告费支出x 1246111319销售量y1.93.24.04.45.25.35.4其中71279.4i i i x y ==∑，721708i i x ==∑(1)若用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求出y 关于x 的线性回归方程；(2)若用y c =+模型拟合得到的回归方程为1.63y =+，经计算线性回归模型及该模型的2R 分别为0.75和0.88，请根据2R 的数值选择更好的回归模型拟合y 与x 的关系，进而计算出年度广告费x 为何值时，利润200zy x =- 的预报值最大？参考公式：()()()1122211nniiiii i nniii i x ynx y xxy y bxnxxx====---==--∑∑∑∑ ，a y bx =-$$；18．（2023·山东济南·一模）为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该较10名学生进行体质测试，得到如下表格：记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为x ，2s ，经计算()102111690i x x =-=∑，102133050ii x==∑．(1)求x ；(2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X ，求X 的分布列；(3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布()2,N μσ，用x ，2s 的值分别作为μ，2σ的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间[]30,82的人数为Y ，求Y 的数学期望()E Y ．附：若()2,N ξμσ ，则()0.6827P μσξμσ-≤≤+≈，(22)0.9545P μσξμσ-≤≤+≈，330.9()973P μσξμσ-≤≤+≈．（3）因为()22111156,16901691010i x s x x===-=⨯=∑，所以56,13μσ==．因为(3082)(22)0.9545P X P μσξμσ≤≤=-≤≤+≈，所以学生的体质测试成绩恰好落在区间[30,82]得概率约为0.9545，故(100,0.9545)Y B ~，所以()1000.954595.45E Y =⨯=．19．（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）某公司对40名试用员工进行业务水平测试，根据测试成绩评定是否正式录用以及正式录用后的岗位等级，测试分笔试和面试两个环节．笔试环节所有40名试用员工全部参加；参加面试环节的员工由公司按规则确定．公司对40名试用员工的笔试得分(笔试得分都在[75,100]内)进行了统计分析，得到如下的频率分步直方图和22⨯列联表．男女合计优(得分不低于90分)8良(得分低于90分)12合计40(1)请完成上面的22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为“试用员工的业务水平优良与否”与性别有关；(2)公司决定：85分的员工直接淘汰，得分不低于85分的员工都正式录用．笔试得分在[95,100]内的岗位等级直接定为一级(无需参加面试环节)；笔试得分在[90,95)内的岗位等级初定为二级，但有25的概率通过面试环节将二级晋升为一级；笔试分数在[85,90)内的岗位等级初定为三级，但有35的概率通过面试环节将三级晋升为二级．若所有被正式录用且岗位等级初定为二级和三级的员工都需参加面试．已知甲、乙为该公司的两名试用员工，以频率视为概率．①若甲已被公司正式录用，求甲的最终岗位等级为一级的概率；②若乙在笔试环节等级初定为二级，求甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级的概率．参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，.n a b c d =+++()20P k χ0.150.100.050.0100k 2.0722.7063.8416.635所以20.317 2.706(84)(1612)(816)(412)χ=<++++，因此没有90%的把握认为“试用员工的业务水平优良与否”与性别有关；（2）不低于85分的员工的人数为：40(0.060.040.02)524⨯++⨯=，直接定为一级的概率为0.025401246⨯⨯=，岗位等级初定为二级的概率为：0.045401243⨯⨯=，岗位等级初定为三级的概率为：0.065401242⨯⨯=.①甲的最终岗位等级为一级的概率为：112363510+⨯=；②甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级的概率为：2333390.0250.0450.0450.0655555525⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=.20．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）为加快推动旅游业复苏，进一步增强居民旅游消费意愿，山东省人民政府规定自2023年1月21日起至3月31日在全省实施景区门票减免，全省国有A 级旅游景区免首道门票，鼓励非国有A 级旅游景区首道门票至少半价优惠．本次门票优惠几乎涵盖了全省所有知名的重点景区，据统计，活动开展以来游客至少去过两个及以上景区的人数占比约为90%．某市旅游局从游客中随机抽取100人（其中年龄在50周岁及以下的有60人）了解他们对全省实施景区门票减免活动的满意度，并按年龄（50周岁及以下和50周岁以上）分类统计得到如下不完整的22⨯列联表：不满意满意总计50周岁及以下5550周岁以上15总计100(1)根据统计数据完成以上22⨯列联表，并根据小概率值0.001α=的独立性检验，能否认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联？(2)现从本市游客中随机抽取3人了解他们的出游情况，设其中至少去过两个及以上景区的人数为X ，若以本次活动中至少去过两个及以上景区的人数的频率为概率．①求X 的分布列和数学期望；②求()11P X -≤．参考公式及数据：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．()2P k αχ=≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828【答案】(1)补全的22⨯列联表见解析；有关；(2)①分布列见解析；() 2.7E X =；②0.271【分析】（1）由题意，抽取的100人年龄在50周岁及以下的有60人，则年龄在50周岁以上的有40人，即可补全22⨯列联表，再根据公式计算212.76χ=，即可判断；（2）①由题意可知(3,0.9)X B ，根据二项分布即可求解分布列及数学期望；②根据则2100(5251555)12.7610.82820806040χ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯.所以在犯错误的概率不超过0.001的情况下认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联.（2）①由题意可得，游客至少去过两个及以上景区的概率为0.9，则(3,0.9)X B ，X 的所有可能取值为0，1，2，3，033(0)C 0.10.001P X ==⨯=，123(1)C 0.90.10.027P X ==⨯⨯=，223(2)C 0.90.10.243P X ==⨯⨯=，333(3)C 0.90.729X ==⨯=，所以X 的分布列如下：因为(3,0.9)X B ，所以数学期望()30.9 2.7E X =⨯=.②()(11)(0)(1)(2)13P X P X P X P X P X -≤==+=+==-=10.7290.271=-=.21．（2023秋·湖北·高三湖北省云梦县第一中学校联考期末）皮影戏是一种民间艺术，是我国民间工艺美术与戏曲巧妙结合而成的独特艺术品种，已有千余年的历史.而皮影制作是一项复杂的制作技艺，要求制作者必须具备扎实的绘画功底和高超的雕刻技巧，以及持之以恒的毅力和韧劲.每次制作分为画图与剪裁，雕刻与着色，刷清与装备三道主要工序，经过以上工序处理之后，一幅幅形态各异，富有神韵的皮影在能工巧匠的手里浑然天成，成为可供人们欣赏和操纵的富有灵气的影人.小李对学习皮影制作产生极大兴趣，师从名师勒学苦练，目前水平突飞猛进，三道主要工序中每道工序制作合格的概率依次为323,534，，三道序彼此独立，只有当每道工序制作都合格才为一次成功的皮影制作，该皮影视为合格作品．(1)求小李进行3次皮影制作，恰有一次合格作品的概率；(2)若小李制作15次，其中合格作品数为X ，求X 的数学期望与方差；(3)随着制作技术的不断提高，小李制作的皮影作品被某皮影戏剧团看中，聘其为单位制作演出作品，决定试用一段时间，每天制作皮影作品，其中前7天制作合格作品数y 与时间：如下表：（第1天用数字1表示）时间（t ）1234567合格作品数（y ）3434768其中合格作品数（y ）与时间（t ）具有线性相关关系，求y 关于t 的线性回归方程（精确到0.01），并估算第15天能制作多少个合格作品（四舍五入取整）？（参考公式()()()11222ˆnni i i ii i nn iix ynxyx x yybxnxx x ==---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx =-，参考数据：71163i i i t y ==∑）．。
2023高考数学复习专项训练《面面垂直的判定》(含解析)
2023高考数学复习专项训练《面面垂直的判定》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）已知A={ x|3a−1<x<2a+3}，B={ x|x2−x−2⩽0}，A⊆B，则a的取值范围为()A. { a|a⩽−12} B. { a|a⩽12或a⩾0}C. { a|a⩾4}D. { a|a⩽0或a⩾4}2.（5分）定义：设函数f(x)的定义域为D，如果[m,n]⊆D，使得f(x)在[m,n]上的值域为[m,n]，则称函数f(x)在[m,n]上为“等域函数”，若定义域为[1e,e2]的函数g(x)= c x(c>0,c≠1)在其定义域的某个区间上为“等域函数”，则实数c的取值范围为()A. [2e2,1e) B. [2e2,1e]C. [e2e2,e1e] D. [e2e2,e1e)3.（5分）设x、y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”.（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件4.（5分）命题p：关于x的不等式ax2+ax−x−1<0的解集为(−∞,−1)∪(1a,+∞)的一个充分不必要条件是().A、a⩽−1B、a>0C、−2<a<0D、a<−2A. a⩽−1B. a>0C. −2<a<0D. a<−25.（5分）函数y=loga (2x−3)+√22(a>0且a≠1)的图像恒过定点P，且点P在幂函数f(x)的图像上，则f(4)=()A. 2B. 12C. 14D. 166.（5分）设ab>0，下面四个不等式：①|a+b|>|a|；②|a+b|<|b|；③|a+b|<|a−b|；④|a+b|>|a|−|b|；正确的是()A. ①和②B. ①和③C. ①和④D. ②和④7.（5分）已知ΔABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2+c 2<a 2，且cos 2A −3sin A +1=0，则sin (C −A)+√32cos (2A −B)的取值范围为 ( )A. (−12,−√34) B. (−12,−√34] C. [0,√34] D. (−23,−12) 8.（5分）函数y =x 2+ln |x|的图象大致为( )A. B.C.D.9.（5分）已知函数f(x)=x 1−|x|(x ∈D)，有下列四个结论：①对任意x ∈D ，f(−x)+f(x)=0恒成立；②对任意m ∈(0,1)，方程|f(x)|=m 有两个不相等的实数根； ③存在函数g(x)使得g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y =x 对称； ④对任意k ∈(1,+∞)，函数g(x)=f(x)−kx 在D 上有三个零点． 则上述结论中正确的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 410.（5分）已知函数f (x )的定义域为R ，f (x +2)为偶函数，f (2x +1)为奇函数，则( )A. f (−12)=0B. f (−1)=0C. f (2)=0D. f (4)=011.（5分）已知定义在R 上的奇函数f(x)，且当x ∈[0,+∞)时，f(x)单调递增，则不等式f(2x +1)+f(1)⩾0的解集是()A. (−∞,1)B. (−1,+∞)C. [−1,+∞)D. (−∞,1]12.（5分）已知集合A ={x|1<x <3}，集合B ={x|log 2(x +1)⩽2}，则A ∪B =()A 、{x|1<x <3}B 、{x|x ⩽3}C 、{x|−1<x <3}D 、{x|1−<x ⩽3} A. {x|1<x <3} B. {x|x ⩽3} C. {x|−1<x <3}D. {x|1−<x ⩽3}二 、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）函数f(x)=x−1x中，若f（x）=0，则x=__________.14.（5分）某班有36名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则只参加物理小组的有__________人，同时参加数学和化学小组的有__________人．15.（5分）写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)： ______ .①f(x1x2)=f(x1)f(x2)；②当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0；③f′(x)是奇函数.16.（5分）已知函数f(x)满足以下条件：①在R上单调递增；②对任意x1，x2，均有f(x1)⋅f(x2)=4f(x1+x2)，则f(x)的一个解析式为 ______.17.（5分）已知等式sin230°+sin230°+sin30°⋅sin30°=34sin220°+sin240°+sin20°⋅sin40°=34sin210°+sin250°+sin10°⋅sin50°=34请你写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含了已知的等式，这个等式是______.三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）已知集合A={x|1⩽x−1⩽4}，B={x|−2<x⩽3}，C={x|2a−1< x<2a+1}.(1)若x∈C是“x∈A”的充分条件，求实数a的取值范围；(2)若(A∩B)⊆C，求实数a的取值范围．19.（12分）已知函数f(x)=√3sinx+mcosx(m∈R).(Ⅰ)若m=1，求f(π12)的值；(Ⅰ)若m=√6，且f(x)=0，求tan2x.20.（12分）立德中学高一年级共有200名学生报名参加学校团委与学生会组织的社团组织．据统计，参加艺术社团组织的学生有103人，参加体育社团组织的学生有120人(并非每个学生必须参加某个社团).求在高一年级的报名学生中，同时参加这2个社团的最多有多少人？最少有多少人？21.（12分）已知sin(α−β)=12，sin(α+β)=13.(1)证明：tanα+5tanβ=0；(2)计算：tan(α−β)−tanα+tanβtan2α·tan(α−β)的值．22.（12分）在①两个相邻对称中心的距离为π2，②两条相邻对称轴的距离为π2，③两个相邻最高点的距离为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对其求解．问题：函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象过点(0,12)，且满足________，当α∈(0,π2)时，f(α2)=−√22，求sinα的值．23.（12分）已知函数f(x)=ax−2b x 2+1是定义在[−1,1]上的奇函数，且f(1)=1.(1)求a ，b 的值；(2)判断函数f(x)的单调性并用定义加以证明；(3)求使f(m −1)+f(2m −1)<0成立的实数m 的取值范围． 四 、多选题（本大题共5小题，共25分） 24.（5分）下列说法正确的是()A. “a >1”是“1a <1”的充分不必要条件B. 命题“∀x >1，x 2<1”的否定是“∃x <1，x 2⩾1”C. “x >1”是“(x −1)(x +2)>0”的必要条件D. 设a ，b ∈R ，则“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件 25.（5分）设a >1，b >1且ab −(a +b)=1，那么( )A. a +b 有最小值2+2√2B. a +b 有最大值2+2√2C. ab 有最小值3+2√2D. ab 有最大值1+√226.（5分）已知x ，y ∈R ，x >0，y >0，且x +2y =1.则下列选项正确的是()A. 1x +1y 的最小值为4√2 B. x 2+y 2的最小值为15 C.x−2y x 2+y 2>1D. 2x+1+4y ⩾427.（5分）已知M 、N 均为实数集R 的子集，且N ∩∁R M =∅，则下列结论中正确的是( )A. M ∩∁R N =∅B. M ∪∁R N =RC. ∁R M ∪∁R N =∁R MD. ∁R M ∩∁R N =∁R M28.（5分）已知函数f(x)=2cos (ωx +ϕ)(ω>0,|ϕ|<π2)的图象上，对称中心与对称轴x =π12的最小距离为π4，则下列结论正确的是( )A. f (x )+f (5π6−x)=0 B. 当x ∈[π6,π2]时，f (x )⩾−√3C. 若g(x)=2cos2x ，则g (x −π6)=f (x )D. 若sin 4α−cos 4α=−45，α∈(0,π2)，则f (α+π4)的值为4−3√35答案和解析1.【答案】C;【解析】解：由题意知B ={ x |−1⩽x ⩽2}， (1)A =∅时，3a −1⩾2a +3，解得a ⩾4，满足题意；(2)A ≠∅时，a <4，由A ⊆B ，即有{2a +3⩽2，解得{a ⩽−12，可得a ∈∅； 综上，a ⩾4. 故选：C.分别讨论A 是否为空集，结合集合的关系，可得a 的不等式组，解不等式可得所求范围． 此题主要考查集合关系中的含参问题，注意对集合A 分空集和不是空集2种情况进行讨论，属于较易问题．2.【答案】D;【解析】解：由题意得，函数g(x)的图象与直线y =x 在[1e ,e 2]上有两个交点，即方程c x =x 在[1e,e 2]上有两个不等实根，即lnc =lnx x在[1e ,e 2]上有两个不等实根．设函数ℎ(x)=lnx x(1e⩽x ⩽e 2)，ℎ′(x)=1−lnx x 2，当1e⩽x <e 时，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)单调递增； 当e <x ⩽e 2时，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单调递减． 所以ℎ(x)在x =e 处取得极大值，也是最大值，为ℎ(e)=1e .又ℎ(1e )=−e,ℎ(e 2)=2e 2， 故2e 2⩽lnc <1e ，解得e 2e 2⩽c <e 1e.故选：D.由题意可得函数g(x)的图象与直线y =x 在[1e ,e 2]上有两个交点，即lnc =lnx x在[1e ,e 2]上有两个不等实根．构造函数，通过导数求函数的最值与区间端点值，数形结合求解即可．此题主要考查了导数的新定义问题，考查转化思想，属于中档题．3.【答案】A; 【解析】略4.【答案】null; 【解析】此题主要考查了一元二次不等式的解法，充分必要条件的应用，属于中档题. 先根据命题p 成立的充要条件，求出a 的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义结合各选项可得答案.解：由题意命题p 即(ax −1)(x +1)<0的解集为(−∞,−1)∪(1a ,+∞)，即充要条件为{a <0−1⩽1a ，解得a ⩽−1，因为(−∞,−2)⫋(−∞,−1]所以a <−2是a ⩽−1的一个充分不必要条件， 故选D.5.【答案】B; 【解析】此题主要考查了对数的恒过定点问题以及幂函数的解析式和求值，属于基础题.将定点代入幂函数解析式，可得a ，进而可求f(4).解：可知函数y =log a (2x −3)+√22(a >0且a ≠1)的图象恒过定点P(2,√22)， 令幂函数为f(x)=x a ，代入P 点坐标， 可得√22=2a ，则a =−12， f(x)=x −12， 则f(4)=4−12=12.故选B.6.【答案】C;【解析】此题主要考查了不等式与绝对值不等式，根据ab >0，逐项判断即可得到答案.解：∵ab >0，∴a 、b 同号，∴ |a +b|>|a|，|a +b|=|a|+|b|，∴①④正确，故选C.7.【答案】A; 【解析】此题主要考查了二倍角公式，解三角形，以及三角恒等变换等内容，需要学生熟练掌握并巧妙变换．由题意，利用二倍角公式将cos2A −3sin A +1=0化成关于sin A 的一元二次方程，解出sin A 的值，利用cos A <0求出A 的取值；将A 的值和B =π−A −C 代入并化简，可以得到关于C 的三角函数，利用三角函数单调性求出值域，即所求．解：因为cos2A −3sin A +1=0， 所以1−2sin2A −3sin A +1=0， 所以sin A =12或−2(舍)， 又因为cos A <0， 所以A =5π6， 所以sin (C −A)+√32cos (2A −B)=sin (C −5π6)+√32cos [2×−(π−5π6−C)]=sin (C −5π6)+√32sin C =−12cos C ， 又因为C ∈(0,π6)， 所以cos C ∈(√32,1)， 所以−12cos C ∈(−12,−√34) .故选A.8.【答案】A;【解析】此题主要考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性和函数值的变化趋势，属于基础题．先求出函数为偶函数，再根据函数值的变化趋势或函数的单调性即可判断． 解：∵f(−x)=x 2+ln |x|=f(x)， ∴y =f(x)为偶函数，∴y =f(x)的图象关于y 轴对称，故排除B ，C ， 当x >0时，y =x 2+ln x 为增函数，故排除D. 故选A .9.【答案】C;【解析】解：①函数的定义域是{x|x ≠±1},f(−x)+f(x)=−x 1−|−x|+x 1−|x|=0，故①正确；②y =|f(x)|=|x1−|x||={x x−1,x >1x 1−x ,0<x <1−x1+x,−1<x <0−x x+1,x <−1，函数的图象如图所示：y =m 与函数图象有2个交点，故②正确；③设函数g(x)上的任一点为P(x,y)关于y =x 的对称点为(y,x)在函数f(x)上， 则x =y 1−|y|，当y >0时，y =xx+1，当y ⩽0时，y =x 1−x，当x =2时，y =23或y =−2，存在一个x 对着两个y 的值，所以不存在函数g(x)使得g(x)的图象与f(x)的图象关于直线v =x 对称，故③不正确； ④x1−|x|−kx =0，当x =0时，满足方程，所以方程的一个实数根是x =0，当x ≠0时，k =11−|x|,|x|=1−1k ，当k >1时，1−1k >0,x =±(1−1k )，)，所以函数有3个零所以满足方程g(x)=f(x)−kx=0的有三个实数根据0,±(1−1k点，故④正确．故正确的个数有3个．故选：C.①根据解析式计算f(−x)+f(x)=0；②画出函数y=|f(x)|的图象，由图象的交点个数判断实数根的个数；③假设存在函数g(x)满足条件，再根据函数的定义，判断选项；④根据f(x)−kx=0，求方程的实数根的个数，再判断定义域上的零点个数．此题主要考查函数的图象和性质，零点，重点考查数形结合分析问题的能力，推理能力，属于中档题型．10.【答案】B;【解析】本题是对函数奇偶性和周期性的综合考查，属于拔高题.推导出函数f(x)是以4为周期的周期函数，由已知条件得出f(1)=0，结合已知条件可得出结论.解：因为函数f(x+2)为偶函数，则f(2+x)=f(2−x)，可得f(x+3)=f(1−x)，因为函数f(2x+1)为奇函数，则f(1−2x)=−f(2x+1)，所以，f(1−x)=−f(x+1)，所以，f(x+3)=−f(x+1)=f(x−1)，即f(x)=f(x+4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，因为函数F(x)=f(2x+1)为奇函数，则F(0)=f(1)=0，故f(−1)=−f(1)=0，其它三个选项未知.故选B.11.【答案】C;【解析】此题主要考查综合运用函数的单调性与奇偶性解不等式，属于中档题.解：因为函数在[0,+∞)上是增函数，且函数是奇函数，所以函数在(−∞,0)上是增函数，函数在x=0处连续，所以函数在R上是增函数，又f(−1)=−f(1)，所以不等式可化为f(2x+1)⩾−f(1)=f(−1)，所以2x+1⩾−1，解得x⩾−1，即不等式的解集为[−1,+∞).故选C.12.【答案】null;【解析】解：集合A={x|1<x<3}，集合B={x|log2(x+1)⩽2}={x|−1<x⩽3}，则A∪B={x|−1<x⩽3}.故选：D.求出集合A，集合B，利用并集定义能求出A∪B.此题主要考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】1或-1;【解析】略14.【答案】5;8;【解析】此题主要考查运用集合间的关系确定元素个数问题以及venn图的运用，属于基础题．把集合间的关系利用方程表示出来，再解方程即可．解：由条件知，每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学小组，因为参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，所以只参加物理的有15−6−4=5人．设同时参加数学和化学小组的人数有x人，则只参加数学的有26−6−x=20−x，只参加化学的有13−4−x=9−x.又总人数为36人，即20−x+x+6+4+5+9−x=36，所以44−x=36，解得x=8.即同时参加数学和化学小组的人数有8人，15.【答案】f(x)=x2;【解析】此题主要考查了幂函数的求导公式，奇函数的定义及判断，考查了计算能力，属于基础题．函数f(x)=x 2，f(x 1x 2)=(x 1x 2)2=x 12x 22=f(x 1)f(x 2)满足①，求出导函数，可判断满足②③．解：f(x)=x 2时，f(x 1x 2)=(x 1x 2)2=x 12x 22=f(x 1)f(x 2)；当x ∈(0,+∞)时，f′(x)=2x >0；f′(x)=2x 是奇函数． 故答案为：f(x)=x 2.16.【答案】f （x ）=2x+2;【解析】解：因为函数f(x)满足对任意x 1，x 2，均有f(x 1)⋅f(x 2)=4f(x 1+x 2)， 故考虑基本初等函数中的指数函数， 又f(x)在R 上单调递增， 则指数函数的底数大于1，所以f(x)的一个解析式为f(x)=2x+2. 故答案为：f(x)=2x+2.由条件②，考虑为基本初等函数中的指数函数，再利用单调性，即可得到答案． 此题主要考查了基本初等函数性质的理解与应用，指数函数性质的理解与应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．17.【答案】si n 2α+si n 2（60°-α）+sinα•sin （60°-α）=34;【解析】解：等式的右边为常数34，等式左边的两个角之和为60°，故由归纳推理可知，满足条件的一个结论可以是：sin 2α+sin 2(60°−α)+sinα⋅sin(60°−α)=34.故答案为：sin 2α+sin 2(60°−α)+sinα⋅sin(60°−α)=34.根据两个等式的特点，确定角和角之间的关系，然后利用归纳推理归纳出结论． 此题主要考查归纳推理的应用，根据归纳推理，先从条件中确定等式的规律是解决此类问题的基本思路，属于基础题．18.【答案】解：（1）集合A={x|1≤x -1≤4}={x|2≤x≤5}，C={x|2a-1＜x ＜2a+1}， ∵x ∈C 是“x ∈A”的充分条件，∴{2a +1≤52a −1≥2，解得32≤a ≤2， ∴实数a 的取值范围是[32，2]；（2）∵集合A={x|1≤x -1≤4}={x|2≤x≤5}，B={x|-2＜x≤3}，C={x|2a-1＜x ＜2a+1}， ∴A∩B={x|2≤x≤3}，（A∩B ）⊆C ，∴{2a −1<22a +1>3，解得1＜a ＜32， ∴实数a 的取值范围是（1，32）．;【解析】(1)求出集合A ，利用x ∈C 是“x ∈A ”的充分条件，列出不等式组，由此能求出实数a 的取值范围；(2)利用交集定义求出A ∩B ，利用(A ∩B)⊆C ，列出不等式组，由此能求出实数a 的取值范围．此题主要考查集合的运算，考查充分条件、子集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：（Ⅰ）若m=1，则函数f （x ）=√3sinx+cosx=2sin （x+π6）， ∴f （π12）=2sin π4=√2．（Ⅱ）∵m=√6，f （x ）=√3sinx+√6cosx=0， ∴√3sinx-=-√6cosx ，∴tanx=-√2， ∴tan2x=2tanx 1−tan 2x =2√2．;【解析】(Ⅰ)由题意，利用两角和差的三角公式化简函数f(x)的解析式，从而得到f(π12)的值．(Ⅰ)先由题意求得tanx 的值，再利用二倍角的正切公式，计算tan2x 的值． 此题主要考查两角和差的三角公式，二倍角的正切公式，属于基础题．20.【答案】解：由题意：当艺术社团组织的103名学生都参加体育社团组织时，同时参加这2个社团的学生最多，且有103人；当每个学生都参加某个社团时，同时参加这2个社团的学生最少，且有103+120-200=23人，所以同时参加这2个社团的最多有103名学生，最少有23名学生．; 【解析】由题可知当艺术社团组织的学生都参加体育社团组织时，同时参加这2个社团的人数最多，当每个学生都参加某个社团时，同时参加这2个社团的学生最少． 此题主要考查集合的应用，考查运算求解能力，属于基础题．21.【答案】解：（1）证明：由条件sin(α−β)=12，sin(α+β)=13， 即sinαcosβ−cosαsinβ=12，sinαcosβ+cosαsinβ=13， 解得sinαcosβ=512，cosαsinβ=−112，可得tanαtanβ=-5， 从而可得tanα=-5tanβ，tanα+5tanβ=0得证．（2）由tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ，可得tanα-tanβ=tan （α-β）（1+tanαtanβ），∴原式=tan(α−β)−tanα+tanβtan 2αtan(α−β)=tan(α−β)−tan(α−β)(1+tanαtanβ)tan 2αtan(α−β)=−tan(α−β)·tanαtanβtan 2αtan(α−β)=−tanβtanα=15．;【解析】(1)由题意，把所给条件利用两角和差的三角公式展开，化简可得结论． (2)由题意，把两角差的正切公式展开变形，代入要求的式子化简，可得结论． 此题主要考查两角和差的三角公式的应用，同角三角函数的基本关系，属于中档题．22.【答案】解：由函数f(x)=cos(ωx +φ)的图象过点(0,12)，得f(0)=cosφ=12， 又因为0<φ<π2，所以φ=π3，在①②③三个条件中任选一个，可知最小正周期T =π， 根据T =2π|ω|， 得ω=2，所以f(x)=cos(2x +π3)， 由f(α2)=−√22，得cos(α+π3)=−√22， 由α∈(0,π2)，得α+π3∈(π3,5π6)，所以sin(α+π3)=√1−cos 2(α+π3)=√22， sinα=sin[(α+π3)−π3]=sin(α+π3)cos π3−cos(α+π3)sin π3 =√22×12−(−√22)×√32=√2+√64. ;【解析】此题主要考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，属于中档题. 先由f(0)=12求出φ，由三个条件中任选一个，可知最小正周期T =π，得ω=2，求出f(x) ，结合条件以及同角三角函数关系求得sin(α+π3)，再利用两角差的正弦公式即可求解.23.【答案】null; 【解析】(1)由奇函数的性质可得f(0)=0，可求得b 的值，再由f(1)=1可求得a 的值，从而可得a ，b 的值；(2)f(x)在[−1,1]上是增函数，利用增函数的定义即可证明；(3)根据函数的奇偶性与单调性将不等式转化为关于m 的一次不等式，求解即可． 此题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查不等式的解法，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．24.【答案】AD;【解析】解：对于A ：当“a >1”时“1a <1”成立，反之不成立，故“a >1”是“1a <1”的充分不必要条件，故A 正确；对于B ：命题“任意x >1，都有x 2<1”的否定是“存在x >1，使得x 2⩾1”故B 不正确； 对于C ：x >1，则(x −1)(x +2)>0，但由(x −1)(x +2)>0，不能推出x >1，故“x >1”是“(x −1)(x +2)>0”的充分不必要条件，故C 不正确；对于D ：设a ，b ∈R ，则“a ≠0”推不出“ab ≠0”，由“ab ≠0”能够推出“a ≠0”，故“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件，故D 正确． 故选：AD.直接利用充分条件和必要条件，命题的否定，简易逻辑中的相关知识的应用判断A 、B 、C 、D 的结论此题主要考查的知识要点：充分条件和必要条件，命题的否定，简易逻辑，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．25.【答案】AC;【解析】解：∵a >1，b >1， ∴ab =1+(a +b)⩽(a+b 2)2(当且仅当a =b >1时，取等号)，即(a +b)2−4(a +b)−4⩾0且a +b >2， ∴a +b ⩾2+2√2，∴a +b 有最小值2+2√2，即选项A 正确，B 错误；由ab −(a +b)=1，得ab −1=a +b ⩾2√ab (当且仅当a =b >1时，取等号)， 即ab −2√ab −1⩾0且ab>1， ∴ab ⩾3+2√2，∴ab 有最小值3+2√2，即选项C 正确，D 错误． 故选：AC ． 由(a +b)⩽(a+b 2)2，可推出a +b 的最小值；由a +b ⩾2√ab ，可推出ab 的最小值．该题考查基本不等式的应用，熟练掌握基本不等式的各种变形是解答该题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．26.【答案】BD;【解析】解：对于A ：已知x ，y ∈R ，x >0，y >0，且x +2y =1，所以1x +1y =x+2y x+x+2y y=1+3+2y x+xy ⩾4+2√2，当且仅当x 2=2y 2等号成立，故A 错误；对于B ：x 2+y 2=(1−2y)2+y 2=5y 2−4y +1=5(y −25)2+15，当y =25时，最小值为15；故B 正确；对于C ：当x =12，y =14时，x−2yx 2+y 2>1不成立，故C 错误；对于D ：2x+1+4y =2x+1+22y ⩾2√2x+2y+1=4，当且仅当y =12时，等号成立，故D正确．故选：BD.直接利用不等式的性质和基本不等式的应用判断A、B、C、D的结论．此题主要考查的知识要点：不等式的性质，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．27.【答案】BD;【解析】解：因为N∩∁R M=∅，所以N⊆M，所以M∩∁R N≠∅，选项A错误；M∪∁R N=R，选项B正确；∁R M∪∁R N=∁R N，选项C错误；∁R M∩∁R N=∁R M，选项D正确．故选：BD.根据题意知N⊆M，利用交集、并集和补集的定义，判断正误即可．此题主要考查了集合的定义与运算问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．28.【答案】BD;【解析】此题主要考查了余弦函数的图象及性质，同角三角函数关系及两角差的余弦公式，属于中档题.根据对称中心与对称轴的最小距离求出周期T，得到ω=2，再根据对称轴方程求出ϕ=−π6，再根据余弦函数的图象及性质对四个选项一一判断即可，选项D先利用同角三角函数关系及二倍角公式化简，再求出f(α+π4).解：由题有T=π，则ω=2，又由对称轴x=π12可得，2×π12+ϕ=kπ，k∈Z，又|ϕ|<π2，则ϕ=−π6，故f(x)=2cos(2x−π6)，对于A，因为f(x)+f(5π6−x)=2cos(2x−π6)+2cos(53π−2x−π6)=2cos(2x−π6)−2sin2x=2cos2x cosπ6+2sin2x sinπ6−2sin2x=√3cos2x−sin2x则f(x)+f(5π6−x)=0错误，故A选项不正确.对于B，x∈[π6,π2]，则2x−π6∈[π6,5π6]，则f(x)∈[−√3,√3]，故B选项正确；对于C，f(x)=2cos2(x−π12)，应将g(x)=2cos2x的图象向右平移π12个单位，故C选项错误．对于D，sin4α−cos4α=−cos2α=−45，且α∈(0,π2)，则2α∈(0,π)，故cos2α=45，sin2α=35，而f (α+π4)=2cos (2α+π3)=cos 2α−√3sin 2α=4−3√35，故D 选项正确； 故选BD .。
高考数学备考基础知识训练22试题
本卷贰O贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。 本卷贰O贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。 备考2021高考数学根底知识训练〔22〕
本卷贰O贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。 班级______ 姓名_________ 学号_______ 得分_______
一、填空题〔每一小题5分，一共70分〕 1 ．sin600º的值是____________．
2 ．化简：①ABBCCD___；②ABADDC____； ③()()ABCDACBD_____
3 ．关于x的不等式012xx的解集为_______________. 4 ．过两条直线中的一条，可以作_______个平面平行于另一条直线． 5 ．斜率为2的直线经过三点),1(),7,(),5,3(bCaBA，那么________,ba． 6 ．在五个数字1、2、3、4、5中，假设随机取出三个数字，那么剩下的两个数字都是奇数的概率是________〔结果用数值表示〕。
7 ．右图是根据抽样调查某居民用水量所得的频率分布直方图，由此我们可以估计该有_________%的居民月均用水量在4t 之内.(如图在[4,4.5]的直方图高为0.03) 本卷贰O贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
本卷贰O贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。 8 ．下面算法流程图的功能是“输入两个数，输出这两个数差的绝对值〞，那么①②处分别填： ①处填 ；②处填 ．
9 ．命题：“假设a·b不为零，那么a,b都不为零〞的逆否命题是_____________________ 10．设等边ABC的边长为a，P是ABC内的任意一点，且P到三边CABCAB,,的间隔 分别为321,,ddd，那么有321ddd为定值a23；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体
高考数学二面角专题训练
高考数学二面角专题训练1.（06安徽卷）如图，P 是边长为1的正六边形ABCDEF 所在平面外一点，1PA =，P 在平面ABC 内的射影为BF 的中点O 。
（Ⅰ）证明PA ⊥BF ；（Ⅱ）求面APB 与面DPB 所成二面角的大小。
解：（Ⅰ）在正六边形ABCDEF 中，ABF 为等腰三角形，∵P 在平面ABC 内的射影为O ，∴PO ⊥平面ABF ，∴AO 为PA 在平面ABF 内的射影；∵O 为BF 中点，∴AO ⊥BF ，∴PA ⊥BF 。
（Ⅱ）∵PO ⊥平面ABF ，∴平面PBF ⊥平面ABC ；而O 为BF 中点，ABCDEF 是正六边形 ，∴A 、O 、D 共线，且直线AD ⊥BF ，则AD ⊥平面PBF ；又∵正六边形ABCDEF 的边长为1，∴12AO =，32DO =，BO =。
过O 在平面POB 内作OH ⊥PB 于H ，连AH 、DH ，则AH ⊥PB ，DH ⊥PB ，所以AHD ∠为所求二面角平面角。
在AHO 中，OH=7，1tan AOAHO OH ∠==。
在DHO中，3tan 7DO DHO OH ∠===；而tan tan()2AHD AHO DHO ∠=∠+∠== （Ⅱ）以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，P(0,0，1)，A(0，12-,0)，0,0)，D(0,2，0)，∴1(0,,1)2PA =--，3(1)PB =-，(0,2,1)PD =-设平面PAB 的法向量为111(,,1)n x y =，则1n PA ⊥，1n PB⊥，得11110210y x ⎧--=⎪⎪-=，123(2,1)3n =-；设平面PDB 的法向量为222(,,1)n x y =，则2n PD ⊥，2n PB ⊥，得22210102y x -=⎧-=⎩，2231(,1)32n =；121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>==⋅2. （06北京卷）如图，在底面为平行四边表的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点.（Ⅰ）求证：AC PB ⊥；（Ⅱ）求证：//PB 平面AEC ； （Ⅲ）求二面角E AC B --的大小.解法一：（Ⅰ）PA ⊥平面ABCD ，∴AB 是PB 在平面ABCD 上得射影， 又AB ⊥AC ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥PB.（Ⅱ）连接BD ，与AC 相交与O ，连接EO ， ABCD 是平行四边形 ∴O 是BD 的中点 又E 是PD 的中点， ∴EO PB.又PB ⊄平面AEC ，EO ⊂平面AEC ， ∴PB 平面AEC ，（Ⅲ）取BC 中点G ，连接OG ，则点G 的坐标为,,022a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,,02b OC ⎛⎫= ⎪⎝⎭又(,0,0),OE AC a =b b＝（0，－,）,220,0,OE AC OG AC ∴==,,OE AC OG AC ∴⊥⊥EOG ∴∠是二面角E AC B -=的平面角。
立体几何小题基础练-高考数学重点专题冲刺演练(解析版)
立体几何小题基础练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）一、单选题1．（2023·广东·统考一模）已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（）A．12B．2C．3D2．（2023·山东济南·一模）已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（）A．4B．4C．D．3．（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知互不重合的三个平面α、β、γ，其中a αβ⋂=，b βγ= ，c γα= ，且a b P = ，则下列结论一定成立的是（）A ．b 与c 是异面直线B ．a 与c 没有公共点C ．//b cD ．b c P= 【答案】D【分析】根据题设条件可得相应的空间图形，从而可得正确的选项.【详解】∵a b P = ，∴P a ∈，P b ∈，∵a αβ= ，b βγ= ，∴P α∈，P β∈，P γ∈，∵c αγ⋂=，∴P c ∈，∴b c P = ，∴a c P ⋂=，如图所示：故A ，B ，C 错误；故选：D ．4．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）《九章算术·商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵..”我们可以翻译为：取一长方体，分成两个一模一样的直三棱柱，称为堑堵.再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得一个四棱锥和一个三棱锥，这个四棱锥称为阳马，这个三棱锥称为鳖臑.现已知某个鳖臑的体积是1，则原长方体的体积是（）A ．8B ．6C ．4D ．35．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）已知矩形ABCD 中，AB =8，取AB 、CD 的中点E 、F ，沿直线EF 进行翻折，使得二面角A EF B --的大小为120°，若翻折后A 、B 、C 、D 、E 、F 都在球O 上，且球O 的体积为288π，则AD =（）A ．B ．C ．4D ．2记三角形CDF 外接圆的圆心为因为二面角A EF B --的大小为且,EF DF EF CF ⊥⊥，所以所以30DCF ∠=o ，由正弦定理可得sin DFDCF∠6．（2023·山东日照·统考一模）红灯笼，起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面除去上下两个相同球冠剩下的部分.如图2，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半径为R，球冠的高为h，则球冠的面积S Rh=.如图1，已知该灯笼的高为58cm，圆柱的高为5cm，圆柱的底面圆直径为14cm，2π则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为（）A．21940πcm B．22400πcm D．22540πcm2350πcm C．27．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）已知圆锥的侧面积为，高为，若圆锥可在某球内自由运动，则该球的体积最小值为（）A．B．8πC．9πD．【答案】D【分析】由圆锥侧面积公式及勾股定理可得圆锥半径r与母线l长，求该圆锥的外接球体积即可.【详解】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则8．（2023·山东威海·统考一模）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为4π的扇形，则该圆锥的表面积为（）A ．4πB ．8πC ．12πD ．20π9．（2023·山东聊城·统考一模）在正方体1111ABCD A B C D -中，直线m 、n 分别在平面ABCD 和11ABB A ，且m n ⊥，则下列命题中正确的是（）A ．若m 垂直于AB ，则n 垂直于AB B ．若m 垂直于AB ，则n 不垂直于ABC ．若m 不垂直于AB ，则n 垂直于ABD ．若m 不垂直于AB ，则n 不垂直于AB【答案】C【分析】根据线面垂直的判定定理及直线位置关系来判定选项即可.【详解】如图所示：A 选项，若m 垂直于AB ，则面11ABB A 内的所有直线均与m 垂直，无法证明,AB n 的关系，故A 选项错误，B 选项与A 同理；C 选项，若m 不垂直于AB ，因为1BB m ⊥，所以当m n ⊥时，1//BB n ，又因为1BB AB ⊥，所以n 垂直于AB ；D 选项与C 同理.故选：C10．（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）则三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面π,6,3,6ABC PA BC CAB ==∠=，则三棱锥-P ABC 的外接球半径为（）A ．3B．C ．D ．611．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm ，高10cm ，加工方法为在底面中心处打一个半径为r cm 且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.r 的值应设计为（）A ．BC ．4D ．5【答案】D【分析】表示出表面积后，根据二次函数性质可得.【详解】大圆柱表面积为2215π10215π750π⨯+⨯⨯=小圆柱侧面积为102πr ⨯，上下底面积为22πr 所以加工后物件的表面积为2750π20π2πr r +-，当=5r 时表面积最大.故选：D12．（2023·湖北·统考模拟预测）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角而得到．如图，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面截角得到所有棱长均为2的截角四面体，则该截角四面体的体积为（）A．B ．2023C D ．13．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）甲、乙两个圆锥的底面积相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 甲、S 乙，体积分别为V 甲、V 乙，若2S S =甲乙，则V V 甲乙等于（）A B ．5C ．5D14．（2023·湖南湘潭·统考二模）已知,,A B C为球O球面上的三个点，若3AB BC AC===，球O的表面积为36π，则三棱锥O ABC-的体积为（）A B．4C．4D．415．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上､下底面的半径分别为3和4，球的表面积为100π，则该圆台的体积为（）A．175π3B．75πC．238π3D．259π3因为圆台上､下底面的半径分别为所以4OB OA ==，1O B 所以2211OO OB O B =-所以127O O =，16．（2023·广东茂名·统考一模）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包下半部分近似一个圆柱，高为2m ；上半部分近似一个与下半部分同底的圆锥，其母线长为，轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是面积为2的等腰钝角三角形，则该蒙古包的体积约为（）A ．321πmB ．318πm C ．(318πm+D ．(320πm+【答案】C因为其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是腰长为()2211sin 23sin 3l αα=⨯⨯=17．（2023·广东茂名·统考一模）已知菱形ABCD 的各边长为2，=60B ∠︒.将ABC 沿AC 折起，折起后记点B 为P ，连接PD ，得到三棱锥P ACD -，如图所示，当三棱锥P ACD -的表面积最大时，三棱锥P ACD -的外接球体积为（）A ．π3B ．π3C ．D ．π34+【点睛】结论点睛：若三棱锥有两个面为共斜边的直角三角形，则三棱锥的外接球的球心为该斜边的中点.18．（2023·江苏·统考一模）已知正四面体-P ABC 的棱长为1，点O 为底面ABC 的中心，球О与该正四面体的其余三个面都有且只有一个公共点，且公共点非该正四面体的顶点，则球O 的半径为（）A B C ．9D ．3二、多选题19．（2023·浙江·统考一模）已知三棱柱ABC DEF -的棱长均相等，则（）A ．AB CF ⊥B ．AE BD ⊥C ．60ABC ∠=︒D ．60ADE ∠=︒【答案】BC【分析】根据题意结合异面直线夹角逐项分析判断.【详解】对A ：∵AD CF ，则AB 与CF 的夹角为BAD ∠，不一定是直角，A 错误；对B ：由题意：ABED 为菱形，则AE BD ⊥，B 正确；对C ：由题意：AB BC CA ==，则60ABC ∠=︒，C 正确；对D ：由题意：ABED 为菱形，则()0,πADE ∠∈，即ADE ∠大小无法确定，D 错误.故选：BC.20．（2023·江苏泰州·统考一模）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 交于点O ，则（）A ．1AD //平面1BOCB ．BD ⊥平面1COC C ．1C O 与平面ABCD 所成的角为45 D ．三棱锥1C BOC -的体积为23【答案】ABD【分析】根据线面平行判定定理判断A ，利用线面垂直判定定理判断B ，利用线面夹角的定义判断C ，根据等体积法判断D.【详解】∵111//,AD BC AD ⊄平面11,BOC BC ⊂平面1,BOC 1∴AD //平面1BOC ，A 对；21．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）已知a ，b 为空间中两条不同直线，α，β为空间中两个不同的平面，则下列命题一定成立的是（）A ．αβ∥，a α⊂，b a b β⊥⇒⊥B ．αβ∥，a α⊥，b a b β⊥⇒∥C ．αβ⊥，a αβ⋂=，b a b β⇒∥∥D ．αβ⊥，a α⊥，b a b β⊥⇒⊥22．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知点P 是正方体1111ABCD A B C D -侧面11BB C C （包含边界）上一点，下列说法正确的是（）A ．存在唯一一点P ，使得DP //1AB B ．存在唯一一点P ，使得AP //面11ACD C ．存在唯一一点P ，使得1A P ⊥1B D D ．存在唯一一点P ，使得1D P ⊥面11AC D 【答案】AD【分析】建立空间直角坐标系，设()1,,1,AD P x z =，写成点的坐标，A 选项，根据向量平行得到方程组，得到0,1x z ==，存在唯一一点P ，使得DP //1AB ，A 正确；B 选项，证明出1BD ⊥ 平面11AC D ，从而得到10AP BD ⋅=，列出方程，解得：x z =，得到P 点轨迹为线段1B C ；C 选项，由向量数量积为0列出方程，得到P 在线段1BC 上，满足条件的P 有无数个；D 选项，在1BD ⊥平面11AC D 的基础上，得到,P B 重合，D 正确.【详解】如图建系，令()1,,1,AD P x z =，则()()()()()()()11111,0,0,1,0,1,0,1,1,0,0,0,1,1,0,0,0,1,1,1,1A A C D B D B ，对于A ，()()1,1,,0,1,1DP x z AB == ，若1//DP AB ，则01x z λλλ=⋅⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得：0,1x z ==故()0,1,1P 满足要求，与1C 重合，存在唯一一点P ，使得DP //1AB ，A 对.对于B ，因为()()1111,1,11,1,0110B AC D ⋅=--⋅-=-= ，()()111,1,11,0,1110BD A D ⋅=--⋅--=-=，因为1111A C A D A ⋂=，111,A C A D ⊂平面11AC D ，所以1BD ⊥ 平面11AC D ，又AP //平面11AC D ，则10AP BD ⋅=，()()1,1,11,1,110x z x z --⋅-=--+=，解得：x z =，故P 点轨迹为线段1B C ，满足条件的P 有无数个，B 错，对于C ，()()11111,1,1,1,1,1,11110A P x z DB A P DB x z x z =--=⋅=-++-=+-= ，P 在线段1BC 上，满足条件的P 有无数个，C 错.对于D ，由B 选项可知：1BD ⊥ 平面11AC D ，而1D P ⊥面11AC D ，又1D P 与1BD共线，故,P B 重合，D 对.故选：AD.23．（2023·山东青岛·统考一模）下列说法正确的是（）A ．若直线a 不平行于平面α，a α⊄，则α内不存在与a 平行的直线B ．若一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β，则αβ∥C ．设l ，m ，n 为直线，m ，n 在平面α内，则“l α⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的充要条件D ．若平面α⊥平面1α，平面β⊥平面1β，则平面α与平面β所成的二面角和平面1α与平面1β所成的二面角相等或互补24．（2023·湖南常德·统考一模）已知平面α，β，直线l ，m ，则下列命题正确的是（）A ．若αβ⊥，,,m l m l αβα⋂=⊥⊂，则l β⊥B ．若l αβα⊂∥，，m β⊂，则//l mC ．若m α⊂，则“l α⊥”是“l m ⊥”的充分不必要条件D ．若m α⊂，l α⊄，则“l α∥”是“l m ”的必要不充分条件【答案】ACD【分析】根据面面垂直的性质定理可判断A,根据线面平行的判断以及性质可判断BD,根据线面垂直的性质可判断C.【详解】由面面垂直的性质定理可知A 正确,对于B,若l αβα⊂∥，，m β⊂，则//l m ,或者,l m 异面，故B 错误,对于C,若m α⊂,l α⊥则l m ⊥,故充分性成立,但是l m ⊥，m α⊂，不能得到l α⊥，故C 正确，对于D,若m α⊂，l α⊄，l α∥,不能得到l m ,因为,l m 有可能异面，但是l m ，m α⊂，l α⊄，则l α∥，故D 正确，故选：ACD25．（2023·广东茂名·统考一模）已知空间中三条不同的直线a 、b 、c ，三个不同的平面αβγ、、，则下列说法中正确的是（）A ．若a b ∥，a α⊥，则b α⊥B ．若a αβ⋂=，b βγ= ，c αγ⋂=，则a b c ∥∥C ．若αβ⊥，a α⊄，a β⊥，则a αP D ．若c β⊥，c γ⊥，则βγ∥如图，正方体两两相交的三个平面平面ABCD ⋂平面11ABB A =平面11ABB A 平面11ADD A =对于C ，若αβ⊥，a β⊥，则αP三、填空题26．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满粮食的升斗，斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意粮食满园、称心如意、十全十美，下图为一种婚庆升斗的规格，该升斗外形是一个正四棱台，上、下底边边长分别为20cm ，10cm ，侧棱长为10cm ，忽略其壁厚，则该升斗的容积为_________3cm ．【详解】上下底面对角线的长度分别为：202,10上底面的面积2120400S ==()2cm ，下底面的面积四棱台的体积27．（2023·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AD AB ⊥，22AB DC ==，E 为AD 的中点.将EAB 和ECD 分别沿,EB EC 折起，使得点A ，D 重合于点F ，构成四面体FBCE .若四面体FBCE 的四个面均为直角三角形，则其外接球的半径为_________.故答案为：324.28．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知在正方体1111ABCD A B C D -中，12AM AD =，平面11A BC ⋂平面1CC M l =，则直线l 与1D M 所成角的余弦值为__________．【答案】3030【分析】作出辅助线，找到1C G 即为直线l ，建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用异面直线夹角余弦公式求出答案.【详解】作出图形，如图所示．延长DC 至E ，使得DC CE =，则1A AB △≌1C CE △，111D A C≌CBE △，故11A B C E =，11A C BE =，故四边形11A C EB 为平行四边形，连接BE ，延长MC ，BE 交于点G ，连接1C G ，则1C G 即为直线l ．以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设2AD =，过点G 作GN ⊥y 轴于点N ，则MDC △∽GNC △，且相似比为1:2，故24CN CD ==，22GN DM ==，则()10,2,2C ，()2,6,0G -，()1,0,0M ，()10,0,2D ，29．（2023·湖北·校联考模拟预测）葫芦是一种爬藤植物，在我国传统文化中，其枝密集繁茂，象征着儿孙满堂、同气连枝；其音近于“福禄”，寓意着长寿多福、事业发达；其果口小肚大，代表着心胸开阔、和谐美满．如图，一个葫芦的果实可以近似看做两球相交所得的几何体Ω，其中Ω的下半部分是半径为1O 的一部分，Ω的上半部分是半径为3的球2O 的一部分，且126O O =，则过直线12O O 的平面截Ω所得截面的面积为__________．30．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）已知圆台的侧面积与轴截面的面积之比为23π3，若上、下底面的半径分别为1和2，则母线长为__________．【答案】2【分析】设圆台的母线长为l ．解得2故答案为：2.。