经典根轨迹校正方案方法研究报告

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摘要

自动控制系统在现代文明和技术的发展与进步中，起着越来越重要的作用。

在工程实践中,有时需要在系统分析的基础上将原有系统的特性加以修正和改造，使系统能够实现给定的性能要求，因此，系统中就需要校正控制器的存在。

根轨迹提供了系统绝对稳定性的信息，还提供了稳定程度的信息。稳定程度实际上还是描述动态响应特性的方式。如果系统是不稳定的或者动态响应不可接受，根轨迹还可以指出可能改进响应的方法而且可以定性描述改进的效果。

本论文主要是对经典根轨迹校正设计方法的研究，针对受控对象，设计合适的根轨迹校正控制器，改善系统的性能指标，使系统能够实现给定的性能要求。

关键词

控制系统；自动控制；根轨迹；性能指标

Abstract

In recent years, automatic control system has assumed an increasingly important role in the development and advancement of modern civilization and technology.

In engineering practice,the characteristics of the original system will be revised and modified on the base of systematic analysis, allowing the system to achieve a given performance requirements, therefore,the system requires the presence of correction controller.

The root locus provides information not only as to the absolute stability of a system but also as to its degree of stability, which is another way of describing the nature of the transient response. If the system is unstable or has an unacceptable transient response, the root locus indicates possible ways to improve the response and is a convenient method of depicting qualitatively the effects of any such changes.

This thesis is the classical root locus design method of correction for the controlled object, design appropriate correction controller of root locus to improve system performance, enabling the system to achieve a given performance requirements.

Keywords

Control system。 automatic control。 root locus。performance indicators

目录

摘要I

AbstractII

前言1

第一章自动控制理论概述2

1.1 自动控制理论历史及发展过程2

1.1.1 理论历史2

1.1.2 发展过程2

1.2 自动控制系统3

1.2.1 自动控制系统的组成3

1.2.2 自动控制系统的工作原理4

1.2.3 自动控制系统的分类4

1.2.4 自动控制系统的设计要求6

1.3 结论6

第二章自动控制原理7

2.1 控制系统的数学模型7

2.1.1 控制系统的微分方程7

2.1.2 非线性系统数学模型的线性化8

2.1.3 传递函数8

2.1.4 系统的动态结构图9

2.2 控制系统的分析10

2.2.1 控制系统的性能指标10

2.2.2 控制系统的时域分析11

2.2.3 控制系统的频域分析12

第三章根轨迹校正方法13

3.1 根轨迹概述13

3.1.1 根轨迹概念13

3.1.2 根轨迹方程13

3.2 绘制根轨迹的基本法则14

3.3 控制系统的根轨迹法分析15

3.3.1 闭环零点、极点分布对系统性能的影响15

3.3.2 开环零点、极点分布对系统性能的影响16

3.4 控制系统的根轨迹校正方法16

3.4.1 系统校正基础16

3.4.2 系统校正方式17

3.4.3 根轨迹法校正18

第四章经典根轨迹校正方法研究的仿真19

4.1 根轨迹法串联超前校正19

4.2 根轨迹法串联滞后校正22

结论26

参考文献27

致谢28

前言

从20世纪40年代起，特别是第二次世界大战以来，由于工业活动的发展和军事技术上的需要，科学技术的发展十分迅速。自动控制技术在各个领域的应用已日趋广泛，不但使得生产设备或生产过程实现了自动化，大大提高了劳动生产率，改善劳动条件，并在各个方面发挥了非常重要的作用。

自动控制理论是研究自动控制基本规律的科学，是分析和设计自动控制系统的理论依据。所谓自动控制是在没有人直接参与的情况下，利用附加装置<自动控制装置）使生产过程或生产机械<被控对象）自动地按照某种规律<控制目标）运行，使被控对象的一个或几个物理量<如温度、压力、流量和速度等）按照预定的要求变化。

自动控制源于工程实践，并随着生产的发展和技术的进步不断完善，又反过来指导工程实践。当然，自动控制技术不仅应用于工业控制中，而且在军事、农业、航空、航海、核能利用等领域也发挥着重要的作用。自动控制理论的发展与应用，改善了劳动条件，把人类从繁重的体力劳动中解放出来，并且由于自动控制系统能以某种最佳方式运行进而节约能源，降低成本。

在系统分析的基础上，将原有系统的特性加以修正与改造，利用校正装置使得系统能够实现给定的性能指标，这样的工程方法，我们把它叫做系统的校正。伊万思

第一章自动控制理论概述

自动控制，就是在没人参与的情况下，通过控制器或者控制装置来控制机器或者设备等物理装置，使得机器设备的受控物理量按照希望的规律变化，达到控制的目的。

1.1 自动控制理论历史及发展过程

1.1.1 理论历史

控制论的奠基人维纳从1919年就已经萌发了控制论的思想。第二次世界大战期间，维纳参加了火炮自动控制的研究工作，他将火炮自动打飞机的动作与人的狩猎行为作了对比并发现了极为重要的反馈概念。他认识到：稳定活动的方法之一是把活动的结果所决定的量，作为信息的新的调节部分，再反馈到控制仪器中，这就是负反馈。控制论萌芽的重要标志是维纳在1943年发表的《行为，目的和目的论》。1948年，维纳的《控制论》出版，标志着这门学科的正式成立。

控制论是自动控制、电子技术和计算机科学等多种学科相互渗透的产品，一方面，火炮和航天控制等技术快速地发展，数控、电力和冶金自动化技术突飞猛进；另

一方面，控制理论也日渐成熟。1954年我国科学家钱学森在美国运用控制论的思想和方法，首创了工程控制论，把控制论推广到工程技术领域。

1.1.2 发展过程

伴随着社会生产力的发展，控制技术也在不断地发展和革新，尤其是计算机的更新换代更是推动了控制理论不断地向前发展。一般情况下控制理论的发展过程可以分为以下三部分：第一部分为从19世纪开始到直到20世纪50年代所建立的经典控制理论，第二部分为开始于20世纪50年代至90年代蓬勃发展的现代控制理论，第三部分为90年代开始发展的智能控制理论。

经典控制理论建立在频率响应法和根轨迹法的基础上，其数学工具为拉普拉斯

计原理和校正方法。经典控制理论包括线性控制理论、采样控制理论、非线性控制理论三个部分。早期，这种控制理论常被称为自动调节原理，随着以状态空间法为基础和以最优控制理论为特征的现代控制理论的形成<在1960年前后），开始广为使用现在的名称。经典控制理论在液压气动元件与系统的分析、设计、评价等各方面得到广泛的应用。经典控制理论在解决比较简单的控制系统的分析和设计问题方面是很有效的，至今仍不失其实用价值。存在的局限性主要表现在只适用于单变量系统，且仅限于研究定常系统。

现代控制理论是在经典控制理论的基础上，于20世纪60年代以后发展起来的。现代控制理论以状态空间描述<实质上是一阶微分或差分方程组）作为数学模型，利用计算机作为系统建模分析，设计乃至控制的手段，适应于多变量、非线性、时变系统。现代控制理论比经典控制理论所能处理的控制问题要广泛得多，包括线性系统和非线性系统，定常系统和时变系统，单变量系统和多变量系统。它所采用的方法和算法也更适合于在数字计算机上进行。现代控制理论还为设计和构造具有指定的性能指标的最优控制系统提供了可能性。比起经典控制理论，现代控制理论考虑问题更全面、更复杂，主要表现在考虑系统内部之间的耦合，系统外部的干扰，但符合从简单到复杂的规律。现代控制理论应用在工业、农业、交通运输及国防建设等各个领域。

智能控制理论以人工智能的研究为方向，研究与模拟人类智能活动及其控制与信息传递过程的规律，研制具有某些拟人智能的工程控制与信息处理系统的理论。当前主要的研究方向有自适应控制理论研究、模糊控制理论研究、人工神经元网络研究以及混沌理论研究等，并有多种研究成果产生。智能控制理论的研究与发展，在信息与控制学科研究中注入了蓬勃的生命力，启发与促进了人的思维方式，标志着信息与控制学科的发展远没有止境。

1.2 自动控制系统

自动控制系统是指没有人直接参与的情况下，通过控制器使生产过程或被控对象的某些物理量准确地按照预期变化。

1.2.1 自动控制系统的组成

<1）受控对象

<2）定值元件在常规仪表控制中用它来产生参考输入或者设定值。

<3）控制器接收偏差信号或者输入信号，通过一定的控制规律给出控制量，送到执行原件。

<4）执行元件有时控制器的输出可以直接驱动受控对象。

<5）测量变送元件又称传感器，用于检测受控对象的输出量，如温度、压力、流量、位置转速等非电物理量，并变换成标准信号后作为反馈量送到控制器。

<6）比较元件用以产生偏差信号来形成控制，有的系统以标准装置的方式配以专用的比较器，大部分是以隐藏的方式合并在其他控制装置中。

1.2.2 自动控制系统的工作原理

在自动控制系统中，根据偏差大小和方向调节控制，而偏差是通过反馈建立起来的。反馈是指输出量通过适当的测量装置将信号全部或一部分返回输入端。使反馈与输入端进行比较，比较的结果称为偏差。控制的过程就是测量、求偏差、再控制以纠正偏差的过程，而自动控制就是对检测出来的偏差进行自动校正。基于反馈基础上的“检测偏差用以纠正偏差”的原理又称为反馈控制原理，利用反馈控制原理组成的系统叫反馈控制系统。

1.2.3 自动控制系统的分类

<1）按照有无反馈测量装置分类，控制系统分为开环控制系统和闭环控制系统。

开环控制系统：没有输出反馈的一类控制系统，如图1-1。这种系统的输入直接供给控制器，并通过控制器对受控对象产生控制作用。主要优点是结构简单、价格便宜、容易维修，主要缺点是精度低，容易受环境影响。

图1-1 开环控制系统

闭环控制系统：又称为反馈控制系统，如图1-2。这种系统的输出端和输入端间存在反馈回路，即输出量对控制有直接作用，闭环的作用就是应用反馈来减少偏差。主要优点是精度高、动态性能好、抗干扰能力强，缺点是结构比较复杂、价格比较贵

等。

图1-2 闭环控制系统

<2）按照给定的参考输入信号的不同分类，控制系统分为恒值控制系统与随动控制系统。

恒值控制系统：当系统的参考输入为恒值或者波动范围很小时，系统的输出量也要求保持恒定。

随动控制系统：又称伺服控制系统，其参考输入值不断地变化，而且变化规律未知。随动控制系统常用于军事上对于机动目标的跟踪，例如雷达跟踪系统等。

<3）按照系统数学性质的不同分类，控制系统分为线性系统与非线性系统。

系统在输入信号的作用下产生系统的输出，系统在输入信号的作用下产生系统的，如果系统的输入信号为

则系统的输出满足

系数，可以是常数，也可以是时变参数。这样的系统称为线性系统，否则称为非

线性系统。

<4）按照时间信号的不同分类，控制系统分为连续时间系统与离散时间系统。

连续时间系统：当系统的输入信号与输出信号均是以连续时间函数与来表示。

离散时间系统：当系统的输入信号与输出信号均是以离散时间量与来表示。

<5）按照端口关系分类，控制系统分为单输入-单输出系统与多输入-多输出系统。

单输入-单输出系统

多输入-多输出系统

输入之间呈现多路耦合。

1.2.4 自动控制系统的设计要求

自动控制系统的设计方法根据实际情况的不同而不同，但自动控制技术是研究各类控制系统共同规律的一门技术，对控制系统有一个共同的要求，一般可归结为稳定、准确、快速。

<1）稳定性：指动态过程的振荡倾向和系统能够恢复平衡状态的能力。输出量偏离平衡状态后应该随着时间收敛并且最后回到初始的平衡状态。对一个控制系统首要的要求就是系统的绝对稳定性。

<2）快速性：这是在系统稳定的前提下提出来的，是指当系统输出量与给定的输入量之间产生偏差时，消除这种偏差过程的快速程度。

<3）准确性：指在调整过程结束后输出量与给定的输入量之间的偏差，或称为静态精度，这也是衡量系统工作性能的重要指标。

因此，对于系统的性能要求可以简要概括为响应动作要快、动态过程要平稳、跟踪值要准确，但同一系统稳、准、快有时是相互制约的。快速性好，可能会有振荡；稳定性好，控制过程有可能会过于迟缓，精度也可能降低。

1.3 结论

自动控制已渗透到人类生活的各个领域，改善劳动条件，将人类从体力劳动中解放出来，并且提高了劳动生产率，提高产品质量，节约能源，降低成本。自动控制技术在工业、军事、农业、航海、航空等领域都起着重要的作用，并且随着科学技术的发展，自动控制技术也将更加迅速的发展，并必将在未来得到更广泛的应用。

第二章自动控制原理

2.1 控制系统的数学模型

数学模型是对实际系统的一种数学抽象。狭义上说，是一种描述系统各变量之间关系的数学表达式；广义上说，是揭示系统各变量内在联系及关系的解读及图示等的方法。因此，微分方程、传递函数、信号流图、结构图、根轨迹图及频率特性等都称为控制系统的数学模型。

2.1.1 控制系统的微分方程

微分方程是描述自动控制系统动态特性最基本的方法。一个完整的控制系统通常是由若干元器件一种输入—输出描述，给定量和扰动量作为系统输入量，被控制量作为系统的输出量。

线性定常系统的运动规律，一般是以时间t为自变量，采用线性常系数微分方程来描述的，可以表示为

或者

式中，,为输出信号各阶导数；,为输出信号各阶

导数的常系数；,为输入信号的各阶导数；,为输

入信号各阶导数的常系数。为了描述系统的可实现性，一般限定方程两边导数的阶次n≥m。

2.1.2 非线性系统数学模型的线性化

在建立控制系统的数学模型过程中，所研究的并不都是线性系统，其中有许多是非线性系统。非线性是指系统<或元件）的输出量与输入量间的静态特性不是直线关系。许多非线性系统在一定条件下可以近似地视为线性系统。对于数学上满足基本条件<连续、可导）的非线性系统，确定其在工作点邻域的线性关系，称为非线性系统的线性化。

在将一个非线性系统作线性化时，需注意以下几点：

<1）线性化方程中的常数与选择的静态工作点的位置有关，工作点不同时，相应的常数也不相同。

<2）工作点不同时，其线性化系数也是不同的。因此其线性化方程也是不同的。这一点表现在非线性函数关系上就是不同的工作点，可以获得斜率不同的切线，所以线性化系数是各异的。

<3）一个非线性系统在工作点邻域的线性化方程，应满足其函数关系的变化是在小范围的，否则误差会很大。线性化方法得到的微分方程是增量化方程，以变量来表示，所以当增量范围过大时，将不满足线性化条件。

2.1.3 传递函数

传递函数是指为便于分析和综合系统，将线性常微分方程经过拉氏变换，得到系统在复数域中的数学模型。

1．传递函数的定义

在零初始条件下，输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比，表示为

则系统的输出可以表示为变换域中传递函数与控制输入的乘积

即对应于时域的卷积分。

2．传递函数的性质

（1）传递函数只适用于线性定常系统；

（2）传递函数只反映系统在零初始条件下的运动特性；

（3）服从不同物理规律的系统可以有同样的传递函数，故他不能反映系统的物理

结构和性质；

（4）令传递函数中，则系统可在频域内分析；

（5）G(s>的零、极点分布决定系统的动态特性。

3．典型环节及其传递函数

（1）比例环节

（2）积分环节

（3）微分环节

（4）一阶惯性环节

（5）二阶振荡环节

（6）延迟环节

2.1.4 系统的动态结构图

系统的动态结构图是描述系统各组成元件之间信号传递关系的数学图形，他表示了输入输出间的关系。图2-1为一典型的系统动态结构图。

图2-2 典型系统动态结构图

1．系统动态结构图的构成

（1）信号线：带箭头的直线，箭头表示信号传递方向。

（2）方框图单元：方框图单元由输入、输入信号和环节组成。

（3）引出点：表示信号引出或测量的位置。

（4）比较点：对两个或以上信号加减运算。

2．系统动态结构图的特性

（1）结构图是线图方式的数学模型，可以用来描述控制系统的系统结构关系。

（2）结构图上可以表示出系统的一些中间变量或者系统的内部信息。这一点不同

仅符合端口关系的传递函数。

（3）结构图与代数方程组等价，因此可以通过结构图化简的方法消去中间变量，

化简代数方程组，将结构图化为最简方块，即一个方块，来求得控制系统的传递函数。

2.2 控制系统的分析

在数学模型的基础上，考查和研究系统的运动规律和系统的性能称为系统分析。

2.2.1 控制系统的性能指标

性能指标是在分析一个控制系统的时候，评价系统性能好坏的指标。系统性能的

描述，又以准确的定量方式来描述称为系统的性能指标。系统阶跃响应的一般响应曲线如图2-2所示。

图2-2 系统阶跃响应的性能指标

根据图中所展示的响应特性，可以定义如下性能指标。

1．上升时间

上升时间指阶跃响应c(t>上升至稳态值所需要的时间。

2．峰值时间

峰值时间指阶跃响应c(t>从运动开始至到达第一峰值的时间。

3．超调量

超调量指系统响应的第一峰值超出稳态值的部分，将其取百分比，可以表示为

4．调节时间

调节时间指阶跃响应c(t>达到稳定值的时间。

5．稳态误差

稳态误差是指当时间t趋于无穷时，系统希望的输出与实际的输出之差。误差的数学表达式为

系统的稳态误差为

从上述系统阶跃响应的性能指标可以看出，各个时间指标反映了系统的快速性。

上

升时间、峰值时间反映了系统的初始快速性，而调节时间反映系统总体快速性。

2.2.2 控制系统的时域分析

在时域研究系统运动规律，在数学上表现为微分方程的时间解，称系统的时域分析。

1．基本实验信号

（1）单位脉冲信号的拉氏变换：

（2）单位阶跃信号的拉氏变换：

（3）单位斜坡信号的拉氏变换：

（4）单位匀加速信号的拉氏变换：

（5）单位正弦信号的拉氏变换：

2．系统的稳态误差分析

控制系统的误差就是系统希望的输出值与实际的输出值之差，表示为

控制系统的稳态误差主要由三方面确定：

（1）输入信号的类型，即所需跟踪的基准信号；

（2）系统的开环增益，它可以确定有差系统稳态误差的大小；

（3）系统的无差度，它可以确定能够跟踪的信号的阶数。

2.2.3 控制系统的频域分析

频域分析法与时域分析法一样，是经典自动控制理论中用于系统分析与综合的方

法之一。

频率法用于分析和设计系统有如下优点：

（1）不必求解系统的特征根，采用较为简单的图解方法就可研究系统的稳定性，

具有形象直观的特点，便于对系统分析、校正和综合。

（2）系统的频率特性可用实验方法测出，对难以列写微分方程的元部件和系统，

具有重要意义。

（3）用频率法设计系统，可以忽略噪声的影响。

（4）频率特性不仅适用于线性定常系统，还可推广应用于某些非线性系统。

第三章根轨迹校正方法

1948年，伊万思

3.1 根轨迹概述

3.1.1 根轨迹概念

根轨迹是开环系统的某一参数<如开环增益K）由零到无穷大变化时，闭环特征方程的根在s平面上的移动轨迹。

3.1.2 根轨迹方程

由于开环传递函数是复变函数，分别要满足如下的幅值方程与幅角方程

和

零点、极点表达式分别为

和

平面上的任意点如果满足根轨迹的幅值方程和幅角方程，则该点在根轨

迹上。

3.2 绘制根轨迹的基本法则

利用根轨迹绘制的基本法则，就可以有系统的开环传递函数确定系统的根轨迹。

1．根轨迹的起点和终点

根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点，如果开环零点数m小于开环极点数n，

则有

2．根轨迹的连续性

由于根轨迹增益在由变化时是连续变化的，所以系统闭环特征方程的根也是连续变化的，即s平面上的根轨迹是连续的。

3．根轨迹的分支数

根轨迹在s平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数n，即分支数与闭环极点的数目相同。

4．根轨迹的对称性

因为开环零点、极点或闭环极点都是实数或为成对的共轭复数，它们在s平面上的

分布是对称于实轴的，所以根轨迹也是对称于实轴的。

5．实轴上的根轨迹

在实轴上选取实验点，如果实验点的右方实轴上的开环零点数和极点数的总和

为奇数，则实验点所在的实验段是根轨迹，否则该实验段不是根轨迹。即实轴上根轨迹区段的右侧，开环零极点数目之和应为奇数。

6．根轨迹的渐近线

有条渐近线，渐近线与实轴正方向的夹角为：

，

渐近线与实轴的交点为：

7．根轨迹的会合点和分离点

根轨迹的分离<会合）点实质上闭环特征方程的重根，因而可以用求解方程式重根的方法来确定其在复平面上的位置。设系统闭环特征方程为：

满足以下任何一个方程，且保证为正实数的解，即是根轨迹的分离<会合）点。

8．根轨迹与虚轴的交点

根轨迹可能与虚轴相交，交点坐标的值及相应的值可由劳斯判据求得，也可在特征方程中令，然后使特征方程的实部和虚部分别为零求得。根轨迹和虚轴