2019_2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程11.2椭圆的简单性质学案北师大版选修1_1

1．2 椭圆的简单性质 学习目标：1.掌握椭圆的简单几何性质．(重点)2.理解离心率对椭圆扁平程度的影响．(难点)

椭圆的简单性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上

图形 标准方程 x2a2＋y2b2＝1(a>b>0) y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)

对称性 对称轴x轴、y轴，对称中心(0,0) 范围 |x|≤a，|y|≤b |y|≤a，|x|≤b

顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，

B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 长轴长＝2a，短轴长＝2b

离心率 e＝ca

思考：观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？ [提示] 如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝ca，记e＝ca，则0椭圆越圆．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的短轴长为b.( ) (2)椭圆的离心率越接近0，椭圆越扁．( ) (3)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ 2．已知椭圆的方程为y29＋x216＝1，则此椭圆的长轴长为( ) A．3 B．4 C．6 D．8

D [该椭圆的标准方程为x216＋y29＝1，故a＝4，故长轴长＝2a＝8.]

3．椭圆x225＋y216＝1的离心率是( ) A.34 B.541 C.45 D.35 D [由题意可得a＝5，b＝4，c＝3，故e＝ca＝35.] 4．设P(m，n)是椭圆x225＋y29＝1上任意一点，则m的取值范围是________． [答案] [－5,5]

椭圆的简单性质 【例1】 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． [解] 已知椭圆方程化成标准方程为x216＋y29＝1， 可知，此椭圆的焦点在x轴上， 于是a＝4，b＝3，c＝16－9＝7， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，

离心率e＝ca＝74，又知焦点在x轴上， ∴两个焦点坐标分别是F1(－7，0)和F2(7，0)， 四个顶点坐标分别是A1(－4,0)，A2(4,0)，B1(0，－3)和B2(0,3)．

求椭圆的性质时，应把椭圆方程化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，准确地写出a，b的数值，进而求出c及椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质.

1．已知椭圆方程为4x2＋9y2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． [解] 把椭圆的方程化为标准方程为x29＋y24＝1. 可知此椭圆的焦点在x轴上，且长半轴长a＝3，短半轴长b＝2；又得半焦距c＝a2－b2＝9－4＝5. 因此，椭圆的长轴长2a＝6，短轴长2b＝4；两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，

0)；四个顶点的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2)．离心率e＝53.

椭圆性质的简单应用 【例2】 (1)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为33，过F2的直线l交椭圆C于A，B两点．若△AF1B的周长为43，则椭圆C的方程为( )

A.x23＋y22＝1 B.x23＋y2＝1

C.x212＋y28＝1 D.x212＋y24＝1 (2)已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴的两端点的连线互相垂直，且焦距为8，则此椭圆的标准方程为__________． 思路探究：(1)由椭圆的定义及离心率的值求出a，c，进而得到a2，b2，得到椭圆方程． (2)由题意得到等腰直角三角形，求出b，c值即可． [解析] (1)根据题意，因为△AF1B的周长为43，所以|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|

＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝43，所以a＝3.又因为椭圆的离心率e＝ca＝33，所以c＝1，b2＝a2

－c2＝3－1＝2，所以椭圆C的方程为x23＋y22＝1. (2)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．如图，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2

上的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b. ∴b＝c＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，

∴椭圆方程为x232＋y216＝1.

[答案] (1)A (2)x232＋y216＝1 利用椭圆的性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： 1确定焦点位置. 2设出相应椭圆的方程对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程. 3根据已知条件建立关于参数的方程，利用方程组求参数，列方程组时常用的关系式

为b2＝a2－c2，e＝ca等.

2．已知椭圆的对称轴是坐标轴，中心O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos ∠OFA＝23，则椭圆的标准方程为________．

[解析] ∵椭圆的长轴长是6，cos ∠OFA＝23， ∴点A不是长轴的端点(是短轴的端点)． ∴|OF|＝c，|AF|＝a＝3，∴c3＝23. ∴c＝2，b2＝32－22＝5. ∴椭圆的方程是x29＋y25＝1或x25＋y29＝1.

[答案] x29＋y25＝1或x25＋y29＝1

椭圆的离心率 [探究问题] 1．已知椭圆的两个焦点F1、F2，点A为椭圆上一点，且AF1→·AF2→＝0，∠AF2F1＝60°，求椭圆的离心率． [提示] 设F1F2＝2c，由题意知，△AF1F2中，∠A＝90°，∠AF2F1＝60°，∴|AF1|＝3c，|AF2|＝c. ∵|AF1|＋|AF2|＝3c＋c＝2a，

即(3＋1)c＝2a，∴e＝ca＝23＋1＝3－1. 2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率． [提示] ∵椭圆的长轴长度、短轴长度与焦距成等差数列， ∴2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2. 又∵a2＝b2＋c2，∴4(a2－c2)＝a2＋2ac＋c2， 即3a2－2ac－5c2＝0， ∴(a＋c)(3a－5c)＝0. ∵a＋c≠0，∴3a－5c＝0，∴3a＝5c，

∴e＝ca＝35.

【例3】 已知点F1，F2分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则该椭圆的离心率为________． 思路探究：由AB⊥F1F2且△ABF2为正三角形可求出|F1F2|的长度，再利用椭圆的定义求解． [解析] 因为AB⊥F1F2，且△ABF2为正三角形，所以在Rt△AF1F2中，∠AF2F1＝30°，令|AF1|＝x，则|AF2|＝2x，所以|F1F2|＝|AF2|2－|AF1|2＝3x＝2c，

再由椭圆的定义，可知|AF1|＋|AF2|＝2a＝3x，所以e＝2c2a＝3x3x＝33. [答案] 33

本例中将条件“过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形”改为“A为y轴上一点，且AF1的中点B恰好在椭圆上，若△AF1F2为正三角形”，如何求椭圆的离心率？ [解] 如图，连接BF2. 因为△AF1F2为正三角形， 且B为线段AF1的中点， 所以F2B⊥BF1. 又因为∠BF2F1＝30°， |F1F2|＝2c， 所以|BF1|＝c，|BF2|＝3c. 由椭圆定义得|BF1|＋|BF2|＝2a，

即c＋3c＝2a，所以ca＝3－1. 所以椭圆的离心率为e＝3－1. 求椭圆离心率或其范围的常用方法 1定义法：若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a2，b2，求出a，c的值，利用公式

e＝ca直接求解.

2转化法：若椭圆的方程未知，则根据条件建立a，b，c满足的关系式，化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围.

1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的顶点坐标是( ) A．(－1,0)、(1,0) B．(－6,0)、(6,0) C．(－6，0)、(6，0) D．(0，－6)、(0，6)

D [椭圆的标准方程为x2＋y26＝1，焦点在y轴上，其长轴的端点坐标为(0，±6)．] 2．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为( ) A.32 B.34

C.22 D.23 A [椭圆方程可化为x2＋y214＝1，∴a2＝1，b2＝14，∴c2＝34，∴e2＝c2a2＝34，∴e＝32.]

3．若焦点在x轴上的椭圆x22＋y2m＝1的离心率为12，则m等于________． [解析] ∵椭圆焦点在x轴上， ∴0＜m＜2，a＝2，c＝2－m，

e＝ca＝2－m2＝12.

故2－m2＝14，∴m＝32. [答案] 32 4．离心率为32，且过点(2,0)的椭圆的标准方程是________． [解析] ∵椭圆经过(2,0)点，