直线、平面平行的判定及其性质(复习课)
线面平行判定(讲课)
EF//平面BCD
找平行线的方法 之一是利用三角 形中位线定理.
变式:
如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别为
AE AF AB、AD上的点，若 EB FD ，则EF与平面BCD
的位置关系是_____________. EF//平面BCD
A F E D C
B
2.如图，长方体 ABCD ABC D 的六个面中， （1）与AB平行的平面是 平面 AC （2）与 AA平行的平面是 平面 BC （3）与AD平行的平面是 平面 AC
a
b b
b
a a
）
定理的应用
例1. 如图，空间四边形ABCD中，
E、F分别是 AB，AD的中点.
E
A
F D C
求证：EF∥平面BCD. B 证明：连结BD ∵ E、F分别是 AB，AD的中点 ∴ EF是△ABD的中位线 ∴ EF∥BD（三角形中位线定理）
又 EF 平面BCD， BD 平面BCD
D A B
平面 CD ； 平面 CD ； 平面 BC ；
C
D A
C
B
定理的应用
例2.如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为平 行四边形,M,N分别是AB,PC的中点. 求证:MN//平面PAD P E A M B C N
D
3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点. 求证:BD1//平面AEC. D
1
C1
证明:连结BD交AC于O, 连结EO. ∵O 为正方形ABCD对角线 的交点, ∴OD=OB, 又∵DE=ED1, ∴BD1//EO.
A1 B1
E D A O B C
又 BD1 平面AEC EO 平面AEC
直线、平面平行和垂直的判定及其性质
画直线和水平平面垂直, 要把直线画成和表示平 面的平行四边形的横边垂直. 画直线和竖直平面垂直, 要把直线画成和表示平 面的平行四边形的竖直边垂直. l m
a
l⊥ a
b
m ⊥b
问题2: 已知平面 a 和空间任意一点 P, 过点 P 能 作 a 的几条垂线? 为什么? 只有一条. P · 如果有两条, PA⊥a, PB⊥a, 垂足分别为 A, B. A B a 则 PA, PB 确定的平面 与 a 相交于一直线 AB. 于是 PA⊥AB, PB⊥AB, 则在平面PAB内过一点有两条直线和已知直线垂直, 根据平面几何知识, 这显然不对.
2.3.1
直线与平 面垂直的判定
第一课时
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1. 直线和平面垂直是怎样定义的? 2. 用直线和平面垂直的判定定理证明线面 垂直需要哪些条件?
1. 直线与平面垂直的定义
问题 1. 在你的感觉中, 直线和平面垂直是怎样一 种情况? 你能说出我们教室里直线与平面垂直的例子 吗? 你认为怎样定义直线与平面垂直恰当? 直线与平面垂直的定义: 如果直线 l 与平面 a 内的任意一条直线都垂直, 我们就说直线 l 与平面 a 互相垂直, 记作 l⊥a, 直线 l 叫做平面 a 的垂线, 平面 a 叫做直线 l 的垂面. 线面垂直是线面相交的一种特殊情况, 线面垂直, 有且只有一个公共点, 即交点, 这个交点叫做线面垂直 的垂足.
习题 2.3
B组 第 2、4 题
习题 2.3 B组 2. 如图, 棱锥 V-ABC中, VO⊥平面 ABC, OCD, VA=VB, AD=BD, 你们能判定 CD⊥AB 以及 AC=BC 吗? V 答: 能判定. C 由 VA=VB, AD=BD 得, A O VD⊥AB. D 又由VO⊥平面 ABC 得, B VO⊥AB. 于是得AB⊥平面VOD, AB⊥OD. ∵ OCD, ∴ AB⊥CD, 而 AD=BD, 从而得 AC=BC.
2021版新高考数学一轮复习第八章8.3空间中的平行关系课件新人教B版
第三节ꢀ空间中的平行关系内容索引【教材·知识梳理】1.直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言此平面内图形语言符号语言平面外一条直线与_________l∥a，因为______判定的一条直线平行，则该直线定理与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)a⊂α，l⊄α___________，所以l∥α一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与l∥α，因为_______ _______α∩β=b_________，l⊂β，性质定理交线此平面的_____与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)所以l∥b2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言a∥β，因为________相交直线判一个平面内的两条_________b∥β，a∩b=P，________________a ⊂α，b ⊂α定与另一个平面平行，则定这两个平面平行(简记为理“线面平行⇒面面平行”)____________，所以α∥βα∥β，因为_________性如果两个平行平面同时和质α∩γ=a，___________β∩γ=b 相交第三个平面_____，那么它定理_________，交线们的_____平行所以a∥b【常用结论】1.两个平面平行，则其中任意一个平面内的直线与另一个平面平行.2.三种平行关系的转化：线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想，解题中既要注意一般的转化规律，又要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向.【知识点辨析】ꢀ(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(ꢀꢀ)(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.(ꢀꢀ)(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(ꢀꢀ)(4)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.(ꢀꢀ)(5)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(ꢀꢀ)(6)平行于同一条直线的两个平面平行.(ꢀꢀ)提示：(1) ×.若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α或a⊂α.(2)×. 一条直线与一个平面平行，那么它与平面内的直线可能平行，也可能是异面直线.(3)×.如果一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(4)×.若平面外的一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.(5)√.这两条直线没有公共点.(6)×.平行于同一条直线的两个平面平行或相交.【易错点索引】序号易错警示典题索引考点一、T3 1证明线面平行时忽略该直线不在平面内致误考点二、T2利用线面平行的性质定理时不会找过该直线的2考点二、T1平面3证明面面平行时忽略两直线相交致误考点三、角度1【教材·基础自测】1.(必修2 P44练习BT2改编)平面α∥平面β的一个充分条件是(ꢀꢀ)A.存在一条直线a,a∥α,a∥βB.存在一条直线a,a⊂α,a∥βC.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥αD.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α【解析】选D.若α∩β=l,a∥l,a⊄α,a⊄β,则a∥α,a∥β,故排除A.若α∩β=l,a⊂α,a∥l,则a∥β,故排除B.若α∩β=l,a⊂α,a∥l,b⊂β,b∥l,则a∥β,b∥α,故排除C.2.(必修2 P46练习AT1改编)下列命题中正确的是(ꢀꢀ)A.若a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面B.若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行C.平行于同一条直线的两个平面平行D.若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,则b∥α【解析】选D.A中,a可以在过b的平面内;B中,a与α内的直线可能异面;C中,两平面可相交;D中,由直线与平面平行的判定定理知,b∥α,正确.3.(必修2 P44 练习BT4改编)如图,长方体ABCD-ABCD中,E为DD的中点,则BD与111111平面AEC的位置关系为________.ꢀ【解析】连接BD,设BD∩AC=O,连接EO,在△BDD1中,O为BD的中点,所以EO为△BDD1的中位线,则BD∥EO,而BD⊄平面ACE,EO⊂平面ACE,所以BD∥平面ACE.111答案:平行考点一ꢀ直线、平面平行的基本问题ꢀ【题组练透】1.如图,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,Q为PA的中点,O为AC与BD的交点,下面说法错误的是(ꢀꢀ)A.OQ∥平面PCD C.AQ∥平面PCDB.PC∥平面BDQ D.CD∥平面PAB2.已知a,b表示直线,α,β,γ表示平面,则下列推理正确的是(ꢀꢀ)A.α∩β=a,b⊂α⇒a∥bB.α∩β=a,a∥b⇒b∥α且b∥βC.a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α⇒α∥βD.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b3.如图是正方体的平面展开图.关于这个正方体,有以下判断:①EC⊥平面AFN;②CN∥平面AFB;③BM∥DE;④平面BDE∥平面NCF.其中正确判断的序号是(ꢀꢀ)A.①③B.②③C.①②④D.②③④4.如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为________.世纪金榜导学号ꢀꢀ【解析】1.选C.因为O为平行四边形ABCD对角线的交点,所以AO=OC,又Q为PA的中点,所以QO∥PC.由线面平行的判定定理,可知A、B正确,又四边形ABCD为平行四边形,所以AB∥CD,故CD∥平面PAB,故D正确.2.选D.选项A中,α∩β=a,b⊂α,则a,b可能平行也可能相交,故A不正确;选项B中,α∩β=a,a∥b,则可能b∥α且b∥β,也可能b在平面α或β内,故B不正确;选项C中,a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α,根据面面平行的判定定理,再加上条件a∩b=A,才能得出α∥β,故C不正确;选项D为面面平行性质定理的符号语言.3.选C.由已知中正方体的平面展开图,得到正方体的直观图如图所示:由⇒FN⊥平面EMC,故FN⊥EC;同理AF⊥EC,故EC⊥平面AFN,故①正确;由CN∥BE,则CN∥平面AFB,故②正确;由图可知BM∥DE显然错误,故③不正确;由BD∥NF得BD∥平面NCF,DE∥CF得DE∥平面NCF,由面面平行判定定理可知平面BDE∥平面NCF,故④正确.4.因为平面ABFE∥平面CDHG,又平面EFGH∩平面ABFE=EF,平面EFGH∩平面CDHG=HG,所以EF∥HG.同理EH∥FG,所以四边形EFGH是平行四边形.答案:平行四边形【规律方法】ꢀ直线、平面间平行的判定方法(1)关注是否符合判定定理与性质定理,并注意定理中易忽视的条件.(2)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断.(3)利用实物进行空间想象,比较判断.(4)熟记一些常见结论,如垂直于同一条直线的两个平面平行等.【秒杀绝招】ꢀ直接法解T1,因为Q是AP的中点,故AQ∩平面PCD =P,所以AQ∥平面PCD是错误的.考点二ꢀ直线、平面平行的判定与性质ꢀ【典例】1.在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为6的正三角形,SA=SB=SC=15,平面DEFH分别与AB,BC,SC,SA交于D,E,F,H.D,E分别是AB,BC的中点,如果直线SB∥平面DEFH,那么四边形DEFH的面积为________.ꢀ2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为正三角形,点D在棱BC上,且CD=3BD,点E,F分别为棱AB,BB1的中点.求证:A1C∥平面DEF.【解题导思】序号1联想解题由直线SB∥平面DEFH,联想到利用线面平行的性质,判定四边形DEFH的形状,进而得到其面积.求证A C∥平面DEF,只要设法在平面DEF上找到与A C 112平行的直线即可,因为CD=3BD,故联想到连接A1B,在△BA1C中由比例关系证明平行关系.【解析】1.取AC的中点G,连接SG,BG.易知SG⊥AC,BG⊥AC,SG∩BG=G,故AC⊥平面SGB,所以AC⊥SB.因为SB∥平面DEFH,SB⊂平面SAB,平面SAB∩平面DEFH=HD,则SB∥HD.同理SB∥FE.又D,E分别为AB,BC的中点,则H,F也为AS,SC的中点,从而得HF∥AC∥DE,且HF=AC=DE,所以四边形DEFH为平行四边形.又AC⊥SB,SB∥HD,DE∥AC,所以DE⊥HD,所以四边形DEFH为矩形,其面积S=HF·HD=答案:2.如图,连接AB,A B,交于点H,A B交EF于点K,连接DK,111因为ABB A为矩形,所以H为线段A B的中点,因为点E,F分别为棱AB,BB的中点,所1111K=3BK,以点K为线段BH的中点,所以A1又因为CD=3BD,所以A C∥DK,又A C⊄平面DEF,DK⊂平面DEF,所以A C∥平面DEF.111【规律方法】1.利用判定定理判定直线与平面平行,关键是找平面内与已知直线平行的直线.可先直观判断平面内是否已有,若没有,则需作出该直线,常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.2.判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点).(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α).(3)利用面面平行的性质(α∥β,a⊂α⇒a∥β;α∥β,a⊄β,a∥α⇒a∥β).【变式训练】1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度为________.ꢀ【解析】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,所以AC=2.又E为AD中点,EF∥平面AB C,EF⊂平面ADC,平面ADC∩平面AB C=AC,11所以EF∥AC,所以F为DC中点,所以EF=AC=.答案:2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,∠BAD=60°,AB=2,CD=4,E 为PC的中点.求证:BE∥平面PAD.【证明】设F为PD的中点,连接EF,FA.因为EF为△PDC的中位线,所以EF∥CD,且EF=CD=2.又AB∥CD,AB=2,所以AB EF,故四边形ABEF为平行四边形,所以BE∥AF.又AF⊂平面PAD,BE⊄平面PAD,所以BE∥平面PAD.考点三面面平行的判定与性质及平行的综合问题命考什么:(1)考查面面平行的判定与性质定理的应用.(2)考查直线、平题面平行的综合问题.(3)考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素精养.解怎么考:以柱、锥等几何体为载体,考查证明线线、线面、面面平行.读新趋势:考查作已知几何体的截面或求截面面积问题.1.证明面面平行的方法学(1)面面平行的定义.霸(2)面面平行的判定定理.好(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.方(4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行.法(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的性质相互转化.2.交汇问题:常联系柱、锥等几何体命题,考查平行、垂直或空间角.命题角度1面面平行的判定与性质【典例】如图所示,在三棱柱ABC-A B C中,E,F,G,H分别是AB,AC,A B,A C的中1111111点,求证:(1)B,C,H,G四点共面.∥平面BCHG.(2)平面EFA1【证明】(1)因为G,H分别是A B,A C的中点,1111所以GH是△A B C的中位线,所以GH∥B C.11111又因为B1C1∥BC,所以GH∥BC,所以B,C,H,G四点共面.(2)因为E,F分别是AB,AC的中点,所以EF∥BC.因为EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,所以EF∥平面BCHG.又G,E分别为A B,AB的中点,A B∥AB且A B=AB,所以A G∥EB,A G=EB, 11111111所以四边形A EBG是平行四边形,所以A E∥GB.11E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,又因为A1所以AE∥平面BCHG.1又因为A E∩EF=E,A E,EF⊂平面EFA,111∥平面BCHG.所以平面EFA1命题角度2平行关系的综合应用【典例】如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,在侧面PBC内,有BE⊥PC于E,且BE=a,试在AB上找一点F,使EF∥平面PAD.世纪金榜导学号【解析】在平面PCD内,过E作EG∥CD交PD于G,连接AG,在AB上取点F,使AF=EG,因为EG∥CD∥AF,EG=AF,所以四边形FEGA为平行四边形,所以FE∥AG.又AG⊂平面PAD,FE⊄平面PAD,所以EF∥平面PAD.所以F即为所求的点.又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC,又BC⊥AB,所以BC⊥平面PAB.所以PB⊥BC.所以PC2=BC2+PB2=BC2+AB2+PA2.设PA=x则PC=,由PB·BC=BE·PC得:a,所以x=a,即PA=a,所以PC= a.又CE=所以即GE=CD=a,所以AF= a.故点F是AB上靠近B点的一个三等分点.【题组通关】【变式巩固·练】1.如图,平面α∥平面β∥平面γ,两条直线a,b分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C和点D,E,F.已知AB=2 cm,DE=4 cm,EF=3 cm,则AC的长为______ cm.【解析】因为平面α∥平面β∥平面γ,两条直线a,b分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C和点D,E,F,过D作直线平行于a交β于M,交γ于N.连接AD,BM,CN,ME, NF,所以AD∥BM∥CN,ME∥NF,所以因为AB=2 cm,DE=4 cm,EF=3 cm,所以解得BC=cm,所以AC=AB+BC=2+=(cm).答案:2.如图,在正方体ABCD-A B C D中,S是B D的中点,E,F,G分别是BC,DC,SC的中点,111111求证:(1)直线EG∥平面BDD1B 1 .(2)平面EFG∥平面BDD1B 1 .【证明】(1)如图,连接SB,因为E,G分别是BC,SC的中点,所以EG∥SB.又因为SB⊂平面BDD B,EG⊄平面BDD B,1111所以直线EG∥平面BDD1B 1 .(2)连接SD,因为F,G分别是DC,SC的中点,所以FG∥SD.又因为SD⊂平面BDD B,FG⊄平面BDD B,1111所以FG∥平面BDD1B 1 ,又EG⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,EG∩FG=G,所以平面EFG∥平面BDD1B 1 .【综合创新·练】1.在四面体ABCD中,M,N分别是面△ACD、△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是________.【解析】如图,连接AM并延长交CD于E,连接BN并延长交CD于F,由重心性质可知, E,F重合为一点,且该点为CD的中点E,由,得MN∥AB,因此,MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.答案:平面ABC、平面ABD。
2020年高考数学(文科)一轮复习 第41讲直线 平面平行的判定与性质
听课手册 第41讲 直线 平面平行的判定与性质1.直线与平面平行的判定与性质类别语言表述图形表示 符号表示 应用判定一条直线与一个平面 ,则称这条直线与这个平面平行a ∩α=⌀⇒a ∥α证明直线与平面平行 平面外 平行,则该直线与此平面平行a ⊄α,b ⊂α,且a ∥b ⇒a ∥α性质 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的 与该直线a ∥α,a ⊂β,α∩β=b ⇒a ∥b 证明直线与直线平行2.平面与平面平行的判定与性质类别语言表述图形表示符号表示应用判定 一个平面内的两条 与另一个平面平行,则这两个平面平行a ⊂α,b ⊂α,a ∩b=P ,a ∥β,b ∥β⇒α∥β证明平面与平面平行如果一个平面内有两条 分别平行于另一个平面内的两条 ,那么这两个平面平行a ⊂α,b ⊂α,a ∩b=P ,a ∥a',b ∥b',a'⊂β,b'⊂β,a'∩b'=P'⇒α∥β垂直于 的两个平面平行a ⊥α,a ⊥β⇒α∥β(续表)类别语言表述图形表示符号表示应用 性质两个平面平行,则其中一个平面内的直线必 于另一个平面α∥β,a ⊂α⇒a ∥β证明直线与平面平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的 平行α∥β,α∩γ=a ,β∩γ=b ⇒a ∥b 证明直线与直线平行常用结论1.垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b.2.平行于同一个平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.3.三种平行关系的转化:线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想,解题中既要注意一般的转化规律,又要看清题目的具体条件,选择正确的转化方向.题组一常识题1.[教材改编]已知直线a∥平面α,P∈α,那么过点P且平行于直线a的直线有条.2.[教材改编]如图7-41-1,平面α∥平面β,△PAB所在的平面与α,β分别交于CD,AB,若PC=2,CA=3,CD=1,则AB= .图7-41-1图7-41-23.[教材改编]如图7-41-2所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为.4.[教材改编]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列结论正确的是.(填序号)图7-41-3①AD1∥BC1;②平面AB1D1∥平面BDC1;③AD1∥DC1;④AD1∥平面BDC1.5.[教材改编]图7-41-3是一个长方体被一个平面截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为.题组二常错题◆索引:对空间平行关系的相互转化条件理解不够,忽略线面平行、面面平行的条件.6.设m,l表示两条直线,α表示平面,若m⊂α,则“l∥α”是“l∥m”的条件.7.(1)若直线a与平面α内无数条直线平行,则a与α的关系是.(2)已知两条直线a,b和两个平面α,β,若a⊂α,b⊂α,a∥β,b∥β,则α与β的关系是.(3)若平面α∥平面β,直线a∥α,则a与β的关系是.8.过三棱柱ABC-A1B1C1任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线有条.9.下列条件中,能判断两个平面平行的是.(填序号)①一个平面内的一条直线平行于另一个平面;②一个平面内的两条直线平行于另一个平面;③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面;④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面.探究点一平行关系的基本问题例1(1)[2018·厦门质检]如图7-41-4,图7-41-4在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,G分别是C1D1,BC,A1D1的中点,则下列结论正确的是()A.MN∥AGB.MN∥BD1C.MN∥平面BB1D1DD.MN∥平面BDG(2)平面α∥平面β的一个充分条件是()A.存在一条直线a,a∥α,a∥βB.存在一条直线a,a⊂α,a∥βC.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥αD.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α[总结反思]解决空间中线面、面面平行的基本问题要注意以下几个方面:(1)判定定理与性质定理中易忽视定理成立的条件;(2)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断;(3)举反例否定结论.变式题(1)[2018·泉州质检]已知两条直线a,b,两个平面α,β,a⊂α,b⊂α,则“a∥β,b∥β”是“α∥β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件图7-41-5C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)如图7-41-5所示,在四面体ABCD中,点M,N分别是△ACD,△BCD的重心,则四面体的四个面中与直线MN平行的是.探究点二线面平行的判定与性质例2[2018·吉林延边州模拟]如图7-41-6所示,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,DC=6,AD=8,BC=10,∠PAD=45°,E为PA的中点.图7-41-6(1)求证:DE∥平面PBC;(2)求三棱锥E-PBC的体积.[总结反思](1)证明线面平行的常用方法:①利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α),使用这个定理的关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行;②利用面面平行的性质(α∥β,a⊂α⇒a∥β),即若两平面平行,则其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. (2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线.变式题如图7-41-7,在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知侧棱与底面垂直,∠CAB=90°,且AC=1,AB=2,E为BB1的中点,M为AC上一点,AM=2AC.3,求AA1的长;(1)若三棱锥A1-C1ME的体积为√26(2)证明:CB1∥平面A1EM.图7-41-7探究点三面面平行的判定与性质例3[2018·烟台一模]如图7-41-8①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,BA=BC.把△BAC沿AC折起到△PAC的位置,使得点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上,如图7-41-8②所示,E,F分别为PC,CD的中点,求证:平面OEF∥平面PAD.图7-41-8[总结反思]证明面面平行的常用方法:(1)利用面面平行的判定定理;(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α,l⊥β⇒α∥β);(3)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行(α∥β,β∥γ⇒α∥γ).变式题[2018·新乡一模]如图7-41-9,几何体ABC-A1DC1是由一个正三棱柱截去一个三棱锥而得的,AB=4,A1D=1,AA1⊥平面ABC,M为AB的中点,E为棱AA1上一点,且EM∥平面BC1D.若N在棱BC上,且BN=2NC,证明:EN∥平面BC1D.图7-41-9完成课时作业(四十一)。
2014届高考第一轮总复习：直线与平面平行的判定课件
4．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边， 且等于第三边长的 一半． 5．梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底边，且等 于两底边和的 一半． 6 ．经过直线外一点有 且只有一 行； 条直线与已知直线平
经过直线外一点有 无数 个平面与已知直线平行； 经过平面外一点有 无数 条直线与已知平面平行； 经过平面下一点 且只有一 平面与已知平面平行； 经过两条异面直线中的一条有 且只有一 个平面与另一 条直线平行．
[例 2]
如下图所示，两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF
所在平面相交于 AB，M∈AC，N∈FB，且 AM＝FN.求证：MN
∥平面 BCE.
[分析]
解答本题可先在面 BCE 中找一条线与 MN 平行，
再判定出 MN∥面 BCE.
[证明]
方法一：作 MP∥AB 交 BC 于 P，NQ∥AB 交 BE
[分析]
欲证 MN∥平面 PBC，根据判定定理，关键是在
PM BN 平面 PBC 内找到一条直线与 MN 平行， 而所给条件为MA＝ND， 比例式自然会和平行产生联想，但 PA 与 BD 为异面直线，无 法直接利用此条件，于是想怎样做才能化异为共，使问题得到 解决，很自然的一个想法就是直线 PB 与两异面直线均相交， 且 PB⊂平面 PBC 内，只要在 PB 上取点 E，符合上述比例关 PE PM 系，产生平行线即可解决，于是在 PB 上取 E，使 ＝ ，则 EB MA ME∥AB∥CD，只须再过 N 作 NF∥CD，∴ME∥NF.
思路方法技巧
直线与平面平行的判定定理
学法指导 1.应用判定定理证明线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利 用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利 用平行线分线段成比例定理．
221222直线与平面平面与平面平行的判定定理PPT课件
D1
N
A1
M
F
B1
C1
E
D1 M
A1
N
C1 B1
D A
C B
D
K
A
Q
C
P B
变式
例 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别为DD1，DB的中点.求证：EF//平面ABC1D1.
证明：如图，连接BD1 ，
D1
C1
在△DBD1中，EF为三角形中位线，
所以EF//BD1 ，
又EF
故A1B//平面ADC1
A1
C1
B1
E
A
C
D B
例 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，M，N分别是 AB，PC的中点,求证：MN//平面PAD.
证明：取PD的中点H，连接HN，AH ， P
在三角形△PDC中，HN为三角形中位线， 所以HN//DC且 HN= 1 DC
H
2
D
又因为底面为正方形，且M为AB中点，
②从中你能得出什么结论？
A
B
猜想：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行.
1.直线与平面平行的判定定理
若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行， 则该直线与此平面平行.
(1)用该定理判断直线a和平面平行，须具备三个条件：
“面外、面内、平行”
a
a
即
b
a
//
a // b
EF和面BCD哪一条直线平行呢？ 直线BD
EF D
C
证明：连接BD，
B
∵在△ABD中，E、F分别是AB、AD的中点
届数学一轮总复习46直线平面平行的判定及其性质含解析苏教版
课时作业46 直线、平面平行的判定及其性质一、选择题1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(D) A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交 D．任意一条直线都不相交解析：因为直线a∥平面α，所以直线a与平面α无公共点，所以直线a和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D。
2．(2020·福州质检)下列说法中，错误的是(D)A．一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平面相交B．平行于同一平面的两个不同平面平行C．若直线l与平面α平行,则过平面α内一点和直线l平行的直线在α内D．若直线l不平行于平面α，则在平面α内不存在与l平行的直线解析：如果已知直线与另一个平面不相交，则有两种情形：直线在平面内或与平面平行，不管哪种情形都得出这条直线与第一个平面不能相交,出现矛盾,即A中说法正确；选项B是两个平面平行的一种判定方法，即B中说法正确；由线面平行的性质定理知C中说法正确;选项D中说法是错误的，事实上，直线l不平行于平面α，可能有l⊂α,则α内有无数条直线与l平行．故选D。
3．（2019·全国卷Ⅱ）设α,β为两个平面，则α∥β的充要条件是(B)A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面解析:对于A，α内有无数条直线与β平行,当这无数条直线互相平行时，α与β可能相交,所以A不正确；对于B，根据两平面平行的判定定理与性质知,B正确；对于C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；对于D，垂直于同一平面的两个平面可能相交,也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以D不正确．综上可知选B.4．已知α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线．给出下列命题：①若l上两点到α的距离相等，则l∥α；②若l⊥α,l∥β，则α⊥β;③若α∥β，l⊄β，且l∥α，则l∥β.其中正确的命题是（D)A．①②B．①②③C．①③D．②③解析：对于①，若直线l在平面α内，l上有两点到α的距离为0，相等,此时l不与α平行，所以①错误;对于②，因为l ∥β，所以存在直线m⊂β使得l∥m,因为l⊥α,所以m⊥α，又m⊂β,所以β⊥α，所以②正确；对于③，l∥α，故存在m⊂α,使得l∥m，因为α∥β，所以m∥β，因为l∥m，l⊄β，所以l∥β，③正确．故选D.5．在如图所示的三棱柱ABC。
高一数学必修二——2.2直线、平面平行的判定及其性质
A1 E D1 B1
C1
而EO 平面AEC, BD1 平面AEC ∴BD1 ∥平面AEC
A
D
O
C B
3、如图，在三棱柱ABC——A1B1C1中，D 是AC的中点。
求证：AB1//平面DBC1
B1
A1
C1
P
D
A
C
B
(2)(2013·新课标全国卷Ⅱ)如图,直
三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分 别是AB,BB1的中点. ①证明:BC1∥平面A1CD; ②设AA1=AC=CB=2,AB= 2 2, 求 三棱锥C-A1DE的体积.
(2)因为PD⊥平面ABCD,GC⊂平面
ABCD,所以GC⊥PD.因为ABCD为正 方形,所以GC⊥CD. 因为PD∩CD=D,所以GC⊥平面PCD. 因为PF=PD=1,EF=CD=1, 所以S△PEF= EF×PF=. 因为GC=BC=1, 所以. V =V
P-EFG G-PEF
=
3.(2015·杭州模拟)一个多面体的直观图及三视图 如图所示(其中M,N分别是AF,BC的中点). (1)求证:MN∥平面CDEF. (2)求多面体A-CDEF的体积.
(1)证明线线平行常用的方法：
一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平 行； 二是利用平行四边形进行平行转换；
三是利用三角形的中位线定理证线线平行；
四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转 换．
中位线定理
例题讲解：
例.空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的 中点，证明:直线EF与平面BCD平行
１．直线a在平面 内还是在平面 外？
直线a在平面外 即直线a与平面可能相交或平行
高考数学一轮总复习课时规范练35直线平面平行的判定与性质北师大版
课时规范练35直线、平面平行的判定与性质基础巩固组1.下列说法正确的是()A.若两条直线与同一条直线所成的角相等，则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C.若一条直线分别平行于两个相交平面，则一定平行它们的交线D.若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行2.(2021浙江宁海中学)已知三个不同的平面α，β，γ和直线m，n，若α∩γ=m，β∩γ=n，则“α∥β”是“m∥n”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB=AF∶FD=1∶4，H，G分别为BC，CD的中点，则()A.BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形B.EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C.HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形D.EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形4.(2021湖南雅礼中学二模)如图，E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1上的一点E(不与端点重合)，BD1∥平面B1CE，则()A.BD1∥CEB.AC1⊥BD1C.D1E=2EC1D.D1E=EC15.如图，AB∥平面α∥平面β，过A，B的直线m，n分别交α，β于点C，E和D，F.若AC=2，CE=3，BF=4，则BD的长为()A.65B.75C.85D.956.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，下列四个推断中正确的是()①FG∥平面AA1D1D ②EF∥平面BC1D1③FG∥平面BC1D1④平面EFG∥平面BC1D1A.①③B.①④C.②③D.②④7.过正方体ABCD-A1B1C1D1的三个顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是.8.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为.9.已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，AD=2BC，E，F分别为CC1，DD1的中点.求证:平面BEF∥平面AD1C1.综合提升组10.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNP不平行的是()11.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=DD1=1，AB=√3，E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点，点P在平面ABCD内，若直线D1P∥平面EFG，则线段D1P长度的最小值是()A.2√23B.√62C.√52D.√7212.如图，四边形ABCD是空间四边形，E，F，G，H分别是四边上的点，它们共面，且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC=m，BD=n，则当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB=.13.(2021山东临沂月考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD上一点，且CE=2DE，F为棱AA1的中点，且平面BEF与DD1交于点G，与AC1交于点H，则DGDD1=，AHHC1=.14.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q，如图.(1)若A1C交平面EFBD于点R，证明:P，Q，R三点共线;(2)线段AC上是否存在点M，使得平面B1D1M∥平面EFBD，若存在，确定M的位置;若不存在，说明理由.创新应用组15.(2021北京朝阳二模)已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，M是BB1的中点，动点P在正方体内部或表面上，且MP∥平面ABD1，则动点P的轨迹所形成区域的面积是()B.√2C.1D.2A.√2216.如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，M，N分别在线段AD1，BC上移动，始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN=x，MN=y，则函数y=f(x)的图象大致是()课时规范练35 直线、平面平行的判定与性质1.C 解析:由两条直线与同一条直线所成的角相等，可知两条直线可能平行，可能相交，也可能异面，故A 错误;若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面可能平行或相交，故B 错误; 设α∩β=l ，m ∥α，m ∥β，利用线面平行的性质定理，在平面α中存在直线a ∥m ，在平面β中存在直线b ∥m ，所以可知a ∥b ，根据线面平行的判定定理，可得b ∥α，然后根据线面平行的性质定理可知b ∥l ，所以m ∥l ，故C 正确;若两个平面都平行于同一条直线，则两个平面可能平行，也可能相交，故D 错误.故选C . 2.A 解析:根据面面平行的性质定理，可知当“α∥β”时，有“m ∥n ”，故充分性成立;反之，当m ∥n 时，α，β可能相交(如图)，故必要性不成立. 所以“α∥β”是“m ∥n ”的充分不必要条件. 故选A .3.B 解析:如图，由题意，得EF ∥BD ，且EF=15BD ，HG ∥BD ，且HG=12BD ，∴EF ∥HG ，EF ≠HG ，∴四边形EFGH 是梯形.又EF ∥BD ，EF ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，∴EF ∥平面BCD.故选B .4.D 解析:如图，设B 1C ∩BC 1=O ，则平面BC 1D 1∩平面B 1CE=OE.∵BD 1∥平面B 1CE ，根据线面平行的性质可得D 1B ∥EO ，∵O为B1C的中点，∴E为C1D1中点，∴D1E=EC1.故选D.5.C解析:由AB∥α∥β，易证ACCE =BDDF，即ACAE =BDBF，所以BD=AC·BFAE =2×45=85.故选C.6.A解析:∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1，∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1.∵FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D.故①正确;∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，∴EF与平面BC1D1相交.故②错误;∵E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1，∵FG⊄平面BC1D1，BC1⊂平面BC1D1，∴FG∥平面BC1D1.故③正确;∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误.故选A.7.平行解析:因为过A1，C1，B三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为A1C1，与底面ABCD的交线为l，且正方体的两底面互相平行，则由面面平行的性质定理知l∥A1C1.8.平行四边形解析:因为平面ABFE∥平面CDHG，平面EFGH∩平面ABFE=EF，平面EFGH∩平面CDHG=HG，所以EF∥HG.同理EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形.9.证明取AD的中点G，连接BG，FG.因为E，F分别为CC1，DD1的中点，所以C1D1 CD EF，因为C1D1⊂平面AD1C1，EF⊄平面AD1C1，所以EF∥平面AD1C1.因为AD∥BC，AD=2BC，所以GD BC，即四边形BCDG是平行四边形，所以BG CD，所以BG EF，即四边形EFGB是平行四边形，所以BE∥FG.因为F，G分别是DD1，AD的中点，所以FG∥AD1，即BE∥AD1.因为AD1⊂平面AD1C1，BE⊄平面AD1C1，所以BE∥平面AD1C1.又BE⊂平面BEF，FE⊂平面BEF，BE∩EF=E，所以平面BEF∥平面AD1C1.10.C解析:对于选项A，由图可知AC∥MN，CB∥NP，故根据面面平行的判定定理可知，平面ABC∥平面MNP.又因为AB⊂平面ABC，所以直线AB∥平面MNP，故A正确;对于选项B，根据题意得AB∥NP，结合直线与平面平行的判定定理，可知直线AB∥平面MNP，故B正确;对于选项C，由题意可知，平面MNP内不存在任意一条直线与直线AB平行，故直线AB与平面MNP不平行，故C错误;对于选项D，由图可知AC∥NP，CB∥NM，故根据面面平行的判定定理可知，平面ABC∥平面MNP，又因为AB⊂平面ABC，所以直线AB∥平面MNP，故D正确.故选C.11.D解析:如图，连接D1A，AC，D1C，因为E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点，所以AC∥EF，EF⊄平面ACD1，则EF∥平面ACD1.因为EG∥AD1，所以同理得EG∥平面ACD1，又EF∩EG=E，得平面ACD1∥平面EFG.因为直线D1P∥平面EFG，所以点P在直线AC上，在△ACD1中，有AD1=√2，AC=2，CD1=2，所以S△AD1C =12×√2×√22-(√22)2=√72，故当D 1P ⊥AC 时，线段D 1P 的长度最小，有S △AD 1C =12×AC ×D 1P ，解得D 1P=√7212×2=√72. 故选D .12.m ∶n 解析:∵AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，AC ⊂平面ABC ，BD ⊂平面ABD ，平面ABC ∩平面EFGH=EF ，平面ABD ∩平面EFGH=EH ，∴EF ∥AC ，EH ∥BD ，∴EF=BEABm ，EH=AEABn.又四边形EFGH 是菱形， ∴BEAB m=AEAB n ，∴AE ∶EB=m ∶n.13.1638解析:∵ABCD-A 1B 1C 1D 1是正方体，∴平面A 1B 1BA ∥平面C 1D 1DC. ∵BF ⊂平面A 1B 1BA ， ∴BF ∥平面CDD 1C 1.∵平面BFGE ∩平面C 1D 1DC=GE ， 则BF ∥GE ，则AF AB =DG DE ，即DG DE =12. 又CE=2DE ，则DG DD 1=16.连接AC 交BE 于点M ，过点M 作MN ∥CC 1，MN 与AC 1交于点N ，连接FM ，则H 为FM 与AC 1的交点. ∵AB ∥CE ，∴AM MC =AB CE =32，则AN NC 1=AM MC =32.∴MN CC 1=35，∴MN FA =65=HN AH ，故AH HC 1=38.14.(1)证明因为AC ∩BD=P ，AC ⊂平面AA 1C 1C ，BD ⊂平面EFBD ，所以，点P 是平面AA 1C 1C 和平面EFBD 的一个公共点，同理可知，点Q 也是平面AA 1C 1C 和平面EFBD 的公共点，即平面AA 1C 1C 和平面EFBD 的交线为PQ.因为A 1C ∩平面EFBD=R ，A 1C ⊂平面AA 1C 1C ，所以点R 也是平面AA 1C 1C 和平面EFBD 的公共点，由基本事实3可知，R ∈PQ ，因此，P ，Q ，R 三点共线.(2)解存在点M ，使得平面B 1D 1M ∥平面EFBD.如图所示，设B 1D 1∩A 1C 1=O ，过点O 作OM ∥PQ 交AC 于点M ，下面证明平面B 1D 1M ∥平面EFBD. 因为E ，F 分别为D 1C 1，B 1C 1的中点，所以B 1D 1∥EF.因为B 1D 1⊄平面EFBD ，EF ⊂平面EFBD ，所以B 1D 1∥平面EFBD.又OM ∥PQ ，OM ⊄平面EFBD ，PQ ⊂平面EFBD ，所以OM ∥平面EFBD.因为OM ∩B 1D 1=O ，OM ，B 1D 1都在平面B 1D 1M 中，因此，平面B 1D 1M ∥平面EFBD.因为E ，F 分别为D 1C 1，B 1C 1的中点，所以EF ∥B 1D 1，且EF ∩OC 1=Q ，则点Q 为OC 1的中点， 易知A 1C 1∥AC ，即OQ ∥PM ，又OM ∥PQ ，所以四边形OMPQ 为平行四边形，所以PM=OQ=12OC 1=14A 1C 1=14AC.因为四边形ABCD 为正方形，且AC ∩BD=P ，则P 为AC 的中点，所以点M 为AP 的中点，所以AM=12AP=14AC ，因此，线段AC 上存在点M ，且AM AC =14时，平面B 1D 1M ∥平面EFBD.15.A 解析:如图所示，E ，F ，G ，M 分别是AA 1，A 1D 1，B 1C 1，BB 1的中点，则EF ∥AD 1，EM ∥AB ，所以EF ∥平面ABD 1，EM ∥平面ABD 1，且EF ∩EM=E ，所以平面ABD 1∥平面EFGM ，故点P 的轨迹为矩形EFGM.MB 1=B 1G=12，所以MG=√22，所以S 矩形EFGM =1×√22=√22. 故选A . 16.C 解析:过点M 作MQ ∥DD 1，交AD 于点Q ，连接QN.∵MN ∥平面DCC 1D 1，MQ ∥平面DCC 1D 1， MN ∩MQ=M ，∴平面MNQ ∥平面DCC 1D 1.又平面ABCD 与平面MNQ 和平面DCC 1D 1分别交于QN 和DC ， ∴NQ ∥DC ，可得QN=CD=AB=1，AQ=BN=x.∵MQ AQ =DD 1AD =2，∴MQ=2x. 在Rt △MQN 中，MN 2=MQ 2+QN 2，即y 2=4x 2+1，∴y 2-4x 2=1(0≤x<1)，又y>0，∴y=√4x 2+1，∴函数y=f (x )的图象为焦点在y 轴上的双曲线上支的一部分.故选C .。
人教版七年级下册数学《平行线及其判定》期末复习讲义(含知识点和习题)
第五章《相交线与平行线》期末复习讲义5.2平行线及其判定【知识回顾】一．平行线1.定义：在同一平面内，__________的两条直线叫做平行线2.要点剖析（1）：平行线的特征：在同一平面内；是直线；没有公共点。
（2）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交和平行两种，重合的直线视为一条直线。
（3）平行线是指的两条直线的位置关系，两条射线或线段平行，是指的它们所在的直线平行。
二．平行线的画法1.“一落”把三角尺的一边落在已知直线上2.“二靠”用直尺紧靠三角尺的另一边3.“三推”把三角尺沿着直尺推到三角尺的一边刚好过已知点的位置4.“四画”沿三角尺过已知点的边画直线三．平行公理及其推论1.平行公理：经过直线外一点，_________一条直线与这条直线平行2.平行公理的推论：如果两条直线都与_________直线平行，那么这两条直线也互相平行四．平行线的判定1.同位角相等，两直线_________2.内错角相等，两直线_________3.同旁内角互补，两直线___________4.在同一平面内，垂直于_______________的两条直线互相平行题型拓展题型1 平行公理及其推论的应用例1：1．如图，取一张长方形的硬纸板ABCD，将硬纸板ABCD对折使CD与AB重合，EF 为折痕．把长方形ABEF平放在桌面上，另一个面CDEF无论怎么改变位置，总有CD∥AB存在，你知道为什么吗？例2：2．如图，取一张长方形的硬纸片ABCD对折，MN是折痕，把ABNM平摊在桌面上，另一个面CDMN不论怎样改变位置，总有MN∥∥．因此∥．题型2 综合运用各种判定方法判定两条直线平行例1：3．如图，∠1＝47°，∠2＝133°，∠D＝47°，那么BC与DE平行吗？AB与CD呢？为什么？例2：4．阅读下面的推理过程，在括号内填上推理的依据，如图：因为∠1+∠2＝180°，∠2+∠4＝180°（已知）所以∠1＝∠4，（）所以a∥c．（）又因为∠2+∠3＝180°（已知）∠3＝∠6（）所以∠2+∠6＝180°，（）所以a∥b．（）所以b∥c．（）题型3 平行线判定的开放探究题例1：5．如图，∠A＝60°，∠1＝60°，∠2＝120°，猜想图中哪些直线平行，并证明．例2：6．如图，直线a，b被c所截，∠1＝50°，若要a∥b，则需增加条件（填图中某角的度数）；依据是．题型4 平行线的判定在实际生活中的应用例1：7．如图所示，给你两块同样的三角板和一根直尺（直尺比桌子长），请你设计一个方案，检验桌子的相对边缘线是否平行？例2：8．在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道∠2是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，就可以判断两条直线是否平行？为什么？课后提高训练9．下列说法错误的是（）A．平行于同一条直线的两直线平行B．两直线平行，同旁内角互补C．对顶角相等D．同位角相等10．如图，下面哪个条件不能判断AC∥EF的是（）A．∠1＝∠2B．∠4＝∠C C．∠1+∠3＝180°D．∠3+∠C＝180°11．如图，平面内有五条直线l1、l2、l3、l4、l5，根据所标角度，下列说法正确的是（）A．l1∥l2B．l2∥l3C．l1∥l3D．l4∥l512．如图，在下列条件中，能判断AB∥CD的是（）A．∠1＝∠4B．∠BAD＝∠BCDC．∠BAD+∠ADC＝180°D．∠2＝∠313．如图所示，下列推理正确的是（）A．∵∠1＝∠4（已知）∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）B．∵∠2＝∠3（已知）∴AE∥DF（内错角相等，两直线平行）C．∵∠1＝∠3（已知）∴AB∥DF（内错角相等，两直线平行）D．∵∠2＝∠2（已知）∴AE∥DC（内错角相等，两直线平行）14．下列说法中正确的个数为（）①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直②两条直线被第三条直线所截，同位角相等③经过两点有一条直线，并且只有一条直线④在同一平面内，不重合的两条直线不是平行就是相交A．1个B．2个C．3个D．4个15．如图，下列能判定AB∥CD的条件有（填序号）①∠B+∠BCD＝180°；②∠2＝∠3；③∠1＝∠4；④∠B＝∠5；⑤∠D＝∠5．16．如图，要使BE∥DF，需补充一个条件，你认为这个条件应该是（填一个条件即可）．17．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点C、D重合，若固三角板定ABC，改变三角板AED的位置（其中A点位置始终不变），当∠CAD＝时，ED∥AC．18．如图，直线a、b被直线c所截，现给出的下列四个条件：①∠4＝∠7；②∠2＝∠5；③∠2+∠3＝180°；④∠2＝∠7．其中能判定a∥b的条件的序号是．19．已知：∠A＝∠C＝120°，∠AEF＝∠CEF＝60°，求证：AB∥CD．20．如图，若∠1＝42°，∠2＝53°，∠3＝85°，则直线l1与l2平行吗？判断并说明理由．21．如图，已知CD⊥AD于点D，DA⊥AB于点A，∠1＝∠2，试说明DF∥AE．解：因为CD⊥AD（已知），所以∠CDA＝90°（）．同理∠DAB＝90°．所以∠CDA＝∠DAB＝90°（）．即∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°．因为∠1＝∠2（已知），所以∠3＝∠4（）．所以DF∥AE（）．22．完成下列证明过程，并在括号内填上依据．如图，点E在AB上，点F在CD上，∠1＝∠2，∠B＝∠C，求证AB∥CD．证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠4（），∴∠2＝∠4（等量代换），∴（）．∴∠3＝∠C（）．又∵∠B＝∠C（已知），∴∠3＝∠B（等量代换），∴AB∥CD（）．参考答案与解析1.解：∵四边形FECD是矩形，∴CD∥EF；又∵四边形ABEF是矩形，∴AB∥EF，∴CD∥AB．2.解：∵长方形的硬纸片ABCD对折，MN是折痕，∴MN∥AB，MN∥CD，即MN∥AB∥CD，∴AB∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）．故各空依次填AB、CD、AB、CD．3.解：BC∥DE，AB∥CD．理由如下：∵∠1＝47°，∠2＝133°，而∠ABC＝∠1＝47°，∴∠ABC+∠2＝180°，∴AB∥CD；∵∠2＝133°，∴∠BCD＝180°﹣133°＝47°，而∠D＝47°，∴∠BCD＝∠D，∴BC∥DE．4.解：因为∠1+∠2＝180°，∠2+∠4＝180°（已知），所以∠1＝∠4，（同角的补角相等）所以a∥c．（内错角相等，两直线平行）又因为∠2+∠3＝180°（已知）∠3＝∠6（对顶角相等）所以∠2+∠6＝180°，（等量代换）所以a∥b．（同旁内角互补，两直线平行）所以b∥c．（平行于同一条直线的两条直线平行）．故答案为：同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；对顶角相等；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行．5.解：如图，∵∠A＝60°，∠1＝60°，∴∠A＝∠1，∴DE∥AC．又∵∠A＝60°，∠2＝120°，∴∠A+∠2＝180°，∴EF∥AB．6.解：∵∠3＝50°，1＝50°，∴∠1＝∠3，∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．故答案为：∠3＝50°；同位角相等；两直线平行．7.解：（1）将直尺放在桌面上，使其与桌面一组对边相交；（2）将三角板一边贴近直尺，斜边贴近桌面边缘；（3）使另一个三角形同样方法放置，如果相符合说明对边平行，原理如图所示，若∠1＝∠2则a∥b，再检查另一组对边是否平行．8.解：①通过度量∠3的度数，若满足∠2+∠3＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行，就可以验证这个结论；②通过度量∠4的度数，若满足∠2＝∠4，根据同位角相等，两直线平行，就可以验证这个结论；③通过度量∠5的度数，若满足∠2＝∠5，根据内错角相等，两直线平行，就可以验证这个结论．9. D10.C11.D12.C13.B14.B15.解：选项①中∵∠B+∠BCD＝180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），所以正确；选项②中，∵∠2＝∠3，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），所以错误；选项③中，∵∠1＝∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），所以正确；选项④中，∵∠B＝∠5，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），所以正确；选项⑤中，∠D＝∠5，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），所以错误；故答案为：①③④．16.解：添加条件为：∠D＝∠COE．理由如下：∵∠D＝∠COE，∴BE∥DE（同位角相等，两直线平行）．故答案为：∠D＝∠COE（答案不唯一）．17.解：如图所示：当ED∥AC时，∠CAD＝∠D＝30°；如图所示，当ED∥AC时，∠E＝∠EAC＝60°，∴∠CAD＝60°+90°＝150°；故答案为：30°或150°．18.解：当∠4＝∠7时，a∥b，故①正确；当∠2＝∠5时，无法证明a∥b，故②错误；当∠2+∠3＝180°时，无法证明a∥b，故③错误；当∠2＝∠7时，a∥b，故④正确；故答案为：①④．19.证明：∵∠A＝∠C＝120°，∠AEF＝∠CEF＝60°，∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，∴AB∥EF，CD∥EF，∴AB∥CD．20.解：直线l1与l2平行，理由：∵∠1＝∠4，∠2＝∠5，∠1＝42°，∠2＝53°，∴∠4＝42°，∠5＝53°，又∵∠3＝85°，∴∠3+∠5＝85°+53°＝138°，∴∠3+∠5+∠4＝138°+42°＝180°，∴l1∥l2（同旁内角互补，两直线平行）．21.解：因为CD⊥AD（已知），所以∠CDA＝90°（垂直的定义），同理∠DAB＝90°．所以∠CDA＝∠DAB＝90°（等量代换），即∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°．因为∠1＝∠2（已知），所以∠3＝∠4（等式的性质1），所以DF∥AE（内错角相等，两直线平行）．22.证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠4（对顶角相等），∴∠2＝∠4（等量代换），∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行）．∴∠3＝∠C（两直线平行，同位角相等）．又∵∠B＝∠C（已知），∴∠3＝∠B（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故答案为：对顶角相等；CE∥BF；同位角相等，两直线平行；C；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．。
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一加一教育2014年暑期讲义（七）
高中数学必修2教案
2.2 直线、平面平行的判定及其性质（复习课）
一、基础知识复习：
1、已知α、β、γ是三个平面，且a αβ=，b αγ=，c βγ=。
（1）若a b O =，求证：a 、b 、c 三线共点； （2）若//a b ，求证：////a b c 。
2、如图，a 、b
是异面直线，a α⊂，//a β，b β⊂，//b α，求证：//αβ。
三、达标训练：
1、有下列四个条件：①a β⊄，b β⊂，//a b ； ②b β⊂，//a b ；③////a b c ，b β⊂，c β⊂； ④a 、b 是异面直线，//a c ，b β⊂，c β⊂。
其中能保证直线a //平面β的条件是（ ） A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②④
2、已知直线a//平面α，直线b ⊂α，则a 与b 的关系为（ ） A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．平行或异面
3、平面α∩平面β＝a ，平面β∩平面γ＝b ，平面γ∩平面α＝c ，若a//b ，则c 与a ，b 的位置关系是（ ）
A ．c 与a ，b 都异面
B ．c 与a ，b 都相交
C ．c 至少与a ，b 中的一条相交
D ．c 与a ，b 都平行 4、给出下列四个命题： ① 如果a ，b 是两条直线，且a//b ，那么a 平行于经过b 的任何平面； ② 如果直线a 和平面α满足a //α，那么a 与α内的直线不是平行就是异面； ③ 如果直线a //α，b //α，则a//b ； ④ 如果平面α∩平面β＝a ，若b //α，b//β，则a//b 。
其中为真命题有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5、A 、B 是不在直线l 上的两点，则过点A 、B 且与直线l 平行的平面的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．无数个 D ．以上三种情况均有可能
6、如图，正方体中，点E 是平面A 1B 1C 1D 1内任一点，经过A 、C 、E 三点作正方体的截面α，以下描述正确的是（ ）
A ．截面α与平面A 1
B 1
C 1
D 1交于一点
E B ．截面α与平面A 1B 1C 1D 1交于一条过 点E 且与A 1C 1平行或重合的直线 C ．截面α与平面A 1B 1C 1D 1交于一条过
点E 且与A 1C 1相交的直线
D ．截面α与平面A 1B 1C 1D 1不相交 7、三个平面两两相交，则它们的交线（ ）
A ．只有一条
B ．有三条交于一点
C ．有三条且互相平行
D ．以上三种情况都存在
8、若直线a //平面β，平面β内有无数条直线交于一点，那么这无数条直线中与直线a 平行的（ ）
A ．至少有一条
B ．至多有一条
C ．有且只有一条
D ．根本不存在 9、两个平面α、β互相平行，直线a 在平面α内，有下列四个命题： ①a 与β内的所有直线都平行；②a 与β内的无数条直线平行；
③a 与β内的任何一条直线都不垂直；④a 与β无公共点。
其中真命题的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
10、在边长为6的正三角形ABC 中，E 是AB 边上的点，且AE ：EB=2：1，过点E 的平面α与 BC 平行，边AC α=F ，则EF 的长等于__________。
11、夹在两个平行平面α、β之间的两条线段AB 、CD 所在直线相交于点O （其中A 、C 两点在
α内，B 、D 两点在β内），已知AO=4，BO=2，CD=9，则线段CO 、DO 的长分别是__________。
12、在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，∠A ＝60°，G 是重心，过G 的平面α与BC 平行，AB ∩α＝
C 1
A (1) (2)
M ，AC ∩α＝N ，则MN___________。
13、如图，AB//α，AC//BD ，C α∈，D α∈，求证：AC=BD 。
14、如图，CD αβ=，EF αγ=，AB βγ=，//AB α，求证：//CD EF 。
15、在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，C 1D 1的中点，
求证：EF//平面BB 1D 1D
16、如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，M 是PC
中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH （Ⅰ）求证：PA//平面BDM ；（Ⅱ）求证：PA//GH。
17. 如图，已知P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 为PB
求证：PD //平面MAC ．
18. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱BC ，1
C 11
D D ．
19. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，试作出过AC 且与直线1D B 平行的截面，并说明理由．
20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是平行四边形，M ，N 分别是AB
，PC 的中点．
求证：MN //平面PAD ．
C
1
A。