一元线性回归分析预测法的基本数学模型为

一元线性回归分析预测法的基本数学模型为：

bx a y

+=? 此式又称为一元线性回归方程 式中：x 为自变量；

y

?为因变量，线性回归分析估计值，或预测值； a ，b 为待定回归参数； a 为回归直线的截距； b 为回归直线的斜率。

一元线性回归分析模型的几何图形如图 所示。

图 直线回归分析模型的几何图形

（三）一元线性回归分析预测法参数a ，b 的确定

一元线性回归分析预测法用最小二乘法求回归方程的参数。 假设有n 期的历史观察资料：

用最小二乘法求回归参数的基本原则是，对于确定的方程，要使观察值

y 与估计值y ?

的偏差的平方和最小。由此方法可求出：

x

0 x

y

? y

?b>0

b<0

b=2

2

)

(∑∑∑∑∑--x x n y x xy n ( 6-1)

a=

∑∑?-x n

b y n 1

1 ( 6-2) 只需将历史资料自变量x 和对应的因变量y 的数据代入上面的两式，即可求得回归参数a ，b 。

（四）一元线性回归分析预测法模型的建立

将利用历史资料数据和参数公式（6-1）和（6-2）求得的a ，b 值，代入一元回归方程式，既可得预测模型：

bx a y

+=? （6-3） 此时虽已求除预测模型，但不能将预测模型直接用于实际预测，还必须对模型进行检验。

（五）一元线性回归分析预测法预测模型的检验 对预测模型的检验主要包括以下几个方面：

1、回归标准差检验。一般情况下，从观察值y 与估计值y ?

的对比来看，回归直线上的各点（估计值）同对应的观察期各点（观察值）之间，均存在着一定的离差，即观察值曲线上各点的y 值均偏离回归直线。离差越大，拟合程度越差。因而需要测定估计值的标准差，而回归标准差s 就是用来估计y 值在回归直线两侧的离差程度，以便在进行实际预测时为预测值建立一个置信区间范围。回归标准差的计算公式为：

S y =

()k

n y y t

t --∑2

? （6-4）

式中：S y 为回归标准差；

y 为因变量第t 期的观察值；

y

?为因变量第t 期的估计值； n 为观察期的个数；

k 为自由度，为变量的个数（包括因变量和自变量）。

S y 值越小，表明回归直线拟合越好。S y 值越小，说明回归方程能解释的总离差部分越大，也意味着x 与y 之间的相关程度越高。

判断回归标准差能否通过检验，常常采用以下公式：

y S y

×100% （6-5）

式中：S y 为回归标准差；

y 为因变量观察值的平均值。

若依此式计算出的值小于15%，即为预测模型通过了回归标准差检验。 2、相关系数检验。 相关系数是描述两个变量x 与y 之间线性关系密切程度的一个数量指标。在一元线性回归分析预测法中，相关系数只对一个自变量与一个因变量进行相关程度分析，所以又称为单相关系数。

相关系数r 的基本公式为：

r=2

2

)

()()

)((y y x x y y x x ----∑∑ （6-6）

或

r=

∑∑∑∑∑∑∑---2

222)(·)(y y n x x n y

x xy n （6-7）

式中：x 为自变量的观察值；

y 为因变量的观察值；

x 为自变量观察值的平均值； y 为因变量观察值的平均值；

n为观察期的个数。

通过数学证明我们可以发现相关系数r具有这样的性质：0≤r≤1，r的值反映了x与y之间的内在联系，可以得出以下结论：

其中：若r越接近0，x与y的线性相关程度越小；

若r越接近1，x与y的线性相关程度越大。

（1）当r=0时，回归直线方程中b=0，回归直线平行于x轴，说明y取值与x无关，二者之间无线性相关关系。此时称y与x毫无线性关系。在通常情况下，这时三点的分布是不规则的。

（2）当r=±1时，所有的散点完全在回归直线上。此时称y与x完全线性相关。当r=1时，称完全正相关；当r=-1时，称完全负相关。

附录一

注：表中给出了满足

{α

α=r r P φ的

α

r 的数值。其中n-2是自由度

相关系数的值到底取多大，才可以确定y 与x 之间具有线性关系呢？ 一般情况下，当

r

≥0.8时，认为y 与x 高度线性相关；当0.5<

r

<0.8

时，认为y 与x 中度线性相关；当0.3

≤0.5时，认为y 与x 低度相关；

当

r

≤0.3时，认为y 与x 不相关。

（六）预测并确定置信区间

在上述检验通过以后，将已判断除的未来的自变量x 的值代入预测模型，就可计算出预测值。

由于实际计算中难免出现误差，预测值不可能是一个确定值，而应该是一个范围或区间，一般要求实际值位于这个区间范围的可靠程度应达到95%以上。

若给定可靠度1-α，可以证明

y 的预测区间为：

（02

002

0?,?S t y S t y

αα+-） （6-8）

其中：∑∑∑===??

? ??-??? ??-++=n i n i i i n

i i y

x x n n x x n n S S 1212

2

100/11 式中：)

2(2

2

-=n t t αα，可由t 分布表查得；

x 为预测点x 值；

S y 是估计标准差，其计算公式见（6-4）；

i

x 为统计数据。

利用公式（6-8）来确定预测区间，在计算上颇为麻烦，在实际应用中可以

做一些简化。事实上， 预测值0?y

的可靠度为68.27%时的预测区间为：

（

0?y

- S y ，

0?y

+S y ）

预测值0?y

的可靠度为95.45%时的预测区间为：

（

0?y

- 2S y ，

0?y

+2S y ）

预测值0?y

的可靠度为99.73%时的预测区间为：

（

0?y

- 3S y ，0?y

+3S y ）

预测区间的长度直接关系到预测的准确性。显然，预测区间越长，精度越差，

反之则越好。

例：某地区居民的收入与社会商品零售总额近10年的统计资料如表17-2所示。

表17-2 社会商品零售总额与居民收入统计资料

单位 ：亿元

讨论社会商品零售总额与居民收入的关系。并以此预测下一年居民收入达到213亿元时的社会商品零售总额。

解：第一步，因为预测目标是社会商品零售总额，所以令社会商品零售总额为y，居民收入为x。依据统计资料，做出散点图。见图17-3

图17-3 统计资料散点图

第二步，建立数学模型。从图17-3可见，y与x呈线性关系，故设预测模型为：

?

=

y+

a

bx

第三步，估计参数a，b。为了便于计算，列出计算表，如表17-4所示

表17-4 线性回归计算表

将所得数字代入公式（8-2）和（8-3）可得 b=

2

2)(∑∑∑∑∑--x x n y x xy n =

()

2

111414058210929111411655710-??-?

=13066.4/16482.4=0.7927 a=∑∑?-x n

b y n 1

1=929/10-0.7927×1114/10=4.593 由此，得回归预测方程式：

y

?=4.593+0.7927x

这个模型表明：居民的平均收入每增加1元，平均就有约0.79元用于商品

消费。

第四步，进行相关性检验。

首先，求相关系数 r=

∑∑∑∑∑∑∑---2

2

2

2

)

(·)(y y n x x n y

x xy n =0.9997

显然，y 与x 具有高度线性相关性。

其次，再用估计标准差验证。因为估计标准差 S y =()k

n y

y

t t

--∑2

?=

2

2

---∑∑∑n y x b y a y

i

i i i

=

2

10116557

7927.0929593.496669-?-?-=0.9598

y =92.9

S y /y =0.01<15%

所以y 与x 的线性相关性是较强的。

第五步，预测当居民收入达到213亿元时，社会商品零售总额，得点估计值：

0?y

=4.593+0.7927×213=173.438（亿元） 0?y

可靠度为95%的预测区间为：

（173.438－2×0.9598，173.438＋2×0.9598）

即（171.52，175.36） 就是说，下一年社会商品零售总额的预测范围在171.52～175.36亿元。