封闭气体压强求解的几种方法

名师课堂· WULI

物理

《高考》理科版2008.5-6.87

·英语常考高频词组·　(391)in the twinkling of an eye 一眨眼,转眼间

(392)keep an eye on (=keep a wa tch on )照看,监视

(393)in the ey es o f in one 's ey es (=in the judg ment of )在某人看来,在某人眼里

封闭气体压强求解的

几种方法

河北省郑口中学　陈宝友

我们知道,气体作用在器壁单位面积上的压力叫做气

体的压强,它是由大量气体分子在热运动中频繁地碰撞器壁而产生的,它的大小决定于气体的密度和气体分子的平均动能.也就是说,压强在宏观上是单位面积上所受的压力;而微观上是大量气体分子对器壁的频繁碰撞所致.

压强既是气体的状态参量,也是重要的力学参量.气体的压强既跟温度有关,也跟其体积有关.对于压强的确定,一方面可选择与气体相关联的固体,如活塞、汽缸、玻璃管等为研究对象,同时也可以取液体,如水银柱、水柱等物体为研究对象进行压强的求解.

一、运用平衡条件求解气体压强问题如果气体被液体或其他物体所封闭,且处于平衡状态.可以利用力的平衡条件来求解.必须注意的是,该方法只适用于热学系统处于静止或匀速运动状态封闭气体压强的计算

.

【例1】　气缸截面积为S ,质量为m 的梯形活塞上面是水平的,下面倾角为θ,如右图所示.当活塞上放质量为M 的重物而处于静止.设外部大气压为p 0,若活塞与缸壁之间无摩擦,求气缸中气体的压强.

解析　气体与活塞和气缸直接接触,但从汽缸的受力情况不便于计算气体的压强.故取活塞和重物为研究

对象,进行受力分析.它们首先受重力(M +m )g 作用,活塞还受到大气竖直向下的压力p 0S ,同时也受到封闭气体对活塞的推力pS 0,方向跟活塞斜面垂直,如右图所示.且右缸壁对活塞有方向水平向左的弹力N 作用,它们处于平衡状态,故其合力为零.

此时在竖直方向上有 (m +M )g +p 0S =pS 0sin θ

而从示意图中容易看出　S 0sin θ=S

故　p =(m +M )g +p 0S S =p 0+(

m +M )g S

.【例2】　如右图所示,一圆柱形气缸质量为M ,气缸内有一个可以沿内壁无摩擦自由滑动的活塞,活塞质量为m ,通过弹簧吊在天花板上,活塞截面积为S ,大气压强为p 0,则气缸内封闭的空气压强为.解析　在本题中,由于活塞和气缸的质量均已知,故既可分析活塞的受力情

况,也可讨论气缸的受力情况,但一般取受力较少的物体作研究对象为好.

对气缸而言,其受力满足Mg +pS =p 0S ,则p =p 0-Mg

S

,此即气缸内封闭空气的压强.同时利用整体法容易判断,若外界大气压p 0发生变化,不论它是增大还是减小,其作用于气缸上部和底端的压力总是相等的,故稳定后弹簧长度将保持不变

.

【例3】　图中竖直圆筒是固定不动的,粗筒横截面积是细筒的3倍,细筒足够长,粗筒中A ,B 两轻质活塞间封有空气,气柱长L =20cm .活塞A 上方的水银深H =10cm ,两活塞与筒壁间的摩擦不

计,用外力向上托住活塞B ,使之处于平衡状态,水银面与粗筒上端相平.现使活塞B 缓慢上移,直到水银的一半被推入细筒中,若大气压强p 0相当于75cm 高的水银柱产生的压强.则此时气体的压强为( )

A .100cm Hg

B .85cm Hg

C .95cmHg

D .75cmH g

解析　因为粗筒横截面积是细筒的3倍,则当水银的

一半被推入细筒中时,细筒中水银的高度应该为1

2H ×3=

15cm ,即活塞上方的水银高度为h =15cm +5cm =20cm ,此时分析轻质活塞A 的受力,则有(p 0+ρgh )·S =pS ,故得p =p 0+ρgh =95cmH g ,可见本题正确选项为C .

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　《高考》理科版2008.5-6.

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·英语常考高频词组·　(394)o n the face of it(=judging by wha t o ne c a n see)表面看来

(395)in the face o f面对着(困难等情况)

(396)in one's face当着某人的面;fa c e to faced面对面;face up t o大胆面向

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物理

《高考》理科版2008.5-6.89

·英语常考高频词组·　(397)in go od fait h (=hone stly ,sincerely )真诚地

(398)keep fait h wi th 对……守信用

解析　取右管中封闭B 气体的水银为研究对象,运用平衡条件容易得到B 气体的压强　p B =(p 0+L )cm Hg

再取左管中D 点为分析对象,由连通器原理,则 p D =p B 设被封闭的气体A 压强为p A ,运用平衡条件则气体A 下部(L 1+L 2)深度处D 点压强

p D =(p A +L 1+L 2)cm Hg

由连通器原理知　p B =p D

由以上各式,故得 p A =(p 0+L -L 1-L 2)cmH g .

【例9】　如下图所示,竖直放置的弯曲管A 端开口,B 端封闭,密度为ρ的液体将两段空气封闭在管内,管内液面高度差分别为h 1,h 2和h 3,则B 端气体的压强为(已知大气压强为p 0)

( )

A .p 0-ρg (h 1+h 2-h 3)

B .p 0-ρg (h 1+h 3)

C .p 0-ρg (h 1+h 3-h 2)

D .p 0-ρg (h 1+h 2)

解析　取长度为h 1的液体为研究对象,容易得到C 处压强　p C =p B +ρgh 1利用连通器的原理“同种不间断液体在同一水平液面压强相等”,则与C 处等高的D 处压强p D =p C ,因为即有D 和M 处于同段气体中,必有

p M =p D =p C =p B +ρgh 1

再次利用连通器原理,则　p N =p M +ρgh 3而　p N =p 0

故得　p B =p 0-ρg (h 1+h 3)

本题中,我们也可以采取与之相反的思路求解:首先求得　p M =p 0-ρgh 3则　p D =p M =p 0-ρgh 3故得　p B =p C -ρgh 1=p 0-ρgh 3-ρgh 1=

p 0-ρg (h 1+h 3)

利用以上两种不同的方法均可判断本题正确答案为B .

在利用连通器原理求解气体压强问题时,必须强调“同种不间断液体在同一水平液面压强相等”,否则很容易出现各种各样的错误.如果一味按照“在同一水平液面压强相等”,则容易得p M =p 0或者p D =p M +ρgh 2的错误结论,进而便“连锁反应”求得错误答案!

【例10】　两端开口、粗细均匀的U 形玻璃管开口向上竖直放置,两段水银柱中间封有一定质量的理想气体

,其液

面高度差如右图所示,则如果向右管倒入少量水银后,图中的h 2将(填“增大”“不变”或“减

小”),如果向左管倒入少量水银后,图中的h 2将(填“增大”“不变”或“减小”).解析　被封闭的理想气体的压强可以通过连通器原理或者平衡条件求解.显然,当向

右管倒入少量水银后,右管水银的受力情况发

生了变化,则气体的压强增大,因此气体的体积将减小,故图中的h 2将减小;如果向左管倒入少量水银后,右管水银的受力情况毫无变化,则气体的压强不会因此而变化,所以图中的h 2将不变.

四、利用动量定理求解

动量定理是一条适用范围很广的物理规律,研究物体所受合力的冲量与物体动量变化的关系.我们知道,气体对于容器器壁的压强即是气体分子撞击器壁时对器壁产生的作用力而产生的,因此气体的压强也可以通过动量定理来求解.

【例11】　容器内气体对容器壁的压强是由气体分子撞击容器壁而产生的.为了研究问题的方便,现作如下假设:①容器内气体为理想气体;②容器为立方体,且气体分

子中各有

1

6

的个数分别向上、下、左、右、前、后六个方向垂直器壁运动;③分子的速率均为v ;④气体分子与容器壁碰撞后以原速率反弹.若容器内单位体积内分子数为n 0,分子平均动能为E k .求:

(1)单位时间内撞击到容器壁单位面积上的分子数目;

(2)请利用动量定理推证容器内气体压强p =2

3n 0E k .

解析　(1)在t 秒内分子运动的距离为L =v t ,则扫过面积为S 的体积为V =S L .

设单位时间内撞击到容器壁单位面积上的分子数目为N 0,则体积为V 的气体内包含的分子数为N =n 0S vt ,因此向一个方向运动的分子数为N ′=

1

6n 0

S vt ,故单位时间内撞击到容器壁单位面积上的分子数目N 0=1

6n 0v .

(2)一个分子一次碰撞的过程中的动量改变量

Δp =mv +mv =2mv

t 秒内打到面积为S 的容积壁上的分子数

N ′=1

6n 0S vt

这些分子在t 秒内总动量变化量为

Δp 总=N ′·Δp =1

3n 0Stmv 2

根据动量定理　F 总·t =Δp 总

根据压强定义　p =

F

S 故　p =23n 0·12mv 2=23

n 0E k .