向量的距离与夹角余弦
向量夹角余弦
向量夹角余弦一、概述向量夹角余弦是向量分析中的一个重要概念，它可以用来计算两个向量之间的夹角大小。
在物理、工程学等领域中，向量夹角余弦被广泛应用于求解力的方向和大小等问题。
二、定义向量夹角余弦是指两个向量之间的夹角余弦值。
假设有两个非零向量a 和b，它们之间的夹角θ可以通过它们的点积和模长来计算：cosθ = (a·b) / (|a| × |b|)其中，a·b表示向量a和向量b的点积，|a|表示向量a的模长，|b|表示向量b的模长。
三、性质1. 余弦值范围：由于cosθ是余弦函数值，因此其取值范围在[-1, 1]之间。
2. 向量平行：当两个非零向量平行时，它们之间的夹角为0度或180度。
此时cosθ=±1。
3. 向量垂直：当两个非零向量垂直时，它们之间的夹角为90度。
此时cosθ=0。
4. 夹角大小比较：当0度<θ<90度时，cosθ随着θ增大而减小；当90度<θ<180度时，cosθ随着θ增大而增大。
四、应用1. 求解向量夹角：通过向量夹角余弦公式，可以计算出两个向量之间的夹角大小。
这在物理、工程学等领域中非常有用，例如求解力的方向和大小等问题。
2. 判断向量平行或垂直：当两个向量之间的夹角为0度或180度时，它们是平行的；当两个向量之间的夹角为90度时，它们是垂直的。
通过计算两个向量之间的夹角余弦值，可以判断它们是平行还是垂直。
3. 计算三角形面积：假设有一个三角形ABC，其中AB和AC分别表示两个边所对应的向量。
则三角形ABC的面积可以通过以下公式来计算：S = 1/2 × |AB| × |AC| × sinθ其中，|AB|和|AC|分别表示向量AB和AC的模长，sinθ表示两个向量之间的夹角正弦值。
五、总结向量夹角余弦是一个重要概念，在物理、工程学等领域中被广泛应用。
它可以用来计算两个向量之间的夹角大小，并且可以判断两个向量之间的关系（平行或垂直）。
用向量方法求空间角和距离(教师版)
用向量方法求空间角和距离在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题．1 求空间角问题空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角．（１）求异面直线所成的角设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量,则两异面直线所成的角α=arccos ||||||a b a b （２）求线面角设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法向量，则斜线l 与平面α所成的角α=arcsin ||||||l n l n（３）求二面角法一、在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，其方向如图，则二面角l αβ--的平面角α=arccos ||||a b a b法二、设12,,n n 是二面角l αβ--的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l αβ--的平面角α=1212arccos ||||n n n n 2 求空间距离问题构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，像异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求．（１）求点面距离法一、设n 是平面α的法向量，在α内取一点B,则 A 到α的距离|||||cos |||AB n d AB n θ==法二、设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||AO ．（２）求异面直线的距离法一、找平面β使b β⊂且a β，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离．法二、在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量,求n （n a ⊥，n b ⊥），则异面直线a 、b 的距离|||||cos |||AB n d AB n θ==（此方法移植于点面距离的求法）．例１．如图，在棱长为２的正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别是棱1111,A D A B 的中点． （Ⅰ）求异面直线1DE FC 与所成的角；（II ）求1BC 和面EFBD 所成的角；（III ）求1B 到面EFBD 的距离解：（Ⅰ）记异面直线1DE FC 与所成的角为α，则α等于向量1DE FC 与的夹角或其补角，（II ）如图建立空间坐标系Dxyz -， 11||||111111cos ||()()||||||22||,arccos 55DE FC DE FC DD D E FB B C DE FC αα∴=++===∴=则(1,0,2)DE =，(2,2,0)DB =设面EFBD 的法向量为(,,1)n x y = 由00DE n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得(2,2,1)n =- 又1(2,0,2)BC =-记1BC 和面EFBD 所成的角为θ则 1112sin |cos ,|||2||||BC n BC n BC n θ⋅=〈〉== ∴ 1BC 和面EFBD 所成的角为4π． （III ）点1B 到面EFBD 的距离ｄ等于向量1BB 在面EFBD 的法向量上的投影的绝对值，1||||BB n d n ∴==23 设计说明：１．作为本专题的例１，首先选择以一个容易建立空间直角坐标系的多面体―――正方体为载体，来说明空间角和距离的向量求法易于学生理解．２．解决(1)后，可让学生进一步求这两条异面直线的距离，并让学生体会一下：如果用传统方法恐怕很难（不必多讲，高考对公垂线的作法不作要求）．３．完成这３道小题后，总结：对于易建立空间直角坐标系的立几题，无论求角、距离还是证明平行、垂直（是前者的特殊情况），都可用向量方法来解决，向量方法可以人人学会，它程序化，不需技巧．例2．如图，三棱柱中，已知A BCD 是边长为1的正方形，四边形B B A A '' 是矩形，。
两个向量的夹角余弦公式
两个向量的夹角余弦公式在我们的数学世界里，向量可是个相当有趣的家伙。
今天咱们就来聊聊两个向量的夹角余弦公式，这可是个很有用的宝贝哦！咱们先来说说向量是啥。
想象一下，有个箭头，它有长度还有方向，这就是向量啦。
比如说，你从家出发去学校，走过的路线就可以用向量来表示。
那两个向量的夹角余弦公式到底是啥呢？其实就是用来计算两个向量之间夹角的余弦值的公式。
假设咱们有两个向量 a 和 b ，它们的夹角是θ ，那么夹角的余弦值cosθ 就等于这两个向量的点积除以它们的模长的乘积。
用公式写出来就是：cosθ = (a·b) / (|a|×|b|) 。
这里面的点积和模长又是什么呢？点积就是两个向量对应分量相乘再相加的结果。
比如说向量 a = (x1, y1) ，向量 b = (x2, y2) ，那它们的点积就是 x1×x2 + y1×y2 。
模长呢，就是向量的长度，比如说向量 a 的模长|a| = √(x1² + y1²) 。
我给大家讲个我自己的事儿吧。
有一次我去商场逛街，我从入口出发，把我的行走路线看作向量 a ，然后我在商场里绕了一圈又回到了入口附近的一个地方，这一段路程看作向量 b 。
我就突然想到了这两个向量的夹角余弦公式。
我就琢磨着，这两个向量的夹角能反映出我走的路线是不是比较顺，还是绕来绕去的。
咱们再来说说这个公式有啥用。
在物理里，比如说计算力的合成和分解的时候，就经常用到它。
还有在计算机图形学里，判断两个物体的相对方向，也离不开它。
在解题的时候，咱们得先把向量的坐标表示搞清楚，然后算出点积和模长，最后代入公式就能求出夹角的余弦值啦。
比如说，给你两个向量 a = (2, 3) ，b = (4, -1) 。
那先算点积 a·b =2×4 + 3×(-1) = 5 ，再算模长|a| = √(2²+ 3²) = √13 ，|b| = √(4² + (-1)²) = √17 ，最后代入公式cosθ = 5 / (√13×√17) ，就能算出夹角的余弦值啦。
线面距离公式空间向量
线面距离公式空间向量
空间向量是指在空间中有方向和大小的物理量，其中，方向由向量的朝向指示，大小由向量的长度指示。
空间向量的计算是几何学中的基本操作，它为我们提供了一种计算空间中物体之间距离的方法。
其中，空间向量的线面距离是指向量与某一平面的距离，其计算公式为：距离=向量点乘法向量的模值的绝对值/法向量
的模值，其中，法向量模值表示平面法向量的大小，向量点乘法向量的模值表示向量与法向量的夹角余弦值。
空间向量线面距离公式可以用来计算多种形状的几何体之间的距离，例如：点到平面的距离，点到直线的距离，直线到平面的距离等。
使用该公式，我们可以快速地计算出两点之间的距离，从而避免手工计算的复杂和繁琐。
此外，空间向量线面距离公式还可以应用到实际的工程中，例如：在机械设计中，可以使用该公式来计算零部件之间的安装位置，以准确地实现零件的装配；在建筑设计中，可以使用该公式来计算梁与墙体的支撑距离，以确保梁的稳定性。
从上面可以看出，空间向量线面距离公式是几何学中重要的一种计算方法，它可以用来准确地计算几何体之间的距离，也可以应用到实际的工程中，以达到精确的设计效果。
用空间向量研距离、夹角问题(第二课时)课件
d＝
|B→C1|2－B→C1·A→→1C1
2＝
|A1C1|
10－952＝153．
例题解析
例 2．已知向量 n＝(2，0，1)为平面α的法向量，点 A(－1，2，1)在α内，则点 P(1，2，2)到平面α的距离 为( B)
5
5
A. 5 B. 5 C．2 5 D. 10
∵P→A＝(－2，0，－1)，n＝(2，0，1)，∴点
7 7.
7 又二面角 B－AP－C 为锐二面角，故二面角 B－AP－C 的余弦值为 7 .
课堂小结
1．点到线的距离; 2．点到面的距离； 3．空间异面直线所成角； 4. 空间直线与平面所成角； 5. 二面角。
感谢您的观看
设 AC1 与平面 BB1C1C 所成的角为θ，
则 sin
θ＝|cos〈n，A→C1〉|＝||AA→→CC11|·|nn||＝
6 4 ，∴cos
θ＝
1－sin2θ＝
10 4.
例题解析
例 7.如图所示，ABCD－A1B1C1D1 是棱长为 6 的正方体，E，F 分别是棱 AB，BC 上的动点，且 AE＝BF.当 A1，E，F，C1 共面时，平面 A1DE 与平面 C1DF 所成锐二面角的余弦值为( B )
3．求平面和平面所成的角(二面角)
如图,若 PA⊥ 于 A,PB⊥β于 B,平面 PAB 交 l 于 E,则∠AEB 为二面角 - l -β的平面角，∠AEB+∠APB=180°若 n1、n2 分别为面 ,β的法向量， ∠.AEB=<n1,n2>(n1,n2 的方向指向二面角的异侧)或π-<n1,n2>(n1,n2 的方向 指向二面角的同侧)，即二面角θ等于它的两个面的法向量的夹角(或夹角 的补角).
向量余弦角公式
向量余弦角公式是向量计算中的重要公式之一，它用于计算两个向量之间的夹角的余弦值。
公式为：cosθ = (A·B) / (||A|| ||B||)，其中A和B是两个向量，·表示点乘，||A||和||B||分别表示向量A和B的模长。
这个公式可以用于计算两个向量的夹角的余弦值，进而可以用于判断两个向量之间的相似度或相关性。
在机器学习和数据挖掘等领域中，这个公式被广泛应用于向量的相似度计算和聚类分析等任务。
值得注意的是，向量余弦角公式只适用于两个非零向量的夹角计算，如果两个向量中有零向量，需要特别处理。
另外，向量余弦角公式也不能用于判断向量之间的方向关系，因为余弦函数在0度到180度之间是单调递增的，而在180度到360度之间是单调递减的，所以无法通过余弦值来判断两个向量的方向关系。
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(学案)(人教A版2019选择性必修第一册)
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题【学习目标】一．空间距离的向量求法【小试牛刀】思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)（1）两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．()（2）直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角．()（3）二面角的大小就是该二面角两个面的法向量的夹角．()（4）若二面角两个面的法向量的夹角为120°，则该二面角的大小等于60°或120°.()【经典例题】题型一 利用空间向量求距离例1 （线面距离）设A （2,3,1），B （4,1,2），C （6,3,７），D （－５,－4,8），求D 到平面ABC 的距离.【跟踪训练】1在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，中，AD =AA 1=1，AB =2，点E 在棱AB 上移动.当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离。
例2（线线距离）如图，已知四边形ABCD 、EADM 和MDCF 都是边长为a 的正方形，点P 、Q 分别是ED 和AC 的中点求：（1）P 点到平面EFB 的距离；（2）异面直线PM 与FQ 的距离【跟踪训练】2 （面面距离）已知正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求平面AB 1C 与平面A 1C 1D 间的距离．题型二 求异面直线所成角例3 （线线角）如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知M ，N 分别是BD 和AD 的中点，则B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为( ) A.3010 B.3015 C.3030 D.1515【跟踪训练】3 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 上QF MEDC BA P的动点．若异面直线AD1与EC所成角为60°，试确定此时动点E的位置．题型三求直线与平面所成角例4（线面角）已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，M为A1B1的中点，求BC1与平面AMC1所成角的正弦值．【跟踪训练】4 如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝3，BC＝1，AD＝AA1＝3.(1)证明：AC⊥B1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．题型三求平面与平面所成角例5 （面面角）如图所示，在几何体S－ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC ＝2，BC＝1，又SD＝2，⊥SDC＝120°，求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．【跟踪训练】5如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求二面角AA1DB的余弦值．【当堂达标】1.已知向量m ，n 分别是直线l 的方向向量和平面α的法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l 与α所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2.(多选)已知二面角α－l －β的两个半平面α与β的法向量分别为a ，b ，若〈a ，b 〉＝π3，则二面角α－l －β的大小为( ) A.π3 B.2π3 C. π6D.π23.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( ) A.23 B.33 C.23 D.634.已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为( ) A ．45° B ．135° C ．45°或135° D ．90°5.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为________．6.三棱柱中，已知A BCD 是边长为1的正方形，四边形B B A A '' 是矩形， 。
向量和夹角关系的公式
向量和夹角关系的公式好的，以下是为您生成的关于“向量和夹角关系的公式”的文章：在我们学习数学的奇妙旅程中，向量和夹角关系的公式就像是一把神奇的钥匙，能打开许多难题的大门。
咱们先来说说向量这个概念。
想象一下，你在操场上跑步，从起点到终点的这个路径和距离，就可以用向量来表示。
向量有大小和方向，就像你跑步的速度和朝着的方向一样。
那夹角呢？比如说，你和你的小伙伴一起跑步，你们跑的方向不是完全一致的，这个时候你们方向之间形成的角度，就是夹角。
接下来，咱们重点聊聊向量和夹角关系的公式。
这公式啊，就像是一个魔法咒语，能让我们轻松算出向量之间的关系。
公式是这样的：设两个向量分别为 a 和 b ，它们的夹角为θ ，那么它们的数量积a·b = |a|×|b|×cosθ 。
这里的 |a| 和 |b| 表示向量 a 和 b 的模长。
为了让大家更好地理解这个公式，我给大家讲个我在课堂上的小经历。
有一次上课，我在黑板上写了两个向量的坐标，然后让同学们来算它们的夹角。
大家一开始都有点懵，不知道从哪里下手。
我就引导他们，先算出向量的模长，再算出数量积，最后代入公式算出夹角的余弦值，再通过反三角函数得出夹角。
有个同学叫小明，他特别积极，但是一开始算错了。
我走到他身边，看了看他的步骤，发现他把模长算错了。
我就指着他的算式，跟他说：“小明啊，你看这里，模长可不是这样算的哦，要把每个坐标的平方相加，再开方。
”小明恍然大悟，重新算了一遍，终于算对了，他那高兴的样子，我现在都还记得。
咱们再回到这个公式。
它的用处可大了！比如说在物理学中，计算力的合成与分解时，就经常用到它。
再比如在工程学中，确定两个力的作用效果时，也离不开这个公式。
而且，通过这个公式，我们还能发现一些有趣的现象。
当夹角为 0度时，cosθ = 1 ，此时两个向量的数量积最大，说明它们的方向相同；当夹角为 180 度时，cosθ = -1 ，数量积最小，说明它们的方向相反。
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(PPT)-
预习验收 衔接课堂
1．若直线 l1 与直线 l2 的方向向量的夹角是 150°，则 l1 与 l2 这两 条异面直线所成的角等于( )
A．30°
B．150°
C．30°或 150°
D．以上均错
A 解析：异面直线所成的角为锐角或直角，且与方向向量的夹
角相等或互补，故选 A.
2．已知两平面的法向量分别为 m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，
()
A.13
B.
2 3
C.
3 3
D.23
C 解析： 依题意，建立坐标系如图所示，设四棱锥 S ABCD 的棱长为 2，
则 A(0，－1，0)，B(1，0，0)，S(0，0，1)，D(－1，0，0)，
所以 E 点坐标为12，0，12，
所以A→E＝12，1，12，S→D＝(－1，0，－1)，
所以
cos〈A→E，S→D〉＝|A→→E·→S→D|＝ |AE||SD|
截面 A1BD 的距离.
解： 如图，建立空间直角坐标系 D1xyz，则 A1(a，0，0)，A(a， 0，a)，B(a，a，a)，D(0，0，a)．
设平面 A1BD 的法向量 n＝(x，y，z)，则 n·D→B＝（x，y，z）·（a，a，0）＝0， n·A→1B＝（x，y，z）·（0，a，a）＝0，
33，
故异面直线
AE，SD
所成角的余弦值为
3 3.
1．应用向量法解题的两种方式：基向量法和坐标法．建立空间 直角坐标系时要充分利用题目中的垂直关系.
2．利用空间向量求两条异面直线所成的角，可以避免复杂的几 何作图和论证过程，只需通过相应的向量运算即可，但应注意：用 向量法求两条异面直线所成的角是通过两条直线的方向向量的夹角 来求解的，两条异面直线所成角 θ 的取值范围是0，π2，而两向量的 夹角 α 的取值范围是[0，π]，所以两者相等或互补，即 cos θ＝|cos α|.
用空间向量研究距离、夹角问题(一)(人教A版2019选修一)高二数学
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0,0,0)，O1(0,1， 3 )，A( B(0,2,0)，
∴A→1B＝(－ 3，1，－ 3)， O→1A＝( 3，－1，－ 3)．
3 ，0,0)，A1(
3 ，1，
3 )，
∴|cos〈A→1B，O→1A〉|＝||AA→→11BB|··|OO→→11AA||
系？
条件
平面α，β的法向量分别为 u，v，α，β所构成的二面 角的大小为θ，〈u，v〉＝φ
图形
关系 计算
θ＝φ cos θ＝cos φ
θ＝π－φ cos θ＝－cos φ
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相 等．( × ) (2)若向量n1，n2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面 角的平面角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝|nn11|·|nn22|.( × ) (3)平面α外一点A到平面α的距离，就是点A与平面内一点B所 成向量A→B的长度．( × ) (4)二面角α－l－β的大小为θ，平面α，β的法向量分别为n1， n2，则θ＝〈n1，n2〉．( × )
则A(1,0,0)，D1(0,0,2)，E(1,1,1)，B(1,1,0)， A→E ＝(0,1,1)， A→D1 ＝(－1,0,2)，D→E＝(1,1,1)
设平面AD1E的法向量为n＝(x，y，z)，则－ y＋x＋ z＝20z＝0
令z＝1，则n＝(2，－1,1)
∴cos〈n，D→E〉＝2－31·＋61＝
(2)如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A－xyz，则 C(2,2,0)，D(0,4,0)，F(2,0,4) ∴A→D＝(0,4,0)，C→D＝(－2,2,0)，C→F＝(0，－2,4) 设n＝(x，y，z)是平面CDF的一个法向量，则
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0.1807
0.2126
0.3837
马氏距离为：
d4 =
2.0000
2.0000
2.0000
成绩
程序如下：
a=[1,2,3];
b=[4,5,6];
A=[1.28,1.86;1.24,1.68;1.4,b)
a3=norm(a)
a4=norm(b)
d1=(pdist(A))'
d2=(pdist(A,'cityblock'))'
d3=(pdist(A,'minkowski',3))'
安徽财经大学统计与数学模型分析实验中心
《数学软件》实验报告
实验名称：向量的距离与夹角余弦使用软件：matlab
实
验
目
的
熟练掌握向量的各种距离的计算，熟悉夹角余弦的公式，掌握判别分析建模的基本方法
实
验
内
容（具体题目及程序）
1.设a=[1,2,3],b=[4,5,6]，求a，b的数量积，矢量积与范数;
2.设三只蠓虫的触长、翅长分别为（1.28，1.86），（1.24，1.68），（1.42，2.05）,求三只蠓虫之间的向量的欧氏、绝对距离、闵可夫斯基距离（r=3）和马氏距离。
d4=(pdist(A,'mahal'))'
实
验
结
果
分
析
数量积为：
a1 =
32
矢量积为：
a2 =
-3 6 -3
a的范数为：
a3 =
3.7417
b的范数为：
a4 =
8.7750
欧氏距离为：
d1 =
0.1844
0.2360
0.4115
绝对距离为：
d2 =
0.2200
0.3300
0.5500
闵可夫斯基距离（r=3）为：