裂纹扩展时物理覆盖与流形单元的生成算法
裂纹扩展分析XFEM在断裂问题中的应用
目录1 引言 (1)1.1 研究的背景 (1)1.2 研究的内容和途径 (1)1.2.1 研究的内容 (1)1.2.2 研究的途径 (1)1.3 研究的意义 (2)2 扩展有限元法的基本理论 (3)2.1 单位分解法 (3)2.2 水平集法 (4)2.2.1 水平集法对裂纹的描述 (4)2.2.2 水平集法对孔洞描述 (5)2.3 扩展有限元法 (6)2.3.1 扩展有限元法的位移模式 (6)2.3.2 扩展有限元离散方程的建立 (6)2.3.3 扩展有限元的单元积分 (7)3 断裂力学的基本理论 (9)3.1 裂纹的基本类型 (9)3.2 几种常见的断裂判断依据 (10)3.2.1 应力强度因子 (10)3.2.2 J积分 (10)3.2.3 COD判据 (11)3.3 线弹性断裂力学 (11)3.3.1 线弹性断裂力学适用范围 (12)3.3.2 应力强度因子准则 (12)3.4 弹塑性断裂力学 (13)3.4.1 J积分 (13)3.4.2 COD理论 (15)4 算例分析 (16)4.1 算例1 (16)4.1.1 建立裂纹体的几何模型 (16)4.1.2 裂纹体的有限元模型 (16)4.1.3 裂纹体的材料性能 (17)4.1.4 裂纹体的条件设置 (17)4.1.5 结果分析 (18)4.2 算例2 (22)4.2.1 椭圆孔对裂纹扩展的影响 (22)4.2.2 圆形孔对裂纹扩展的影响 (29)4.2.3 方形孔对裂纹扩展的影响 (32)4.2.4 三角形孔对裂纹扩展的影响 (35)4.2.5 孔形对裂纹扩展的影响 (38)本章小结 (41)结论 (44)参考文献 (45)致谢 (47)1 引言1．1 研究的背景自20世纪初以来，桥梁、船舶、管道、压力窗口、发电设备的汽轮机和发电机转子等曾多次发生过断裂事故，例如因为压力窗口的大型化或厚截面压力窗口的增多以及低温压力容器在化工、石油等工业中的广泛使用，使得断裂事故迭有发生，这些事故在世界各国都引起了广泛的关注，通过大量的断裂事故可以表明，构件的断裂都是由于其内部存在各种类型的裂纹所致，而这些裂纹的存在和扩展，使得结构的承载力在某种程度上不断削弱，从而影响了工程结构的质量与安全，所以研究断裂内部裂纹起裂情况及扩展规律，对工程的设计以及施工、维护等方面都具有重大的指导意义，不论是从经济、人身安全、技术等哪方面来考虑，深入研究裂纹起裂及扩展规律都显得更为有意义。
数值流形位移法在岩体裂缝扩展中的应用
数值流形位移法在岩体裂缝扩展中的应用王述红;邱伟;高红岩;张紫杉【摘要】基于三角形网格,对裂缝扩展过程中流形单元变化情况进行了深入研究,从几何网格的角度对数值流形方法的连续与非连续统一处理方式进行解读.采用一阶覆盖函数,推导出数值流形算法的权函数表达式,建立局部位移函数.通过数值流形计算程序,得出裂缝尖端位移,并计算尖端应力强度因子.通过经典的中心裂纹板模型,对数值流形位移法求得的尖端应力强度因子进行验证,算例的数值解和解析解吻合度较高,证明数值流形法计算裂缝扩展的准确性,为裂纹扩展过程中尖端应力强度因子的求解提供了新的数值解法.【期刊名称】《东北大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(040)004【总页数】5页(P552-556)【关键词】裂缝扩展;几何网格;局部位移函数;强度因子;数值流形位移法【作者】王述红;邱伟;高红岩;张紫杉【作者单位】东北大学资源与土木工程学院, 辽宁沈阳 110819;东北大学资源与土木工程学院, 辽宁沈阳 110819;东北大学资源与土木工程学院, 辽宁沈阳110819;东北大学资源与土木工程学院, 辽宁沈阳 110819【正文语种】中文【中图分类】TU457当岩体中有未贯穿岩体的结构面存在时,在受到工程扰动的情况下,很容易造成结构面扩展开裂,形成次生结构面,进一步切割岩体,形成规模较大的非连续块体,该过程为连续到非连续的变形破坏[1].由于其复杂性,现有的主流数值分析软件,例如有限元在对裂缝扩展问题分析时,需要不断更新网格,使得前处理工作复杂.为了能够统一求解连续和非连续变形问题,Shi[2-4]提出了数值流形方法,利用数学覆盖和物理覆盖两套覆盖系统构建单元网格,并独立定义位移函数,各覆盖位移函数通过权函数逼近求解整体场函数[5].国内外众多学者对数值流形位移法及相关程序不断改进,将其成功应用于岩体大变形破坏分析以及裂缝扩展模拟等相关研究中.本文利用数值流形方法覆盖技术,构建裂缝尖端位移函数,用于求解尖端位移,结合尖端位移场求解应力强度因子,实现裂缝扩展的判据表征.1 裂缝尖端位移求解采用数值流形的方法对岩体裂纹扩展进行分析,首先同样需要进行网格划分,建立两套覆盖系统[6].在裂缝扩展过程中,数学网格保持不变,裂缝扩展不断剖分数学网格，从而不断形成新的物理网格[7-8].本文采用三角形数学网格构建数学覆盖,对岩体平面单裂纹扩展进行计算分析.裂缝扩展过程中流形单元的变化见图1.图1 裂缝扩展过程中流形单元的变化Fig.1 Changing of manifold units during crack propagation(a)—裂缝未扩展； (b)—裂缝开始扩展；(c)—裂缝进一步扩展；(d)—裂缝贯穿.图1a中为连续的块体材料,块体边界对数学覆盖进行切割，形成物理网格,各物理网格相互叠加形成流形单元[9].块体中产生一条单裂缝,当发生扩展时,对应的流形单元也将发生变化,如图1b～图1d.块体中产生的裂缝对块体进行了部分切割,裂缝路径范围内的流形单元产生了新的节点,因此裂缝切割形成的流形元可以产生不同的位移如图1b、图1c所示.当裂缝完全贯穿块体之后,块体被分割成不连续的两部分,裂隙路径范围内的任一流形单元分别具有不同的节点,形成的两个新的块体可以独立自由移动,如图1d所示.将三角形单元各节点位移场定义如下:(1)用权函数W(x,y)表示流形元单元的权函数,则各节点对应的权函数为[W1(x,y) W2(x,y) W3(x,y)]=(2)以图1a中流形单元11,21,31为例,该流形单元具有三个数学覆盖V1,V2,V3,同时具有三个物理覆盖11,21,31.设物理覆盖上的位移函数分别为常函数(u1,v1),(u2,v2),(u3,v3),对应权函数分别为W1(x,y),W2(x,y),W3(x,y),权函数由坐标系可直接求出.则该流形单元的位移函数可表示为(3)式中:2 应力强度因子算法应力强度因子是用来表征裂纹端部应力场特征的物理量,也是用来描述应力在裂纹端部的奇异性.断裂力学认为,当裂纹尖端的应力强度因子达到材料的断裂韧度时,裂纹将发生扩展[10-11].因此对块体裂纹扩展的研究,首先应计算裂纹尖端的强度因子.本文采用计算方法求应力强度因子.对于平面裂纹扩展问题,一般情况下,Ⅰ,Ⅱ两种裂纹同时存在,二者对应的裂纹尖端的应力强度因子分别为KⅠ,KⅡ.综合相关文献,给出KⅠ,KⅡ两种混合型裂纹扩展问题的位移场计算公式:(4)式中:为剪切模量;为泊松比.利用数值流形方法求得裂纹尖端位移场的分布,结合线弹性断裂力学应力强度因子的解析公式,从而求出应力强度因子.3 算例分析简单的有限大平板中心裂纹模型如图2所示.根据应力强度因子手册,应力强度因子解析解计算式为(5)式中,C为相对无限大平板计算公式的修正系数,以有限大平板中心裂纹模型作为边界条件,创建数值流形法计算模型.采用三角形单元,模型上下均布荷载σ=2 MN/m(采用无限密集的集中荷载来实现),取材料的弹性模量E=2×105 MPa,泊松比μ=0.25.模型宽度2b=6 m,裂纹长度2a=2 m,材料的断裂韧度KIC=1 MN·m1/2.模型建立完成后,需要求解裂缝尖端位移.首先将平面直角坐标系转化成极坐标系,引入以裂纹端点为原点的坐标系,也称裂纹前缘坐标系,如图2所示.对于长度为2a的裂纹,对于指定一点(x,y),对应的极坐标是(r,θ),如图2所示,坐标转化公式如下:(6)图2 有限大中心裂纹模型及裂缝尖端坐标系Fig.2 Finite central crack model and crack tipcoordinate system(a)—有限大中心裂纹模型； (b)—裂缝尖端坐标系.长度为2a的裂纹在数值流形方法中的位置如图3所示,以裂纹右侧为研究对象,经过极坐标转化,计算出随裂缝扩展时的尖端位移,见表1.图3 数值流形模型Fig.3 Numerical manifold model(a)—数学网格覆盖； (b)—流形元划分.表1 坐标及位移统计表Table 1 Table of coordinates and displacement直角坐标极坐标y方向尖端位移/mσ=1MN/mσ=2MN/m(3.5,5)(6.10,0.96)0.0008010.001601(3.6,5)(6.16,0.94) 0.0008010.001601(3.7,5)(6.19,0.93)0.0008060.001609(3.8,5)(6.28,0.92)0.000 8060.001609(3.9,5)(6.34,0.90)0.0008050.001609(4.0,5)(6.40,0.89)0.0008050. 001609(4.1,5)(6.46,0.88)0.0008060.001609(4.2,5)(6.52,0.87)0.0008050.00160 8(4.3,5)(6.59,0.86)0.0008320.001661(4.4,5)(6.66,0.84)0.0008320.001661(4.5, 5)(6.72,0.83)0.0008320.001661在得到尖端位移后,根据式(4),计算裂缝扩展过程,此过程通过Matlab程序计算实现,各裂缝宽度下的KⅠ值,对于纯Ⅰ型裂纹,KⅠ=0,G=8×104 MPa,k=0.78.令则(7)根据式(7)分别求得裂纹扩展过程中的裂纹尖端强度因子,见表2.由表2可知,随着裂缝不断扩展,宽度不断增加,尖端应力强度因子随之不断增大,裂缝稳定扩展,最终裂纹贯通.保持数学覆盖不变,对表征裂缝的物理网格不断更新,实现裂缝扩展,见图4.在拉伸荷载固定的条件下,随着裂缝宽度a的变化,采用数值解法求得的KⅠ值与解析解求得的KⅠ值误差成规律性变化,即在裂缝宽度较小和较大时,二者误差较大,可能是因为裂缝较小或较大时,数值流形网格大小(数学网格精度)与裂缝宽度不匹配.表2 Ⅰ 型裂纹应力强度因子随裂缝宽度变化(σ=2 MN/m)Table 2 Variation of stress intensity factor of Ⅰcrack with crack width(σ=2 MN/m)宽度m数值解MPa·m1/2解析解MPa·m1/2误差%0.52.72492.55046.840.62.89942.81562.970.73.08933.06950.640.83.29643.31730.630.93.52303.56270.391.03.77173.80931.111.14.04564.05980.351.24.34844.31730.721.34.68464.58482.171.45.05974.86553.991.55.48045.16306.14图4 中心裂纹扩展示意图Fig.4 Diagram of central crack propagation(a)—裂纹未扩展； (b)—裂纹开始扩展；(c)—裂纹进一步扩展； (d)—裂纹贯穿.当裂纹宽度a=1 m时,其直角坐标为(4,5),转化为极坐标(6.403 1,0.896 1).结合数值流形法计算得到的尖端裂纹位移,通过设置测量点,求得尖端位移,在不同荷载情况下求得KⅠ数值解,如表3所示.对比分析数值计算结果和应力强度因子手册计算得到的KⅠ解析解,二者基本接近，误差均在1%范围内.随着荷载的不断增大误差逐渐稳定在0.45%左右,充分体现出基于数值流形位移法计算尖端应力强度因子的精确度和稳定性.表3 Ⅰ 型裂纹应力强度因子随拉伸荷载变化Table 3 Variation of stress intensity factor of Ⅰ crack with tensile load荷载MN·m-1数值解MPa·m1/2解析解MPa·m1/2误差%0.50.95230.95230.001.01.89761.90460.371.52.84522.85690.412.03.7928 3.80930.432.54.74044.76150.44针对误差分析结果,增加网格精度至12,同时提高拉荷载至5 MN/m,得到图5所示的模拟结果.通过结果可以看出,提高荷载和数学网格精度对裂缝扩展的连贯性和程序的收敛性均有所提高.图5 右侧裂缝扩展开裂示意图Fig.5 Diagram of crack propagation on theright(a)—右侧单裂缝模型； (b)—裂缝扩展开裂.4 结论本文在数值流形法的基础上,对单裂缝扩展过程进行模拟,展现出裂缝扩展过程中的流形单元变化,并建立单元的位移函数,求解尖端位移.通过经典的中心裂纹板模型,对数值流形位移法求得尖端应力强度因子进行验证,发现随着裂缝宽度不断增加,尖端应力强度因子随之不断增大;宽度一定时采用数值解法求得的KⅠ值与解析解求得的KⅠ值误差成规律性变化,在不同荷载情况下求得KⅠ数值解和应力强度因子手册计算得到的KⅠ解析解的误差均在1%范围内,数值解和解析解吻合度较高,说明以数值流形法为基础求解裂纹尖端应力强度因子是一种新型的有效方法.参考文献：【相关文献】[1] Wang S H,Ni P P.Application of block theory modeling on spatial block topological identification to rock slope stability analysis[J].International Journal of Computational Methods,2014,11(1):7-49.[2] Shi G H.Manifold method of material analysis[C]// The 9th Army Conference on Applied Mathematics and Computing.Minneapolis,1991:57-76.[3] Shi G H.Manifold method[C]// Proceedings of the First International Forum on DDA and Simulations of Discontinuous Media.Berkeley,1996:52-204.[4] Shi G H.Numerical manifold method[C]//Proceedings of the Second International Conference on Analysis of Discontinuous Deformation.Kyoto,1997:1-35.[5] 王水林,葛修润.流形元方法在模拟裂纹扩展中的应用[J].岩石力学与工程学报,1997,16(5):405-410.(Wang Shui-lin,Ge Xiu-run.Application of manifold method in simulating crack propagation[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,1997,16(5):405-410.)[6] Liu Z J,Zheng H.Two-dimensional numerical manifold method with multilayercovers[J].Science China Technological Sciences,2016,59(4):515-530.[7] Zheng H,Xu D D.New strategies for some issues of numerical manifold method insimulation of crack propagation[J].International Journal for Numerical Methods in Engineering,2014,97(13):986-1010.[8] Zheng H,Liu F,Du X plementarity problem arising from static growth of multiple cracks and MLS-based numerical manifold method[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,2015,295:150-157.[9] Yang Y T,Zheng H.A three-node triangular element fitted to numerical manifold method with continuous nodal stress for crack analysis[J].Engineering Fracture Mechanics,2016,162:51-75.[10] 任中俊,陈跃欣.有限大平板中心裂纹应力强度因子分析[J].矿业工程研究,2013(28):1-3. (Ren Zhong-jun,Chen Yue-xin.Investigation of stress intensity factor of centre crack in finite plate[J].Mineral Engineering Research, 2013(28):1-3.)[11] 徐慧,伍晓赞,程仕平,等.复合裂纹的应力强度因子有限元分析[J].中南大学学报(自然科学版),2007,38(1):79-83.(Xu Hui,Wu Xiao-zan,Chen Shi-ping,et al.Finite element analysis of stress intensity factor in composite mode crack[J].Journal of Central South University(Science and Technology),2007,38(1):79-83.)。
裂纹扩展的扩展有限元(xfem)模拟实例详解
基于ABAQUS 扩展有限元的裂纹模拟化工过程机械622080706010 李建1 引言1.1 ABAQUS 断裂力学问题模拟方法在abaqus中求解断裂问题有两种方法（途径）：一种是基于经典断裂力学的模型；一种是基于损伤力学的模型。
断裂力学模型就是基于线弹性断裂力学及其基础上发展的弹塑性断裂力学等。
如果不考虑裂纹的扩展，abaqus可采用seam型裂纹来分析(也可以不建seam，如notch型裂纹)，这就是基于断裂力学的方法。
这种方法可以计算裂纹的应力强度因子，J积分及T-应力等。
损伤力学模型是指基于损伤力学发展而来的方法，单元在达到失效的条件后，刚度不断折减，并可能达到完全失效，最后形成断裂带。
这两个模型是为解决不同的问题而提出来的，当然他们所处理的问题也有交叉的地方。
1.2 ABAQUS 裂纹扩展数值模拟方法考虑模拟裂纹扩展，目前abaqus有两种技术：一种是基于debond的技术（包括VCCT）；一种是基于cohesive技术。
debond即节点松绑，或者称为节点释放，当满足一定得释放条件后（COD 等，目前abaqus提供了5种断裂准则），节点释放即裂纹扩展，采用这种方法时也可以计算出围线积分。
cohesive有人把它译为粘聚区模型，或带屈曲模型，多用于模拟film、裂纹扩展及复合材料层间开裂等。
cohesive模型属于损伤力学模型，最先由Barenblatt 引入，使用拉伸-张开法则（traction-separation law）来模拟原子晶格的减聚力。
这样就避免了裂纹尖端的奇异性。
Cohesive 模型与有限元方法结合首先被用于混凝土计算和模拟，后来也被引入金属及复合材料。
Cohesive界面单元要服从cohesive 分离法则，法则范围可包括粘塑性、粘弹性、破裂、纤维断裂、动力学失效及循环载荷失效等行为。
此外，从abaqus6.9版本开始还引入了扩展有限元法（XFEM），它既可以模拟静态裂纹，计算应力强度因子和J积分等参量，也可以模拟裂纹的开裂过程。
有限覆盖Kriging插值无网格法 在裂纹扩展中的应用
第27卷 第4期 岩石力学与工程学报 V ol.27 No.4 2008年4月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering April ，2008收稿日期：2007–10–15；修回日期：2007–12–28基金项目：国家自然科学基金资助项目(10172022)；教育部跨世纪优秀人才培养计划研究基金项目作者简介：樊 成(1976–)，男，博士，1999年毕业于安徽理工大学水文地质与工程地质专业，现任讲师，主要从事复合材料破坏机制及岩土工程数值分析与计算等方面的研究工作。
E-mail ：fan76cheng@有限覆盖Kriging 插值无网格法在裂纹扩展中的应用樊 成1，栾茂田2(1. 大连大学 材料破坏力学数值试验研究中心，辽宁 大连 116622；2. 大连理工大学 岩土工程研究所，辽宁 大连 116024)摘要：无网格法前处理过程比较简单，Kriging 插值无网格法是其中的一种格式。
数值流形方法能够统一处理连续与非连续变形问题，有限覆盖技术是该方法的核心。
将有限覆盖技术与Kriging 插值无网格法相结合发展有限覆盖Kriging 插值无网格法，综合数值流形方法与Kriging 插值无网格法各自优点，能够有效地处理连续与非连续性问题，而且所构造的形函数具有Kronecker δ–函数属性，便于直接施加强制边界条件。
结合弹性力学边值问题，阐述该方法的基本原理，进而通过算例计算与分析，考察该方法的计算精度及其处理奇异问题和非连续问题的能力。
关键词：数值分析；无网格法；Kriging 插值；有限覆盖；Kronecker δ–函数属性中图分类号：O 241 文献标识码：A 文章编号：1000–6915(2008)04–0743–06KRIGING INTERPOLATION MESHLESS METHOD BASED ON FINITECOVERS AND ITS APPLICATION TO CRACK PROPAGATIONFAN Cheng 1，LUAN Maotian 2(1. Research Center for Numerical Test on Material Failure ，Dalian University ，Dalian ，Liaoning 116622，China ； 2. Institute of Geotechnical Engineering ，Dalian University of Technology ，Dalian ，Liaoning 116024，China )Abstract ：The meshless methods have a relative simple pretreatment process. The Kriging interpolation procedure is one of the meshless methods. Numerical manifold method can solve both continuous and discontinuous deformation problems in a unified mathematical formulation. The finite cover is the essential technique in this method. Both the finite cover technique and Kriging interpolation method are integrated to develop a Kriging interpolation procedure based on finite covers which take advantages of these two types of numerical methods. The merit of the proposed method is that the shape functions constructed using this method have the properties of Kronecker δ-function ，which will make the essential boundary conditions be easily implemented. The fundamental theory of this procedure is illustrated and numerical analyses of examples show that the proposed procedure is an effective and simple method for singular and discontinuous problems.Key words ：numerical analysis ；meshless method ；Kriging interpolation ；finite cover ；properties of Kronecker δ -function1 引 言近些年来，许多数值方法被用来解决岩土工程问题，比如：有限元法(FEM)、边界元法(BEM)、数值流形元法(MM)[1]、无网格Galerkin 法(EFGM)[2，3]、有限覆盖无单元法(FCEFM)[4]、扩展的无网格流形法[5，6]、点插值无网格法(PIM)[7，8]、Kriging 插值无• 744 • 岩石力学与工程学报 2008年网格法[9，10]等。
基于有限元方法的钢结构裂纹扩展数值模拟
基于有限元方法的钢结构裂纹扩展数值模拟钢结构在现代建筑中占据了重要的地位，而裂纹的发生是钢结构中最常见的问题之一。
因此，钢结构裂纹扩展数值模拟技术就显得尤为重要。
有限元方法是一种广泛应用于工程和科学领域的数值分析方法。
它基于物理学原理，将结构分解成离散的有限元素，通过求解边界值问题，得出结构的应力和位移分布。
同样，基于有限元方法的钢结构裂纹扩展数值模拟也是利用这一原理进行求解的。
具体来说，钢结构裂纹扩展数值模拟可以分为以下几步：1. 建立有限元模型首先，需要根据实际情况建立钢结构的有限元模型。
这包括确定结构的几何形态、材料性质、边界条件等信息。
建立好有限元模型后，需要对其进行验证，以保证模型的准确性和可靠性。
2. 定义裂纹模型和加载模型在模型中定义裂纹模型和加载模型。
裂纹模型指的是裂纹的形态和位置，可以根据实际使用条件进行选择。
而加载模型则是指模拟施加在结构上的载荷类型和大小。
3. 求解裂纹扩展过程通过有限元计算软件，对建立的有限元模型进行求解，得出裂纹在结构中的扩展过程。
这一过程需要考虑材料的损伤、裂纹的形态和位置等因素。
4. 分析结果最后，需要对数值模拟结果进行分析。
这包括获取裂纹扩展的速率、寿命和余寿命等信息，了解结构在不同时间节点的疲劳性能和寿命周期等。
钢结构裂纹扩展数值模拟技术的研究可以为结构设计和安全评估提供重要的依据。
通过有限元分析，可以准确地模拟裂纹扩展过程，为实际使用中的结构提供可靠的计算方法。
然而，钢结构裂纹扩展数值模拟技术仍面临一些挑战，如材料损伤机理的建立、裂纹形态和位置的确定以及疲劳损伤的模拟等。
这些问题的解决需要不断地深入研究和探索，以不断提高数值模拟的准确性和可靠性。
综上所述，钢结构裂纹扩展数值模拟技术的应用已经成为现代建筑领域不可忽视的一部分。
通过有限元计算软件等工具，可以进行有效的数值模拟，为实际使用中的结构提供可靠的计算方法。
同时，对相关技术的不断深入研究和探索也有助于推动钢结构行业的发展和进步。
金属结构裂纹扩展速率计算及其软件化
式中：Y (Δσ)=(θ, a ,Δσb , Δσm )，是裂纹尺寸和应力范围的函数。
输入初始裂纹尺寸a 0，按如下公式计算K 1、K 2、K 3、K 4，即可得到加载一次循环载荷后的裂纹a i+1。
式中：h 为步长，步长越小，计算结果越精确。
将新的裂纹尺寸a i+1代入载荷比Lr 和断裂比Kr 的公式，判定其在FAD 曲线中的位置。
如果此时裂纹没有断裂，则继续循环计算a i+1直到某次裂纹发生断裂，输出此时的循环次数N 。
2 软件开发为验证四阶龙格库塔法计算裂纹扩展速率的准确性，本文在遵循断裂力学理论以及BS7910标准的基础上，编制相关计算软件，并与商业软件Crack Wise 评价结果进行比较。
选取南海某采油平台带裂纹的桩腿结构为案例。
首先输入裂纹尺寸参数，裂纹类型为表面裂纹，裂纹长度51mm ，裂纹深度2.3mm ；其次输入管节点形状及其材料参数，材料等级为0 引言金属结构的裂纹扩展计算通常可依据英国标准BS7910《金属结构缺陷验收评价方法导则》，该标准中的缺陷扩展速率满足Paris 法则。
行业上一般采用积分法和Cycle by Cycle 法求解Paris 公式[1-2]，但积分法认为应力强度因子在小积分区域内为一常数，不能反应裂纹的扩展情况；Cycle by Cycle 方法每一步都重新计算应力强度因子，其实际为欧拉法求解微分方程，当步数增多时，累积误差会越来越大。
龙格-库塔法是一种在工程上应用广泛的微分方程计算方法，本文采用龙格库塔法求解Paris 公式，裂纹每扩展一次就计算一次裂纹尖端的应力强度因子，既反映了裂纹的实际扩展情况，又提高了计算精度。
1 裂纹扩展计算方法BS7910标准中使用的裂纹扩展速率d a /d N 的计算满足Paris 公式，即： (1)式中：N 为应力循环次数；a 为裂纹深度；A 和m 是由材料、加载条件，环境、循环频率所决定的常数。
ΔK 是应力强度因子范围，是裂纹尺寸及应力范围的函数。
冲击作用下混凝土裂纹扩展机理的有限元模拟
冲击作用下混凝土裂纹扩展机理的有限元模拟一、研究背景混凝土结构在使用过程中会遭受外界的冲击作用，如地震、爆炸等，这些冲击作用会导致混凝土产生裂纹，严重影响混凝土结构的使用寿命和安全性。
因此，研究冲击作用下混凝土裂纹扩展机理对于提高混凝土结构的耐久性和安全性具有重要的意义。
二、研究内容本文基于有限元方法，对冲击作用下混凝土裂纹扩展机理进行了模拟研究，具体内容包括以下几个方面：1. 模型建立针对混凝土裂纹扩展问题，本文采用ABAQUS有限元软件建立了三维混凝土模型。
模型采用八节点等参元素，模型尺寸为50mm×50mm×50mm，由10000个单元和13265个节点组成。
基于真实混凝土物理力学性质，采用弹塑性本构模型进行材料建模。
2. 边界条件本文分别考虑了单点冲击和面冲击两种情况。
对于单点冲击，将破坏面放置在距模型表面5mm处，施加冲击载荷。
对于面冲击，将破坏面放置在距模型表面10mm处，施加冲击载荷。
为了模拟真实情况，本文考虑了混凝土的非线性行为和裂纹的非线性扩展行为。
3. 模拟结果通过有限元模拟，本文得到了混凝土裂纹扩展的过程和机理。
在单点冲击载荷作用下，混凝土结构出现了明显的裂纹，裂纹从冲击载荷作用点开始扩展，沿着混凝土的弱点和缺陷向外扩展。
在面冲击载荷作用下，混凝土结构出现了更加广泛的裂纹，裂纹沿着混凝土的纵向和横向方向扩展，形成了多个交错的裂纹带。
此外，本文还探讨了冲击载荷的大小对混凝土裂纹扩展的影响。
4. 分析讨论通过对模拟结果的分析，本文认为混凝土裂纹扩展机理主要受到以下影响因素的制约：混凝土的物理力学性质、混凝土的缺陷和弱点、冲击载荷的大小和作用方式等。
针对这些影响因素，本文提出了一些改善混凝土结构抗冲击能力的建议，例如加强混凝土的抗压强度、减少混凝土的缺陷和弱点、采用合适的冲击载荷作用方式等。
三、结论本文基于有限元方法对冲击作用下混凝土裂纹扩展机理进行了模拟研究，得到了混凝土裂纹扩展的过程和机理，并探讨了影响混凝土裂纹扩展的因素。
裂尖塑性区方向应变能裂纹扩展准则及数值模拟
应力条件下的塑性区要小 ，因而平面应变远较平面应力容易发生脆断［ ４ １ 。应变能密度表 着材料构件受力 变形 过程 中贮存 的能 量 。塑性 区 内及 其方 向的应 变能在 一定 程度 上反 映 了材料 的抗断裂能力 。基于 这种情 况和想法并结合屈服条件进行研究 ， 本文在应用断裂理论 和塑性力学理论对裂纹顶端分析的基础上 ，提出 了 Ｉ— Ｉ一Ⅲ复 合型 裂纹塑 性 区内方 向应 变能 的概念 ，并 建立 了基 于此 概念 琏础上 的裂纹 扩展 准则 。 Ｉ
动 态跟踪 。该方 法具有修 改 范 围小 ，编程 方便 ！可操 作 性 强等特 点。文 中以单边 尖锐 缺 口 试样 为算例 进行 了数值模 拟 ，计算 结果表 明本 文的方 法是 合理 有 效的。
中 图分类 号 ：０ ４ ． ２ ２１ 文献标 志码 ：Ａ
０ 引 言
在过去 几 十年里 ，断裂力 学处理 纯 Ｉ 、Ｉ 型或 Ｉ 型 裂纹 问题 取得 了巨大 的成功 。然 而 由于裂纹 的方 型 Ｉ Ｉ Ｉ
文 童 编 号 ：１ ７ －２ ２２ １）１０ ０—０ ６ ４０ ６（０ １０ —１０１
裂 尖塑性 区方 向应 变 能 裂纹
扩展 准则 及 数 值 模 拟
陈泽 宇
（ 广州 铁路 职业技 术学 院 机 电工 程系 ，广 东 广 州 ５０ ３ １４０）
关 键 词 ：端 塑性 区 内方 向应 变能 ；裂 纹扩展 准则 ；数 值 流 形方 法
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图１ 裂 纹顶端处的应 力
式 中 ，ＫＩ 、Ｋｕ ｍ 别 为 Ｉ 、 Ｉ型 、Ⅲ 型裂 纹 的应 力 强度 因子 ；ｖ 、Ｋ 分 型 Ｉ 为材 料 的泊松 比 ，， ． 为点 到裂纹 顶 端 的距 离 ； ０为其 与 ｘ轴 的夹 角 （ 图 １ 。当 ｒ 如 ） ０时 ， 当很 接近 裂纹 顶端 时 ， ＿ ∞， Ｉ＋ （产ｘ 即 ＋ ｒ＿∞，ｆ 『 ，
扩展有限元法在疲劳裂纹扩展模拟中的应用
2019年18期创新前沿科技创新与应用Technology Innovation and Application扩展有限元法在疲劳裂纹扩展模拟中的应用张芮晨（中国直升机设计研究所，天津300000）前言目前，有限元仿真大量应用于疲劳问题分析计算中。
然而常规有限元法采用连续函数作为形状（插值）函数，在单元内部形状函数和材料性能必须保证连续，进行裂纹分析时，裂纹面需与网格边界重合，网格节点需与间断面的尖端重合[1-2]。
如Abaqus 中针对裂纹扩展分析的两种技术：基于debond 裂纹扩展技术和基于cohesive 裂纹扩展技术。
两种技术均需提前指定裂纹扩展区域与方向，对于网格的划分限制较大，工作量大，效率低。
而在扩展有限元法（Extended Finite Element Method ，XFEM ）中，网格与结构内部的几何或物理界面无关，两者间相互独立，裂纹尖端应力场的计算与裂纹面扩展计算相互独立，避免了在裂纹尖端进行高密度网格划分的问题和网格重新划分的工作[3-5]。
本文采用扩展有限元法对疲劳裂纹扩展进行仿真分析，达到无需指定裂纹扩展路径、无需进行高密网格划分也可模拟裂纹扩展的目的，节省建模所需要的时间，大大减少工作量，同时又提高了裂纹扩展模拟的准确度。
1扩展有限元法理论基础1.1单位分解法（PUM ）扩展有限元通过在常规有限元位移模式中加进跳跃函数和渐进裂尖位移场函数等一些特殊的函数，来有效地模拟类似裂纹一类的强不连续问题，而它的理论基础既为单位分解法。
在单位分解法中，认为任何函数φ(x)都可以用域内局部函数H Γ(x)φ(x)表示，即其中，H Γ(x)为有限单元形状函数，它形成一个单位分解（2）以此为基础，对有限元形状函数进行改进。
重叠分片{θi }构成研究区域M 的一个覆盖，{φi }为覆盖上的一个单位分解。
在每一分片上，函数空间V i 为区域M 的局部逼近，总体试探空间V 为（3）总体空间V 不但具有局部空间V i 的逼近特性，又有单位分解φi 和局部空间V i 的光滑性，只要单位分解φi 足够光滑，就能构造出足够光滑的试探空间。
多裂纹扩展的扩展有限元法分析_石路杨
裂纹面上接触点对的法向和切向相对位移为
(1) (2) un u n un
Lagrange 乘子线性变化，Lagrange 乘子插值可表示
为[15]
（7） （8）
u u(1) u(2)
h j M i ji
i 1
2
j n,
对于各向同性弹性体，裂尖加强函数一般采用 下列裂尖分支函数 ：
[9]
第1期
n
石路杨等：多裂纹扩展的扩展有限元法分析
265
在式（12）和式（13）中，接触压力必须是受
c(1)
c(2)
压的压力，即 n ≤ 0 。
4
增广型 Lagrange 乘子法求解接触 问题
接触力的虚功和约束方程依赖 Lagrange 乘子
[1]
失稳载荷等重要的断裂力学参数。黄醒春等[2]用位 移不连续数值算法求解任意多裂纹应力强度因子。 秦飞等[3]用边界元法模拟了多裂纹的扩展。Leonel 等[4]和 Singh 等[5]分别采用双重边界元法和增强的 无网格伽辽金法模拟多裂纹的交叉问题。 扩展有限元法[6
－ 7]
是一种分析不连续问题的新
（15）
满足 Coulomb 定律的弹性接触问题可以用下列 等式和不等式表示[13 14]： un ≥ 0, pn ≤ 0, un pn 0
－
式中： M 1 ( ) 标。
1 1 ； M 2 ( ) ； 为局部坐 2 2
等于-1 ； Fl m ( x ) 为第 m 个裂尖的裂尖加强函数；
Rm ( x) J q ( x ) 为第 q 个裂纹交叉点的连接加强函数；
y yi 0