算法合集之《浅谈图论模型的建立与应用》共28页PPT资料
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数学建模-图论模型及算法
问题一：如何在组数一定(3组)的情况下，使走遍乡村的总路线最短 且三组的路程尽可能均衡。
问题二：若巡视人员要在乡停留T=2小时，村停留t=1小时，汽车时 速V=35公里/小时，那么至少分几组能在24小时内走完？并找出最佳巡 视路线。
乡镇、村的公路网示意图
问题分析
根据53组数据我们得到它的邻接矩阵，利用Kruskal算法用Matlab编 程处理后得到加权网络图的最小生成树。
例1 最短路问题（SPP－shortest path problem）
一名货车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运 往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车 路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货车的运行速度是 恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的 最短路。
例2 公路连接问题
最小生成树的Kruskal算法： function [T c]=krusf(d,flag) if nargin==1
n=size(d,2); m=sum(sum(d~=0))/2; b=zeros(3,m); k=1; for i=1:n
for j=(i+1):n if d(i,j)~=0 b(1,k)=i;b(2,k)=j; b(3,k)=d(i,j); k=k+1; end
求最小生成树问题有很广泛的实际应用. 例如, 把n个乡镇 用高压电缆连接起来建立一个电网, 使所用的电缆长度之和最 短, 即费用最小, 就是一个求最小生成树问题.
最小生成树算法—Kruskal算法
• 思想：将图中所有边按权值从大到小排列，依次选所剩最 小的边加入边集T，只要不和前面加入的边构成回路，直到 T中有n-1条边，则T是最小生成树。
A
0 1 1
0 0 0
问题二：若巡视人员要在乡停留T=2小时，村停留t=1小时，汽车时 速V=35公里/小时，那么至少分几组能在24小时内走完？并找出最佳巡 视路线。
乡镇、村的公路网示意图
问题分析
根据53组数据我们得到它的邻接矩阵，利用Kruskal算法用Matlab编 程处理后得到加权网络图的最小生成树。
例1 最短路问题（SPP－shortest path problem）
一名货车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运 往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车 路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货车的运行速度是 恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的 最短路。
例2 公路连接问题
最小生成树的Kruskal算法： function [T c]=krusf(d,flag) if nargin==1
n=size(d,2); m=sum(sum(d~=0))/2; b=zeros(3,m); k=1; for i=1:n
for j=(i+1):n if d(i,j)~=0 b(1,k)=i;b(2,k)=j; b(3,k)=d(i,j); k=k+1; end
求最小生成树问题有很广泛的实际应用. 例如, 把n个乡镇 用高压电缆连接起来建立一个电网, 使所用的电缆长度之和最 短, 即费用最小, 就是一个求最小生成树问题.
最小生成树算法—Kruskal算法
• 思想：将图中所有边按权值从大到小排列，依次选所剩最 小的边加入边集T，只要不和前面加入的边构成回路，直到 T中有n-1条边，则T是最小生成树。
A
0 1 1
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5、图论模型的建立
图论建模
信息学竞赛解题的一个重要步骤是数学建模， 如几何模型、代数模型、运筹学模型等。图论模型 的构造（图论建模）也是数学建模的一个分支。 在建立一个问题的模型之前，首先要对研究对 象进行全面的调查，将原型理想化、简单化（对于 竞赛而言，这一步大部分已经由命题者完成）；然 后对原型进行初步的分析，分清其中的各个要素及 求解目标，理出它们之间的联系；然后用恰当的模 型来描述这些要素及联系。
图论建模
[问题分析] 1、问题的数据规模只有200，所以很容易想到用搜索， 由于要输出最优解（要求的是最快的次数）,所以是宽搜。 2、对于A楼而言，实际上对它最多只能做2个操作， 上到A+X层或下到A-X层，当然前提是存在A+X或A-X层。显 然，如果把每一层楼看做一个顶点，如果A楼可以到B楼， 则从顶点A引一条到顶点B的边。对于样例，如下图：
下面，我们把每个si抽象成一个点，则根据上述两个不等式可以建立一个 有 向 图， 图中 共 有n+1个顶 点 ，分 别为 s0 ，s1 ，……，sn 。若 si>sj(0≤i， j≤n)，则从si往sj引出一条有向边。例如对于n=6，p=5，q=3的情况，我们可 以建立下图。
常州市第一中学 林厚从
图论建模
图论模型和其它模型在研究方法上有着很大的 不同，例如可以运用典型的图论算法来对图论模型 进行求解，或是根据图论的基本理论来分析图论模 型的性质，这些特殊的算法和理论都是其它模型所 不具备的，而且在其它模型中，能用类似于图这种 直观的结构来描述的也很少。
常州市第一中学 林厚从
是指对一些客观事物进行抽象、化简， 并利用图来描述事物特征及其内在联系的过程。建 立图论模型的目的和建立其它数学模型一样，都是 为了简化问题，突出要点，以便更深入地研究问题 的本质；它的求解目标可以是最优化问题，也可以 是存在性或构造性问题；并且和几何模型、运筹学 模型一样，在建立图论模型的过程中，也需要用到 集合、映射、函数等基本的数学概念和工具。
信息学竞赛解题的一个重要步骤是数学建模， 如几何模型、代数模型、运筹学模型等。图论模型 的构造（图论建模）也是数学建模的一个分支。 在建立一个问题的模型之前，首先要对研究对 象进行全面的调查，将原型理想化、简单化（对于 竞赛而言，这一步大部分已经由命题者完成）；然 后对原型进行初步的分析，分清其中的各个要素及 求解目标，理出它们之间的联系；然后用恰当的模 型来描述这些要素及联系。
图论建模
[问题分析] 1、问题的数据规模只有200，所以很容易想到用搜索， 由于要输出最优解（要求的是最快的次数）,所以是宽搜。 2、对于A楼而言，实际上对它最多只能做2个操作， 上到A+X层或下到A-X层，当然前提是存在A+X或A-X层。显 然，如果把每一层楼看做一个顶点，如果A楼可以到B楼， 则从顶点A引一条到顶点B的边。对于样例，如下图：
下面，我们把每个si抽象成一个点，则根据上述两个不等式可以建立一个 有 向 图， 图中 共 有n+1个顶 点 ，分 别为 s0 ，s1 ，……，sn 。若 si>sj(0≤i， j≤n)，则从si往sj引出一条有向边。例如对于n=6，p=5，q=3的情况，我们可 以建立下图。
常州市第一中学 林厚从
图论建模
图论模型和其它模型在研究方法上有着很大的 不同，例如可以运用典型的图论算法来对图论模型 进行求解，或是根据图论的基本理论来分析图论模 型的性质，这些特殊的算法和理论都是其它模型所 不具备的，而且在其它模型中，能用类似于图这种 直观的结构来描述的也很少。
常州市第一中学 林厚从
是指对一些客观事物进行抽象、化简， 并利用图来描述事物特征及其内在联系的过程。建 立图论模型的目的和建立其它数学模型一样，都是 为了简化问题，突出要点，以便更深入地研究问题 的本质；它的求解目标可以是最优化问题，也可以 是存在性或构造性问题；并且和几何模型、运筹学 模型一样，在建立图论模型的过程中，也需要用到 集合、映射、函数等基本的数学概念和工具。
图论算法与模型67页PPT
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
பைடு நூலகம்
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
图论算法与模型
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
பைடு நூலகம்
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
图论算法与模型
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
数学建模图论讲
如果任两顶点间最多有一条边，且每条边的两个端点皆 不重合的图，则称为简单图。
第2页1 /共86页
2024年8月3日
数学建模-图论
一、图的基本概念
如果图的二顶点间有边相连，则称此顶点相邻，每一对顶点
都相邻的图称为完全图，否则称为非完全图，完全图记为 K V 。
若V (G) X Y, X Y , X Y 0 ，且 X 中 无相邻的顶点对，Y 中亦然，则称图 G 为二分图.
第1行 1 A1i 第i行 1
11，A1i 2
2 2
22，A1i3
4 4
4 4
其中i=2,3,4,5,显然y1=1+(4+4+4+4-1) 4=61. 同理，计算y2时应考虑槽高只有2,21,23,24,25,
26时的情形，类似计算可得 y2=1+(4+4+4+4-1)×5=76．
于是，s=61×2+76×4=426，x=6306426=5880.
计算y1可分别考虑槽高只有1，12，13，14，15的 情形．若只有1，这样的锁具效只有1个， 若只有1和i(i=2,3,4,5)，这样的锁具数=G中以1和i为 顶点，长度为3的道路数，此数可通过A的子矩阵A1i计 算得到．
第18页/共86页
数学建模-图论
二、图的矩阵表示（应用实例解法分析）
事实上，因为
间最短的路线。定义T*T=(t(2)ij),
3
4
t(2)ij=min{min1<=k<=5{tik+tkj},tij}, t(2)ij表示 从站点i到站点j的至多换乘一次的最短时间。
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数学建模-图论
二、图的矩阵表示（应用实例及解法分析）
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2024年8月3日
数学建模-图论
一、图的基本概念
如果图的二顶点间有边相连，则称此顶点相邻，每一对顶点
都相邻的图称为完全图，否则称为非完全图，完全图记为 K V 。
若V (G) X Y, X Y , X Y 0 ，且 X 中 无相邻的顶点对，Y 中亦然，则称图 G 为二分图.
第1行 1 A1i 第i行 1
11，A1i 2
2 2
22，A1i3
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其中i=2,3,4,5,显然y1=1+(4+4+4+4-1) 4=61. 同理，计算y2时应考虑槽高只有2,21,23,24,25,
26时的情形，类似计算可得 y2=1+(4+4+4+4-1)×5=76．
于是，s=61×2+76×4=426，x=6306426=5880.
计算y1可分别考虑槽高只有1，12，13，14，15的 情形．若只有1，这样的锁具效只有1个， 若只有1和i(i=2,3,4,5)，这样的锁具数=G中以1和i为 顶点，长度为3的道路数，此数可通过A的子矩阵A1i计 算得到．
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数学建模-图论
二、图的矩阵表示（应用实例解法分析）
事实上，因为
间最短的路线。定义T*T=(t(2)ij),
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t(2)ij=min{min1<=k<=5{tik+tkj},tij}, t(2)ij表示 从站点i到站点j的至多换乘一次的最短时间。
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数学建模-图论
二、图的矩阵表示（应用实例及解法分析）
图论模型专题PPT共71页
图论模型专题
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
谢谢！
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
谢谢！
图论及其应用ppt课件
可编辑课件
28
名人名言
智者，善假于物也 学贵有恒，人贵有志 贵我、通今：横尽虚空，山河大地无一
可恃，可恃惟我；数尽来劫，前后左右 无一可据，可据惟今！ 生当作人杰，死亦为鬼雄！
可编辑课件
29
一副对联、一句勉励
上联： 做人做事做第一 下联： 创新创业创世界 横批： 众志成城 千里之行，始于足下， 兴趣是最好的老
A Friendly Introduction to Graph Theory, Fred Buckley,Marty Lewinter.
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21
学习方法
目的明确 态度端正 理论和实践相结合 充分利用资源 逐步实现从知识到能力到素质的深化和
升华
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22
课程考核
平时成绩 （10%） 图论应用的小论文 （60%） 开卷考试 （30%）
图论及其应用 Graph Theory and Its Applications
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1
主要内容
图论前言 数学预备知识
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2
前言
课程目标 学时和学分 教学大纲 教材和主要参考资料 课程考核
可编辑课件
3
图论学科简介 （1）
哥尼斯堡七桥问题 欧拉（1707~1782）：根据几何位置的解
满足
x, y,zS
a) 自反性 (x,x)R b) 对称性 c) 传递性 ((x ,y ) R ) ((y ,x ) R )
(x ,y ) R 且 (y ,z ) R (x ,z ) R
可编辑课件
41
等价关系与同余 （2）
xymodn
对于“模n同余”是等价关系，其等 价类成为模n的余数类或者同余类， 所有的同余类构成的集合
第六章 平面图3 图论及其应用课件(共30张PPT)
H G
称 H 是G容许(róngxǔ)的。 例2 在G中，我们(wǒ men)取红色边导出的子图为HH, 并H取
G
G
容易知道： H 是G容许的。
6
第六页，共30页。
1
0 .5 n 0
0 .5
1 2 1 .5 t1 0 .5 00
1 0 .8
0 .6 0.4 x 0 .2
例3 在G中，我们(wǒ men)取红色边导出的子图为HH,并H取
B3 G[v4v5] F (B 3,H 4)f1,f5
B4 G[v5v8] F(B4,H 4)f1
B5 G[v6v8] F(B5,H4)f1
v5 v6 f3 v7
v8
第十八页，共30页。
f5
18
1
0 .5 n 0
0 .5
1 2 1 .5 t1 0 .5 00
1 0 .8
0 .6 0.4 x 0 .2
v8 v7
v3 v4
v6
v5 图G
v1
v2 f2 f1
v3 v4
H1
v5 v6 f3
v7 v8
15
第十五页，共30页。
1
0 .5 n 0
0 .5
1 2 1 .5 t1 0 .5 00
1 0 .8
0 .6 0.4 x 0 .2
B1 G[v1v4] F (B 1,H 2)f1,f3
B2 Gì)知H 道： 不 是G容许的。
定义4 设B是G中子(zhōngzǐ)图H的任意一座桥，假设B对H的所有
附着顶点都位于 H 的某个面f的边界上，那么称B在面 f 内可画入，
否那么，称B在面 f 内不可画入。
7
第七页，共30页。