1.5.2.2余弦函数图像的再认识教案-高一下学期数学北师大版

余弦函数图像的再认识 一、教学目标 1、利用描点法绘制余弦函数的图像； 2、掌握余弦函数图像的性质； 3、理解正弦函数图象与余弦函数图像之间的联系； 4、理解三角函数线；

二、教学重难点

重点：余弦函数图像的性质的应用 难点：正弦函数余弦函数的性质的应用

三、教学设计

1、复习回顾 （1）余弦函数的概念：给定任意角α，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点𝑃(𝑢,𝑣)，点𝑃的纵坐标𝑣，横坐标𝑢都是唯一确定的，仿照上面的定义，把点𝑃的横坐标𝑢叫作角α的余弦值，称𝑢=𝑐𝑜𝑠𝛼是任意角α的余弦函数。 （2）余弦函数的基本性质： 定义域：余弦函数的定义域：实数集𝑅 最值和值域：当𝛼=2𝑘𝜋,𝑘∈𝑍时，余弦函数𝑢=𝑐𝑜𝑠𝛼取得最大值，最大值为1 当𝛼=𝜋+2𝑘𝜋,𝑘∈𝑍时，正弦函数𝑢=𝑐𝑜𝑠𝛼取得最小值，最小值为−1 余弦函数𝑢=𝑐𝑜𝑠𝛼的值域为[−1,1] 周期性：终边相同的角余弦函数值相等：𝑐𝑜𝑠(𝛼+2𝑘𝜋)=𝑐𝑜𝑠𝛼，余弦函数的最小正周期为2π 余弦函数的单调性：对任意的𝑘∈𝑍，余弦函数在区间[2𝑘𝜋,𝜋+2𝑘𝜋],𝑘∈𝑍单调递减， 余弦函数在区间[𝜋+2𝑘𝜋,2𝜋+2𝑘𝜋],𝑘∈𝑍单调递增 （3）余弦函数的诱导公式： 终边相同的角：𝑐𝑜𝑠(𝛼±2𝑘𝜋)=𝑐𝑜𝑠𝛼,𝑘∈𝑍 终边关于坐标原点对称：𝑐𝑜𝑠(𝛼+𝜋)=−𝑐𝑜𝑠𝛼,𝑐𝑜𝑠(𝛼−𝜋)=−𝑐𝑜𝑠𝛼 终边关于𝒚轴对称：𝑐𝑜𝑠(𝜋−𝛼)=𝑐𝑜𝑠𝛼

逆时针旋转𝝅𝟐：𝑐𝑜𝑠(𝛼+𝜋2)=−𝑠𝑖𝑛𝛼

顺时针旋转𝝅𝟐：𝑐𝑜𝑠(𝛼−𝜋2)=𝑠𝑖𝑛𝛼

终边关于直线𝒚=𝒙对称：𝑐𝑜𝑠(

𝜋

2−𝛼)=𝑠𝑖𝑛𝛼

2、新知概念 2、1描点法绘制余弦函数的图像 （1）列表：如下

𝑥 0 𝜋6 𝜋3 𝜋2 2𝜋3 5𝜋6 π 7𝜋6 4𝜋3 3𝜋2 5𝜋3 11𝜋

6 2𝜋 𝑐𝑜𝑠𝑥 1 √32 12 0 −12 −√32 −1 −√32 −12 0 12 √32 1 （2）描点、连线 （3）由周期性可知，函数𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥在区间[2𝑘𝜋,2(𝑘+1)𝜋],𝑘∈𝑍,𝑘≠0的图像与区间[0,2π]上的函数图像形状完全相同，只是位置不同。因此将函数𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥,𝑥∈[0,2π]的图像进行左右平移即可得到余弦函数𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥,𝑥∈𝑅的图像。余弦函数的图像称为余弦曲线。 2、2五点作图法绘制余弦函数的图像 （1）在一个周期内，选出关键的点，如下：

𝑥 0 𝜋2 π 3𝜋2 2π

𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥 1 0 −1 0 1 （2）描出这五个关键点，并使用光滑的曲线连接起来 2、3平移法绘制余弦函数的图像（正弦函数余弦函数图像之间的联系）

因为𝑐𝑜𝑠𝑥=𝑠𝑖𝑛(𝑥+𝜋2)，所以余弦函数的图像可以由正弦函数的图像向左平移𝜋2个单位。 2、4知识点补充：三角函数线绘制正弦函数、余弦函数图像（简介） 三角函数线：指的是单位圆中的有向线段。如下图 正弦线：𝑀𝑃，余弦线：𝑂𝑀，正切线：𝐴𝑇，三角函数线的长度代表对应三角函数值的绝对值，方向代表三角函数值的符号。 对点练习

1、在𝛼∈(0,𝜋2)内，比较𝑠𝑖𝑛𝛼, 𝛼 , 𝑡𝑎𝑛𝛼的大小

解：如图，放在锐角的三角函数线中求解 连接𝐴𝑃，则线段𝑀𝑃=𝑠𝑖𝑛𝛼，𝐴𝑃̂= 𝛼，𝐴𝑇=𝑡𝑎𝑛𝛼

所以：𝑆∆𝑂𝐴𝑃

=12×𝑂𝐴×𝑀𝑃=12𝑠𝑖𝑛𝛼

𝑆扇形𝑂𝐴𝑃=12×𝑂𝐴×𝐴𝑃̂=12𝛼

𝑆∆𝑂𝐴𝑃

=12×𝑂𝐴×𝐴𝑇=12𝑡𝑎𝑛𝛼

由图像可知：𝑆∆𝑂𝐴𝑃< 𝑆扇形𝑂𝐴𝑃< 𝑆∆𝑂𝐴𝑃 所以：𝑠𝑖𝑛𝛼<𝛼<𝑡𝑎𝑛𝛼 2、5正弦函数的性质再认识 （1）定义域：余弦函数的定义域是𝑅。 （2）周期性：根据正余弦函数图像之间的关系可以知道，余弦函数是周期函数，最小正周期为2𝜋。 （3）单调性：单调递增区间：[2(𝑘−1)𝜋,2𝑘𝜋],𝑘∈𝑍 单调递减区间：[2𝜋,2(𝑘+1)𝜋],𝑘∈𝑍 （4）最值与值域：当𝑥=2𝑘𝜋,𝑘∈𝑍时，取得最大值1 当𝑥=2(𝑘+1)𝜋,𝑘∈𝑍时，取得最小值−1 余弦函数的值域是[−1,1] （5）奇偶性：由诱导公式𝑐𝑜𝑠(−𝑥)=𝑐𝑜𝑠𝑥可知，余弦函数是偶函数 （6）对称性：对称轴：直线：𝑥=𝑘𝜋,𝑘∈𝑍 对称中心：(𝑘𝜋+𝜋2,0),𝑘∈𝑍

3、例题讲解 例1、利用五点作图法画出函数𝑦=𝑐𝑜𝑠(𝑥−𝜋)在一个周期上的图像。 解：列表如下：

𝑥−𝜋 0 𝜋2 π 3𝜋2 2π

𝑥 π 3𝜋2 2π 5𝜋2 3π 𝑦=𝑐𝑜𝑠(𝑥−𝜋) 1 0 −1 0 1 于是得到函数𝑦=𝑐𝑜𝑠(𝑥−𝜋)在区间[𝜋,3𝜋]上的

五个关键点为：(π,1),(

3𝜋2,0),(2π,−1),(5𝜋

2,0),(3π,1)

在直角坐标系中描出各点，并用光滑的曲线顺次连接起来。如图 例2、利用五点作图法画出函数𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥−1在一个周期上的图像。 解：列表如下

例3、求函数𝑦=√√2−2𝑐𝑜𝑠𝑥的定义域。

解：要使得函数有意义，则√2−2𝑐𝑜𝑠𝑥≥0，即𝑐𝑜𝑠𝑥≤√22，画出余弦函数的图像如下： 结合图像可知，该函数的定义域为：{𝑥|2𝑘𝜋+𝜋4≤𝑥≤2𝑘𝜋+7𝜋4,𝑘∈𝑍}

例4、求函数𝑦=√𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥的定义域。 解：要使上述函数式子有意义，则需要满足𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥≥0，即𝑠𝑖𝑛𝑥≥𝑐𝑜𝑠𝑥 在同一直角坐标系中画出两个函数图像，如下所示：

所以函数的定义域为：{𝑥|2𝑘𝜋+𝜋4≤𝑥≤2𝑘𝜋+5𝜋4,𝑘∈𝑍}

例5、判断方程𝑥4−𝑐𝑜𝑠𝑥=0的根的个数。

解：采用数形结合的方法，将方程根的个数转换成函数图像的交点个数问题，，如下图 根据图像可知，总共由三个交点，因此方程𝑥4−𝑐𝑜𝑠𝑥=0有3个根。

例6、比较𝑐𝑜𝑠(−𝜋8),𝑐𝑜𝑠𝜋5,𝑐𝑜𝑠3𝜋5三个数的大小关系。 解：𝑐𝑜𝑠(−

𝜋8)=𝑐𝑜𝑠𝜋8>0,𝑐𝑜𝑠3𝜋5<0,𝑐𝑜𝑠𝜋5>0且余弦函数𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥在(0,𝜋

2)上单调递减，

所以：𝑐𝑜𝑠𝜋5<𝑐𝑜𝑠𝜋8，所以：𝑐𝑜𝑠3𝜋5<𝑐𝑜𝑠𝜋5<𝑐𝑜𝑠(−𝜋8)

例7、求出下列函数的值域 （1）𝑦=3−2𝑐𝑜𝑠𝑥,𝑥∈[−𝜋4,𝜋4]

（2）𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥2𝑐𝑜𝑠𝑥+1 （3）𝑦=𝑐𝑜𝑠2𝑥−3𝑐𝑜𝑠𝑥+2

（4）𝑦=𝑙𝑜𝑔3

(2𝑐𝑜𝑠𝑥+1),𝑥∈(−2𝜋3,2𝜋3)

解：（1）余弦函数𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥在区间[−𝜋4,0]上单调递增，在区间[0,𝜋4]上单调递减，所以

当𝑥=0时取得最大值为1，在𝑥=−𝜋4或𝑥=𝜋4时取得最小值为√22 所以当−𝜋4≤𝑥≤𝜋4时，√22≤𝑐𝑜𝑠𝑥≤1，所以：−2≤−2𝑐𝑜𝑠𝑥≤−√2

所以：1≤3−2𝑐𝑜𝑠𝑥≤3−√2 所以函数𝑦=3−2𝑐𝑜𝑠𝑥,𝑥∈[−𝜋4,𝜋4]的值域为[1,3−√2]

（2）引导学生使用两种方法（其中换元法分离常数牵扯到正负的情况，因此比较麻烦），推荐使用反解法。

因为：𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥2𝑐𝑜𝑠𝑥+1，所以(2𝑐𝑜𝑠𝑥+1)𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥，即(1−2𝑦)𝑐𝑜𝑠𝑥=𝑦

可得：𝑐𝑜𝑠𝑥=𝑦1−2𝑦(𝑦≠12)，因为−1≤𝑐𝑜𝑠𝑥≤1，所以0≤|𝑐𝑜𝑠𝑥|≤1

即0≤𝑦2(1−2𝑦)2≤1，即3𝑦2−4𝑦+1≥0解得：𝑦≤13或𝑦≥1 （可以分类讨论列方程组也可以直接使用绝对值的关系） 综上所述：函数𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥2𝑐𝑜𝑠𝑥+1的值域为(−∞,

1

3]∪[1,+∞)

（3）此题采用换元法进行处理 令𝑡=𝑐𝑜𝑠𝑥，因为𝑥∈𝑅，所以𝑡∈[−1,1]，因此原函数𝑦=𝑐𝑜𝑠2𝑥−3𝑐𝑜𝑠𝑥+2可以转化为：

y=t2−3t+2,𝑡∈[−1,1]是一个二次函数，且对称轴为直线𝑡=32，所以在区间[−1,1]函数

单调递减，因此当t=−1时，取得最大值为𝑦𝑚𝑎𝑥=6，当t=1时，取得最小值为𝑦𝑚𝑖𝑛

=0

所以函数𝑦=𝑐𝑜𝑠2𝑥−3𝑐𝑜𝑠𝑥+2的值域为[0,6]

（4）由题可以判断出来是复合函数，根据复合函数的单调性判断方式来进行判断

内层函数：𝑡=2𝑐𝑜𝑠𝑥+1,𝑥∈(−

2𝜋3,2𝜋

3)

当𝑥∈(−

2𝜋3,0]上单调递增，在𝑥∈[0,2𝜋

3)上单调递减，所以：0<𝑡≤3

外层函数：𝑦=𝑙𝑜𝑔3

𝑡，底数𝑎=3>1，因此在整个定义域上单调递增

所以：当𝑥∈(−

2𝜋

3,0]时，𝑦=𝑙𝑜𝑔3(2𝑐𝑜𝑠𝑥+1)单调递增，

当𝑥∈[0,2𝜋3)时，𝑦=𝑙𝑜𝑔3(2𝑐𝑜𝑠𝑥+1)单调递减。

所以当𝑥=0时，取得最大值为𝑦𝑚𝑎𝑥

=1，

所以𝑦=𝑙𝑜𝑔3

(2𝑐𝑜𝑠𝑥+1),𝑥∈(−2𝜋3,2𝜋3)的值域为：(−∞,1]

例8、判断下列函数的奇偶性（判断奇偶性先求定义域） （1）𝑓(𝑥)=1+𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥1+𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥； （2）𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛4𝑥−𝑐𝑜𝑠4𝑥+𝑐𝑜𝑠2𝑥