垂直关系性质定理
垂直关系的性质
授课人：
教学目标：1. 掌握垂直关系的性质定理,并会应用。
2. 通过定理的学习，培养和发展空间想象能力、推理论证能力、运用图形
语言进行交流的能力、几何直观能力、合作学习能力。
3. 恰当利用身边的简单物体进行自主探索活动，理解数学概念和结论形成
过程，体会蕴涵在其中的思想方法.
重 难 点： 垂直关系的性质定理是重点也是难点；合作学习形式的探索。
课时安排： 1课时.
教学手段： 多媒体.
教学过程：
一、复习引入
线线垂直 线面垂直 面面垂直
二 、性质定理的引入
（一）问题探究一
为了改善小区电力供应，政府决定在大雄家外的马路边立两根电线杆，如果你是
工程师，你有办法保证这两根电线杆平行吗？
（学生可以用笔、桌面模拟电线杆和马路面，分学习组讨论） 答：各组推举一人回答：令它们都垂直于地面！
【抽象概括】
定理6.3 如果两条直线同垂直与一个平面，那么这两条直线平行.（文字描述）
b a b a //,?⊥⊥αα （数学语言，学生归纳）
※归纳线面垂直的性质：1、线线垂直
2、线线平行 （图形符号）
【练习】
（二）问题探究二
在探究一中，如果大雄家有一面在马路边而且垂直于地面的围墙，那么你们怎么保
证电线杆都垂直于地面呢？（在探究一的基础上，用书本模拟墙面） a b
αααααα
αααα⊥?⊥⊥?⊥⊥?⊥?⊥⊥n n m m n m n m n m n m n
m n m n m ,//)4(//,)3(,//)2(//,)1
(.
__________中，正确的命题序号有表示平面，则下列命题
表示直线，、若
-关于面面垂直性质定理
§2.3.4平面与平面垂直的性质 教学目标： 1.进一步巩固和掌握面面垂直的定义、判定 2.使学生理解和掌握面面垂直的性质定理 3.让学生在观察物体模型的基础上进行操作确认，获得对性质定理的认识 教学重、难点： 重点：理解和掌握面面垂直的性质定理和推导 难点：运用性质定理解决实际问题 教学过程： 师：好，在上课之前我们来回顾一下前面的面面垂直的定义和判定。我们了解到两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 这是面面垂直的定义，假设我们把定义中的条件和结论交换，也就是说两个平面垂直，那么它们所成的二面角是直二面角这个命题是成立的。 而判定定理是：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面垂直。这是通过线面垂直得到的面面垂直，那么能否通过面面垂直得到线面垂直呢？而这一问题就是这就可要研究的： （§2.3.4平面与平面垂直的性质）
那我们来探究这样一个问题：黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，能否在黑板所在的平面内作一条直线与地面垂直？ 现在把这个问题数学符号化： 已知：α⊥βα∩β=CD 求证：β内一直线与α垂直 在右边把这两个平面的形象图作出来： 分析：要证明一条直线与一个平面垂直，这就需要证明这条直线与平面内的两条相交直线垂直，这是前面学的直线与平面垂直的判定定理，那么就需要在这个平面内找两条相交直线都与这条直线垂直，那不妨在β内作BE⊥CD于点B,在α内过点B作AB⊥CD
证明： 在β内作BE⊥CD于点B，在α内过点B 作 AB⊥CD BE⊥CD ABE为直二面角α⊥βα∩β=CD AB⊥BE CD⊥BE BE⊥α AB∩CD＝B 这样上面的问题就得以解决证明 像这样的，两个平面垂直，其中一个平面内一条直线垂直于两个平面的交线，那么这条直线垂直与另一个平面，我们把满足这样的性质叫做面面垂直的性质定理 定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一平面垂直。 我们的性质定理是通过面面垂直得到线面垂直，前面所学的面面垂直判定是由线面垂直得到面面垂直，这些转化关系在以后解题中有很大的作用，所以啊在解题的时候同学们需要抓住解题的关键之处。 接下来看到书上第二个思考题 思考一：设α⊥β，点P在平面α内，过点P作β的垂线a，那么直线a与α有什么位
线段中垂线的性质定理
线段中垂线的性质定理 教学目的：1、掌握线段中垂线的性质定理； 2、学会线段中垂线的性质定理在几何证明及计算中的应用。 教学重点：线段中垂线的性质定理 教学难点：例2教学 教学过程： 一、复习引入： 1、 什么叫轴对称图形？ 2、 已知线段AB ，如何作出其对称轴？（学生口述， 教师作图如图1） 这条对称轴就是线段AB 的中垂线。 3、 提出问题：MN 是线段AB 的中垂线，则C 为垂足， C 也是中点，故CA=CB 。 现在，在MN 上任取一点P ，是否也有PA=PB 呢？本 节课我们要进一步研究线段的中垂线。（揭示课题：线段中垂线的性质定理） 二、新课讲授： 1、 线段中垂线的性质定理： 在线段的中垂线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 证明方法：⑴全等证法；（学生口述简证）⑵利用轴对称证法。（学生了解） 2、 线段中垂线的性质定理的应用 Ⅰ图形认识强化： ⑴如图2，已知DF ，EH 分别为AB ，AB 的中垂 线，所能得到的结论是： ⑵如图3，已知AE 是BC 的中垂线，所能得到 的结论是： ⑶如图4，已知DE 是AB 的中垂线，所能得到的结论是： A B C D E 图3B A C E D 图4 Ⅱ例题教学 例1分析： A M N C B P 图1B A E C D 图2
⑴从已知出发考虑问题，AE垂直平分CF能推出什么?AC=AF，从而能更进一步推出 什么？∠AFC=∠ACF. ⑵再从已知考虑问题，由CD⊥AB，能推出∠1与∠AFC有什么关系？由∠ACB=90， 能推出∠2和哪个角互余？ ⑶由∠AFC=∠ACF能推出∠1=∠2吗？根据什么？ 写出规范证明过程. 例2分析： 4 三、练习巩固： 1、P66练习1； 2、P66练习2； 四、课堂小结： 1、线段中垂线的性质定理; 2、要避免在已知线段中垂线条件下不用性质避免而用全等繁证一些结论，例如：上 图3中若要证∠DEC=∠DCE，有同学通过证明△DEC≌△DCE来证，虽能证得，但方法很繁。 3、在已知中垂线的条件下，注意适当添线可创造中垂线性质定理的使用条件，如例2。 五、作业布置： Ⅱ 六、课后记录：
直线和平面垂直的性质定理
直线和平面垂直的性质定理 （1课时）李忠志 三维目标： 知识与技能 1、掌握直线与平面垂直的性质。 2、能运用性质定理解决一些简单问题。 3、了解垂直的判定定理与性质定理间的相互联系。 过程与方法 培养学生的直观能力，让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识，通过探索发现线面垂直的性质定理，培养学生的空间想象能力、发散思维和类比的能力。 情感、态度与价值观 通过实物模型或学生自己制作模型进行操作演示，让学生参与到教学活动中来，激发学生的学习欲望和探究精神。 教学重点 直线与平面垂直的性质。 教学难点 性质定理的探求及证明中反证法的学习和掌握。 教学过程 一、问题引入： 问1：垂直于同一条直线的两条直线是否平行？为什么？ 问2：平行于同一条直线的两条直线是否平行？为什么？
问3：平行于同一平面的两条直线是否平行？为什么？ 问4：垂直于同一平面的两条直线是否平行？为什么？ 问5：若a α⊥，b α?，则a b ⊥吗？ 问6：若a b ∥，a α⊥，则b α⊥吗？ 问7：问5的逆命题成立吗？即 a α⊥，b α⊥，则a b ∥吗？ 二、推进新课： 直线和平面垂直的性质定理：如果两条 直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行。 已知：如图，,a b αα⊥⊥ 求证：//a b 证明：（反证法）假定b 不平行于a ，则b 与a 相交或异面； （1）若a 与b 相交，设a b A = ， ∵,a b αα⊥⊥ ∴过点A 有两条直线与平面α垂直， 此与“过一点有且只有一条直线垂直于已知平面”矛盾， ∴a 与b 不相交； （2）若a 与b 异面，设b O α= ，过O 作//b a '， ∵a α⊥ ∴b α'⊥ 又∵b α⊥且b b O '= ， ∴过点O 有直线b '和b 垂直于α与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾， ∴b 与a 不异面，综上假设不成立， ∴//a b ．
线面垂直的性质定理
2.3.3 直线与平面垂直的性质教学设计课标要求： 以立体几何的定义、公理、定理为出发点，通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的性质定理，并加以证明。 学情分析： 在学习本节课的内容之前，刚刚学习了直线与平面垂直的定义以及判定定理，在学完判定定理之后紧接着的例1当中我们利用判定定理证明了线线平行的性质定理，即如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面，用符号语言表示为若a//b, a⊥α，则 b⊥α。而我们的直线与平面垂直的性质定理就是将上述命题的中的题设和结论改变一下得到的。所以在前面知识的基础上学习本节课的内容并不是很难。 教材分析： 1.本节的作用和地位：本节课是人教版必修 2 第二章直线与平面垂直的第三课时。空间中直线与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范。空间中直线与平面垂直的性质定理不仅是由线面关系转化为线线关系，而且将垂直关系转化为平行关系，因此直线与平面垂直的性质定理在立体几何中有着重要的地位和作用。 2.本节主要内容：直线与平面垂直的性质定理的证明及转化思想的渗透。 教学目标： 1.知识与技能：掌握直线与平面垂直的性质定理，了解线面关系与线线关系，垂直关系与平行关系之间的转化以及反证法的应用。 2.过程与方法：在观察长方体模型的基础上进行操作确认，获得
对性质定理正确性的认识，进一步推导出定理的证明过程。 3.情感态度与价值观：通过“直观感知、操作确认，推理证明”，提高空间想象的能力和逻辑推理能力。 教学重点：直线与平面垂直的性质定理的证明及转化思想的渗透。 教学难点：直线与平面垂直的性质定理的证明 教学理念： 高中学生思维活跃，参与意识、自主探究能力较强，整节课主要以学生自主探究为主，老师只起一个组织，引导的作用。从而增强空间想象能力，养成质疑思辨、创新的精神。 教学方法： 探究讨论法 教学用具： 长方体模型，量角器，直角三角板，多媒体 教学设计： 一．创设情境，揭示课题 问题：（实物式引入）： （1）两根旗杆垂直于地面，给我们以旗杆平行的形象 （2）让学生双手各持一支笔直立与桌面，通过操作确认两支笔平行。 数学来源于生活，把这些问题抽象概括得到一个新的问题： 若a⊥α，b⊥α，那a和 b 会有怎样的位置关系呢？ 让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、探讨。（自然进入课题内容） 设计意图：现实生活中的问题更能激发学生的学习兴趣，让学生从现实生活中发现数学，将问题化归为数学问题，感受数学来 源于生活，又服务于生活。
高一数学教案：苏教版两个平面垂直的性质定理
两个平面垂直的性质定理教学设计 江苏省南菁咼级中学江荣芬 一、教材简析 两个平面垂直的性质定理是高中数学第二册（下）的内容，在学习本课之前，学生已具备了对空间几何图形的一定水平层次的想象能力，已具备一定的逻辑推理能力和分析问题的能力。这个阶段的学生还以抽象逻辑思维为主要发展趋势，他们的思维正在从经验性的逻辑思维向抽象的逻辑思维发展，仍需依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。本课借助生活中丰富的典型实例，让学生通过实验、分析、猜想、归纳、论证等活动过程，从中了解和体验空间线面、面面之间的垂直关系，在实验、猜想和论证中发展学生的逻辑推理能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力。 二、设计理念 长期以来，我们的课堂教学重结果，轻过程，在数学教学中往往采用所谓的“掐头去尾烧中段”的方法，到头来把学生强化成只会套用结论的解题机器，这样的学生面对新问题就束手无策。 数学是思维的体操，新课程倡导：强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知识的体念，必须让学生追求过程的体念。 基于以上认识，在设计本节课时，不是简单地告诉学生两个平面垂直的性质定理的内容，而是创设一些数学情境，让学生自己去发现定理。在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大地激发了学生的学习兴趣，也提高了他们提出问题, 分析问题，解决问题的能力，这正是新课程所倡导的教学理念。 、教学目标 1、知识目标：1. 掌握面面垂直的性质定理；
2 能通过实验提出自己的猜想并能进行论证，灵 活运用知识学会分析问题、解决问题。 2、能力目标：以学生的经验为基础，通过实验、分析、猜想、归纳、论证、运用培养学生分析问题、解决问题的能力；在与位置有关的推理、有条理的具体操作、想象与描述等数学活动感知和体验空间与图形的现实意义。在探索空间线线、线面、面面关系过程中逐步建立空间观念。逐步培养抽象的逻辑思维，使学生学会提出问题，培养学生解决问题的能力。通过变式练习培养学生的发散思维，培养学生的创新能力。 3、情感目标：进一步丰富数学学习的成功体验，激发对空间图形研究的兴趣，形成积极参与数学活动，主动与他人合作交流的意识。 四、教法和学法分析： 1．充分利用现实情景，尽可能增加教学过程的趣味性、实践性。利用多媒体课件和实物模型等丰富学生的学习资源，生动活泼地展示图形，强调学生的动手操作实验和主动参与。通过实验－猜想－论证－运用，培养学生分析问题解决问题的能力；通过丰富多彩的集体讨论、小组活动，以合作学习促自主探究。 2．教师是学生学习的组织者、促进者、合作者；在本节的备课和教学过程中，为学生的动手实践，自主探索与合作交流提供机会，搭建平台；鼓励学生提出自己的见解，学会提出问题，尊重学生的个人感受和独特见解；帮助学生发现他们所学东西的个人意义和社会价值，作学生健康心理、健康品德的促进者、催化剂。通过恰当的教学方式引导学生学会自我调适，自我选择 五、教学过程： （一）教学准备： 教师：制作上课用的三角板教具模型和铅垂线；准备学生用的表示平面的
线面、面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理 一、线面平行。 1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平 面平行。符合表示： β ββ////a b a b a ??? ????? 2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 符号表示： b a b a a a ////??? ?????=??βαβαα 二、面面平行。 1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 符号表示： β α//////????? ?????==N n m M b a a m b n 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。 符号表示： d l d l ////??? ???==γβγαβα （更加实用的性质：一个平 面内的任一直线平行另一平面） 三、线面垂直。 1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直 线垂直这个平面。 符号表示： α⊥?????? ??????=⊥⊥a M c b b a c a ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示： PA a A oA a po oA a ⊥??? ? ????=⊥⊥??ααα 2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。） 四、面面垂直。 1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。 βααβ⊥??⊥a a , 2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。βαβαβα⊥?⊥?=?⊥a b a a b ,,，
线段的垂直平分线的性质教学设计(公开课)
《线段的垂直平分线的性质》教学设计 教学目标： 1.经历探索线段垂直平分线性质的过程，理解并掌握线段的垂直平分线的性质定理。 2.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。 3. 体验解决问题策略，发展实践能力和创新精神。 教学重点、难点： 重点：理解线段的垂直平分线的性质，并能运用性质解决相关问题。难点：线段垂直平分线的实际应用。 教学过程： 一、创设问题情境 如图，两个小区分别为中建芙蓉嘉苑小区和丽发新城小区，为了便于两个小区的居民看病，政府计划在环保西路上修建湘雅五医院，使它到两个小区的距离相等，那么医院应建在什么位置？ 二、温故 我们上节课学习了线段的垂直平分线，那么线段的垂直平分线是怎样定义的呢？
线段的垂直平分线：经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫做线段的中垂线）。 注意：1.线段的垂直平分线是直线。 2.这条直线经过线段的中点。 3.这条直线垂直于这条线段。 三、知新 我们知道了线段的垂直平分线的定义，现在请同学们根据定义，利用直尺和铅笔作图，画一条已知线段的垂直平分线。动动手，画一画。 下面我们来看一看这条线段的垂直平分线上的点有什么特点？ 右图中，直线L 垂直平分线段AB,在L 上任取点P 1、P 2、P 3，连接P 1A 、P 1B,P 2A 、P 2B,P 3A 、P 3B 的长，你发现了什么？你有什么猜想吗？ 猜想：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 那我们猜想出来以后，就可以直接运用了吗？嗯，我听到有同学说需要证明，很好，那我们看看应该怎样证明呢？如果证明的话，应该先怎样呢？（把文字语言转化成符号语言） A B l P P P
线段的垂直平分线各种证明
证明线段的垂直平分线的性质的逆定理 线段的垂直平分线 一、学生知识状况分析 学生对于掌握定理以及定理的证明并不存在多大得困难，这是因为在七年级学习《生活中的轴对称》中学生已经有了一定的基础。 二、教学任务分析 本节课的教学目标是： 1．知识目标： ①经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理． ②能够利用尺规作已知线段的垂直平分线． 2．能力目标： ①经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力． ②体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神． ③学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 3．情感与价值观要求
①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． ②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．4．教学重点、难点 重点是写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题。难点是两者的应用上的区别及各自的作用。 三、教学过程分析 本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：探究新课；第三环节：想一想；第四环节：做一做；第五环节：随堂练习；第六环节：课时小结第七环节：课后作业。 第一环节：创设情境，引入新课 教师用多媒体演示： 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置? 其中“到两个仓库的距离相等”，要强调这几个字在题中有很重要的作用． 在七年级时研究过线段的性质，线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴．我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点
直线与平面垂直性质定理练习题
, 直线与平面垂直的性质 一、选择题 1．下列说法正确的是( ) A ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α B ．若直线l 与平面α垂直，则l 与α内的任一直线垂直 C ．若E 、F 分别为△ABC 中AB 、BC 边上的中点，则EF 与经过AC 边的所有平面平行 D ．两条垂直的直线中有一条和一个平面平行，则另一条和这个平面垂直 2．若M 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( ) , ① ?????m ∥n m ⊥α?n ⊥α； ② ? ????m ⊥αn ⊥α?M ∥n ； ③ ?????m ⊥αn ∥α?M ⊥n; ④ ?????m ∥αm ⊥n ?n ⊥α． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．已知直线PG ⊥平面α于G ，直线EF ?α，且PF ⊥EF 于F ，那么线段PE ，PF ，PG 的大小关系是( ) A ．PE >PG >PF B ．PG >PF >PE C ．PE >PF >PG D ．PF >P E >PG 4．PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任一点，则下列关系不正确的是( ) . A ．PA ⊥BC B ．B C ⊥平面PAC C ．AC ⊥PB D ．PC ⊥BC 5．下列命题： ①垂直于同一直线的两条直线平行； ②垂直于同一直线的两个平面平行； ③垂直于同一平面的两条直线平行； ④垂直于同一平面的两平面平行． 其中正确的个数是( ) ' A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．在△ABC 所在的平面α外有一点P ，且PA ＝PB ＝PC ，则P 在α内的射影是△ABC 的( ) A ．垂心 B ．内心 C ．外心 D ．重心 二、填空题 7．线段AB 在平面α的同侧，A 、B 到α的距离分别为3和5，则AB 的中点到α的距离为________． 8．直线a 和b 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的两个不同平面内，使a ∥b 成立的条件是________．(只填序号) ①a 和b 垂直于正方体的同一个面；②a 和b 在正方体两个相对的面内，且共面；③a 和b 平行于同一条棱；④a 和b 在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直． 9．如图所示，平面ABC ⊥平面ABD ，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，△ABD 是正三角形，O 为AB 中点，则图中直角三角形的个数为________． 、
平行垂直的判定性质定理
E C A B D P 平行垂直的判定性质定理 一、线面平行 1、直线和平面平行的判定定理： ⑴平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 即 ,////a b a a b ααα?????? 1、已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形．PB PD =，E 为PA 的中点．求证：PC ∥平面BDE ； 2、直线和平面平行的性质定理: 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 即 //l l m m β αβ????=?
二、两平面平行———没有公共点 1、两个平面平行的判定定理: 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 即 ////a b a b P a b αββααα?,?,=??//?,? 1、 如下图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是C 1C 、B 1C 1、C 1D 1的中点，求证： 平面MNP ∥平面A 1BD . 2、两个平面平行的性质定理： 如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行。 即 //,a b a b αβαγβγ//???==? 推论： ①如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 即 ,,,,//,//a b a b A m n m n B a m b n ααββαβ?,?=??=??//??
②垂直于同一条直线的两个平面互相平行； 即 ,l l αβαβ⊥⊥?//； ③平行于同一平面的两个平面平行。 //αγβγαβ//,?// 三、线面垂直 1、线面垂直判定定理:一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面垂直。 即 ,,,m n m n A l l m l n ααα??=??⊥?⊥⊥? 1、如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面,,60,90ABC PA AB ABC BCA ??=∠=∠=，点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且//DE BC .求证：BC ⊥平面PAC ； ．
24.7线段垂直平分线的性质定理及其逆定理
24.7线段垂直平分线的性质定理及其逆定理 课前预习 1.线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的 2.线段垂直平分线定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 上。 当堂训练 知识点1：线段垂直平分线的性质 1.如图所示，用两根钢索加固直立的电线杆，若要 使钢索AB 与AC 的长度相等，?需加_ _______条件，理由是___ _____． 2.（09钦州）如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有（ ） A ．AB 垂直平分CD B ．CD 垂直平分AB C ．AB 与C D 互相垂直平分D ．CD 平分∠ACB 3.如图所示，CD 是AB 的垂直平分线，若AC=1.6cm ，BD=2.3cm ，则四边 形ABCD 的周长是（ ）． A ．3.9cm B ．7.8cm C ．4cm D ． 4.6cm 4.如图所示，∠C=90°，AB 的垂直平分线交BC 于 D ，连接 AD ， 若∠CAD=20°，则∠B=（ ）． A ．20° B ．30° C ．35° D ．40° 知识点2：线段垂直平分线定理的逆定理 5.AB =AD ，BC =CD ，AC 、BD 相交于点E ．则AB 是线段CD 的___ _____． 课后作业 6.给出以下两个定理： ①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 应用上述定理进行如下推理，如图，直线l 是线段MN 的垂直平分线． ∵点A 在直线l 上， ∴AM=AN （ ）． ∵BM=BN ， ∴点B 在直线l 上（ ）． ∵CM≠CN，∴点C 不在直线l 上． 这是因为如果点C 在直线l 上， 那么CM ＝CN （ ）． 这与条件CM≠CN 矛盾． 以上推理中各括号内应注明的理由依次是（ ） A ．②①① B ．②①② C ．①②② D ．①②① 证明某一条直线是另一条线段
38、线面垂直判断与性质(教师版)
**教育ISO讲义 直线、平面垂直的判定及性质 思考：如何一条直线与一个平面不相交，该直线可能与平面垂直吗？如果一个平面与另一个平面不相交，这两个平面可能垂直吗？
一、知识梳理 1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面 内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ? ????a ，b ?αa ∩b ＝O l ⊥a l ⊥b ?l ⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ? ??? ?a ⊥αb ⊥α?a ∥b 2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平 面的垂线，则这两个 平面互相垂直 ? ??? ?l ?βl ⊥α?α⊥β 性质定理 两个平面互相垂直， 则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另 一个平面 ???? ?α⊥β l ?β α∩β＝a l ⊥a ?l ⊥ α 3.空间角 (1)直线与平面所成的角 ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠P AO 就是斜线AP 与平面α所成的角． ②线面角θ的范围：θ∈????0，π 2． (2)二面角 ①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫
做二面角的面． 如图的二面角，可记作：二面角α-l -β或二面角P -AB -Q ． ②二面角的平面角 如图，过二面角α-l -β的棱l 上一点O 在两个半平面内分别作BO ⊥l ，AO ⊥l ，则∠AOB 就叫做二面角α-l -β的平面角． ③二面角的范围 设二面角的平面角为θ，则θ∈[0，π]． ④当θ＝π 2时，二面角叫做直二面角． 常用结论 1．线线、线面、面面垂直间的转化 2．两个重要定理 (1)三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． (2)三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直． 3．重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． 考点1 线面垂直的判定与性质(多维探究) 【例1】如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点，且DF ＝1 2 AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高．
面面垂直性质定理及习题
面面垂直性质定理及习题《必修2》1.2.4 一、学习目标撰稿：第四组审稿：高二数学组时间：2009-9-8 1．理解面面垂直的性质定理 2．会用性质定理解决有关问题 3．线线、线面、面面之间的位置关系及相互转化 4．利用面面位置关系解决有关问题 二、学习重点 面面垂直的性质定理及应用 学习难点 “线线、线面、面面”判定及性质定理的应用 三、知识链接 1．面面垂直的判定定理 2．面面平行的判定与性质定理 3．直线与面平行、垂直的判定与性质定理 四、学习过程 1．回顾上节内容，问：如果两个平面垂直，那么一个面内的直线是否一定垂直于另一个平面？ 通过以上讨论，得平面与平面垂直的性质定理 （1）符号语言： （2）图形语言： 2．如何对定理加以证明： 性质定理体现了什么关系？ 它反映了面面垂直与线面垂直之间的密切关系，两者可以互相转化。 3．对性质定理的应用 例：P44 练习4
拓展：P43 例3 五、基础达标 1、判断下列命题是否正确，说明理由： （1）若α⊥β，α⊥γ，则α∥β （2）若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ （3）若α∥α1，β∥β1，α⊥β，则α1⊥β1。 2、如图α，β，γ，为平面，α∩β＝l,α∩γ＝a, β∩γ＝b,l⊥γ,指出图中哪个角是二面角 α-l-β的平面角，并说明理由。 3、判断下列说法是否正确： （1）若平面α内的两条相交直线分别平面β内的两条相交直线，则平面α平行与平面β；（2）若两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面互相平行； 4、已知平面α、β直线l,且α∥β，l?α，且l∥α,求证：l∥β。 5、（1）已知平面外的一条直线上有两点到这个平面距离相等，试判断这条直线与该平面的位置关系；
平面与平面垂直的性质定理教学设计
平面与平面垂直的性质定理教学设计 一．教材分析 （1）教材的地位和作用：《平面与平面垂直的性质》选自《普通高中课程标准实验教科书》数学第二册（人 教A版）第三节第4课时，平面与平面垂直问题是 平面与平面的重要内容，也是高考考查的重点，求 解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设 辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系 把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明 和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的 空间想象力和逻辑推理能力，这些都是学生今后学 习和工作中必备的数学素养。 （2）从知识体系看，“平面与平面垂直的性质”是线面垂直与面面垂直内容的延续，不仅可以加深利用线 面垂直证线线垂直，也可以实现面面垂直的证明。 因此，我们可以说线面垂直关系是线线垂直关系的 纽带，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直 的相互转化。 二．学情分析： （1）学生已有的知识结构：在学习本课之前，学生已掌握了线线垂直、线面垂直及面面垂直的概念，
判定定理，及线面垂直的性质定理，学生已具备 了对空间几何图形的一定水平层次的想象能力和 一定的逻辑推理能力和分析问题的能力。 （2）教学对象：高一年级的学生，已有一定的立体感，学习兴趣较浓，具有一定的想象能力和分析问题、 解决问题的能力。但由于年龄的原因，思维尽管 活跃，敏捷，却缺乏冷静，深刻，因而片面，不 够严谨。这个阶段的学生还以抽象逻辑思维为主 要发展趋势，他们的思维正在从经验性的逻辑思 维向抽象的逻辑思维发展，仍需依赖一定的具体 形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。本课借 助生活中丰富的典型实例，让学生通过实验、分 析、猜想、归纳、论证等活动过程，从中了解和 体验空间线面、面面之间的垂直关系，在实验、 猜想和论证中发展学生的逻辑推理能力、空间想 象能力和分析问题、解决问题的能力。 （3）从学生的认知角度来看：学生很容易把本节内容与线面垂直的性质定理及应用进行类比，这是积 极因素，应因式利导，不利因素是学生的抽象概 括能力和空间想象力有待提高，故采用多媒体辅 助教学。 三．设计理念
垂直平分线的性质
1 垂直平分线的性质 概念 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 学习目标 要求学生掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理，能够利用这两个定理解决一 些问题。 能够证明线段垂直平分线的性质定理及判定定理 1. 如图，△ABC 中，∠CAB =120o，A B ，AC 的垂直平分线分别交BC 于点E 、F ，则∠EAF 等于（ ） A ．40o B ．50o C ．60o D ．80o 2. 如图，点D 在△ABC 的边BC 上，且BC=BD+AD ，则点D 在（ ）的垂直平分线上 A ．AB B ．AC C ．BC D ．不能确定 3. 下列说法：①若直线PE 是线段AB 的垂直平分线，则EA =EB ，PA =PB ；②若PA =PB ，EA =EB ，则直线PE 垂直平分线段AB ；③若PA =PB ，则点P 必是线段AB 的垂直平分线上的点；④若 EA =EB ，则过点E 的直线垂直平分线段AB ．其中正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 基 础 知 识 随 堂 练 习 B E F
2 4. 如图，Rt△ABC 中，90ACB ∠=，BD=CD ，7.8AB =， 3.9AC =，则图中有（ ）个60的角． Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ． 5 5. 把16个边长为a 的正方形拼在一起，如图，连接BC ，CD ，则△BCD 是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．任意三角形 6. 若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定 7. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，B C ，BD 为折痕，则∠CBD 的度数为（ ） A ．60° B ．75° C ．90° D ．95° 8. 已知线段AB 和它外一点P ，若PA =PB ，则点P 在AB 的 ____________________；若点P 在AB 的____________________，则PA =PB ． 9. 如图，在△ABC 中，EF 是AC 的垂直平分线，AF =12，BF =3，则 BC =__________． E B F A
面面垂直的判定+性质定理(例题)
面面垂直的判定 1、 如图，棱柱111C B A ABC -的侧面11B BCC 是菱形，且11B C A B ⊥ 证明：平面1AB C ⊥平面11A BC 2、如图,AB 是⊙O 的直径,PA 垂直于⊙O 所在的平面,C 是圆周上不同于A,B 的任意一点,求证:平面PAC ⊥平面PBC. 3、如图所示，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，P A ⊥底面ABCD ，求证：平面PBE ⊥平面P AB ；
4、如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)直线EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD. 5、如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD,SA=AB,点M是SD的中点,AN⊥SC,且交SC于点N. (I)求证:SB∥平面ACM; (II)求证:平面SAC⊥平面AMN.
面面垂直的性质 1、S 是△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC,平面SAB ⊥平面SBC,求证AB ⊥BC. 2、 在四棱锥中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形， 平面VAD ⊥底面ABCD 证明:AB ⊥平面VAD 3、如图，平行四边形ABCD 中，60DAB ?∠=，2,4AB AD ==将CBD ?沿BD 折起到EBD ?的位置，使平面EDB ⊥平面ABD 。求证：AB DE ⊥ 4、如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ， ∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点 V D C B A S A C B
线段垂直平分线的性质定理和逆定理练习题
线段垂直平分线的性质定理及其逆定理练习题 1. 如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（） A．ED=CD B．∠DAC=∠B C．∠C＞2∠B D．∠B+∠ADE=90° 考点：线段垂直平分线的性质． 分析：根据线段垂直平分线的性质得等腰三角形ADB，运用等腰三角形的性质得出尽量多的结论，与各选项进行比对，答案可得． 解答：解：∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴AD=BD． ∴∠B=∠BAD，∠ADE=∠BDE． ∴∠B+∠ADE=90° 其它选项无法证明其是正确的． 故选D 点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．利用角的等量代换是正确解答本题的关键． 2.如图：Rt△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，∠CAD：∠DAB=2：1，则∠B的度数为（） A．20° B．22.5° C．25° D．30° 考点：线段垂直平分线的性质． 分析：由DE是AB的垂直平分线，利用线段的垂直平分线的性质得∠B=∠BAD，结合∠CAD：∠DAB=2：1与直角三角形两锐角互余，可以得到答案． 解答：解：在Rt△ABC中 ∵DE是AB的垂直平分线
∴∠B=∠BAD ∵∠CAD：∠DAB=2：1 ∴4∠B=90° ∴∠B=22.5° 故选B 点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．由已知条件得出4∠B=90°是正确解答本题的关键． 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC的中垂线交斜边AB于D，图中相等的线段有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 考点：线段垂直平分线的性质． 分析：由已知条件易得CD=BD，CE=BE，还可得到∠B=∠BCD，找各自的余角，于是得到∠A=∠ACD，得到AD=CD，可得AD=BD答案可得． 解答：解：∵BC的中垂线交斜边AB于D， CD=BD，CE=BE， ∴∠B=∠BCD， 又∠A+∠B=90°，∠BCD+∠ACD=90° ∴∠A=∠ACD， ∴AD=CD ∴AD=BD 共4组． 故选D． 点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．利用等角的余角相等是正确解答本题的关键． 4.（2002?哈尔滨）如图，到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．三边中线的交点
两个平面垂直判定定理及性质定理
知识回顾 1.两个平面的位置关系： ， 2.两平面平行的判定定理： 用符号语言描述： 3.两平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时和第三个平面相交，那么所 得的交线平行. 即：若b a b a //,,,//则==γβγαβα 4.如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平 面. 即：若βαα//,⊥a ，则β⊥a 5.两个平行平面的公垂线： 两个平行平面之间的距离： 练习 1．下列说法正确的是（ ）. A. 一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任一条直线平行 B. 平行于同一平面的两条直线平行 C. 如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行 D. 如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行 2．下列说法正确的是（ ）. A. 垂直于同一条直线的两条直线平行 B. 平行于同一个平面的两条直线 平行 C. 平行于同一条直线的两个平面平行 D. 平行于同一个平面的两个平面 平行 3．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ）. A. α、β都平行于直线l B. α内存在不共线的三点到β的距离相等 C. l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥β D. l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β 4．已知a b c 、、是三条不重合直线，αβγ、、是三个不重合的平面，下列说法 中： ⑴//,////a c b c a b ?； ⑵//,////a b a b γγ?； ⑶//,////c c αβαβ?； ⑷//,////γαβαγβ?； ⑸//,////a c c a αα?； ⑹//,////a a γαγα?. 其中正确的说是 . 学习新知 1.半平面： 2.二面角：
16.2 .1 线段垂直平分线的性质定理
54D B A C 16.2 线段的垂直平分线 第1课时 线段垂直平分线的性质定理 学习目标： 1.掌握线段垂直平分线的性质定理的证明和简单应用.（重点） 2.会用尺规作已知线段的垂直平分线及过已知点作已知直线的垂线过程.（难点） 一、知识链接 1.如图，下列哪些图形是轴对称图形？请把轴对称图形的对称轴画出来. 二、新知预习 2.如图，已知线段AB 和它的中垂线l ，O 为垂足.在直线l 上取一点P ，连接PA ，PB.线段PA 和线段PB 有怎样的数量关系？ 猜想：_____________________________________________________. 证明如下：已知：如图，线段AB 和它的垂直平分线l ，垂足为O ，点P 为直线l 上任意一点，连接PA ，PB. 求证：______________________. 证明：在△_______和△________中， ∵___________________________________________, ∴△_______≌△________. ∴_______________________. 于是得到线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离______. 三、自学自测 1.如图1，EF 是△ABC 中BC 边上的垂直平分线，若FC=5，则BF= 2.如图2， AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ， （1）如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC= （2）如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是 （3）如果△A=28度，那么△EBC 是 图1 图2 图3 B A C D E A B C E F
线线垂直线面垂直面面垂直的判定与性质
空间中的垂直关系 1．线面垂直 直线与平面垂直的判定定理：如果 ，那么这条直线垂直于这个平面。 推理模式： 直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。 2．面面垂直 两个平面垂直的定义：相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。 两平面垂直的判定定理：（线面垂直?面面垂直） 如果 ，那么这两个平面互相垂直。 推理模式： 两平面垂直的性质定理：（面面垂直?线面垂直） 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。 一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系 为：线线垂直???→←???判定性质线面垂直???→←???判定性质 面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明． 例题：1．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ． （1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ； （2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面． 2、如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥ 证明：平面1AB C ⊥平面11A BC 3、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点 （Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1 4、如图，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：平面AEF ⊥平面PBC ． 5、如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 ＝2，D 是A 1B 1 中点．（1）求证C 1D ⊥平面A 1B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使 得AB 1 ⊥平面C 1DF 并证明你的结论