等差数列和等比数列总结与联系
等差数列和等比数列的综合及其联系
课题设计背景:
数列是反映自然规律的基本数学模型之一。而等差数列和等比数列是学生必须掌握的两种基本数学模型,研究等差数列的通项、性质以及求和公式,并用类比的方法对等比数列进行研究是课程标准的教学要求。
课题设计目标:
(1)掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式;
(2)掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式;体验用类比的思想方法对等差数列和等比数列进行研究的活动。
例题分析: 1、已知(),
f x =
利用课本推导等差数列前n 项和的公式的方法,求和:(5)(4)(3)...(5)f f f f f -+-+-+++的值
2、已知公差不为零的等差数列{n a }中,236,,a a a 组成等比数列的连续三项,求公比q
3、已知等差数列{}n a 的公差和等比数列{}n b 的公比都是11441010,1,,,;d d a b a b a b ≠=== (1)求1a 和d 的值;(2)16b 是不是数列{}n a 中的项,为什么?
(二)等差数列和等比数列之间的转化
结论:
(1){}n a 成等差数列,则{}(0,1)n
a c
c c >≠成等比数列;
(2)正项数列{}n a 成等比数列,则{}log (0,1)c n a c c >≠成等差数列。类比可结合上述结论将等比数列转化为等差数列,再还原成等比数列写出有关结论。 例题分析:
1、 已知数列)}({*N n a n ∈是一个以(0)q q >为公比,以11(0)a a >为首项的等比数列,求
12lg lg ...lg n a a a +++
2、 若数列)}({*N n a n ∈是等差数列,则有数列*123......,()n
n a a a a b n N n
++++=
∈
也是等差数列;类比上述性质,相应地:若数列)}({*
N n c n ∈是等比数列,且0>n c ,则
有数列*_________________,()n d n N =∈也是等比数列。
3、 设)
}({*
N n a n ∈是等差数列,12n
a n
b ??
= ?
??
,已知123123211
,,88
b b b b b b ++=
=求数列)}({*N n a n ∈的通项公式。
(三)学法总结:
(四)课后反思:
学案
(一) 例题分析:
等差数列与等比数列综合: 题组一:1、已知()
f x =
利用课本推导等差数列前n 项和的公式的方法,求和:(5)(4)(3)...(5)(6)f f f f f -+-+-+++的值
2、已知公差不为零的等差数列{n a }中,236,,a a a 组成等比数列的连续三项,求公比q
3、已知等差数列{}n a 的公差和等比数列{}n b 的公比都是11441010,1,,,;d d a b a b a b ≠=== (1)求1a 和d 的值;(2)16b 是不是数列{}n a 中的项,为什么?
(二)等差数列和等比数列之间的转化 结论:(1){}n a 成等差数列,则{}(0,1)n
a c
c c >≠成等比数列;
(2)正项数列{}n a 成等比数列,则{}log (0,1)c n a c c >≠成等差数列。类比可结合上述结论将等比数列转化为等差数列,再还原成等比数列写出有关结论。 题组2:
4、 已知数列)}({*N n a n ∈是一个以(0)q q >为公比,以11(0)a a >为首项的等比数列,求
12lg lg ...lg n a a a +++
5、 若数列)}({*N n a n ∈是等差数列,则有数列*123......,()n
n a a a a b n N n
++++=
∈
也是等差数列;类比上述性质,相应地:若数列)}({*
N n c n ∈是等比数列,且0>n c ,则
有数列*_________________,()n d n N =∈也是等比数列。
6、 设)
}({*
N n a n ∈是等差数列,12n
a n
b ??
= ?
??
,已知123123211
,,88
b b b b b b ++=
=求数列)}({*N n a n ∈的通项公式。
课后练习:
(一)选择和填空题:
1、在等比数列{a n }中,公比为q (q ≠±1),则数列a 2, a 4, a 6, …,a 2n ,……的前n 项和T n 为
( ) A 、2211)1(q q a n -- B 、2221)1(q q a n -- C 、211)1(q q a n -- D 、2
21)1(q
q a n -- 2、等比数列{a n }的首项为1,公比q ≠1,前n 项之和为S n ,则数列{n
a 1
}的前n 项之和为( )
A 、n S 1
B 、n n S q 1
C 、1-n n q S
D 、n
n S q
3、已知等差数列{}n a 满足1231010a a a a ++++= ,则有 ( )
A 、11010a a +>
B 、21000a a +< ;
C 、3990a a += ; D.5151a =
4、若数列{}n a 的前n 项和为S n=3n +a ,若数列{}n a 为等比数列,则实数a 的取值是( ) A 、3 B 、 1 C 、 0 D 、-1
5、等比数列}{n a 中,已知5,1087654321-=+++=+++a a a a a a a a ,则数列}{n a 的前16项和S 16为( )
A .-50
B .
4
25 C .
4
125
D .4
25-
6、已知数列{}n a 是非零等差数列,又1a 、3a 、9a 组成一个等比数列的前三项,则
139
2410
a a a a a a ++=++
7、若数列22331,2cos ,2cos ,2cos ,θθθ 前100项之和为0,则θ= 。
8、已知一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项之和为85,偶数项和为170,则这个数列的公比等于 ,项数等于 。
9、若数列)}({*N n a n ∈是等差数列,100a =,
则有1212
19
......(19,)n n a a a a a a n n N *-+++=+++<∈类比上述性质,相应地:若数列
*
{}()n b n N ∈是等比数列,且91b =,则有等式 成立。
(二)综合题
1、已知数列{}n a 、{}n b 满足:121,a a a ==(a 为常数),且1n n n b a a +=?,其中1,2,3n = (1)若{}n a 是等比数列,试求数列{}n b 的前n 项和n S 的公式;
(2)当{}n b 是等比数列时,甲同学说:{}n a 一定是等比数列;乙同学说:{}n a 一定不是等
比数列,你认为他们的说法是否正确?为什么?
2、在等比数列{}n a 中,1633a a +=,3432a a ?=,1n n a a +<, (1)求n a ;
(2)若12lg lg lg n n T a a a =+++ ,求n T .
等差等比数列的性质总结
等差等比数列的性质总结-标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
一、等差数列 1.等差数列的定义:d a a n n =--1(d 为常数)(2≥n ); 2.等差数列通项公式: *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ , 首项:1a ,公差:d ,末项:n a 推广: d m n a a m n )(-+=. 从而m n a a d m n --=; 3.等差中项 (1)如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.即:2 b a A += 或b a A +=2 (2)等差中项:数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4.等差数列的前n 项和公式: 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ (其中A 、B 是常数,所以当d ≠0时,S n 是关于n 的二次式且常数项为0) 特别地,当项数为奇数21n +时,1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = +(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间 项) 5.等差数列的判定方法 (1) 定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列. (2) 等差中项:数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a . ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=(其中b k ,是常数)。 (4)数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,(其中A 、B 是常数)。 6.等差数列的证明方法 定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列. 7.提醒: (1)等差数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5个元素:1a 、d 、n 、n a 及n S ,其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。 (2)设项技巧: ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差,可设为…,2,,,,2a d a d a a d a d --++…(公差为d ); ③偶数个数成等差,可设为…,3,,,3a d a d a d a d --++,…(注意;公差为2d ) 8..等差数列的性质: (1)当公差0d ≠时, 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数,且斜率为公差d ; 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.
等差数列和等比数列的总结与联系
等差数列和等比数列的综合及其联系 课题设计背景: 数列是反映自然规律的基本数学模型之一。而等差数列和等比数列是学生必须掌握的两种基本数学模型,研究等差数列的通项、性质以及求和公式,并用类比的方法对等比数列进行研究是课程标准的教学要求。 课题设计目标: (1)掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式; (2)掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式;体验用类比的思想方法对等差数列和等比数列进行研究的活动。
例题分析: 1、已知(), f x = 利用课本推导等差数列前n 项和的公式的方法,求和: (5)(4)(3)...(5)f f f f f -+-+-+++的值 2、已知公差不为零的等差数列{n a }中,236,,a a a 组成等比数列的连续三项,求公比q 3、已知等差数列{}n a 的公差和等比数列{}n b 的公比都是11441010,1,,,;d d a b a b a b ≠=== (1)求1a 和d 的值;(2)16b 是不是数列{}n a 中的项,为什么? (二)等差数列和等比数列之间的转化 结论: (1){}n a 成等差数列,则{}(0,1)n a c c c >≠成等比数列; (2)正项数列{}n a 成等比数列,则{}log (0,1)c n a c c >≠成等差数列。类比可结合上述结论将等比数列转化为等差数列,再还原成等比数列写出有关结论。 例题分析: 1、 已知数列)}({* N n a n ∈是一个以(0)q q >为公比,以11(0)a a >为首项的等比数列,求 12lg lg ...lg n a a a +++ 2、 若数列)}({* N n a n ∈是等差数列,则有数列*123......,()n n a a a a b n N n ++++= ∈ 也是等差数列;类比上述性质,相应地:若数列)}({* N n c n ∈是等比数列,且0>n c ,则 有数列*_________________,()n d n N =∈也是等比数列。 3、 设)}({* N n a n ∈是等差数列,12n a n b ?? = ? ?? ,已知123123211 ,,88 b b b b b b ++= =求数列)}({*N n a n ∈的通项公式。 (三)学法总结: (四)课后反思:
等差、等比数列知识点总结
一、任意数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系:???≥-==-)2() 1(11n S S n S a n n n 二、等差数列 1、等差数列及等差中项定义 d a a n n =--1、2 1 1-++= n n n a a a 。 2、等差数列的通项公式:d n a a n )1(1-+=、d k n a a k n )(-+= 当0≠d 时,n a 是关于n 的一次式;当0=d 时,n a 是一个常数。 3、等差数列的前n 项和公式:2)(1n n a a n S += d n n na S n 2 ) 1(1-+= 4、等差数列}{n a 中,若q p n m +=+,则q p n m a a a a +=+ 5、等差数列}{n a 的公差为d ,则任意连续m 项的和构成的数列m S 、m m S S -2、m m S S 23-、…… 仍为等差数列。 6、B A a A d Bn An S n +==+=122,, 7、在等差数列}{n a 中,有关n S 的最值问题 利用n S (0≠d 时,n S 是关于n 的二次函数)进行配方(注意n 应取正整数) 三、等比数列 1、等比数列及等比中项定义: q a a n n =-1 、112+-=n n n a a a 2、等比数列的通项公式: 11-=n n q a a k n k n q a a -= 3、等比数列的前n 项和公式:当1=q 时,1na S n = 当1≠q 时,q q a S n n --=1)1(1 q q a a S n n --=11 4、等比数列}{n a 中,若q p n m +=+,则q p n m a a a a ?=? 5、等比数列}{n a 的公比为q ,且0≠n S ,则任意连续m 项的和构成的数列m S 、m m S S -2、 m m S S 23-、……仍为等比数列 6、0=++=B A B Aq S n n ,则 四、求数列}{n a 的最大的方法: 1-1n n n n a a a a ≥≥+ 五、求数列}{n a 的最小项的方法: 1 -1n n n n a a a a ≤≤+ 例:已知数列}{n a 的通项公式为:32922-+-=n n a n ,求数列}{n a 的最大项。 例:已知数列}{n a 的通项公式为:n n n n a 10) 1(9+=,求数列}{n a 的最大项。
等差数列、等比数列知识点梳理
等差数列和等比数列知识点梳理 第一节:等差数列的公式和相关性质 1、等差数列的定义:对于一个数列,如果它的后一项减去前一项的差为一个定值,则称这个数列为等差数列,记:d a a n n =--1(d 为公差)(2≥n ,*n N ∈) 2、等差数列通项公式: 1(1)n a a n d =+-,1a 为首项,d 为公差 推导过程:叠加法 推广公式:()n m a a n m d =+- 变形推广:m n a a d m n --= 3、等差中项 (1)如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.即:2 b a A +=或 b a A +=2 (2)等差中项: 数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4、等差数列的前n 项和公式: 1()2n n n a a S += 1(1) 2n n na d -=+ 211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ 前N 相和的推导:当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+,特别地,当2m n p +=时,则有2m n p a a a +=。(注:12132n n n a a a a a a --+=+=+=???,)当然扩充到3项、4项……都是可以的,但要保证等号两边项数相同,下标系数之和相等。
5、等差数列的判定方法 (1) 定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列. (2)等差中项:数列{}n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a (3)数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=(其中b k ,是常数)。 (4)数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,(其中A 、B 是常数)。 6、等差数列的证明方法 定义法或者等差中项发? {}n a 是等差数列. 7、等差数列相关技巧: (1)等差数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5个元素:1a 、d 、n 、 n a 及n S ,其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。 (2)设项技巧: ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差,可设为…,2,,,,2a d a d a a d a d --++…(公差为d ); ③偶数个数成等差,可设为…,3,,,3a d a d a d a d --++,…(注意;公差为2d ) 8、等差数列的性质: (1)当公差0d ≠时,等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数,且斜率为公差d ;前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0。
等差、等比数列公式总结
一、等差数列 1.定义:)(1常数d a a n n =-+ 2.通项公式:d n a )1(a 1n -+= 3.变式:d m n a m n )(a -+= m n a a d m n --= 4.前n 项和:2 )(1n a a S n n += 或 d n n n a S n 2)1(1-+= 5.几何意义: ①d dn a d n a a n -+=-+=11)1(即q pn a n += 类似 q px y += ②n d a n d S n )2 (212-+= 即 Bn An S n +=2 类似 Bx Ax y +=2 6.}{n a 等差d a a a a a Bn An S q pn a n n n n n n n =-?+= ?+=?+=?++-11122 7.性质 ① q p n m +=+则 q p n m a a a a +=+ ② p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+ ③ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等差 ⑤ }{n a 等差,有12+n 项,则 n S S 1n +=偶奇 ⑥ 1212-= -n S a n n 二、等比数列 1.定义:常数)(a 1q a n n =+ 2.通项公式:11a -=n n q a 3.变式: m n m n q a -=a m n m n q a a -= 4. ?????≠--==)1( 1)1()1( 11q q q a q na S n n
前n 项和:n a S n 1= )1(=q 或 q q a S n n --=11() 1 )1(≠q 5.变式:m n m n q q S S --=11 )1(≠q 6.性质: ① r p n m +=+则 r p n m a a a a ?=? ② p n m 2=+ 则 2 p n m a a a =? ③ =?=?=?--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等比 ⑤ }{n a 等比,有12+n 项 偶奇qS a a a a q a a a a S n n +=++++=++++=+1242112531)(a 三、等差与等比的类比 {}n a 等差 {}n b 等差 和 积 差 商 系数 指数 “0” “1” 四、数列求和 1.分组求和 本数列的和公式求和.进行拆分,分别利用基,则可或等比数列的和的形式数列,但通项是由等差通项虽不是等差或等比 项的和: 前如求n n n )}1({+ )2)(1(3 1 )1(21)12)(1(61 )321()321( ) ()22()11(] )1(22222222++=++++=++++++++=++++++=∴+=+n n n n n n n n n n n n S n n n n n 2.裂项相消法. ).11(11}{1 1 11+++-=??n n n n n n n a a d a a a n a a 为等差数列,项和,其中的前项为用于通 从而计算和的方法,适别裂开后,消去一部分把数列和式中的各项分
等差、等比数列以及数列求和专题(汇编)
§6.2 等差数列 一.课程目标 1.理解等差数列的概念; 2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式; 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题; 4.了解等差数列与一次函数的关系. 二.知识梳理 1.定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示. 数学语言表达式:a n +1-a n =d (n ∈N *,d 为常数),或a n -a n -1=d (n ≥2,d 为常数). 2.通项公式 若等差数列{a n }的首项是a 1,公差是d ,则其通项公式为a n =a 1+(n -1)d . 3.前n 项和公式 等差数列的前n 项和公式:2 2111)() (n n a a n d n n na S +=-+=其中n ∈N *,a 1为首项,d 为公差,a n 为第n 项). 3.等差数列的常用性质 已知数列{a n }是等差数列,S n 是{a n }的前n 项和.
(1)通项公式的推广:*),()(N m n d m n a a m n ∈-+= (2)若m +n =p +q (m ,n ,p ,q ∈N *),则有q p n m a a a a +=+。特别的,当p n m 2=+时,p n m a a a 2=+ (3)等差数列{a n }的单调性:当d >0时,{a n }是递增数列;当d <0时,{a n }是递减数列;当d =0时,{a n }是常数列. (4)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (5)若}{},{n n b a 是等差数列,则}{n n qb pa +仍是等差数列. 4.与等差数列各项和相关的性质 (1)若}{n a 是等差数列,则}{n S n 也是等差数列, 其首项与}{n a 的首项相同,公差为}{n a 的公差的 2 1。 (2)数列m m m m m S S S S S 232--,,…也是等差数列. (3)关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质。 a .若项数为n 2,则1 +==-n n a a S S nd S S 偶奇奇偶, 。 b .若项数为12-n ,则n a n n S )(1-=偶,n na S =奇,1 += =-n n S S a S S n 偶奇奇偶, 。 (4)若两个等差数列}{},{n n b a 的前n 项和分别为n n T S ,,则 1 21 2--=n n n n T S b a 5.等差数列的前n 项和公式与函数的关系: (1)n d a n d S )(2 212-+= ,数列{a n }是等差数列? S n =An 2+Bn (A ,B 为常数). (2)在等差数列{a n }中,a 1>0,d <0,则S n 存在最大值;若a 1<0,d >0,则S n 存在最小值.
等差数列与等比数列练习和解析(高考真题)
1.(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4=0,a 5=5,则( ) A .a n =2n -5 B .a n =3n -10 C .S n =2n 2 -8n D .S n =12 n 2 -2n 2.(2019·长郡中学联考)已知数列{a n }满足,a n +1+2a n =0,且a 2 =2,则{a n }前10项的和等于( ) A.1-2103 B .-1-210 3 C .210-1 D .1-210 3.已知等比数列{a n }的首项为1,公比q ≠-1,且a 5+a 4=3(a 3 +a 2),则 9 a 1a 2a 3…a 9等于( ) A .-9 B .9 C .-81 D .81 4.(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( ) A .-12 B .-10 C .10 D .12 5.(2019·山东省实验中学联考)已知等差数列{a n }的公差不为零,S n 为其前n 项和,S 3=9,且a 2-1,a 3-1,a 5-1构成等比数列,则S 5=( ) A .15 B .-15 C .30 D .25 二、填空题 6.(2019·北京卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2=-3,S 5=-10,则a 5=________,S n 的最小值为________. 7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:“有一个人走378里路,
等差等比数列的性质总结
一、等差数列 1.等差数列的定义:d a a n n =--1(d 为常数)(2≥n ); 2.等差数列通项公式: * 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ , 首项:1a ,公差:d ,末项:n a 推广: d m n a a m n )(-+=. 从而m n a a d m n --=; 3.等差中项 (1)如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.即:2 b a A += 或b a A +=2 (2)等差中项:数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4.等差数列的前n 项和公式: 1()2n n n a a S += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ (其中A 、B 是常数,所以当d ≠0时,S n 是关于n 的二次式且常数项为0) 特别地,当项数为奇数21n +时,1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = +(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项) 5.等差数列的判定方法 (1) 定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列. (2) 等差中项:数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a . ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=(其中b k ,是常数)。 (4)数列{}n a 是等差数列?2 n S An Bn =+,(其中A 、B 是常数)。 6.等差数列的证明方法 定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列. 7.提醒: (1)等差数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5个元素:1a 、d 、n 、n a 及n S ,其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。 (2)设项技巧: ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差,可设为…,2,,,,2a d a d a a d a d --++…(公差为d ); ③偶数个数成等差,可设为…,3,,,3a d a d a d a d --++,…(注意;公差为2d ) 8..等差数列的性质: (1)当公差0d ≠时, 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数,且斜率为公差d ; 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次函数且常数项为0. (2)若公差0d >,则为递增等差数列,若公差0d <,则为递减等差数列,若公差0d =,则为常数列。 (3)当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+,特别地,当2m n p +=时,则有2m n p a a a +=. 注:12132n n n a a a a a a --+=+=+=???,