数理方程期末试题--0--B-答案
数理方程 习题答案
数理方程习题答案数理方程习题答案数理方程是数学中一门重要的学科，它研究的是各种各样的方程。
在学习数理方程的过程中，习题是不可或缺的一部分。
通过解习题，我们可以加深对数理方程的理解，掌握解题的方法和技巧。
在这篇文章中，我将为大家提供一些数理方程习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 求解方程：2x + 5 = 17。
解：将方程化简，得到2x = 17 - 5，即2x = 12。
再将等式两边同时除以2，得到x = 6。
所以方程的解为x = 6。
2. 求解方程组：2x + y = 73x - 2y = 4解：可以使用消元法来求解这个方程组。
首先，将第一个方程乘以2，得到4x + 2y = 14。
然后将第二个方程与这个结果相加，得到7x = 18。
再将等式两边同时除以7，得到x = 18/7。
将x的值代入第一个方程，可以求得y的值为y = 7 - 2x = 7 - 2(18/7) = 7 - 36/7 = 7/7 - 36/7 = -29/7。
所以方程组的解为x = 18/7，y = -29/7。
3. 求解二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0。
解：可以使用因式分解法来求解这个二次方程。
首先，将方程化简，得到(x - 2)(x - 3) = 0。
根据乘积为零的性质，可以得到x - 2 = 0或者x - 3 = 0。
解这两个方程，可以得到x = 2或者x = 3。
所以方程的解为x = 2或者x = 3。
4. 求解三次方程：x^3 - 3x^2 + 2x - 4 = 0。
解：可以使用综合除法来求解这个三次方程。
首先，将方程按照降幂排列，得到x^3 - 3x^2 + 2x - 4 = 0。
然后，尝试将方程的第一项x^3除以x的最高次数x^3，得到商为1。
将这个商乘以方程的所有项，得到x^3 - 3x^2 + 2x - 4 - (x^3 - 3x^2 + 2x - 4) = 0。
化简这个等式，可以得到0 = 0。
数理方程模拟试题8X
200__～200__学年第___学期《数理方程》期末模拟试卷8 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分一、 单项选择题( 每小题4分，共28分)1、下列边界条件是非齐次的为（ ）A 、 0||0x x x l u u ====B 、0|1,|2x x l u u ====C 、 0||0x x x x l u u ====D 、 0||0x x x l u u ====2、220xx xy yy y u u u u +++= (其中(,)u u x y =) 属于( )型偏微分方程 A 、 抛物 B 、双曲 C 、 椭圆 D 、 混合3、在用分离变量法求解定解问题2000,0,0|0,|0|(),|()tt xx x x x l t t t u a u x l t u u u x u x φψ====⎧=<<>⎪==⎨⎪==⎩时，得到的特征值问题的特征值为( )A 、2(),1,2,...n n l π= B 、2(),0,1,2,...n n lπ= C 、2(21)[],0,1,2,...2n n lπ-= D 、 2(21)[],1,2,...2n n l π-= 4、当初始扰动限制在有限区域上时，下列对二维波和三维波的说法错误的是( )A 、三维波“惠更斯原理”成立B 、二维波存在“有后效现象”C 、对空间一点的扰动，二维波有“前锋”无“阵尾”D 、他们均不出现“无后效现象” 5、下列式子错误的是（ ） A 、 22[sin ](Re 0)L t s s ww w =>+B 、 [][][]L f g Lf Lg *=? C 、 00[()]()i x F f x x e F w w --= D 、 00[()]()i x F e f x F w w w =+ 6、下列说法错误的是（ ） A 、弱极小函数一定是强极小函数B 、弱相等意义下 1()()(0)||ax x a a δδ=≠C 、弱相等意义下δ－函数是偶函数D 、Green 函数具有对称性7、设球域(,)B O R 内一点0M ，则用静电源像法求格林函数时，关于像点'M 的说法正确的是（ ）A 、0,'M M 的关系满足错误！未找到引用源。
数学物理方程期末试卷
数学物理方程期末试卷第一部分：选择题请在每个题目中选择仅一个正确答案并将字母填入括号内。
1.求解y″+y=0有解的方法是？A. 特征根法 ( )B. 系数法 ( )C. 齐次线性微分方程法 ( )D. 变量分离法 ( )2.求解 $\\frac{\\partial^2u}{\\partialx^2}+\\frac{\\partial^2u}{\\partial y^2}=0$ 有解的条件是？A. u在区域内为调和函数 ( )B. u在区域内为多项式函数 ( )C. 区域的边界条件为第一类边界条件 ( )D. 区域的边界条件为第二类边界条件 ( )3.解 $\\frac{\\partial u}{\\partial t}+2u=0$，u(x,0)=x，在t=1时，u(x,1)=?A. $\\frac{x}{2}$B. xe−2C. $\\frac{x}{e^2}$D. xe2 ( )4.对于一般的偏微分方程，逐步消去导数的方法称为？A. 特征线法 ( )B. 微分方程求解法 ( )C. 变量分离法 ( )D. 特征值法 ( )5.$y=A\\cos(x)-B\\sin(x)$ 是如下微分方程的？A. $y''+y=\\sin(x)$B. $y''-y=\\cos(x)$ ( )C. $y''+y=\\cos(x)$D. $y''-y=\\sin(x)$第二部分：填空题请在每个题目中填入恰当的答案。
1.y″−2y′+2y=0的通解为______。
2.$\\frac{\\partial^2 u}{\\partial t^2}-c^2\\frac{\\partial^2u}{\\partial x^2}=0$ 的波动方程，初始时刻条件为$u(x,0)=\\varphi(x)$，$u_t(x,0)=\\psi(x)$，其解为$u(x,t)=\\frac{1}{2}(f_1(x-ct)+f_2(x+ct))$，其中f1(x),f2(x)分别是u(x,0)和u t(x,0)的__________。
数理方程期末试题14~15A(另一版本)
u x=0 = 0
t =0
=
sin
πx 10
,
0 < x < 10,t > 0
u x=10 = 0 ∂u = 0 ∂t t=0
解 设该定解问题的解为 u( x,t ) = X ( x )T( t )
则 T ′′( t ) = X ''( x ) = −λ T(t ) X( x )
T ′′( t ) + λT ( t ) = 0
cr n + dr−n
∂u
∂t
=
a2
∂2u ∂x2
+
A
7、定解问题
∂u = B ∂x x=0
u t =0
= cos π x l
0 ≤ x ≤ l,t ≥ 0
∂u = C ∂x x=l
，A, B,C 均为常数，
要想选用函数代换 u(x,t) = V (x,t) +W (x) 将方程和边界条件都化
阶贝塞尔函数
Jn (x)
=
∞
( −1)m
m=0
xn+2m 2n+2m m! Γ( n +
m +1)
，
∫R 0
rJ
n
(
µm(n R
)
r
)
J
n
(
µm(n R
)
r)dr
=
R2 2
J
( 2
n−1
µ(mn
)
)=
R2 2
J
( 2
n+1
µ(mn
)
)。
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13、勒让德方程可表示为 ( 1 −
数理方程课后习题(带答案)
u0 X0T0 B0A0 C0
0
Tn
a2n22
l2
Tn
0
a2n22 t
Tn Ane l2
un XnTn
ABea2nl222t nn
cons l
xCea2nl222t n
cosn
l
x
un 0unC 0n 1Cnea2n l2 22tconlsx
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
u(uutx(,0x0,)at)2xx,20u2,,u(lx,t) 0,
由此可得：w (x)1
xt
dt
f()dC xA ,
a2 0 0
其中
C1 l(BAa 1 2 0 ldt0 tf()d),
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
然后用分离变量解
v(vt0,t)a2
2v x2 , 0, v(l,
t)
0,
0 x l,t 0 t 0
v(x,0) g(x) w(x), 0 x l
0xl1,0yl2 0yl2
u(x,0)0,u(x,l2)(x), 0xl1
uXY
XX0,
X(0)X(l1)0
0xl1
YY0
n n2 nl1 2,n1,2,3,L
n
Xn An sin l1 x
Yn
n2 2
l12
Yn
0
ny
ny
Yn Cnel1 Dne l1
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
un 1unn 1Cnenl1 yD nenl1 ysinnl1 x u(x,0)n 1CnDnsinnl1x0 u(x,l2)(x)n 1 C nenl1l2D nenl1l2 sinn l1x
数理方程习题答案
习题2.12.解：振动方程：2,0,0tt xx u a u x L t =<<>边界条件：00,0x x x Lu u ====初始条件：,0t t t b ux u L====习题2.23.解：根据牛顿冷却定律有：44()ukdsdt u dsdt n σϕ∂-=-∂∴初始条件为： 44()su u n k σϕ∂=--∂习题2.33.解：0000,0,0,0000,(,)x x a y y bz z cu x a y b z c u u u uuux y ϕ======∆=<<<<<<======习题2.42.<4）解：该方程为一般二阶线性偏微分方程，首先对其进行化简：特征方程：23410dy dy dx dx ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭解得：121,3x y x y ϕϕ-=-=作代换：13x yx y ξη=-⎧⎪⎨=-⎪⎩11113xy xy Q ξξηη-⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以：1112111212221222Ta a a a Q Qa a a a ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦21110321331212111033⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦12000b Lc b L c c f ξξηη=-==-===于是有:u ξη=11212()()()()()u g u g d f f f ξξξξηξη==+=+⎰121()()3u f x y f x y ∴=-+-是原方程的解。
习题2.52.证明： 显然0t u==由含参变量的求导法则，有000(,;)(,;)t t tt u V dtd u d V x t V x t t t dtdtV d tττττττ==∂∂==+-∂∂∂=∂⎰⎰tt u =∴=2222220020(,;)(,;)()(,)(,)tt tt xx tt tt xx V V x t dt V x y t u a u d a d t tdt x V a V d f x f x τττττττ=∂∂∂-=+-∂∂∂=-+=⎰⎰⎰<此处f(x,t?>）另外有：(0,;)00(,;)00t tx t tx Lu V t d d uV L t d d ττττττ========⎰⎰⎰⎰证毕。
数理方程试题
y 0, x 1
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
注： 1.试题请按照模板编辑，只写试题，不留答题空白； 2.内容请勿出边框。
n 2 ) , n 0,1, 2,... l (2n 1) 2 ] , n 1, 2,... D、 [ 2l
B、 (
二、填空题(每小题 4 分，共 24 分) 1、一个定解问题，如果解存在、唯一、稳定，则此定解问题称为 ) 2、方程 uxx 4uyy 0 化标准型时，所做的两个特征变换为 3、 L [
1 ( x) |a|
(a 0)
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊
C 、弱相等意义下 －函数是偶函数 D、Green 函数具有对称性 7、设球域 B(O, R) 内一点 M 0 ，则用静电源像法求格林函数时，关于像点 M ' 的说法正确的是 （ ）
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
A、 M 0 , M ' 的关系满足
OM 0 R R ，且 M ' 处放置负电荷，带电量为 OM 0 R M 0M '
1
。
1 ] ( s 2)( s 1)
（其中 L 表示 Laplace 变换）
4、Green 第二公式为
uv ____ dV u n v n ds
S
v
u
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
w s + w2
2
(Re s > 0)
B、 L[ f g ] L[ f ] L[ g ]
┊┊┊┊┊┊┊┊┊ ┊
三、 （9 分）利用达朗贝尔公式求解半无界弦问题
数理方程答案
1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程()⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x u E x t u x t ρ 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。
证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ∆。
现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。
在时刻t 这段杆两端的坐标分别为：),();,(t x x u x x t x u x ∆++∆++其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u xxt x u x t x x u x x x ∆+=∆∆-+-∆++∆+θ令0→∆x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。
由虎克定律，张力),(t x T 等于),()(),(t x u x E t x T x =其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。
设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ∆+两端的力分别为x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(∆+∆+).,(t x x ∆+于是得运动方程 tt u x x s x ⋅∆⋅)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-∆+∆+ 利用微分中值定理，消去x ∆，再令0→∆x 得tt u x s x )()(ρx∂∂=x ESu () 若=)(x s 常量，则得22)(tu x ∂∂ρ=))((x u x E x ∂∂∂∂即得所证。
4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。
解：如图2，设弦长为l ，弦的线密度为ρ，则x 点处的张力)(x T 为)()(x l g x T -=ρ且)(x T 的方向总是沿着弦在x 点处的切线方向。
数理方程课后习题答案
数理方程课后习题答案数理方程课后习题答案数理方程是数学中的一个重要分支，它研究的是各种数学模型中的方程。
在学习数理方程的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径之一。
本文将为大家提供一些数理方程课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 解方程：2x + 5 = 13解答：将方程中的常数项5移到等号右边，得到2x = 13 - 5，即2x = 8。
然后将2移到等号右边，得到x = 8/2，即x = 4。
所以方程的解为x = 4。
2. 解方程组：{2x + y = 7，x - y = 1}解答：可以使用消元法来解决这个方程组。
首先将第二个方程的系数取负，得到{-x + y = -1}。
然后将第二个方程乘以2，得到{-2x + 2y = -2}。
将这两个方程相加，得到{0x + 3y = -3}，即3y = -3。
解得y = -1。
将y的值代入第一个方程，得到2x - 1 = 7，即2x = 8。
解得x = 4。
所以方程组的解为x = 4，y = -1。
3. 解二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0解答：可以使用因式分解法来解决这个二次方程。
将方程因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0。
根据乘积为零的性质，得到x - 2 = 0或x - 3 = 0。
解得x = 2或x = 3。
所以方程的解为x = 2或x = 3。
4. 解三次方程：x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0解答：可以使用因式分解法来解决这个三次方程。
观察方程，可以发现x = 1是一个解。
通过除以x - 1，得到(x - 1)(x^2 - 5x + 6) = 0。
将x^2 - 5x + 6进行因式分解，得到(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0。
根据乘积为零的性质，得到x - 1 = 0或x - 2 = 0或x - 3 = 0。
解得x = 1或x = 2或x = 3。
所以方程的解为x = 1或x = 2或x = 3。
概率论与数理统计(理工类)期末考试试卷B参考答案
10111概率论与数理统计（理工类）期末考试试卷B 参考答案一、填空题（本大题共6个小题，每小题2分，满分12分） 1、设事件A 与B 互不相容，且()P A a =，则()P AB = ； 【分析】利用§1.3有关结论()()1()1AB P AB P A P A a =∅==-=-23X ⇒456、若7、设,A B 为两个随机事件，则下列结论正确的是（ ）①若()0P AB =，则AB =∅； ②若()1P A B = ，则A B S = ； ③()()()P A B P A P B -=-； ④()()()P AB P B P AB =-。
【分析】利用§1.3有关结论()()()()()()P AB P B A P B P BA P B P AB =-=-=-,选④8、设随机变量X 的分布函数为()F x ，则下列结论错误的是（ ）①()F x 是x 的定义域为R 的实函数； ②对一切x ∈R ,0()1F x <≤； ③{}()()P a Xb F b F a <=-≤； ④lim ()lim ()1x x F x F x →+∞→-∞-=。
【分析】利用§2.3有关结论对一切x ∈R ,0()1F x ≤≤，选②9、设两个随机变量X 与Y 相互独立且同分布，1{1}{1}3P X P Y =-==-=,2{1}{1}3P X P Y ====,则下列各式成立的是（ ）①5{}9P X Y ==； ②{}1P X Y ==； ③{}0P X Y ==； ④X Y =。
【分析】利用§3.2有关结论{}{1,1}{1,1}11225{1}{1}{1}{1}P X Y P X Y P X Y P X P Y P X P Y ===-=-+====-=-+===⨯+⨯=独立性，选① 10①(E ③(D 11是（ ①1n i n =12用（ ①u13891=⇒14、设一批产品由三家工厂生产。
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北 京 交 通 大 学
2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷（B）
（参考答案）
学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____
学号_______________ 姓名___________ __
题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分
得分
阅卷人
一、 计算题（共80分，每题16分）
1． 求下列定解问题（15分）
22
2
22
01200,0,0,|,|,|0,|0.xxlttuuaAxlttxuMuMuut
2． 用积分变换法及性质，求解半无界弦的自由振动问题：（15分）
2
,0,0,(,0)0,(,0)0,(0,)(),lim(,)0.ttxxtxuauxtuxuxuttuxt
3． 设弦的两端固定于0x及xl，弦的出示位移如下图所示。初速度为零，又没有外力
作用。求弦做横向振动时的位移(,)uxt。
(,0)ux
(,0)ux
l
c
h
0
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[ 解 ] 问题的定解条件是
1(,)(cossin)sinnanannnlllnuxtCtDtx
由初始条件可得
0, 1,2,...nDn
2
22
2
02()sind()sind =sin, 1,2,...clhnhnnlcllclc
hlnc
l
clcnCxxxxlxxn
4． 证明在变换, xatxat下，波动方程xxttuau2具有形式解0nu，并由此求
出波动方程的通解。
5． 用分离变量法解下列定解问题
0|,0|0|,0|00sinsin0002222222ttlxxlaltuu
uu
tlxtxxuatu，，
[ 提示：1) 可以直接给出问题的固有函数，不必推导；2) 利用参数变易法。]
[ 解 ] 对应齐次方程的定解问题的固有函数是xlnsin，其解可以表示成
1(,)()sinnnlnuxtvtx
把原问题中非齐次项txtxflal22sinsin),(按照固有函数展开成级数
122sin)(sinsin),(n
l
n
n
lal
xtf
txtxf
因此有
,...4,3,1,0;2,sin)(2n
nt
tf
l
a
n
利用参数变易法，有
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,...5,4,3,1,0),()cossin()(sinsin),(222402222ntxv
ttt
dttxv
n
lalaala
l
t
lalaa
l
于是
xttttxullalaalal22224sin)cossin(),(
6． 用Bessel函数法求解下面定解问题
0|,1||,0|0),(00012222222tRrtrRrrtuu
uu
Rrrurua
t
u
[ 解 ] 用分离变量法求解。令)()(),(tTRtu，则可得
0)0('0)()(")(22T
tTatT
I
以及
0)(,)(0)()(')(")(0222RR
RRR
II
设0nn为Bessel函数)(0xJ的正零点，则问题（II）的特征值和特征函数分别为
)()()(00022nnJRnn
问题（I）的解为
tCtTnann0cos)(
于是原问题的解是
tJCtTRtunnannn00cos)(
)()(),(
0
由初始条件
2
0
2
1)0,(u
得到
)(8)()(422)(200)(21321222202120002022120)()()1(nnnnnnnnnJJJnJ
J
n
JdJC
而且又有的零点，也即是由于,0)()(00nnJxJ
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)()()(1220xJxJxJx
故
nnnJJ2)()(1
2
于是最后得到原问题的解是
tJtJCtTRtunnnnnnnaJJannn00212200cos)(
cos)(
)()(),(
0
)(
)(4
0
二、 证明题（共2分，每题10分）
7． 证明平面上的Green公式
Cnvn
u
D
dsuvdvuuv)()(
22
其中C是区域D的边界曲线，ds是弧长微分。
[证明] 设),(),,(yxQyxp在D+C上有一阶连续偏导数，n为C的外法线方向，其方向余弦
为cos,cos，则有
CDyPxQdsPQd)coscos()(
再设u,v在D内有二阶连续偏导数，在D+C上有一阶连续偏导数，令
yvxvuPuQ
,
得到
CnvCyvx
v
DyvyuxvxuD
dsudsudvdu)coscos(
)(
交换u,v，得到
CnuCyux
u
DyvyuxvxuD
dsvdsvdudv)coscos(
)(
上面第二式减去第一式，得到
Cnvn
u
D
dsuvdvuuv)()(
证毕。
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8． 证明关于Bessel函数的等式：
1220100()d()(1)()(1)()dnnnnxJxxxJxnxJxnxJxx
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