2008长郡中学实验班招生数学试题
湖南省长沙市长郡双语实验中学小升初数学入学考试试卷
长沙市长郡双语实验中学小升初入学考试数学模拟卷一、填空题（每小题2分，共40分）1、65里面有（ ）个61。
2、计算：（143－87－127）÷87＝ 。
3、7平方米4平方分米＝（ ）平方米。
4、A 与B 和的54的一半，用代数式表示： 。
5、平面上8条直线最多有（ ）个交点。
6、按规律填数：0、2、6、12、20、30、 、 。
7、一个两位小数，若去掉它的小数点，得到的新数比原数多51.48，这个两位小数是（ ）。
8、图中阴影部分是大三角形面积的61，是小三角形面积的41，大、小两个小三角形面积比为（ ）。
9、解方程：0.36×5－43χ＝53，得χ＝（ ）。
10、当χ＝7时，代数式χ2－1的值是（ ）。
11、父亲今年43岁，儿子今年13岁，（ ）年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍。
12、把73化成小数，小数点右边第2011位上的数字是（ ）。
13、规定“※”是一种新的运算。
A ※B ＝2A －B ，那么3※4＝（ ）。
14、甲乙两数的和为74，甲数比乙数大12，则乙数为（ ）。
15、时针指在4:30时，分针与时针之间的夹角是（ ）度。
16、既能反映数量的多少，又能反映同一事物的增减变化的是（ ）统计图。
17、能同时被2、3和5整除的最大三位数是（ ）。
18、如果再比例尺是50001的图纸上，画一个边长为4厘米的正方形草坪图，这个草坪的实际面积是（ ）平方米。
19、在0、2、3、5、7、9、11、16、23、35共十张卡片中，抽到两位数的可能性是（ ）。
20、一个圆正好切成两个全等的半圆，这两个半圆的周长的和比原来圆周长增加了4厘米，原来圆的周长是（ ）厘米。
（π取3.14）二、计算（每小题4分，共24分）1、54×73÷54×732、4.375－372＋285－1753、46.5×37＋4.65×650－934、87÷[(41＋51)×87]5、28107÷7 6、211⨯＋321⨯＋431⨯＋ (201120101)三、解方程当χ＝5，y ＝4时，求代数式y x yx 2423+-的值。
长郡中学高三第三次月考试卷数学(文)07-13
长郡中学2008届高三第三次月考数学试卷(文)时量:120分钟 满分: 150分 2007.11.4下午一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线2)1(0122=+-=++y x y x 与圆的位置关系是A ．相切B ．相交C ．相离D ．不能确定2. 函数y =A 、[)∞+，1B 、⎪⎭⎫⎝⎛∞+，32C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡132，D 、⎥⎦⎤ ⎝⎛132， 3．函数b a x x x f ++=sin )(为奇函数的充要条件是A ．0=abB ．0=+b aC ．b a =D ．022=+b a4．若抛物线px y 22=的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合，则p 的值为 A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．25．给出下列四个命题：①若直线a ∥平面α，直线b ⊥α，则a ⊥b ；②若直线a ∥平面α，α⊥平面β，则a ⊥β；③若a 、b 是二条平行直线，b ⊂平面α，则a ∥α；④若平面α⊥平面β，平面γ⊥β，则α∥γ。
其中不正确的命题的个数是A 、1B 、2C 、3D 、46．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分. 上班高峰期某十字路口的车流量由函数()504sin2tF t =+（其中020t ≤≤）给出，()F t 的单位是辆/分，t 的单位是分，则在下列哪个时间段内车流量是增加的A [0,5]B [5,10]C [10,15]D [15,20] 7．两条直线 1：ax-y=-2，与 2:2x+6y+c=0相交于点（1，m ），且 1到 2的角为π43，则a+c+m=A 、217-B 、223-C 、227- D 、-14 8．如图所示,△ABC 中，BC 边上的两点D 、E 分别与A 连线．假设4π=∠=∠ADC ACB ，三角形ABC 、ABD 、ABE 的外接圆直径分别为f e d ,,， 则下列结论正确的是 A ．e f d <<B ．d f e <<C ．f e d <=D ．f d e >=9．已知三个正实数a 、b 、c 满足,2,2b c a b a c b a ≤+<≤+<则ab的取值范围为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛320, .A ⎪⎭⎫ ⎝⎛32,31 .B ⎪⎭⎫ ⎝⎛23,32 .C ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,23 .D10. 已知函数)12(+=x f y 是定义在R 上的奇函数，函数)(x g y =的图象与函数)(x f y =的图象关于x y =对称，则)()(x g x g -+的值为A ．2B ．0C ．1D ．不能确定二、填空题：本大题共5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.11．若函数)(x f y =的反函数)(1x fy -=的图象与y 轴交于点P （0，2），则方程0)(=x f 的根是 .12. 若x 2+y 2=1,则3x －4y 的最大值是__________.13.一直线l 被两直线0653:064:21=--=++y x l y x l 和截得的线段MN 的中点P 恰好是坐标原点，则直线l 的方程为 14．如果数列{}n a 满足，1,221==a a 且1111++---=-n n n n n n n n a a a a a a a a （n ≥2），则此数列的第10项为15．在三角形ABC中，,4==⋅M 为BC 边的中点。
湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷.docx
2013 年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷（一）一、选择题（每题 6 分，共36 分）1．（ 6 分）（ 2003?福州）不等式组：的解集是（）A．x＞﹣ 3B．x≥2C．﹣ 3＜x≤ 2D．x＜﹣ 32．（ 6 分）（ 2013?天心区校级自主招生）如图，AC＝CD＝DA＝BC＝DE，则∠ BAE 是∠ B的（倍．）A． 6B． 4C． 3D．23．（ 6 分）（ 2013? 天心区校级自主招生）如果x 取任何实数时，函数y＝ ax 2+bx+c都不能取正值，则必有（）A．＞0 且△≥ 0B．＜0 且△≤ 0C．＜0 且△≥ 0D．＞0 且△≤ 0a a a a 4．（ 6 分）（ 2013? 天心区校级自主招生）如图，将矩形沿折叠，使点B 落在直角ABCD AE梯形 AECD中位线 FG上，且 AB＝，则 AE的长为（）A．2B．3C．2D．5．（ 6 分）（ 2013? 天心区校级自主招生）在平面上具有整数坐标的点称为整点，若有一线段的端点分别为（2， 11），（ 11， 14），则在此线段上（包括端点）的整点共有（）A．4个B．5个C．6 个D．8 个6．（6 分）（ 2013?天心区校级自主招生）设a，b，c 是不全相等的任意实数，若x＝ a2﹣ bc，y＝ b2﹣ ca，z＝ c2﹣ ab，则x， y， z 中（）A．都不小于0B．都不大于0C．至少有一个小于0D．至少有一个大于0二、填空题（每题 5 分，共 30 分）7．（ 5 分）（ 2013? 天心区校级自主招生）等腰三角形ABC 的底边 BC ＝ 10cm ，∠ A ＝ 120°，则△的外接圆半径为．ABCcm8．（ 5 分）（2006? 安徽）如图，AB 是半圆 O 的直径，∠ ＝ 30°，BC 为半圆的切线，且BACBC ＝ ，则圆心 O 到 AC 的距离是．9．（ 5分）（ 2006?防城港）如图，有反比例函数y ＝，y ＝﹣的图象和一个以原点为圆心， 2 为半径的圆，则S 阴影＝．10．（ 5 分）（2013? 天心区校级自主招生）如图，△中，∠A 的平分线交 于 ， ＝ABCBCD AB+ ，∠ ＝ 80°，那么∠B 的度数是．ACCD C11．（ 5分）（2013?天心区校级自主招生）如图，已知梯形ABCD 的面积为S ， AD ∥ BC ， BC＝ b ，AD ＝ a （ a ＜ b ），对角线AC 与 BD 交于点O ．若△ COD 的面积为S ，则＝．12．（ 5 分）（ 2013? 天心区校级自主招生）一堆有红，白两种颜色的球各若干个，已知白球的个数比红球少，但白球个数的2 倍比红球多，若把每个白球都记作“2”，每一个红球都记作“ 3”，则总数为 60，那么，白球有个，红球有个．三、解答题（本大题共 3 题，13、14 题 11 分，15 题 12 分，共 34 分）13．（ 11分）（ 2013?天心区校级自主招生）在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，求实数k 的取值范围．14．（ 11 分）（ 2013? 天心区校级自主招生）预计用1500 元购买甲商品x 个，乙商品y 个，不料甲商品每个涨价元，乙商品每个涨价 1 元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少10个，总金额仍多用29 元．又若甲商品每个只涨价 1 元，并且购买甲商品的数量只比预定数少 5 个，那么甲、乙两商品支付的总金额是元．（ 1）求x、y的关系式；（ 2）若预计购买甲商品的个数的 2 倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求 x、y 的值．15．（ 12分）（ 2008?十堰）已知抛物线y＝﹣ ax2+2ax+b 与x 轴的一个交点为A（﹣1，0），与 y 轴的正半轴交于点C．（ 1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B的坐标；（2）当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；（3）坐标平面内是否存在点M，使得以点M和（ 2）中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2013 年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题（每题 6 分，共36 分）1．（ 6 分）（ 2003?福州）不等式组：的解集是（）A．x＞﹣ 3B．x≥2C．﹣ 3＜x≤ 2D．x＜﹣ 3【考点】 CB：解一元一次不等式组．【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：由①得： x≥2．由②得： x＞﹣3．∴不等式组的解集为：x≥2．故选 B．【点评】求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．2．（ 6 分）（ 2013?天心区校级自主招生）如图，＝＝＝＝，则∠是∠B 的（）AC CD DA BC DEBAE倍．A． 6B． 4C．3D．2【考点】 KH：等腰三角形的性质．【分析】由 AC＝ CD＝ DA＝ BC＝ DE，可得△ ACD是等边三角形，即∠ACD＝∠ ADC＝∠ CAD＝60°，∠B＝∠BAC，∠E＝∠DAE，又由三角形外角的性质，∠得答案．【解答】解：∵ AC＝ CD＝DA＝ BC＝DE，B与∠ BAE的度数，继而求∴△ ACD是等边三角形，∴∠ ACD＝∠ ADC＝∠ CAD＝60°，∠ B＝∠ BAC，∠ E＝∠ DAE，∵∠ ACD＝∠ B+∠ BAC，∠ ADC＝∠ E+∠ DAE，∴∠ B＝∠ BAC＝∠ DAE＝∠ E＝30°，∴∠ BAE＝∠ BAC+∠ CAD+∠DAE＝120°，∴∠ BAE＝4∠ B．故选： B．【点评】此题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质以及三角形外角的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．3．（ 6 分）（ 2013? 天心区校级自主招生）如果x 取任何实数时，函数y＝2+ + 都不能取ax bx c正值，则必有（）A．a＞0 且△≥ 0B．a＜0 且△≤ 0C．a＜ 0 且△≥ 0D．a＞ 0 且△≤ 0【考点】 HA：抛物线与x 轴的交点．【分析】根据二次函数的性质可知，只要抛物线开口向下，且与x 轴无交点即可．【解答】解：欲保证x 取一切实数时，函数值y 恒为非负数，则必须保证抛物线开口向下，且与 x 轴只有一个交点，或者无交点；则 a＜0且 b2﹣4ac≤0，故选：．B【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点．①当 x 取一切实数时，函数值y 恒为正的条件：抛物线开口向上，且与x 轴无交点；②当 x 取一切实数时，函数值y 恒为负的条件：抛物线开口向下，且与x 轴无交点．4．（ 6 分）（ 2013? 天心区校级自主招生）如图，将矩形ABCD沿 AE折叠，使点 B 落在直角梯形中位线上，且＝，则的长为（）AECD FG AB AEA． 2B． 3C． 2D．【考点】LB：矩形的性质；LI ：直角梯形；LL：梯形中位线定理；PB：翻折变换（折叠问题）．【分析】由题意可知∠ BEF＝∠ FEB′＝∠ EFB′，推出 EB′＝ EF＝ AF＝ FB′，即∠ AEB′＝ 60°，通过解直角三角形，即可推出AE的长度．【解答】解：∵ FG是直角梯形AECD的中位线，∠ B＝∠ AB′ E＝90°，∴FG∥BC∥ AD，∴∠ BEF＝∠ FEB′＝∠ EFB′，∴EB′＝ EF＝ AF＝ FB′，∴∠ AEB′＝60°，∵ AB＝AB′＝，∴AE＝＝．故选： D．【点评】本题主要考查翻折变换的性质、解直角三角形、等边三角形的性质，解题的关键在于证出等边三角形，再解直角三角形即可．5．（ 6 分）（ 2013? 天心区校级自主招生）在平面上具有整数坐标的点称为整点，若有一线段的端点分别为（2， 11），（ 11， 14），则在此线段上（包括端点）的整点共有（）A．4个B．5个C．6 个D．8 个【考点】 D5：坐标与图形性质．【分析】根据题意，设经过点（2，11）、（11，14）的直线方程y＝ ax+b（ a≠0），利用待定系数法求得该直线方程，然后在此线段上（包括端点）寻找整点．【解答】解：设经过点（2， 11）、（ 11， 14）的直线方程y＝ ax+b（ a≠0），则，解得，，∴所求的线段所在的直线方程为y＝x+；①当 y＝12时， x＝5，即整点（5，12）在该线段上；②当 y＝13时， x＝8，即整点（8，13）在该线段上；又∵端点（ 2， 11）、（ 11，14）也是整点，∴在此线段上（包括端点）的整点共有 4 个，故选： A．【点评】本题考查了坐标与图形性质．解得该题的关键是求得此线段所在的直线的方程，根据该直线方程取y 的整数值．6．（6 分）（ 2013?天心区校级自主招生）设a，b，c 是不全相等的任意实数，若x＝ a2﹣ bc，y＝ b2﹣ ca，z＝ c2﹣ ab，则x， y， z 中（）A．都不小于0B．都不大于0C．至少有一个小于0D．至少有一个大于0【考点】1F：非负数的性质：偶次方．【分析】由题意 x＝ a2﹣ bc，y＝ b2﹣ ca， z＝c2﹣ab，将 x， y， z 相加，然后根据完全平方式的性质，进行求解；【解答】解：∵ x＝ a2﹣ bc， y＝ b2﹣ ca， z＝ c2﹣ ab，∴2（x+y+z）＝ 2a2﹣ 2bc+2b2﹣ 2ca+2c2﹣ 2ab＝（a2﹣ 2ab+b2）+（b2﹣ 2bc+c2）+（a2﹣ 2ca+c2）＝（ a﹣ b）2+（ b﹣ c）2+（c﹣ a）2＞0，∴x+y+z＞0，故 x， y， z 至少有一个大于0，故选： D．【点评】此题主要考查非负数的性质，即非负数大于等于0，比较简单．二、填空题（每题 5 分，共30 分）7．（ 5 分）（ 2013?天心区校级自主招生）等腰三角形ABC的底边BC＝10cm，∠ A＝120°，则△ ABC的外接圆半径为cm．【考点】KH：等腰三角形的性质；KO：含30 度角的直角三角形；KQ：勾股定理；M2：垂径定理．【分析】连接OA交BC于D，根据三线合一定理得出BD＝ DC，∠ OAC＝∠ BAC，得出等边三角形 OAC，推出∠ AOC＝60°，在△ ODC中根据勾股定理求出即可．【解答】解：连接 OA交 BC于 D，∵O是等腰三角形 ABC的外心， AB＝AC，∴∠ AOC＝∠ BOA，∵OB＝OC，∴BD＝DC， OA⊥BC，∴由垂径定理得： BD＝ DC＝5cm，∠ OAC＝∠ BAC＝×120°＝60°，∵OA＝OC，∴△ AOC是等边三角形，∴∠ DCO＝90°﹣60°＝30°∴OC＝2OD，设 OD＝a， OC＝2a，由勾股定理得：a2+52＝（2a）2，a＝，OC＝2a＝（cm）．故答案是：．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外接圆和外心，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点，此题有一定的难度，注意：此等腰三角形的外心在三角形外部．8．（ 5 分）（2006? 安徽）如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝ 30°，BC为半圆的切线，且BC＝，则圆心O到 AC的距离是3．【考点】 KO：含 30 度角的直角三角形；KQ：勾股定理； M2：垂径定理； MC：切线的性质．【分析】首先过 O作 AC的垂线段，再利用三角形相似就可以求出O到 AC的距离．【解答】解：∵ BC是⊙ O的切线，∴∠ ABC＝90°，∵OD⊥AC，∴∠ ADO＝90°，∠ A公共，∴△ ABC∽△ ADO，∴，即 OD＝；在△ ABC中，∴ AC ＝2BC ＝ 8 ，AB ＝＝ 12，∴ OA ＝6＝ BO ，∴OD ＝．【点评】 主要利用了相似三角形的对应线段成比例．9．（ 5分）（ 2006?防城港）如图，有反比例函数y ＝，y ＝﹣的图象和一个以原点为圆心， 2 为半径的圆，则S 阴影＝2π．【考点】 G3：反比例函数图象的对称性．【专题】 11：计算题； 16：压轴题．【分析】 由反比例函数的对称性可得，图中的阴影部分正好为两个四分之一圆，即为一个半圆的面积．【解答】 解：由反比例函数的对称性知 S 阴影 ＝ π× 22＝ 2π．故答案为： 2π．【点评】 解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系．10．（ 5 分）（2013? 天心区校级自主招生）如图，△中，∠A 的平分线交 于 ， ＝ABCBC D AB+ ，∠ ＝ 80°，那么∠B 的度数是40°．ACCD C【考点】 KD ：全等三角形的判定与性质．【专题】 11：计算题．【分析】 在 AB 上截取 AE ＝ AC ，先根据角平分线的定义得∠ BAD ＝∠ CAD ，再根据“ SAS ”可判断△ AED≌△ ACD，则 ED＝ CD，∠ AED＝∠ C＝80°，由于 AB＝AC+CD得到 EB＝ CD＝ED，即△ EBD为等腰三角形，所以∠AED＝∠ B+∠ EDB，于是∠ B＝∠ AED＝40°．【解答】解：在 AB上截取 AE＝ AC，如图，∵AD平分∠BAC，∴∠ BAD＝∠ CAD，∵在△ AED和△ ACD中，∴△ AED≌△ ACD（ SAS），∴ED＝CD，∠ AED＝∠ C＝80°，∵ AB＝AC+CD，∴EB＝CD＝ ED，∴∠ B＝∠ EDB，∵∠ AED＝∠ B+∠ EDB，∴∠ B＝∠ AED＝40°．故答案为40°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“ SSS”、“SAS”、“ ASA”、“ AAS”；全等三角形的对应边相等，对应角相等．也考查了等腰三角形的性质．11．（ 5分）（2013?天心区校级自主招生）如图，已知梯形ABCD的面积为S， AD∥ BC， BC＝ b， AD＝ a（ a＜ b），对角线AC与 BD交于点O．若△ COD的面积为S，则＝．【考点】 LH：梯形； S9：相似三角形的判定与性质．【分析】依据题意可先作出简单的图形，可设S△AOD的面积为 S1，S△COB的面积为 S2，由题中条件建立关于S1? S2的方程，解方程得出S1? S2之间的关系，进而可求解a、 b 之间的关系．【解答】解：如图，设 S△AOD的面积为 S1， S△COB的面积为 S2，由 S 四边形ABCD＝ S，∵ AB∥CD，∴ S△ABC＝ S△DBC，∴S△ABC﹣ S△BOC＝ S△BCD﹣S△COB，∴S△AOB＝ S△DOC＝ S，得 S1+S2＝S﹣2× S＝ S，①∵＝＝，2∴ S1? S2＝ S△DOC? S△AOB＝S ，②联立①、②，∵△ AOD∽△ COB，∴＝，③∵ a＜ b，∴ S1＜ S2，解方程组得S1＝S， S2＝S，代入③得＝．故答案为．【点评】本题主要考查了梯形的性质以及相似三角形的判定及性质以及面积的问题，能够通过方程的思想建立等式，进而求解结论．12．（ 5 分）（ 2013? 天心区校级自主招生）一堆有红，白两种颜色的球各若干个，已知白球的个数比红球少，但白球个数的 2 倍比红球多，若把每个白球都记作“2”，每一个红球都记作“ 3”，则总数为 60，那么，白球有9 个，红球有14个．【考点】 CE：一元一次不等式组的应用．【分析】设有白球x 个，有红球y个，根据条件就有x＜， 2x＞， 2x+3 ＝ 60，从而构y y y成一个不等式组，求出其解即可．【解答】解：设有白球x 个，有红球y 个，由题意，得，由③，得x＝④，把④代入①，得y＞12．把④代入②，得y＜15．∵ x、y 为整数，y＝13，14，当 y＝13时， x＝舍去，当 y＝14时， x＝9，∴白球 9 个，红球 14 个故答案为： 9， 14．【点评】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用，一元一次不等式组的解法的运用，解答本题时根据条件建立不等式是解答本题的关键．三、解答题（本大题共 3 题，13、14 题 11 分，15 题 12 分，共 34 分）13．（ 11 分）（ 2013? 天心区校级自主招生）在正实数范围内，只存在一个数是关于x 的方程的解，求实数k 的取值范围．【考点】 AA：根的判别式；AB：根与系数的关系；B3：解分式方程．【专题】 32：分类讨论．【分析】先把原方程化为2x2﹣3x﹣（k+3）＝ 0，一定是一个一元二次方程，在正实数范围内，只存在一个数是关于x 的方程的解，因而可能方程有两个相同的实根，求得即可进行判断；或解方程得到的两个根中有一个是方程的增根，即x ＝ 1是方程 22﹣ 3﹣（+3）x x k＝ 0 的解，即可求得方程的另一解，然后进行判断；或方程有两个异号得实数根；或其中一根是 0，即可求得方程的另一根，进行判断．因而这个方程中再分四种情况讨论：（1）当△＝ 0 时；（2）若x＝ 1 是方程①的根；（3）当方程①有异号实根时；（4）当方程①有一个根为 0 时，最后结合题意总结结果即可．【解答】解：原方程可化为2x2﹣ 3x﹣（k+3）＝ 0，①（ 1）当△＝ 0 时，，满足条件；2﹣ 3× 1﹣（k+3）＝ 0，k＝﹣ 4；（ 2）若x＝ 1 是方程①的根，得 2×1此时方程①的另一个根为，故原方程也只有一根；（ 3）当方程①有异号实根时，且≠1即k ≠﹣ 4，得k＞﹣ 3，此时原x方程也只有一个正实数根；（ 4）当方程①有一个根为0 时，k＝﹣ 3，另一个根为，此时原方程也只有一个正实根．综上所述，满足条件的k 的取值范围是或 k＝﹣4或 k≥﹣3．【点评】主要考查了方程解的定义和分式的运算，此类题型的特点要分情况讨论．14．（ 11 分）（ 2013? 天心区校级自主招生）预计用1500 元购买甲商品x 个，乙商品y 个，不料甲商品每个涨价元，乙商品每个涨价 1 元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少10个，总金额仍多用29 元．又若甲商品每个只涨价 1 元，并且购买甲商品的数量只比预定数少 5 个，那么甲、乙两商品支付的总金额是元．（ 1）求x、y的关系式；（2）若预计购买甲商品的个数的2 倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x、y 的值．【考点】 CE：一元一次不等式组的应用．【分析】（ 1）设出必需的未知量，找出等量关系为：甲原单价×甲原数量+乙原单价×乙原数量＝ 1500，（甲原单价 +）×（甲原数量﹣10） +（乙原单价 +1）×乙原数量＝1529；（甲原单价 +1）×（甲原数量﹣5） +（乙原单价 +1）×乙原数量＝．（ 2）结合（1）得到的式子，还有205＜ 2 倍甲总价+乙总价＜210，求出整数解．【解答】解：（ 1）设预计购买甲、乙商品的单价分别为a元和 b 元，则原计划是ax+by ＝ 1500，①由甲商品单价上涨元、乙商品单价上涨 1 元，并且甲商品减少10 个的情形，得（a+）（ x ﹣ 10）+（b+1）y＝ 1529 ．②再由甲商品单价上涨 1 元，而数量比预计数少 5 个，乙商品单价上涨仍是 1 元的情形，得（a+1）（x﹣ 5）+（b+1）y＝，③由①、②、③得④⑤④﹣⑤× 2 并化简，得x+2y＝186．（2）依题意，有 205＜ 2x+y＜ 210 及x+2y＝186， 54＜y＜由 y 是整数，得 y＝55，从而得 x＝76．答：（ 1）x、y的关系x+2y＝ 186；（ 2）x值为 76，y值为 55．【点评】解决本题的关键是读懂题意，找到合适的关系式．当必需的量没有时，应设出未知数，在做题过程中消去无关的量．15．（ 12 分）（ 2008? 十堰）已知抛物线y ＝﹣2+2+与x轴的一个交点为（﹣ 1， 0），ax ax b A与 y 轴的正半轴交于点C．（ 1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B的坐标；（2）当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；（3）坐标平面内是否存在点M，使得以点M和（ 2）中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】 HF ：二次函数综合题．【专题】 16：压轴题．【分析】（ 1）抛物线 y ＝﹣ ax 2 +2ax +b 的对称轴，可以根据公式直接求出，抛物线与 x 轴的另一交点与 A 关于对称轴对称，因而交点就可以求出．（ 2） AB 的长度可以求出，连接 PC ，在直角三角形 OCP 中，根据勾股定理就可以求出 C点的坐标，把这点的坐标代入抛物线的解析式，就可以求出解析式．（ 3）本题应分或 为对角线和以 AB 为对角线三种情况进行讨论，当以或 为ACBCAC BC对角线时，点在x 轴上方，此时∥ ，且＝ ．就可以求出点的坐标．当以ABMCM AB CM AB M为对角线时，点M 在 x 轴下方易证△ AOC ≌△ BNM ，可以求出点 M 的坐标．【解答】 解：（ 1）对称轴是直线： x ＝ 1，点 B 的坐标是（ 3， 0）．（ 2 分）说明：每写对 1 个给（ 1 分），“直线”两字没写不扣分．（ 2）如图，连接 PC ，∵点 A 、 B 的坐标分别是 A （﹣ 1，0）、 B （ 3， 0），∴ AB ＝4．∴ PC ＝ AB ＝ × 4＝ 2在 Rt △POC 中，∵ OP ＝PA ﹣ OA ＝2﹣ 1＝ 1，∴ OC ＝ ，∴ b ＝（3 分）当 x ＝﹣ 1， y ＝ 0 时，﹣ a ﹣ 2a +＝ 0∴ a ＝（ 4 分）∴ y＝﹣x2+x+．（5分）（ 3）存在．（ 6 分）理由：如图，连接AC、 BC．设点 M的坐标为 M（ x， y）．①当以 AC或 BC为对角线时，点M在x 轴上方，此时CM∥ AB，且CM＝ AB．由（ 2）知，AB＝4，∴ |x|＝4， y＝ OC＝．∴ x＝±4．∴点M的坐标为M（4，）或（﹣4，）．（ 9 分）说明：少求一个点的坐标扣（ 1 分）．②当以AB为对角线时，点M在x 轴下方．过 M作 MN⊥ AB于 N，则∠ MNB＝∠ AOC＝90度．∵四边形 AMBC是平行四边形，∴ AC＝MB，且 AC∥ MB．∴∠ CAO＝∠ MBN．∴△ AOC≌△ BNM．∴BN＝AO＝1， MN＝ CO＝．∵ OB＝3，∴0N＝3﹣ 1＝ 2．∴点 M的坐标为 M（2，﹣）．（12 分）综上所述，坐标平面内存在点M，使得以点A、 B、 C、M为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为 M1（4，），M2（﹣4，），M3（2，﹣）．说明：①综上所述不写不扣分；②如果开头“存在”二字没写，但最后解答全部正确，不扣分【点评】本题主要考查了抛物线的轴对称性，是与勾股定理相结合的题目．难度较大．考点卡片1．非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0 时，则其中的每一项都必须等于0．2．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程22ax +bx+c＝0（ a≠0）的根与△＝ b ﹣4ac 有如下关系：①当△＞ 0 时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝ 0 时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜ 0 时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．3．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：2的两根时， x1+x2＝﹣ p，x1， x2是方程 x +px+q＝0x1x2＝ q，反过来可得p＝﹣（ x1+x2），q＝ x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1， x2是一元二次方程ax2+bx+c＝ 0（a≠ 0）的两根时，x1+x2＝， x1 x2＝，反过来也成立，即＝﹣（ x1+x2），＝ x1x2．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，22如求，x1+x2等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0 这两个前提条件．4．解分式方程（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．5．解一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．6．一元一次不等式组的应用对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：（1）分析题意，找出不等关系；（2）设未知数，列出不等式组；（3）解不等式组；（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；（5）作答．7．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x 轴的距离与纵坐标有关，到 y 轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．8．反比例函数图象的对称性反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线＝﹣；②一、三象限的角平分线＝；对称中心是：坐标原点．YX Y X9．抛物线与 x 轴的交点求二次函数y ＝2+ +（，，是常数，≠ 0）与x轴的交点坐标，令＝ 0，即2+ + ax bx c a b c a y ax bx c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数22y＝ ax +bx+c（ a， b，c 是常数， a≠0）的交点与一元二次方程ax+bx+c＝ 0根之间的关系．△＝ b2﹣4ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数．△＝ b2﹣4ac＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△＝ b2﹣4ac＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；△＝ b2﹣4ac＜0时，抛物线与x 轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y＝a（ x﹣ x1）（ x﹣ x2）（ a， b， c 是常数， a≠0），可直接得到抛物线与 x 轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．10．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．11．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．12．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．13．含 30 度角的直角三角形（1）含 30 度角的直角三角形的性质：在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．14．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a， b，斜边长为c，那么 a2+b2＝ c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝ c2的变形有： a＝，b＝及c＝．（4）由于a2 +b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．15．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．16．梯形（1）梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．梯形中平行的两边叫梯形的底，其中较短的底叫上底，不平行的两边叫梯形的腰，两底的距离叫梯形的高．（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．（3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．17．直角梯形直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．边：有一条腰与底边垂直，另一条腰不垂直．角：有两个内角是直角．过不是直角的一个顶点作梯形的高，则把直角梯形分割成一个矩形和直角三角形．这是常用的一种作辅助线的方法．18．梯形中位线定理（1）中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．（2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．（3）梯形面积与中位线的关系：梯形中位线的 2 倍乘高再除以 2 就等于梯形的面积，即梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高（4）中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线．19．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论 1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论 2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论 3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．20．切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．21．翻折变换（折叠问题）1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．。
长郡中学高三数学第六次月考理科试卷
长郡中学2008届高三第六次月考理科数学试卷一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分 ,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目的要求的.1.复数z 在映射f 下的象为z(1+i),则-1+2i 的原象为( ) A ．231i +-B 。
231i+ C ．231i -- D 。
231i -2．对于函数)(x f =ax 2+bx+c(c ≠0)作x=h(t)代换,则总不改变函数f(x)值域的代换是( )A. h(t)=3tB. h(t)=|t|C. h(t)=cos tD. h(t)=log 2t3.在下列表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,则x+y+z 的值为( )A.1B.2C.3D.44.设函数f(x)=21-+x x ,那么函数f(x+1)的图象关于直线y=x 的对称图象的解析式为( )A f(x)=13-x x B. f(x)=112-+x x C, f(x)=12-+x x D. f(x)=xx 32+5.任意确定3个日期,其中至少有2个是星期天的概率是( )A.34318B.34319C.32D.316.已知,A B 是球O 球面上两点，在空间直角坐标系中(0,0,0),1,1),O A B -则,A B 在该球面上的最短距离是 A 、23π B 、π C 、2π D 、3π7设无穷等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1+a 2=2,a 4+a 5=41, 则lim ∞→n S n =( ) A.38 B.34C.23D.32 8.已知直线x+y=a 与圆 x 2+y 2=4 交于A,B 两点,O 是坐标原点,向量,满足|+|=|-|,则实数a 的值( )A.2B.-2C.6或6-D.2或-2 9.已知O 是四面体ABCD 内一点,且+++=,若V ABCD=12,则V BCD O -=( )A.2B.3C. 4D.6 10.设(10+3)12+n 的整数部分和小数部分分别为I n 和F n ,则F n (I n +F n )的值为( )A.1B.2C.4D.与n 有关的数 二填空题:本大题共5题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上.11.函数(2)(1)()22(11)24(1)x f x x f x x x x ⎧+≤-⎪⎪=+-<<⎨⎪-≥⎪⎩，则[](2008)f f -=__________________ 12.设在二项式(x3+x )n的展开式中,各项的系数和为M,所有二项式系数的和为N,如果M+N=272,则n=__________.13.已知函数f(x)= x 3-3ax 2+6ax+2008(x ∈R)有极值,则实数a 的取值范围______________ 14.已知二次函数f(x)的二次项系数a<0,且不等式f(x)>-x 的解集为(1,2),若f(x)的最大值为正数,则 a 的取值范围是____________ 15.有下列命题：➊cos()cos()44y x x ππ=-+的图象中相邻两个对称中心的距离为π，➋31x y x +=-的图象关于点(1,1)-对称，➌关于x 的方程2210ax ax --=有且仅有一个实根，则1a =-，➍命题:p 对任意x R ∈，都有sin 1x ≤；则:p ⌝存在x R ∈，使得sin 1x >。
长郡中学高三数学第八次月考理科试题
长郡中学2008届高三第八次月考数学试卷（理科）总分：150分 时量：120分钟 2008年4月5日下午一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的）. 1．集合{}12A x Nx *=∈-<的真子集的个数为 （ ）A ．3B ．4C ．7D ．8 2．复数（ii -12）2（其中i 为虚数单位）的虚部等于 （ ） A ．－i B ．1 C ．－1 D ．03．设函数()()()()2 01 153 1x x f x a x x x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤<==->在区间[)+∞,0上连续，则实数a 的值为 ( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．34.已知n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中的常数项等于 ( ) A . 135 B . 270 C . 540 D . 12155．下面四个命题：①“直线a ∥直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”；②“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”；③“直线a 、b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线a 、b 不相交”；④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”； 其中正确命题的序号是 ( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 6．已知)1(3cos3)1(3sin )(+-+=x x x f ππ，则(1)(2)(2008)+++=f f f （ ）A ．23B ．3C ．1D ．07．已知O ，A ，B ，C 是不共线的四点，若存在一组正实数1λ，2λ，3λ，使1λ＋2λ＋3λ= 0，则三个角∠AOB ，∠BOC ，∠COA （ ） A ．都是锐角 B ．至多有两个钝角 C ．恰有两个钝角 D ．至少有两个钝角。
8．由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，所得的数是大于20000的偶数的概率为 （ ） A ．2512 B ．52 C ．256 D ．100219．双曲线 22a x －22by ＝1的左右焦点分别为F 1 ﹑F 2，在双曲线上存在点P ，满足︱PF 1︱＝5︱PF 2︱。
湖南省长郡中学高三第二次月考数学(文)试卷
湖南省长郡中学2008届高三第二次月考数学（文）试卷命题：李生根老师一、选择题：本大题 共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．设M x x =-≤≤{|}22，N x x =<{|}1，则M N ⋂等于( )A. {|}x x 12<<B. {|}x x -<<21C. {|}x x 12<≤D. {|}x x -≤<212.已知αββαtan ,31tan ,1)tan(则==+的值为A ．－2 B ．21- C ．21D ．2 ( )3．已知M=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z p p x x P Z n n x x N Z m m x x ,612,,312,,61,则M 、N 、P 满足关系 ( )A. M=NP B.MN=P C.MNP D.NPM4．要得到函数1)42cos(+-=πx y 的图象，只需将函数x y sin =的图象作下列变换，其中正确的变换是（ ） A ．先纵坐标不变，横坐标缩短原来的,21再按向量（1,8π-）平移B ．先纵坐标不变，横坐标缩短原来的,21再按向量（1,4π）平移C ．先按向量（1,4π）平移，再纵坐标不变，横坐标缩短原来的,21D ．先按向量（1,8π-）平移，再纵坐标不变，横坐标缩短原来的,215．已知两点M （－2，0），N （2，0），点P 满足⋅=12，则点P 的轨迹方程为 ( )A ．11622=+y x B ．1622=+y x C ．822=-x y D ．822=+y x 6．函数162)21(xx y y -==与函数的图象关于（ ）A ．直线x=2对称B ．点（4，0）对称C ．直线x=4对称D ．点（2，0）对称7．函数y = ）A ．)83,4(ππππ++k k （Z k ∈） B ．)83,8(ππππ++k k （Z k ∈）C ．)85,8(ππππ++k k （Z k ∈） D ．)83,8(ππππ+-k k （Z k ∈） 8．已知椭圆1),0(122222222=->>=+by a x b a b y a x 双曲线和抛物线)0(22>=p px y 的离心率分别为e 1、e 2、e 3，则 ( ) A ．e 1e 2> e 3 B ．e 1e 2= e 3 C ．e 1e 2< e 3 D ．e 1e 2≥e 3 9．若动直线m y m mx =-+)12(与圆)0(222>=+r r y x 恒有两个不同的交点，则（ ） A ．1>r B ．10<<r C ．1≥r D ．10≤<r10．已知︒=∆60B ABC 为的非等腰三角形，且===,,，则关于x 的二次方程01||222=++⋅x b x c a 的根的个数叙述正确的是（ ） A ．无实根 B ．有两相等实根 C ．有两不等实根 D ．无法确定二、填空题：本大题 共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上。
2019年湖南省长沙市天心区长郡中学实验班自主招生数学试卷(理科)含答案
2019年湖南省长沙市天心区长郡中学实验班自主招生数学试卷（理科）一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题6分，共36分）1．（6分）在元旦游园晚会上有一个闯关活动：将5张分别画有等腰梯形、圆、平行四边形、等腰三角形、菱形的卡片任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任意翻开一张，如果翻开的图形是轴对称图形，就可以过关．那么一次过关的概率是（）A．B．C．D．2．（6分）如图所示，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，且交AB于E，DB与CE相交于O，已知AB＝6，BC＝4，则等于（）A．B．C．D．不一定3．（6分）已知△ABC的周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是（）A．24B．20C．15D．不确定4．（6分）已知如图，则不含阴影部分的矩形的个数是（）A．15B．24C．25D．265．（6分）在3×3方格上做填字游戏，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都等于S，又填在图中三格中的数字如图，若要能填成，则（）ㅤㅤㅤㅤㅤㅤ10813A．S＝24B．S＝30C．S＝31D．S＝396．（6分）如图，长方形木板的长为4cm，宽为3cm，某同学使之在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上点A的位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上的一块小木板挡住，使木板与桌面成30°，则点A滚到A2位置时走过的路径总长为（）A．10cm B．3.5πcm C．4.5πcm D．2.5πcm二、填空题：（每题5分，共30分）7．（5分）方程组的解是．8．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则化简﹣|b+c|﹣|a﹣c|＝．9．（5分）将一个棱长为8、各个面上均涂有颜色的正方体，锯成64个同样大小的小正方体，其中所有恰有2面涂有颜色的小正方体表面积之和为．10．（5分）如图，△OP1A1，△A1P2A2是等腰直角三角形，点P1、P2在函数y＝的图象上，斜边OA1、A1A2都在横轴上，则点A2的坐标是．11．（5分）等腰△ABC的底边BC＝8cm，腰长AB＝5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到P A与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为秒．12．（5分）若p＝，q＝，则＝．三、解答题（本大题共3题，13、14题11分，15每题12分，共34分）13．（11分）刘老师装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，我市盛世商贸城装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每包50片，价格为30元；小包装每包30片，价格为20元，若大、小包装均不拆开零售，请你帮助刘老师制定一种购买方案，使购买瓷砖所付费用最少．14．（11分）已知平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上．（1）若AB＝10，AB与CD间距离为8，AE＝EB，BF＝FC，求△DEF的面积．（2）若△ADE，△BEF，△CDF的面积分别为5，3，4，求△DEF的面积．15．（12分）如图，已知直线y＝﹣m（x﹣4）（m＞0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，以OA为直径作半圆，圆心为C．过A作x轴的垂线AT，M是线段OB上一动点（与O点不重合），过M点作半圆的切线交直线AT于N，交AB于F，切点为P．连接CN、CM．（1）证明：∠MCN＝90°；（2）设OM＝x，AN＝y，求y关于x的函数解析式；（3）若OM＝1，当m为何值时，直线AB恰好平分梯形OMNA的面积．2019年湖南省长沙市天心区长郡中学实验班自主招生数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题6分，共36分）1．（6分）在元旦游园晚会上有一个闯关活动：将5张分别画有等腰梯形、圆、平行四边形、等腰三角形、菱形的卡片任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任意翻开一张，如果翻开的图形是轴对称图形，就可以过关．那么一次过关的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵5种图象中，等腰梯形、圆、等腰三角形、菱形4种是轴对称图形，∴一次过关的概率是．故选：D．2．（6分）如图所示，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，且交AB于E，DB与CE相交于O，已知AB＝6，BC＝4，则等于（）A．B．C．D．不一定【解答】解：∵CE是∠DCB的平分线，DC∥AB∴∠DCO＝∠BCE，∠DCO＝∠BEC∴∠BEC＝∠BCE∴BE＝BC＝4∵DC∥AB∴△DOC∽△BOE∴OB：OD＝BE：CD＝2：3∴＝故选：B．3．（6分）已知△ABC的周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是（）A．24B．20C．15D．不确定【解答】解：∵MA＝MB＝MC＝5，∴∠ACB＝90°，∵周长为24，AB＝10，∴AC+BC＝14，AC2+BC2＝102，∴2×AC×BC＝（AC+BC）2﹣（AC2+BC2）＝142﹣102＝4×24，∴S△ABC＝AC×BC＝24．故选：A．4．（6分）已知如图，则不含阴影部分的矩形的个数是（）A．15B．24C．25D．26【解答】解：根据以上分析不含阴影的矩形个数为26个．故选：D．5．（6分）在3×3方格上做填字游戏，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都等于S，又填在图中三格中的数字如图，若要能填成，则（）ㅤㅤㅤㅤㅤㅤ10813A．S＝24B．S＝30C．S＝31D．S＝39【解答】解：如图，b x a108y13∵每行每列及对角线上三个方格中的数字和都等于S．∴x+10+y＝8+y+13，∴x＝11，∵b+11+a＝8+10+a，∴b＝7，∴S＝b+10+13＝30．故选：B．6．（6分）如图，长方形木板的长为4cm，宽为3cm，某同学使之在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上点A的位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上的一块小木板挡住，使木板与桌面成30°，则点A滚到A2位置时走过的路径总长为（）A．10cm B．3.5πcm C．4.5πcm D．2.5πcm【解答】解：∵长方形长为4cm，宽为3cm，∴AB＝5cm，第一次是以B为旋转中心，BA长5cm为半径旋转90°，此次点A走过的路径是＝π（cm），第二次是以C为旋转中心，4cm为半径旋转60°，此次走过的路径是＝π（cm），∴点A两次共走过的路径是+π＝π（cm）．故选：B．二、填空题：（每题5分，共30分）7．（5分）方程组的解是．【解答】解：，∵①+②得，x﹣y＝1③；①﹣②得，x﹣3y＝﹣1④，∴③④联立得，，解得．故答案为：．8．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则化简﹣|b+c|﹣|a﹣c|＝2c．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴为直线x＝﹣＞0，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴a﹣b＞0，b+c＜0，a﹣c＞0，∴原式＝﹣|b+c|﹣|a﹣c|＝|a﹣b|﹣|b+c|﹣|a﹣c|＝a﹣b+b+c﹣（a﹣c）＝a﹣b+b+c﹣a+c＝2c．故答案为2c．9．（5分）将一个棱长为8、各个面上均涂有颜色的正方体，锯成64个同样大小的小正方体，其中所有恰有2面涂有颜色的小正方体表面积之和为576．【解答】解：根据以上分析：小正方体的棱长是2，表面积是2×2×6＝24，恰有2面涂有颜色的小正方体共有24个．则这样的小正方体表面积的和是24×24＝576．故答案为576．10．（5分）如图，△OP1A1，△A1P2A2是等腰直角三角形，点P1、P2在函数y＝的图象上，斜边OA1、A1A2都在横轴上，则点A2的坐标是（8，0）．【解答】解：设A1坐标为（a，0），A2为（b，0），∵△OP1A1，△A1P2A2是等腰直角三角形，∴P1坐标为（，），P2坐标为（，），∵点P1在函数y＝的图象上，∴，∴a1＝8，a2＝﹣8（不合题意，舍去），∴P2坐标为（，）∵点P2在函数y＝的图象上，∴＝，∴b1＝8，b2＝﹣8（不合题意，舍去），∴A2为（8，0）．故答案为（8，0）．11．（5分）等腰△ABC的底边BC＝8cm，腰长AB＝5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到P A与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为7或25秒．【解答】解：如图，作AD⊥BC，交BC于点D，∵BC＝8cm，∴BD＝CD＝BC＝4cm，∴AD＝＝3，分两种情况：当点P运动t秒后有P A⊥AC时，∵AP2＝PD2+AD2＝PC2﹣AC2，∴PD2+AD2＝PC2﹣AC2，∴PD2+32＝（PD+4）2﹣52∴PD＝2.25，∴BP＝4﹣2.25＝1.75＝0.25t，∴t＝7秒，当点P运动t秒后有P A⊥AB时，同理可证得PD＝2.25，∴BP＝4+2.25＝6.25＝0.25t，∴t＝25秒，∴点P运动的时间为7秒或25秒．12．（5分）若p＝，q＝，则＝．【解答】解：∵p＝﹣，q＝+，∴p2+q2＝（﹣）2+（+）2＝16，pq＝（﹣）（+）＝2，则+＝＝＝．故答案为：．三、解答题（本大题共3题，13、14题11分，15每题12分，共34分）13．（11分）刘老师装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，我市盛世商贸城装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每包50片，价格为30元；小包装每包30片，价格为20元，若大、小包装均不拆开零售，请你帮助刘老师制定一种购买方案，使购买瓷砖所付费用最少．【解答】解：设购买大包装x包，小包装y包，根据题意，得50x+30y＝480．因为x、y为非负整数，所以方程的解为或或或．当x＝0，y＝16时，所付费用为：0×30+16×20＝320（元）；当x＝3，y＝11时，所付费用为：3×30+11×20＝310（元）；当x＝6，y＝6时，所付费用为：6×30+6×20＝300（元）；当x＝9，y＝1 时，所付费用为：9×30+1×20＝290（元）．所以购买大包装9包，小包装1包所付费用最少，费用为290元．14．（11分）已知平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上．（1）若AB＝10，AB与CD间距离为8，AE＝EB，BF＝FC，求△DEF的面积．（2）若△ADE，△BEF，△CDF的面积分别为5，3，4，求△DEF的面积．【解答】解：（1）∵AB＝10，AB与CD间距离为8，∴S▱ABCD＝80，∵AE＝BE，BF＝CF．∴S△AED＝S▱ABCD，S△BEF＝S▱ABCD，S△DCF＝S▱ABCD，∴S△DEF＝S▱ABCD﹣S△AED﹣S△BEF﹣S△DCF＝S▱ABCD＝30；（2）设AB＝x，AB与CD间距离为y，由S△DCF＝4，知F到CD的距离为，则F到AB的距离为y﹣，∴S△BEF＝BE（y﹣）＝3，∴BE＝，AE＝x﹣＝，S△AED＝AE×y＝××y＝5，得（xy）2﹣24 xy+80＝0，xy＝20或4，∵S▱ABCD＝xy＞S△AED＝5，∴xy＝4不合，∴xy＝20，S△DEF＝S▱ABCD﹣S△AED﹣S△BEF﹣S△DCF＝20﹣5﹣3﹣4＝8．15．（12分）如图，已知直线y＝﹣m（x﹣4）（m＞0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，以OA为直径作半圆，圆心为C．过A作x轴的垂线AT，M是线段OB上一动点（与O点不重合），过M点作半圆的切线交直线AT于N，交AB于F，切点为P．连接CN、CM．（1）证明：∠MCN＝90°；（2）设OM＝x，AN＝y，求y关于x的函数解析式；（3）若OM＝1，当m为何值时，直线AB恰好平分梯形OMNA的面积．【解答】证明：（1）∵AT⊥AO，OM⊥AO，AO是⊙C的直径，∴AT、OM是⊙C的切线，又∵MN切⊙C于点P，∴∠CMN＝∠OMN，∠CNM＝∠ANM，∵OM∥AN，∴∠ANM+∠OMN＝180°，∴∠CMN+∠CNM＝∠OMN+∠ANM＝（∠OMN+∠ANM）＝90°，∴∠MCN＝90°；解：（2）由（1）可知：∠1+∠2＝90°，而∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3；∴Rt△MOC∽Rt△CAN，∴＝，∵直线y＝﹣m（x﹣4）交x轴于点A，交y轴于点B，∴0＝﹣m（x﹣4），∴x＝4，∴A（4，0），∴AC＝CO＝2，∵OM＝x，AN＝y，∵＝，∴y＝；（3）∵OM＝1，∴AN＝y＝4，此时S四边形ANMO＝10，∵直线AB平分梯形ANMO的面积，∴△ANF的面积为5过点F作FG⊥AN于G，则FG•AN＝5，∴FG＝，∴点F的横坐标为4﹣＝，∵M（0，1），N（4，4），∴直线MN的解析式为y＝x+1，∵F点在直线MN上，∴F点的纵坐标为y＝，∴F（，），∵点F又在直线y＝﹣m（x﹣4）上，∴＝﹣m（﹣4），∴m＝．。
长郡中学理科实验班招生考试数学初试试题
AB CEFO2011年长郡中学理科实验班招生考试数学试卷（初试）考生注意：本试卷全卷共28小题，分值100分，将答案写在答题卡上，考试时间90分钟。
一、本大题共5小题，每小题2分，满分10分。
1. 把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 。
2.函数y =中，自变量x 的取值范围是 。
3.已知113x y -=,则代数式21422x xy y x xy y----的值为 。
4. 若111a m =-，2111a a =-，3211a a =-，… 则2011a 的值为 。
（用含m 的代数式表示） 5. 如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ,BE ∥AD , 梯形ABCD的周长为26，DE =4，则△BEC 的周长为 。
二、本大题共10小题，每小题3分，满分30分。
6. 双曲线1y 、2y 在第一象限的图像如图，14y x=， 过1y 上的任意一点A ，作x 轴的平行线交2y 于B ， 交y 轴于C ，若1AOB S ∆=，则2y 的解析式是 。
7. 若66222+++-kx xy y x 能分解为两个一次因式的积，则整数k 的值是___________。
8. 若实数a b ，满足21a b +=，则2227a b +的最小值是 。
9. 如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转︒30到正方形'''AB C D ，则图中阴影部分的面积为 。
10. 一青蛙在如图88⨯的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格从点A 开始连续跳六次正好跳回到点A ，则所构成的封闭 图形的面积的最大值是 。
11. 如图，依次连结第一个．．．正方形各边的中点得到第二个正方形，再依若第一个正方形边长为１，则第n个正方形的面积是。
12.如图，直线l过正方形ABCD 的顶点B ，点A C、到直线l 的距离分别是1和2，则正方形的边长是 。
竞赛及提前招生长郡中学理科实验班招生考试数学试卷
2011年湖南省长沙市长郡中学理科实验班招生考试数学试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分)1．（4分）函数图象的大致形状是（)A．B．C．D．2．（4分）（2007•临沂）小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为(）A．B．πC．πD．3．（4分）满足不等式n200＜5300的最大整数n等于（）A．8B．9C．10D．114．（4分）甲、乙两车分别从A，B两车站同时开出相向而行，相遇后甲行驶1小时到达B站，乙再行驶4小时到达A站．那么，甲车速是乙车速的（）A．4倍B．3倍C．2倍D．1。
5倍5．（4分）图中的矩形被分成四部分，其中三部分面积分别为2，3,4，那么，阴影三角形的面积为(）A．5B．6C．7D．86．(4分)如图，AB是圆的直径，CD是平行于AB的弦，且AC和BD相交于E，∠AED=α,那么∠CDE与∠ABE的面积之比是（）A．c osαB．s in2αC．c os2αD．1﹣sinα7．(4分）两杯等量的液体，一杯是咖啡，一杯是奶油．舀一勺奶油到咖啡杯里,搅匀后舀一勺混合液注入到奶油杯里．这时,设咖啡杯里的奶油量为a，奶油杯里的咖啡量为b，那么a和b的大小为(）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．与勺子大小有关8．（4分）设A，B，C是三角形的三个内角，满足3A＞5B，3C＜2B，这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．都有可能二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分)9．(5分）用数字1，2，3，4，5,6，7,8不重复地填写在下面连等式的方框中,使这个连等式成立:1+□+□=9+□+□=8+□+□=6+□+□_________．10．（5分）如图，正三角形与正六边形的边长分别为2和1，正六边形的顶点O是正三角形的中心,则四边形OABC 的面积等于_________．11．（5分）计算：=_________．12．（5分)五支篮球队举行单循坏赛(就是每两队必须比赛1场,并且只比赛一场），当赛程进行到某一天时，A队已赛了4场，B队已赛了3场，C队已赛了2场，D队已赛了1场，那么到这一天为止一共已经赛了_________场，E队比赛了_________场．13．（5分）(2006•无锡）已知∠AOB=30°，C是射线OB上的一点,且OC=4．若以C为圆心，r为半径的圆与射线OA有两个不同的交点，则r的取值范围是_________．14．（5分）如图，∠ABC为等腰直角三角形，若AD=AC，CE=BC,则∠1_________∠2（填“＞"、“＜”或“=”）三、解答题（共3小题，满分38分)15．（12分）（2009•深圳）迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆,乙种花卉90盆．（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．（2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元,试说明（1)中哪种方案成本最低?最低成本是多少元？16．(12分)如图，∠ABC是∠O的内接三角形，AC=BC,D为∠O中上一点，延长DA至点E，使CE=CD．（1）求证：AE=BD;（2)若AC∠BC,求证：AD+BD=CD．17．（14分）（2007•河北）如图，在等腰梯形ABCD中,AD∠BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发沿折线段BA﹣AD﹣DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK∠BC，交折线段CD﹣DA﹣AB于点E．点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1)当点P到达终点C时，求t的值,并指出此时BQ的长;（2)当点P运动到AD上时,t为何值能使PQ∠DC；(3)设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（4）∠PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由．2011年湖南省长沙市长郡中学理科实验班招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题,每小题4分,满分32分)1．（4分）函数图象的大致形状是（）A．B．C．D．考点：反比例函数的图象．分析：由题意只需找到图象在x轴下方的不经过原点的函数图象即可．解答：解:由函数解析式可得x可取正数,也可取负数，但函数值只能是负数;所以函数图象应在x轴下方,并且x,y均不为0．故选D．点评:解决本题的关键是根据在函数图象上的点得到函数图象的大致位置．2．（4分）(2007•临沂）小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为（）A．B．πC．πD．考点：几何概率．专题：计算题．分析：针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与正三角形面积的比．解答：解:∠如图所示的正三角形，∠∠CAB=60°，设三角形的边长是a，∠AB=a，∠∠O是内切圆，∠∠OAB=30°，∠OBA=90°，∠BO=tan30°AB=a，则正三角形的面积是a2，而圆的半径是a，面积是a2，因此概率是a2÷a2=．故选C．点评:用到的知识点为：边长为a的正三角形的面积为：a2；求三角形内切圆的半径应构造特殊的直角三角形求解．3．（4分）满足不等式n200＜5300的最大整数n等于（）A．8B．9C．10D．11考点:幂的乘方与积的乘方．分析：将不等式左右两边理由幂的乘方运算法则变形为指数相同的两个幂,通过计算可求出n的最大值．解答：解：n200=（n2）100，5300=(125）100，所以n2＜125，最大整数n=11．故选D．点评:本题利用了幂的乘方、积的乘方以及分数的基本性质进行变形而求的．4．（4分）甲、乙两车分别从A,B两车站同时开出相向而行，相遇后甲行驶1小时到达B站,乙再行驶4小时到达A 站．那么，甲车速是乙车速的（）A．4倍B．3倍C．2倍D．1。
长郡中学理科实验班招生考试复试数学试题
2011年长郡中学理科实验班招生考试数学试卷（复试）考生注意：本试卷全卷共19小题，分值100分，考试时间60分钟。
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共计32分）1.三角形每条边长都是2005的质因数，则这样不同的三角形共有（）A.2个B.3个C.4个D.5个2.一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港需3小时，水流速度增加后，从乙港返回甲港需航行（）A.0.5小时B.1小时C.1.2小时D.1.5小时3.已知A、B、C、D四个人中，有两个人参加了星期天的义务劳动，且：①B和D不同时参加②C参加D也参加③D不参加A也不参加④A和B只有一人参加则参加劳动的两个人是（）A.A和CB. A和DC. C和DD.B和C4.某同学在手工制作中，用一边长为12的等边三角形纸片，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则该圆的半径为（）A.23 B. 33 C. 24 D. 345.圆内接四边形的四条边长顺次为5、10、11、14，则这个四边形的面积为（）A.78.5B.97.5C.90D. 1026. 已知关于x的不等式组230320a xa x+>⎧⎨-≥⎩恰有3个整数解，则a的取值范围是（）A.23≤a≤32B.43≤a≤32C.43＜a≤32D.43≤a＜327. 如图，平行四边形的每一个顶点都用直线与两条对边的中点相连。
这些直线所围成图形的面积是原平行四边形面积的 ( )A．四分之一 B．六分之一 C．八分之一 D．十分之一8. 将一张边长分别为a，b)(ba>的矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，则折痕的长为( )二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共计32分）9. 如图，AB，CD分别是⊙O的直径和弦，AD，BC相交于点E，∠AEC=α，则△CDE与△ABE的面积比为。
（用含α的三角函数表示）10. 有10条不同的直线nnbxky+=（n = 1，2，3，…，10），其中369k k k==，4710b b b===，则这10条直线的交点个数最多有。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
长郡中学2008年高一实验班选拔考试试卷注意：(1) 试卷共有三大题16小题，满分120分，考试时间80分钟.(2) 请把解答写在答题卷的对应题次上, 做在试题卷上无效.一、 选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内.1．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在( )(A) 直线y = –x 上 (B) 抛物线 y =2x 上(C) 直线y = x 上 (D) 双曲线xy = 1上2．以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k 的值是 ( )(A) 35 (B) 30 (C) 25 (D) 203．若－1＜a ＜0，则a a a a 1,,,33一定是 ( ) (A) a1最小，3a 最大 (B) 3a 最小，a 最大 (C) a 1最小，a 最大 (D) a1最小， 3a 最大 4．如图，将△ADE 绕正方形ABCD 的顶点A 顺时针旋转90°，得△ABF ，连结EF 交AB 于H ，则下列结论错误的是（ ）(A) AE ⊥AF （B ）EF ：AF =2：1(C) AF 2 = FH ·FE （D ）FB ：FC = HB ：EC 5．在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且CD 与BE 相交于点F ，已知△BDF 的面积为10，△BCF的面积为20，△CEF 的面积为16，则四边形区域ADFE 的面积等于（ ）(A) 22 (B) 24 (D) 36 (D)446．某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（ ）（A ）30 （B ）35 （C ）56 （D ） 448二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）7．若4sin 2A – 4sinAcosA + cos 2A = 0, 则tanA = ___ ___ .8．在某海防观测站的正东方向12海浬处有A 、B 两艘船相会之后，A 船以每小时12海浬的速度往南航行，第4题B 船则以每小时3海浬的速度向北漂流. 则经过 小时后，观测站及A 、B 两船恰成一个直角三角形.9．如右图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A,B,C 三点的拋物线对应的函数关系式是 .10．桌面上有大小两颗球，相互靠在一起。
已知大球的半径为20cm ，小球半径5cm, 则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于cm.11．物质A 与物质B 分别由点A(2,0)同时出发，沿正方形BCDE 的周界做环绕运动，物质A 按逆时针方向以l 单位/秒等速运动，物质B 按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐标是 .12．设,C ,C ,C 321… … 为一群圆, 其作法如下：1C 是半径为a 的圆, 在1C的圆内作四个相等的圆2C (如图), 每个圆2C 和圆1C 都内切, 且相邻的两个圆2C 均外切, 再在每一个圆2C 中, 用同样的方法作四个相等的圆3C , 依此类推作出,C ,C ,C 654…… , 则(1) 圆2C 的半径长等于(用a 表示)； (2) 圆k C 的半径为 ( k 为正整数，用a 表示，不必证明)三、解答题（本题有4个小题，共60分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。
13.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 内接于圆O ，且AD 是圆O 的直径，DC 与AB 的延长线相交于E 点，OC ∥AB.(1) 求证AD = AE ；(2) 若OC=AB = 4，求△BCE 的面积.14.（本题满分14分）已知抛物线y = x2 + 2px + 2p –2的顶点为M，(1) 求证抛物线与x 轴必有两个不同交点；(2) 设抛物线与x 轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小.15 （本小题满分16分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：胜一场平一场负一场积分 3 1 0奖励（元/每人）1500 700 0当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，A队共积19分。
(1) 试判断A队胜、平、负各几场?(2) 若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W （元），试求W的最大值.16（本小题满分18分）已知：矩形ABCD ，（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy 中，使AB 在x 轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y =23x －1经过这两个顶点中的一个. （1）求出矩形的顶点A 、B 、C 、D 的坐标；（2）以AB 为直径作⊙M ，经过A 、B 两点的抛物线，y = ax 2＋bx ＋c 的顶点是P 点.① 若点P 位于⊙M 外侧且在矩形ABCD 内部，求a 的取值范围；② 过点C 作⊙M 的切线交AD 于F 点，当PF ∥AB 时，试判断抛物线与y 轴的交点Q 是位于直线y =32x －1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由.2008年高一实验班选拔考试数学卷评分标准一、 选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）1．D 2．D 3．A 4．C 5．D 6．B二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）7．21. 8．2. 9． y = –125x 2 –21x +320. 10．20. 11．( –34,–2). 12．(1) 圆2C 的半径 a )12(-； (2)圆k C 的半径 (2 –1 )n – 1 a . 三、解答题13.（本小题满分12分）（1）证1.∵AD 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，∴∠ACD = 90︒，即AC ⊥DE.又∵OC ∥AE ，O 为AD 中点，∴AD = AE. 4分证2 ∵O 为AD 中点，OC ∥AE ，∴2OC = AE ，又∵AD 是圆O 的直径，∴ 2OC = AD ，∴AD = AE. 4分（2）由条件得ABCO 是平行四边形，∴BC ∥AD ，又C 为中点，∴AB =BE = 4，∵AD = AE ，∴BC = BE = 4， 4分连接BD ，∵点B 在圆O 上，∴∠DBE= 90︒，∴CE = BC= 4，即BE = BC = CE= 4，∴ 所求面积为43. 4分14.（本题满分14分）解：(1) ∵⊿ = 4p 2 – 8p + 8 = 4 ( p –1)2 + 4 >0 ,∴抛物线与x 轴必有两个不同交点. 4分(2) 设A (x 1, 0 ), B( x 2, 0),则|AB|2 = |x 2 – x 1|2 = [ (x 1 + x 2)2 – 4x 1x 2]2 = [4p 2 – 8p + 8 ]2 = [4 ( p –1)2 + 4]2, ∴|AB| = 21)1p (2+-. 5分 又设顶点M ( a , b ), 由y = ( x – p)2 – ( p – 1 )2 – 1 .得b = – ( p – 1 )2 – 1 .当p =1时，|b|及|AB|均取最小，此时S △ABM =21|AB||b|取最小值1 . 5分15 （本小题满分16分）解：（1）设A 队胜x 场，平y 场，负z 场，得⎩⎨⎧=+=++19y x 312z y x ，可得：⎩⎨⎧-=-=7x 2z x 319y 4分 依题意，知x ≥0,y ≥0,z ≥0,且x 、y 、z 均为整数，∴⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≥-0x 07x 20x 319 解得：27≤x ≤319 ，∴ x 可取4、5、6 4分 ∴ A 队胜、平、负的场数有三种情况： 当x=4时， y=7,z=1；当x=5时，y= 4,z = 3 ；当x=6时，y=1,z= 5. 4分（2）∵W=（1500+500）x + (700+500)y +500z= – 600x+19300当x = 4时，W 最大，W 最大值= – 60×4+19300=16900（元）答略. 4分16（本小题满分18分）解：(1)如图，建立平面直有坐标系，∵矩形ABCD 中，AB= 3，AD =2，设A(m 0)（ m > 0 ), 则有B(m ＋3 0)；C(m ＋ 3 2), D(m 2);若C点过y =32x－1；则2=32(m＋3)－1,m = －1与m＞0不合；∴C点不过y=32x－1；若点D过y=32x－1，则2=32m－1, m=2,∴A (2, 0), B(5,0)，C(5,2 )，D(2,2)；5分（2）①∵⊙M以AB为直径，∴M(3.5 0)，由于y = ax2＋bx＋c过A(2, 0)和B(5 ,0)两点，∴0420255=++=++⎧⎨⎩a b ca b c∴b ac a=-=⎧⎨⎩7102分∴y = ax2－7ax＋10a( 也可得：y= a(x－2)(x－5)= a(x2－7x＋10) = ax2－7ax＋10a )∴y = a(x－72)2－94a；∴抛物线顶点P(72, －94a) 2分∵顶点同时在⊙M内和在矩形ABCD内部,∴32＜－94a ＜2,∴－98＜a＜–32. 3分②设切线CF与⊙M相切于Q，交AD于F，设AF = n, n＞0；∵AD、BC、CF均为⊙M切线，∴CF=n＋2, DF=2－n; 在Rt∆DCF中，∵DF2＋DC2=CF2；∴32＋(2－n)2=(n＋2)2, ∴n=98, ∴F(2,98)∴当PF∥AB时，P点纵坐标为98；∴－94a =98，∴a = －12;∴抛物线的解析式为：y= －12x2＋72x－5 3分抛物线与y轴的交点为Q（0，－5），又直线y =32x－1与y轴交点（0，－1）；∴Q在直线y=32x－1下方. 3分。