【冀教版】2019年春八年级数学下册：21.5 一次函数与二元一次方程的关系
冀教版八年级数学下册《二十一章 一次函数 21.5 一次函数与二元一次方程的关系》教案_11
19.2.3一次函数与二元一次方程组教学目标知识技能: 1、理解一次函数与二元一次方程（组）的关系；会用图象法解二元一次方程组。
2、能综合应用一次函数、一元一次方程、二元一次方程（组）解决相关实际问题。
数学思考: 经历一次函数与二元一次方程（组）关系的探究过程，学会用函数的观点看问题。
解决问题: 能利用一次函数与二元一次方程（组）关系解决有关的实际问题。
情感态度: 培养学生合作交流能力，感受数学与生活的密切联系。
教学重点: 一次函数与二元一次方程（组）的关系及其探索。
教学难点: 综合运用方程（组）和一次函数的关系解决实际问题。
学情分析：学生已经有了解二元一次方程组的基本能力和一次函数及图像的基本知识，学习本节知识困难不大，关键是让学生理解二元一次方程（组）和一次函数之间的内在联系，体会数形结合的思想，并用数形结合的思想来解决问题。
预留汇报:1.已知mx+n=0的解是x=-2,则直线y=mx+n与x轴的交点坐标是。
2.已知一次函数y=kx+b的图像经过点（2,0），（1,3），则不求k,b的值，可直接得到kx+b=3的解是。
(师生活动)学生独立完成（设计意图）复旧引新，为学习新知做好铺垫。
问题出示，探究新知利用图象解方程组{2x+3y=3 3x−y=2解：在直角坐标系中画出两条直线．得两条直线的交点坐标是(1,1)，所以方程组的解为{x=1 y=1（学生活动）先独立思考，认真分析后可以互相交流，充分发表个人见解。
（教师活动）引导学生分析、解决问题，数学规范的解题过程。
（设计意图）进一步理解二元一次方程组与一次函数的对应关系，体会数形结合的思想。
应用新知1.利用图象解下列方程组(1){2x+y=4 2x−3y=122.已知一次函数y=3x+5与y=2x+b的图象交点为(-1，2)，则方程组的解是_______,3.思考：利用图象求不等式{y=−35x+85y=2x−1的解集为?(学生活动）先独立思考，认真分析后可以互相交流，充分发表个人见解。
冀教版数学八年级下册 21.5一次函数与二元一次方程的关系 教案设计
一次函数与二元一次方程的关系【教学目标】1．掌握理解一次函数与二元一次方程的关系，学会用图像法解二元一次方程组。
2．熟练运用函数的观点看待方程组的方法，进一步感受数形结合的思想方法。
3．亲历图像法解方程组的探索过程，体验分析归纳得出具体问题的结果，进一步发展学生的探究、交流能力。
【教学重难点】重点：掌握对应关系的理解及实际问题的探究建模。
难点：二元一次方程组的解与两直线交点坐标之间的对应关系在具体题中的实际应用。
【教学过程】一、直接引入师：今天这节课我们主要学习二元一次方程与一次函数的关系，这节课的主要内容有探究二元一次方程与一次函数的关系，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。
二、讲授新课（1）教师引导学生在预习的基础上了解二元一次方程和一次函数的相关知识内容，形成初步感知。
（2）首先，我们先来学习二元一次方程与一次函数的关系，它的具体内容是：一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图像与相应的一次函数的图像相同，是一条直线。
它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。
例：（1）方程5x y+=的解有多少个？写出其中几个。
（2）在直角坐标系中分别扫出以这些点为坐标的点，它们在一次函数5=-的图像上吗？y x （3）在一次函数5+=吗？x yy x=-的图像上任取一点，它的坐标适合方程5（4）以方程5=-的图像相同吗？y x+=的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数5x y根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。
练习：1．下列说法正确的是（）.（A）二元一次方程325-=的解为有限个x y（B ） 方程3+27x y =的解x y ，为自然数的有无数对（C ） 方程组00x y x y -=⎧⎨+=⎩的解为0 （D ） 方程组中各个方程的公共解叫做这个方程组的解2．在等式=y kx b +中，当1x =-时，2y =-，当2x =-时，7y =则这个等式是（ ）（A ）31y x =-+（B ）31y x =+（C ）23y x =+（D ）31y x =-- 3．接着，我们再来看下求两个一次函数的交点内容：它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。
八年级下册数学课件-《21.5一次函数与二元一次方程的关系》 冀教版
河北教育出版社 八年级 | 下册
新课构建 探究活动二：一起探究 思考问题：(1)对于二元一次方程kx-y=-b和一次函数y=kx+b有什么关系？ 一般地，一次函数y=kx+b图象上任意一点的坐标都是二元一次方 程kx-y=-b的一个解，以二元一次方程kx-y=-b的解为坐标的点都 在一次函数y=kx+b的图象上。 (2)以二元一次方程ax+by=c的解为坐标所构成的直线，是不是一次 a c y x 函数 的图象？请说明理由。 b b a c y x (3) 二元一次方程ax+by=c和一次函数 b b 有什么联系与区别？ 总结：以二元一次方程的解为坐标的点都在与它相应的一次函数的图象 上；反过来，一次函数图象上的点的坐标都是与它相应的二元一次方程 的解。
(2)在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的 点，它们在一次函数y=1-x的图象上吗？
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新课构建 探究活动一：观察与思考 (1)二元一次方程x+y=1有无数组解，如
x 1 ， x 2 ， x 0 y 3 y 2 y 1
5 的图
巩固新知 做一做 (1)方程2x+3y=5有多少组解？请填写下表，并把每一组对应值作为点的坐 标，在直角坐标系中描出各点。
y
x y
… -2 -1 … 3
7 3
0
5 3
1 1
2 2.5 …
1 3 2 3
2 5 x 3 3
0
…
(2)在直角坐标系中画出 y x
(2)在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函 数y=1-x的图象上吗？ (3)以方程x+y=1的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=1x的图象相同吗？ (4)方程x+y=1与函数y=1-x有何关系？
初中数学(冀教版)八年级-21.5_一次函数与二元一次方程的关系(课件免费下载)
教学准备1. 教学目标本节课通过探索“方程”与“函数图像”的关系，培养学生数学转化的思想，通过学习二元一次方程方程组的解与直线交点坐标之间的关系，使学生初步建立了“数”（二元一次方程）与“形”（一次函数的图像）之间的对应关系，进一步培养了学生数形结合的意识和能力．2. 教学重点/难点教学重点：二元一次方程和一次函数的关系，二元一次方程组和对应的两条直线交点之间的关系；教学难点：通过对数学模型关系的探究发展学生数形结合和数学转化的思想意识．3. 教学用具教具：多媒体课件、三角板．学具：铅笔、直尺、练习本、坐标纸4. 标签教学过程第一环节: 探究二元一次方程和一次函数两种数学模型之间的关系1. 某水箱有5吨水,若用水管向外排水,每小时排水1吨,则X小时后还剩余Y吨水.（1）请找出自变量和因变量（2）你能列出X,Y的关系式吗?（3）X,Y的取值范围是什么?（4）在平面直角坐标系中画出这个函数的图形.（注意XY的取值范围）. 2．（1）方程x+y=5的解有多少个？你能写出这个方程的几个解吗？（2）．在直角坐标系内分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数Y=5-X的图象上吗？（3）．在一次函数的图像上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？（4）．以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数的图像相同吗？x+y=5与表示的关系相同一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线．目的：通过设置问题情景，让学生感受方程x+y=5和一次函数相互转化，启发引导学生总结二元一次方程与一次函数的对应关系．前面研究了一个二元一次方程和相应的一个一次函数的关系，现在来研究两个二元一次方程组成的方程组和相应的两个一次函数的关系．顺其自然进入下一环节．第二环节自主探索方程组与一次函数两种数学模型之间的关系探究方程与函数的相互转化1．两个一次函数图象的交点坐标是相应的二元一次方程组的解（1）一次函数y=5-x图象上点的坐标适合方程x+y=5，那么一次函数y=2x-1图象上点的坐标适合哪个方程？（2）两个函数的交点坐标适合哪个方程？（3）解方程组验证一下你的发现。
【最新冀教版精选】冀教初中数学八下《21.5一次函数与二元一次方程的关系》word教案.doc
5、6二元一次方程与一次函数银川市第八中学彭志斌教材分析本节课通过二元一次方程、二元一次方程组与一次函数关系的讨论，建立方程与函数的联系，引导学生从“形”的角度看待二元一次方程和二元一次方程组。
教科书首先通过对二元一次方程与一次函数的对比分析，让学生认识到：从“数”的角度看，方程与函数描述的是同样的关系；从“形”的角度看，它们对应解“点”组成的图像相同，得到二元一次方程组图像的特征。
然后以此为基础，探讨二元一次方程组的解与确定相应两条直线交点坐标之间的关系。
教学目标知识与技能1、初步理解二元一次方程和一次函数的关系；2、掌握二元一次方程组和对应的两条直线之间的关系；3、掌握二元一次方程组的图像解法．过程与方法（1）教材以“问题串”的形式，揭示方程与函数间的相互转化，使学生在自主探索中学会不同数学知识间可以互相转化的数学思想和方法；（2）通过“做一做”引入例1，进一步发展学生数形结合的意识和能力．情感与态度（1）在探究二元一次方程和一次函数的对应关系中，在体会近似解与准确解中，培养学生勤于思考、精益求精的精神．（2）在经历同一数学知识可用不同的数学方法解决的过程中，培养学生的创新意识和变式能力．教学重点（1）二元一次方程和一次函数的关系；（2）二元一次方程组和对应的两条直线的关系．教学难点数形结合和数学转化的思想意识．教学准备教具：多媒体课件、三角板．学具：铅笔、直尺、练习本、坐标纸．教学过程第一环节: 问题情境，启发引导（2分钟，学生回答问题回顾知识）第二环节:活动探究、获取新知（5分钟，学生回答问题，回顾知识）活动一：二人小组合作交流，探索二元一次方程的解与相应的直线之间的关系归纳总结：二元一次方程和一次函数的图像有如下关系：（1） 以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；（2） 一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程．一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是同一条直线。
数学冀教版八年级下册第二十一章一次函数21.5一次函数与二元一次方程的关系课件
数学 八年级下册 冀教版
第二十一章 一次函数
21.5 一次函数与二元一次方程的关系
一次函数 与 二元一次方程组 身边的数学：
母亲节到了，小明想给妈妈买件礼物，A、B两个商 场为了感恩顾客特推出了优惠活动，A商场所有货品按八 折出售；B商场购买10元的优惠卡后，所有商品按七折出 售，小明如何选择商场购物更经济？
y=-x+1 是否任意两个一次函数的交点坐标都是它们所对应的 二元一次方程组的解？
探究
7y
y=-x+1
6
5
4
3
y=x+1
自变量为何 值时，这两个 一次函数的值 相等 ？函数 值是什么？
2 1 (0,1)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x -1
x+y=1
y=-x+1
-x+y=1
探究学习 活动一:探究一次函数与二元一次方程的关系
(1)把二元一次方程y-x=1写成一次函数y=__x_+_1__的形式. 1、画出一次函数y=x+1的图像； 2、你能找出方程的几组解吗? 3、把以这几组解为坐标的点在坐标系上描出来，你发 现了什么? 4、以二元一次方程y-x=1的所有解为坐标的点都在一次 函数y=x+1的图像上吗？
函数 y=x+4 与y=3x-16 的图像必有一个交点，且交
点坐标是 (6，2) 。
活动三: 巩固练习 3、根据下列图像，你能说出它表示哪个方程组的解？ 这个解是什么？
y y=2x-1
1 o1
x y=-3x+4
4.用图像法解方程组：
2x+y=4 ①
x
2x-3y=12 ②
冀教版八年级数学下册《二十一章 一次函数 21.5 一次函数与二元一次方程的关系》课件_1
（2）求 △PAB的面积。
y
y=kx+b(k≠0)
kx+b＞0
kx+b=0 P
0
x
kx+b＜0
y=mx+n(m≠0)
解：设月上网时间为x分，
若按方式A则收y1=0.1x元；
若按方式B则收y2=0.05x+20元．
y／元
y1=0.1x
y2=0.05x+20
40
20
0
400 x分
所以方程组的解为 x=1
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 -1
x
-2
37
-3y x
-4
22
y=2
-5
用图象法解方程组的步骤
(1)将方程组中各方程化为 y=kx+b的形式
(2)画出两个一次函数的图象. (3)由交点坐标得出方程组的解.
一家电信公司给顾客提供两种
上网收费方式：方式A以每分0.1元
在坐标系中画出一次函数y=2x-2 的图象. 思考:
在直线y=2x-2 上任取一点（x,y), 则x,y一定是方程2x-y=2的解吗?为什 么?
二元一次方程组
2x y x 2y
两个函数 y= 2x -2 和
2 的解与
2
y
1
x
1
2
有怎样的关系？
探究
从“形”的角度看，相当于确 定两条直线 交点 的坐标；
解：设月上网时间为x分，根据题意，得
0.1x=0.05x+20
解方程，得 x=400
因此，当上网时间为400分时， 两种方式的计费相等．
解：设月上网时间为x分，
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的解为
x 2
y
2
,
则函数
y
1 2
x 1
与
y 2x 2
的图象的交点坐标
为 （2，2） .
3.小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在 同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的
图象 l1、l2如图 ，他解的这个方程组是( D )
y
2x
2
A.
y
1 2
x
1
y
3x
8
C.
y
1 2
数的值相等,以及这个函数值是何值．
例1：用图象法解方程组
x 2 2x
y y
2, 2.
解：由
x 2 y 2
可得 y 1 x
2
1
注意： 1.步骤与格式 2.这种解法得到的解一定精 确吗？
由 2x y 2 可得 y 2x 2
在同一直角坐标系中作出图象
y
l2
列表：
x … -2 0 … x … 0 1 … 3
一 一 对 应
一次函数图象上点的坐标
练一练
1.以方程2x+y=5的解为坐标的所有点组成的图像与一 次函数 y=-2x+5 ____的图像相同. 2.如图所示的四条直线，其中直线上每个点的坐标都 是方程x-2y=2的解的是（ C ）
二 二元一次方程组与一次函数的关系
做一做
1.解方程组
x y 5, 2x y 1.
b，的解是多少？
d， y=ax+b
y
解：此方程组的解是
2
1
y=cx+d
x 2，
y
1.
-3 -2
-1
O -1
冀教版数学八年级下册21.5一次函数与二元一次方程关系教案设计
一次函数与二元一次方程的关系【教课目标】1．掌握理解一次函数与二元一次方程的关系，学会用图像法解二元一次方程组。
2．娴熟运用函数的看法对待方程组的方法，进一步感觉数形联合的思想方法。
3．亲历图像法解方程组的研究过程，体验解析归纳得出详尽问题的结果，进一步发展学生的研究、交流能力。
【教课重难点】要点：掌握对应关系的理解及实质问题的研究建模。
难点：二元一次方程组的解与两直线交点坐标之间的对应关系在详尽题中的实质应用。
【教课过程】一、直接引入师：今日这节课我们主要学习二元一次方程与一次函数的关系，这节课的主要内容有研究二元一次方程与一次函数的关系，而且我们要掌握这些知识的详尽应用，能娴熟解决相关问题。
二、解说新课（1）教师指引学生在预习的基础上认识二元一次方程和一次函数的相关知识内容，形成初步感知。
（2）第一，我们先来学习二元一次方程与一次函数的关系，它的详尽内容是：一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点构成的图像与相应的一次函数的图像同样，是一条直线。
它是如何在题目中应用的呢？我们经过一道例题来详尽说明。
例：（1）方程x y 5 的解有多少个？写出此中几个。
（2）在直角坐标系中分别扫出以这些点为坐标的点，它们在一次函数y 5x 的图像上吗？（3）在一次函数y 5 x 的图像上任取一点，它的坐标合适方程x y 5 吗？（4）以方程x y 5 的解为坐标的全部点构成的图像与一次函数y 5x 的图像同样吗？依据例题的解题方法，让学生自己着手练习。
练习：1．以下说法正确的选项是（）.（A）二元一次方程3x 2 y 5的解为有限个（B ） 方程 3x+2 y 7 的解 x ，y 为自然数的有无数对 （C ） 方程组x y 0xy的解为 0（D ） 方程组中各个方程的公共解叫做这个方程组的解2．在等式y=kxb中，当 x1时，y2，当 x2 时，y7则这个等式是（）（A ） y 3x 1（B ） y 3x 1（C ） y 2x 3（D ） y3x 13．接着，我们再来看下求两个一次函数的交点内容：它是如何在题目中应用的呢？我们也经过一道例题来详尽说明。
八年级数学下册21.5一次函数与二元一次方程的关系教学课件(新版)冀教版
第五页，共18页。
y
6
(-1,6)
5 4 3 2 1
(1,4) (1.5,3.5)
(3,2) y=-x+5
-2 -1 O 1 2 3 4 5 6
x
-1
第六页，共18页。
3.在一次函数y=－x+5的图象上任取一点，它的坐标 (zuòbiāo)适合方程x+y=适5吗合？
4.以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成(zǔ chénɡ)的
2x+y=4
2.用图象(tú xiànɡ)法解
方程组
2x-3y=12
x=3
y=-2
第十四页，共18页。
当堂(dānɡ tánɡ)练习
1.若方程组
ax by c，① mx ny p ②
中两个(liǎnɡ ɡè)二元一次方 程的
图象(tú xiànɡ)如图所示，则此方程组的解是多少？ y
解：此方程组的解是
利用一次函数图像 解二元一次方程组
第十七页，共18页。
课后作业 (zuòyè)
见《学练优》本课时(kèshí)练习
第十八页，共18页。
试一试：把下列二元一次方程转化为一次函数
（1）y-2x=1； （2）2y+x=4
第四页，共18页。
1.方程(fāngchéng)x+y=5的解有多少无个数? 个
是这个(zhège)方程的解吗？都是
2.在直角坐标(zuòbiāo)系内分别描出以上面这些解为坐 标(zuòbiāo)的点，它们在一次函数y=－x+5的图象上吗 ？
y
y=2x-1
5
4
3 P(2,3)
2
y=5-x
1
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21.5 一次函数与二元一次方程的关系
1．掌握一次函数与方程的关系；(重点) 2．综合应用一次函数与方程关系解决问题．(难点) 一、情境导入 下面三个方程有什么共同点和不同点？你能进行解释吗？ (1)2x＋1＝3；(2)2x＋1＝0；(3)2x＋1＝－1. 能从函数的角度解这三个方程吗？ 二、合作探究 探究点一：一次函数与一元一次方程 一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx＋b＝0的解为( ) A．x＝－1 B．x＝2 C．x＝0 D．x＝3 解析：∵y＝kx＋b经过点(2，3)、(0，1)，∴b＝1，2k＋b＝3，解得b＝1，k＝1，∴一次函数解析式为y＝x＋1.令x＋1＝0，解得x＝－1.故选A. 方法总结：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝kx＋b，确定它与x轴的交点的横坐标的值． 探究点二：一次函数与二元一次方程
(组)
直角坐标系中有两条直线：y＝35x
＋95，y＝－32x＋6，它们的交点为P，第一条
直线交x轴于点A，第二条直线交x轴于点
B.
(1)求A、B两点的坐标；
(2)用图象法解方程组5y－3x＝9，3x＋2y＝12；
(3)求△PAB的面积．
解析：(1)分别令y＝0，求出x的值即
可得到点A、B的坐标；(2)建立平面直角坐
标系，然后作出两直线，交点坐标即为方程
组的解；(3)求出AB的长，再利用三角形的
面积公式列式计算即可得解．
解：(1)令y＝0，则35x＋95＝0，解得x＝
－3，所以点A的坐标为(－3，0)．令－32x
＋6＝0，解得x＝4，所以点B的坐标为(4，
0)；
(2)如图所示，方程组的解是x＝2，y＝3；
(3)AB＝4－(－3)＝4＋3＝7，S△PAB＝12×7×3＝212. 方法总结：本题考查了二元一次方程(组)与一次函数的关系：两个方程的解的对应点分别在两条直线上，所以作出两个二元一次方程所对应的两条直线，求出交点，则交点的坐标同时满足两个方程，即为方程组的解． 探究点三：运用一次函数与方程解决实际问题 某销售公司推销一种产品，设x(单位：件)是推销产品的数量，y(单位：元)是付给推销员的月报酬．公司付给推销员的月报酬的两种方案如图所示，推销员可以任选一种与公司签订合同，看图解答下列问题： (1)求每种付酬方案y关于x的函数表达式； (2)当选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬时，求x的取值范围． 解析：(1)由图已知两点，可根据待定系数法列方程组，求出函数关系式；(2)列出方程得出两直线的相交点的坐标，即可得选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬
时x的取值范围．
解：(1)设方案一的解析式为y＝kx，把
(40，1600)代入解析式，可得k＝40，∴方
案一y关于x的解析式为y＝40x；设方案二
的解析式为y＝ax＋b，把(40，1400)和(0，
600)代入解析式，可得b＝600，40a＋b＝1400，解得
a＝20，
b＝600，
∴方案二y关于x的解析式为y
＝20x＋600；
(2)根据两直线相交可得40x＝20x＋
600，解得x＝30，故两直线交点的横坐标为
30.当x＞30时，选择方案一所得报酬高于选
择方案二所得报酬．
方法总结：解决此类识图题，同学们要
注意分析其中的“关键点”，还要善于分析
各图象的变化趋势．
三、板书设计
1．一次函数与一元一次方程的关系
2．用图象法求二元一次方程组的解
3．应用一次函数与方程解决实际问题
在教学的过程中，学生是教学的主体，
所以发挥学生的主动性相当的重要．本节课
是在一次函数的基础上教学的，是对学生学
习的又一次综合与扩展．课堂教学充分体现
了新课标的教学理念：教师为主导、学生为
主体，把课堂还给学生．